我最崇拜的名人-导师带徒总结

小学数学《计数问题》练习题（含答案）
知识点：1. 图形的计数.
2. 排列组合
3. 容斥原理



图形计数中常见的几类：
1、 数线段、三角形，（锐）角的个数.

① 我们可以按照线段的左端点的位置分为A，B，C三类.如下图所示，以A为左端点的线段有3条，
以B为左端点的线段有2条，以C为左端点的线段有1条.所以共有3＋2＋1＝6(条).

② 我们也可以按照一条线段是由几条小线段构成的来分类.如下图所示，AB，BC，CD是最基 本的小
线段，由一条线段构成的线段有3条，由两条小线段构成的线段有2条，由三条小线段构成的线段 有1
条.

数线段时线段的条数与图上的点存在一定的关系.例题中共有4个点，线 段的条数为3+2+1=6(条).
由此，我们可以推广到一般情况：如果图中有N个点，那么线段的总条数为：
(N-1)+(N-2)+(N-3)+…+3+2+1 即：
n(n1)

2

第一个图中三角形的个数是：3+2+1=6（个），第二个图中锐角的个数是： 4+3+2+1=10（个）
数三角形、数角的方法与数线段的的方法相似，所以计算线段总条数的公 式，同样也适用于数三角
形和数（锐）角.



2、数长方形的个数.

以BC为宽的长方形有5+4+3+2+1=15(个)( CD上有一条线段就有一个以BC为宽的长方形)；同理：以
AB、AC为宽的长方形有15个.共有长 方形15+15+15=45(个).
注意到在AC上有几条线段就有几个不同的宽： (5+4+3+2+1)×(2+1)=45(个)
由此，我们可以推广到一般情况：当一边上含有n 条基本线段，另一边上含有m条基本线段时，长方形
的总数为(n+…+3+2+1)×(m＋…+3+ 2+1)．

3、数正方形的个数.

图中共有正方形9×3+8×2+7×1=50(个)．
由此，我们可以推广到一般情况：如 果一个长方形的一条边被分成n等份，另一条边被分成m等份，且
长和宽上的每一份相等，那么这个长方 形中正方形的总数为：
nm+(n－1)(m－1)+(n－2)(m－2)+…+(n－m+1)×1(其中n≥m)．
如果长方形的两条边都相等，那么就成了一个正方形，如下图：

图中共有正方形4×4＋3×3＋2×2＋1=30（个）
由此我们可以得出：如果一个大正 方形的每条边都被分成n等份，那么这个大正方形中所有正方形
的总数为：
n
2+(n一1)
2
+(n一2)
2
+…+3
2
+2
2
+1
2
．

在数学竞赛和小升初的考试中，会出现一些比较复 杂的图形，这就需要我们根据图形的构成方法和
自身特点，选择适当的方法．常见的计数图形的方法有多 退少补法、分类法、列表法、转化法等．遇到
一些复杂的图形计数问题时，常常需要把几种方法结合起来 使用，下面我们就通过一些例题来进行分析.



【例1】 数一数图中有多少条线段?

仔细观察图2—1—2，不难发现其中一共有50个点，运用上面的公式易求线段的总条数．

【分析】图中共有线段：
49+48+47+46+…+3+2+1
=50×(50—1)÷2
=1225(条)
说明：如果要计数的线段是共线线段，只要数出其中共有几个点，就可以直接运用上面的公式求
出线段的 总条数．


【巩固】数一数，右图中共有线段_______条．

【分析】AG，AB中共有线段： (3+2+1)×2=12(条)

EF，CD，BC，AC中共有线段
(2+1)×4=12(条)
所以，总共有线段： 12+12=24(条)．


【例2】 分别数出图中每个图形中三角形的总个数？

【分析】仔细观 察图中的两个图形可以发现：每个三角形中，有两条边是由A点引出的，而第三条边是
BC或HI上的线 段，BC或HI上线段的条数就与三角形的个数一一对应了．于是数三角形个数的问
题可以转化为数线段 条数的问题．
先看图(1)，根据数线段的规律可知，BC边上共有(5+4+3 +2+1)=15条线段，也就是说图(1)中
有15个三角形．
再看图 (2)，它仅仅是在图(1)的基础上又画了一条割线所构成的；同样的道理，HI边上也有
15条线段 ，因此以HI边上的线段为第三边的三角形也有15个，所以图(2)中共有(15×2)=30个
三角 形．
解：(1)5+4+3+2+1=15(个)
(2)(5+4+3+2+1)×2=30(个)


【例3】 （北京市第七届“迎春杯”决赛试题）下图中共有____个正方形.


【分析】 这个图可以先看成是3个没有重叠的4×4正方形来数，然后再把重叠的部分2个2×2正方形
的个数减 掉.这就利用了多退少补的方法.
每个4×4正方形中有：
22
边长为1的正方形4个；边长为2的正方形3个；
22
边长为3的正方形2个；边长为4的正方形1个；
总共有
2222
4+3+2+1=30(个)
正方形．现有3个4 × 4的正方形，它们重叠部分是2个2 ×2的正方形．因此，图中正
方形的个数是30×3—5×2=80（个）

【例4】 （南京市第三届“兴趣杯”少年数学邀请赛试题）
数一数，右图中三角形共有______个．

【分析】 利用对称性，分情况计算．
类似于△ABH的三角形共有6个；
类似于△AGH的三角形共有6个；
类似于△ABJ的三角形共有12个；
类似于△ABC的三角形共有6个；
类似于△AEC的三角形共有2个．
于是，图中共有三角形6+6+12+6+2=32(个)．


【例5】 （第二届“华数杯”决赛试题）图中有多少个平行四边形?

【分析】这个题要用分类法来计数更合适，不妨把图1转变为图2来讨论．仔细观察和分析图2可以从< br>以下两个方面来对平行四边形分类：(1)平行四边形的方向，图中阴影部分图形代表三种基本平
行四边形，它们组成的平行四边形分别以A、B、C类表示．
(2)平行四边形所含基本平行四边形的个数．下面我们列表统计如下：

图中平行四边形的个数为：(6+6+2+1)×2+(5+4)=39(个)．
说明：在用分类法计 数图形时，如何合理地选择分类的标准是非常重要的；恰当地结合列表法
来统计，可以化繁为简，一目了 然．



1、关于排列

在实际生活中常遇到这样的 问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法．就
是排列问题．在排的过程中，不仅 与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关．
一般地，从n个不同的元素中任取出m个 （m≤n）元素，按照一定的顺序排成一列．叫做从n个不
同元素中取出m个元素的一个排列．

由排列的定义可以看出，两个排列相同，不仅要求这两个排列中 的元素完全相同，而且各元素的先
后顺序也一样．如果两个排列的元素不完全相同．或者各元素的排列顺 序不完全一样，则这就是两个不
同的排列．
从n个不同元素中取出m个（m≤n）元素的所有 排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素
m
p
n
m
p
n
n(n1)(n2)....(nm1)

共m个数
的排列数， 我们把它记做（m≤n），.其中
P
n
n
n!n(n1)... 1

2、关于组合

一般地，从n个不同元素中取出m个（m≤n）元素组 成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n个
不同元素中取出m个元素的一个组合.由组合的定义可以看 出，两个组合是否相同，只与这两个组合中的
元素有关，而与取到这些元素的先后顺序无关.只有当两个 组合中的元素不完全相同时，它们才是不同的
组合.
从
n
个不同元素中 取出
m
个元素（
m
≤
n
）的所有组合的个数，叫做从
n
个不同元素中取出
m
个不同
个数
64444
m
744448
n(n1)...(nm1)
m
元素的组合数.记作
C
n
这就是组合数公式.

m!


【例6】 （1）有4个同学一起去郊游，照相时，必须有一名同学给其他3人拍照，共可能有多少种拍 照
情况？（照相时3人站成一排）

【分析】 这是个排列问题.由于4人中必须有 一个人拍照，所以，每张照片只能有3人，可以看成有3
个位置由这3人来站．由于要选一人拍照，也就 是要从四个人中选3人照相，所以，问题就转
化成从四个人中选3人，排在3个位置中的排列问题．要计 算的是有多少种排法．由排列数公
式，共可能有：
种不同的拍照情况．
【巩固】由 4个不同的独唱节目和3个不同的合唱节目组成一台晚会，要求任意两个合唱节目不相邻，
开始和最后一 个节目必须是合唱，则这台晚会节目的编排方法共有多少种?
【分析】先排独唱节目，四个节目随意排，有
个节目，两个位置，对应

< br>（2）从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船.一天中火车有4班，汽车有
3 班，轮船有2班.问：一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同走法？

【分 析】这是组合问题.一天中乘坐火车有4种走法，乘坐汽车有3种走法，乘坐轮船有2种走法，所以
一天 中从甲地到乙地共有：4＋3＋2=9（种）不同走法.

P
4
4
=24种排法；其次在独唱节目的首尾排合唱节目，有三
P
3
2
=6种排法 ；再在独唱节目之问的3个位置中排一个合唱节目，有3
种排法，由乘法原理，一共有24×6×3=4 32种不同的编排方法．

【例7】 某校举行男生乒乓球比赛，比赛分成3个阶段进行，第1阶段：将参加比赛的48名选手分成
8个小组，每组6人，分别进行单循环赛；第二阶段：将8个小组产生的前2名共16人再分成
4个小组，每组4人，分别进行单循环赛；第3阶段：由4个小组产生的4个第1名进行2场
半决赛和2 场决赛，确定1到4名的名次．问：整个赛程一共需要进行多少场比赛?

【分析】第l阶段 中，每个小组内部的6个人每2人要赛一场，组内赛
C
6
=15场，共8个小组，有
15×8=120场；第2阶段中，每个小组内部4人中每2人赛一场，组内赛
C
4< br>=6场，共4个小组，
有6×4=24场；第3阶段赛2+2=4场．根据加法原理，整个赛程一 共有120+24+4=148场比赛．


【例8】 从8名候选人中选出正、副班长各1人，再选出3名班委会成员．一共有多少种不同的选法?

【分析】先选正、副班长，分别有8种和7种选法．再从剩下的6人中选出3人，有
C
6=20种选法．由
乘法原理，共有8×7×20=1120种不同的选法．

【例9】 如下图，一只小甲虫要从A点出发沿着线段爬到B点，要求任何点和线段不可重复经过．问：
这只甲虫有多少种不同的走法？
3
2
2

【分析】 从 A点到B点有两类走法，一类是从A点先经过C点到B点，一类是从A点先经过D点到B点．两
类中的每 一种具体走法都要分两步完成，所以每一类中，都要用乘法原理，而最后计算从A到B
的全部走法时，只 要用加法原理求和即可．
解：从A点先经过C到B点共有：1×3=3（种）不同的走法．
从A点先经过D到B点共有：2×3=6（种）不同的走法．

所以，从A点到B点共有：3+6=9（种）不同的走法．



同学们对这个题目可能很陌生，为了搞清楚什么是“容斥原理”，大家先一起回答两个问题：

2
(1) 如右图（1），两个面积都是4厘米的正方形摆在桌面
2
上，它们 遮盖住桌面的面积是8厘米吗？

(2) 如右图（2），一个正方形每条边上有6个点，四条边上
一共有24个点吗？

聪明的同学马上就会发现：

2
(1) 两个正方形的面积和是8厘米，现在它们有一部分重叠了.因此盖住桌面的面积应当从两个正

方形的面积和中减去重叠的这部分面积，所以盖住桌面的面积应少于8厘米.

(2) 四个角上的点每个点都在两条边上，因此被重复计算了，在求四条边上共有多少点时 ，应当减
去重复计算的点，所以共有 6×4-4＝20(个)点.

这两个问题， 在计算时，都采用了“去掉”重复的数值(面积或个数)的方法.当需要计数的两类事物
互相包含（有部 分重复交叉）时，应把重复计数的部分排除掉.
2

在一些计数问题中，经常遇到有 关集合元素个数的计算.我们用|A|表示有限集A的元素个数.求两个
集合并集的元素的个数，不能简 单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复
计算的元素个数，即减去交集的元 素个数，

用式子可表示成：
|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|，

我们称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理.
图示如右:A表示小圆部分， B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，
记为：
A∩B，
即阴影面积.

包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A、B的并集A∪B的元素的个数，可分以下两步进行：

第一步：分别计算集合A、B的元素个数，然后加起来，即先求|A|+|B|（意思是把A 、B的一切元素
都“包含”进来，加在一起）；

第二步：从上面的和中减去交集的 元素个数，即减去C=|A∩B|（意思是“排除”了重复计算的元素
个数）.






【例10】 某班45个学生参加期末考试，成绩公布后， 数学得满分的有10人，数学及语文均得满分
的有3人，这两科都没有得满分的有29人，那么语文成绩 得满分的有多少人？

【分析】 数学或语文至少有一科得满分的有45 - 29=16 人，这16个人中数学得满分的有10人，那么
数学没有得满分的有6人，这些人必定是语文得了满分， 又知有3人两科均得满分，则语文得
满分的一共有6+3=9人.


【例11】 求在1～100的自然数中不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？

【分析】“既不是5的倍数也不是6的倍数”的反面情况就是“是5的倍数或者是6的倍数”.
记A：1～100中5的倍数，
100520
，有20个；
B：1～100中6的倍数，
1006164
，有16个；
AB
：1~100中5和6的公倍数，即30的倍数，
10030310
，有3个 .
依据公式，1~100中5的倍数或6的倍数共有
2016333
个，则既 不是5的倍数也不是6

的倍数的数有
1003367
个.


【例12】 学而思画展上展出了许多幅画，其中有16幅画不是六年级的，有15幅画不是五年级的.
现在知道五、 六年级共有25幅画，那么其他年级的画共有多少幅？

【分析】不是六年级的画中包括五年 级的画，同样不是五年级的画中也包括了六年级的画，又16比15
大1，说明五年级比六年级多1幅， 又知两个年级共有25幅画，则五年级的画有
(251)213
幅，因此其他年级的画有
16133
幅.


【例13】 某校五年级共有110人， 参加语文、英语、数学三科活动小组，每人至少参加一组.已知参
加语文小组的有52人，只参加语文小 组的有16人；参加英语小组的有61人，只参加英语小组
的有15人；参加数学小组的有63人，只参 加数学小组的有21人.那么三组都参加的有多少人？

【分析】设参加语文小组的人组成集 合为A，参加英语小组的人组成集合为B，参加数学小组的人组成集
合为C.
B
英
语
C
数
学
A
语
文

那么不只参加一种小组的人有：110－16－15－21＝58，为|A∩B|+|B∩C|+|A∩ C|+|A∩B∩C|；
不只参加语文小组的人有：52－16＝36，为|A∩B|+|A∩C|+|A∩B∩C|；
不只参加英语小组的人有：61－15＝46，为|A∩B|+|B∩C|+|A∩B∩C|；
不只参加数学小组的人有：63－21＝42，为|B∩C|+|A∩C|+|A∩B∩C|；
于是，三组都参加的人|A∩B∩C|有36+46+42－2×58＝8人.


【附1】数一数，右图中共有多少条线段？


【分析】数线段要分类数：我把它分成两大类：“个人”和“集体”.
“个人”：5条 ；“集体”：3+2+1=6 （条）；共5个这样的集体，
所以共5×（3+2+1）+5=35（条）.


【附2】（第六届迎春 杯决赛）用三根等长的火柴可以摆成一个等边三角形．用
这样的等边三角形如图所示，拼合成一个大的等 边三角形．如果这个大的
等边三角形的底为20根火柴长，那么一共要多少根火柴？

【分析】注意引导学生用“分层数的思路”.把大的等边三角形分为20“层”分别
计算火柴的根数： 最上一“层”只用了3根火柴；从上向下数第二层用了
3×2=6根火柴；从上向下数第三层用了3×3 =9根火柴；…… 从上向下数

第20层用了3×20=60根 火柴．所以，总共要用火柴：3×(1+2+3+…+20)=630(根)．


【附3】（北京市第六届“迎春杯”决赛）如图是中国象棋盘，如果双方准备各放一
个棋子，要求它们不 在同一行，也不在同一列，那么总共有____种不同的
放置方法．

【分析】设甲 方先放棋子，乙方后放棋子．那么甲方可以把棋子放在棋盘的任意位
置，故甲方有10×9=90种不同 的放置方法．对应甲方的第一种放法，乙方
按规定必须去掉甲方棋子所在的行与列，而放置在剩下的任意 位置，所以乙方有9×8=72
种不同的放置方法．因此，总共有72×90=6480种不同的放置方法．

< br>【附4】有100位旅客，其中有10人既不懂英语又不懂俄语，有75人懂英语，83人懂俄语.问既懂 英语
又懂俄语的有多少人？

【分析】法1 ：在100人中懂英语或俄语的有：100-10=90（人）.
又因为有75人懂英语，所以只懂俄语的有：90-75=15（人）.
从83位懂俄语的旅 客中除去只懂俄语的人，剩下的83-15=68（人）就是既懂英语又懂俄语的
旅客.
法2 ：学会把公式进行适当得变换，由容斥原理，得：|A∩B|=|A|+|B|-|A∪B|=75+83-90 =68
（人）.

【附5】三年级科技活动组共有63人.在一次剪贴汽车模型和装 配飞机模型的定时科技活动比赛中，老
师到时清点发现：剪贴好一辆汽车模型的同学有42人，装配好一 架飞机模型的同学有34人.
每个同学都至少完成了一项活动.问：同时完成这两项活动的同学有多少人 ？

【分析】因42＋34＝76，76＞63，所以必有人同时完成了这两项活动.由于每 个同学都至少完成
了一项活动，根据包含排除法知，42＋34-(完成了两项活动的人数)=全组人数，即
76-(完成了两项活动的人数)＝63.
由减法运算法则知，完成两项活动的人数为76-63＝13(人).也可画图分析.





1. 如右图，数数有多少个三角形？

【分析】法1：常规方法（分类数），
第一类（含1个基本三角形，最小的）：1+3+5= 9（个）；第二类（含4
个基本三角形，次大的）：3个；第三类（含9个基本三角形，最大的）：1个.
法2：我们可以换个角度分层，将右图从上到下分成最基本的3层，第
一层有1个 小三角，第一层有3个小三角，第一层有5个小三角，第一层+第二层有1个较大的
三角形，第二层+第 三层有2个较大的三角形，第一层+第二层+第三层有最大的一个三角形，所
以共：1+3+5+1+2 +1=13（个）三角形.在数的过程中注意可将三角形分成尖朝上和朝下两类.

2. （第十一届迎春杯决赛）如图是由18个大小相 同的小正三角形拼成的四边
形．其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大的正三角形若干个．那么
图中包含“*”号的大、小正三角形一共有多少个？

【分析】分三类进行计数(设小正三 角形边长为1)包含*的三角形中，边长为1
的正三角形有1个；边长为2的正三角形有4个；边长为3 的正三角形有1个；因
此，图中包含“*”的所有大、小正三角形一共有：1+4+1=6(个)．


3. 从8名候选人中选出正、副班长各1人，再选出3名班委会成员．一共有多少种不同的选法?

【分析】先选正、副班长，分别有8种和7种选法．再从剩下的6人中选出3人，有
C
6=20种选法．由
乘法原理，共有8×7×20=1120种不同的选法．


4. 某班要在42名同学中选出3名同学去参加夏令营，问共有多少种选法？如果在42人中选3人站 成一
排，有多少种站法？

分析 由组合数公式，共有
3

3
＝42×41×40＝68880
p
42

种不同的选法；由排列数公式，共有

种不同的站法.


5. 幼儿园有58人学钢琴，43人学画画，37人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学 画画的分别有多少
人？

【分析】A圆表示学画画的人，B圆表示学钢琴的人，C表 示既学钢琴又学画画的人，
图中A圆不含阴影的部分表示只学画画的人：43-37=6，图中B圆不含 阴影
的部分表示只学钢琴的人：58-37=21.

6. 一班有45人，其中2 6人参加了数学竞赛，22人参加了作文比赛，12人两项比赛都参加了.一班有多
少人两项比赛都没有 参加？

【分析】45-(26＋22-12)=9(人).