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有理数找规律和新定义运算专题
1.观察下面的每列数，按某种规律在横线上适当的数。
(1)-23，-18，-13,______，________；
(2)
2345
,,,
，_______，_________； < br>8163264
2．有一组数：1,2,5,10,17,26,.....，请观察这组数的构 成规律，用你发现的规律确定第8个数为
__________.
1234567
3．观察下列算式：2=2,2 =4,2 =8,2＝16,2 =32,2=64,2＝128，通过观察，用你所发现的规律确定
2011
2的个位数字是（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
4．一 根lm长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此剪下去，第六次后剩下的绳子的
长度为 （ ）

()
B.
()
m C.
()
m D.
()
m
5.下面一组按规律排列的数：1,2,4,8,16.......，第2011个数应是（ ）
20112011
A. 2 B. 2-1 D．以上答案不对
6．研究下列算式，你会发现什么规律
22
1×3＋1=4=2 2×4＋1 =9＝3
22
3×5＋1=16=4 4×6＋1 =25=5
请你找出规律用公式表示出来：___________________

7．观察下列三行数：
第一行：-1,2，-3,4，-5……
第二行：1,4,9，16,25，……
第三行：0,3,8,15,24，……
(1)第一行数按什么规律排列__________________ _
(2)第二行、第三行分别与第一行数有什么关系___________________
(3)取每行的第10个数，计算这三个数的和．___________________


8．有规律排列的一列数：2,4,6,8,10,12,……它的每一项可用式子2n(n 是正整数)表示．
有规律排列的一列数：1，-2,3，-4,5，-6,7，-8......
(1)它的每一项你认为可用怎样的式子来表示
(2)它的第100个数是多少
(3)2012是不是这列数中的数如果是，是第几个数

9．如果对于任意非零 有理数a,b定义运算如下：a△b=ab＋1，那么（-5)△（+4)△（-3）的值是多少





10．如果规定符号※的意义是a※b=
1
2
3
1
2
5
1
2
6
1
2
12
ab
，求：2※（-3)※4的值．
ab

11．先完成下列计算：
1×9＋2＝11；12×9＋3＝________；123×9 + 4=__________；……你能 说出得数的规律吗请你根
据发现的算式的规律求出1234567×9 + 8的值．

12．如果1+2-3-4+5+6-7-8 +9＋……，是从1开始的连续整数中依次两个取正，
两个取负写下去的一串数，则前2012个数的和是多少



依照以上各 式成立的规律，使
ab
=2成立，则a+b的值为____________

a4b4

222
14．观察下列各式：1+1=1×2 2+2=2×3 3+3=3×4
请把你猜想到的规律用自然数n表示出来___________________

15.观察下列各式：
222
2×4=3-1,3×5 =4-1,4×6 =5-1，……
把你发现的规律用含一个字母的等式表示_________
16．观察下列各式找规律：
22222222
1＋（1×2)＋2＝（1×2＋1） 2＋(2×3)＋3 =（2×3＋1）
2222
3＋（3×4) +4＝(3×4＋1）
(1)写出第6个式子的值； (2）写出第n个式子．


17.（2011湖南益阳）观察下列算式：
① 1 × 3 - 2= 3 - 4 = -1
2
2
② 2 × 4 - 3= 8 - 9 = -1
④ ……
2
③ 3 × 5 - 4= 15 - 16 = -1
（1）请你按以上规律写出第4个算式；
（2）把这个规律用含字母n的式子表示出来；



1. （2 011浙江省）如图，下面是按照一定规律画出的“数形图”，经观察可以发现：图A
2
比图A
1
多出2个“树
枝”， 图A
3
比图A
2
多出4个“树枝”， 图A
4
比图A
3
多出8个“树枝”，……，照此规律，图A
6
比图A
2
多出“树
枝”（ ）
D. 124

2. （2011广东肇庆）如图5所 示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则
第
n
（
n
是大于0的整数）个图形需要黑色棋子的个数是 ．


3. （2011内蒙古乌兰察布）将一些半径相同的
小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第 n 个图形 有 个小圆. （用含 n 的代数式表示）
第1个图形第 2 个图形 第3个图形

第 4 个图形

4. （2011湖南常德）先找规律，再填数：
1111
1,,,,
3078456

. ...........
111
则+_______.
22012
5. （2011湖南益阳）观察下列算式：
① 1 × 3 - 2= 3 - 4 = -1
2
2
② 2 × 4 - 3= 8 - 9 = -1
④ ……
2
③ 3 × 5 - 4= 15 - 16 = -1
（1）请你按以上规律写出第4个算式；
（2）把这个规律用含字母n的式子表示出来；
（3）你认为（2）中所写出的式子一定成立吗并说明理由．
6.研究下列算式，你会发现什么规律
1×3+1=2； 2×4+1=3； 3×5+1=4； 4×6+1=5 …………，
（1） 请用含n的式子表示你发现的规律：___________________.
（2） 请你用发现的规律解决下面问题
计算
(1


一、数字找规律
1357
1．观察下列一组数：，，，，…… ，它们是按一定规律排列的. 那么这一组数的第
k
个数是 .
2468
2222
1111
)(1)(1)(1)
13243546
(11
)
的值
911
2.观察下面一列数，探求其规律：

1,
11111
,,,,,.

23456

（1）写出这列数的第九个数；
（2）第2008个数是什么数如果这一列数无限排列下去，与哪个数越来越近
3．下列是有 规律排列的一列数：
1，，，，
……其中从左至右第100个数是__________． < br>4、有一组数：1，2，5，10，17，26，……，请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第 8个数为
．

5. 已知
2
1
2
，
2
2
4
，
2
3
=8，
2
4=16，2
5
=32，……观察上面规律，试猜想
2
2008
的 末位数是 .
6、已知
33,39,327,381,3243,3 729,32187
…推测到
3
20
的个位数字是 ；
7、观察下列等式： 第一行 3=4－1
第二行 5=9－4
第三行 7=16－9
第四行 9=25－16
… …
按照上述规律，第n行的等式为____ ________
8．已知下列等式：
① 1＝1；
② 1＋2＝3；
③ 1＋2＋3＝6；
④ 1＋2＋3＋4＝10 ；
…… ……
由此规律知，第⑤个等式是 ．
9．观察下列各式：1×3=1+2×1，
2×4=2+2×2，
3×5=3+2×3，
… …
请你将猜想到的规律用自然数
2
2
2
33332
3332
332
32
3253
43 85
1234567
9011,
10．观察下列顺序排列的等式：
91211,
92321,

93431,

94541,

……，
n（n≥1）表示出来： .
猜想：第n个等式（n为正整数）应为__ _________________。
11、从2开始，连续偶数相加，它们的和的情况如下表：加 数的个数（
n
）和
s

1
212

2
24623

3
2461234

4
24682045

5
2468103056

................ ......................................
当
n< br>个连续偶数相加时，它们的和
s
与
n
之间有什么样的关系请用公式表示 出来，并由此计算2+4+6+...+202
的值。
12．已知
2
22 3344aa
……，若
88
2

（
a
、
b
为正整数）则
2
2
，33
2
，442
，
33881515bb
ab
．
13.观察下列等式
11111111
1
，

，

，
12223233434
1111111113
将以上三个等式两边分别相加得：11
．
1223342233444
（1）猜想并写出：
1

．
n(n1)
（2）直接写出下列各式的计算结果：
①
111

122334

1

；
20072008
②
111

122334
1

．
n(n1)
14 ．观察下列各式：
11

1

11

11

11

11





，



，…，根据观察计算：


1
，
352

35

572

5 7

132

3

111

13 3557

1
＝ ．（
n
为正整数）
(2n1)(2n1)
15. 观察下列数字排列的规律，回答下面的问题：
- 14
-3
-5
6
8
-7
-9
10
ABC
…
D



（1）负数应排在A、B、C、D中的什么位置（5分）
（2）第2008个数是正数还是负数排在对应于A、B、C、D中的哪个位置（5分）
二、图形找规律
1．观察下列图形：

2
…

它们是按一定规律排列的，依照此规律，第16个图形共有 个★．
2．下列一串梅花图案是按一定规律排列的，请你仔细观察，在前2009个梅花图案中，共
有__________个“ ”图案．
3．用正三角形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第二
个图案开始，每个图案都比上一个图案多一个正六边形和两个正
三角形，则第n个图案中正三角形的个数为
（用含n的代数式表示）.
4．如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按 照这样的规律摆下去，则第
n
个图形需要黑色
棋子的个数是 ．



第1个图形 第2个图形 第3个图形 第4个图形
……
5．下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，则第
n
个 图中所贴剪纸“○”的个

数为 ．



6、按如下规律摆放三角形：

则第（4）堆三角形的个数为__________ ___；第(n)堆三角形的个数为_____________.
7．小的黑、白两种颜色的棋子摆设如下图所示的正方形图案，则第n个图案需要用白色棋
子 枚（用含有n的式子表示）





（第1个） （第2个）
（第3个）
……
8．如图是用火柴棍摆成边长分别是1、2、3根火 柴棍时的正方形，当边长为
n
根火柴棍时，若摆出的正方形所
用的火柴棍的根数为S
，则
S
＝ （用含
n
的式子表示，
n
为整数）．

设n为正整数，请用关于n的等式表示这个规律为： + =
9．下面是用棋子摆成的“上”字：

第一个“上”字 第二个“上”字 第三个“上”字
如果按照以上规律继续摆下去，那么通过观察，可以发现：
（1）第四、第五个“上”字分别需用 和 枚棋子；
（2）第n个“上”字需用 枚棋子．
10．符号“
f
”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：
（1）f(1)0
，
f(2)1
，
f(3)2
，
f(4 )3
，…
（2）
f


1


2
，
2


1

f

 3
，

3


1

f

4
，

4


1

f

5
，…… 利用以上规律计算：

5


1

f

f(2008)


2008

11. 你喜欢吃拉面吗拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把 两头捏合在一起拉伸，再捏合、拉伸，反复多次，就
能拉成许多细面条．如图所示：




(1)经过第3次捏合后，可以拉出 根细面条；（4分）
(2)到第 次捏合后可拉出32根细面条；（4分）
(3)经过第n次捏合后，可以拉出 根细面条(用含n的式子表示)．（4分）
三、课后作业
1．瑞士中学教师巴尔末成功地从 光谱数据
、
9162536
从而打开了光谱奥妙的大门。
、、
中 得到巴尔末公式，
5122132
请你按这种规律写出第七个数据是＿＿＿＿＿。
2、观察下面一列数,按某种规律填上适当的数：1,-3,9,-27, , …＿＿（第100个）
3、有一组数：（1，1，1），（2，4，8），（3，9，27），（4， 16，64），…求第100组的三个数的和。
4．观察下面的几个算式：

1+2+1=4，
1+2+3+2+1=9，
1+2+3+4+3+2+1=16，
1+2+3+4+5+4+3+2+1=25，…
根据你所发现的规律，请你直接写出下面式子的结果：
1+2+3+…+99+100+99+…+3+2+1=_ ___.
5．观察下列各式
142
2
193
2
1164
2
1255
2
1

，
2
，
3 
，
4
……
333444555
666
6、（1）通过计算，探索规律：

15
2
225
可写成100×1（1+1）+25

25625可写成1002

21

25

2

351225可写成1003

31

35

2
……

755625可写成
；

857225可写成
；
（2）从（1）的结果，归纳猜想得

10n5

= ；
2
2
2
（3）根据上面的归纳猜想，请计算：
1995
2
= ；

7．如图，用同样大小 的黑色棋子按图所示的方式摆图案，按照这样的规律摆下去，第100个图案需棋子
枚．



图案1 图案2 图案3
……
8．如图，每一幅图 中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅图中有5个，
则第4幅图中 有 个，第
n
幅图中共有 个．

…
第1幅 第2幅 第3幅
…
第
n
幅

9. 如图7-①，图7-②，图7-③，图7-④，…，是用围 棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字，按照这种规
律，第5个“广”字中的棋子个数是______ ，第
n
个“广”字中的棋子个数是________




10. （9分）现定义两种运算：“
8）


（35）】的值．
”，“”，对于任意两个整数a，b，ab=a+b-1，ab＝a×b-1,求4【（6