认错-北京理工大学排名

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北师大版七年级数学上册知识点
前言：七年级上知识点很简单，主要是衔接作用，很多知识点 在六年
级涉及过，现在是对六年级的加深与拓展。重点难点章节有三个：第二章
有理数及其运算 、第三章整式及其加减、第五章一元一次方程。
第一章 丰富的图形世界
备注：本单元两个易错点： 1、图形的展开与折叠 2、“ 三
视图”判断图形个数

1、几何图形
从实物中抽象出来的各种图形，包括立体图形和平面图形。
立体图形：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，它们是立体
图形。
平面图形：有些几何图形的各个部分都在同一平面内，它们是平面图
形。

2、生活中的立体图形
圆柱
柱
生活中的立体图形 球 棱柱：三棱柱、四棱柱（长方体、
正方体）、五棱柱、……
(按名称分) 锥 圆锥
棱锥
3、点、线、面、体
（1）几何图形的组成
点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。
参考学习

. . .
线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。
面：包围着体的是面，分为平面和曲面。
体：几何体也简称体。
（2）点动成线，线动成面，面动成体。
4、常见的几何体及其特点
长方体： 有8个顶点，12条棱，6个面，且各面都是长方形。
（正方形是特殊的长方形），正方体是特殊的长方体。
棱柱： 上下两个面称为棱柱的底面，其它各面称为侧面，长方体是
四棱柱。
棱锥： 一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形。
圆柱： 有上下两个底面和一个侧面（曲面），两个底面是半径相等
的圆。
圆柱的表面展开图是由两个相同的圆形和一个长方形
连成。
圆锥： 有一个底面和一个侧面（曲面）。侧面展开图是扇形，底面
是圆。
球： 由一个面（曲面）围成的几何体。
5、棱柱及其有关概念：
棱：在棱柱中，任何相邻两个面的交线，都叫做棱。
侧棱：相邻两个侧面的交线叫做侧棱。
n棱柱有两个底面，n个侧面，共（n+2）个面；3n条棱，n条侧棱；
2n个顶点。
6、正方体的平面展开图：11种


参考学习
3—3型

. . .


总结规律：
一线不过四，田凹应弃之；
相间、Z端是对面，间二、拐角邻面知。


7、截一个正方体：用一个平 面去截一个正方体，截出的面可能是三
角形，四边形，五边形，六边形。




可能出现的：锐角三角型、等边、等腰三角形， 正方形、矩形、
非矩形的平行四边形、 非等腰梯形、 等腰梯形、五边形、六边形、
正六边形
不可能出现：钝角三角形、直角三角形、直角梯形、正五边形、七边
形或更多边形

其他几何体的截面形状：
正方体：三角形、正方形、长方形、梯形、五边形、六边形
圆柱： 圆、长方形、（正方形）、……
圆锥： 圆、三角形、……
球： 圆
8、三视图
参考学习
2—2—2
型

. . .
物体的三视图指主视图、俯视图、左视图。
主视图：从正面看到的图，叫做主视图。
左视图：从左面看到的图，叫做左视图。
俯视图：从上面看到的图，叫做俯视图。
第二章 有理数及其运算
备注： 1*、数轴是新知识很多地方用到
2*、去绝对值与绝对值的几何意义很重要，有些学生在去绝
对值和利用绝对值几何意义做题时比较容易出错（去绝对值的主
要数学思想是“分情况讨论”这也是贯 穿初高中的一个重要数学
思想）
3*、有理数混合运算中去去括号变号很多同学容易在这块丢分。

1、有理数的分类
整数和分数统称为有理数。因为有限小数和无限循环小数可以化为
分数，所以把有限小数和无限循环小数都看作分数。
正
整数
有理数 零 有限小数和无限循环小数 或 有
理数
负
分数
2、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是
零
①在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，且与原点
的距离相等.
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有理数
有理数

. . .
②相反数是成对出现的，不能单独存在，单独的一个数不能说
是相反数。
3、数轴：规定了原 点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数
轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。任何一个有理 数都可以用
数轴上的一个点来表示。解题时要真正掌握数形结合的思想，并能灵活
运用。 4、倒数：如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于
本身的数是1和-1。零没 有倒数。
5、绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该
数的绝对值。（| a|≥0）。零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，
若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a， 则a≤0。
绝对值的有关性质
①对任意有理数a，都有|a|≥0；
②若|a|=0，则a=0；
③若|a|=|b|，则a=b或a=－b；
④若|a|=b（b>0），则a=±b；
⑤若|a|＋|b|=0，则a=0且b=0；
⑥对任意有理数a，都有|a|=|－a|.
6、有理数比较大小：正数大于零，负数小于 零，正数大于一切负
数；数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；两个负数，绝
对值 大的反而小。
7、有理数的运算 ：
（1）五种运算：加、减、乘、除、乘方 多个数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，
积的符号为负；当负因数有偶数 个时，积的符号为正。只要有一个数为
参考学习

. . .
零，积就为零。
有理数加法法则：
同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
异号两数相加，绝对值值相等时和为0；绝 对值不相等时，取绝对
值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
一个数同0相加，仍得这个数。
互为相反数的两个数相加和为0。
有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数！
有理数乘法法则：
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
任何数与0相乘，积仍为0。
有理数除法法则：
两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
0除以任何非0的数都得0。
注意：0不能作除数。
有理数的乘方：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方。
a是重要的非负数，即a≥0；若a
222
则 a=0,b=0；
据规律 底数的小数点移动一位，平方数的小数点移
动二位.
注意：①一个数可以看作是本身的一次方，如5=5；
②当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括上，再在右上角写指
数。
乘方的运算性质：
①正数的任何次幂都是正数；
②负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；
参考学习
1

. . .
③任何数的偶数次幂都是非负数；
④（除0以外任何数的0次方都得1） 1的任何次幂都得1，0的任
何次幂（除0次）都得0；
⑤-1的偶次幂得1；-1的奇次幂得-1；
⑥在运算过程中，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值。
（2）有理数的运算顺序
先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，先算括号里面的。
（3）运算律
加法交换律
abba

加法结合律
(ab)ca(bc)

乘法交换律
abba

乘法结合律
(ab)ca(bc)

乘法对加法的分配律
a(bc)abac
变形公式
abaca(bc)

8、科学记数法
一般地，一个大于10的数可以表示成 的形式，其中 ，n是正整
数，这种记数方法叫做科学记数法。（n=整数位数-1）

第三章 整式及其加减

备注：这章算是这册比较难的一个知识点。一是对单项式、多项式的
理解，其次是对同类项的理解和计算。
容易出错的地方大多在化简计算，有几点：
1、是化简计算过程中去括号变号。
2、化简求值中“整体思想”的运用。
3、化简计算中一个字母表示另个字母代入换算。
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知识点
一、字母表示数
1、字母可以表示任何数，用字母表示数的运算律和公式法则；
1加法交换律
a
＋
b＝b
＋
a
加法结合 律
a
＋
b
＋
c
＝
a
＋（
b
＋
c
）
○
乘法分配律
a
（
b
＋
c
）＝
ab
＋
ac

用字母表示计算公式：

○
1长方形的周长2（
a
＋
b
）,面积
ab
（
a、b
分别为长、宽）
2正方形的周长4
a
，面积
a
（
a
表示边长） < br>○
3长方体的体积
abc
，表面积2
ab
＋2
bc< br>＋2
ac
（
a、b、c
分别为长、宽、
○
高）
4正方体的体积
a
,表面积6
a
（
a
表示棱长）
○
5圆的周长2π
r
,面积π
r
（
r
为半 径）
○
1
6三角形的面积×
ah
（
a
表示底边长 ，
h
表示底边上的高）
○
2
2
32
2
2 乘法交换律
ab
＝
ba
乘法结合律（
ab
）
c
＝
a
（
bc
）
○
2、在同一问题中，同一字母只能表示同一数量，不同的数量要用不
同的字母表示。
3、用字母表示实际问题中某一数量时，字母的取值必须使这个问题
有意义，并且符合实际。
4、注意书写格式的规范：
(1) 表示数与字母或字母与字母相乘时乘号，乘号可以写成“ ·”，
但通常省略不写；数字与数字相乘必须写乘号；
(2) 数和字母相乘时，数字应写在字母前面；
(3) 带分数与字母相乘时，应把带分数化成假分数；
(4) 除法运算写成分数形式 ，分数线具 “÷ ”号和“括号”的双
重作用。
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. . .
(5)在代数式的运算结果中，如有单位时，结果是积或商直接写单位；
结果是和差加括号 后再写单位。

典型例题：
例题1.有一大捆粗细均匀的钢筋，现要确定其长度， 先称出这
捆钢筋的总质量为m千克，再从中截取5米长的钢筋，称出它的质
量为n千克，那么这 捆钢筋的总长度为（ ）米
mmn5m5m
A、 B、 C、 D、( －5)
n55n
例题2.用代数式表示“ 2a与3的差”为（ ）
A．2a－3 B．3－2a C．2（a－3）
（3－a）
例题3.如图1―3―1，轴上点A所表示的是实数a，则到原点的距
离是（ ）
A、a B．－a C．±a D．－|a|
111
222
例题4.已知a= x+20， b= x+19，c= x+21，那么代数式a+b+c
202020
－ab－bc－ac的值为（ ）
A、4 B、3 C、2 D、1
练习：
1、温度由
t
℃下降3℃后是_____________℃.
2、 飞机 每小时飞行
a
千米，火车每小时行驶
b
千米，飞机的速度是
火车速度 的_______倍.
3、无论
a
取什么数，下列算式中有意义的是（ ）
A. 、

4、全班同学排成长方形长队，每排的同学数为
a
，排数 比每排同学数
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D．2
1

a1
B.
1
C.
1
a1
D.
a
2
1

2a1

. . .
的3倍还多2，那么全班同学数为（ ）
A.
a·3a2
B.
a(3a2)
C.
a3a2
D.
3a(a2)

5、轮船在A、B两地间 航行，水流速度为
m
千米／时，船在静水中
的速度为
n
千米／时，则 轮船逆流航行的速度为__________千米／时
6、甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价均为
x
元的商品，甲超
市连续两次降价20%，乙超市一次性降价40%，丙超市第一次降 价30%，
第二次降价10%，此时顾客要想购买这种商品最划算，应到的超市是
（ ）
（A）甲 （B）乙 （C）丙 （D）乙或丙
7、下列说法中：①
a
一定是负数；②
|a|
一定是正数；③若< br>abc0
，
则
a、b、c
三个有理数中负因数的个数是0或2，其中 正确的序号是
8、设三个连续整数的中间一个数是
n
,则它们三个数的和是
9、设三个连续奇数的中间一个数是
x
,则它们三个数的和是
10、设
n
为自然数，则奇数表示为 ；偶数表示为 ；能被5
整除的数为 ；被4除余3的数为

二、代数式 1、代数式：用基本运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）
把数或表示数的字母连接而成的式 子叫代数式。如： n-2 、 0.8a、2n
+500、abc、2ab+2bc +2ac （单独一个数或一个字母也是代数式）
注意：①代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有括
号；
②代数式中不含有“=、 >、<、≠”等符号。等式和不等式都不
是代数式，但等号和不等号两边的式子一般都是代数式；
③代数式中的字母所表示的数必须要使这个代数式有意义，是实际问
参考学习

. . .
题的要符合实际问题的意义。
※代数式的书写格式：
①代数式中出现乘号，通常省略不写，如vt；
②数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如4a；
③带分数与字母相乘时，应先把带分数 化成假分数，如
2
1
a
应写作
7
a
；
33
④数字与数字相乘，一般仍用“×”号，即“×”号不省略；
⑤在代数式中出现 除法运算时，一般写成分数的形式，如4÷（a-4）
应写作
4
；注意：分数线具有“ ÷”号和括号的双重作用。
a4
⑥在表示和（或）差的代数式后有单位名称的，则必须把代 数式括
起来，再将单位名称写在式子的后面，如
(a
2
b
2
)
平方米。
例：下列不是代数式的是（ ）
A
.
0

B
.
s

C
.
x1

D
.
x0.1y
2

t
2、单项式：表 示数与字母的积的形式的代数式叫单项式。单独一
个数或一个字母也是单项式。其中的数字因数（连同符 号）叫单项式
的系数，所有的字母的指数的和叫单项式的次数。

注意：1.单独的一个数或一个字母也是单项式；
2.单独一个非零数的次数是0；
3. 书写时，当单项式的系数为1或-1时，这个“1”应省略不写，如-ab
的系数是-1 ，ab的系数是1。
4.

是数字，不是字母。
例：
ab
2
的系数是 ；如
x
2
的系数是 ；如

1

x
2
的
2
系数是 ；
3、多项式：几个单项式的和叫多项式。多项式中，每个单项式叫
做多项式的项；次数最高 的项的次数叫做多项式的次数。
参考学习

. . .
例：代数式
5xyx
2
x1
有 项，第二项的系数是 ，第三项的
系数是 ，第四项的系数是
4 、单项式多项式统称为整式。整式是代数式的一部分，在代数式中
可以包含加，减，乘，除四种运算，但 在整式中除数不能含有字母。
练习：
1、 某商品售价为
a
元，打八折后又降价20元，则现价为_____元
2、橘子每千克
a
元，买10
kg
以上可享受九折优惠，则买20千克应
付____ _____元钱.
3、如图，图1需4根火柴，图2需____根火柴，图3需____根火柴，……
图
n
需____根火柴。




（图1） （图2） （图n）
4、温度由
t
℃下降3℃后是_____________℃.
5、飞机每 小时飞行
a
千米，火车每小时行驶
b
千米，飞机的速度是
火车速度的 _______倍.
6、无论
a
取什么数，下列算式中有意义的是（ ）
A.
1

a1
B.
1
C.
1
a1
D.
a
2
1

2a1
7、全班同学排成长方形长队，每排的同学数为
a
，排数比每排同学数
的3倍 还多2，那么全班同学数为（ ）
A.
a·3a2
B.
a(3a2)
C.
a3a2
D.
3a(a2)

x
2
y
8、填空

的系 数为_______，次数为_______：
3a2b
2
的次数为
3______ ；
ab
2
的系数是 ；
x
2
的系数是 ；

1

x
2
的系数
2
参考学习

. . .
是 ；代数式
5xyx
2
x1
有 项，第二项的系数是 ，
第三项的系数是 ，第四项的系数是
9、下列不是代数式的是（ ）
A
.
0

B
.
s

C
.
x1

D
.
x0.1y
2

t
三、合并同类项
1、同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同
类项。
注意：①同类项有两个条件：a.所含字母相同；b.相同字母的指数也
相同。
②同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关；
③几个常数项也是同类项。
如：100a和200a，240b和60b，-2ab和10ba
2、合并同类项法则：把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。
合并同类项法则：
（1）写出代数式的每一项连同符号，在其中找出同类项的项；
（2）合并同类项：同类项的系数相加,所得的结果作为系数,字母和
字母的指数不变.
（3）不同种的同类项间，用“+”号连接
（4）没有同类项的项，连同前面的符号一起照抄
如：合并同类项3xy和5xy，字母x、y及x、y的指数都不变，
•只要将它们的系 数3和5相加，即3xy+5xy=（3+5）xy=8xy．
3．合并同类项的步骤：（1）准确的 找出同类项（2）运用加
法交换律，把同类项交换位置后结合在一起（3）利用法则，把同
类项 的系数相加，字母和字母的指数不变（4）写出合并后的结果
4. 注意: （1）不是同类项不能合并（2） 求代数式的值时,如
参考学习
2222
22

. . .
果代数式中含有同类项,通常先合并同类项再代入数值进行计算.
例1.判断下列各组中的两个项是不是同类项：
2
2
（1）ab
3
和-
5
7
ab （2）2mnp和 -pmn (3) 0和-1
5
5
③
5ax< br>2
与
1
yx
2
；④
8
3
与x
3
；⑤
x
2
与
1

x
2
；⑥
3x
2
与
x
⑦
3x
2
2
5
2 2 2
例2. 下列各组中：①
5x
2
y与
1
xy< br>；②
5x
2
y与
1
yx
2
；
1< br>k2k2
例3. 如果xy与—
1
xy是同类项，则k=______，
1
xy+（-
1
xy）
3
333
=________．
与
2
，同类项有 （填序号）
例4．直接写出下列各式的结果：
（1）-
2
1
2
xy+
2
1
2
xy=_______；（2）7ab+2ab=________； （3）
222
22
-x-3x+2x=_______；
（4）xy-
1
xy-
1
xy=_______； （5）3xy-7xy=________．
2
3
例5．合并下列多项式中的同类项．
（1）4xy-8xy+7-4xy+10xy-4； （2）a-2ab+b+a+2ab+b．


（3）
3x
2
5x6x
2
1
（4）
6xy
2
2x
2
4x
2
y5yx2
x
2



例6.若
x0,y0，
1
xy
2
axy
2
0
，则
a

2
22222222
练习：
1、单项式
2a
x
b
2
与
a
3
b
y
是同类项，则
x
，
y

2、下列各组 中：①
5x
2
y与
1
xy
；②
5x
2< br>y与
1
yx
2
；③
5ax
2
与
1< br>yx
2
；
④
8
3
与x
3
；⑤
x
2
与
1
2

x
2
5
55< br>；⑥
3x
2
与
x
⑦
3x
2
与
2
，同类项有
（填序号）
参考学习

. . .
3、合并同类项：①
3x
2
5x6x
2
1
②
6xy
2
2x
2
4x
2
y5yx
2
x
2

4、若
x0,y0
，
1
x y
2
axy
2
0
，则
a

2
四、去括号法则
1、 根据去括号法则去括号：
（1）括号前是“+”号，把括号和前面的“+”号去掉，括号里的各
项的符号都不改变。
（2）括号前是“－”号，把括号和前面的“－”号去掉，括号里的
各项都要改变符号。
2、 根据去括号法则中乘法分配律的应用去括号：若括号前有因
式，应先利用乘法分配律展开 ，同时注意去括号时符号的变化规律。
3、 多重括号的化简原则：
（1）由里向外逐层去掉括号
（2）由外向里逐层去掉括号
注意：
1、添括号法则
添“＋”号和括号，添到括号里的各项符号都不改变；添“－”号和
括号，添到括号里的各项符号都要改变。
2、整式的运算：
整式的加减法：（1）去括号；（2）合并同类项。

例1、一个两位数，十位数字 是
x
，个位数字比十位数字2倍少3，这
个两位数是
例2、去括号，合并同类项
1
（1）－3（2s－5）+6s (2)3x－[5x－（
2
x
－4）]
参考学习

. . .
1
（3）6a－4ab－4(2a+
2
ab) （4）
22
3(2x< br>2
xy)4(x
2
xy6)

（5）
(xy)(xy)
（6）
2(mn)3(mx)2x


（7）
(2a
2

2x
2
3x1(53xx
2
)
（8）
11
3a)4(aa
2
)

22
（9）
a(5a3b)2(a2b)
（10）
1
2
11
mnnm
2
mn
2
n
2
m

326

练习：
1、化简：①
(xy)(xy)
②
2(mn)3(mx)2x


2、一个两位数，十位数字是
x
，个位数字比十位数字2倍少3，这个
两位数是
< br>3、化简：(1)
2x
2
3x1(53xx
2
)< br> (2)
(2a
2

1
3a)4(aa< br>2

1
)

22
(3)
a(5a3b)2(a2b)
1
2
11
mnnm
2
mn
2
n
2
m

326
(4)

五、代数式求值——先化简，再求值
代数式求值：
1、用具体 的数值代替代数式中的字母，按照代数式的运算关系计算，
所得的结果是代数式的值。
2、求代数式的值时应注意以下问题:
（1）严格按求值的步骤和格式去做．
参考学习

. . .
（2）一个代数式中的同一个字母，只能用同一个数值代替，若
有多个字母，•代入时要注 意对应关系，千万不能混淆．
（3）在代入值时，原来省略的乘号要恢复，而数字和其他运算符号
不变
（4）字母取负数代入时要添括号
（5）有乘方运算时，如果代入的数是分数或负数，要加括号
例1 当x=
1
，y=-3时，求下列代数式的值:（1）3x-2y+1； （2）
22
(xy)
xy1
2
3

例2 当
x2
时，求代数式
5x(4x1)
的值

例3 已知
a，b
互为倒数，
m，n
互为相反数，求代数式
(2m2n 3ab)
2
的
值

例4 化简，求值：
①
9 ab6b
2
3(ab
2
b
2
)1
，其中< br>a
1
，
b1

3
2

②
1
x2(x
1
y
2
)(
3< br>x
1
y
2
)
,其中
x2,y
2
2323
3

经典例题
例题1.若ab与ab是同类项，下列结论正确的是（ ）
A．X＝2，y=1 B．X=0，y=0 C．X＝2，y=0 D、
X=1，y=1

例题2. 2x－x等于（ ）
A．x B．－x C．3x D．－3x
参考学习
xy2

. . .

例题3.x－（2x－y）的运算结果是（ ）
A．－x+y B．－x－y C．x－y D．3x－y

练习：
1、当
x2
时，求代数式
5x(4x1)
的值
2 、已知
a，b
互为倒数，
m，n
互为相反数，求代数式
(2m2 n3ab)
2
的值
3、已知
mn
2
,求
73m3n
的值。
3

4、化简，求值：
①< br>9ab6b
2
3(ab
2
b
2
)1
，其中
a
1
，
b1

3
2

②
1
x2(x
1
y
2
)(
3< br>x
1
y
2
)
,其中
x2,y
2
2323
3

5、已知
Ax
2
y2xy
2
1
，
B2x
2
yxy
2
1, x2,y
1
，求
2AB

2



六、探索规律列代数式
例题1.观察下列数表：

根据数表所反映的 规律，猜想第6行与第6列的交叉点上的数应
为________，第n行与第n列交叉点上的数应为_ ________（用含有n
的代数式表示，n为正整数）

参考学习

. . .
例题2.观察下列各等式：

（1）以上各等式都有一个共同的特征：某两 个实数的一等于这两个
实数的___________；如果等号左边的第一个实数用x表示，第二个实 数
用y表示，那么这些等式的共同特征可用含x，y的等式表示为
_____________ ________.
（2）将以上等式变形，用含y的代数式表示x为_________________；
（3）请 你再找出一组满足以上特征的两个实数，并写出等式形式：
__________________

例题3.一串有黑有白，其排列有一定规律的珠子，被盒子遮住一部
分如图1―3― 3所示，则这串珠子被盒子遮住的部分有_____颗．





第四章 平面图形及其位置关系

备注：这一章重要是为后面几何打基础：
1、重点在平行的性质与证明。
2、同旁内角、内错角、同位角的定义（这个有些学生在开始 的时候
会出现小失误后面没什么问题）
3、垂线的性质与判定

参考学习

. . .
线段、射线、直线
1、线段：绷紧的琴弦，人行横道线都可以近似的看做线段。线段有
两个端点。
2、射线：将线段向一个方向无限延长就形成了射线。射线有一个端
点。
3、直线：将线段向两个方向无限延长就形成了直线。直线没有端点。
4、点、直线、射线和线段的表示
在几何里，我们常用字母表示图形。
一个点可以用一个大写字母表示。
一条直线可以用一个小写字母表示或用直线上两个点的大写字母表
示。
一条射线可以用一个小写字母表示或用端点和射线上另一点来表示
（端点字母写在前面）。
一条线段可以用一个小写字母表示或用它的端点的两个大写字母来
表示。

名
称
直
线
射
线
线
段
参考学习
图形
l
A
B
表示方
法
直线
点
端
长度
AB
(或
BA
)
直
线l
无无法
端点 度量
1
个
2
个
无法
度量
可度
量长度
OM

l
B
射线OM
线段
A
AB
(或
BA
)

. . .
线段
l

5、点和直线的位置关系有两种：
①点在直线上，或者说直线经过这个点。
②点在直线外，或者说直线不经过这个点。
6、直线的性质
（1）直线公理：经过两个点有且只有一条直线。
（2）过一点的直线有无数条。
（3）直线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较
大小。
（4）直线上有无穷多个点。
（5）两条不同的直线至多有一个公共点。
7、线段的性质
（1）线段公理：两点之间的所有连线中，线段最短。
（2）两点之间的距离：两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距
离。
（①点到直 线的垂线段的长叫做点到直线的距离；②平行线间垂线段
的长叫做平行线间的距离。）
（3）线段的中点到两端点的距离相等。
（4）线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。
8、线段的中点：
点M把线段AB分成相等的两条相等的线段AM与BM，点M叫做线
段AB的中点。AM = BM =12AB （或AB=2AM=2BM）。
9、角：
有公共端点的两条射线组成的 图形叫做角，两条射线的公共端点
叫做这个角的顶点，这两条射线叫做这个角的边。或：角也可以看成< br>参考学习

. . .
是一条射线绕着它的端点旋转而成的。
10、平角和周角：
一条射线绕着它的 端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所
形成的角叫做平角。终边继续旋转，当它又和始边重合时，所 形成
的角叫做周角。
11、角的表示
角的表示方法有以下四种：
①用数字表示单独的角，如∠1，∠2，∠3等。
②用小写的希腊字母表示单独的一个角，如∠α，∠β，∠γ，∠θ
等。
③用一个大写英文字母表示一个独立（在一个顶点处只有一个角）的
角，如∠B，∠C等。
④用三个大写英文字母表示任一个角，如∠BAD，∠BAE，∠CAE等。
注意：用三个大写英文字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间，
边上的字母写在两侧。
12、角的度量
角的度量有如下规定：把一个平角180等分，每一份就是1度
的角 ，单位是度，用“°”表示，1度记作“1°”，n度记作“n°”。
把1°的角60等分，每一份叫做1分的角，1分记作“1’”。
把1’ 的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒记作“1””。
1°=60’，1’=60”
13、角的性质
（1）角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线的幅度大小
有关。
（2）角的大小可以度量，可以比较
参考学习

. . .
（3）角可以参与运算。
时针问题：（小学奥数）
时针每小时30°，每分钟0.5°；分针每分钟6°；时针与分针每分
钟差5.5°.
时针与分针夹角=分×5.5°—时×30° （分针靠近12点）
时针与分针夹角=时×30°—分×5.5°（时针靠近12点）
若结果大于180°，另一角度用360°减这个角度。
经过多少时间重合、垂直、在一条线 上，用求出的重合、垂直、
在一条线上的时间减去现在的时间。追及问题还可用追及度数5.5。
14、角的平分线
从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条
射线叫做这个角的平分线。
15、多边形：
由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形，
叫做多边形。
从 一个n边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶
点，可以画（n-3）条对角线，把这个n 边形分割成（n-2）个三角形。
n边形内角和等于（n-2）×180°。正多边形（每条边都相等 ，
每个内角都相等的多边形）的每个内角都等于（n-2）×180° n。
过n边形一个顶点有（n-3）条对角线，n边形共（n-3）×n 2条
对角线
16、圆：
(1) 平面上，一条线段绕着一个端点旋转一周，另
一个端点形成的图 形叫做圆。固定的端点O称为圆心，线段OA的
长称为半径的长（通常简称为半径）。
参考学习

. . .
(2) 圆上任意两点A、B间的部分叫做圆弧，简称弧，
读作“圆弧AB”或“弧AB”；
(3) 由一条弧AB和经过这条弧的端点的两条半径
OA、OB所组成的图形叫做扇形。
(4)
15、平行线：
在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。平行用符号“∥”
表示，如“AB∥CD”，读作“AB平行于CD”。
注意：
（1）平行线是无限延伸的，无论怎样延伸也不相交。
（2）当遇到线段、射线平行时，指的是线段、射线所在的直线平行。
16、平行线公理及其推论
平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平
行。
补充平行线的判定方法：
（1）平行于同一条直线的两直线平行。
（2）在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行。
（3）平行线的定义。
17、垂直：
两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫
做另 一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
直线AB，CD互相垂直，记作“AB⊥CD”（或“CD⊥ AB”)，读作“AB
垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）。
18、垂线的性质：
参考学习
顶点在圆心的角叫做圆心角。

. . .
性质1：平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
简称：垂线段最短。 19、点到直线的距离：过A点作l的垂线，垂足为B点，线段AB的
长度叫做点A到直线l的距离 。
20、同一平面内，两条直线的位置关系：相交或平行。

第五章 一元一次方程

备注：解方程在小学已经学了很多了，现在算是加深与拓展。比
如增 加了一元一次方程方程的概念、含绝对值方程。
主要在两个方面：
1、解方程，主要是化简 出现问题（去分母、去括号、移项变号等）
主要是粗心，知道怎么做不过老是会忘
2、方程运用题，重要是找等量关系列方程问题

1、方程
含有未知数的等式叫做方程。
2、方程的解
能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
3、等式的性质
（1）等式的两边同时加上（或减去）同一个代数式，所得结果仍是
等式。
（2）等式的两边同时乘以同一个数（（或除以同一个不为0的数），
所得结果仍是等式。
参考学习

. . .
4、一元一次方程
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元
一次方程。
5、移项：把方程中的某一项,改变符号后,从方程的一边移到另一边,
这种变形叫做移项.
6、解一元一次方程的一般步骤：
（1）去分母
（2）去括号
（3）移项（把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另
一边，这种变形叫移项。）
（4）合并同类项
（5）将未知数的系数化为1
6、列一元一次方程解应用题步骤：
找等量关系，设未知数，列方程，解方程，检验解的正确性，作
出回答。
7、找等量的方法：
（1）读题分析法:：多用于“和，差，倍，分问题”
仔细 读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，
是，共，合，为，完成，增加，减少，配 套-----”，利用这些关键字
列等量关系式。
（2）画图分析法：多用于“行程问题”
利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读
题，依照题意画出有关图形，使 图形各部分具有特定的含义，通过图
形找等量关系是解决问题的关键。
（3）常用公式也可作为等量关系
参考学习

. . .
8、列方程解应用题的常用公式：
（1）行程问题： 距离=速度×时间；
（2）工程问题： 工作量=工效×工时；
（3）比率问题： 部分=全体×比率；
（4）顺逆流问题： 顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=
静水速度-水流速度；
（5）商品价格问题：
售价=定价×折× ，售价=进价×（1+提高率），
利润=售价- 成本，利润=利润率×成本；
（6）本息和=本金+利息；利息=本金×利率×期数
（7）原量×（1+增长率）=现量； 原量×（1-下降率）=现量 （只
有1次增减）
（8）周长、面积、体积问题：
C圆=2πR； S圆=πR；
C长方形=2(a+b)； S长方形=ab；
C正方形=4a； S正方形=a；
S环形=π(R-r；
V长方体=abc ；V正方体=a； V圆柱=πRh； V圆锥
=
1
π
3
Rh。

第六章 数据的收集与整理

1、普查和抽样调查
（1）从事一个统计活动大致要经历确定任务，收集数据，整理数
据等过程。
参考学习
2
32
22)
2
2

. . .
我们经常通过调查、试验等方式获得数据信息。 项目很大时，
还可以通过查阅报纸、相关文献或上网的方式。
（2）为某一特定目的而对所有考察对象进行的全面调查叫做普
查。
所要考察的对象的全体称为总体。
组成总体的每一个考察对象称为个体。
（3）①总体的个数数目较多，普查的工作量较大；
②有时受客观条件的限制，无法对所有个体进行普查；
③有时调查具有破坏性，不允许普查。
人们往往从总体中抽取部分个体进行调查，这种调查称为抽样调
查。
抽样调查时，从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。
样本容量：样本含有个体的数目。
（4）随机调查，就是按机会均等的原则进行调查，即总体 中每
个个体被选中的可能性都相等。随机调查不是调查方法。
（5）抽样调查的优点是调查范 围小，节省时间、人力、物力和
财力。缺点是调查结果往往不如普查得到的结果准确。抽样时要注
意样本的代表性和广泛性（随机性，真实性）。
2、扇形统计图及其画法：
（1）扇形统 计图：利用圆与扇形来表示总体与部分的关系，即圆
代表总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部 分，扇形的大小反
映部分占总体的百分比的大小，这样的统计图叫做扇形统计图。
（2）画法：
①计算不同部分占总体的百分比：各项数量 总数 ×100%。（在
扇形中，每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度
参考学习

. . .
数与360的比圆心角度数 3600 ×100%）。
②计算各个扇形的圆心角（顶 点在圆心的角叫做圆心角）的度数。
圆心角度数=3600×百分比
③在圆中画出各个扇形，并标上百分比。
3、频数分布直方图
（1）频 数分布直方图是一种特殊的条形统计图，它将统计对
象的数据进行了分组，画在横轴上，纵轴表示各组的 频数。
如果样本中数据较多，数据的差也比较大时，频数分布
直方图能更清晰、更直观地反映数据的整体状况。
（2）频数分布直方图的制作步骤：
①找出所有数据中的最大值和最小值，并算出它们的差（极差）。
②决定组距和组数（组数： 把全体样本分成的组的个数称为
组数，当数据在50~100之间时，分组的数量在5－12之间较为适
宜； 组距：把所有数据分成若干个组，每个小组的两个端点的距
离〈注意分点归属问题〉。）
③确定分点
④列出频数分布表．
⑤画频数分布直方图．
（3）条形图和直方图的区别
①条形图是用条形的高度表示频数的大小，而直方图实际上是用长方形的面积表示频数，当长方形的宽相等的时候，把组距
看成“1”，用矩形的的高表示频数 ；
②条形图中，横轴上的数据是孤立的，是一个具体的数据，
而直方图中，横轴上的 数据是连续的，是一个范围；
③条形图中，各长方形之间有空隙，而直方图中，各长方形是靠
参考学习

. . .
在一起的，中间无空隙。
4、各种统计图的优缺点
①条形统计图：能清楚地表示出每个项目的具体数目。
②折线统计图：能清楚地反映事物的变化情况。
③扇形统计图：能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比。
为了较直观比较直观地表达两 个统计量的变化速度绘制折线
统计图时应注意纵、横坐标同一单位长度所表示的量一定要一致。
为了较直观地反映几个统计量之间的比例关系绘制条形统计图时
应注意纵轴从0开始。
欢迎您的光临，Word文档下载后可修改编辑双击可删除页眉页脚谢谢！希望您提出您宝贵的意见，你的意见 是我进步的动力。赠语；、如果我们做与不做都会有人笑，如果做不好与做得好还会有人笑，那么我们索性就做得 更好，来给人笑吧！、现在你不玩命的学，以后命玩你。、我不知道年少轻狂，我只知道胜者为王。、不要做金钱 、权利的奴隶；应学会做“金钱、权利”的主人。、什么时候离光明最近？那就是你觉得黑暗太黑的时候。、最值 得欣赏的风景，是自己奋斗的足迹。 7、压力不是有人比你努力，而是那些比你牛×几倍的人依然比你努力。


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