小学数学应用题分类练习题
复活节礼物-生活处处有语文
小学数学典型应用题
第一部分是已知条件（简称条件）.第二部分是所求问题（简称问题）
归一问题（照这样计算的问题）：
【解题思路】先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量
例1、买5支铅笔要5元钱.买同样的铅笔16支.需要多少钱？
【数量关系】
总量÷份数＝1份数量； ???
（1）买1支铅笔多少钱？
总量÷1份数量＝份数；
?? （2）买16支铅笔需要多少钱？
1份数量×所占份数＝所求几份的总量
例2.
3台拖拉机3天耕地90公顷.照这样计算.5台拖拉机6 天耕地多少公顷？
（1）1台拖拉机1天耕地多少公顷？
? ?（2）5台拖拉机6天耕地多少公顷？
例3.
5辆汽车4次可以运送100吨钢材.如果用同样的7辆汽车运送105吨钢材.需要运几次？
（1）1辆汽车1次能运多少吨钢材？
???
（2）7辆汽车1次能运多少吨钢材？
???
（3）105吨钢材7辆汽车需要运几次？
练一练：
1、一个人骑自行车3小时行36千米.从家到达目的地共有48千米。需要几小时？
2、用火车运一批钢材.28节车厢共运840吨.照这样计算.50节车厢可运钢材多少吨？
3.一台拖拉机4小时耕地480公亩.照这样计算.12小时可耕地多少公亩？
4、3台织布机4小时织布336米.照这样计算.1台织布机8小时织布多少米？
5、有4台造纸机15分钟生产了16200米纸.照这样计算.3台造纸机2小时可生产多少米纸？
6、15头牛4天吃了1260千克草.照这样计算.30头牛10天吃草多少千克？
7、2
两辆汽车行驶300千米需要汽油240公升.照这样计算.现有5辆汽车同时运货到相距800千米的地方.需
要多
少公升汽油？???
8、5台拖拉机24天耕地12000公亩.要18天耕完5400
0公亩土地.需要增加同样拖拉机多少台？
9、一辆汽车.3?小时支货物18吨.照这样计算.这辆
汽车从上午8时开始运货.一直到下午5时.共运货多少吨？???
10、一辆卡车用35千克汽油可以行驶175千米.照这样计算.行驶700千米要用多少千克的汽油
11、一辆汽车从甲地开往乙地.4小时行了240千米.用同样的速度.一共行了9小时到达乙.甲乙
两相距多少千
米？???
12、4辆汽车5小时共运土石400方.现有10辆同样的汽车.要运1000方土石.需几次？
13、服装厂承做一批服装.30个人每天工作9小时.40天可完成.后来调走5人.
如果要提前4天完成任务.求每天应工作几小时？
倍比问题（倍比法是归一法的特殊形式）
【含义】有两个已知的同类量，其中一个量是另一个量的若干倍
例1
.100千克油菜籽可以榨油40千克.现在有油菜籽3700千克.可以榨油多少？
【解题思路】
先求出倍数，再用倍比关系求出要求的数。
例2.今年植树节这天.某小学300名师生共植树400
棵.照这样计算.全县48000名师生共植树多少棵？
【数量关系】?总量÷一个数量＝倍数 例3.凤翔县今年苹果大丰收.田家庄一户人家4亩果园收入11111元.照这样计算.全乡800亩果园
共收入多少元？
???????????? ?另一个数量×倍数＝另一总量
全县16000亩果园共收入多少元？
练一练：
1、
一辆汽车3小时行驶125千米.照这样的速度.6小时可以行驶多少千米？
2、
教室里2行桌子12张.同样排列4行桌子.应是多少张？（用两种方法计算）
3、
买15本练习册需6元钱.要买45本这样的练习册.需用多少元？
4、
某村3天收割小麦35公墓.照这样计算.收割140公亩小麦要用多少天？
5、
30千克杏子可以晒杏干10千克.某加工厂要把1650千克杏字晒干.一共可以晒的多少千克杏干？
6、 播种8公亩玉米需要15千克种子.要播种玉米264公亩.需要玉米种子多少千克？
7、 平均每铺3米长的铁路用枕木5根.照这样计算.铺设1800米的铁路.要用枕木多少根？
8、 每50千克籽棉可轧成皮棉17千克.王庄去年收籽棉2100千克.可轧皮棉多少千克？
9、 某地产的铁矿石.每10千克含铁6千克.现需铁2700千克.需开采这种铁矿石多少千克？
10、甲乙两地相距2000千米.一架飞机从甲地飞往乙地.2小时飞行了500千米.照这样的速度
.还要几小时飞到乙
地？
11、用火车运一批钢材.4节车厢可以装运150吨.16节车厢
可以装运多少吨钢材？如果要装运钢材1050吨.需要多
少节这样的车厢？
12、冲压车间
要生产一批零件.3小时生产了200个.还有400个没完成.照这样计算.完成任务一共要多少小时？
13、一件工程.如果用16个工人去做.6天可以完成.现在用24个工人去做.几天完成？
14、9千克锦纶丝可以加工成8千克锦纶线.现在有360千克锦纶丝.可以加工成多少锦纶线？如果要加工
成360千
克锦纶线.那么需要多少千克锦纶丝？
15、红星机器厂要加工1920个零件.
8天加工了320个.照这样计算.其余的还要多少天才能完成？
归总问题
【解题思路】?先求出总数量，再根据题意得出所求的数量。
例1、服装厂原来做一套衣服用布3.2米.改进裁剪方法后.每套衣服用布2.8米。
原来做791套衣服的布.现在可以做多少套？
【数量关系】 1份数量×份数＝总量；
总量÷1份数量＝份数； ? 总量÷另一份数＝另一份数量
（1）这批布总共有多少米？
???
（2）现在可以做多少套？
例2、小华每天读24页书.12天读完了《红岩
》一书。小明每天读36页书.几天可以读完《红岩》？
（1）《红岩》这本书总共多少页？
（2）小明几天可以读完《红岩》？
例3、食堂运来一批蔬菜.原计划每天吃50千克.30天慢慢消费完这批蔬菜。
后来根据大家的意见.每天比原计划多吃10千克.这批蔬菜可以吃多少天？
（1）这批蔬菜共有多少千克？
（2）这批蔬菜可以吃多少天？
例4、全班同学平均站成6排.每排正好8人。如果站成4排.平均每排站多少人？
（1）全班共有多少人？
（2）站成4排.平均每排站多少人？
例5、小华从家到学校每分钟步行50米.走了8分钟.因把笔忘在家中又从学校跑回家.
每分钟跑80米.需几分钟才能回家？
（1）小华离家多远？
（2）小华跑回家需要几分钟？
练一练：
1、幼儿园给40个小朋友分
苹果.每人分6个正好分完.如果每人分4个苹果.可以分给多少个小朋友？
2、
2、小红看一本书.每天看8页.需要15天看完。如果要提前5天看完.平均每天应看多少页？
3、搬运一堆红砖.小冬一次搬5块.要16次才能搬完.如果小冬每次多搬3块.几次就可搬完？
4、一项工程.8个人工作15时可以完成.如果12个人工作.那么多少小时可以完成？
5
、一辆汽车从甲地开往乙地.每小时行60千米.5时到达。若要4时到达.则每小时需要多行多少千米？
6、修一条公路.原计划60人工作.80天完成。现在工作20天后.又增加了30人.这
样剩下的部分再用多少天可以完
成？
7、平整一块土地.原计划7人平整.每天工作8时.8
天可以完成任务。由于急需播种.要求4天完成.并且增加1人。
问：每天要工作几小时？
8
、小华到文具店买笔.原计划按每支4元钱.可以买48支.结果笔的价格下调了.他用这笔钱多买了支16支.
问笔的
价格下调后每支多少元？
9、锅炉房按照每天5吨的用量储备了120天的供暖煤。供
暖40天后.由于进行了技术改造.每天能节约1吨煤。问：
这些煤共可以供暖多少天？
10
、玩具厂生产一批电动智力玩具。原计划每天生产120箱.28天可以完成任务；实际每天多生产了20箱.这
样可
以提前几天完成任务？
11、要修一条公路.原计划每天修450米.80天完成。现在
要求提前20天完成.平均每天应多修多少米？
12.??农具厂生产一批农具.原计划每天生产12
0件.28天可以完成任务.实际每天多生产了20件.这样可以提前几天
完成任务？
13.
??面粉厂用汽车装运一批面粉.原计划用每辆装24袋的汽车9辆15次可以运完.现在改用每辆装30袋的汽
车6
辆来运.几次可以运完？
14.??修一条公路.原计划每天工作7.5小时.8个人6
天可以修完.实际增加了2个工人.准备4天完成.这样每天要
工作几小时？
和差问题
【含义】?已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少，这类应用题叫和差问题。
例1 甲乙两班共有学生98人.甲班比乙班多6人.求两班各有多少人？
【解题思路】简单的题目可以直接套用公式；复杂的题目变通后再用公式。
例2
长方形的长和宽之和为18厘米.长比宽多2厘米.求长方形的面积。
【数量关系】?大数＝（和＋差）÷ 2????????
例3 有甲乙丙三袋化肥.
小数＝（和－差）÷
甲乙两袋共重32千克.乙丙两袋共重30千克.甲丙两袋共重22千克.求三袋
化肥各重多少
?????? 2
千克。
例4 甲乙两车原来
共装苹果97筐.从甲车取下14筐放到乙车上.结果甲车比乙车还多3筐.两车原来各装苹果多少
筐？
练一练：
1. 学校有排球、足球共50个.排球比足球多4个.排球、足球各多少个？
2. 小诺沿长与宽相差30米的游泳池跑了5圈.做下水前的准备活动。已知小诺共跑了7
00米.问：游泳池的长和宽
各是多少米？
3. 《红楼梦》分上、中、下三册.全书共10
8元。上册比中册贵11元.下册比中册便宜5元。上、中、下三册各是
多少元？
4. 甲、
乙两筐苹果共64千克.从甲筐里取出5千克放到乙筐里去.结果甲筐的苹果比乙筐的苹果还多2千克。甲、乙两筐原有苹果各多少千克？
5．学校食堂共有三种蔬菜.其中黄瓜、番茄共重50千
克.青菜、黄瓜共重70千克.青菜、番茄共重60千克。这三
种蔬菜各有多少千克？
6、甲
、乙两箱共有水果50千克.若从甲箱中取6千克放到乙箱中.这时两箱一样重.甲乙原有各多少千克？
7、某工厂将875元奖金分别给创造发明的三名优秀工人。第一名比第二名多得250元.第二名比第三名多
得125元.
三名优秀工人各得多少元？
8、有一块长方形菜地.它的周长是76米.长比宽多8米.这块长方形菜地的长、宽各是多少米？ <
br>9、爸爸买回算术本语文本共30本.已知算术本比语文本多4本.问爸爸买回的算术本和语文本各有多少
本？
10、甲筐里有桃30千克.乙筐里装的杏。如果从乙筐里取出12千克杏.桃就比杏多10千克
。问乙筐里原来有杏多
少千克？
11、A、B、C之和是65.A比B大5.B比C大9.A、B、C各是多少？
12、四个
数中A
13、小丽和小明在一次考试中一共考了178分.小
丽再考4分就和小明的分数一样了.那么两人各考了多少分
14、如果把被减数.减数.差相加得40.那么被减数是多少
15、如果甲加乙等于35.
乙加丙等于46.甲加丙等于59.那么.甲加乙加丙等于多少？甲又等于多少？
16、两个水桶共盛
水50千克。如果把第一桶里的水倒出6千克.两个水桶中的水就一样多了.第一桶原盛水多少千
克 <
br>17、甲、乙两人共有100元钱.如果甲取出12元给乙.甲还比乙多6元.求甲、乙两人原来各有多少
元钱
和倍问题
例1
果园里有杏树和桃树共248棵.桃树的棵数是杏树的3倍.求杏树、桃树各多少棵？
【含义】?已知两个数的和及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少
例2 东西两个仓库共存粮吨.东库存粮数是西库存粮数的1.4倍.求两库各存粮多少吨？
【数量关系】总和
480
÷（几倍＋1）＝较小的数
例3
甲站原有车52辆.乙站原有车32辆.若每天从甲站开往乙站
?????????????
总和 － 较小的数 ＝ 较大的数
28辆.从乙站开往甲站24辆.几天后乙站车辆数是
甲
站的
?????????????
2倍？
较小的数 ×几倍 ＝
较大的数
例4 甲乙丙三数之和是170.乙比甲的2倍少4.丙比甲的3倍多6.求三数各是多少？
练一练：
1、服装厂有工人156人.其中女工人数是男工人数的3倍.求有男工、女工各多少人？
2、两筐鸭梨共重154千克.其中第一筐比第二筐的2倍少14千克.求两筐鸭梨各有多少千克？ <
br>3、有两筐苹果共重78千克.如果从甲筐中取出14千克放入乙筐.则此时甲筐重量是乙筐的2倍.求两
筐原来各有多
少千克？
4、有甲乙两个蓄水池.甲池中的水3000立方米.乙池中有水12
00立方米.现从甲池中往乙池引水.流速为每分钟50
立方米.多少分钟后乙池内的蓄水量是甲池水量
的2倍？
5、甲桶里有油470千克.乙桶里有油190千克.甲桶的油倒入乙桶多少千克.才能使甲
桶油是乙桶油的2倍？
6、有3条绳子.共长95米.第一条比第二条长7米.第二条比第三条长8米
.问3条绳子各长多少米？
10、两个数相除商6余5.被除数与商的和是225.求被除数和除数
11、姐姐和妹妹共做了340朵小红花.后来姐姐把她做的红花送给了小明30
朵.妹妹自己又做了20朵.这时姐姐做
的小红花是妹妹的5倍。问原来姐姐.妹妹各做了多少朵红花？
12、一根电线长240米.把它截成三段.使第一段比第
二段长20米.第三段长是第一段的2倍。这三段电线各长多少
米？
13、 A,B,C三个停车场.A停车场的汽车比B停车场的汽车2倍多1辆.C停车场的汽车比A停
车场的汽车多2倍.
已知A,B,C三个停车场共停汽车121辆.求A,B,C三个停车场各停汽车多
少辆？
14、小红和小明都爱画画.两人各有若干枝水彩
笔。如果小红给小明8枝.小明的水彩笔是小红的3倍。如果小明给
小红8枝.则两人的水彩笔一样多。
小红和小明原来各有多少枝水彩笔？
15
、甲乙丙三人的平均年龄是42岁.若将甲的岁数增加7岁.已的岁数扩大2倍.丙的岁数缩小2倍.则三人岁数
相
等.那么丙的年龄为多少岁？
16、王亮期中
考试语文语文和数学的平均分时94分.数学没考好.语文比数学多8分。问王亮的语文数学各得了多
少
分？
17、 甲乙丙丁四个数之和为45.若将甲数加上2.乙数减
去2..丙数乘以2.丁数除以2.则四个数恰好相等.求这四个
数各是多少？
18、 父亲今年47岁.徐红今年11岁.问几年前父亲的年龄是徐红年龄的5倍？
19、
把一个减法算式里的被减数.减数与差相加.得数是592.已知减数比差的2倍还大2.问减数是多少？
差倍问题
【含义】?已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少
例1 果园里桃树的棵数是杏树的3倍.而且桃树比杏树多124棵。求杏树、桃树各多少棵？
【数量关系】两个数的差÷（几倍－1）＝较小的数
例2
爸爸比儿子大27岁.今年.爸爸的年龄是儿子年龄的4倍.求父子二人今年各是多少岁？
???????????? ?较小的数×几倍＝较大的数
例3 商场改革经营管
理办法后.本月盈利比上月盈利的2倍还多12万元.又知本月盈利比上月盈利多30万元.求这
两个月
盈利各是多少万元？
例4
粮库有94吨小麦和138吨玉米.如果每天运出小麦和玉米各是9吨.问几天后剩下的玉米是小麦的3倍？
练一练：
1.有甲乙两筐苹果.甲筐苹果重15千克.乙筐苹果比甲筐的3倍多5千克.乙筐苹果重多少千克？
2.卡卡和笑笑在操场上练习跑步.一段时间过后.笑笑跑的距离比卡卡的3倍还多80米.如果卡卡比
笑笑少跑了500
米.那么卡卡和笑笑一共跑了多少米？
3.小米在玩具店看中了两件汽车模
型.如果两件都买.一共需要400元.已知这两件模型相差60元.这两件模型各需
要多少钱？ 4.甲乙两位火炬手负责把火炬从A地传递到B地.先由甲从A地出发.并在途中将火炬传递给乙.乙接过火
炬后继续
慢跑前往B地。已知A、B两地相距2400米.并且甲比乙多跑了600米。请问：甲跑了多
少米？
5.纺织厂有职工480人.其中女职工人数是男职工人数的3倍。请问：男、女职工各多少人？
6.果园中梨树和苹果树共有67棵.梨树比苹果树的2倍少2棵.苹果树有多少棵？
7.学
校合唱队成员中.女生人数是男生的3倍.而且女生比男生多80人。合唱队里男生和女生各是多少人？
8.有两款数码相机.一款是高档专业相机.一款是普通家用相机。家用相机价格较低.比专业相机便宜了46
00元.买1
台专业相机的钱足够买4台家用相机.而且还能剩下100元。请问：专业相机的价格是多
少钱？
9.亚洲杯决赛中.中国记者的人数是外国记者人数的3倍。比赛结束后中国记者有180人离
场.外国记者有40人离
场.剩下的中、外记者人数相等。原来中、外记者各有多少人？
10
.甲、乙两筐苹果重量相等.现在从甲筐拿出12千克苹果放入乙筐.结果乙筐苹果的重量比甲筐的3倍少2千克
.
两筐苹果原来各有多少千克？
11.育才小学三年级有3个班.一共有学生126人。如果
一班比二班多4人.二班比三班多4人.那么这三个班分别有
多少人？
12.
三堆糖果共有105颗.其中第一堆糖果的数量是第二堆的3倍.而第三堆糖果的数量又比第二堆的2倍少3颗。
第三堆糖果有多少颗？
13.两个自然数相除.商实4.除数是1.如果被除数、除数、商以
及余数的和是56.那么被除数等于多少？
14.张先生投资股票.2006年和2007年一共盈利
40万元.其中2006年比2007年少盈利14万元.张先生2007年盈利
多少万元？
15.登月行动地面控制室的成员有两组人组成。两组共有125名.原来第一组人数较多.所以第一组调了20
名到第二
组.即使这样第一组人数仍比第二组多5名。原来第一组有多少名？
年龄问题
【含义】两人的年龄差不变，但是，两人年龄之间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化。
例1 爸爸今年35岁.亮亮今年5岁.今年爸爸的年龄是亮亮的几倍？明年呢？
例2 母亲
今年
“年龄差不变”
37岁.女儿今年7岁.几年后母亲的年龄是女儿的4倍？
【数量
关系】、两个数的差÷（几倍－1）＝较小的数
例3
3年前父子的年龄和是49岁.今年父亲的年龄是儿子年龄的4倍.父子今年各多少岁？
【解题思路和方法】?可以利用“差倍问题”的解题思路和方法。
例4 甲对乙说：“当我的
岁数曾经是你现在的岁数时.你才4岁”。乙对甲说：“当我的岁数将来是你现在的岁数时.
你将61岁
”。求甲乙现在的岁数各是多少？（可用方程解）
1．父亲今年32岁.儿子今年6岁.几年后父亲的年龄是儿子年龄的3倍？
2．小明长到哥
哥现在的年龄时.哥哥28岁.当哥哥的年龄与小明现在的年龄相同时.小明16岁.兄弟俩今年各多少
岁？
3．王强比他爸爸小36岁.父亲的年龄是王强年龄的7倍。父子俩今年各多少岁？
4．今年父亲50岁.女儿14岁.几年前.父亲的年龄是女儿的5倍？
5．哥哥的年龄是弟弟年龄的5倍.22年后.哥哥年龄比弟弟的2倍少16?岁。他们现在各多少岁？
6．今年哥哥与弟弟年龄的和是55岁.当哥哥的年龄等于现在弟弟的年龄时.哥哥的年龄是当时弟弟年
龄的2倍.哥
哥现在多少岁？
7．爷爷与孙子的年龄和是83岁.4年后爷爷的年龄是孙子年龄的6倍。爷爷现在多少岁？
8．甲乙丙三人的年龄和是100岁.甲的年龄除以乙的年龄.丙的年龄除以甲的年龄.商都是5.余数都是1。
求乙的年
龄是多少？
9．现在哥哥的年龄是弟弟年龄的3倍.但4年前哥哥的年龄等于6年后弟弟的年龄。兄弟俩各多少岁？
10．今年祖父的年龄是小明年龄的6倍.几年后.祖父的年龄将是小明年龄的5倍；又过几年以后.祖
父的年龄将是
小明年龄的4倍。祖父今年多少岁？
1．儿子今年10岁.5年前母亲的年龄是他的6倍.母亲今年多少岁？
2．今年爸爸48岁.儿子20岁.几年前爸爸的年龄是儿子的5倍？
3．父亲年龄是女儿的4倍.三年前父女年龄之和是49岁。问：父女两人现在各多少岁？
4．父亲比儿子大30岁.明年父亲的年龄是儿子年龄的3倍.那么今年儿子几岁
5．兄弟二人的年龄相差5岁.兄3年后的年龄为弟4年前的3倍。问：兄、弟二人今年各多少岁？
6．今年兄弟二人年龄之和为55岁.哥哥某一年的岁数与弟弟今年的岁数相同.那一年哥哥
的岁数恰好是弟弟岁数的
2倍.请问哥哥今年多少岁？
7．哥哥5年前的年龄与
妹妹4年后的年龄相等.哥哥2年后的年龄与妹妹8年后的年龄和为97岁.请问二人今年各
多少岁？
8．1994年父亲的年龄是哥哥和弟弟年龄之和的4倍。2000年.父亲的年龄是哥哥和
弟弟年龄之和的2倍。问：父
亲出生在哪一年？
9．今年父亲的年龄为儿子的年龄
的4倍.20年后父亲的年龄为儿子的年龄的2倍。问：父子今年各多少岁？
10．今年爷爷78岁.长孙27岁.次孙23岁.三孙16岁。问：几年后爷爷的年龄等于三个孙子年龄之和
？
11．王梅比舅舅小19岁.舅舅的年龄比王梅年龄的3倍多1岁。问：他们二人各几岁？
12．小明今年9岁.父亲39岁.再过多少年父亲的年龄正好是小明年龄的2倍？
13．一
家三口人.三人年龄之和是74岁.妈妈比爸爸小2岁.妈妈的年龄是儿子年龄的4倍。问：三人各是多少岁？
14．今年老师46岁.学生16岁.几年后老师年龄的2倍与学生年龄的5倍相等？ 15．已知祖孙三人.祖父和父亲年龄的差与父亲和孙子年龄的差相同.祖父和孙子年龄之和为82岁.明年
祖父的年龄
恰好等于孙子年龄的5倍。问：祖孙三人各多少岁？
16．小乐问刘老师今年有多
少岁.刘老师说：“当我像你这么大时.你才3岁；当你像我这么大时.我已经42岁了。”
你能算出刘
老师有多少岁吗？
17．父亲比儿子大30岁.明年父亲的年龄是儿子年龄的3倍.那么今年儿子几岁？
18．王梅比舅舅小19岁.舅舅的年龄比王梅年龄的3倍多1岁。问：他们二人各几岁？
19．小明今年9岁.父亲39岁.再过多少年父亲的年龄正好是小明年龄的2倍？
20．父亲年龄是女儿的4倍.三年前父女年龄之和是49岁。问：父女两人现在各多少岁？
21．一家三口人.三人年龄之和是74岁.妈妈比爸爸小2岁.妈妈的年龄是儿子年龄的4倍。问：三人各是多
少岁？
22．今年老师46岁.学生16岁.几年后老师年龄的2倍与学生年龄的5倍相等？
23．已知祖孙三人.祖父和父亲年龄的差与父亲和孙子年龄的差相同.祖父和孙子年龄之和为82岁.明年祖
父的年龄
恰好等于孙子年龄的5倍。问：祖孙三人各多少岁？
24．小乐问刘老师今年有多少
岁.刘老师说：“当我像你这么大时.你才3岁；当你像我这么大时.我已经42岁了。”
你能算出刘老
师有多少岁吗？
植树问题
例1 一条河堤136米.每隔2米栽一棵垂柳.头尾都栽.一共
要栽多少棵垂柳？
【含义】按相等的距离植树，在距离、棵距、棵数这三个量之间，
例2 一个圆形池塘周长为400米.在岸边每隔4米栽一棵白杨树.一共能栽多少棵白杨树？
已知其中的两个量，要求第三个量，这类应用题叫做植树问题。
例3
一个正方形的运动场.每边长220米.每隔8米安装一个照明灯.一共可以安装多少个照明灯？
【数量关系】?线形植树 棵数＝距离÷棵距＋1
例4 给一个面积为96平方米的住宅铺设
地板砖.所用地板砖的长和宽分别是60厘米和40厘米.问至少需要多少块
????????????
环形植树 棵数＝距离÷棵距
地板砖？
??????????? ??方形植树
棵数＝距离÷棵距－4
例5 一座大桥长500米
三角形植树
.给桥两边的电杆上安
装路灯.若每隔
??????????? ?? 棵数＝距离÷棵距－3
50米有一个电杆.每个电杆上安装2盏路灯.一共可以
安装多少盏路灯？
???????????? ?面积植树 棵数＝面积÷（棵距×行距）
练一练：
【解题思路和方法】 先弄清楚植树问题的类型，然后可以利用公式。
1、有一条长1800米的公路.在公路的一侧从头到尾每隔6米栽一棵树.一共需要准备多少棵树苗？
2、湖滨花园两座楼房之间相距36米.物业管理公司每隔2米栽一株花.一共要栽多少株花？
3、一个圆形花圃周长36米.每隔3米放一盆花.一共放了多少盆花？
4、有一块三角形草
地.草地的三条边分别长72米、120米、180米。在草地的周围每隔6米栽一棵海棠.在相邻的
两
颗海棠之间等距离地栽两颗月季花。一共栽了多少棵海棠？相邻的两颗海棠之间的月季花相距多少千米？
5、公园路边的一侧放了一些椅子.从起点到终点一共有68把.每2把椅子之间都相距10米.求这条路长多
少米？
6、沿花园的四周每隔6米栽一棵树.一共栽了65棵.求这个花园的周长是多少米？
?7、在600米长的公路两旁从头到尾栽101棵树.每2棵树之间距离相等.每两棵树之间距离是多少？
8、两颗大树之间相距120米.园林部门计划在两棵大树中间补栽14棵小树.每2棵树的间隔距离相
等.树的间隔是
多少米？
9、花工栽一块正方形场地四周种花.每边都种20株.并且四个顶
点都种有一棵花.求这个场地四周共种了多少株花？
?10、同学们植树.8棵树之间的距离是14米.照这样计算.16棵树间的距离是多少米？
11、王老师匀速在公路上散步.从第一根电线杆到第10根电线杆用了9分钟.如果王老师走了22分钟.应
走到第几
根电线杆？
12、一根圆木锯成2米长的小段.一共花了15分钟。已知每锯下一段要3分钟.这根圆木长多少米？
13、小明爬楼梯.每上一层要走12级台阶.一级台阶需走2秒。小明从一楼到四楼共要走多少时间？
?14、在一个半径是125米的圆形花园周围以等距离种白杨树157棵,则两树间的距离是（）米.
?
?15、运动会入场式.快乐小学参加队列表演.有60人参加.每4人一行.前后两行间距1米.
这个队列全长多少米？
方阵问题
例1
在育才小学的运动会上.进行体操表演的同学排成方阵.每行22人.参加体操表演的同学一共有多少人？
【含义】将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总人数或总物数
例2 有一个3层中空方阵.最外边一层有10人.求全方阵的人数。
【数量关系】（1）方阵每边人数与四周人数的关系：
例3
有一队学生.排成一个中空方阵.最外层人数是52人.最内层人数是28人.这队学生共多少人？
??????????????四周人数＝（每边人数－1）×4
例4
一堆棋子.排列成正方形.多余4棋子.若正方形纵横两个方向各增加一层.则缺少9只棋子.问有棋子多少个？
??????????????每边人数＝四周人数÷4＋1
例5 有一个三角形树林.顶点
上有1棵树.以下每排的树都比前一排多1棵.最下面一排有5棵树。这个树林一共有
（2）方阵总人数的求法：
多少棵树？
实心方阵：总人数＝每边人数×每边人数
空心方阵：总人数＝（外边人数）－（内边人数）
练一练：
????????? ?内边人数＝外边人数－层数×2
1.某班抽出一些学生参加节日活动
表演.想排成一个正方形方阵.结果多出7人;如果每行每列增加一个再排.却少了
（3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算：?总人数＝（每边人数－层数）×层数×4
4人.问共抽出学生多少人
【解题思路和方法】实心方阵以每边的数自乘；空心方阵的变化较多，根据具体情况确定。
2
.将棋子排成正方形.甲、乙两人自其外周起.轮流取一周.结果甲比乙多得24粒.问棋子总数有多少粒 3.某班抽出一些学生参加节日活动表演.想排成一个正方形方阵.结果多出7人;如果每行每列增加一个再
排.却少了
4人.问共抽出学生多少人
4.棋子若干粒.恰好可排成每边8粒的正方形.棋子的总数是多少棋子最外层有多少粒
5.有学生若干人.排成5层的中空方阵.最外层每边人数是12人.问有多少学生
6.设计
一个团体操表演队.想排成6层的中空方阵.已知参加表演的有360人.问最外层每边应安排多少人
7.在第五届运动会上.红星小学组成了一个大型方块队.方块队最外层每边30人.共有10层.中间5层的位
置由20
个同学抬着这次运动会的会徽.问这个方块队共有多少同学组成
8.有一队学生.排
成中空方阵.最外层的人数共56人.最内层的人数共32人.这一队学生共有多少人
9.团体操表演
.少先队员排成4层的中空方阵.最外层每边人数是10人.问参加团体操表演的少先队员共有多少人
10.用棋子摆成方阵.恰好每边24粒的实心方阵.若改为3层的空心方阵.它的最外层每边应改放多少粒11
将棋子排
成正方形.甲、乙两人自其外周起.轮流取一周.结果甲比乙多得24粒.问棋子总数有多少粒
11.一个大型方阵.外层人数共116人.内层人数共36人.中间有16人表演艺术体操.这个方阵
共有多少人？?
12.一个正方形的树林.内外一共有三层.中间层有32棵树.这个树林共有树多少棵？
13.有360朵花.排成一个三层的方阵花坛。这个花坛的最外层每边应排多少朵花？
相遇问题
例1 南京到上海的水路长392千米.同时从两港各开出一艘轮船相对而行.从南
京开出的船每小时行28千米.从上海
【含义】
两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。
开出的船每小时行21
相遇时间＝总
路程÷（甲速＋乙速）
千米.经过几小时两船相遇？
【数量关系】
例2 小李和小
刘在周长为400米的环形跑道上跑步.小李每秒钟跑5米.小刘每秒钟跑3米.他们从同一地点同时出
总路程＝（甲速＋乙速）×相遇时间
发.反向而跑.那么.二人从出发到第二次相遇需多长时间？
例3 甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行.甲每小时行15千米.乙每小时行13千米.两人在距中
点3千米处相遇.
求两地的距离。
练一练：
1、两辆汽车从A、B两地同
时出发、相向而行.甲每小行50千米.乙每小行60千米.经过3.5小时相遇。A、B两地
相距多少
千米？
?
?
2、小明与小清家相距4.5千米.两人同时骑车从家
出发相向而行.小明每分钟行50米.小青每分钟行40米.经过几
分钟两人相遇？
3、客车
和货车同时从两城出发.相向而行.客车每小时行45千米.比货车每小时多行3千米.经过4小时两车相遇。<
/p>
两城相距多少千米？
4、客轮、货轮从武汉和上海两地同时出发.相对开出.货
轮每小时行40千米.客轮的速度是货轮的1.2倍.两地相距
862.4千米。请问几小时两船可以相
遇？
5、两个工程队同时从两端开一条长850米的隧道.甲队每天开凿26米.乙队每天开凿24米
.经过几天就可以打通？
6、师徒两个人合作加工一批零件.师傅每小时加工68个.徒弟每小时加工
55个.合作6小时完成任务.这批零件一
共有多少个？
7、加工厂用两台磨面机
同时磨面17280千克.第一台磨面机每小时磨面364千克.第二台磨面每小时磨面356千克.
如
果每天加工8小时.磨完这些面粉需要多少天？
8、甲、乙两人同时从学校出发向反方向行
去。甲每分钟走60米.乙每分钟走70米.5分钟后两人相距多少米？
9、两辆汽车同
时从一个工厂出发.相背而行.一辆汽车每小时行33千米.另一辆汽车每小时行42千米。多少分钟后
两车相距15千米？
10、甲、乙两站间的铁路长560千米.两列火车同时从两站相对开
出.一列火车每小时行63.5千米.另一列火车每小
时行80.5千米.3小时后两列火车还相距多少
千米？
11、货车和客车同时从甲、乙两地相对开出.货车每小时行57.5千米.客车每小时行45
.8千米.3小时后两车相距
100千米.甲、乙两地相距多少千米？
12、师徒两人共同加
工312个零件.师傅每小时加工45个.徒弟每小时加工35个.加工几小时后还剩40个？
13、甲、乙两列火车从两地相对行驶。甲车每小时行75千米.乙车每小时行69千米.甲车开出1小时后
.乙车才出
发.5小相遇。两地间的铁路长多少千米？
?
14、甲、
乙两港的水路长726千米.一艘货轮从甲港开往乙港.每小时行69千米.1小时后.一艘客轮从乙港开住甲港
.
每小时行77千米.客轮开出后几小时与货轮相遇？相遇时客轮和货轮各行了多少千米？
1
5、一批零件478个.甲每小时加工50个.乙每小时加工32个.甲先加工3小时余下的两人合作完成.再过
几小时完
成任务？
16、甲、乙两人同时骑车从A地到B地.甲每小时行14.2
千米.乙每小时行18.7千米。8小时后两人相距多少千米？
追及问题
例1
好马每天走120千米.劣马每天走75千米.劣马先走12天.好马几天能追上劣马？
【含义】两个运动物体作同向运动，在后面的，行进速度要快些，
（1）劣马先走12天能走多少千米？
在前面的，行进速度较慢些，在一定时间之内，后面的追上前面的物体。
（2）好马几天追上劣马？
【数量关系】?追及时间＝追及路程÷（快速－慢速）
例2 小明和小亮在200米环形跑道
上跑步.小明跑一圈用40秒.他们从同一地点同时出发.同向而跑。小明第一次追
?????????
??? ?追及路程＝（快速－慢速）×追及时间
上小亮时跑了500米.求小亮的速度是每秒多少米。
例3 我人民解放军追击一股逃窜的敌
人.敌人在下午16点开始从甲地以每小时10千米的速度逃跑.解放军在晚上
22点接到命令.以每小
时30千米的速度开始从乙地追击。已知甲乙两地相距60千米.问解放军几个小时可以追上敌
人？
例4 一辆客车从甲站开往乙站.每小时行48千米；一辆货车同时从乙站开往甲站.每小时行40千米
.两车在距两站
中点16千米处相遇.求甲乙两站的距离。
例5 兄妹二人同时由家上学.哥
哥每分钟走90米.妹妹每分钟走60米。哥哥到校门口时发现忘记带课本.立即沿原
路回家去取.行至
离校180米处和妹妹相遇。问他们家离学校有多远？
例6 孙亮打算上课前5分钟到学校.他以每小
时4千米的速度从家步行去学校.当他走了1千米时.发现手表慢了10
分钟.因此立即跑步前进.到学
校恰好准时上课。后来算了一下.如果孙亮从家一开始就跑步.可比原来步行早9分钟
到学校。求孙亮跑
步的速度。
练一练：
1、?小王、小李同住一楼中.两人从家去上班.小王
先走20分钟后小李才出发。已知小李的速度是小王速度的3倍.
则小李出发后多少时间能追上小王？
2、?甲每分钟行80米.乙每分钟行50米.在下午1：30分时.两人在同地背向而行了6分钟.甲
又调转方向追乙.则
甲在几点的时候追上乙？
3、某学校组织学生去长城春游.租用了一辆大
客车.从学校到长城相距150千米。大客车和学校的一辆小汽车同时
从学校出发.当小汽车到长城时.
大客车还有30千米。已知大客车每小时行60千米.则小汽车比大客车快多少千米？
?
4
、甲乙两人从周长为800米的正方形水池相对的两个顶点同时出发逆时针行走.乙在前.甲在后。甲每分钟走5
0米.
乙每分钟走46米.出发多长时间甲和乙在同一点上？
5、甲、乙两人同时从东村出发
到西村.甲的速度是每小时6千米.乙的速度是每小时4千米.甲中途有事休息了2小
时.结果比乙迟到
了1个小时.求两村相隔的距离？
?
6、龟兔赛跑.同时出发.全程7000米
。龟以每分钟30米的速度爬行.兔每分钟跑330米.兔跑了10分钟后停下来睡
觉了200分钟.醒
来后立即以原速往前跑.当兔追上龟时.离中点是多少米？
??
7、学校组织四
年级学生春游.包了两辆大面包车从学校出发。第一辆车速每小时30千米.上午7：00出发.第二辆
晚开1小时.速度是每小时40千米。结果两辆车同时到达.问春游的景区离学校多远？
8、甲、乙两
人同时从A地去B地.甲每分钟行250米.乙每分钟行90米.甲到达B地后立即返回A地.在离B地1200
米处与乙相遇.A、B两地相距多少千米？1、?甲乙两人分别从相距18千米的西城和东城向东而行.
甲骑自行车每小
时行14千米.乙步行每小时行5千米.几小时后甲可以追上乙？
9、?小红
和小明分别从西村和东村同时向西而行.小明骑自行车每小时行16千米.小红步行每小时行5千米.2小时后小明追上小红.求东西村相距多少千米？
10、?一条环形跑道长400米.小强每
分钟跑300米.小星每分钟跑250米.两人同时同地同向出发.经过多长时间.小
强第一次追上小星
？
11、?小云以每分钟40米的速度从家去商店买东西.5分钟后.小英去追小云.结果在离家60
0米的地方追上小云.小
英的速度是多少？
时钟问题
例1
从时针指向4点开始.再经过多少分钟时针正好与分针重合？
【含义】时钟问题可与追及问题相类比，就是研究钟面上时针与分针关系的问题，
例2
四点和五点之间.时针和分针在什么时候成直角？
如两针重合、两针垂直、两针成一线、两针夹角为60度等。。
例3
六点与七点之间什么时候时针与分针重合？
【数量关系】?分针的速度是时针的12倍，二者的速度差为1112。
（1）整个钟面为360度，有12个大格，每个大格为30度；60个小格，每个小格为6度；
?
?（2）分针速度：每分钟走1小格，每分钟走6度（360度÷60分钟=6度分）；
1、现在是2
（
点
3
15分.再过几分钟.时针和分针第一次重合？
0.5度（30度÷60分钟=0.5度分）? ?）时针速度：每分钟走112小格，每分钟走。
2、2点钟以后
t ? ?（
.
4
什么时刻分针与时针第一次成直
角？
）行程问题：角度=V（分针、时针）×
3、在10
?
?
点与点之间.两针在什么时刻成一条直线？
t
（
11
5）追及问题：角度差=V（分针-
时针）差×
4、从时针指向4开始.再经过多少分钟.时针正好和分针重合
【解题思路和方法】 变通为“追及问题”后可以直接利用公式。
5、一旧钟钟面上的两针每66分钟重合一次.这只旧钟在标准时间的一天中快或慢几分钟？
6、李叔叔下午要到工厂上3点的班.他估计快到上班时间了.到屋里看钟.可是钟早在12点10分就停了.他
上足发
条后忘了拨针.匆匆离家.到工厂一看离上班时间还有10分钟.8小时工作后夜里11点下班.
李叔叔回到家里.一看钟
才9点整.假定他上班和下班在路上用的时间相同.那么他家的钟停了多长时间
？
7、有一个挂钟.每小时敲一次钟.几点钟就敲几下.钟敲6下.5秒钟敲完.钟敲12下.几秒钟
可敲完
8、当钟面上4时10分时.时针与分针的夹角是多少度
9、某人有一只手表.比家
里闹钟时间每小时快30秒.而闹钟却比标准时间每小时慢30秒。此人手表一昼夜与标准
练一练：
时间相差多少秒
10、某种表在7月29日零点比标准时间慢4分半.它一直
走到8月5号上午7时.比标准时间快3分。那么.这只钟
所指的正确的时刻是几月几日几时
11、89爷爷的老式时钟一点也不准.它的时针与分针每隔61分重合一次。问：这只时钟每天快或慢多少分
12、小明上午8点要到学校上课.可是家里的闹钟早晨6点10分就停了.他上足发条但忘了对表就急
急忙忙上学去
了.到学校一看还提前了10分。中午12点放学.小明回到家一看钟才11点整。如果小
明上学、下学在路上用的时
间相同.那么.他家的闹钟停了多少分
13、小红上午8点多钟开
始做作业时.时针与分针正好重合在一起。10点多钟做完时.时针与分针正好又重合在一起。
小红做作
业用了多长时间
14、奶奶中午12点半开始午睡.当时针与分针第4次垂直时起床。奶奶睡了多长时间
行船问题
【含义】船速是船只本身航行的速度，也就是船只在静水中航行的速度；水速是水流的速度；
例1 一只船顺水行320千米需用8小时.水流速度为每小时15千米.这只船逆水行这段路程需用几小时？<
br>【数量关系】顺水速度=船速+水速?；??????逆水速度=船速-水速?????????
15小时.返回原地需多少时例2
甲船逆水行360千米需18小时.返回原地需10小时；乙船逆水行同样一段距离需
（顺水速度＋逆水速度）÷2＝船速
间？
?????????????
（顺水速度－逆水速度）÷2＝水速
例3
一架飞机飞行在两个城市之间.飞机的速度是每小时576
千米.风速为每小时24千米.飞机逆风飞行3小时到达.
顺水速＝船速×2－逆水速＝逆水速＋水速×2
顺风飞回需要几小时？
逆水速＝船速×2－顺水速＝顺水速－水速×2
（1）两城相距多少千米？???
（2）顺风飞回需要多少小时？?
练一练：
1、两个码头相距192千米.一艘汽
艇顺水行完全程需要8小时.已知这条河的水流速度为4千米小时.求逆水行完
全程需几小时？
2、一支运货小船队.第一次顺流航行42千米.逆流航行8千米.共用11小时；第二次用同样的时间.顺流
航行了24
千米.逆流航行了14千米。求这支小船队在静水中的速度和水流速度。
3、一艘
轮船每小时行15千米.它逆水6小时行了72千米.如果它顺水行驶同样长的航程需要多少小时？
4
、甲、乙两港相距240千米。一艘轮船逆水行完全程要15小时.已知这段航程的水流速度是每小时4千米。这
艘
轮船顺水行完全程要用多少小时？
5、一艘每小时行25千米的客轮.在大运河中顺水航行
140千米.水速是每小时3千米.需要行几个小时？
6、一只小船静水中速度为每小时 30 千米
. 在 176 千米长河中逆水而行用了 11 个小时 . 求返回原处需用几个
小时。
7、小刚和小强租一条小船.向上游划去.不慎把水壶掉进江中.当他们发现并调过船头时.水壶与船已经相距2
千米.
假定小船的速度是每小时4千米.水流速度是每小时2千米.那么他们追上水壶需要多少时间？
8、甲河是乙河的支流.甲河水流速度为每小时 3 千米.乙河水流速度为每小时 2
千米.一艘船沿乙河逆水航行 6
小时.行了 84 千米到达甲河.在甲河还要顺水航行 133
千米.这艘船一共航行多少小时？
9、一条小河流过 A 、 B 、 C 三镇。 A 、 B
两镇间有汽船来往.汽船在静水中的速度为每小时 11 千米。 B 、
C
两镇间有木船摆渡.木船在静水中的速度为每小时 3.5 千米。已知 A 、 C 两地水路相距 50
千米.水流速度为
每小时 1.5 千米。某人从 A 镇顺流而下去 B 镇.吃午饭用了 1
个小时.接着又顺流而下去 C 镇.共用 8 个小时.
那么 A 、 B 两镇间的距离是多少？
10、某船在静水中的速度是每小时15千米.它从上游甲地开往下游乙地共花去了8小时.水速每小时
3千米.问从乙
地返回甲地需要多少时间？
11、甲、乙两码头相距 72
千米.一艘轮船顺水行需要 6 小时.逆水行需要 9 小时.求船在静水中的速度和水流速
度。 <
br>12、甲乙两地相距234千米.一只船从甲到乙要9小时.从乙到甲要13小时.问船速和水速各是多少
？
13、一只船顺水每小时航行 12 千米.逆水每小时航行 8
千米.问这只船在静水中的速度和水流速度各是多少？
14、甲、乙两港相距360千米.一轮船往返
两港需35小时.逆流航行比顺流航行多花了5小时.现在有一机帆船.静
水中速度是每小时12千米.
这机帆船往返两港要多少小时？
11.甲、乙两船分别在一条河的 A 、 B 两地同时相向而行.
甲顺流而下.乙逆流而上。相遇时.甲乙两船行了相等的
航程.相遇后继续前进。甲到达 B .乙到达
A 后.都按照原路返航.两船第二次相遇时.甲船比乙船少行 1000
米。
如果从第一次相遇到第二次相遇时间间隔 1 小时 20
分.则河水的流速是多少？
列车问题
例1 一座大桥长2400米.一列火车以每分钟90
0米的速度通过大桥.从车头开上桥到车尾离开桥共需要3分钟。这
【含义】
这是与列车行驶有关的一些问题，解答时要注意列车车身的长度。
列火车长多少米？
【数量关系】 火车过桥：过桥时间＝（车长＋桥长）÷车速
例2
一列长200米的火车以每秒8米的速度通过一座大桥.用了2分5秒钟时间.求大桥的长度是多少米？
?????????????火车追及：追及时间＝（甲车长＋乙车长＋距离）÷（甲车速－乙车速）
例3 一列长225米的慢车以每秒17米的速度行驶.一列长140米的快车以每秒22米的速度在后
面追赶
?????????????火车相遇：相遇时间＝（甲车长＋乙车长＋距离）÷（甲车速＋乙车
速）
.求快车从追
上到追过慢车需要多长时间？
例4 一列长150米的列车以每
秒22米的速度行驶.有一个扳道工人以每秒3米的速度迎面走来.那么.火车从工人身
旁驶过需要多少
时间？
例5 一列火车穿越一条长2000米的隧道用了88秒.以同样的速度通过一条长1250米
的大桥用了58秒。求这列火
车的车速和车身长度各是多少？
练一练：
1、一列火车长150米.每秒钟行19米。全车通过长800米的大桥.需要多少时间？
2、一列火车.以每秒20米的速度通过一条长800米的大桥用了50秒.这列火车长多少米？ 3、一支队伍1200米长.以每分钟80米的速度行进。队伍前面的联络员用6分钟的时间跑到队伍末尾传
达命令。问
联络员每分钟行多少米？
4、一座铁路桥全长1200米.一列火车开过大桥需花
费75秒；火车开过路旁电杆.只要花费15秒.那么火车全长是
多少米？
5、铁路沿线的电
杆间隔是40米.某旅客在运行的火车中.从看到第一根电线杆到看到第51根电线杆正好是2分钟.
火
车每小时行多少千米？
6、一人以每分钟60米的速度沿铁路边步行.一列长144米的客车从他身后
开来.从他身边通过用了8秒钟.求列车
的速度。
7、小王以每秒3米的速度沿着铁路跑步.
迎面开来一列长147米的火车.它的行使速度每秒18米。问：火车经过小
王身旁的时间是多少 <
br>8、一列慢车车身长125米.车速是每秒17米；一列快车车身长140米.车速是每秒22米。慢车在
前面行驶.快车从
后面追上到完全超过需要多少秒？
9、甲火车从后面追上到完全超过乙
火车用了110秒.甲火车身长120米.车速是每秒20米.乙火车车速是每秒18米.
乙火车身长多
少米？
10、两列火车相向而行.从碰上到错过用了15秒.甲车车身长210米.车速是每秒1
8米；乙车速是每秒12米.乙车
车身长多少米？
11、快、慢两列火车相向而行.快车
的车长是50米.慢车的车长是80米.快车的速度是慢车的2倍.如果坐在慢车的
人见快车驶过窗口的
时间是5秒.那么.坐在快车的人见慢车驶过窗口的时间是多少？
12、铁路旁的一条平行小路上.有
一行人与一骑车人同时向南行进。行人速度为3.6千米小时.骑车人速度为10.8
千米小时。这时有
一列火车从他们背后开过来.火车通过行人用22秒.通过骑车人用26秒。这列火车的车身总长
是多少
米？
盈亏问题
【一盈一亏】
【含义】分配一定的物品，在两次分配中，有盈有亏，求人数或物品数
1.阿姨给幼儿园小朋友分饼干.如果每人分3块.则多出16块饼干；如果每人分5块.
<
br>那么就缺4块饼干.问有多少
【数量关系】一次盈一次亏，则有：参加分配总人数＝（盈＋亏）÷
分配差
小朋友.有多少块饼干？
如果两次都盈或都亏，则有：
2.
阿姨给幼儿园小朋友分苹果。如果每人分4个.多15个；如果每人分7个.那么就差3个。有多少个小朋友？有
参加分配总人数＝（大盈－小盈）÷分配差
多少个苹果？
参加分配总人数＝（大亏－小亏）÷分配差
3.
箱子里有若干只袜子,如果每次取7只,则剩下6只,如果每次取9只,则差8只.箱子里多少只袜子？
4.某校同学排队上操.如果每行站9人.则多37人；如果每行站12人.则少20人.一共有多少学生？
【双盈的解法】
1．杜老师将一叠练习本分给第一组同学.每人5本还多23本；每人7本则
多3本.第一小组有几个学生？这叠练习
本一共有多少本？
2．三年级一班少
先队员参加学校搬砖劳动.如果每人搬4块砖.还剩7块；如果每人搬5块.还剩2块砖。这个班少
先队
有几个人？要搬的砖共有多少块？
3.有一队小朋友到山上去种一批树.如果每人都种16棵.还有2
4棵树没有种；如果每人都种19棵.还有6棵树没有
种。每人要种多少棵树正好把树种完？?
【双亏的解法】
1.若干个小朋友分糖.如果每人分14块则缺19块.如果每人分12块则
缺11块.问有几个小朋友？几块糖？
2.课外小组的同学研究数学题.如果每人做6题则少4题；如
果每人做7题则少19题.问有多少个学生？共做几道
题？
练一练：
1、小朋友分糖果.若每人分4粒则多9粒；若每人分5粒则少6粒。问：有多少个小朋友分多少粒糖？
2、学校买来一批图书。若每人发9本.则少25本；若每人发6本.则少7本。问：有多少个学生？买
了多少本图书？
3、学校组织春游.如果每辆车坐40人.就余下30人；如果每辆车坐45人.就刚
好坐完。问有多少车？多少人？
4、某数的8倍减去153.比其5倍多66.求这个数。
5、修一条公路.如果每天修260米.修完全长就得延长8天；如果每天修300米.修完全长仍得延长4天。
这条路全
长多少米？
6、学校有一批树苗.交给若干少先队员去栽.一次一次往下分.每次分
一棵.最后剩下12棵不够分了;如果再拿来8
棵树苗.那么每个少先队员正好栽10棵。参加栽树的少
先队员有多少人原有树苗多少棵
7、有一批正方形的砖.排成一个大正方形.余下32块;
如果将它们改排成每边比原来多一块砖的正方形.就要差49
块。这批砖原有多少块
8、
实验小学学生乘车春游.如果每车坐60人.则有15人上不了车;如果每车坐65人.恰好多出一辆车。问一共
有几
辆车有多少个学生
9、小强从家到学校.如果每分走50米.上课就要迟到3
分;如果每分走60米.就可以比上课时间提前2分到校。小
强家到学校的路程是多少千米
10、张华离家到县城去上学.他以每分50米的速度走了2分后.发现按这个速度走下去就要迟到8分
。于是他加快
了速度.每分多走10米.结果到校时.离上课还有5分。张华家到学校的路程是多少
工程问题
例1
一项工程.甲队单独做需要10天完成.乙队单独做需要15天完成.现在两队合作
.需要几天完成？
【含义】工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。
例2 一批零件.甲
独做6小时完成.乙独做8小时完成。现在两人合做.完成任务时甲比乙多做24个.求这批零件共
【数
量关系】把工作总量看作“1”，
有多少个？
工作量＝工作效率×工作时间
例3 一件工作.甲独做12小时完成.乙独做10小时完成.丙独做1
5小时完成。现在甲先做2小时.余下的由乙丙二
工作时间＝工作量÷工作效率
人合做.还需几小时才能完成？
工作时间＝总工作量÷（甲工作效率＋乙工作效率）
例4 一个水池.底部装有一个常开的排水管.上
部装有若干个同样粗细的进水管。当打开4个进水管时.需要5小时
才能注满水池；当打开2个进水管时
.需要15小时才能注满水池；现在要用2小时将水池注满.至少要打开多少个
进水管？
练一练：
1、修一条公路.甲队独修要4天完成.乙队独修要6天完成。两队合修几天完成？
2、一批苹果.分给甲班小朋友.每人可以分15个；分给乙班小朋友.每人可以分10个。平均分给两
个班的小朋友.
每人可以分几个？
3、一项工程.甲队独做8天完成.乙队8天只完成45?。两队合做几天完成？
4、一项工
程.甲独做10天完成.乙独做15天完成。现在先由甲独做了几天.再由乙接着独做.共用11天完成任务。<
br>两人各做了几天？
5、甲、乙两人合作一项工作6天可以完成.如果甲一人独做需要天数为乙一人独做所需天数的23
。甲、乙独做各
需要多少天？
6、一份稿件.甲、乙两个打字员合打12小时
可以完成。现在两人合打.由于中途甲因故停工5小时.因此用了15小
时才完成。如果由甲单独打.多
少小时完成？
7、一项工程。甲、乙、丙三个队单独做分别可用10、15、20天完成.结果三个队
合干.共用了6天完成.在这6天
中.甲队因故调走.则甲队少干了多少天？
8、客、货两车
分别从甲、乙两地同时出发.相向而行.经过6小时两车相遇后.客车继续行驶4小时到达乙地。货车
还
需再行驶几小时才能到达甲地？
9、一个游泳池装有一个进水管和一个排水管.单开进水管5小时可将
空池注满。由于管理员的疏忽.将两个水管同
时打开.结果用了8小时才将空池注满。如果单独打开排水
管.多少小时才能将满池水放完？
10、一块布料.可做10件上衣或15条裤子.如果配套裁做.可以做多少套？
11、制作
一批零件.甲车间要10天完成.甲车间与乙车间一起做6天完成.乙车间与丙车间一起做8天完成。现在三个车间一起做.完工时发现甲车间比乙车间多做1000个。这批零件共有多少个？
12、一位登
山爱好者攀登紫金山.上山时每小时行?3千米.沿原路下山时.每小时行5千米。求这位登山爱好者上、
下山的平均速度。
13、两列火车同时从甲、乙两地出发.相向而行.相遇时快车行了全程的59?
。已知慢车每小时行72千米.快车行完
全程要10小时。甲、乙两地相距多少千米？
14、
一项工程.甲、乙两人合做8天完成.乙、丙两人合做9天完成.丙、甲两人合做18天完成。那么.丙单独做几
天完成？
15、一项工程.甲队单独做要20天完成.乙队单独做要12天完成。已知这项工
程先由甲队做了若干天.然后由乙队
继续完成.从开始到完成共用了14天.那么甲队先做了多少天？乙
队又做了多少天？
正反比例问题
【含义】商一定——正比例关系。
一、判断。
积一定——反比例关系。
【解题思路和方法】把分率（倍数）转化为比，应用比和比例的性质去解应用题。
1、方砖的边长一定.要铺地面积和用砖块数成正比例（????）
2、用瓷砖铺地.要用的砖数一定.要铺地的平方米数和每平方米用砖的数量成正比例（??）
3、要铺地的总面积一定.每块方砖的边长与需要的块数成正比例（ ）
4、一个比例的两个内项分别是25和0.4.它的两个外项的积一定是10。（???）
5、梯形的面积一定.高和上下底的和成反比例（ ）
6、圆的半径一定.圆的面积和兀不成比例（ ）
7、加工时间一定.加工零件个数和加工每个零件所需的时间成反比例（ ）
8、南京到北京.所行驶的路程和速度不成比例（ ）
9、出盐率一定.盐的重量和海水重量成正比例。 （??? ??）
10、正方形的边长和面积成正比例。（???????）
例1
修一条公路.已修的是未修的13.再修300米后.已修的变成未修的12.求这条公路总长是多少米？
例2 张晗做4道应用题用了28分钟.照这样计算.91分钟可以做几道应用题？
例3
孙亮看《十万个为什么》这本书.每天看24页.15天看完.如果每天看36页.几天就可以看完？
练一练：
1、光辉服装厂4天加工服装160套.照这样计算.生产360套服装.需要多少天？
2、化肥厂有一批煤.每天用12吨.可用40天。如果这批煤要用60天.每天只能用多少吨？?
3、修路队3天修路150米.照这样的速度.再修10天.又修多少米？
4、一
辆汽车从甲城开往乙城.每小时行45千米.5小时到达。返回时.每小时行驶50千米.几小时回到甲城？?
5、一间房子.用面积是16平方分米的方砖铺地.需要54块。如果改用面
积是9平方分米的方砖.需要多少块？?
6、在1：4000000的地图上.量得甲乙两
城相距5厘米.如果在1：3000000的地图上量得的甲乙两城距离是多少厘
米？
7、甲
乙两车分别从AB两地同时出发相向而行.4小时后甲车到达中点.乙车离中点还有8千米。甲乙两车的速度比<
br>为4：5。AB两地相距多少千米？
8、8台榨油机每天榨油56吨.现在增加了5台同样的榨油机.每天多榨油多少吨？
9、食堂有一批煤.计划每天烧30千克.可以烧18天.实际每天烧36千克.可以烧多少天？
10、同学们做操.每行站15人.正好站了32行。如果要站24行.每行应站多少人？
1
1、从甲城到乙城.客车每小时行50千米.6小时到达。货车要8小时到达.货车每小时行多少千米？
12、小明买9本练习本花了4.5元.如果买同样的练习本20本需要付多少元？
13、运一批煤.18次运了90吨.照这样计算.多少次才能运完140吨煤？
14、用8辆卡车每天可运货128吨.照这样计算.用同样的卡车11辆.每天可运货多少吨？
15、一榨油厂用400千克芝麻可以榨油144千克。照这样计算.要榨10吨油要多少吨芝麻？
按比例分配问题
例1 学校把植树560棵的任务按人数分配给五年级三个班.已知一班有4
7人.二班有48人.三班有45人.三个班各
【含义】把一个数按照一定的比分成若干份。这类题的已
知条件一般有两种形式：
植树多少棵？
例
【数量关系】总份数＝比的前后项之和
2
用60厘米长的铁丝围成一个三角形.
三角形三条边的比是3∶4∶5。三条边的长各是多少厘米？
例3 从前有个牧民.临死前留
下遗言.要把17只羊分给三个儿子.大儿子分总数的12.二儿子分总数的13.三儿子
【解题思路和
方法】先求出总份数，再求各部分占总量的几分之几（以总份数作分母，比的前后项分别作
分总数的19
.并规定不许把羊宰割分.求三个儿子各分多少只羊。
，再按照求一个数的几分之几是多少的计算方法，分别求出各部分量的值。
例
分子）
4
某工厂第一、二、三车间人数之比为8∶12∶21.第一车间比第二车间少80人.三个车间共多少人？
练一练：
1、甲、乙两人每天共做56个机器零件.如果甲、乙工作效率的比是
3：5.甲、乙两人每天各做多少个零件？
2、体育室有60根跳绳.按人数分配给甲乙两班.甲班有
42人.乙班有48人.两个班各分得跳绳多少根？
3、把一段长96厘米的铁丝做一个长方体框架.
长方体的长宽高的比是5：4：3.这个长方体的长、宽、高分别是多
少？
4、一个分数.它的分子和分母的和是80.分子和分母的比是3：7.求这个分数？
5、小
明在期末考试中数文、数学、英语的均分为75分.它的三门学科成绩的比为8：8：9.它的三门成绩分别是多
少？
6、建筑工人用水泥、沙子、石子按2：3：5配制成96吨的混凝土.需要水泥、沙子
、石子各多少吨？
7、一种药水是用药物和水按3：400配制成的。
（1）要配制这种药水1612千克.需要药粉多少千克？
（2）用水60千克.需要药粉多少千克？
（3）用48千克药粉.可配制成多少千克的药水？
8、某班男生人数与女生人数的比是4：3.已知女生有24人.这个班级有学生多少人
9、商店运来一批电冰箱.卖了18台.卖出的台数与剩下的台数比是3：2.求运来电冰箱多少台？?
10、三角形的三个角的比是2：3：4这个三角形三个角各是多少度？
11、纸箱里有红绿黄三色球.红色球的个数是绿色球的
.绿色球的个数与黄色球个数的比是4：5.已知绿色球与黄色
球共81个.问三色球各有多少个？ <
br>12、甲箱有桔子100个.乙箱有桔子80个.从甲箱取出多少个桔子放到乙箱后.甲、乙两箱桔子的比
是7：11？
13、客货两车分别从甲乙两地同时相对开出.相遇时客车的行程与货车行程的比是5：
3.已知客车比货车多行了122
千米.甲乙两地相距多少千米？
14、客货两车分别从甲乙
两地同时相对开出.在离中点12千米处相遇.已知此时客车的行程与货车行程的比是3：2.
甲乙两地
相距多少千米？
15、一杯盐水.盐与盐水的比为1：5.再加上16克盐后.盐与盐水的比为1：4
.原来盐水有多少千克？
16、某车间有140名职工.分成三个生产小组.已知第一组和第二组人数
比为2：3.第二组和第三组人数比为4：5.
这三个小组名有多少人？
17
、一班和二班的人数比为8：7.如果将一班的8名同学调到二班去.那么一班和二班的人数的比为4：5.求原
来两
班各有多少人？
百分数问题
百分数又叫百分率.百分率在工农业生产中应用很广泛.常见的百分率有：
【含义】百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数。百分数是一种特殊的分数。
增长率＝增长数÷原来基数×100%
【数量关系】
掌握“百分数”、“标准量”“比较量”三者之间的数量关系：
合格率＝合格产品数÷产品总数×100%
?????????????百分数＝比较量÷标准量
出勤率＝实际出勤人数÷应出勤人数×100%
?????????????标准量＝比较量÷百分数
出勤率＝实际出勤天数÷应出勤天数×100%
【解题思路和方法】
一般有三种基本类型：
缺席率＝缺席人数÷实有总人数×100%
（1）求一个数是另一个数的百分之几；
发芽率＝发芽种子数÷试验种子总数×100%
（2）已知一个数，求它的百分之几是多少；
成活率＝成活棵数÷种植总棵数×100%
（3）已知一个数的百分之几是多少，求这个数。
出粉率＝面粉重量÷小麦重量×100%
出油率＝油的重量÷油料重量×100%
废品率＝废品数量÷全部产品数量×100%
命中率＝命中次数÷总次数×100%
烘干率＝烘干后重量÷烘前重量×100%
及格率＝及格人数÷参加考试人数×100%
例1
仓库里有一批化肥.用去720千克.剩下6480千克.用去的与剩下的各占原重量的百分之几？
例2 红旗化工厂有男职工420人.女职工525人.男职工人数比女职工少百分之几？
例3、一件衣服降价20%后.售价为80元。这件衣服原价多少元？
练一练：
1、800千克小麦可以磨出面粉576千克.小麦的出粉率是多少？
2、饲养小组养了白兔和灰兔。白兔36只.灰兔12只.白兔和灰兔分别占总数的百分之几？
3、某乡去年造林15公顷.今年造林18公顷.今年比去年增加了百分之几？
4、育才小学
有360名学生.其中有5%的学生没有参加兴趣活动小组.参加兴趣活动小组的有多少人？
5、少年服饰专卖店换季促销.每件半袖原价50元.现在八折销售。小林买了三件.一共花了多少钱？
6、王爷爷把5000元存入银行.存期3年.年利率4.41%。到期支取时.王爷爷要缴纳多少元的
利息税？
最后王爷爷能拿到多少钱？
7、一个篮球比一个足球贵12元.如果足球的单价是篮球单价的 .足球和篮球的单价各是多少元？
?8、一种商品卖了60元.赚了20%.赚了多少钱？
9、一种电冰箱的价格打七八析后.比原价便宜了330元.这种电冰箱原价多少元？
10、一种电脑降价了.第一次比原价7600元降低了10%.第二次又降低了10%.电
脑现价多少元？
11、一堆煤运走了25吨.刚好是总吨数的512。若运走的
是总吨数的60%.那么运走的是多少吨？
12、?一筐苹果.先拿出140个
.又拿出余下的60%,这时剩下的苹果正好是原来总数的16.这筐苹果原来有多少个
13、?一件上衣.如卖92元.可赚15%.如卖100元.可赚百分之几？
14、?六年级体育达标率为88%.一共有24个同学没有达标.全年级体育达标的同
学有多少人？
15、?一辆汽车从甲地开往乙地.每小时50千米.45小时到
达。如果把速度除低20%.那么几小时可以达到？
16、依依服装店某一天将
两年不同的衣服以每件120元出售.结果一件赚20%.另一件赔20%.那么商店老板是赚了.
还是
亏了？赚（亏）了多少元？
“牛吃草”问题
【含义】
这类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素。
例1
一块草地.10头牛20天可以把草吃完.15头牛10天可以把草吃完。问多少头牛5天可以把草吃完？
【数量关系】?草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数
（1）求草每天的生长量
【解题思路和方法】 解这类题的关键是求出草每天的生长量。
（2）求原有草量
（3）求5 天内草总量
（4）求多少头牛5 天吃完草
例2 一只船有一个漏洞
.水以均匀速度进入船内.发现漏洞时已经进了一些水。如果有12个人淘水.3小时可以淘完；
如果只
有5人淘水.要10小时才能淘完。求17人几小时可以淘完？
（1）求每小时进水量
（2）求淘水前原有水量
（3）求17人几小时淘完
练一练：
1、有一
牧场.已知养牛27头.6天把草吃尽;养牛23头.9天把草吃尽。如果养牛21头.那么几天能把牧场上的草
吃
尽呢并且牧场上的草是不断生长的
2、由于天气逐渐冷起来.牧场上的草不仅不
长大.反而以固定的速度在减少。已知某块草地上的草可供20头牛吃5
天.或可供15头牛吃6天。照
此计算.可供多少头牛吃10天？
3、一只船发现漏水时.已经进了一些水.现在水匀速进入船内.如
果10人淘水.3小时可淘完；5人淘水8小时可淘
完。如果要求2小时淘完.要安排多少人？
4、有一桶酒.每天都因桶有裂缝而要漏掉等量的酒.现在这桶酒如果给6人喝.4天可喝完；如果由4人喝.
5天可喝
完。这桶酒每天漏掉的酒可供几人喝一天？
5、一水库存水量一定.河水均匀入库。
5台抽水机连续20天可抽干；6台同样的抽水机连续15天可抽干。若要6
天抽干.需要多少台同样的
抽水机？
6、有一片牧草.每天以均匀的速度生长.现在派17人去割草.30天才能把草割完.如果
派19人去割草.则24天就能
割完。如果需要6天割完.需要派多少人去割草？?
7、一只
船发现漏水时.已经进了一些水.现在水匀速进入船内.如果3人淘水40分钟可以淘完；6人淘水16分钟可<
br>以把水淘完.那么.5人淘水几分钟可以把水淘完？
8、有一口水井.井底连续不断涌出泉水.
每分钟涌出的水量相等.如果使用5架抽水机来抽水.20分钟可以抽完；如
果使用3架抽水机来抽水.
36分钟可以抽完.现在要求12分钟内抽完进水.需要抽水机多少架？
9、某公园的检票口.在开始
检票前已有一些人排队等候.检票开始后第10分钟有100人前来排队检票.1个检票口每
分钟能让2
5人入内。如果只有1个检票口.检票开始8分钟后就没有人排队；如果同时开放2个检票口.那么检票
开始后多少分钟就没有人排队？
10、自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着.两位性急的孩子要从扶梯
上楼。已知男孩每分钟走20级梯级.女孩每分
钟走15级梯级.结果男孩用了5分钟到达楼上.女孩用
了6分钟到达楼上。问：该扶梯共有多少级？
11、某车站在检票前若干分钟就开始排队.每分钟来的
旅客人数一样多。从开始检票到等候检票的队伍消失.同时开
4个检票口需30分钟.同时开5个检票口
需20分钟。如果同时打开7个检票口.那么需多少分钟？
12、甲、乙、丙三个仓库.各存放着同样
数量的大米.甲仓库用皮带输送机－台和12个工人5小时把甲仓库搬空.乙
仓库用皮带输送机－台和2
8个工人3小时把乙仓库搬空．丙仓库有皮带输送机2台.如果要2小时把丙仓库搬空.
同时还需要多少名工人
1?3、一片草地.可供5头牛吃30天.或者可供5头牛吃40天.如果4头
牛吃30天.又增加了2头牛一起吃.还可以
再吃几天？
鸡兔同笼问题
【含义】第一鸡兔同笼问题：已知鸡、兔共有多少只和多少只脚，求鸡、兔各有多少只；
例1
长毛兔子芦花鸡.鸡兔圈在一笼里。数数头有三十五.脚数共有九十四。请你仔细算一算.多少兔子多少鸡？
第二鸡兔同笼问题：已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差，求鸡、兔各是多少。
例2 2亩菠菜要施肥1千克.5亩白菜要施肥
【数量关系】第一鸡兔同笼问题：
3千克.两种菜共16亩.施肥9千克.求白菜有多少亩？
例3
李老师用69元给学校买作业本和日记本共45本.作业本每本 3
.20元.日记本每本0.70元。问作业本和日记
假设全都是鸡，则有：兔数＝（实际脚数－2×鸡兔总数）÷（4－2）
本各买了多少本？
假设全都是兔，则有：鸡数＝（4×鸡兔总数－实际脚数）÷（4－2）
例4
（第二鸡兔同笼问题）鸡兔共有100只.鸡的脚比兔的脚多80只.问鸡与兔各多少只？
第二鸡兔同笼问题：
例5
有100个馍100个和尚吃.大和尚一人吃3个馍.小和尚3人吃1个馍.问大小和尚各多少人？
假设全都是鸡，则有：兔数＝（2×鸡兔总数－鸡与兔脚之差）÷（4＋2）
练一练：
假设全都是兔，则有：鸡数＝（4×鸡兔总数＋鸡与兔脚之差）÷（4＋2）
【解题思路和方法】通过先假设，再置换，使问题得到解决。
1.
有鸡兔共20只.脚44只.鸡兔各几只？
2、鸡兔共笼,兔比鸡多4只,共有脚76只.鸡、兔各多少只？
3、鹤龟同池.鹤比龟多12只.鹤龟足共72只.求鹤龟各有多少只？
4、有钢笔和铅笔共27盒,共计300支.钢笔每盒10支,铅笔每盒12支,则钢笔有多少盒？铅笔
有多少盒？
5、全班46人去划船.共乘12只船.其中大船每只坐5人.小船每只坐3人.求大船和小船
各有多少只？
6、停车场上停了35辆小轿车和两轮摩托车.地面上数一上共有10个轮子.请问小轿车和摩
托车各有多少辆？
7、某校有100名学生参加数学竞赛.平均分是63分.其中男生平均分
是60分.女生平均分是70分.男同学比女同学
多多少人？
8、买2角与5角的邮票共24张.总值6元.两种邮票各买了几张？
9、12张乒乓球台上共有34人在打球.问：正在进行单打和双打的台子各有几张？
10、有20张5元和10元的人民币.一共是175元.5元和10的人民币各有多少张？
11、小明的储蓄罐里有1角和5角的硬币共27枚.价值5.1元.1角和5角的硬币各有多少
元？
12、某次数学测验共20题.做对一题得5分.做错一题倒扣1分.不做得0分．小华
得了76分.问他做对几题？
13、某学校举行数学京赛.每做对一题得9分.做错一题倒扣3分.共
有12题.王刚得了84分.王刚做错了几题？
14、运输花瓶100个.规定每个运费为4元若打碎1个花瓶.则要赔偿
10元.这列后共得运费344元.有几个花瓶打
碎了？
15、螃蟹有10条腿.螳螂有6条
腿和1对翅膀.蜻蜓有6条腿和2对翅膀。现在这三种动物37只.共有250条腿和
52对翅膀。每种
动物各有多少只？
商品利润问题
例1 某商品的平均价格在一月份上调了10%.到二月份
又下调了10%.这种商品从原价到二月份的价格变动情况如
【含义】在生产经营中经常遇到的问题，包
括成本、利润、利润率和亏损、亏损率等方面的问题。
何？
【数量关系】利润＝售价－进货价
例2 某服装店因搬迁.店内商品八折销售。苗苗买了一件
衣服用去52元.已知衣服原来按期望盈利30%定价.那么该
???????????
利润率＝（售价－进货价）÷进货价×100%
店是亏本还是盈利？亏（盈）率是多少？
1＋利润率） ????????????? 售价＝进货价×（
例3
成本0.25元的作业本1200册.按期望获得
???????????? ?亏损＝进货价－售价
40%的利润定价出售.当销售出80%后.剩下的作业本打折扣.结果获
得的利润是预定的8
6%。问剩下的作业本出售时按定价打了多少折扣？
???????????
亏损率＝（进货价－售价）÷进货价×100%
例4 某种商品.甲店的进货价比乙店的进
货价便宜10%.甲店按30%的利润定价.乙店按20%的利润定价.结果乙店的
定价比甲店的定价贵
6元.求乙店的定价。
练一练：
1、有一批商品降价出售.如果减去定价的10%出售.可
盈利215元；如果减去定价的20%出售.亏损125元。此商品
的购入价是多少元？
2、张先生向商店订购某一商品.每件定价100元.共定购100件.张先生对商店的经理说：如果你
肯减价.每件减价1
元.我就多定购3件。商店经理算了一下.如果减价4%.由于张先生多定购.也能
获得原来一样多的利润。这种商品的
成本是多少？
3、一批商品按期望获得50%的利润来定
价。结果只消掉70%的商品.为尽早销掉剩下的商品商店决定按定价打折出
售。这样获得的全部利润.
是原来所期望利润的82%。问打了多少折？
4、甲乙两种商品成本共200元。甲商品按30%的利
润定价.乙商品按20%的利润定价.后来两种商品都按定价的90%
出售.结果仍获利润27.7元。
甲种商品的成本是多少元？
5、商店销售某一品牌的羊毛衫.购买人数是羊毛衫标价的一次函数.标价
越高.购买人数越少.把购买人数为零时的
最低标价称为无效标价.已知无效价格.已知无效价格为每件
300元。现在这种羊毛衫的成本价是100元件.商场以
高于成本价的相同价格（标价）出售。问：（
1）商场要获取最大利润.羊毛衫的标价应定为每件多少元？
（2）通常情况下.获取最大利润只是一
种“理想结果”如果商场要获取最大利润的75%。那么羊毛衫的标价为每件
多少元？
存款利率问题
例1
李大强存入银行1200元.月利率0.8%.到期后连本带利共取出1488元.求存款期多长。
【含义】把钱存入银行是有一定利息的，利息的多少，与本金、利率、存期这三个因素有
例2
银行定期整存整取的年利率是：二年期7.92%.三年期8.28%.五年期9%。如果甲乙二人同时各存入1
万元.甲
关。利率一般有年利率和月利率两种。年利率是指存期一年本金所生利息占本金的百分数；先存二年期.到期后连本带利改存三年期；乙直存五年期。五年后二人同时取出.那么.谁的收益多？多多少
元？
月利率是指存期一月所生利息占本金的百分数。
3. 张兵的爸爸买了1500元的五
年期国家建设债券.如果年利率为5.88%.到期后.他可以获得本金和利息一共多少
【数量关系】?
年（月）利率＝利息÷本金÷存款年（月）数×100%
元？?
????????????????????? 利息＝本金×存款年（月）数×年（月）利率
?
???????????????????
本利和＝本金＋利息＝本金×［1＋年（月）利率×存款年（月）
4.
老王把2000元存入银行.定期一年.到期后共获得本金和税前利息共2082.8元.年利率是百分之几？
5. 妈妈为吴庆存了2.4万元教育存款.存期为三年.年利率为5.40%.到期一次支
取.支取时凭非义务教育的学生身
份证明.可以免征储蓄存款利息所得税。
(1)吴庆到期可以拿到多少钱？
(2)如果是普通三年期存款.按国家规定缴纳5%的利息税.应缴纳利息税多少元？
?
6. 宋老师把38000元人民币存入银行.整存整取五年.他准备到期后将获得的利息用来资助贫困
学生。如果按年利
率3.87%计算.到期后宋老师可以拿出多少钱来资助学生？(利息税率是5%。)
?
7. 胡勇家以分期付款的方式在山水花园买了一套三室二厅的楼房。具体付款方式是：首
付13万元.以后每月付3400
元.另付月利率为4.2%的利息.20年付清。胡勇家共需花多少钱
买这套房？
8、小明把20000元存入银行.存期1年.到期后的税前利息和本金共20450元。
年利率是多少元？
9、2年定期存款的年利率是2.7%.李师傅存入银行2000元。
到期他能取回税后利息多少元？（利息税是20％）
10、妈妈把4000元钱存入银行.存期为两年
.年利率为2.43％。到期后.妈妈可得到本金和利息共多少元？
11、 小瑛把自己
的压岁钱300元存入银行.准备支援贫困地区的失学儿童。她存的是定期一年.利率是2.25%.到期
后小瑛可捐给贫困地区多少元钱？
12、
13、
李铭家买了5000元国家建设债券.定期3年.年利率是3.9%.到期时可以得到本金和利息共多少元？
14、
15、 李小东于2003年5月1日把积攒的500元人民币存入信用社.整存整
取存期3年。如果按年利率2.52%计算.
到期时可以获得本金和税后利息共多少元？
16、
溶液浓度问题
例1
爷爷有16%的糖水50克.（1）要把它稀释成10%的糖水.需加水多少克？
【含义】主要是溶剂（水或其它液体）、溶质、溶液、浓度这几个量的关系。
【数量关系】溶液＝溶剂＋溶质
浓度＝溶质÷溶液×100%
（2）若要把它变成30%的糖水.需加糖多少克？
例2
要把30%的糖水与15%的糖水混合.配成25%的糖水600克.需要30%和15%的糖水各多少克？
例3 甲容器有浓度为12%的盐水500克.乙容器有500克水。把甲中盐水的一半倒入乙中.混合
后再把乙中现有盐水
的一半倒入甲中.混合后又把甲中的一部分盐水倒入乙中.使甲乙两容器中的盐水同
样多。求最后乙中盐水的百分比
浓度。
练一练：
1、有浓度4%的盐水500克.为配置5%的盐水.需要蒸发掉多少水？
2、含水量99%的紫菜100千克.经过晾晒后含水量变为98%.晾晒后的紫菜重多少千克？ 3、一容器有10升纯酒精.倒出2.5升.用水加满.再倒出5升.再用水加满.这时容器内的酒液浓度是
多少？
4、有浓度为8%的盐水200克.需加入多少克浓度为20%的盐水.才能成为浓度为15%的盐水？
5、有浓度为55%的酒精溶液若干升.加入1升浓度为80%的酒精溶液后.酒精溶液浓度变为60%
.如果要得到70%的酒
精溶液需要加入多少升浓度为80%的酒精溶液？
6、浓度为20%
、30%、45%的三种酒精溶液混合在一起.得到浓度为35%的酒精溶液45升。已知浓度为20%的酒精用
量是浓度为30%的酒精的用量的3倍。原来每种浓度的酒精溶液各用多少升？
7、有若干千
克4%的盐水.蒸发了一些水分后变成了10%的盐水.再加入300克4%的盐水.混合后变成6.4%的盐水
。
最初的盐水是多少千克？
8、有40克食盐溶液.若加入200克水.它的浓度减少10%
。这种溶液原有多少克水？原来浓度是多少？
9、5%的盐水60克.20%的盐水40克.混合在一
起。倒掉10克.再加入10克水.现在的盐水浓度是多少
10、有含糖量为7％的糖水600克.要使其含糖量加大到10％.需要再加入多少克糖？
11、一种35％的新农药.如稀释到1.75％时.治虫最有效。用多少千克浓度为35％的农药加多少千克水
.才能配成
1.75％的农药800千克？
12、两种钢分别含镍5％和40％.要得到14
0吨含镍30％的钢.需要含镍5％的钢和含镍40％的钢各多少吨？
13、在100千克浓度为50
％的硫酸溶液中.再加入多少千克浓度为5％的硫酸溶液就可以配制成25％的硫酸溶液？
14、甲容
器中又8％的盐水300克.乙容器中有12.5％的盐水120克。往甲、乙两个容器分别倒入等量的水.使两
个
容器中盐水的浓度一样。每个容器应倒入多少克水？
15、有纯酒精含量为36％的酒精溶
液若干.加了一定数量的水后.稀释成纯酒精含量为30％的溶液。如果再稀释到
24％.那么还需要加
水的数量是前一次加水数量的几倍？
抽屉原则问题
例1
育才小学有367个2000年出生的学生.那么其中至少有几个学生的生日是同一天的？
【含义】基本的抽屉原则是：如果把n＋1个物体（也叫元素）放到n个抽屉中，
例2
据说人的头发不超过20万跟.如果陕西省有3645万人.根据这些数据
那么至少有一个抽屉中放着2个或更多的物体（元素）
.你知道陕西省至少有多少人头发根数一
样多吗？
【数量关系】推广：如果有m个抽屉，有k×m＋r（0＜r≤m）个元素
例3
一个袋子里有一些球.这些球仅只有颜色不同。其中红球10个.白球
9个.黄球8个.蓝球2个。某人闭着眼睛
那么至少有一个抽屉中要放（k＋
1）个或更多的元素。
从中取出若干个.试问他至少要取多少个球.才能保证至少有
k
4
倍多一些，
个球颜色相同？
通俗地说，如果元素的个数是抽屉个数的
那么至少有一个抽屉要放（k＋1）个或更多的元素。
【解题思路和方法】
（1）改造抽屉，指出元素；
1．木箱里装有红色球3个、黄色球5个、蓝色球7个.若蒙眼去摸?????????????????（2）把元素放入（或取出）抽屉；
.为保证取出的球中有两个球的颜色相同.则最少
要取出多少个球？
?????????????????（3）说明理由，得出结论。
2．一幅扑克牌有54张.最少要抽取几张牌.方能保证其中至少有3张牌有相同的点数？
3
．有11名学生到老师家借书.老师的书房中有Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四类书.每名学生最多可借两本不同类的书.最少
借
一本。试证明：必有两个学生所借的书的类型相同
4．有50名运动员进行某个项目的单循
环赛.如果没有平局.也没有全胜。试证明：一定有两个运动员积分相同。
5．体育用品仓库里有许多
足球、排球和篮球.某班50名同学来仓库拿球.规定每个人至少拿1个球.至多拿2个球.
问至少有几
名同学所拿的球种类是一致的？
6．某校有55个同学参加数学竞赛.已知将参赛人任意分成四组.则
必有一组的女生多于2人.又知参赛者中任何10
人中必有男生.则参赛男生的人数为多少人？
7．有黑色、白色、蓝色手套各5只（不分左右手）.至少要拿出多少只（拿的时候不许看颜色）.才能使拿出
的手
套中一定有两双是同颜色的。
练一练：
8．一些苹果和梨混放
在一个筐里.小明把这筐水果分成了若干堆.后来发现无论怎么分.总能从这若干堆里找到两堆.
把这两
堆水果合并在一起后.苹果和梨的个数是偶数.那么小明至少把这些水果分成了多少堆？
9．从1.3.5.…….99中.至少选出多少个数.其中必有两个数的和是100。
10
．某旅游车上有47名乘客.每位乘客都只带有一种水果。如果乘客中有人带梨.并且其中任何两位乘客中至少有
一个人带苹果.那么乘客中有多少人带苹果。
11．某个年级有202人参加考试.满分为1
00分.且得分都为整数.总得分为10101分.则至少有多少人得分相同？
12．2006名营员
去游览长城.颐和园.天坛。规定每人最少去一处.最多去两处游览.至少有几个人游览的地方完全相
同
13．某校派出学生204人上山植树15301株.其中最少一人植树50株.最多一人植树100株
.则至少有多少人植树的
株数相同？
公约公倍问题
【含义】
需要用公约数、公倍数来解答的应用题叫做公约数、公倍数问题。
例1 一张硬纸板长60厘米.宽5
6厘米.现在需要把它剪成若干个大小相同的最大的正方形.不许有剩余。问正方形
【数量关系】
绝大多数要用最大公约数、最小公倍数来解答。
的边长是多少？
【解题思路和方法】先确定题目中要用最大公约数或者最小公倍数，再求出答案。最
例2 甲、
乙、丙三辆汽车在环形马路上同向行驶.甲车行一周要36分钟.乙车行一周要30分钟.丙车行一周要48大公约数和最小公倍数的求法，最常用的是“短除法”。
分钟.三辆汽车同时从同一个起点出发.问至少要多少时间这三辆汽车才能同时又在起点相遇？
例3 一个四边形广场.边长分别为60米.72米.96米.84米.现要在四角和四边植树.若四边
上每两棵树间距相等.至
少要植多少棵树？
例4 一盒围棋子.4个4个地数多1个.5个5
个地数多1个.6个6个地数还多1个。又知棋子总数在150到200之
间.求棋子总数。
5.在16后面补上三个数字.组成的五位数分别含有约数3、4、5.要使这个五位数最大.补上的三个数字依
次是哪几
个？??
6.商店有5箱不同的水果.分别重21千克.14千克.16千克.19
千克和27千克。两个顾客买走了其中4箱水果.而且
其中一个顾客的水果重量是另一个顾客水果重量的
2倍。商店里剩下的那筐水果重多少千克？??????
7.张老师在新华书店买了36本《数学世界
》.发票上写着：□12.3□.有两位数字看不清.已知这本书的单价不超过
10元.你能算出每本书
多少元？
1、24的因数共有多少个？36的因数共有多少个？24和36的公因数是哪几个？其中最
大的一个是？
2、一个长方形的面积是323平方厘米.这个长方形的长和宽各是多少厘米？（长和宽都是素数）
3、两个自然数的乘积是420.它们的最大公因数是12.求它们的最小公倍数。
4、两个自然数相乘的积是960.它们的最大公因数是8.这两个数各是多少？
5、两个数的最小公倍数是126.最大公因数是6.已知两个数中的一个数是18.求另一个数。 <
br>6、有一种长51厘米.宽39厘米的水泥板.用这种水泥板铺成一块正方形地.至少需要多少块水泥板？
7、有三根铁丝长度分别为120厘米、90厘米、150厘米.现在要把它们截成相等的小段.每根无
剩余.每段最长多少
厘米？一共可以截成多少段？
8、有两个不同的自然数.它们的和是48.它们的最大公因数是6.求这两个数。
9、同学
们参加野餐活动准备了若干个碗.如果每人分得3个碗或4个碗或5个碗.都正好分完.这些碗最少有多少个？
10、有A、B两个两位数.它们的最大公因数是6.最小公倍数是90.则A、B两个自然数的和是多
少？
用最大公因数数解决生活中的相关问题
1、有一堆西瓜与一堆木瓜.分别为24个与3
6个.将其各分成若干小堆.各小堆的个数要相等.则每小堆最多几个？
这时候西瓜分成多少小堆？木瓜
分成多少小堆？
2、甲、乙两队学生.甲队有121人.乙队有143人.各分成若干组.
各组人数要相等.则每组最多有几人？这时候甲队
可分成多少组？乙队可分成多少组？
3、今有梨320个、糖果240个、饼干200个.将这些东西分成相同的礼品包送给儿童.但包数要最多
.则每包有多少
个梨？有多少个糖果？有多少个饼干？
4、把一张长30厘米.宽
24厘米的长方形纸裁成同样大小的正方形.且没有剩余.裁成的正方形的边长最大是几厘米？
<
br>一共可以裁成多少个
5、有两根同样长的铁丝.第一根长15厘米.第二根长18厘
米.要把它们截成同样长的小段.而且不能有剩余.每小段
最长是多少？一共能截成多少段？
用最小公倍数解决生活中的相关问题
1、利用每一小块长6公分.宽4公分的长方形彩色瓷砖
在墙壁上贴成正方形的图案。问：拼成的正方形的边长可能
是多少？
2、美美客运有A、B两
种车.A车每45分发车一次.B车每1小时发车一次.两车同时由上午6点发车.下一次同时发
车是什
么时候？
3、王伯伯有三个小孩.老大3天回家一次.老二4天回家一次.老三6天回家一次.这次1
0月1日一起回家.则下一
次是几月几日一起回家？?
4、新客站是1路车和2路
车的起点站.1路车10分钟发一辆车.2路车15分钟发一辆车.早晨6：10两车同时发车.
经过多
少时间两车再次同时发车？到什么时候两车同时发车？
5、有一些糖果.分给8个人或分给
10个人.正好分完.这些糖果最少有多少粒？有一些糖果.分给8个人或分给10
个人.都是还多3粒
.这些糖果最少有多少粒？
6、一筐鸡蛋.3个3个数.最后多1个；5个5个数.最后多
1个；6个6个数.最后也多1个。这些鸡蛋至少有多少
个？
1、
一个长方形的面积是24厘米.它的长和宽都是整厘米数.这样的长方形有多少种？
2、五（1）班学
生数不超过50人.小组合作学习时.根据教学内容不同可以分为每组3人.每组4人.每组6人.每组
8人.各种分法都刚好分完。这个班可能有学生多少人？
3、甲、乙、丙三人到图书馆去借书.甲每6
天去一次.乙每8天去一次.丙每9天去一次.如果3月5日他们三人在
图书馆相遇.那么下一次都到图
书馆是几月几日？
4、园林工人在一段公路的两边每隔4米栽一棵树.一共栽了74棵。现在要改成每
隔6米栽一棵树。那么.不用移栽
的树有多少棵？
5、张大伯卖了一天的水果.晚上数钱时.
他发现手头的一叠纸币是一些贰元的和伍元的。张大伯把这叠钱分成钱数
相等的两堆.第一堆中伍元和贰
元的钱数相等.第二堆中伍元与贰元的张数相等。你知道这一叠纸币至少有多少元？
6、光明小学五年
级学生.分为7人一组、8人一组或6人一组排队做操.都恰好分完.五年级至少有多少学生？
7、现
在有1～10这10个自然数.请你根据学过的数的整除的知识.要求找出与众不同的数.试着写.并写出理由。
8、有一批图书总数在1000本以内.若按24本书包成一捆.最后一捆差2本；若按28本书包成一
捆.最后一捆还是
差2本书；若按32本包一捆.最后一捆是30本。这批图书有多少本？
9
、有4米和6米两种规格的木条若干根.如果把同样规格的木料相接.那么4米与6米长的木料至少分别要多少根
.
接成的木料有多长？
10、一块长方形铁皮.长96厘米.宽80厘米.要把它剪成同样大
小的正方形且没有剩余.这种正方形的边长是多少？
被剪成几块？
11、汽车站内每隔3分钟
发一辆公交车.4分钟发一辆中巴车.1小时共发了几辆汽车？几辆中巴车？（发第一辆车
不需等）
变与不变
填写下表.观察哪个数变化了？是怎样变化的？
被除数 30 60
30 15 30 60 60
除??数 40 40 80 40 20 80 20
商
被乘数 30 60 30 15 30 60 60
被减数 67 67 77 77
一个加数 67 67 77 77
乘?? 40 40 80 40 20 80 20
减 数 20 30 20 10
另一个加数
数
20 30 20 10
和
差
例1.??两个数相加.一个加数减少7.另一个加数增
积
加7.和起什么变化？
例2.?两数相加.如果一个加数增加10.要使和增加2.那么另一个加数应有什么
变化？
例3.?两数相减.如果被减数增加8.减数减少8.将有怎样的变化？
例4.两数相减.被减数减少16.如果要使差减少18.减数应有什么变化？
例5.?两数相乘.如果一个因数乘以4.另一个因数除以2.积将有什么变化？
例6.?两数相乘.一个因数乘以2.要使积扩大6倍.另一个因数应该怎样变化？
例7.两数相除.如果被除数乘以4.除数除以3.商将怎样变化？
例8.?两个因数相乘.积是48.如果一个因数乘以2.另一个因数除以3.则两数积是多少？
练一练：
1.??两数相加.一个加数增加8.另一个加数也增加8.和有什么变化？
2.??两数相加.一个加数增加9.另一个加数减少9.和起什么变化？
3.两数相加.如果一个加增加8.要使和增加14.那么另一个加数应有什么变化？
4.??两数相加.如果一个加数增加8.要使和减少4.那么另一个加数应有什么变化？
5.?两数相减.被减数增加5.如果要使差增加8.减数应有怎样变化？
6.两数相减.被减数增加5.如果要使差增加8.减数应有怎样的变化？
7.??????两数相减.被减数增加30.在使差不变.被减数应有什么变化？
8.??????两数相减.如果减数增加2.在使差减少29.被减数应有什么变化？
9.??????两数相乘.如果一个因数乘3.另一个因数除以3.积将有什么变化？
10.??两数相乘.一个因数除以3.要使积不变.另一个因数应有什么变化？
11.??两数相乘.如果一个因数缩小2倍.现在要使积扩大6倍.那么另一个因数应有什么变化？
12.??两数相除.如果被除数乘4.除数乘2.商将有什么变化？
13.??两数相除.如果被除数乘4.要使商扩大8倍.除数应有什么变化？
14.??两数相除.如果被除数除以6.要使商缩小3倍.除数应有什么变化？
15.??两数相除.如果除数扩大5倍.要使商缩小5倍.被除数应有什么变化？
16.??两数相除.商为21.如果被除数乘以20.除数除以5.商就变为多少？
错中求解
★
小华在讲算减法时.把被减数百位上的7写成了1.把减数个位上的9写成了
1.这样就算得
差是210.正确的差是
【含义】在加减乘除运算时，因粗心得到错误答案，根据条件求正解
多
少
【数量关系】倒推法
★小青在计算一道时.把（7+□）×
分析错误原因；
12错写成7+□×12；他得到的结果与正确的结果相差多少？
★欣欣在
计算有余数除法时.把被除数925写成835.这样商就少了6.余数恰好相同。请你算出这道题的除数和余数
。
利用和差积商的变化规律求出相应值
★小明在计算两位数乘两位数时.
把一个因数的十位数5错写成3.结果得到432.实际应为672。这两个因数各是多
少？
★小明在计算除法时.把除数540末尾的“0”漏写了.结果得到商是60.正确的商应该是多少？
练一练：
1、小红在计算加法时.把一个加数百位上的8看成了6.把另一个加数十位上
1错看成了4.得到和为923.正确的和
应是多少？
2、小明在计算减法时.把被减数百位
上的7写成了1.个位上的9写成了1.这样算得差是210.正确的差是多少？
3、小徐在讲算减法
时.把减数个位上的3写成了5.把十位上的2写成了0.这样差就是400.正确的差是多少？
4.一个数除以4.小华把除号写成了乘号.得到的结果是240.正确的商是多少？
5.小强计算时把一个数除以2减4.看成乘2加4.得到的结果是36.正确的结果是多少？
6.小白在计算时把一个乘以3.看成加3.得到结果为63.正确的结果是多少？
7、小明
在计算除法题时.把被除数1350错写成1305.结果得到的商是52.余数是5.正确的商是多少？
8、小任在计算除法题时.把除数210错写成21.结果得到的商是150.正确的商是多少？ 9、小明在计算除法题时.把被除数7140错写成1740.结果得到的商是49.余数是25.正确的商
是多少？
10、小明在计算两位数乘两位数时.把一个因数的个位数6错写成9.结果
得到936.实际应为864。这两个因数各是
多少？
11、小红在计算两位数乘两位数时.
把一个因数的个位数3错写成8.结果得到1836.实际应为1701。这两个因数各
是多少？ 12、小华在做一道两位数乘法时.把其中一个因数的个位上的3写成了5.乘得的结果是875.正确的结
果应该是805.
求这两个因数分别是多少？
13、两个数相乘.若一个因数增加13.另一
个因数不变.则积就增加832；若反之第一个因数不变.另一个因数减少13.
则积就减少377.正
确的乘积是多少？
14、两个数相乘.如果一个乘数增加3.另一个乘数不变.则积就增加18；如果
一个乘数不变.另一个乘数减少4.则积
就减少200.原来积是多少？
15、两个数相乘.
如果一个乘数增加6.另一个乘数不变.则积就增加468；如果一个乘数不变.另一个乘数增加6.则
积就增加144.原来积是多少？
16、甲乙两学生同算两数之和.甲得685.计算正确；乙得46
0.计算错误.乙所以算错的原因是将其中一个加数末尾
的0漏掉了。两个加数各是多少？
1
7、小峰和小华计算同一道减法题.小峰的计算结果是5618.小华的计算结果是38。已知小峰的计算结果是
正确的.
小华计算错误的原因是将减数的末尾多写了一个“0”.问这道减法算式的被减数和减数各是多
少？
代换（消元）问题
例
【解题思路】认真的审题，仔细的观察、分析，弄清两组物品之间的相等关系，
1：
1、1只猴子等于
将这种关系代入另一组当中，就可明白问题中两个物品之间的关系
了。
2只兔子的重量.1只兔子的重量等于3只小鸡的重量。已知每只小鸡重2001只猴子重多少克？
克。
2、如果1个菠萝的重量等于6个苹果的重量.同时又等2根香蕉的重量。问一
根香蕉的重量等于几个苹果的重量？
【基本方法】“等量代换”，即两个相等的量，可以互相代换。（带入消元 加减消元）
例2：
1、1只兔子的重量＋1只猴子的重量＝8只鸡的重量
3只兔子的重量＝9只鸡的重量
1只猴子的重量＝（ ）只鸡的重量
2、用3个鹅蛋可换9个鸡蛋.2个鸡蛋可换4个鸽子蛋.用5个鹅蛋能换多少个鸽子蛋？
3、2头小猪可换4只羊.3只羊可换6只兔子.3头猪可换几只兔子？
例3：
1、1个苹果的重量＋1个桃子的重量＋1个菠萝的重量＝630克
1个桃子的重量＋1个菠萝的重量＋1个梨的重量＝730克
1个苹果的重量＋1个桃子的重量＋1个梨的重量＝330克
1个苹果的重量＋1个菠萝的重量＋1个梨的重量＝800克 .求这四种水果各多少克？
2、1只鸡的重量＋1只猴的重量＝15千克
1只鸭的重量＋1只猴的重量＝18千克
1只鸡的重量＋1只鸭的重量＝13千克 . 求这三种动物各多少千克？
练一练：
1、一只足球相当于两个排球重量.一只排球重量相当于90只乒乓球重量.一只乒乓球约重3克.那么
1只足球相当
于多少克
2、一支钢笔和一支圆珠笔共用12元.一支钢笔的价钱可以买5支圆
珠笔.每支圆珠笔和钢笔各多少元？
3、2头猪可换4只羊.3只羊可换6只兔子.5头猪可换几只兔子
4、李老师买了3个足球
.张老师买4个篮球.王老师买了1个足球、1个篮球、3个皮球。他们每人所用的钱数都相
等。5个足
球的价钱相当于几个皮球的价钱？
5、如果用车、马、炮分别表示不同的自然数.车÷马＝2.炮÷车
＝4.炮－马=56.求：车＋马＋炮＝？
6、百货商店运来300双运动鞋.分别装在2个木箱和6
个纸箱里。如果1个木箱和2个纸箱装的运动鞋一样多.那
么每个木箱和每个纸箱各能装多少双运动鞋？
7、已知13个李子的重量等于2个苹果和1个桃子的重量.而4个李子和1个苹果的重量等于1个桃子
的质量。多
少个李子的重量等于1个桃子的重量？
8、有一条大鱼.鱼尾重4千克.鱼头质量
等于鱼尾加上鱼身一半的质量.而鱼身的质量等于鱼头加鱼尾的质量。这条
鱼有多重？
9、六年级4个班.不算甲班.其余3个班共131人；不算丁班.其余3个班共134人；乙、丙两班
总数比甲、丁两班
总数少1人.那么六年级共多少人？
10、小华买了3只铅笔和6张图画纸
.一共付了1.2元。已知每只铅笔比每张图画纸贵0.1元。每张图画纸多少元？
每只铅笔多少元？
还原问题
【倒推问题】结果和过程已知，最初的数据未知
例1、某数加上6.乘6.减去6.除以6.结果等于6.则这个数是多少？
【方法】加减乘除的逆运算，在对象、过程较多的情况下，还可以借助列表法或图解法
米.最
后还剩7米。例2、一捆电线.第一次用去全长的一半多3米.第二次用去余下的一半少10米.第三次用去15
这捆电线原有多少米？
例3、有一筐苹果.把它们三等分后还剩2个苹果；取出其中两份.再
将它们三等分后还剩2个；然后再取出其中两
份.又将这两份三等分后还剩2个；这框苹果至少有几个？
例4、甲、乙、丙三个组共有图书90本.如果乙组向甲组借3本后.又送给丙组5本.那么三个组所有
图书的本数刚
好相等。甲、乙、丙三个组原来各有图书多少本？
练一练：
1、小刚
的奶奶今年年龄减去7后.缩小9倍.再加上2后.扩大10倍.恰好是100岁.小刚的奶奶今年多少岁？
2、一个数的3倍加上6.再减去9.最后乘以2.结果得60。求这个数。
3、某商场出售
洗衣机.上午售出总数的一半多10台.下午售出剩下的一半多20台.还剩95台.这个商场原来有洗衣
机多少台？
4、小明、小强和小勇三个人共有故事书60本。如果小强向小明借3本后.又借给小勇
5本.结果三个人的故事书的
本数相等。这三个人原来各有故事书多少本？
5、王亮和李强各
有画片若干张。如果王亮拿出和李强同样多的画片给李强.李强再拿出和王亮同样多的画片给王亮.
这时
两个人都有24张。问王亮和李强原来各有画片多少张？
6、粮库内有一批大米.第一次运出总数的一
半多3吨.第二次运出剩下的一半多5吨.还剩下4吨。问粮库原有大米
多少吨？
7、爸爸买
了一些橘子.全家人第一天吃了这些橘子的一半多1个.第二天吃了剩下的一半多1个.第三天又吃了剩下
的一半多1个.还剩下1个。问爸爸买了多少个橘子？
8、甲、乙、丙、丁四个小朋友有彩色玻璃球
100颗.甲给乙13颗.乙给丙18颗.丙给丁16颗.丁给甲2颗后四人的
个数相等。他们原来各有
玻璃球多少颗？
9、书架分为上、中、下三层.共放192本书。现在上层取出中层同样多的书放到中
层.再从中层取出下层同样多的
书放到下层.最后.从下层取出上层剩下的同样多的书放到上层.这时三
层书架所放的书的本数相等。这个书架三层
原来各放书多少本？
10、学校运来36棵树苗.
小强和小平两人争者去栽.小强先拿了树苗若干棵.小平看到小强太多了就抢了10棵.小强
不肯.又从
小平那里抢回6棵。这时小强拿的树苗棵数是小平的2倍.问最初小强准备拿几棵？
11、小红问王老
师今年多大年纪.王老师说：把我的年龄加上9.除以4.减去2.再乘以3.恰好是30岁。问王老师今
年多少岁？
12、粮库内有一批面粉.第一次运出总数的一半多3吨.第二次运出剩下的一半少7吨
.还剩4吨。问：粮库里原有
面粉多少吨？
13、有一筐梨.甲取一半又一个.乙取余下的一
半又一个.丙再取余下的一半又一个.这时筐里只剩下一个梨。这筐梨
共有多少个梨？
14、
某人去银行取款.第1次取了存款的一半还多5元.第二次取了余下的一半还多10元.这时存折上还剩125元
。
问：此人原有存款多少元？
15、三个容器内都有水.如果甲容器的13水倒入乙容器.再
把乙容器的14倒入丙容器.最后再把丙容器的110倒
入甲容器.那么各容器的水都是9升.每个容器
里原来有水多少升？
枚举问题
【含义】有一些需要计算总数或种类的趣题，因其数量关系比
较隐蔽，很难找到“正统”的方式解答，让人
一、列表枚举
感到无从下手。对此，
我们可以先初步估计其数目的大小。若数目不是太大，就按照一定的顺序，一一列举
例1、有一张伍圆币.4张贰圆币.8张壹圆币。要拿出8元.可以有多少种不同的拿法？
问题的可能
情况；若数目过大，并且问题繁杂。我们就抓住对象的特征，选择恰当的标准，把问题分为不重
复、不遗
漏的有限种情形，通过一一列举或计数，最终达到解决目的。这就是枚举法，也叫做列举法或穷举
法。
二、画图枚举（树状图）
例2、暑假里.一个学生在A、B、C三个城市
游览。他今天在这个城市.明天就到另一个城市。假如他第一天在
A市.第五天又回到A市.问他有几种
不同的游览方案？
三、标数枚举
例3 、从A点到B点有最短的走法多少种？
四、例推枚举：适用于规律性强.情形较多的题。可以避免许多相似的列举.简化解答过程。
例4
从1到100的自然数中.每次取出两个数.要使它们的和大于100.共有多少种取法？
五、公式枚
举：有规律性.且情形繁多.数目很大.通过适当的分类.逐一分析后.可利用公式解
答。
例5
用5种颜色染方格图（2×2）.要求每个小格
染同一种颜色.相邻（即有公共边的）
方格要染不同的颜色。有几种不同的染色方法？
?练一练：
1、一本书有300页.编印页码1、2、3、4、5……问数字“1”的页码中出现了多少次
2、用0、1、2三个数字可以组成哪些三位数(每个数不得用相同的数字)并把它们按照从大到小的顺序排列
起来。
3、用数字6和9组成数字可以重复的四位数.但其中至少要连续两位都是6或9.问一共可以
组成多少个这样的四位
数
4.小强在暑假中要做语文、数学、外语三科作业.他今天做这科.
明天做另一科。如果第一天小强做数学.到第五天
他仍做数学.那么他有多少种不同的做题方式
5、往返于南京和上海之间的沪宁高速列车沿途要停靠常州、无锡、苏州三站。问：铁路部门要为这趟车准备多
少
种车票
6、已经知道一个长方形的周长是18厘米.长和宽都是整厘米数.这个长方形有多
少种可能的情况哪种形状的长方形
面积最大
7、一块橡皮价格是1角1分.如果用1分、2分
、5分的硬币去买一块橡皮.并且不用售货员找钱.有多少种付款方
式请将所有可能的付款方式.用加法
算式表示出来.
8、现在有1克、2克、4克的砝码各一个.在天平上能够称出多少种不同重量的物体
9、参加“洽谈会”客人见面问候,在6位客人中,不重复地握手13次.互相之间都握过手的至少有位
客人.
10、a,b,c,d四本不同的书放入一个书包,至少放1本.最多放2本,共有种不同的放法. <
br>11、从3,13,17,29,31,这五个自然数中,每次取两个数分别作一个分数的分子和分母,一
共可以组成个最简分数.
12、甲、乙两人比赛乒乓球,先胜三局的人算赢.直到决出胜负为止,共有多少种可能发生的情况.
平均数问题
【解题思路】确定“总数量”与“总份数”
例1
、小明参加数学考试.前两次平均分是85分.后三次平均分是90分。小明这几次考试的平均分是多少？
【数量关系】 总量÷份数＝平均数； ???
例2、小朋友折星星.第一组9人.共折11
8颗；第二组10人.共折113颗.第三组7人.共折81颗。平均每人折多少
总量÷平均数＝份数；
颗？
平均数×总份数＝总量
例3、在一次比赛中.我们班5个选手的平均分是86分.如果不把张力的成绩算进去平均成绩是84分.张力多
少分？
练一练：
1、张力花一周的时间读完了一本故事书。第一天她读了19页.接下来的
四天每天读17页.最后两天读了53页。他
一周平均每天读了多少页？
2、如果4个人的平均年龄是25岁.4个人中没有小于25岁的.那么年龄最大的人可能是多少岁？
3、小红前几次数学平均分是90分.此次要考98分.才能把平均成绩提到92分。这是第几次考试？
4、从张力家到李华家距离是504米.张力去李华家每分钟走72米.回家时每分钟走了56米.求张
力往返的平均速度。
5、山顶到山脚48千米.一辆车上山要4小时.下山只花2小时
.这辆汽车的平均速度是多少？
6、李平到学校每分钟50米要用18分钟。放学回家每分钟走75米
。李平从家到学校往返的平均速度是多少？
7、李华前几次的数学平均成绩是88分.这次要考100
分.才能把平均成绩提高到91分.问他这次是第几次测试？
8、李华前几次的英语成绩平均90分.
这一次99分.一下就把英语的平均分提高到了93分.这次是第几次？
9、张力高134厘米.李华138厘米.李平比他们三人的平均身高要高2厘米.李平的身高是多少？
10、三2班有学生62人.平均身高132厘米.其中女生28人.平均身高136厘米.男生的平均
身高是多少
11、甲乙丙三个人在进午餐.共买了1600克面包.甲没有带钱.由乙丙分别付出90
0克和700克的钱.甲和乙吃同样
多.丙比乙多吃了100克.第二天.甲带5元钱来.乙12、商场
前三天卖出了鸡蛋69箱.第四天卖出了33箱.接下来的
5天卖出鸡蛋123箱.开业这几天平均每天
卖出鸡蛋多少箱？
13、李华数学考试前2次平均分是85分.后三次的总分是270分.他5次的平均分是多少？ 14、在跳绳比赛的时候.平均每人跳152下。甲组6人.平均每人跳140下.乙组平均每人跳了160
下.乙组多少人？
15、李华前两次的数学成绩平均62分.第三次考试后.他的平均成绩是68分.他第三次得了多少分
容斥原理
例1. 某区有100
先不考虑重叠的情况，
名外语教师懂英语或
日语.其中懂英语的有75名.
然后再把重复计算的数目排除出去，
既懂英语又懂日语的有20
人。只懂日语的有多
【基本思想】把每个部分的总量算出来，
少名？
使得计算的结果无遗漏又无重复。（画图）
例2. 六年级一班春游.带矿泉水的有人
A.带水果的有16人.这两种至少带一种的有28人.求两种都带的有多少
【公式】A、B两类：<
br>ABA
18
BB
人？
A、B、C三类：
ABCABCABACBCABC
例3. 某班数学测验时有10人得优.英语得优有12人.两门都得优有3人.两门都没得优的有26
人。全班有多少人？
例4. 有三个面积各为50平方厘米的圆放在桌面上.两两相交的面积分别是8
、10、12平方厘米.三个圆相交的面积
是5平方厘米.求三个圆盖住桌面的面积？
例5.
在1至100的自然数中.不能被2整除的数或不能被3整除或不能被5整除的数共有多少个？
练一练：
1、在1到100的自然数中.既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？ <
br>2、光明小学举办学生书法展览。学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品.其中有24幅不是五年级
的.有22
幅不是六年级的.五、六年级参展的书法作品共有10幅.其他年级参展的书法作品共有多少
幅？
3、实验小学各年级都参加的一次书法比赛中.四年级与五年级共有20人获奖.在获奖者中有1
6人不是四年级的.有
12人不是五年级的。该校书法比赛获奖的总人数是多少人？
4、五年
级96名学生都订了刊物.有64人订了少年报.有48人订了小学生报.问两种刊物都订的有多少人？
5、一个班的52人都在做语文和数学作业.有32人做完了语文作业.有35人做完了数学作业.这个班语文
、数学都
做完的有多少人？
6、五年级有112人参加语文、数学考试.每人至少有一门功课
得优.其中.语文得优的有65人.数学得优的有87人。
问语文、数学都得优的有多少人？
7、某班在一次测验中有26人语文获优.有30人数学获优.其中语、数双优的有12人.另外还有8人语、数
均未获
优。这个班有多少学生？
8、某地区的外语教师中.每人至少懂得英语和日语的一种语
言。已知有35人懂英语.34人懂日语.两种语言都懂的
有21人.这个地区有多少名外语教师？ <
br>9、第一小组的同学们都在做两道数学思考题.做对第一道的有15人.做对第二道的有10人.两题都做
对的有7人.
两题都做错的有2人。第一小组一共有多少人？
10、全班有46名同学,仅会
打乒乓球的有18人,会打乒乓球以及会打羽毛球的有7人,不会打乒乓球又不会打羽毛
球的有6人,问
,仅会打羽毛球的有多少人
11、学校开展课外活动.共有250人参加。其中参加象棋组和乒乓球组
的同学不同时活动.参加象棋组的有83人.参
加乒乓球组的有86人.这两个小组都参
加的有25人。问这250名同学中.象棋组、乒乓球组都不参加的有多少人？
12、实验小学各年级
都参加的一次书法比赛中.四年级与五年级共有20人获奖.在获奖者中有16人不是四年级.有
12人
不是五年级的。该学校书法比赛获奖的总人数是多少人？
13、五（1）小学举行小学田径运动会.其
中24名运动员不是六年级的.28名运动员不是五年级的.已知五、六年级
运动员共有32名.五、六
年级和中低年级运动员各有多少名？
14、少年乐团学生中有170人不是五年级的.有135人不是
六年级的.已知五、六年级的共有205人.少年乐团中五、
六年级以外的学生有多少人？
1
5、六一儿童节同学们做小花.有24朵不是红色的.有20朵不是黄色的.已知红花和黄花一共18朵.其他颜
色的花
一共做了多少朵？
周期问题
【解题思路】首先要仔细审题，判断
其不断重复出现的规律，也就是找出循环的固定数，然后利用除法
练习一：
算式求出余数，最后根据余数得出正确的结果。
1、2001年10月1日是星期一.问10月25日是星期几？
【数量关系】余数的知识
2、2001年5月3日是星期四.问5月20日是星期几？
3、2001年8月1日是星期三.问8月28日是星期几？
4、2001年6月1日是星期五.问9月1日是星期几？
练习二：
1、100个3相乘.积的个位数字是几？
2、23个3相乘.积的个位数字是几？
3、100个2相乘.积的个位数字是几？
4、50个7相乘.积的个位数字是几？
练习三：
1、在同样大小的红、白、黑株共120颗.按先3颗红的后2颗白的再1颗黑的排
列。问白株共多少颗？第68颗是
什么颜色？
2、课外活动上.有4个同学在进行报数游戏.
他们围成一圈.甲报“1”、乙报“2”、丙报“3”、丁报“4”.每人报的
数总比前一个人多1.问
45是谁报的？
练习四：
1、有一列数字.……排列。那么前54个数字之和是多少？
2、有一列数字.……排列。那么前40个数字之和是多少？
3、有一列数字.……排列。那么前50个数字之和是多少？
4、有一列数字.……排列。那么前25个数字之和是多少？
练习五：
1、小红买
了一本童话书.每两页之间有3页插图.也就是说3页前后各有1页文字.如果这本书有128页.而第一页是文字.这本书共有插图多少页？
2、校门口摆了一排花.每两排菊花之间摆了3盆月季花。共摆
了112盆花.如果第一盆是菊花.那么共摆了多少盆月
季花？
3、同学们做早操.36个同
学排成一列.每两个女生中间是两个男生.如果第一个是女生.这列队伍共有多少男生？
4、一个圆形
花圃周围长30米.沿周围每隔3米插一面红旗.每两面红旗之间插两面黄旗。花圃周围共插了多少面黄
旗？
1．今天是星期四.在过90天是星期（??? ???）。
……,小数点后第1000位的数字是（?????? ）。
3．把写着1.2.3.4
.…….200号的卡片依次分发给A,B,C,D四个人。已知13号发给A.28号发给（?? ?）
105号发给（??? ?）。134发给（?? ?）。
4.有一堆围棋子.
如果按“二白三黑”的顺序依次排列起来（如图）.第84颗是白色还是黑色？第53颗和第91颗
呢？
○○●●●○○●●●○○●●●……
5．除数是7.所得的余数和商相同.你能列出（??
??）个这样的算式。这些算式有何特点。
6．有△.□.○共720个.按2个△.3个□.4个○
排列.如图。△△□□□○○○○△△□□□○○○○……
⑴△共有几个？⑵第288个是哪种图形？
7．.用六种颜色的灯泡按红黄蓝绿白紫的次序装配挂彩灯.一共装了80个灯泡.每种颜色的灯泡各需
要多少个？
8．有一盒彩色乒乓球.按三红.二绿的顺序取出.取14次以后.绿色的取光了.还剩6
个红色的。这一盒乒乓球一共
有多少个？
9．1993年9月1日是星期三.那么1994年元旦是星期（? ??）。
1
0．三种颜色的珠子依次排列如下图：●●○○○◎◎●●○○○◎◎……第83个珠子是什么颜色的？
11．将a,b,c按一定规律排列成abacbabacbabacbabacbab……最后一个是c.并
且一共出现了32个c。a,b各有多
少个？
最佳安排
练习一：
科学、合理地安排时间的方法，就叫做最佳安排。要合理安排时间，必须要考虑以下几个问题：
1、小明早晨起来要完成以下几件事：洗水壶1分钟.烧开水12分钟.把水灌入水瓶2分钟.吃早点要8分钟
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1、要知道做哪几件事；
包2分钟.小明应该怎样安排时间用时最少？最少要几分钟？
2、小明早晨起来刷牙洗脸要4
分钟.读书要8分钟.烧开水要10分钟.冲牛奶要1分钟.吃早饭要5分钟.小明应该
2、做每件事需
要的时间；
怎样合理安排时间才用时最少？最少要几分钟？
3、要弄清所做事的程序，即先
做什么？后做什么？哪些事可以同时做？
3、玲玲想给客人烧水沏茶。洗水壶要2分钟.烧开水要12分
钟.买茶叶要5分钟.
洗茶杯要1分钟.冲茶叶要1分钟.
要让客人尽可能早的喝上
茶.你认为怎样安排才最合理？最少需要多少分钟？
4、小李的阿姨要出门.出门之前她要完成以下几
件事：整理房间5分钟.把衣服和水放入洗衣机要1分钟.洗衣服自
动洗涤要12分钟.擦鞋要3分钟。
怎样合理安排.小李阿姨才用时最短？最短需要多少分钟？
练习二：
1、贴烧饼的时候.第
一面需要烘烤3分钟.第二面需要烘烤2分钟.而贴烧饼的架子上一次最多只能放2个烧饼.要
贴3个烧
饼至少需要几分钟？
2、用一个平底锅烙饼.锅上只能同时放两个饼.丙的第一面需要2分钟.烙第二
面需要1分钟.现在要烙5三个丙.最
少需要几分钟？
3、烤面包的架子上一次最多只能放两
个面包.烤一个面包的一面需要2分钟.那么烤三个面包最少需要几分钟？
4、小红妈妈要用平底锅烙
饼.锅中每次最多放4个丙.烙一个饼的一面要2分钟.另一面要1分钟.可是妈妈烙6个
饼只用了5分
钟.她是怎么做的？
练习三：
1、甲、乙、丙、丁四人各有一块麦地.他们同时用一台收割
机进行收割.甲的麦地需要收割4小时.乙的麦地需要收
割1小时.丙的麦地需要收割3小时.丁的麦地
需要收割2小时.怎样安排四人的的收割顺序使他们花的总时间最少？
最少时间是多少？
2、
甲、乙、丙三人都要到同一水龙头下取水.甲需要用2分钟.乙需要用4分钟.丙需要用1分钟.怎样安排他们的
顺序使他们花的总时间最少？最少时间是多少？
3、卫生室里有四名同学等候医生治病.甲需
要打针要3分钟.乙需要换纱布要4分钟.丙需要涂红药水要2分钟.丁
需要点眼药水要1分钟。怎样安
排他们在医院等候的时间和最少.最少是几分钟？
4、三个顾客到同一个柜台去买东西.甲需要用4分
钟.乙需要用6分钟.丙需要用2分钟.怎样安排他们的购买顺序.
使他们所花的总时间最少？最少是多
少分钟？
练习四：
1、在一条公路上每隔50米有一个粮库.共四个粮库。甲粮库存粮有1
0吨.乙粮库存粮有20吨.丁粮库存粮有50吨.
还有一个粮库是空的.现在想把所有的粮食集中在一
个粮库里.如果每吨粮食运1千米要1元的运费。那么最少要花
多少运费才行？
2、在一条公
路上每隔20米有一个仓库.共有5个。1号仓库存有20吨货物.2号仓库存有30吨货物.5号仓库存有
70吨货物.还有两个仓库是空的.现在想把所有的货物集中在一个仓库里.如果每吨货物运
1千米要1元的运费。那
么最少要花多少运费？
3、一条公路上有四个储油站.它们之间都相
隔100千米.甲储油站储油50吨.乙储油站储油10吨.丙储油站储油20
吨.丁储油站是空的.现
在想把所有的油集中在一个储油站里.如果每吨油运1千米要2元的运费。那么至少要花多
少运费？ <
br>4、一条公路有三所小学A、B、C。在什么地方设一个汽车站.才能使三个学校的学生上学放学所行的总
路程最少？
练习五：
1、小明骑在马背上赶马过河.共有甲、乙、丙、丁四匹马.甲马过河
需要2分钟.乙马过河需要3分钟.丙马过河需
要6分钟.丁马过河需要7分钟.每次只能赶两匹马过河
。要把马全部赶到河的对岸去.最少需要几分钟？
2、小明骑在牛背上赶牛过河.共有甲、乙、丙、丁
四头牛.甲牛过河需要1分钟.乙牛过河需要2分钟.丙牛过河需
要5分钟.丁牛过河需要6分钟.每次
只能赶两头牛过河。要把牛全部赶到河的对岸去.最少需要几分钟？
3、小刚骑在马背上赶马过河.共
有甲、乙、丙、丁四匹马.甲马过河需要7分钟.乙马过河需要2分钟.丙马过河需
要3分钟.丁马过河
需要8分钟.每次只能赶两匹马过河。要把马全部赶到河的对岸去.最少需要几分钟？
4、小强骑在牛
背上赶牛过河.共有甲、乙、丙、丁、戊、己六头牛.甲牛过河需要1分钟.乙牛过河需要2分钟.丙
牛
过河需要3分钟.丁牛过河需要4分钟.戊牛过河需要5分钟.己牛过河需要6分钟.每次只能赶三头牛过河。要
把
牛全部赶到河的对岸去.最少需要几分钟？