§第3讲：加减法心算和估算
非常点拨：
心算也叫“口算”，是一种只凭思维及语言活动不借任何工具的计算方法.它能培养学
生迅速的 计算技巧,发展学生的注意、记忆和思维能力.口算熟练后有助于笔算,且便于在日
常生活中应用. < br>在数学上，估算是计算能力的重要组成部分.估算是根据具体条件及有关知识对事物的
数量或算式 的结果作出的大概推断或估计.可用四舍五入、进一法、去尾法等进行估算.
非常例题1：
心算：34+85.
【思路导航】心算不能借助其他工具，那我们可以借助简便运算的方法，在心里进行口算.

【详细解答】解：方法一：34+85=30+85+4=119；
方法二：34+85=35+85-1=120-1=119.
【题后反思】分拆法，凑整法，运算律等等都可以帮助我们进行心算.

非常练习1：
1.心算下列算式：
（1）26+18 （2） 52-7


（3）72+27 （4） 77+8


2.心算下列算式：
（1）387+983 （2） 387-50-42-31



3.心算下列算式：
（1）87+78 （2）67+76



（3）83-38 （4） 97-79



非常感悟1：
心算主要不能借助任何工具，所以要借助各种简便运算的方法，因此对这类
方法要熟记于心.

非常例题2：


估算：79+19.
【思路导航】估算就是将数看作成接近的整十数，然后进行估算.

【详细解答】解：将79近似看成80，将19近似看成20，
∴80+20≈100.
【题后反思】我们可以采用四舍五入法将数看成整十数.
非常练习2：
1. 估算：
（1）31+52 （2）90-11




2.估算一下，在得数比70大的算式后面的括号里画“√”
（1）90-31 （ ）
（2）31+42 （ ）
（3）38+29 （ ）
（4）100-20-8 （ ）

3.估算：
（1）23+41+29 （2）59-18-31




非常感悟2：
把数看成与之最接近的整十数，然后口算出结果.

非常例题3：

小白兔昨天拔了51个萝卜，今天拔了48个萝卜.小白兔两天大约拔了多少个萝卜？

【思路导航】昨天的51个萝卜可以看成50个，今天48个萝卜可以看成50个，加起来即可.
【详细解答】解：50+50≈100（个）
答：小白兔两天大约拔了100个萝卜.
【题后反思】实际问题中的估算我们一般把数据看成与之最接近的整十数，然后进行计算.
非常练习3：
1.妈妈带100元钱去市场能买下面这些花，妈妈带的钱够吗？

2.衣服和裤子共用去90元，其中裤子41元，那么衣服大约多少元？




3.小明去文具店买文具用品，买笔用了11元，买本子用了24元，买书用了57元.
（1）小明买这些文具用品大约花了多少钱？
（2）小明买这些文具用品要花了多少钱？



非常感悟3：
生活中我们可以通过估算的形式来解决一些生活实际的问题.

§第4讲：加减法中的巧算
非常点拨：
在平时的计算练习中，同学们都希望做计算题时又快又正确，所以我们需要借助一些小
窍门：
1.凑整法（整十、整百、整千...）
2.分拆法（分拆后能够凑成整十、整百、整千...）
3.加法的运算律
（1）a+b=b+a;
（2）a+b+c = (a+b)+c = a+(b+c).
4.减法的运算律
（1）a-b-c=a-(b+c);
（2）a-b+c=a-(b-c) .
5.去括号添括号法则
（1）在加、减 法混合运算中，去括号时：如果括号前面是“＋”号，那么去掉括号后，
括号内的数的运算符号不变；如 果括号前面是“-”号，那么去掉括号后，括号内的数的运
算符号“＋”变为“-”，“-”变为“＋” ;
（2）在加、减法混合运算中，添括号时：如果添加的括号前面是“＋”号，那么括号
内 的数的原运算符号不变；如果添加的括号前面是“-”号，那么括号内的数的原运算符号
“＋”变为“－ ”，“-”变为“＋”.
非常例题1：
计算：243+34+126+40+457. < br>【思路导航】我们可以将243和457凑整百，34和126凑整十，然后还可以和40凑整百.

【详细解答】解：243+34+126+40+457=（243+457）+（34+126） +40=700+160+40=700+（160+40）
=700+200=900.
【题后反思】本题主要利用了凑整法，既减少出错的可能，又提高了解题的速度.

非常练习1：

1.729+154+271；
2.6998+995+97；
3.8376+2538+7462+1624.
非常感悟1：
在加法运算中，我们往往先凑整，再计算.
非常例题2：
计算：1200-856-144.
【思路导航】我们可以将856和144先加起来，计算简便.

【详细解答】解：1 200-856-144=1200-（856+144）=1200-1000=200.
【题后反思】本题运用了减法的结合律，使得计算简便.
非常练习2：
1.5283+1396-283；

2.4328-（328+497）；
3.
4000-5-10-15-···-95-100
.
非常感悟2：
我们在计算加减法时，可以改变加、减法的运算顺序使得计算变得简便.

非常例题3：
计算：81+80+78+82+83+74+75+85+87.
【思路导航】这几个数都接近80，我们可以选择80作为基数，多的补上，少的减去.
【详细解答】 解：83+82+78+79+80+78+79+77+84=80×9+（1+0- 2+2+3-6-5+5+7）=720+5=725．
【题后反思】这道题目的解题关键是分拆法，分拆和可以得到整十.
非常练习3：
1.2000+2003+2006+2009+2012+2015；
2.9999+4+97+998+95+7；
3.111000-（99998+9997）-996.
非常感悟3：
加减法算 式中某些数比较接近整十、整百时，我们可以把算式中其他数拆
了，作为这些数的补数.

§第5讲：计量单位的换算与应用
非常点拨：
我们已经学过的计量单位及进率：
1、长度计量单位及进率：千米（公里）、米、分米、厘米、毫米
1千米=1公里 1千米=1000米
1米=10分米 1分米=10厘米 1厘米=10毫米
2、面积计量单位及进率：平方千米、公顷、平方米、平方分米、平方厘米
1平方千米=100公顷 1平方千米=1000000平方米
1公顷=10000平方米 1平方米=100平方分米
1平方分米=100平方厘米
3、质量单位及进率：吨、千克、公斤、克
1吨=1000千克 1千克=1公斤 1千克=1000克
4、时间单位及进率：世纪、年、月、日、小时、分、秒
1世纪=100年 1年=12月
1天=24小时 1小时=60分 1分=60秒
5、货币单位及进率：元、角、分
1元=10角 1角=10分 1元=100分
非常例题1：
在括号里填上合适的数.
5厘米＝（ ）毫米 1千米＝（ ）米
400厘米＝（ ）米 30分米＝（ ）米
4千克＝（ ）克 9吨＝（ ）千克
3000千克＝（ ）吨 70米＝（ ）分米
【思路导航】高级单位转化为低级单位是乘以进率，低级单位转化为高级单位是除以进率，

【详细解答】5厘米＝50毫米 1千米＝1000米
400厘米＝4米 30分米＝3米
4千克＝4000克 9吨＝9000千克
3000千克＝3吨 70米＝7分米
【题后反思】单位的转换主要就是要熟悉的知道两个单位之间的进率.

非常练习1：

1.在（ ）里填上合适的数.
（1）一袋洗衣粉重2千克，5袋洗衣粉重（ ）千克.
（2）一袋食盐重500克，（ ）袋食盐重1千克.
（3）运动场的一圈是400米，张冬每天早晨跑2圈，他每天早晨跑（ ）米，再跑
（ ）米就是1千米.
2.在（ ）里填上“＞”、“＜”或“＝”.
（1）1吨（ ）1001千克 （2）2950米（ ）3千米
（3）800厘米（ ）8米 （4）9千克（ ）900克

（5）3小时（ ）180分
3.直接写出得数.
（6）4000厘米（ ）40分米
（1）1米－1厘米＝（ ）厘米
（2）8千克－2000克＝（ ）千克
（3）4千米－1000米＝（ ）千米
（4）1吨－600千克＝（ ）千克
（5）2时-70分=（ ）分
（6）20分+40分=（ ）时． 非常感悟1：
当计算过程中，遇到单位不统一时，需要根据进率先将单位统一，然后进行
计 算.
非常例题2：
在括号里填上适当的单位．
图钉的长约1（ ）； 教室门高2（ ）； 黑板长4（ ）．
【思路导航】结合生活经验，对长度单位的认识和所给数据的大小，可以得出答案.

【详细解答】解：厘米；米；米.
【题后反思】填适合的单位，是生活经验的累积，是观察能力的重要体现.
非常练习2：
1.在括号里填上合适的单位名称.
（1）一支铅笔长20（ ）
（2）一个乒乓球重6（ ）
（3）小明跑完800米需要3（ ）
（4）妈妈买只笔花了30（ ）
（5）杭州西湖的面积约是5.6（ ）
2．在括号里填上合适的单位并计算：水是生命之源，人一天大约要喝水1600（ ）
左右，丽丽每天用一个圆柱形的杯子喝水，杯子的半径是3 （ ），高是1.5（ ）.
3.判断题.
（1）一千克棉花和一千克铁同样重. （ ）1教育
（2）因为400大于4，所以400米大于4千米. （ ）
（3）一间教室长8米. （ ）
（4）小明身高140厘米. （ ）
（5）一头大象约重4千克. （ ）
非常感悟2：
生活中的计量单位，我们需要累积一定的生活经验，灵活选择.

非常例题3：
甲瓶矿泉水重5千克，乙瓶矿泉水重1000克，那么甲瓶矿泉水比乙瓶多多少克？
【思路导航】两瓶矿泉水的重量差，只要两者作差就可以了，但还要先统一单位.
【详细解答】解：5千克=5000克，
5000-1000=4000（克），
答：甲瓶矿泉水比乙瓶多4000克.
【题后反思】题目本身意思简洁明了，计算也十分简单，但在应用题中还是要注意统一单位.
非常练习3：
1．张平每天上学从家到学校要经过公园，从家到公园需要1小时，从公园到学 校需要
20分钟.张平从家到学校需要多少时间？



2. 修一条长2千米的水渠，已经修了500米，还剩下多少米没修？




3. 工地上有4吨水泥，第一次用去3吨，第二次用去800千克，还剩下多少千克水泥？



非常感悟3：
我们生活中的量都是各自带单位的，单位都可以不一样，但 如果涉及计算了
就需要统一单位.

§第六讲：和倍问题
非常点拨：
和倍问题是指已知两个数的和与这两个数之间的倍数关系，求这两个数分别是多少的问
题。 < br>解答此类问题时要根据题目中所给的条件和问题，画出线段图，使数量关系一目了然，
从而找出解 题规律，正确迅速地列式解答。
因此，解答和倍问题的方法是把小数看作1份，大数就是小数的几份， 这样就可知总和
相当于小数的几份了，可求出小数，再求大数.和倍问题的数量关系式是：
(1)两数和÷份数和=小数；
(2)小数×倍数=大数（或两数和－小数=大数）。


非常例题1：
甲、乙二人共加工零件100个，乙加工的零件个数是甲的4倍。甲、乙各加工零件多少
个？
【思路导航】甲的零件个数是——小数，

乙的零件个数是——大数，

大数和小数有什么关系？
【详细解答】线段图：



解：（1）甲和乙加工零件份数之和是：1+4=5，
（2）甲加工个数：100÷5=20（个），
（3）乙加工零件个数：20×4=80（或者100-20=80）（个），
综合算式：100÷（1+4）=20（个），20×4=80（个），
答：甲加工零件20个，乙加工零件80个。
【题后反思】解决和倍问题的关键是把小数和大数之间的份数理清楚，用线段图表示。

非常练习1：

1.小明和小刚共有连环画120本，小刚的连环画本数是小明的2倍 ，他们两人各有连环
画多少本？





2. 一个长方形，周长是60厘米，长是宽的4倍，求这个长方形的面积。

3. 被除数与除数的和是392，商是7，被除数与除数各是多少？





非常感悟1：
要先分析清楚大数和小 数，再借助线段求出份数和，把小数求出，就可以解
决题目。
非常例题2：
甲班有图书120本，乙班有图书30本，甲班给乙班多少本，甲班的图书是乙班图书的
2倍？
【思路导航】根据题意，他们的图书数总和是120+30=150本，再根据和倍公式求出甲班给乙班图书后，乙班的图书数，然后再进一步解答即可。

【详细解答】线段图：







解：（1）甲班、乙班的总数：120+30=150（本），
（2）甲班和乙班图书的总份数：1+2=3，
（3）甲班给乙班图书后，乙班：150÷3=50（本），
（4）甲班应该给乙班的图书数：50-30=20（本），
综合算式：（120+30）÷（1+2）-30
=150÷3-30
=50-30
=20（本），
答：甲班给乙班20本图书后，甲班的图书是乙班的图书的2倍。
【题后反思】本题的关键是 根据和倍公式求出甲班给乙班图书后，乙班应该有的图书数量，
然后再进一步解答。
非常练习2：

1.两个小组做纸花，第一小组做了104朵，第二小组做了156朵 ，第一小组给第二小组
几朵纸花后，第二小组的纸花的数量是第一小组的3倍？

2.两箱鸡蛋共重72千克，如 果从第一箱取出13千克放入第二箱，那么第二箱鸡蛋的重
量是第一箱的2倍。原来第一箱和第二箱各有 鸡蛋多少千克？







3.姐姐有320元钱,弟弟有180元钱,如果姐姐的钱要比弟弟的钱多3倍，弟弟应当给姐
姐多 少钱?







非常感悟2：< br>解决这类问题，首先要清楚哪个量是变量，哪个量是不变量，从已知条件入
手在调配过程中，总量 都是不变的，所以可以用和倍问题的方法，把现在的
量算出来，再求原来的量。
非常例题3：
精灵王国有鸡和兔子共34只，兔子的只数比鸡的2倍还多7只，求鸡和兔子各多少
只？
【思路导航】在画线段图时，一定要注意“多7个”的画图方法，并找和与份数之间的关系。

【详细解答】






解：（1）去掉多的部分：34-7=27（只），
（2）鸡和兔子的总份数：1+2=3，
（3）鸡的数量：27÷（1+2）=9（只），
（4）兔子的数量：9×2+7=25（只），
综合算式：（34-7）÷（1+2）
=27÷3=9（只），
9×2+7=25（只），
答：鸡有9只，兔子有25只。
【题后反思】特点：已知“和”， 一个数比另一个数的几倍多几的问题；

关键：先用和减去多的几，再求出1份数，最后求出几倍数。

非常练习3：

1.池塘里有鲤鱼和鲫鱼共380条,其中鲫鱼的数量 比鲤鱼的3倍多20条，两种鱼各种多
少条?







2. 师、徒两人共加工115个零件，师傅加工的个数比徒弟的4倍还少
5
个，师傅和徒
弟各加工零件多少个？







3. 两数相除商为17余6，被除数、除数、商和余数的和是479。被除数和除数分
别为多少？








非常感悟3：
已 知两个数的和，一个数比另一个数的几倍多几的问题，以及一个数比另一
个数的几倍少几的问题，我们都 可以用“多了先减，少了先加”的原则去做。

非常例题4：
甲、乙、丙三数和为400，甲是乙的6倍，丙是乙的3倍，甲、乙、丙各是多少？
【思路导 航】乙数看为1份，那么甲数就是6份，丙数就是3份，则三个数的和400就是乙
的（1+6+3）份 ，由此乙数即可求出，在算出甲数和丙数。
【详细解答】线段图：

解：（1）甲、乙、丙的总份数：1+6+3=10，
（2）乙：400÷（1+6+3）=40，
（3）甲：40×6=240，
（4）丙：40×3=120，
综合算式：400÷（1+6+3）
=400÷10=40，
甲：40×6=240，丙：40×3=120，
答：甲数240，乙数40，丙数120。
【题后反思】三个量之间的和倍问题，需要通过画 线段图的方法找到这三个量之间的倍数关
系，从而解决问题。
非常练习4：

1.红、黄、蓝气球共110只，红气球的只数是黄气球的2倍，蓝气球的只数是红气球的
4倍，这三 种气球各多少只？







2. 一家三口人，三人年龄之和是
72
岁，妈妈和爸爸同岁，妈妈的年龄是孩子的< br>4
倍，三人各是多少岁？







3. 商店运来橘子、苹果、香蕉共53千克，橘子的重量是苹果的3倍少3千克，香蕉的< br>重量是苹果的2倍多2千克，橘子重多少千克?






非常感悟4：
当遇到三个及三个量以上的和倍问题时，也可以通过画线段的方法， 来理
清题目中的数量关系，这就是体现了我们数学中数形结合的思想。

§第7讲：差倍问题分析
非常点拨：
例：已知大、小数之差是152，大数是小数的5倍。求大、小二数各是多少？
这题中有“差 ”、有“倍数”，通常叫做差倍应用题。差倍问题中大、小二数的数量关系可
以用：小数＝差÷(倍数－ 1)。式子中1即“1倍”数代表小数.
上式称为差倍公式。由此得到大数＝小数＋差，或大数＝小数×倍数。
根据上面公式可求得上例中大、小二数分别为：
小数＝152÷(5－1)＝38，
大数＝38＋152＝190或38×5＝190.

非常例题1：
小明到市场去买水果，他买的苹果个数是梨的3倍，苹果比梨多18个。小明买苹
果和梨各多少个？
【思路导航】：将梨的个数看作1倍数，则苹果的个数是这样的3倍。如下图：

1倍

梨

多18个
？个


苹果


？个


、【详细解答】：从线段图上可 以看出，苹果的个数比梨多了3－1=2倍，梨的2倍是18个，
所以梨有18÷2=9个，苹果有：9 ×3=27个.

【题后反思】“差倍问题”解题的关键是先要在题目中找到1倍量，再画图 确定解题方法.
被除数的数量和除数的倍数关系要相对应，相除后得到的结果是一倍量，然
后求 出另一个数，最后再写出验算和答题.

非常练习1：
1．王师傅一天生产的零件 比他的徒弟一天生产的零件多128个，且是徒弟的3倍.
师徒二人一天各生产多少个零件？

2．一件皮衣价钱是一件羽绒服 价钱的5倍，又已知一件皮衣比一件羽绒服贵960
元.皮衣与羽绒服各多少元？






3．两根电线的长相差30米，长的那根的长是短的那根的长的4倍.这两根电线各
长多少米？




非常感悟1：
我们要能够对比条件，把问题 转化为对应的“差倍”问题，用除法求出1倍
数，也就是较小的数，再求几倍数.

非常例题2：
被除数比除数大252，商是7，被除数、除数各是多少？

【思路导航】：根据“商是7”可知，被除数是除数的7倍，把除数看作1倍数，
被除数就是这样的7 份，比除数多6份.
【详细解答】：所以除数是：252÷（7－1）=42
被除数是：42＋252=294



【题后反思】：解答这类 题的关键是要找出两个数量的差与两个数量的倍数的差的
对应关系.用除法求出1倍数，也就是较小的数 ，再求几倍数.

非常练习2：
1．被除数比除数大168，商是22，被除数、除数各是多少？




2．除数比被除数小212，商是5，被除数、除数各是多少？

3．被除数比商大144，除数是7，被除数、商各是多少？








非常感悟2;
被除数的数量和除数的倍数关系要相对应，相除后得到的结果是一倍量，然
后求出另一个数，最后再写出 验算和答题.

非常例题3：

水果店有两筐橘子，第一筐橘子的重量是 第二筐的5倍，如果从第一筐中取出300
个放入第二筐，那么第一筐橘子还比第二筐多60个.原来两 筐橘子各有多少个？

【思路导航】：关键是要找出两个数量的差与两个数量的倍数的差的对 应关系.用除
法求出1倍数，也就是较小的数，再求几倍数.
【详细解答】：根据“如果从第 一筐中取出300个放入第二筐，那么第一筐橘子还
比第二筐多60个”，说明原来第一筐比第二筐橘子 多300×2＋
60=660个。把第二筐的橘子重量看作1倍数，第一筐橘子是这样
的5倍， 比第二筐多4倍，第二筐橘子的4倍正好是660个，所以
第二筐原有橘子：660÷4=165个，第 一筐橘子原来有：165×5=825
个.
【题后反思】解差倍应用题的关键是确定“1倍” 数是谁，“差”是什么。上两例
中，“1倍”数及“差”都极明显地直接给出.这个题的没有直接给出“差”和“1倍”解题关键是找出暗差.

非常练习3：
1．同学们捐助残 ，六年级捐款钱数是三年级的3倍.如果从六年级捐款钱数中取出
160元放入三年级，那么六年级捐款 的钱数还比三年级多40元.两个年级分别捐款
多少元？
根据“如果从六年级捐款钱数中取 出160元放入三年级，那么六年级捐款的钱数还
比三年级多40元”说明原来六年级比三年级多160 ×2+40=360元.所以三年级捐款
的钱=360÷（3-1）=180（元）；六年级捐款的钱= 180×3=540元.

2． 甲、乙两桶油重量相等。甲桶取走26千克油，乙桶加入14千克油，这时，乙
桶油的重量是甲桶油的重 量的3倍.两桶油原来各有多少千克？








3．甲、乙两个数，如果甲数加上280就等于乙数，如果乙数加上320就等于 甲数
的3倍.两个数各是多少？













非常感悟3：
我们在解决问题时要紧紧把握住差倍问题解题的关键，我们要学会找暗差.

§第8讲：填符号组算式分析
非常点拨：

根据题目给定的条件和要求，添运算符号和括号，使等式成立， 这是一种很有趣的游
戏。这种游戏需要动脑筋找规律，讲究方法，一旦掌握方法，就有取得成功的把握.
添运算符号问题，通常采用尝试探索法。主要尝试方法有两种：1．如果题目中的数字
比较简单 ，可以从等式的结果入手，推想哪些算式能得到这个结果，然后拼凑出所求的式子；
2．如果题目中的数 字多，结果也较大，可以考虑先用几个数字凑出比较接近于等式结果的
数，然后再进行调整，使等式成立 。通常情况下，要根据题目的特点，选择方法，有时将以
上两种方法组合起来使用，更有助于问题的解决 .

非常例题1：
在下面各题中添上＋、－、×、÷、（ ），使等式成立。
1 2 3 4 5 = 10 1 2 3 4 5 = 10
1 2 3 4 5 = 10 1 2 3 4 5 = 10 < br>【思路导航】:对于这种问题，我们也可以用倒推法来分析。从结果10想起，最后一个数是
5， 可以从下面几种情况中想：□＋5=10，□－5=10，□×5=10，□÷5=10.
【详细解答】:（1）从□＋5=10考虑，□=5，前4个数必须组成得数是5的算式有：
（1＋2）÷3＋4＋5=10 （1＋2）×3－4＋5=10
（2）从□－5=10考虑，□=15，前4个数必须组成得数是15的算式有：
1＋2＋3×4－5=10
（3）从□×5=10考虑，□=2，前4个数必须组成得数是2的算式有：
（1×2×3－4）×5=10 （1＋2＋3－4）×5=10
（4）从□ ÷5=10考虑，□=50，前面4个数必须组成得数是50的算式，而前
面4个数无法组成得数是50 的算式.
【题后反思】:

像非常例题1中的数字比较简单的这种题，可以从等式的 结果入手，推想
哪些算式能得到这个结果，然后拼凑出所求的式子.

非常练习1：
1．你能在下面的各数中添上运算符号，使算式成立.
（1）4 1 2 5 = 10 （2）4 1 2 5 = 10
2．在下面各数中添上适当的运算符号，使等式成立.
（1）3 4 5 6 8 = 8 （2）3 4 5 6 8 = 8
3．巧添运算符号，使等式成立.
（1）3 3 3 3 =1 （2）3 3 3 3 =2 （3）3 3 3 3 =3

非常感悟1：
添运算符号问题，通常采用尝试探索法。．如果题目中的数字比较简单，可以
从等式的结果入手，推想哪 些算式能得到这个结果，然后拼凑出所求的式子.

非常例题2：
拿出都是8的四张牌，添上＋、－、×、÷或（ ），使等式成立。你能试一试吗？
8 8 8 8 = 0 8 8 8 8 = 1 8 8 8 8 = 2 8 8 8 8 = 3
【思路导航】：这道题除了可以用倒推法来分析，还可以这样想：我们 可以先假设最后一步
的运算情况，分减法，加法，除法以及乘法来考虑.
【详细解答】：（1 ）等于0的思考方法：假设最后一步运算是减法，那么这四个数可以分成
两组，这两组的和、差、积、商 应该相等，有：
8＋8－（8＋8）=0 8×8－8×8=0
8－8－（8－8）=0 8÷8－8÷8=0
（2）等于1的思考方法：假设最后一步是除法 ，那么四个数分成两组，这两
组的和、积、商分别相等，相同的数相除也可得到1，有：
（8＋8）÷（8＋8）=1 8×8÷（8×8）=1 8÷8÷（8÷8）=1
8×8÷8÷8=1 8÷8×8÷8=1 8÷（8×8÷8）=1
（3）等于2的思考方法：假设最后一步是加法，那么两组数各为1，有：
8÷8＋8÷8=2
（4）等于3的思考方法：假设最后一步是除法，那么前三个数凑为3个 8，有：
（8＋8＋8）÷8=3

【题后反思】：添运算符号问题，通常采用 尝试探索法。我们可以从算式的最后一步运算入
手，推想哪些算式能得到这个结果，然后拼凑出所求的式 子.

非常练习2：
1.在4个4之间添上＋、－、×、÷或括号，使组成的得数是8.
4 4 4 4 = 8
2.在各数中添上＋、－、×、÷或（ ），使算式相等.
4 4 4 4 = 0 4 4 4 4 = 1 4 4 4 4 = 2
4 4 4 4 = 3 4 4 4 4 = 4 4 4 4 4 = 5
3.巧添各种运算符号和括号，使等式成立.
5 5 5 5 5 = 0 5 5 5 5 5 = 1
5 5 5 5 5 = 2 5 5 5 5 5 = 3

非常感悟2：
添运算符号问题，通常采用尝试探索 法。解题的关键是如何入手，我们可以
选择从结果入手也可以选择从最后一步的运算入手.

非常例题3：
在下面12个5之间添上＋、－、×、÷，使算式成立.
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 = 1000
【思路导 航】：这道题的结果比较大，那我们就要尽量想出一些大的数来，使它与1000比较
接近，如：555 ＋555=1110这个数比1000大了110，然后我们在剩下的6
个5中凑出110减掉就可以了 .
【详细解答】： 555＋555－55－55＋5－5=1000
【题后反 思】：对于非常例3这样的题，结果比较大，那我们就要尽量想出一些大的数来，
使它靠近结果然后拼凑 出所求的式子.
非常练习3：
1.用7个6组成4个数，使下面的算式成立.
6 6 6 6 6 6 6 = 600

2.在9个2之间添上运算符号，使结果等于1000.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 = 1000
3.用12个3组成8个数，它们的结果等于2000.
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 = 2000
非常感悟3：
当算式的结果比较大，那我们就要尽量想出一些大的数来，使它靠近结果然
后拼凑出所求的式子.

非常例题4：、
在下面式子中适当的地方添上＋、－号，使等式成立.
9 8 7 6 5 4 3 2 1 = 21
【思路导航】：这题左边的数字比较多， 等号右边的得数是21，可以考虑在等号左边最后两
个数字2、1前添＋，这时我们必须使前面几个数字 的结果为0，然后再用
倒推的方法可以得出.
【详细解答】：9－8＋7－6＋5－4－3=0 9－8＋7－6＋5－4－3＋21=21
【题后反思】：这题左边的数字比较多，等号右边的得数一个数，可以考虑在等号左边先得
到这 个数，然后填符号让其他数的最后结果为零.
非常练习4：
1．在下面式子的适当地方添上＋、－、×号，使等式成立.
1 2 3 4 5 6 7 8 = 1
2.在下面算式中适当的地方添上＋、－号，使等式成立.
1 2 3 4 5 6 7 8 = 14
2．在下面算式中适当的地方添上＋、－号，使等式成立.
9 8 7 6 5 4 3 2 1 = 23
非常感悟4：
通常情况下，要根据题目的特点，选择方法 ，有时将以上两种方法组合起
来使用，更有助于问题的解决.

§第9讲：乘法心算与估算（多位数乘一位数）
非常点拨：
我们已经学会了整数乘法的计算方法，但计算多位数乘法要一位一位地乘，运算起 来
比较麻烦.其实，多位数与一些特殊的数相乘，也可以用简便的方法来计算.
计算乘法时， 如果一个因数是4另一个因数考虑可拆成25×几，这样可“先拆数再扩
整”.乘法估算时，把两位数或 三位数看成整十数或整百数来计算；使用乘法估算的原则：
既能使计算简捷，又能解决问题.
非常例题1：
(1) 70×6= (2) 400×3= (3) 2000×5= (4) 20000×16=
【思路导航】: 我们以70×6为例，这个0不看，其实是把70看作了什么？（7个十）7
个十乘6，就是6个7十，就是几个十？（42个十）所以，当我们计算一位
数同整十、整百、整千的数相乘时，只要用一位数乘前面的数（转化乘表
内乘法），再看因数中共有几个0，就在乘积的末尾添上几个
【详细解答】:（1）70×6=420 ; (2) 400×3=1200;
(3)2000×5=10000; (4)20000×16=320000;
【题后反思】:

像非常例题1中的数字比较简单的这种题，我们可以转化成表内乘法.
非常练习1：
1．计算下列算式：
（1）70 ×5= （2）30×8= （3） 50 × 6=
2．计算下列算式：
（1）600×7= （2）800×4 （3）3000×5=
3．计算下列算式：
（1）5000×6= （2）50000×6= （3）500000×6=
非常感悟1：
多位数乘一位数，当多位数是整十，整百，整千等， 我们可以转化成表内乘
法来算.

非常例题2：
你能很快算出432×5的结果吗？

【思路导航】：一个数与5相乘，因为1 0÷2＝5，因而可以在这个数末尾添上一个0，然后
再除以2，所得的结果就是这个数与5的积.所以 ，我们在432的末尾添上一
个零，然后再除以2就可得出结果.
【详细解答】：432
×5=432×10
÷2=2160.
【题后反思】：多位数与5相乘，5我们可以看成10 ÷2这样给计算带来了方便，我们口算
都可以算出来了.
非常练习2：
1. 计算下列算式：
（1）32×5= （2）25×5= （3） 41×5=
2. 计算下列算式：
（1）470×5= （2） 629×5= （3）546×5=
3. 计算下列算式：
（1）1032×5= （2） 4832×5= （3） 7326×5=
非常感悟2：
我们要学会转化，要会拼数字，这样会使我们的计算变得简单快速.
非常例题3
你能很快算出45×9吗？
【思路导航】：我们可以先用45×10= 450，这样就多加了一个45，因此我们还要从450中减
去1个45，即450-45=405.
【详细解答】：45×9=45×10-45×1=405;
【题后反思】：多位数与9乘，9们可以看成10 ×-1样给计算带来了方便，我们口算都可
以算出来了.
非常练习3
1. 计算下列算式：
（1）23×9= （2）51×9= (3) 75×9=
2. 计算下列算式：
(1) 120 ×9= (2) 235×9= (3) 330×9=
3. 计算下列算式：
(1) 1200×9= (2) 2351×9= (3) 3500×9=

非常感悟3：
多位数与9乘，9们可以看成10 -1样给计算带来了方便，我们口算都可以
算出来了.
非常例题4：、
先估一估，再写出得数。
53×3≈ 37×2≈ 604×3≈ 47×6≈
【思路导航】：以53×3≈ 为例，因为53接近50，50乘3得150.53乘3大约得
150，可以用约等号≈来表示.53×3≈150
【详细解答】：53×3≈150 37×2≈ 80 604×3≈ 1800 47×6≈300
【题后反思】：在估算时，我们要看的是多位数接近哪个整数.
398×9≈ 3600 61×7≈420
非常练习4：
1.估算下列算式:
（1）29×4≈ （2） 68×9≈ （3）47×6≈

2.估算下列算式:
（1）398×9≈ （2）448×6≈ （3）798×8≈

非常感悟4：
我们要学会估算本领，有时候可以检查我们的计算是否正确.

§第10讲：乘法巧算与应用（多位数乘一位数）
非常点拨：
前面我们已给同学们乘法的心算与估算，大家学会了运用“凑整”的方法进行心算 ，
为了更好地凑整，同学们要牢记以下几个计算结果：2×5=10，4×25=100，8×125= 1000.
提高计算能力，除了加、减、乘、除基本运算要熟练之外，还要掌握一定的运算技巧。巧算中，经常要用到一些运算定律，例如乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律等等，善于
运用运算 定律，是提高巧算能力的关键。

非常例题1：
计算含37×3=111的算式.
（1）37×8×3= （2）37×6=
【思路导 航】:如果式子中没有显示37×3可以通过拆分，转化为37×3的式子.然后运用乘
法交换律使得计 算方便.
【详细解答】: （1）37×8×3= 37 ×3×8=111×8=888;
(2) 37×6=37×3×2=111×2=222;
【题后反思】:

像非常例题1中的已知的是37×3求其它算式，我们就要想办法去 拆出这
个算式在结合乘法法则使得计算方便.
非常练习1：
1．计算下列算式：
（1）37×12 = （2）37×24= （3）37×27=
2．计算含47×3=141下列算式：
（1）47×6= （2）47×12= （3）47×24=
3．计算含57×7=399下列算式：
（1）57×14= （2）57×21= （3）57×56=
非常感悟1：
已知一个多位数乘一位数，求其它算式我们要学会拆分，去拆出已知的算式.

非常例题2：
你有好办法计算下面各题吗？
（1）25×8 （2）16×125
【思路导航】：.我们知道25 ×4=100，而8可以看成4×2所以25×8=25×4×2=100×2=200；
16×125 也是用同样的方法做.
【详细解答】：(1)25×8=25×4×2=100×2=200;
(2)16×125=2×8×125=2×(8×125)=2000.
【题后反思】：我们要牢记25×4=100；125×8=1000；2×5=10并要会灵活运用乘 法结合律.
非常练习2：
1. 计算下列算式：
（1）16×5= （2） 48×5= （3）546×5=
2. 计算下列算式：
（1）25×12= （2）125×32 = （3）48×125=
3. 计算下列算式：
（1）25×17×4= （2）8×18×125=
非常感悟2：
我们要学会转化，要会拼数字，这样会使我们的计算变得简单快速.
非常例题3
你能很快算出下列算式吗？
（1）125×16×5 （2）25×8×5
【思路导航】：在计算125×16×5时我们可以把16看成8×2，再用乘法 结合律计算；在计
算25×8×5时可以把8看成4×2.
【详细解答】：（1）125×16×5=125× (8×2) ×5=(125×8) ×(2×5)=1000×10=10000;
(2) 25×8×5=25×(4×2) ×5=(25×4) ×(2×5)=100×10=1000;
【题后反思】：多个数字相乘我们要会凑整.

非常练习3
4. 计算下列算式：
（1）125×64×25=
5. 计算下列算式：
（1）8×25×4×125=
6. 计算下列算式：
（1）5×25×2×4= （2）125×4×8×25=

(3）2×125×8×5=
（2）125×2×8×5=
（2）32×25×25=
非常感悟3：
多个数字相乘页不用怕，还是凑整来计算.

§第11讲：年龄问题
非常点拨：
1978年初，我国前科学院院 长郭沫若因病住北京医院诊治。数学家华罗庚前去探望，
两人谈起寿称问题。华罗庚向郭沫若询问，古人 对高寿人常给以美称，如花甲、古稀等等。
但如果年龄未到整数，比如七十七岁，八十八岁，九十九岁， 怎么称呼呢？郭老回答道：
“解决这个问题，就要求助于数学和文字学了。”
郭老接着说：
“有人把七十七岁称为‘喜寿’，八十八岁称为‘米寿’，九十九岁称为‘白寿’。
原来这是三个字谜。喜字，草写，是由七十七三个字组成；米字是由八十八三个字组成；白
字是 百字缺一，正好九十九。”
华罗庚听了郭沫若的一番解释，拊掌笑道：
“人说郭老博学多闻，此言果然不虚。”
毛泽东主席晚年常念叨一句俗谚：
“七十三、八十四，阎王不叫自己去。”
有人说七十三岁是孔子逝世的年龄，八十四岁是孟子去世 的年龄，因而七十三、八
十四是不祥之数。这样的说法当然是迷信。不过，不能把上述这种谚语看成是一 种迷信。因
为它是人们从千百年来生活实践中总结出来的，反映了一定的人体生物规律，应该从人体生< br>理病理学的角度加以研究。查一查人口档案，可以发现在七十三岁、八十四岁前后去世的人
数，确 实要比七十至八十、八十至九十这两个年段中其它年龄去世的人数要多，这两个“关
卡”是值得进一步去 研究的。
有一种研究的成果认为，生命的节律是以七、八的倍数呈现的，逢到这样的年头，
人体总会有些消极变化，而这种变化愈老持续的时间愈长。按照这样的理论，七十三岁，实
足年龄正好 是七十二岁，而
72＝8×9；
八十五岁，实足年龄为八十四岁，而
84＝7×12。
这里均出现了8或7，正在“关卡”之上。又，中国历来有更年期的说法，即女 子
为“七七四十九”岁，男子为“八八六十四”岁，已成为民间传统的生理常识。而49、64
分别是7和8的倍数。这些说法虽不能说确实可靠，但可供参考。
一、年龄问题变化关系的三个基本规律：
1.两人年龄的倍数关系是变化的量.
2.每个人的年龄随着时间的增加都增加相等的量；
3.两个人之间的年龄差不变
二、年龄问题的解题要点是：
1．入手：分析题意从表示年龄间倍数关系的条件入手理解数量关系．
2．关键：抓住“年龄差”不变．
3．解法：应用“差倍”、“和倍”或“和差”问题数量关系式．
4．陷阱：求过去、现在、将来。

非常例题1：
爸爸妈妈现在的年龄和是72岁；五年后，爸爸比妈妈大6岁．今年爸爸妈妈二人各多
少岁？
【思路导航】题目的关键是抓住一个不变量，就是爸爸妈妈的年龄差是不变，一直都是6
岁，然 后根据和差关系可以把爸爸、妈妈的年龄给求出来。
【详细解答】五年后，爸爸比妈妈大6岁，即爸妈 的年龄差是6岁．它是一个不变量．所以
爸爸、妈妈现在的年龄差仍然6岁．这样原问题就归结成“已知 爸爸、妈妈的
年龄和是72岁，他们的年龄差是6岁，求二人各是几岁”的和差问题．
爸爸的年龄：（72+6）÷2=39(岁)
妈妈的年龄：（72-6）÷2=33(岁)
【题后反思】“年龄”题目特征：题目中要牢记一个不变量就是两个人的年龄差是不变的，
然后 灵活运用和差关系与倍差关系.
非常练习1：
1、小英比小明小3岁，今年他们的年龄和是 老师年龄的一半，再过15年，他们的年龄
和就等于老师的年龄，今年小英的年龄是多少岁？






2、今年小宁9岁，妈妈33岁，那么再过多少年小宁的岁数是妈妈岁数的一半？






3、6年前，母亲的年龄是儿子的5倍，6年后母子年龄和是78岁．问：母亲今年多少
岁?







非常感悟1：
我们只需要掌握“年龄问题”中的年龄差不变即可.

非常例题2：
爸爸今年42岁，女儿今年10岁，几年前爸爸的年龄是女儿的5倍？
【思路导航】题目的关 键是抓住不变量爸爸与女儿的年龄差为32岁，因为爸爸的年龄要是
女儿的5倍，所以年龄差应该是女儿 年龄的4倍，从而得到女儿的年龄.
【详细解答】爸爸的年龄是女儿的5倍，女儿的年龄是1倍，爸爸比女儿多5－1＝4 (倍)，
年龄多42－10＝32 (岁)，对应，可求出1 倍是多少，即女儿当时的年龄.
解： ( 42－10 )÷( 5－1 )
＝32÷4
＝8 (岁)
10－8＝2 (年)
答：2年前爸爸的年龄是女儿的5倍.
【题后反思】题目中应抓住不变量以及倍数关系，根据这两者来解决题目.
非常练习2：
1. 父亲今年比儿子大36岁，5年后父亲的年龄是儿子的4倍，今年儿子几岁？




2. 今年母女年龄和是45岁，5年后母亲的年龄正好是女儿的4倍，今年妈妈和女儿各
多少岁？




3. 一家三口人，三人年龄之和是72岁，妈妈和爸爸同岁，妈妈的年龄是孩子的4倍，
三人各是多少岁？










非常感悟2：
我们在解决问题是应该搞清楚倍数关系与不变量之间的关系.

非常例题3：
东东3年前的年龄与西西4年后的年龄之和 是25岁，东东3年后的年龄等于西西l年
前的年龄，求东东、西西今年的年龄各是多少？
【 思路导航】题目的关键根据题目意思得到东东与西西的年龄和以及年龄差，东东3年后的
年龄等于西西1 年前的年龄，说明东东比西西小4岁； 东东3年前的年龄与
西西4年后的年龄之和是25岁，所以今年 东东和西西的年龄和是
25+3-4=24(岁)
【详细解答】东东3年后的年龄等于西西1年前的年龄，说明东东比西西小4岁；
东东3的年龄与西西4年后的年龄之和是25岁，
所以今年东东和西西的年龄和是25+3-4=24(岁)，
今年东东的年龄：（24-4）÷2=10(岁)，
今年西西的年龄：（24+4）÷2=14（岁).
【题后反思】题目中巧妙的通过了两个年 龄的关系式，间接的告诉我们东东、西西这两者之
间的年龄差以及年龄和，本题的关键是理解这两句话.
非常练习3：
1.哥哥5年后的年龄与弟弟3年前的年龄和是29岁，弟弟现在的年龄是两人 年龄差的
4倍．哥哥今年多少岁？






2.李伟5年前的年龄与张磊8年后的年龄相等，李伟4年后与张磊3年前的年龄和是
36岁， 李伟和张磊两人今年各多少岁？




3.甲的年龄比乙的年龄 的4倍少3，甲在3年后的年龄等于乙9年后的年龄，问甲、乙
现在各几岁？




非常感悟3：
我们在解决问题时，要弄清楚几年前和几年后的年龄关系.

§第12讲：巧求周长
非常点拨：
.一个图形的周长是指围成它的所有线段的长度和。我们已经学会了求长方形、正 方形
这些标准图形的周长，那么怎样运用长方形、正方形的周长计算公式，巧妙地求一些复杂图
形的周长呢？
对于一些不规则的比较复杂的几何图形，要求它们的周长，我们可以运用平移的方法，< br>把它转化为标准的长方形或正方形，然后再利用周长公式进行计算。
将一个大长方形或正方形分 割成若干个长方形和正方形，那么图形周长就会增加几个
长或宽；反之，将若干个小长方形或正方形合成 一个大长方形或正方形，图形周长就会减少
几个长或宽.
非常例题1：
下图是一个楼梯的侧



3米
2米

【思路导航】: 如果把每层台阶的宽度向上移到和最上层台阶同样高的地方，把每层台阶的
高度向右移到和最下层的台阶长度一致的地方（如下图），这样楼梯侧面图就
转化为一个长方形，然后我们利用长方形周长计算公式求出此图形的周长.
2米

3米

【详细解答】:

（2＋3）×2=10.
【题后反思】:对于不规则的图形求周长，我们可以通过平移把它移成规则的.

非常练习1：
1.是一个楼梯的侧面，如果在阶梯上铺地毯，要计算地毯的长度，可以怎样测量？

2，如下图所示，小明和小玲同时从学校到少儿书店，小明沿A路线行走，小玲沿B
路线行走。如果两人速度一样，谁先到少儿书店？为什么？






学校
B
A
店书

3，下图是一个“凹”字形的花园，求花园的周长.（单位：米）
12
12
30
60

非常感悟1：
对于求不规则图形的周长，通过平移改邪归正.
非常例题2：
你能很快算出432×5的结果吗？两个大小相同的正方形拼成一个长方形后，周长比原
来两个正方形 周长的和减少了6厘米.原来一个正方形的周长是多少厘米？
【思路导航】：根据题意，画出下图。

当两个正方形拼成一个长方形时，组成两个正方形的8条边就减少了2条，而已知两

条边的和是6厘米，那么一条边长就是6÷2=3厘米。所以，原来正方形的周长是：
3×4=12厘米。
【详细解答】：3×4=12厘米.
【题后反思】：两个图形拼成一个新的图形，少的长度就是重合的那两条线段的长度. 将若
干个小长方形或正方形合成一个大长方形或正方形，图形周长就会减少几个长
或宽.
非常练习2：
1.把两个大小相同的正方形拼成一个长方形后，周长比原来两个正方形的周长 和减少
10厘米。原来一个正方形的周长是多少？
2.一个正方形，边长是5厘为，将9个这 样的正方形如下图一样拼成一个大正方形，问：
拼成的大正方形的周长是多少？

3 ．把6个长为3厘米、宽为2厘米的小长方形如下图拼成一个大长方形，这个大长方
形的周长是多少？

非常感悟2：
多个图形拼成一个新的图形，少的长度就是重合的那两条线段的长度.

非常例题3：、
将一张边长为36厘米的正方形纸，剪成4个完全一样的小正方 形纸片，这4个小正
方形周长的和比原来的正方形周长增加了多少厘米？



【思路导航】：将边长36厘米的正方形，沿竖直方向剪一刀，周长的和就比原来大正方形周
长增加2个边长；再沿水平方向剪一刀，又增加2个边长，一共增加2×2
个边长。所以这4个小正方形周长的和比原来的正方形周长增加了36×4=144
厘米.
【详细解答】：36×4=144厘米.

【题后反思】：将一个大长 方形或正方形分割成若干个长方形和正方形，那么图形周长就会
增加几个长或宽.

非常练习3：
1.一个正方形剪成两个大小相同的长方形后， 两个长方形的周长和比原来正方形的周长
增加28分米。原来正方形的周长是多少？

2．一个边长为20厘米的正方形，如下图剪成6个完全一样的小长方形，这6个小长方形周
长的和与 原来的正方形相比，增加了多少厘米？

3．一个长为8分米，宽为6分米的长方形如下图剪 成6个完全一样的小长方形，这6个小
长方形周长之和比原来的正方形周长增加了多少分米？

非常感悟3：
将一个大长方形或正方形分割成若干个长方形和正方形,解决这类题的关键
是找出增加的边是那些.

§第13讲：有趣的一笔画与多笔画
非常点拨：
18世纪的哥尼斯 堡城是一座美丽的城市，在这座城市中有一条布勒格尔河横贯城区，
这条河有两条支流在城市中心汇合， 汇合处有一座小岛A和一座半岛D，人们在这里建了一
座公园，公园中有七座桥把河两岸和两个小岛连接 起来（图a）。如果游人要一次走过这七
座桥，而且对每座桥只许走一次，问如何走才能成功？这就是著 名的“哥尼斯堡七桥问题”.

欧拉解决这个问题的方法非常巧妙.他认为：人们关 心的只是一次不重复地走遍这七座
桥，而并不关心桥的长短和岛的大小，因此，岛和岸都可以看作一个点 ，而桥则可以看成是
连接这些点的一条线.这样，一个实际问题就转化为一个几何图形能否一笔画出的问 题了.
非常例题1：
一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶结点.相应的把与奇数条线相 连接的点叫做奇
结点.下图中，哪些点是偶结点？哪些点是奇结点？

【思路导航】所谓图的一笔画，指的就是：从图的一点出发，笔不离纸，遍历每条边恰好一
次， 即每条边都只画一次，不准重复.能否一笔画完成，取决于奇结点与偶结
点的个数.
【详细解答】A有3条边，是奇结点；

B有3条边，是奇结点；
C有2条边，是偶结点；
D有2条边，是偶结点；
E有3条边，是奇结点；
F有3条边，是奇结点；
G有4条边，是偶结点；
这个图有4个奇结点，3个偶结点。
【题后反思】凡是能一笔画的图，我们称之为欧拉图。欧拉图有以下3个特点：
1、能一笔画出的图形必须是连通的图形；
2、凡是只有偶结点组成的连通图形,一定可以一 笔画出．画时可以由任一偶
结点作为起点，最后仍回到这点；
3、凡是只有两个奇结点的连通图形一定可以一笔画出.画时必须以一个奇结
点作为起点.以另一个奇 结点作为终点；奇结点个数超过两个的图形，一

定不能一笔画．

非常练习1：
1.判断下列图形是不是欧拉图？





图1 图2 图3

2．下面的图形，哪些能一笔画出？哪些不能一笔画出？

图1 图2 图3


3.下图是国际奥委会的会标，你能一笔把它画出来吗？




非常感悟1：
先判断奇结点个数和偶结点个数，再根据欧拉图 的三个特征判定能否一笔画
完成.



非常例题2：
下 图是某博物馆的平面图，相邻两个展厅之间有一扇门相通，每一个展厅都有一门通往
馆外.问参观者能否 不重复地一次穿过每一扇门？若能，请找出一条可行路径；若不能，请
说明理由.如果允许关闭某一扇门 ，问参观者能否不重复地穿过每一扇开着的门?

【思路导航】我们把展厅 A,B,C,D,E及馆外F看成某个图中的点，把两个展厅之间的门看作
是连接表示这两个展厅的点的 线．根据题中条件知，馆外F与A，B，C，D，E
各展厅相通，这样将点F与点A，B，C，D，E用 线连接；展厅A与展厅B，C，
D相通，将点A与点B，C，D用线连接；展厅B除与A相通外，它还与 D，E
展厅相通，将B与D，E连接；除此之外，展厅C，D相通，展厅D，E相通，
将点C， D连接，再将点D，E连接(如图a)．于是本题要解决的问题就变成了
能否将图a一笔画的问题．
【详细解答】图a中共有六个点，其中有四个奇结点，它们分别为C，D，E，F，由一笔画
的 规律可知，图a不能一笔画．也就是说，参观者不能够不重复地一次穿过每
一扇门．如果允许关闭某一扇 门，这相当于在图a中去掉一条线，那么参观者
就有可能不重复地一次穿过每一扇门．我们知道，在图a 中有四个奇结点C，
D，E，F为了把图a改成一笔画图形，我们设法减少奇结点个数，使奇结点数变为两个．为此，我们可以去掉一条连接两个奇结点的线，如去掉E与F间的
连线，相应的图a就变 成了图b．在图b中，除了原来的C和D是奇结点外，
其余点全部是偶结点，故图b可以一笔画．其中一 种画法为：C→F→D→E→B
→F→A→B→D→A→C→D

【题后反思】本题 与“哥尼斯堡七桥问题”类似，只是将行人过桥换成了参观者穿过每一扇
门，我们将这类问题转化成一笔 画问题来解决。
非常练习2：
1.下图是某展览厅的平面图，它由五个展室组成，任两展室 之间都有门相通，整个展览
厅还有一个进口和一个出口，问游人能否一次不重复地穿过所有的门，并且从 入口进，从出
口出？

2.下图是 某展览馆的平面图，一个参观者能否不重复地穿过每一扇门？如果不能，请说
明理由．如果能，应从哪开 始走？
E
A
D


3. 下图中不能一笔画成，请你在下图中添加最少的线段，将其改成一笔画的图形，并
画出路线图．
A
G
B
E
D
H
C
B
C

F


非常感悟2：
与“哥尼斯堡七桥”问题类似的实际问题可以转 化成一个几何图形能否一笔
画完成的问题. 关键在于画出点与点之间的连线段，再根据欧拉图特征解决
问题.

非常例题3：
邮递员投递信件的街道如图所示，图上数字表示各街道长度（单位：千米）. 他从邮
局出发，走遍整个街道，最后回到邮局，怎样走路程最短？要走多少千米？（邮局在Y点）

【思路导航】图中偶结点有A、E、F、Y共4个，奇结点有B、C、D、G、H、I共6个 ，超过
2个奇结点，这个图不能一笔画完成，即要不重复地走遍街道是不可能的。为
了走遍所有 的街道，必须重复走某些街道. 重复走哪些街道才能使总路程最短
呢？
由于任何一个联通图中奇结点的个数都是偶数，所以可把奇结点两两配对. 如
果在一对奇结点之间连一 条虚线当作增添的重复边，奇结点就变成了偶结点.

因为只能从偶结点Y出发，所以只能 增加虚线以改变B、C、D、G、H、I的边
数，使所有的这6个奇结点都变为偶结点. 用这种方法可使原来的图变成没有
奇结点的欧拉图（增添了重复边）. 现在的问题是如何去连这些虚线，才能保
证总路程最短.
【详细解答】图中点A、E、F、 Y的边都为2条，是偶结点；B、C、D、G、H、I的边都为3
条，是奇结点. 图中共有4个偶结点和6个奇结点，奇结点大于2个，不能一
笔画. 因为Y点是起点和终点，且Y点是 偶结点，所以必须在奇结点B、C、D、
G、H、I增加重复且尽可能短的线路，将B、C、D、G、H 、I变为偶结点，从
而全图结点都为偶结点才可实现.下图是所需的最短路径图：

最短路程为:
AB+2×BC+CD+DE+EF+2×DG+CH+BI+AY+FG+G H+2×HI+IY=2×8+4×2+3×
6=42(千米)
【题后反思】将多笔画问题 转化为一笔画问题，关键在于控制奇结点个数不超过两个，用线
段将多余的奇结点连接起来，使之成为偶 结点，是解题的关键所在.

非常练习3：
1.下列各图至少要用几笔画完？



2.

一个邮递员投递信件要走的街道如图所示，图 上的数字表示各条街道的千米数．他
从邮局出发，走遍各街道，最后回到邮局，那么走完全程最少需要走 多少千米？

3．一个邮递员的投递范围如下图，图上 的数字表示各段街道的长度.请你设计一条最
短的投递路线，并求出全程是多少？




非常感悟3：
我们在解决问题时要紧紧把握住问题的本质，很多问题都可 转化成“哥尼斯
堡七桥问题”， 变成有趣的一笔画与多笔画问题.

§第14讲：分数计算及应用——工程问题
非常点拨：
4
一项工程，甲、乙合作8天可以完成全部工程的 ，已知乙单独做要15天完成。问甲
5
单独做要多少天完成这项工程？这类工程问题就是分数计算中的除法问题.

非常例题1：
一项工程，甲、乙合作8天可以完成全部工程，已知乙单独做要12天完成. 问甲单独
做要多少天完成这项工程？
【思路导航】“问甲单独做要多少天完成这项工程？”就是求甲的工作效率. 要回答这个问
题，需要利用三个常见数量关系：
工作总量=工作效率×工作时间
工作时间=工作总量÷工作效率
工作效率=工作总量÷工作时间
这三个量中一般将工作总量视为单位“1”.
【详细解答】设这项工程的工作总量为1.
乙单独做要12天完成，工作效率为
1
,
12
甲、乙合作8天完成，说明甲、乙工作效率之和为
1
.
8
则乙的工作效率为
1

1

1

81224
所以乙单独做需要的工作时间为
1
1
24
天.
24
【题后反思】在工程问题中一般情况下将工作总量看作单位“1”，比较抽象，需加以理解 。
解决工程问题紧扣三个量：工作总量、工作时间、工作效率.

非常练习1：
4
1. 一项工程，甲、乙合作8天可以完成全部工程的 ，已知乙单独做要15天完成. 问
5
甲单独做要多少天完成这项工程？



2．一项工作，甲单独做6小时完成，乙单独做9小时完成。两人合做这项工作，用多
少时间可 以完成？

3. 一件工作，甲、乙合作需4小时完成，乙、丙合做需5小时完成。现在先请甲、
丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成。乙单独做完这件工作要多少小时？


非常感悟1：
工作效率之和表示单位时间内的工作量之和.



非常例题2：
一袋大米，甲、乙、丙三个人一起吃，8天吃完，如果甲一个人吃24天吃完， 乙一个
人吃36天吃完，问：丙一个人吃几天吃完？
【思路导航】不同情境，相同问题。参考工程问题，将一袋大米看作总量“1”，变化的是，
“总量÷时间”表示每天吃大米的效率.
【详细解答】甲、乙、丙三个人一起吃，8天吃完，说明三人的效率之和为
1
.
8
其中甲一个人吃24天吃完，说明甲的效率为
1
，
24
乙一个人吃36天吃完，说明乙的效率为
1
，
36
则丙的效率为：
1

1

1

1

8243618
丙单独一人吃需
1
1
18
天吃完. < br>18
【题后反思】本题与“工程问题”类似，只是将完成一项工程换成了吃完一袋米，我们同样< br>将这类问题转化成“工作总量、工作时间、工作效率”三者间的关系来解决.
非常练习2： < br>1.甲车从A城市到B城市要行驶2小时，乙车从B城市到A城市要行驶3小时.两车同
时分别从 A城市和B城市出发，几小时后相遇？


2.一批树苗，如果分给男女生栽，平均 每人栽6棵；如果单分给女生栽，平均每人栽
10棵。问：只分给男生栽，平均每人栽几棵？


3.小华比爷爷小50岁，小华是爷爷年龄的
1
，小华和爷爷的年龄各几岁？
6

非常感悟2：
从基本关系入手，很多非工程问 题，都可以转化成“工程”问题来解决.

非常例题3：
一项工程，甲队独做12 天可以完成。甲队先做了3天，再由乙队做2天，则能完成这
1
项工程的 。现在甲、乙两队合 做若干天后，再由乙队单独做。做完后发现两段所用时间相
2
等。求两段一共用了几天？
111
【思路导航】此题很容易先求乙队的工作效率是：（ － ×3）÷2＝ ；再由条件“ 做完
2128
后发现两段所用时间相等”的题意，可组合成由两个乙队和一个甲队合做需若干天完成，即可求出相等的时间。
【详细解答】甲队单独做12天可以完成，说明甲队的工作效率为
1

12
甲队先做了3天，完成
3
1
=
1
的工程量
124
1
再由乙队做2天，完成这项工程的 ，说明乙队完成的工程量为
1
-
1
=
1

2
244
则乙队每天完成这项工程量，即乙队的工作效率为
1
2=
1

48
11
两段时间一共是 1÷（ ×2+ ）×2＝6（天）
812
答：两段时间一共是6天。
【题后反思】“甲、乙两队合做若干天后，再由乙 队单独做，做完后发现两段所用时间相等”
可组合成由两个乙队和一个甲队合做需若干天完成，这样转换 理解后，解决问
题就变得容易多了.
非常练习3：
1、一项工程，甲队独做15天 完成。若甲队先做5天，乙队再做4天能完成这项工程的
8
15
。现由甲、乙两队合 做若干天后，再由乙队单独做。做完后发现，两段时间相等。这两
段时间一共是几天？



2、一项工程，甲、乙合做8天完成。如果先让甲独做6天，再由乙独做，完成任
务时发现乙比甲多了3天。乙独做这项工程要几天完成？

3、某工作，甲单独做要12天，乙单独做要18天，丙单独做要24天。这件 工作先由甲
做了若干天，再由乙接着做；乙做的天数是甲3倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙的2倍。终于完成了这一工作。问总共用了多少天？


非常感悟3：
我们 在解决问题时要紧紧把握住问题的本质，很多问题都可转化成“工程问
题”， 变成分数计算中的除法问题.

§第15讲：集合思想
非常点拨：
著名的集合论的创始人是德国数学家康托(1845 -1918). 自康托创立集合论以来，它的< br>概念、思想和方法已经渗透到现代数学的各个分支中，成为现代数学的基础. 用集合图（韦
恩图）来表示，既形象、具体，又能培养学生的整体观念，渗透集合思想. 如：表示物体个
数的0、1、2、3、4……叫做自然数，用集合图可以表示：

自然数


0、1、2、3、……

非常例题1：

把他们爱吃的水果填在下面圈里合适的位置：

问：两人都爱吃的水果有几种？
【思路导航】分别将两人喜欢吃的水果填入两个圈内，而两个 圈的中间公共部分表示两人均
爱吃的水果，
【详细解答】

两人都爱吃的水果有2种.
【题后反思】利用集合解决问题的最大好处是直观、形象.

非常练习1：
1.看图回答问题：

（1）一共调查了（ ）人.
（2）喜欢篮球的有（ ）人，只喜欢足球的有（ ）人，两种球都喜欢的有（ ）人.

2．请把小动物的序号填在合适的位置.


3. 2015年1月，妈妈计划每3天去看一次外婆，舅舅计划每5天去看一次外婆。请< br>在月历上画一画，分别找出他们去看外婆的日子，妈妈去的日子画△，舅舅去的日子画O,
他们相 遇的日子有几天？是哪几日？

非常感悟1：
现实生活中很多有趣的问题其实用集合的思想来解决会比较方便.

非常例题2：
18和30的最大公约数与最小公倍数？
【思路导航】由最大公约数 与最小公倍数的意义可知，求两个数的最大公约数，必须包含它
们全部公有的质因数；求两个数、三个数 的最小公倍数，必须包含它们全部公
有的质因数和它们各独有的质因数. 所以，从集合的观点来看，两 个数的最大
公约数应等于这两个数的质因数集合的交集所含元素的乘积；两数互质时最大
公约数 为它们的乘积；两个数、三个数的最小公倍数应等于它们的所有质因数
集合的并集所含元素的乘积.
【详细解答】把每个数的质因数用集合圈图表示出来：
18的质因数用集合圈图表示：
2

3 3


30的质因数用集合圈图表示：
2

3 5

那样18和30的质因数用集合圈图表示：


于是可得： 18和30的最大公约数为2x3=6
18和30的最小公倍数为2x3x3x5=90
【题后反思】公约数、公倍数等概念中渗透了交集的思想。

非常练习2：
1. 2张长度都是10厘米的彩纸重粘贴在一起（如下图）， 重叠部分长多少厘米？如果3
张彩纸同样重叠，重叠后的彩纸一共长多少厘米？


2. 明明排队去做操，从前数起明明排第9，从后数起明明排第4，这排小朋友一共有几
人？


3. 三年级（2）班有56名学生，这个月进行了两次数学测试：第一次得10 0分的学生
的学号是6，9，15，16，27，33，56；第二次得100分的学生的学号是：7， 9，16，27，
36，40,48,51,53，求两次测试均为100分的学生的学号是多少？

非常感悟2：
用集合思想可以解决的最大一类问题就是找出均符合条件的公共部分.

非常例题3：
某班有学生45人，参加演讲比赛的有16人，参加书法比赛的有1 4人，如果这两种
比赛都没有参加的有20人，那么同时参加演讲、书法这两种比赛的有多少人? 【思路导航】利用集合图（韦恩图），将条件清晰的转化成图象，从而帮助自己直观的理解
问题和解 决问题.
【详细解答】由题意画图如下：

由图可知，参加比赛的人数为：45-20=25(人)
而参加演讲比赛的人数+参加书法比赛的人数=16+14=30(人)，30人比25人多，
这是因为有部分人既参加了演讲比赛，又参加了书法比赛，这部分人重复计数

了，故同时参加演讲、书法两种比赛的人数(图中阴影部分)为：30-25=5(人)
【题后反思】 一些数学题，数量关系比较隐蔽且复杂，若以集合思想辅以图形分析题意，则
可以使数量关系明朗化，进 而找出解题方法

非常练习3：
1. 三（1）班有25人订了《数学王国》，有 18人订了《作文天地》，其中有9人两种
杂志都订了，没有一种都不订的。三（1）班一共有多少人？

2.

六一儿童节前夕，同学们组织开联欢会，第一小组有16人，


如果有3名同学两个节目都不参加，两种节目都参加的有多少人？
3．三（3）班有28人去 过西湖，有20人去过长城，其中有9人两个地方都去了，没
有一个地方都没去过的.三（3）班一共有 多少人？
非常感悟3：
我们在解决问题时要紧紧把握住问题的本质，很多问题都可利用集合转 化成
图形来解决.

§第16讲：位置与方向
非常点拨：
从生活中来，再回到生活中去，位置与方向的实用性很强，主要涉及四个概念：方 向、
距离、方向角、参照物；一个口诀：上北下南左西右东.

非常例题1：
下图是某小区的平面图，请根据平面图填空.

(1)1号楼在中心花园的( )方向；3号楼在中心花园的( )方向；4号楼在中心
花园的( )方向.
(2)4号楼在2号楼的( )方向；1号楼在2号楼的( )方向.
(3)中心花园在( )的北面，( )的西北面，2号楼的( )方向.
(4)( )在( )北面.
(5)5号楼的西面有( )号楼和( )号楼.
【思路导航】确定一个物体的位置和方向，遵循三个步骤：①确定参照物；②确定方向；③< br>确定距离.注意: 位置随着参照物的改变而改变.
【详细解答】（1）1号楼在中心花园的西 北方向；3号楼在中心花园的西南方向；4号楼在
中心花园的正南方向．

（2）4号楼在2号楼的西南方向；1号楼在2号楼的正东方向．
（3）中心花园在4号楼的北面，5号楼的西北面，2号楼的西南方向．
（4）1号楼（或2号楼）在3号楼（或5号楼）北面．
（5）5号楼的西面有4号楼和3号楼．
故答案为：西北，西南，正南，西南，正东，4号楼 ，5号楼，西南，1号楼
（或2号楼）,3号楼（或5号楼），4，3.
【题后反思】根据地图上方向的确定方法：上北下南、左西右东，解答即可．
非常练习1：
1. 把手表平放在桌面上，用数字12 正对着北方. 正对着南方的是数字( )； 数字3
正对着 ( )方.

2．小铃面向西站立，向右转动两周半，面向( )，又向左转动l周半，面向( ).
3. 去动物园看看.

(1)小猴住在森林俱乐部的( )面.
(2)狮子住在森林俱乐部的( )面.
(3)小兔住在森林俱乐部的( )面.
(4)老虎住在森林俱乐部的( )面.
(5)猫东面住着( )，西面住着( ).
(6)小狗住在狮子的( )面，住在小兔的( )面
.

非常感悟1：
位置与方向需要运用一定的空间想象能力，对于方位感的培养有很大帮助.



非常例题2：
星期天，我们去动物园游玩，走进动物园大门，正北 面有狮子馆和河马馆，熊猫馆在狮
子馆的西北面，飞禽馆在狮子馆的东北面，经过熊猫馆向南走，可到达 猴山和大象馆，经过
猴山向东走到达狮子馆和金鱼馆，经过金鱼馆向南走到达骆驼馆，你能填出它们的位 置吗?

【思路导航】已知方位，确定事物的所在地，最关键的是利用参照物，根据上北下南 ，左西
右东，从而确定建筑物的位置所在，但要注意参照物的改变.

【详细解答】

【题后反思】此题主要考查地图上的方向辨别方法的灵活应用．
非常练习2：
1.按要求画图

(1)在■的东南面画“○”; (2)在■的东北面画“△”。
(3)在■的西南面画“☆”; (4)在■的西北面画“◇”。

2.请你帮助小动物找到自己的家

(1)熊猫住在森林公园的北面，小鹿住在森林公园的南面。
(2)羊住在森林公园的东面，小牛住在森林公园的西面。

(3)森林公园的东北角住着小花猫，东南角住着小兔，西北角住着小猪,西南角住着小狗。

3. 走进汽车展览大门，在收费厅的正北面有“夏力”屋，南面有“红旗”屋。在收费厅
的东南面有“金杯”屋，西南面有“奥迪”屋。在收费厅的东北面有“奥拓”屋，西
北面有“捷达”屋。请你根据上面的描述，把这些屋名填在适当的位置上.

非常感悟2：
根据方向确定位置，首先需要熟练掌握“上北下南，左西右东”的规律，然
后 根据不同的参照物运用规律确定相应的位置.

非常例题3：
在花园小区的东面70米的地方有一所中学，西边30米的地方有一家超市，请你用☆
标出中学的位置，用○标出超市的位置。


【思路导航】首先确定参照物是 花园小区，然后因为图上距离1厘米表示实际距离10米，
则可求出学校、超市、花园小区之间的图上距 离，再依据给出的方向，即可标
出这些建筑物的位置．
【详细解答】
因为图上距离1厘米表示实际距离10米，
则中学与花园小区的图上距离为：70÷10=7（厘米），
超市与花园小区的图上距离为：30÷10=3（厘米），
再据它们之间的方向关系，标注如下：


【题后反思】确定一个事物的位置 ，除了最关键的方向外，还需考虑距离，方向+距离→精
确位置.

非常练习3：
1.小明和小立背对背站立，小明向北走150米，小立向南走120米，两人相距多远？


2.

小娟向东走5步，然后向西走4步，再向东走3步，再向西走2步， 再向东走1步，
现在小娟在出发点的什么方向几步的地方？


3．在佳和 园小区的东边40米的地方有一所幼儿园，西边60米的地方有一个银行，北边
50米的地方有一超市， 南边40米的地方有一家饭店。请你分别标出幼儿园、银行、
超市和饭店的位置。




非常感悟3：
要解决好位置问题，首先要认识方向，并学会根据方向找到 事物的大致位置，
但要精确确定一个事物的位置的话，还需知道距离.

§第17讲：除法心算和估算（除数是一位数的除法）
非常点拨：
1、心算方法：心算整百数除以一位数时，要把整百数看作几个百来计算。心算几百几
十除以一位数时， 要将几百几十数看作是几个十来计算。
2、估算方法：进行估算时，要把被除数看作与它最接近的整百 数或几百几十数，也可
以将被除数看作与它最接近的除数的倍数.

非常例题1：
在除数是一位数的除法中，如果商是35，余数是8，被除数是？
【思路导航】本题要运用有余数的除法，在有余数的除法中余数小于除数，在本题中除数是
一位 数，而余数是8，所以除数应是9，根据它们各部分之间的关系，被除数=
商×除数+余数，可求得被除 数．
【详细解答】因为除数是一位数而余数是8，根据在有余数的除法算式中除数大于余数，
所以除数应是9．
根据被除数=商×除数+余数，
被除数=35×9+8=323
【题后反思】有余数的除法及它们各部分之间的关系：被除数=商×除数+余数．

非常练习1：
1. 464除以一个两位数，余数是9，这个两位数有几个？

2. 数a除以数b，商是4，余数是3，如果数a、b都同时扩大10倍，商是多少？余
数是多少？

3. 174除以5，商是多少？要想没有余数，被除数最少应增加多少？

非常感悟1：
被除数÷除数=商…余数，被除数=除数×商+余数, 除数=（被除数- 余数）÷
商.

非常例题2：
小马虎是个非常聪明的孩子，可就是粗心大意，经常在做作业时犯看错题目的错误．这
不，在 做除法题时，又把除数6看成了5，结果得到商是13还余2．你知道正确的商是多少
吗？
【 思路导航】这里要运用逆向思维，将错就错，首先是把除数就当作是56，反过来推出被
除数是多少，然 后算出正确的商．
【详细解答】13×5+2=67， 67÷6=11…1．正确的商是11．
【题后反思】逆推思想，从后向前一步步推出结果．

非常练习2：
1. “小马虎”在计算一道没有余数的除法题时，把被除数十位上的数字看成了个位上的
数字，个位上的数字 看成了十位上的数字，除以53的结果，商8余18．原来正确的商是几？


< br>2.小马虎在计算一个数除以5时，误将这个数十位上的数与个位上的数看颠倒了，结果
是11余 2，正确的计算结果应该是多少？


3. 小明在计算有余数的除法时，把被除数 472错看成427，结果商比原来小5，恰巧余
数没变．则这道题的除数是多少？


非常感悟2：
这类题型的关键是运用逆向思维求出正确的数据，再进一步求解.


非常例题3：
被除数比除数的15倍还多8，被除数接近1000，你试试被除数是多少？
【思路导航】被 除数比除数的15倍多8，那么用被除数减去8，就是除数的15倍，也就是
被除数减去8后是15的倍 数；先用1000除以15，求出商，再用商乘上15，
求出接近1000的15的倍数，如果这个数加 上8不超过1000（是三位数），那
么加上8之后的数就被除数，如果大于1000，再减去15就是 被除数．
【详细解答】1000÷15=66…10

66×15=990
990+8=998
998是三位数，符合要求．
故被除数是998．
【题后反思】解决本题关键是先根据被除数减去8是15的倍数这一特点，找出接近1000
的15的倍 数，进而求解.

非常练习3：
1.一个工厂要生产1260台机器，已经生产了 620台，剩下的要一周完成，剩下的平均
每天要生产多少台？（一周工作五天）


2.

□500÷6，要使商是三位数，□里最大应填（ ）；要使商是四位数，□里最小应
填（ ）


3．在一道有余数的整数 除法计算题中，被除数、除数、商与余数这四个数的和是59，
其中余数是2，如果被除数和除数同时扩 大到原来的5倍，计算后被除数、除数、商与余数
这四个数的和是267．原来的被除数和除数分别是多 少？


非常感悟3：
我们在解决问题时要紧紧把握住问题的本质，这里的 实际问题可以利用除法
运算列出式子，从而解决问题.

§第18讲：除法巧算和应用（除数是一位数的除法）
非常点拨：
一、想乘法算除法
看一位数乘多少等于被除数，所乘的数就是所求的商。如：60÷3= ?，想：3×（ ）
=60，由于3×（20）=60，所以：60÷3=20.
二、 2、5、3倍数的特点:
2的倍数：个位上是2、4、6、8、0的数是2的倍数。
5的倍数：个位上是0或5的数是5的倍数。
3的倍数：各个数位上的数字加起来的和是3的倍数，这个数就是3的倍数.
三、几十几除以一位数的口算方法
把被除数写成几十与几的和或几十与几的差，后用“几十”与 “几”分别除以一位数，
再把所得的商相加或相减的结果就是最后的结果.
如：66÷3= ，66=60+6，60÷3=20，6÷3=2，20+2=22，所以：66÷3=22.
如：72÷4= ，72=80-8，80÷4=20，8÷4=2，20-2=18，所以：72÷4=18.

非常例题1：


已知甲数是乙数的5倍，甲乙两数的和是24，求甲乙两数？
【思路导航】关于倍数问题：两数和÷倍数和=1倍的数.
【详细解答】



这里把乙数看成1倍的数，那甲数就是5倍的数. 它们加起来就相当于乙数
的6倍了， 而它们加起来的和是24. 这也就相当于说乙数的6倍是24. 所
以乙数为：24÷6=4，甲数为：4×5=20
【题后反思】巧妙的将乙数看成单位1 ，利用倍数关系，将甲数看成5，两数和24÷倍数和
6=1倍的数4，即单位1实际代表数4.


非常练习1：
1.甲、乙两个数的差是42，甲数是乙数的8倍，甲、乙两数各是多少？


2．被除数与除数的和是108，商是8，被除数和除数各是多少？

3. 一道除法算式，除数是8，小强错把除数看成了6，计算结果是商28余5，正确的
结果是多少?？

非常感悟1：
在解决这类问题时，要先弄清楚两个数之间的关系，再利用相应条件求 出单
位1代表的实际数是多少.




非常例题2：
王叔叔把一根木条锯成4段用12分钟，锯成5段需要多长时间？
【思路导航】锯成4段只用 锯3次，锯成5段只用锯4次，计算出锯一次要几分钟是解决本
题的关键．
【详细解答】






锯成4段只用锯3次，也就是锯3次 要12分钟，那么可以知道锯一次要：12
÷3=4（分钟），而锯成5段只用锯4次，所需时间为：4 ×4=16（分钟）
【题后反思】仔细审题，弄清除数是多少，是解决这类题型的关键.

非常练习2：
1. 爸爸晚饭后去散步，从家门口的第一根电线杆走到第六根电线杆共走了360米（相
邻的电线杆间距相同），每两根电线杆之间的距离是多少米？



2.如果把2枝康乃馨、3枝百合、4枝玫瑰花配成一束，这些花最多能配成多少束？
名称

数量

康乃馨

400枝

百合花

600枝

玫瑰花

800枝

3. 45名学生去游园，要买矿泉水，商店买4瓶送1瓶，那么他们只需要付钱的有多少
瓶？

非常感悟2：
理解题意，找出题目的核心所在，再根据除法运算的特征解决问题.


非常例题3：
（ ）÷8=6……（ ）求被除数最大是多少？求被除数最小是多少？
【思路导航】余数一定要比除数小，商×除数+余数=被除数.
【详细解答】根据除法中“ 余数一定要比除数小”规则，余数最大应是7，最小应是1。再
由公式：商×除数+余数=被除数，知道 被除数最大应是6×8+7=55，最小应是
6×8+1=49
【题后反思】除法与乘法互为 逆运算，求被除数时可以转化成“被除数=商×除数+余数”来
求解.


非常练习3：
1.少年宫有一串彩灯，按1个红，2个黄，3个绿排列着，请你猜一猜第89个是什么
颜色？


2. 38个人去划船，每条船限坐4个人，一共要几条船？



3．做一件成人衣服要3米布，现在有170米布，能做几件成人衣服？


非常感悟3：
我们在解决问题时要紧紧把握住问题的本质， 很多问题都可转化成“一位数
除法问题”， 利用相应的除法原理和技巧解决.

§第19讲：盈亏问题

非常点拨：
1.把一定数量的物 品平均分给一定数量的人，每人少分一些，物品就有余（盈）；每人多分
一些，物品就不够（亏）。盈亏 问题就是在已知盈亏的情况下来确定物品总数及参加分配的
人数。
2.盈亏问题的基本数量关系式：
（盈＋亏）÷两次分配差=份数
每次分得的数量×份数＋盈=总数量
每次分得的数量×份数－亏=总数量
3.解答 盈亏问题的关键是弄清盈、亏总差额与两次分配的数量差之间的关系，然后利用公式
解决问题。
非常例题1：
例：张阿姨买了一些桃子，分别放在桌子上的盘子里，如果每盘放3个，则多2个；
如果每盘放4个，则少6个。那么桌上有几个盘子？妈妈一共买了多少个桃子？
【思路导航】 根据题意可知，第二种分法比第一种分法每盘多分4－3=1（个），所以所分的
桃子的个数从多2个变 成少6个，这样总数相差了2＋6=8（个），也就是说再
有8个就能使每盘多分到1个，所以桌上的盘 子有8÷1=8（个），妈妈共买了
8×3＋2=26（个）
【详细解答】 （2＋6）÷（4－3）=8（个） 8×3＋2=26（个）答：桌上有8个盘子；妈妈
一共买了26个桃子。
【题后反思】为了方便记忆，可用口诀：两头一拉，中间相加，如果满十，向前进一。
非常练习1：
1.同学们租车去参观历史博物馆，如果每辆车坐8人，则有2个空座位；如果 每辆车坐10
人，则少12个座位，一共租了几辆车？有多少人去参观？









2.松鼠妈妈把采摘的松子分给小松 鼠，如果每只小松鼠分4个，还剩12个；如果每只小松
鼠分8个，则还缺4个，有几只小松鼠？松鼠妈 妈一共采摘了多少个松子？

3.大象运木头，如果每头大象一次运2根木头，运完一次后还剩12根；如果每头大象运3
根 木头，则正好一次运完，有几头大象运木头？一共有多少根木头？



非常感悟1：
此方法仅限两位数与11相乘.
非常例题2：
例：孙老师按同学们的座位分学习小组，如果每组5人，则还余14人；如果每组7人，
则还余2人，分成了几个学习小组？全班共有多少人？
【思路导航】根据题意可知，第二种分 法比第一种分法每组多分了7－5=2（人），这样就从
原来的多14人变为多2人，两种分法的结果相 差了14－2=12（人），根据对
应关系，相差的12人里面有几个多出的2人就是分成了几个学习小 组：12
÷2=6（个），所以全班的人数是5×6＋14=44（人）。21·
【详细解答 】（14－2）÷（7－5）=6（个）5×6＋14=44（人）答：分成了6个学习小组？
全班共有 44人。
【题后反思】典型的“同头尾和十”，用十位上的数字乘比十位数字多1的数字所得的积乘< br>100，再加上个位上数字的积。
非常练习2：
1．某工厂工人在餐厅吃饭，如果每 张餐桌坐5人，则多41人；如果每张餐桌坐8人，还多
5人。有多少张餐桌？吃饭的工人一共有多少个 ？
2·1·c·n·j·y




2.植树节同学们在操 场上植树，如果每行40棵，则还剩23棵树苗；如果每行42棵，则还
剩13棵树苗。问同学们准备种 几行？一共有多少人植树？
21·世纪*教育网




3 .长颈鹿摘了一些苹果送给森林里的好朋友，如果给每位好朋友分8个苹果，还剩下24个；
如果给每位 好朋友分10个苹果，则还剩下2个。长颈鹿把苹果分给了几位好朋友？它一共
摘了多少个苹果？
21教育网






非常感悟2：
找出题目特征：十位数字相同，个位数字之和是10，是解此题的关键.

非常例题3：
李叔叔饲养了一些兔子，如果每只兔子喂6个胡萝卜，则少14 个胡萝卜；如果每只兔子喂
8个胡萝卜，则有2只兔子不能吃到胡萝卜。李叔叔饲养了多少只兔子？有多
少个胡萝卜？
【思路导航】第二种方案每只兔子喂8个胡萝卜，2只兔子不能吃到胡萝卜，说 明这种分配
方案中差8×2=16（个）胡萝卜，两种分配方案相差16－2=14（个）胡萝卜，所以兔子有14÷（8－6）=7（只），胡萝卜有6×7－2=40（个）。

【详细解答】解：（8×2－2）÷（8－6）=7（只） 6×7－2=40（个）答：李叔叔饲养了7
只兔子，有40个胡萝卜。
【题后反思】典型的 “同尾头和十”，十位上的数字的乘积加上个位数字的和去乘100，再
加上个位上数字的积；
非常练习3：
1. 阅读课上，老师给学生们发图书，如果每人发4本，则差23本；如果每 人发7本，则
有26个学生拿不到图书。一共有多少名学生？一共有多少本图书？





2．王老师给同学们买奖品，如果买5元一个的文具盒，则差44元；如果买7元一个的文具
盒，则比计划少买24个。王老师带了多少钱？原计划买多少个文具盒？





3.把压榨出来的花生油分装，如果每桶装4千克，则还剩102千克 ；如果每桶装6千克，则
有3个空桶，而另一个桶只能装2千克。一共压榨出多少千克花生油？一共有几 个油桶？






非常感悟3：
找出题目特征：个位数字相同，十位数字之和是10，是解此题的关键.

§第20讲：乘法心算和估算（两位数乘两位数）

非常点拨：
（一）乘法的三种运算定律︰
（1）乘法交换律：两个数相乘，交换两个数的位置，积不变；
（2）乘法结合律：三个数相乘，可以先把前两个数相乘，再与后一个数相乘；或先把后两
个数 相乘，再与前一个数相乘，积不变；
（3）乘法分配律：两个数和（或差）与一个数相乘，可以将这两 个数先分别和这个数相乘，
然后再把两个乘积相加（或相减）；
（二）计算连乘法时，如果 遇到两个因数相乘可以得到整十、整百、整千等数，可以将它们
合并扩整，然后再乘。记住下面的一些常 用数值，可以迅速而准确地计算出某些题的结果。
20×5=100,25×4=100,125×8= 1000
（三）计算乘法时，如果一个因数是25,125，另一个因数可拆成4×几,8×几，这样 可以先
拆数再扩整。
非常例题1：
计算下面各题：
15×10 15×100 15×1000
【思路导航】一个数×10，数后添0；一个数×100，数后 添00；一个数×1000，数后添000；
【详细解答】 15×10 =150
15×100=1500
15×1000 =15000
【题后反思】为了方便记忆，可用口诀：两头一拉，中间相加，如果满十，向前进一。
非常练习1：


1. （1）24×10 （2）34×10 （3）44×10


2. （1）36×100 （2）43×100 （3）57×100


3. （1）84×1000 （2）79×1000 （3）62×1000



非常感悟1：
此方法仅限×10，×100，×1000；
非常例题2：
12×9 12×99 12×999
【思路导航】一个数×9，数后添0 ，再减此数；一个数×99，数后添00，再减此数；一个
数×999，数后添000，再减此数；

【详细解答】12×9=120-9=108
12×99=1200-99=1188
12×999=12000-12=11988
【题后反思】先是利用了×10，×100，×1000的思维，再利用乘法分配律进行计算。
非常练习2：
1. （1）54×9 （2）52×9 （3）65×9





2. （1）72×99 （2）45×99 （3）34×99





3. （1）91×999 （2）71×999 （3）83×999





非常感悟2：
此方法仅限×9，×99，×999；
非常例题3：
（1）23×21 （2）23×99
【思路导航】因为21接近20,99接近1 00，我们可以把21看成20+1，把99看成100－1，
再用乘法分配律进行计算。

【详细解答】（1）23×21
=23×（20+1）
=23×20+23
=460+23
=483
（2）23×99
=23×（100－1）
=2300－23
=2277

【题后反思】典型的乘法分配律；

非常练习3：
1. （1）25×41 （2）47×69 （3）35×79





2. （1）24×89 （2）31×91 （3）82×21





3. （1）23×51 （2）84×29 （3）19×98





非常感悟3：
找出与哪个整数最接近是解此题的关键.

§第21讲：乘法巧算与应用（两位数乘两位数）

非常点拨：
几种特殊的巧算方法是︰
（1）一个数与11相乘，则用两位数的头做 积的头，两位数的尾做积的尾，用这个两位数的
两个数字之和做积的中间数（若相加满十，则把和中间的 十位数1加到头上）；
（2）乘法算式中，十位上的数字相同，个位上的数字和是10（“同头尾和十 ”）的巧算方法：
用十位上的数字乘比十位数字多1的数字所得的积乘100，再加上个位上数字的积；
（3）乘法算式中，个位上的数字相同，十位上的数字和是10（“同尾头和十”）的巧算方法：
十位上的数字的乘积加上个位数字的和去乘100，再加上个位上数字的积；
非常例题1：
计算下面各题：
43×11
【思路导航】一个数与11相乘的竖式是： 4 3
× 1 1
4 3
4 3
4 7 3
容易看出，一个数与11相乘，只需“错位相加”即可
【详细解答】 4 3
43×11 = =473
4 7 3
【题后反思】为了方便记忆，可用口诀：两头一拉，中间相加，如果满十，向前进一。
非常练习1：
1. （1）24×11 （2）34×11 （3）44×11


2. （1）36×11 （2）43×11 （3）57×11


3. （1）84×11 （2）79×11 （3）62×11




非常感悟1：
此方法仅限两位数与11相乘.

非常例题2：
31×39

【思路导航】这道 题是“同头尾和十”，我们可按“同头尾和十”的巧算方法进行计算：用
十位上的数字乘比十位数字多1 的数字所得的积乘100，再加上个位上数字
的积
【详细解答】31×39
=3×4×100+1×9
=1200+9
=1209

【题后 反思】典型的“同头尾和十”，用十位上的数字乘比十位数字多1的数字所得的积乘
100，再加上个位 上数字的积。
非常练习2：
1. （1）54×56 （2）52×58 （3）65×65




2. （1）72×78 （2）45×45 （3）34×36





3. （1）91×99 （2）71×79 （3）83×87







非常感悟2：
找出题目特征：十位数字相同，个位数字之和是10，是解此题的关键.

非常例题3：
67×47
【思路导航】这道题是“同尾头和十”， 我们可按“同尾头和十”的巧算方法进行计算：十
位上的数字的乘积加上个位数字的和去乘100，再加 上个位上数字的积；
【详细解答】67×47
=（6×4+7）×100+7×7
=3100+49
=3149

【题后反思】典型的“同尾头和十”，十 位上的数字的乘积加上个位数字的和去乘100，再
加上个位上数字的积；
非常练习3：
1. （1）46×66 （2）47×67 （3）35×75





2. （1）24×84 （2）31×71 （3）82×22




3. （1）51×51 （2）84×24 （3）19×99






非常感悟3：
找出题目特征：个位数字相同，十位数字之和是10，是解此题的关键.

§第22讲：图形分割（求面积）
非常点拨：
1.面积指的是物体所占平面的大小。
2.长方形的面积=长×宽 长方形的面积÷长=宽 长方形的面积÷宽=长
正方形的面积=边长×边长 正方形的面积÷边长=边长
3.求复杂图形的面积需要敏锐的观察力和灵活的思维，运用添加辅助线、 分割、转化等方法
解答。
非常例题1：
例：在一张长9米，宽7米的长方形铁板切割成一个面积最大的正方形，这个
正方形铁板的面积是多少平方米？
【思路导航】要使切割成的正方形木板面积最大，就要使它的边长最长（如图），
那么只能选原来的长方形宽为边长，即正方形的边长是7米。

【详细解答】解：7×7=49（平方米）答：这个正方形铁板的面积是多少平方米。
【题后反思】正方形的边长是相等的
非常练习1：
1.明明在一张长12厘米，宽 8厘米的长方形纸上剪成一个面积最大的正方形，这张
正方形纸的面积是多少平方厘米？



2.妈妈把一块长2米，宽6分米的长方形布料裁成一个面积最大的正方形，这个 正方
形的面积是多少？



3．将一张10米，宽8米的长方形 铁板切割成一个面积最大的正方形，这个正方形的
面积是多少平方米？剩下的部分是什么形状，面积是多 少？


非常感悟1：
要使切割成的正方形木板面积最大，就要使它的边 长最长，那么只能选原来
的长方形宽为边长，

非常例题2：
例：求下列图形的面积。（单位：厘米）

【思路导航】不是规则的长方形要把原图 进行分割，使其变成规则图形再解答，可用以下方
法分割：

【详细解答】解：8×6＋16×（12－6）=144（平方厘米）
或12×8＋（16－8）×（12－6）=144（平方厘米）
【题后反思】怎样分割是解题的关键.
非常练习2：
求下面图形的面积。（单位：厘米）









非常感悟2：
不是规则的长方形要把原图进行割补，使其变成规则图形再解答

非常例题3：
例：将两个相同的长方形按下图重叠放在一起，这个图形的面积是多少？（单位：厘米）
< br>【思路导航】先求出两个长方形面积的和：10×4×2=80（平方厘米），然后再减去一个小
正方形的面积：80－4×4=64（平方厘米），就是这个图形的面积。
【详细解答】解：10×4×2－4×4=64（平方厘米）答：这个图形的面积是64平方厘米。
【题后反思】注意整体与局部量之间的关系，可以使得思考更加简便. 先求出两个重叠前的
面积的和，再算出重叠部分
非常练习3：
1.把两张边长6厘 米的正方形纸，一部分叠放在一起放在桌子上（如图），那么桌子被
覆盖住的面积是多少？



2.阴影部分的面积是多少？（单位：米）


< br>3.如图，ABCD是一个长方形草坪，长18米，宽15米，中间有一条宽2米的曲折小路，
求 小路的面积。



非常感悟3：
我们在解决问题时要紧紧把握住 局部与局部、局部与整体之间的联系，挖掘
它们存在的隐藏条件.

§第23讲：图形的切拼
非常点拨：
把一个几何图 形按某种要求分成几个图形，叫做图形的切割。反过来，按一定的要
求也可以把几个图形拼成一个完整的 图形，这叫做图形的拼合。将若干个图形先切割开，
再拼成一种指定的图形，则叫做图形的切拼。

非常例题1：
把一个长方形分成形状、大小相等的4份，该怎么分呢？

【思路导航】把长方形的长或宽平均分成4等份，即可把长方形分成形状、大小相等的4份；接下来想一想还有什么方法呢？动手画一画。
【详细解答】下面是其中的几种分法：

【题后反思】此题考查的是长方形的分割，掌握分割的方法是解答此题的关键
非常练习1：

1. 把一个长方体（如图），沿虚线切成两个长方体，图（ ）的切法增加的面积最大
.


A. B. C.
2.如图由3个正方形组成，你能将它分成形状大小相等的4份吗?

3.你能把一个等边三角形分成大小，形状都相同的4个，6个，8个、9个三角形吗？请
将分法表示 出来。

非常感悟1：
平面图形切拼的题目，熟练掌握平面图形切拼的方法是解题的关键。
非常例题2：
下面的每个图形都是由 4个小正方形拼成的，用4块哪种形状的图形就可以拼成一个大
的正方形？

【思路导航】要解答本题，首先要明确正方形的四条边相等，四个角都是直角；
再结合题目中 每个图形逐一进行分析，根据正方形的特点，很容易判断利用4块图（4）和
4块图（5）能不能拼成一 个大正方形；再结合图（1）的特点，一正一倒，，
可以组成长为4，宽为2的长方形，根据已经拼好的 长方形进一步分析，可以得到4个图（1）
能不能拼成一个大正方形；根据图（2）的特点，用两个图（ 2）进行拼组，得到了
，也就是半个正方形，可以进一步得到4个图（2）能不能拼成一个大正方
形；图（3）与图（1）非常相似，可以根据图（1）的拼组从而得到4块图（3）能不能拼成
大正方 形；把两个图（6）与图（7）无论怎样拼组，都不能得到大正方形的一半，从而解答
了本题。
【详细解答】用4块图（4）能拼成一个大正方形

用4块图（5）也能拼成一个大正方形

用4块图（1）、4块图（2）和4块图（3）也能拼成一个大正方形。

用（6）和（7）无法拼成这样的正方形，所以可以拼成正方形的图形有5种。
答：用4块图 （4）、4块图（5）、4块图（1）、4块图（2）或4块图（3）能拼成一个大正
方形。
【题后反思】这是一道关于平面图形的切拼的题目，掌握已知图形的特征进行拼组是解题的
关键；
非常练习2：

1. 下面是一副拼板，用这副拼板能拼成一个正方形吗？如果能，应该怎样拼呢？

2. 把下图分成五个大小相等、形状相同的图形。

3. 你能将下面的图形剪成3块，拼成正方形吗？请画出剪和拼的方法。


非常感悟2：
平面图形的分割，确定各部分的大小是解答此题的关键

非常例题3：
从6块 图形中选用几块拼成下面的图形，你能说出它们分别选用了哪几块吗？请你用虚
线表示出拼的方法，并标 上所选图形的编号。

【思路导航】1、仔细审题，回想图形的拼接；
2、在给出 的6块图形中，先找到哪两块图形可以拼成三角形、梯形，哪三块
可以拼成三角形、梯形、平行四边形、 正方形；
3、再结合要拼成图形的形状、大小来选取小图形拼合。
【详细解答】第一个图选 用了4块，第二个图选用了3块，第三个图选用了6块，第四个图
选用了5块。如下图所示：

【题后反思】摸索探究，找出相等边，互余互补角是解决此题的关键。
非常练习3：

分别利用下列七巧板中的部件拼出一个三角形：

1. 1个大三角形，2个小三角形和1个正方形；


2. 1个大三角形，2个小三角形和1个平行四边形；


3. 1个大三角形，1个中三角形和2个小三角形．


非常感悟3：
因给出的部件均有一个大三角形，因此本题关键是如何用其余三个部件摆
成一个中三角形

§第24讲：时间的计算（二）（年月日）
非常点拨： 1.一年有12个月，一、三、五、七、八、十、十二月各月有31天，俗称大月；四、六、九、
十 一月各月有30天，俗称小月；二月，平年有28天，闰年有29天。
2.平年一年有365天，闰年一年有366天。
3.公历年份是4的倍数的一般都是闰年； 但公历年份是整百数的，必须是400的倍数才是闰
年。如1900年不是闰年，而2000年是闰年。
非常例题1：
林林在放暑假的第一天就去参加了夏令营，参加了24天后于7月28日回 到家中，那么
林林是哪一天开始放暑假的？

【思路导航】林林参加了24天，这24 天中不包括7月28日，因为这一天他回到了家中，
所以中间实际经过了24天，因此，林林放暑假的日 期是28－24=4（日）。
【详细解答】解：7月28日－24天=7月4日 答：林林是7月4日开始放暑假的。

【题后反思】解出此题关键弄清楚夏令营是不包括7月28日，所以不用加1

非常练习1：

1.实验小学从7月3日开始放暑假，9月1日开学。你知道实验小学暑假一共放了多少
天吗？




2.小明的爸爸从3月20日这天离家外出学习，单位要求 学习的时间是17天，小明的生
日是4月6日，那么爸爸能回家为小明庆祝生日吗？





3.小鸡的孵化过程中需要21天才能使小鸡破壳而出，一 只鸡妈妈在4月16日让10只
小鸡破壳而出。问：鸡妈妈是哪一天开始孵化这些小鸡的？




非常感悟1：
我们在认清最后一天是否包括的同时，还需利用3月、4月的天数，进行题。

非常例题2：
例：军军和亮亮的生日都在六月份的某一天，并且都是星期一，军军的生日在亮亮的
后面，他们两人生日的日期和是38。那么军军和亮亮的生日分别是六月份的哪一天呢？
【思 路导航】因为军军和亮亮的生日在同一个月里并且都是星期一，所以两人生日的日期差
一定是7的倍数。 所以看30以内（包括30）哪两个数相加的和是38，经验
证12和26符合条件。
【详细解答】解：12＋26=38 （26－12）÷7=2 答：军军的生日是六月份的26日，亮亮是
六月份的12日。2
【题后反思】了解到生日都是 星期一那么两人生日的日期差一定是7的倍数，此为解题的关
键。

非常练习2：

1.笑笑和奶奶的生日都在五月份的某一天，并且都是星期六，但笑笑 的生日在奶奶的前
面，她们两人生日的日期和是37。那么笑笑与奶奶的生日分别是哪一天？



2.小红与小华的生日都在十一月份的某一天，并且都是在星期三，但小华先过生 日，她
们两人生日的日期和是40。问：小红和小华的生日分别是哪一天？





3.佳佳和妈妈的生日都在二月份的某一天，并且都是星期天，佳佳先过生日，妈 妈每4
年才过一次生日，她们生日的日期和是37。佳佳和妈妈的生日分别是哪一天？


非常感悟2：
生日都是星期几那么两人生日的日期差一定是7的倍数，其次还要搞 清楚
所在月份的天数以及是否可能是闰年

非常例题3：

例：聪聪说1996年是闰年，全年是366天，二月份是29天。他说的对吗？为什么？
【思路导航】公历年份是4的倍数的一般都是闰年； 1996÷4=499，1996是4的倍数，< br>所以是闰年，闰年全年有366天，二月份是29天。
21教育网

【详细解答 】解：他说的对，因为1996是4的倍数，是闰年，闰年全年有366天，二月份
是29天。
【题后反思】公历年份是4的倍数的一般都是闰年；

非常练习3：

1.小马虎说2014年是闰年，全年是366天，二月份是29天。他说的对吗？为什么？




2.兵兵说2100年是闰年，全年是366天，二月份是29天。他说的对吗？为什么？




3.张奶奶说她今年60多岁了，但只过了15个生日，你知道这是怎么回事吗？



非常感悟3：
公历年份是4的倍数的一般都是闰年；但公历年份是整百数的，必须是 400
的倍数才是闰年。如1900年不是闰年，而2000年是闰年

§第25讲：最佳安排
非常点拨： < br>我们每天的生活、学习都离不开时间，但是你知道时间有大学问吗？合理地安排时间，
往往会达到 事半功倍的效果。科学地安排时间的方法，就叫做最佳安排。
小朋友在进行最佳安排时，要考虑以下几 个问题：（1）要做哪几件事：（2）做每件事需
要的时间；（3）要弄清所做事的程序，即先做什么， 后做什么，哪些事可以同时做。
在学习、生产和工作中，只有尽可能地节省时间、人力和物力，才能发挥出更大的效率。


非常例题1：
明明早晨起来要完成以下几件事情：洗水壶1分钟，烧开水12 分钟，把水灌入水瓶要
2分钟，吃早点要8分钟，整理书包2分钟。应该怎样安排时间最少？最少要几分 钟？
【思路导航】 经验表明：能同时做的事尽量要同时去做，这样节省时间．
【详细解答 】水壶不洗，不能烧开水，因而洗水壶不能和烧开水同时进行；而吃早点和整理
书包可以和烧开水同时进 行。这一过程可用方框图表示：
1分钟
洗水壶
12分钟
烧开水
2分 钟
灌水瓶
8分钟
吃早点
2分钟
整理书包

从图上可 以看出，洗水壶要1分钟，接着烧开水要12分钟，在等水开的同时吃早点、
整理书包，水开了就灌入水 瓶，共需15分钟。
【题后反思】解题的关键能同时做的事尽量要同时去做，这样节省时间。

非常练习1：

1.红红早晨起来刷牙洗脸要4分钟，读书要8分钟，烧开水要10分 钟，冲牛奶1分钟，
吃早饭5分钟。红红应怎样合理安排？起床多少分钟就能上学了？



2. 玲玲想给客人烧水沏茶。洗水壶要2分钟，烧开水要12分钟，买茶叶5分 钟，洗茶
杯要1分钟，冲茶要1分钟。要让客人尽早喝上茶，你认为最合理的安排需要多少分钟客人就能喝上茶了？


2. 小李阿姨要出门，出门之前她要完成以下几件事：整 理房间5分钟，把衣服和水放入洗
衣机要1分钟，洗衣服自动洗涤要12分钟，擦鞋要3分钟。怎样合理 安排，小李阿姨
在多少分钟后就可以出发了？

非常感悟1：
合理科学 的安排时间的关键是搞清事情的先后顺序，找准能同时做的事.
非常例题2：
贴烧饼的时候，第一面需要烘3分钟，第二面需要烘2分钟，而贴烧饼的架子上一次最
多只能放 2个烧饼。要贴3个烧饼至少需要几分钟？
【思路导航】先放第一、二两个烧饼贴第一面，过3分钟后 ，拿下第一个，并把第二个翻过
去，并放上第三个烧饼；过2分钟拿下第二个，并放第一个烧饼，过1分 钟把第三个烧饼翻
过来；再过1分钟取下第一个烧饼，再过1分钟三个烧饼全贴完了，只用了8分钟。．

【详细解答】解：3＋2＋1＋1＋1=8(分钟)
答：要贴3个烧饼至少需要8分钟.
【题后反思】尽量让锅里每次都有两张饼，就能节省时间
非常练习2：

1.用一个平底锅烙饼，锅上只能同时放两个饼。烙第一面需要2分钟 ，烙第二面需要1分钟。
现在在烙三个饼，最少需要多少分钟？




2.烤面包的架子上一次最多只能放两个面包，烤一个面包每面需要2分钟，那么烤三个面包
最少需要多少分钟？





3.小红妈妈要 小红用平底锅烙饼，锅中每次最多放4个饼。烙一个饼一面要2分钟，另一面
要1分钟，可小红烙6个饼 只用了5分钟，她是怎么做的？


非常感悟2
此类题的解答，让学 生体会运筹思想在解决实际问题中的作用，认识解决
问题策略的多样性，找到烙饼问题最优化的规律

非常例题3：

甲、乙、丙、丁四人各有一块麦地，他们同时用一 台收割机进行收割，甲的麦地需要收
割4小时，乙的麦地需要收割1小时，丙的麦地需要收割3小时，丁 的麦地需要收割2小时。
怎样安排四人的顺序，他们花的总时间最少？最少时间是多少？

【思路导航】所用的时间是指他们四个各自收割时间与等的时间的总和，因为各自收割的时
间不 变，所以在安排收割的顺序时，应该使等的时间尽可能少，即应该安排收割
时间少的人先用，顺序是：乙 、丁、丙、甲，过程可用下表表示
【详细解答】

乙收割
的 时间
乙等的时间
丁等的时间
丙等的时间
甲等的时间
1
11
1
丁收割
的时间
丙收割
的时间
甲收割
的时间
2
2
2
3
34

从表中可以看出，四人收割的时间 为：1＋2＋3＋4=10小时，三人等的时间为：
1×3＋2×2＋3=10小时，所以，最少时间为 10＋10=20小时
【题后反思】解决这类问题时使用表格能使问题更清晰明朗
非常练习3：

1.甲、乙、丙三人都要到同一水龙头下取水，甲需要用2分钟，乙需 要用4分钟，丙需
要用1分钟。怎样安排，他们花的总时间最少？最少时间是多少？



2. 卫生室里有四名同学等候医生治病，甲打针要3分钟，乙换纱布需要4分钟 ，丙涂
红药水需要2分钟，丁点眼药水需要1分钟。怎样安排，他们在医院等候的时间和最少？最
少是多少分？



3. 三个顾客到同一个柜台去买东西，甲需要用4 分钟，乙需要用6分钟，丙需要用2分钟。
怎样安排他们购买的顺序，使他们所花的总时间最少？最少是 多少？




非常感悟3：
解决这类问题要尽可能使等候的时间比较少，所以一般让用时少的优先。

非常例题4：
在一条公路上每隔50 千米有一个粮库，共4个粮库。甲粮库存有10吨粮食，乙粮库存
有20吨粮食，丁粮库存有50吨粮食 ，还有一个粮库是空的。现在想把所存的粮食集中放在
一个粮库中，如果每吨粮食运1千米要1元的运费 ，那么最少要花多少运费才行？

甲
10吨
【思路导航】
乙
20吨
丙丁
50吨

这种运输问题，运的 货物越重路程越远，花费就越多。反之，如果移动的货物重量小路
程近，花费的费用就少。在本题中，各 粮库之间的距离相等都是50千米，一般原则是“少
往多处靠”。集中存在粮食较多的库房比较节约，甲 、乙两仓库粮食合起来是30吨，还不如
丁粮库的粮食多，所以应将甲、乙粮库的粮食集中放在丁粮库。
【详细解答】
解：甲粮库需用1×10×50×3=1500元，乙粮库需要1×20×50 ×20=2000元，共用1500＋
2000=3500元
【题后反思】解决这类题的一般原则是“少往多处靠”。

非常练习4：

1.一条公路上每隔5千米有1个仓库，共有5个仓库。1号仓库存有20吨货物，2号仓
库存 有30吨货物，5号仓库存有70吨货物，其余两个仓库是空的。现在要把所存的货物集
中在一个仓库中 ，如果每吨货物运1千米要1元运费，那么最少要花多少运费？
1号
20吨
2号30吨
3号
4号
5号
70吨



2. 一条公路有四个储油站，它们之间都相隔100千米。甲储油站有50吨油，乙
储油站储 有10吨油，丙储油站有20吨油，丁储油站是空的。现在如果想把所存的油
集中于一个储油站，每吨油 运1千米要2元运费，那么最少要花多少运费？


甲
50吨
乙
10吨
丙
20吨
丁


3. 一条公路有三所小学分别为A、B、C，在什么地方设一个汽车站，才能使用三个学
校的 学生上学放学所行的总路程最少？
A

B
C

非常感悟4：
解决此类问题的关键就是要理解运输问题中，运送的货物越少路程越短，那么花费越少

§第26讲：重叠问题
非常点拨：
三（ 1）班准备给参加班级绘画比赛的16位同学和参加朗读比赛的12位同学每人发一
份纪念品，当中队长 玲玲将28份纪念品发下去时，却多出5份，这是怎么回事？对了，因
为有5位同学既参加了绘画比赛， 又参加了朗读比赛，所以奖品就多出了5份。数学中，我
们将这样的问题称为重叠问题。
解答 重叠问题要用到数学中的一个重要原理——包含与排除原理，即当两个计数部分有
重复包含时，为了不重 复计数，应从它们的和中排除重复部分。



非常例题1：
六一儿童节，学校门口挂了一行彩旗。小张从前数起，红旗是第8面；从后 数起，红旗
是第10面。这行彩旗共多少面？
【思路导航】 根据题意，画出下图：

8面
10面
?面

【详细解答】从图上可以看出，从前数 起红旗是第8面，从后数起是第10面，这样红旗就
数了两次，重复了一次，所以这行彩旗共有8＋10 －1=17面
【题后反思】解答重叠问题的应用题，必须从条件入手进行认真的分析，有时还要画出图示.

非常练习1：

1.小朋友排队做操，小明从前数起排在第4个，从后数起排在第7个 。这队小朋友共有
多少人？


2. 学校组织看文艺演出，冬冬的座位从左数起是第12个，从右数起是第21个。这一
行座位有多少个？


3. 同学们排队去参观展览，无论从前数还是从后起，李华都排在第8个。这一排共有
多少个同学？

非常感悟1：
借助图形进行思考，找出哪些是重复的，重复了几次？明确求的是 哪一部分，
从而找出解答方法。

非常例题2：
同学们排队做操，每行人数同样多。小明的位置从左数起是第4个，从右数起是第3
个，从前数 起是第5个，从后数起是第6个。做操的同学共有多少个？
【思路导航】根据题意，画出下图：
前
左
右
后


【详细解答】解：由图可看出：小明 的位置从左数第4个，右数第3个，说明横行有4＋3
－1=6个人；从前数第5个，从后数第6个，说 明竖行有5＋6－1=10人，所以做操的同学
共有：6×10=60人
【题后反思】仔细审题，根据题意画出示意图是解决问题的关键
非常练习2：
1.同学们排队跳舞，每行、每列人数同样多。小红的位置无论从前数从后数，从左数还是从
右数起 都是第4个。跳舞的共有多少人？




2.为庆祝“六一”， 同学们排成每行人数相同的鲜花队，小华的位置从左数第2个，从右数
第4个；从前数第3个，从后数第 5个。鲜花队共多少人？





3. 三（4）班排 成每行人数相同的队伍入场参加校运动会，梅梅的位置从前数是第6个，从
后数是第5个；从左数、从右 数都是第3个。三（4）班共有学生多少人？






非常感悟2
解题过程中务必注意把重复部分去掉.

非常例题3：

把两块一样长的木板像下图这样钉在一起成了 一块木板。如果这块钉在一起的木板长
120厘米，中间重叠部分是16厘米，这两块木板各长多少厘米 ？

【思路导航】把等长的两块木板的一端钉起来，钉在一起的 长度就是重叠部分，重叠的部分
是16厘米
【详细解答】解：这两块木板的总长度是120＋ 16=136厘米，每块木板的长度是136÷2=68
厘米


【题后反思 】解答此类问题，应注意：如果求重叠的两块木板各自的长度，就要用“（钉在
一起的木板长+重叠部分 ）÷2”计算
非常练习3：

1.把两段一样长的纸条粘合在一起，形成一段更长的 纸条。这段更长的纸条长30厘米，
中间重叠部分是6厘米，原来两段纸条各长多少厘米？




2. 把两块一样长的木板钉在一起，钉成一块长35厘米的木板。中 间重合部分长11厘
米，这两块木板各长多少厘米？





4. 两根木棍放在一起（如图），从头到尾共长66厘米，其中一根木棍长48厘米，中间 重叠
部分长12厘米。另一根木棍长多少厘米？

66cm
48cm
12cm
?cm



非常感悟3：
仔细观察图形，找出重复部分是解题的关键.

非常例题4：
一次 数学测试，全班36人中，做对第一道聪明题的有20人，做对第二道聪明题的有
18人，每人至少做对 一道。问两道聪明题都做对的有几人？
【思路导航】
根据题意，画出下图：
36人
？人
20人18人

【详细解答】
解：图中间重叠 部分表示两道题都作对的人数，把做第一道题和作对第二道题的人数加起来
得20＋18=38人，这3 9人比全班总人数36多出了38－36=2人，这多出的2人既在作对第
一题的人数中算过，也在作对 第二道题的人数中算过，即表示两道题都作对的人数。

【题后反思】关键明确两题都做对的人数重复数了两次，
非常练习4：

1 .三（1）班有学生55人，每人至少参加赛跑和跳绳比赛中的一种。已知参加赛跑的有
36人，参加跳 绳的有38人。两项比赛都参加的有几人？




2. 两块木板各长75厘米，像下图这样钉成一块长130厘米的木板，中间重合部
分是多少厘米？






3. 三（5）班有42名同学，会 下象棋的有21名同学，会下围棋的有17名，两种棋都
不会的有10名。两种棋都会下的有多少名？




非常感悟4：
两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复
部分.

§第27讲：周期问题
非常点拨：
在日常生活中， 有一些按照一定的规律不断重复的现象，如：人的十二生肖，一年有春
夏秋冬四个季节，一个星期七天等 等。像这样日常生活中常碰到的有一定周期的问题，我们
称为简单周期问题。这类问题一般要利用余数的 知识来解答.


非常例题1：
小丁把同样大小的红 、白、黑珠子按先2个红的、后1个白的、再3个黑的的规律排列
（如下图），请你算一算，第32个珠 子是什么颜色？
......

【思路导航】 从上图可以看出，珠子是按“两红一白三黑”的规律重复排列，即6个珠子
为一周期.
【详细 解答】解：32÷6=5（组）……2（个），32个珠子中含有5个周期多2个，所以第32
个珠子就 是重复5个周期后的第2个珠子，应为红色。
【题后反思】解答周期问题的关键是找出周期.

非常练习1：

1.如图，算出第20个图形是什么？
○△△□□□○△△□□□○△△……


2.“数学趣味题数学趣味题……”依次重复排列，第2001个字是什么



3.把38面小三角旗按下图排列，其中有多少面白旗？

......






非常感悟1：
解答周期问题的关键是找出周期。确定周期后，用总量除以周期，如果正好有整数个周期，结果为周期里的最后一个；如果比整数多n个，那么结果为下一个周期里的
第n个.

非常例题2：
2001年10月1日是星期一，问：10月25日是星期几？
【思路导航】我们知道，每星期有7天，也就是说以7天为一个周期不断地重复
【详细解答】 解：从10月1日到10月25日经过25－1=24天，24÷7=3（星期）……3（天），
说明2 4天中包括3个星期还多3天。所以从10月1日开始过3个星期，最后一天还是星期
一，从这最后一天 起再过3天就应是星期四.
【题后反思】星期问题中，周期为7
非常练习2：

1.2001年5月3日是星期四，5月20日是星期几？









2.2001年8月1日是星期三，8月28日是星期几？









3.2001年6月1日是星期五，9月1日是星期几？









非常感悟2
解决此类问题时，必须要知道每个月的天数.

非常例题3：

100个3相乘，积的个位数字是几？

【思路导航】这道题我们只考虑积的个位数字的排列规律。
【详细解答】解：1个3，积的个 位是3；2个3相乘积的个位数字是9；3个3相乘积的个
位数字是7；4个3相乘积的个位数字是1； 5个3相乘积的个位数字是3……可以发现，积
的个位数字分别以3、9、7、1不断重复出现，即每4 个3积的个位数字为一周期。100÷4=25
（个），因此100个3相乘积的个位数字是第25个周 期中的最后一个，即是1。
【题后反思】在研究这些简单周期问题时，我们首先要仔细审题，判断其不 断重复出现的规
律，也就是找出循环的固定数.
非常练习3：

1. 23个3相乘，积的个位数字是几？





2. 100个2相乘，积的个位数字是几？





3. 50个7相乘，积的个位数字是几？







非常感悟3：
找出周期后
，
利用除法算式求出余数，最后根据余数得出正确的结果

非常例题4：
有一列数按“4327943279186……”排列，那么前54个数字之和是多少？
【 思路导航】上面一列数中，从第1个数字开始重复出现的部分是“43279186”，周期数是
8。要 求出这列数字的和，就要先求出这列数里共有多少组“43279186”.
【详细解答】
解：54÷8=6（组）……6（个）
因此，前6组数字和是（4＋3＋2＋7＋9＋1＋8 ＋6）×6=240，余下6个数字之和是4＋3＋
2＋7＋9＋1=26。所以，这列数中前54个数 字之和是240＋26=266.
【题后反思】关键在于搞清几次一个循环
非常练习4：

1.一列数按“294736294736294……”排列，那么前40个数字之和是多少？





2. 有一列数按“9453672945367294……”排列，那么前50个数字之和是多少？






3. 有一列数“72365……”，请问从左 起第2个数字到第25个数字之间（含
第2个与第25个数字）所有数字的和是多少？









非常感悟4：
在周期问题中，如果不是从第一个开始循环，可以从总量里减掉不是循环
的个数后，再继续算.

§第28讲：等差数列初步（一）
非常点拨：
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项， 最后
一项称为末项，数列中的个数称为项数。
从第二项开始，后项与前项之差都相等的数列称为“等差数列”，后项与前项的差称为公
差。
常用的一些公式：
第n项=首项+（n－1）×公差
项 数=（末项－首项）÷公差+1
数列和=（首项+末项）×项数÷2
公差=（末项－首项）÷（项数－1）
非常例题1：
一串数字按如下规律排列5、7、9、 11,...,47、49中，第16个数是多少？第41项是
多少？
【思路导航】由观察可 知，该组数列从第二项开始，后项与前项之差都等于2，所以这组数
列为首项等于5，公差等于2的等差 数列，则利用通项公式第n项=首项+（n－1）×公差解
决即可
【详细解答】.第16个数=5+（16-1）×2
=5+30
=35
第41项=5+（41-1）×2
=5+80
=85
【题后反思】等差数列的特征：从第二项开始，后项与前项之差都相等的数列；在计算第几项的值时重点要熟记通项公式

非常练习1：
1.一串数字按如下规律排列1，5，9，13，17…，则第100个数是多少？



2．从100开始，每隔九个数选一个数，共选5个数，则这5个数中最大的数是多少？



3.如果按一定规律排出的加法算式是3+4，5+9，7+14，9+ 19，11+24，…，那么第10
个算式是（ ） +（ ） ；第80个算式中两个数的和是多少？