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代数找规律专项练习60题(有答案)


1．数的运算中有一些有趣的对称，请你仿照等式“12×231=132×21”的形式完成：
（1）18×891= _________ × _________ ；（2）24×231= _________ × _________ ．

2．观察下列算式：
2
①1×3﹣2=3﹣4=﹣1
2
②2×4﹣3=8﹣9=﹣1
2
③3×5﹣4=15﹣16=﹣1
④ _________
…
（1）请你按以上规律写出第4个算式； _________
（2）把这个规律用含字母的式子表示出来； _________ ．

3．观察下列等式
9﹣1=8
16﹣4=12
25﹣9=16
36﹣16=20
…
这些等式反映自然数间的某种规律，请用含n（n为正整数）的等式表示这个规律 _________ ．

4．小明玩一种游戏，每次挪动珠子的颗数与对应所得的分数如下表：
挪动珠子数（颗） 2 3 4 5 6 …
对应所得分数（分） 2 6 12 20 30 …
①那么：挪动珠子7颗时，所得分数为 _________ ；
②当对应所得分数为132分时，挪动的珠子数为 _________ 颗．

5．观察下列一组分式：，则第n个分式为 _________ ．

6．某种 细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时分裂成6个并死去1个，3小时后分裂
成10 个并死去1个，按此规律，5小时后细胞存活的个数是 _________ ．

7．观察表格，当输入8时，输出 _________ ．
输入 1 2 3 4 5 6 …
输出 3 4 5 6 7 8 …

8．观察下列各式，2=，3=，= _________ ，请你将发现的规律用含自然数n
（n≥2）的式子表示为 _________ ．

222222222222
9．观察下列等式：3+4=5；5+12=13 ；7+24=25；9+40=41…按照这样的规律，第七个等式是：
_________ ．

1 15

10．观察这组数据：，，，，…，按此规律写出这组数据的第n个数据，用n表示为
_________ ．

11．一列小球按如下图规律排列，第20个白球与第19个白球之间的黑球数目是 _________ 个．


2222
12．观察下列各个算式：1× 3+1=4=2；2×4+1=9=3；3×5+1=16=4；4×6+1=25=5；根据上面的规律，请< br>你用一个含n（n＞0的整数）的等式将上面的规律表示出来 _________ ．
< br>2222
13．观察下列各式，你会发现什么规律1×3=1+2×1，2×4=2+2×23× 5=3+2×3，4×6=4+2×4，…请
你将猜到的规律用正整数n表示出来： _________ ．

14．观察下列式子：
2
（x+1）（x﹣1）=x﹣1
23
（x+x+1）（x﹣1）=x﹣1
324
（x+x+x+1）（x﹣1）=x﹣1
4325
（x+x+x+x+1）（x﹣1）=x﹣1
…
236263
请你根据以上式子的规律计算：1+2+2+2+…+2+2= _________ ．

15．观察下列各式：9×0+1=1；9×1+2=11；9×2+3=21；9×3+4=31；…
将你猜想到的规律用含有字母n（n为正整数）的式子表示出来： _________ ．

16．观察下列算式：
2
4×1×2+1=3
2
4×2×3+l=5
2
4×3×4+l=7
2
4×4×5+1=9
用代数式表示上述的规律是 _________ ．

17．观察如图所示的三角形阵：则第50行的最后一个数是 _________ ．


18．已知，依据上述规律，则
a
9
= _________ ．

19．下列各式是个位数为5的整数的平方运算：
2 22222
15=225；25=625；35=1225；45=2025；55=3025；65= 4225；…；
2
观察这些数都有规律，如果x=9025，试利用该规律直接写出x为 _________ ．

2222
20．观察下列各式：2﹣1=1×3，3﹣ 1=2×4，4﹣1=3×5，5﹣1=4×6，…，根据上述规律，第n个等式
应表示为 _________ ．
2 15

21．观察上面的一系列等式：
22222222
3﹣1=8×1；5﹣3=8×2；7﹣5=8×3；9﹣7=8×4；…
则第n个等式为 _________ ．

22．已知一列数，

23．已知
（a、b为正整数）则a+b= _________ ．

24．观察下列各式：
2×2=2+2，，，，…
…，按照这种规律，若
，…那么是第 _________ 个数．
用含有字母n （其中n为正整数）的等式表示你发现的规律： _________ ．

25．观察下面数阵：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15…
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16…
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17…
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18…
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19…
位于第2行和第2列的数为3，位于第3行和第1列的数为3，由此推知位于第n+2行和第n列的数是
_________ ．（请用含n的代数式表示，n为正整数）

26．观察下列一组数：1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…顺次写下去，写到第2011个数是 _________ ．

333
27．大于或等于2的自然数的3次方有如下的 分拆规律：2=3+5，3=7+9+11，4=13+15+17+19，…根据上
3
述的分 拆规律，则5= _________ ．

28．观察下列各等式：
．根据以上各等式成立的
规律，若使等式成立，则m= _________ ，n= _________ ．

29．观察下列等式：
22
第1个等式：4﹣1=3×5；
22
第2个等式：5﹣2=3×7；
22
第3个等式：6﹣3=3×9；
22
第4个等式：7﹣4=3×11；
…
则第n（n是正整数）个等式为 _________ ．

30．如图各圆中三个数之间都有相同的规律，根据这个规律，探索第n个圆中的m= _________ （ 用
含n的代数式表示）．
3 15

31．体育馆的某个区域的座位，第一排是20个座位，以后每增加一排，座位就增加2个．如果用字母 a
n
表示每排的座位数，用n表示排数．请填写表格，并回答问题：
（1）填写下表：
排数n 1 2 3 4 5 …
20 …
座位数a
n

（2）第10排有多少个座位？
（3）第n排有多少个座位？
（4）其中某一排的座位是118个，那么它是第几排？



32．观察下列两组算式，回答问题：
第一组 第二组
①0+1=1 ①0=
②1+3=2 ②1=
③3+6=3 ③3=
④6+10=4 ④6=
2
2
2
2





⑤ _________
⑥ _________
…
（1）根据第一组①→④式之间和本身所反映出的规律，继续完成第⑤⑥式（直接填在横线上）；
（2）学习第二组对第一组各式第一个数的分析，寻找规律，将第一组的第n个式子表示出来．




33．研究下列算式，你会发现什么规律？
2222
1×3+1=4=22×4+1=9=33×5+1=16=44×6+1=25=5
…
2
（1）请你找出规律井计算7×9+1= _________ =（ _________ ）
（2）用含有n的式子表示上面的规律： _________ ．
（3）用找到的规律解决下面的问题：
计算：= _________ ．



34．树的高度与树生长的年数有关，测得某棵树的有关数据如下表：（树苗原高100厘米）
4 15

（1）用含有字母n的代数式表示生长了n年的树苗的高度a
n
；
（2）生长了11年的树的高度是多少？
35．将2007减去它的，再减去余下的，再减去 余下的，…，再减去余下的
，问此时余下的数是多少？



2 2222222
36．观察下列等式：3﹣1=8×1；5﹣3=8×2；7﹣5=8×3；9﹣7=8 ×4；…
22
（1）根据上面规律，若a﹣b=8×10，则a= _________ ，b= _________ ；
（2）用含有自然数n的式子表示上述规律为 _________ ．



37．将连续的奇数1、3、5、7…排成如图所示的数阵：
（1）如图，十字框中五个数的和与框正中心的数17有什么关系？
（2）若将十字框上下、 左右平移，可框住另外五个数，这五个数的和与框正中心的数还有这种规律吗？
请说明理由；
（3）十字框中五个数的和能等于2007吗？若能，请写出这五个数；若不能，请说明理由．
，最后减去余下的




38．计算并填写下表：
n 1 2 3

1﹣
4

5

10

100

1000

（1）请你描述一下所填的这一列数的变化规律；
（2）当n非常大时，


39．观察下列各式：
﹣1×=﹣1+
的值接近什么数？
5 15

﹣×=﹣+
﹣×=﹣+
…
（1）你能探索出什么规律？（用文字或表达式）
（2）试运用你发现的规律计算：
（﹣1×）+（﹣×）+（﹣×）+…+（﹣×）+（﹣×）



40．（1）有自然数列：0，1，2，3，4，5，6，…
①按顺序从第2个数数到第6个数，共数了 _________ 个数；
②按顺序从第m个数数到第n个数（n＞m），共数了 _________ 个数；
（2）对于奇数数列：1，3，5，7，9，…
按顺序从数3数到数19，共数了 _________ 个数；
（3）对于整百数列：100，200，300，400，500，…
按顺序从数500数到数2000，共数了 _________ 个数．



41．仔细观察下列四个等式
2
1×2×3×4+1=25=5
2
2×3×4×5+1=121=11
2
3×4×5×6+1=361=19
2
4×5×6×7+1=841=29
（1）观察上述计算结果，找出它们的共同特征．
（2）以上特征，对于任意给出的四个连续 正整数的积与1的和仍具备吗？若具备，试猜想，第n个等式
应是什么？给出你的思考过程
（3）请你从第10个式子以后的式子中，再任意选一个式子通过计算来验证你猜想的结论．



42．观察下列等式，并回答有关问题：
；
；
；
…
3333
（1）若n为正整数，猜想1+2+3+…+n= _________ ；
33332
（2）利用上题的结论比较1+2+3+…+100与5000的大小．

43．观察下面三行数：
①2，﹣4，8，﹣16，32，﹣64，…；
②0，﹣6，6，﹣18，30，﹣66，…；
③1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…；
（1）第①行数按什么规律排列？
6 15

（2）第②③行数与第①行数分别有什么关系？
（3）取每行数的第8个数，计算这三个数的和．



44．下列各组算式，观察它们的共同特点：
7×9=63 11×13=143 79×81=6399
8×8=64 12×12=144 80×80=6400
从以上的计算过程中，你发现了什么？请用字母表示这一规律，并说明它的正确性．
45．观察下列各式：
2
（x﹣1）（x+1）=x﹣1
23
（x﹣1）（x+x+1）=x﹣1
324
（x﹣1）（x+x+x+1）=x﹣1
…
由上面的规律：
5432
（1）求2+2+2+2+2+1的值；
2008
（2）求2+2+2+2+…+2+1的个位数字．
（3）你能用其它方法求出+


46．我们把分子为1的分数叫做单位分 数，如
单位分数的和，如，，
…，任何一个单位分数都可以拆分成两个不同的
…观察上 述式子的规律：
++…++的值吗？
（1）把 写成两个单位分数之和；
（2）把表示成两个单位分数之和（n为大于1的整数）．



47．观察下列各式，并回答问题
2
1+3=4=2
2
1+3+5=9=3
2
1+3+5+7=16=4
2
1+3+5+7+9=25=5
…
（1）请你写出第10个式子；
（2）请你用含 n 的式子表示上述式子所表述的规律；
（3）计算1+3+5+7+9…+1003+1005+…+2009+2011；
（4）计算：1005+1007+…+2009+2011．


48．观察下列等式12×231=132×21
13×341=143×31
23×352=253×32
34×473=374×43
62×286=682×26
7 15

…
以上每个等 式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同的规律，
我们称这类 等式为“数字对称等式”．
（1）根据上述各式反应的规律填空，使式子称为“数字对称等式”．
①52× _________ = _________ ×25
② _________ ×396=693× _________
（2）设这类等式左边两位数的十位数字为a，个位数字 为b，且2≤a+b≤9则等式右边的两位数可表示为
_________ ，等式右边的三位数可表示为 _________ ；
（3）在（2）的条件下，若a﹣b=5，等式左右两边的两个三位数的差；
（4）等式左边 的两位数与三位数的积能否为2012？若能，请求出左边的两位数；若不能，请说明理由．


49．从2开始，将连续的偶数相加，和的情况有如下规律：
2=1×2，
2+4=6=2×3，
2+4+6=12=3×4，
2+4+6+8=20=4×5，
2+4+6+8+10=30=5×6，
2+4+6+8+10+12=42=6×7，
…
按此规律，（1）从2开始连续2011个偶数相加，其和是多少？
（2）从2开始连续n个偶数相加，和是多少？
（3）1000+1002+1004+1006+…+2012的和是多少？




50．从2开始，连续的偶数相加，它们和的情况如下表：
加数n的个数 和S
1 2=1×2
2 2+4=6=2×3
3 2+4+6=12=3×4
4 2+4+6+8=20=4×5
5 2+4+6+8+10=30=5×6
… …
当n个最小的连续偶数（从2开始）相加时， 它们的和与n之间有什么样的关系，请用公式表示出来，并
由此计算：
①2+4+6+…+202的值；
②126+128+130+…+300的值．




51．探索规律观察下面由※组成的图案和算式，解答问题：
（1）请猜想1+3+5+7+9+…+19= _________ ；
（2）请猜想1+3+5+7+9+…+（2n﹣1）= _________ ；
（3）请用上述规律计算：103+105+107+…+2003+2005．
8 15

52．大数学家高斯在上学读书时曾经研 究过这样一个问题：1+2+3…+100=？，经过研究，这个问题的一般
性结论是1+2+3…+n =
（n+1）=？
观察下面三个特殊的等式：

2×3=（2×3×4﹣1×2×3）

将这三个等式的两边相加，可以得到1×2+2×3+3×4=×3×4×5=20
读完这段材料，请尝试求（要求写出规律）：
（1）1×2+2×3+3×4+4×5=？
（2）1×2+2×3+…+100×101=？
（3）1×2+2×3+…+n（n+1）=？




53．按一定规律排列的一列数依次为，，，…
，其中n是正整数，现在我们来研究一个类似 的问题：1×2+2×3+…+n
（1）请写出这列数中的第6个数；
（2）如果这列数中的 第n个数为a
n
，请用含有n的式子表示a
n
；
（3）分数是否为 这列数当中的一个数，如果是，请指出它是第几个数，如果不是，请找出这列数中与
它最接近的那个数．



54．观察下列等式，你会发现什么规律：
2
1×3+1=2
2
2×4+1=3
2
3×5+1=4
2
4×6+1=5
…
请将你发现的规律用仅含字母n（n为正整数）的等式表示出来，并说明它的正确性．

55．观察下面的一列数：
9 15

…
（1）用只含一个字母的等式表示这一列数的特征；
（2）利用（1）题中的规律计算：


56．观察下面一列数，探求其规律：

（1）请问第7个，第8个，第9个数分别是什么数？
（2）第2004个数是什么如果这列数无限排列下去，与哪个数越来越接近？


57．有一列数，第一个数为x
1
=1，第二个数为x
2
=3，从第 三个数开始依次为x
3
，x
4
，…x
n
，从第二个数开始，每个数是左右相邻两个数和的一半，如：．
．
（1）求第三、第四、第五个数，并写出计算过程；
（2）根据（1）的结果，推测x
9
= _________ ；
（3）探索这些户一列数的规律，猜想第k个数x
k
= _________ ．


222
58．观察下列各式：1×2×3×4+1=5=（1+3×1+1），
222
2×3×4×5+1=11=（2+3×2+1），
222
3×4×5×6+1=19=（3+3×3+1），
222
4×5×6×7+1=29=（4+3×4+1），
…
（1）根据你观察、归纳、发现的规律，写出8×9×10×11+1的结果；
（2）试猜想：n（n+1）（n+2）（n+3）+1是哪一个数的平方？并说明理由．


59．（1）若2x﹣3y=8，6x+4y=19，求16x+2y的值；
（2）观察下列各式：
×2=（+1）×2=+2，
×3=（+1）×3=+3，
×4=（+1）×4=+4，
×5=（+1）×5=+5，
…
①想一想，什么样的两数之积等于两数之和；
②设n表示正整数，用关于n的等式表示这个规律．



10 15

60．（1）观察：1=1，1+3=2，1+3+5=3 …
可得1+3+5+…+（2n﹣1）= _________ ．
如果1+3+5+…+x=361，则奇数x的值为 _________ ．
（2）观察式子：； ； …
222
按此规律计算1+3+5+7+…+2009= _________ ．

11 15

代数找规律专项练习60题参考答案

1．数的运算中有一些有趣的对称，请你仿照等式“12×231=132×21”的形式完成：
（1）18×891= 198 × 81 ；（2）24×231= 132 × 42 ．
2
2．（1）①1×3﹣2=3﹣4=﹣1，
2
②2×4﹣3=8﹣9=﹣1，
2
③3×5﹣4=15﹣16=﹣1，
2
④4×6﹣5=24﹣25=﹣1；
2
故答案为：4×6﹣5=24﹣25=﹣1；
2
（2）第n个式子是：n×（n+2）﹣（n+1）=﹣1．
2
故答案为：n×（n+2）﹣（n+1）=﹣1．
22
3．∵上述各等式可整理为：3﹣1=2×4；
22
4﹣2=3×4；
22
5﹣3=4×4；
22
6﹣4=5×4；
22
从而可得到规律为：（n+2）﹣n=4（n+1）
4．∵n=2时，y=2，即y=1×2；
n=3时，y=6，即y=2×3；
n=4时，y=12，即y=3×4；
n=5时，y=20，即y=4×5；
n=6时，y=30，即y=5×6；
n=7时，y=6×7=42，
…
n=n时，y=（n﹣1）n．
∴当y=132时，132=（n﹣1）n，
解得n=12或﹣11（负值舍去）．
故答案分别为：42，12．
5. 观察题中的一系列分式，
n
可以发现奇数项分式的前面有负号，可得每项分式的前面有（﹣1），
从各项分式的分母可以发现分母为na，
n
从各项分式的分子可以发现分子为b，
综上所述，可知第n个分式为：
5

6．5小时后是2+1=33个．
故答案为：33
7．由表格中上行输入的数据1 2 3 4 …n
下行输出相对应的数据分别为3 4 5 6 …n+2
∴当输入8时，输出8+2=10．
8．由题意可知自然数n（n≥2）的式子表示为
则=
222
，
9．第七个等式是15+112=113
10．由题可知：
2222
分子的规律是1，2，3，…n，
分母的规律是：n（n+3），
∴第n个数据为
12 15

11．由题可找规律：1个白球分 别和1个、2个、3个…黑球组成1组，所以20个白球即是第20项，
20=1+（n﹣1）×1，即 n=20，第20个白球与第19个白球之间的黑球数目是19个
2
12．规律为n（n+2）+1=（n+1）．
2
13．∵1×3=1+2×1，
22
2×4=2+2×2，3×5=3+2×3，
2
4×6=4+2×4，
2
∴n（n+2）=n+2n
14．由下列式子：
2
（x+1）（x﹣1）=x﹣1
23
（x+x+1）（x﹣1）=x﹣1
324
（x+x+x+1）（x﹣1）=x﹣1
4325
（x+x+x+x+1）（x﹣1）=x﹣1
…规律为：（x+…+x+x +x+1）（x﹣1）=x﹣1，故x+…+x+x+x+1=
所以1+2+2+2+…+2+2=236263
n32n+1n32
；
．即得答案
15．因为各式： 9×0+1=1；9×1+2=11；9×2+3=21；9×3+4=31都为9乘以一个变化的数加上一个变 化的
数等于第一个变化的数乘以10，再加1，
故此当为n时有：9•（n﹣1）+n=（n﹣1）•10+1；
答案为：9•（n﹣1）+n=（n﹣1）•10+1
2
16．∵4×1×2+1=（2×1+1）=3，
2
4×2×3+l=（2×2+1）=5，
2
4×3×4+l=（2×3+1）=7，
2
4×4×5+1=（2×4+1）=9，
2
∴规律是：4a（a+1）+1=（2a+1）．
2
故答案为：4a（a+1）+1=（2a+1）．
17．第n行的最后一个数是1+2+3+…+n=
当n=50时，原式=1275．
故答案为：1275．
18．由已知通过观察得：
a
1
=
a
2
=
a
3
=
…，
∴a
n
=
所以a
9
=
即a
9
=
故答案为：a
9=
+
+
=
+
=
，
+=．
=，
，
+=，即a
1
=
+=，即a
2
=
+= ，即a
3
=
+
+
+
=
=
=
；
；
；
，
19．根据数据可分析出规律，个位数位5的整数的平方运算结 果的最后2位一定是25，百位以上结果则
为n×（n+1），
13 15

n×（n+1）=90，
得n=9，
所以x=95，
故答案为：95
2222
20．∵2﹣1=1×3，3﹣1=2×4，4﹣1=3×5，5﹣1=4×6，…，
2
∴规律为（n+1）﹣1=n（n+2）．
2
故答案为：（n+1）﹣1=n（n+2）
22222222
21．∵3 ﹣1=8×1；5﹣3=8×2；7﹣5=8×3；9﹣7=8×4；…
22
∴第n个等式为：（2n+1）﹣（2n﹣1）=8n．
22
故答案为：（2n+1）﹣（2n﹣1）=8n
22．∵分母为1的数有1个：；
分母为2的数有2个：，；
分母为3的数有3个：，，；
…
∴
∴
前面数的个数为1+2+3+…+9=45，
是第45+7=52个数．
故答案为52
2
23．由已知等式的规律可知，a=8，b=8﹣1=63，
∴a+b=71．
故答案为：71
24．∵2×2=2+2，
，
，
，
…
∴第n个式子为
故答案为
•（n+1）=+（n+1）．
+（n+1）．
25．第n+2行的第一个数是n+2，后边的数一次大1，则第n列的数是 2n+1．
故答案是：2n+1
0
26．第1个数：1=（﹣2），
1
第2个数：﹣2=（﹣2），
2
第3个数：4=（﹣2），
3
第4个数：﹣8=（﹣2），
4
第5个数：16=（﹣2），
…
n﹣1
第n个数：﹣2=（﹣2），
2010
第2011个数是（﹣2）．
2010
故答案为：（﹣2） < br>333
27．由已知2=3+5，3=7+9+11，4=13+15+17+19，…观察可知 ，
14 15

（1）几的三次方就有几个奇数组成，
（2）依次得到的第一个奇数是前一个关系式的最后一个奇数后的奇数，
3
因此5=21+23+25+27+29．
故答案为：21+23+25+27+29
28．+=2，+=2，+=2，+=2，
…
∵1+7=8，2+6=8，3+5=8，10+（﹣2）=8，
15 15