衡水中学成绩查询-班级格言

数学家看问题，总想找规律.我们学数学，也要向他们学习.找规律，要从简单的情况着手，仔细观察，得到启示，大胆猜想，找出一般规律，还要进行验证，最后还需要证明（在小学
阶段不要 求同学们进行证明）.

例1 沿直尺的边缘把纸上的两个点连起来，这个图形就叫做线 段.这两个点就叫线段的
端点，如图8—1—1所示.不难看出，线段也可以看成是直线上两点间的部分 .如果一条直线
上标出11个点，如图8—1—2所示，任何两点间的部分都是一条线段，问共有多少条 线段.

解：先从简单的情况着手.

（1）画一画，数一数：（见图8—1—3）


（2）试着分析：

2个点，线段条数：1=1

3个点，线段条数：3=2+1

4个点，线段条数：6=3+2+1

5个点，线段条数：10=4+3+2+1

（3）大胆猜想：一条直线 上有若干点时线段的条数总是从1开始的一串自然数相加之
和，其中最大的自然数比点数小1.

（4）进行验证：对于更多点的情况，对猜想进行验证，看猜想是否正确，如果正确，< br>就增加了对猜想的信心.如：

6个点时：对不对？

——对.见图 8—1—4.

线段条数：5+4+3+2+1=15（条）.


（5）应用规律：应用猜想到的规律解决更复杂的问题.

当直线上有11个点时，线段的条数应是：

10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=55（条）.

例2 如图8—2中（1 ）～（5）所示两条直线相交只有1个交点，3条直线相交最多有
3个交点，4条直线相交最多有6个交 点，„„那么，11条直线相交最多有多少交点？

解：从简单情况着手研究：

（1）画一画、数一数

图8-2

（2）试着分析：

直线条数 最多交点数

1 0

2 1=1

3 3=2+1

4 6=3+2+1

5 10=4+3+2+1

（3）大胆猜想：若干条直线相交时，最多的交点数是从1开始的一串自然数相加之和，
其中最大的自然 数比直线条数小1.

（4）进行验证：见图8—3.取6条直线相交，画一画，数一数 ，看一看最多交点个数
与猜想的是否一致，若相符，则更增强了对猜想的信心.

用猜想的算法进行计算：最多交点数应是

5+4+3+2+1=15（个）.

（5）应用规律：应用猜想到的规律解决更复杂的问题.当有11条直线相交时，最多的
交点数应是：

10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=55（个）.

例3 如图8—4所示，一张大饼，切1刀最多切成2块，切2刀最多切成4块，切3刀
最多切成7块， „„问切10刀最多切成多少块？

解：从最简单情况着手研究.

（1）画一画、数一数


（2）试着分析：

所切刀数 切出的块数

0 1

1 2=1+1

2 4=1+1+2

3 7=1+1+2+3

4 11=1+1+2+3+4

（3）大胆猜想：把一张大饼 切若干刀时，切成的最多块数等于从1开始的一串自然数
相加之和加1.其中最大的自然数等于切的刀数 .

（4）进行验证：见图8—5对大饼切5刀的情况用两种方法求解，看结果是否一致 ，若
一致则更增强了对猜想的信心.


①数一数：16块.

②算一算：1+1+2+3+4+5=16（块）.

（5）应用规律：把大饼切10刀时，最多切成的块数是：

1+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10

=1+55

=56（块）.

（2）计算：

3+5+7+9+11+13+15+17

=（3+17）×4=20×4=80

共8个数，个数的一半是4，首数是3，末数是17.

（3）计算：

2+4+6+8+10+12+14+16+18+20

=（2+20）×5=110

共10个数，个数的一半是5，首数是2，末数是20.
四、基准数法

（1）计算：23+20+19+22+18+21

解：仔细观察，各个加数的大小都 接近20，所以可以把每个加数先按20相加，然后再
把少算的加上，把多算的减去.

23+20+19+22+18+21

=20×6+3+0-1+2-2+1

=120+3=123

6个加数都按20相加，其和=20×6=120.23按20计算就少加了“3”，所以再加上“3”；
19按20计算多加了“1”，所以再减去“1”，以此类推.

（2）计算：102+100+99+101+98

解：方法1：仔细观察，可知各个加数都接近100，所以选100为基准数，采用基准数
法进行巧算.

102+100+99+101+98

=100×5+2+0-1+1-2=500

方法2：仔细观察，可将5个数重新排列如下：（实际上就是把有的加数带有符号搬家）

102+100+99+101+98

=98+99+100+101+102

=100×5=500

可发现这是一个等差连续数的求和问题，中间数是100，个数是5.
1.计算：（1）18+28+72

（2）87+15+13

（3）43+56+17+24

（4）28+44+39+62+56+21

2.计算：（1）98+67

（2）43+28

（3）75+26

3.计算：（1）82-49+18

（2）82-50+49

（3）41-64+29

4.计算：（1）99+98+97+96+95

（2）9+99+999

5.计算：（1）5+6+7+8+9

（2）5+10+15+20+25+30+35

（3）9+18+27+36+45+54

（4）12+14+16+18+20+22+24+26

6.计算：（1）53+49+51+48+52+50

（2）87+74+85+83+75+77+80+78+81+84

7.计算：1+2+3+4+5+6+1+2+3+4+5+6+1+2+3+4+5+6+1+2+3+4+5
1.解：（1）18+28+72=18+（28+72）=18+100=118

（2）87+15+13=（87+13）+15

=100+15=115

（3）43+56+17+24

=（43+17）+（56+24）

=60+80=140

（4）28+44+39+62+56+21

=（28+62）+（44+56）+（39+21）

=90+100+60=250

2.解：（1）98+67=98+2+65

=100+65=165
（2）43+28=43+7+21=50+21=71
或43+28=41+（2+28）=41+30=71
（3）75+26=75+25+1=100+1=101
3.解：（1）82-49+18=82+18-49
=100-49=51
（2）82-50+49=82-1=81
（减50再加49等于减1）
（3）41-64+29=41+29-64
=70-64=6
4.解：（1）99+98+97+96+95
=100×5-1-2-3-4-5
=500-15=485
（每个加数都按100算，再把多加的减去）或99+98+97+96+95=97×5=485
（2）9+99+999=10+100+1000-3
=1110-3=1107
5.解：（1）5+6+7+8+9
=7×5=35
（2）5+10+15+20+25+30+35
=20×7=140
（3）9+18+27+36+45+54
=（9+54）×3=63×3=189

（4）12+14+16+18+20+22+24+26=（12+26）×4=38×4=152
6.解：（1）53+49+51+48+52+50=50×6+3-1+1-2+2+0
=300+3=303
（2）87+74+85+83+75+77+80+78+81+84=8 0×10+7-6+5+3-5-3+0-2+1+4
=800+4=804
7.解：方法1：原式=21+21+21+15=78
方法2：原式=21×4-6=84-6=78
方法3：原式=（1+2+3+4+5+6）×3+15=21×3+15=63+15=78
1.如 图8—6所示，直线上有13个点，任意两点间的部分都构成一条线段，问共构成多少条
线段？

2.如图8—7所示，两条直线最多有一个交点，三条直线最多有三个交点，四条直线最
多有六个交点，„„，问十三条直线最多有几个交点？


3.图8— 8所示为切大饼示意图，已知切1刀最多切成2块，切2刀最多切成4块，切
3刀最多切成7块，„„， 问切12刀最多切成多少块？

4.如图8—9所示，将自然 数从小到大沿三角形的边成螺旋状，排列起来，2在第一个
拐弯处，4在第二个拐弯处，7在第三个拐弯 处，„„，问在第十个拐弯处的自然数是几？

5.如图8—10所示为切大饼的示意图 .切一刀只有一种切法，切两刀有2种切法，切三
刀有4种切法，„„，问切十一刀有多少种切法（规定 ：三刀或三刀以上不能切在同一点上，
如图8—11所示）？

1.解：利用例1 得到的规律可知：一条直线上有若干点时，线段的条数是从1开始的一串
自然数相加之和，其中最大的自 然数比点数小1.

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12

=78（条）.

2.解：利用例2得到的规律可知，有若干条 直线相交时，最多的交点数是从1开始的一

串自然数相加之和，其中最大的自然数比直线 条数小1.

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12

=78（个）.

3.解：利用例3得到的规律可知，把一张大饼切若干刀 时，切成的最多块数，等于从1
开始的一串自然数相加之和加1，其中最大的自然数等于切的刀数.

1+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12

=1+78

=79（块）.

4.解：方法1：观察图8—12，仔细分析找规律.

第一个拐弯处 2=1+1

第二个拐弯处 4=1+1+2

第三个拐弯处 7=1+1+2+3

第四个拐弯处 11=1+1+2+3+4

第五个拐弯处 16=1+1+2+3+4+5

发现规律：拐弯处的数是从1开始的一 串自然数相加之和再加1，在第几个拐弯处，就
加到第几个自然数.

所以第十个拐弯处的数是：

1+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=56.

方法2：由于此题比较简单，把图形画出来（图8—12），按要求把自然数排列在三角
形的边上，答案也是56.

5.解：对简单的情况，仔细观察 、分析，大胆猜想，找出规律，用于解决复杂的情况.
如图8—13所示：切一刀，1种切法：1=1


切两刀，2种切法：2=1+1

切三刀，4种切法：4=1+1+2

大胆猜想，切四刀的切法数应为：

1+1+2+3=7种切法.

进行验证（实际切切看）：

应用得到的规律，求得切十一刀的不同切法数为：1+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10

=1+55

=56（种）.