六年级上概念
青龙瀑布-两岸三地
第一单元 分数乘法
（一）分数乘法意义：
1、分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数的和的简便运算。
注：“分数乘整数”指的是第二个因数必须是整数，不能是分数。
例如：
3
33
×7表示: 求7个的和是多少？ 或表示：的7倍是多少？
55
5
2、一个数乘分数的意义就是求一个数的几分之几是多少。
注：“一个数乘分数”指的是第二个因数必须是分数，不能是整数。（第一个因数是什么都可以）
例如：
31
×
56
表示:
求
1
6
1
A ×
6
9 ×
31
的是多少？
56
1
表示: 求9的是多少？
6
1
表示: 求a的是多少？
6
（二）分数乘法计算法则：
1、分数乘整数的运算法则是：分子与整数相乘，分母不变。
注：（1）为了计算简便能约分的可先约分再计算。（整数和分母约分）
（2）约分是用整数
和下面的分母约掉最大公因数。（整数千万不能与分母相乘，计算结果必须是
最简分数）
2、
分数乘分数的运算法则是：用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。（分子乘分子，分母乘分母）
注：（1）如果分数乘法算式中含有带分数，要先把带分数化成假分数再计算。
（2）分数化简的方法是：分子、分母同时除以它们的最大公因数。
（3）在乘的过程中约分
，是把分子、分母中，两个可以约分的数先划去，再分别在它们的上、下
方写出约分后的数。（约分后分
子和分母必须不再含有公因数，这样计算后的结果才是最简单分数）
（4）分数的基本性质：分子、分母同时乘或者除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变。
（三）积与因数的关系：
一个数（0除外）乘大于1的数，积大于这个数。a×b=c,当b
>1时，c>a.
一个数（0除外）乘小于1的数，积小于这个数。a×b=c,当b
<1时，c一个数（0除外）乘等于1的数，积等于这个数。a×b=c,当b
=1时，c=a .
注：在进行因数与积的大小比较时，要注意因数为0时的特殊情况。
附
：形如
111
1
的分数可折成（
）×
aabb
a(ab)
（四）分数乘法混合运算
1、分数乘法混合运算顺
序与整数相同，先乘、除后加、减，有括号的先算括号里面的，再算括号外面的。
2、整数乘法运算定律对分数乘法同样适用；运算定律可以使一些计算简便。
乘法交换律：a×b=b×a
乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)
乘法分配律：a×(b±c)=a×b±a×c
（六）分数乘法应用题
——用分数乘法解决问题
1、求一个数的几分之几是多少？（用乘法）
“1”×
b
= ？
a
例如：求25的
甲数的
33
是多少？ 列式：25×=15
55
33
等于乙数，已知甲数是25，求乙数是多少？ 列式：25×=15 <
br>55
注：已知单位“1”的量，求单位“1”的量的几分之几是多少，用单位“1”的量与分数相
乘。
2、（ 什么）是（什么 ）的
(几)
。
(几)
(几)
(几)
（ ）= ( “1” )
×
例1: 已知甲数是乙数的
3
，乙数是25，求甲数是多少？
5
33
即25×=15
55
33
注:（1）
“是”“的”字中间的量“乙数”是的单位“1”的量，即是把乙数看作单位“1”，把乙数
55
甲数= 乙数 ×
平均分成5份，甲数是其中的3份。
（2）“是”“占”“比”这三个字都相当于“=”号，“的”字相当于“×”。
（3）单位“1”的量×分率=分率对应的量
3.求甲比乙的几分之几多（少）？乙知道
多：乙×分率+多的 少：乙×分率-少的
4.折扣
折扣、打折的意义：几折就是十分之几也就是百分之几十
通
折扣 成数
几分之几 百分之几 小数
用
八折 八成
八成
八五折
五 五
五
半
五折 五成 十分之五 百分之五十 0.5
价
第二单元 圆
一、.圆的特征
1．圆的定义：平面上的一种曲线图形。
2．将一张圆形纸片对折
两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。圆心一般用字母O表示。它到
圆上任意一点的距离都
相等．
3．半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。半径一般用字母r表示。把圆规两脚分开
，两脚之间
的距离就是圆的半径。
4．圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。
5．直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。直径一般用字母d表示。
6．在同一个圆内，所有的半径都相等，所有的直径都相等。
7．在同一个圆内，有无数条半径，有无数条直径。
8．在同一个圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的一半。
用字母表示为：d＝２r r ＝
十分之八
十分之八点
百分之八十
百分之八十
0.85
0.8
1
2
d
用文字表示为：半径=直径÷2 直径=半径×2
9．圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。
10．圆的周长总是直径的3倍多一些，
这个比值是一个固定的数。我们把圆的周长和直径的比值叫做圆周
率，用字母
表示。
圆周率是一个无限不循环小数。在计算时，取
算出来的人是我国的数学家祖冲之。
11．圆的周长公式：C=
d 或C=2
r
圆周长=
×直径 圆周长=
×半径×2
12、圆的面积：圆所占面积的大小叫圆的面积。
3.14。世界上第一个把圆周
率
13．把一个圆割成一个近似的长方形，割拼成的长方形的长相当于圆周长的一半，用
字母（
r）表示，
宽相当于圆的半径，用字母（r）表示，因为长方形的面积=长×
宽，所以圆的面积=
r×r。圆的面
积公式：Ｓ＝
ｒ²。
14．圆的面积公式：Ｓ＝
ｒ²
或者S=
（d
2）²
或者S=
（C
2）²
15．在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。
16．在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。
17．一个环形，外圆的
半径是R，内圆的半径是r，它的面积是S=
R²－
ｒ² 或
S=
（R²－ｒ²）。
（其中R＝r＋环的宽度．）
19．半圆的周长
等于圆的周长的一半加直径。半圆的周长与圆周长的一半的区别在于，半圆有直径，而圆
周长的一半没有
直径。
半圆的周长公式：Ｃ＝
d
2＋d
半圆周长=圆周长一半+直径=
圆周长的一半=
r
20．半圆面积＝圆的面积
2
公式为：Ｓ＝
ｒ²
24
21．在同一个圆里，半径扩大或缩小
多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。而面积扩大或缩小以
上倍数的平方倍。
22．两个圆的半径比等于直径比等于周长比，而面积比等于以上比的平方。
23．当一个圆的半径增加ａ厘米时，它的周长就增加２
ａ厘米；
当一个圆的直径增加ａ厘米时，它的周长就增加
ａ厘米。
24．在同一圆
中，圆心角占圆周角的几分之几，它所在扇形面积就占圆面积的几分之几；所对的弧就占圆
周长的几分之
几．
25．当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆的面积最大，长方形的面积最小
27．
轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。
折
痕所在的这条直线叫做对称轴。
28．
有一条对称轴的图形有：角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。
有2条对称轴的图形是：长方形
有3条对称轴的图形是：等边三角形
有4条对称轴的图形是：正方形
有无数条对称轴的图形是：圆、圆环。
29．直径所在的直线是圆的对称轴。
1
×2πr=πr+d 或
Ｃ＝
r＋2
2
30、等圆：半径相等的圆叫做同心圆，等圆通过平移可以完全重合。
同心圆：圆心重合、半径不等的两个圆叫做同心圆。
31、画圆
（1）圆规两脚间的距离是圆的半径。
（2）画圆步骤：定半径、定圆心、旋转一周。 32、几种图形，在面积相等的情况下，圆的周长最短，而长方形的周长最长；反之，在周长相等的情况下，
圆的面积则最大，而长方形的面积则最小。
周长相同时，圆面积最大，利用这一特点，篮子、盘子做成圆形。
33、圆面积的变化的规律
：半径扩大多少倍直径、周长也同时扩大多少倍，圆面积扩大的倍数是半径、直
径扩大的倍数的平方倍。
如果: r
1∶
r
2∶
r
3
=d
1
∶
d
2∶
d
3
=c
1∶
c
2∶
c
3
=2
∶
3
∶
4
则：
S1∶S2∶S3
=
4∶9∶16
34、环形面积 = 大圆
– 小圆=πr
大
- πr
小
=π（r
大
-
r
小
）
扇形面积 = πr×
2
2 22
2
n
（n表示扇形圆心角的度数）
360
35、跑道：每条跑道的周长等于
两半圆跑道合成的圆的周长加上两条直跑道的和。因为两条直跑道长度相
等，所以，起跑线不同，相邻两
条跑道起跑线也不同，间隔的距离是：2×π×跑道宽度。
注：一个圆的半径增加a厘米，周长就增加2πa厘米
一个圆的直径增加b厘米，周长就增加πb 厘米
36、任意一个正方形的内切圆即最大圆的
直径是正方形的边长，它们的面积比是4
∶
π
37、常用数据
π=3.14 2π=6.28 3π=9.42 4π=12.56 5π=15.7
第三单元 分数除法
一、倒数的意义：乘积为1的两个数互为倒数。
1、倒数是两
个数的关系，它们互相依存，不能单独存在。单独一个数不能称为倒数。（必须说清谁是谁的
倒数）
2、判断两个数是否互为倒数的唯一标准是：两数相乘的积是否为“1”。
例如：a×b=1则a、b互为倒数。
3、求倒数的方法：
①求分数的倒数：交换分子、分母的位置。
②求整数的倒数：把整数看做分母是1的分数，再交换分子分母的位置。
③求带分数的倒数：先化成假分数，再求倒数。
④求小数的倒数：先化成分数再求倒数。
4、1的倒数是它本身，因为1×1=1
0没有倒数，因为任何数乘0积都是0，且0不能作分母。
5、任意数a(a≠0)，它的倒
数为
1
a
；非零整数a的倒数为
1
a
；分数
ba
的倒数是
a
b
。
6、真分数的倒数是假分数，真分数的倒数大于1，也大于它本身。
假分数的倒数小于或等于1。
带分数的倒数小于1。
二、分数除法的意义：分数除法
是分数乘法的逆运算，已知两个数的积与其中一个因数，求另一个因数的
运算。
三、分数除法计算法则：除以一个数（0除外），等于乘上这个数的倒数。
1、被除数÷除数
=被除数×除数的倒数。例
3
÷3=
3
×
1
=
1<
br> 3÷
3
=3×
5
=5
5
5355
3
2、除法转化成乘法时，被除数一定不能变，“÷”变成“×”，除数变成它的倒数。
3、分数除法算式中出现小数、带分数时要先化成分数、假分数再计算。
4、被除数与商的变化规律：
①除以大于1的数，商小于被除数：a÷b=c
当b>1时，c②除以小于1的数，商大于被除数：a÷b=c
当b<1时，c>a (a≠0 b≠0)
③除以等于1的数，商等于被除数：a÷b=c
当b=1时，c=a
四、解决问题
未知单位“1”的量用除法。
例:
甲是乙的，甲是15，求乙是多少？
即：甲=乙×（15÷=25）（建议列方程答）
1. 顺这题的有意思设单位一为未知数，列方程
2. 所求量÷所对应的分率=单位“1”
3.求甲比乙的几分之几多（少）？
多：（甲-多的）÷分率 少：（甲+少的）÷分率
或者列方程
3
5
3
5
3
5
五．探索规律
1、分子和分母依次增加或减少什么数
2、前两数的什么是第三个数字吗
3、前一个分数同时乘或出除以一个什么数
四单元、比
（一）比的基本概念
比：两个数相除也叫两个数的比
2、比可以表示两个相同量的关系，即倍数关系。也可以表示两个不同量的比，得到一个新量。例：
路程
÷速度=时间。
1、比式中，比号（∶）前面的数叫前项，比号后面的项叫做后项，比号
相当于除号，比的前项除以后项的
商叫做比值。
注：连比如：3：4：5读作：3比4比5
2、比表示的是两个数的关系，可以用分数表示，写成分数的形式，读作几比几。
例：12∶20=
前项 比号 后项 前项
后项
比值
12
3
＝12÷20==0.6 12∶20读作：12比20
5
20
注：区分比和比值：比值相当于商，是一个数，可以是整数，分数，也可以是小数。
比是一个式子，表示两个数的关系，可以写成比，也可以写成分数的形式。
（二）求比值
1、求比值：用比的前项除以比的后项，把比号写成除号再计算，结果是一个数
（或分数），相当于商，不
是比。
1． 比值通常用分数、小数和整数表示。
2． 比的后项不能为0。
3．
同除法比较，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商；
根据分数与除法的关系，比的前项相当于分子，比的后项相当于分母，比值相当于分数的值。
比和除法、分数的区别：（区别）除法是一种运算，分数是一个数，比表示两个数的关系。 比的前项相当与除法中的被除数，分数中的分子；比的后项相当与除法中的除数，分数中的分母；比
号相当于除法中的除号，分数中的分数线；比值相当于除法的商，分数的分数值。
被除
除法
数
分数线（—
分数 分子
—） 0）
后项（不能为
比 前项 比号（∶）
0） 质 关系
性质
比的基本性比表示两个数的
除号（÷）
0）
分母（不能为分数的基本
分数是一个数
除数（不能为
商不变性质
除法是一种运算
附：商不变性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。
分数的基本性质：分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。
6．比的基本性质：比的前项和后项同时乘上或者同时除以相同的数（0除外），比值不变。
注意：体育比赛中出现两队的分是2：0等，这只是一种记分的形式，不表示两个数相除的关系。
（三）化简比
1、化简比：用比的前项除以比的后项求出分数的比值后，在把分数
比值改成比。化简之后结果还是一个比，
不是一个数。
2、比的前项和后项都是整数，并且是
互质数，这样的比就是最简整数比。根据比的基本性质，把比化成最
简整数比。
（1）、 用比的前项和后项同时除以它们的最大公约数。
（2）、 两个分数的比，用前项
后项同时乘分母的最小公倍数，再按化简整数比的方法来化简。也可以求
出比值再写成比的形式。
（3）、 两个小数的比，向右移动小数点的位置，也是先化成整数比。
(2)用求比值的方法。注意： 最后结果要写成比的形式。如： 15∶10 =
15÷10 = 32 = 3∶2
（四）比的应用
4、按比例分配：把一个量按一定的比分配的方法叫做按比例分配。
1、比
的第一种应用：已知两个或几个数量的和，这两个或几个数量的比，求这两个或这几个数量是多少？
例如：已知甲乙的和是56，甲、乙的比3∶5，求甲、乙分别是多少？
方法一：56÷（3+5）＝7 甲：3×7＝21 乙：5×7＝35
方法二：甲：56×
2、比的第二种应用：已知一个数量是多少，两个或几个数的比，求另外几个数量是多少？
例如：已知甲是21，甲、乙的比3∶5，求乙是多少？
方法一：21÷3＝7
乙：5×7＝35
5
3
＝21 乙：56×＝35
3535
5
3
＝56 乙：56×＝35
3535
333
方法三：甲÷乙＝ 乙＝甲÷＝21÷＝35
555
方法二：甲乙的和：21÷
3、比的第三种应用：已知两个数量的差，两个或几个数的比，求这两个或这几个数量是多少？
例如：六年级的男生比女生多20人（或女生比男生少20人），男女生的比是7：5，男女生各有多少人？<
br>全班共有多少人？
7、要求量=已知量×
要求量份数
已知量份数
7、比在几何里的运用：
（1）已知长方形的周长，长和宽的比是ａ：ｂ。求长和宽、面积。
长=周长÷2×
a
b
宽=周长÷2×
ab
ab
面积＝长×宽
（2）已知已知长方体的棱长和，长、宽、高的比是ａ：ｂ：ｃ。求长、宽、高、体积
ab
宽=周长÷４×
abcabc
c
高=周长÷４× 体积＝长×宽×高
abc
长=周长÷４×
（３）已知三角形三个角的比是ａ：ｂ：ｃ，求三个内角的度数。
三个角分别为：
１８０×
a
abc
１８０×
b
abc
１８０×
c
abc
（４）已知三角形的周长，三条边的长度比是ａ：ｂ：ｃ，求三条边的长度。
三条边分别为：
周长×
a
abc
周长×
b
abc
周长×
c
abc
六单元、分数的混合运算
1、已知单位“1”的量用乘法。例：甲是乙的，乙是15，求甲是多少？
即：甲=乙×（15×=9）
2、未知单位“1”的量用除法。例:
甲是乙的，甲是15，求乙是多少？
即：甲=乙×（15÷=25）（建议列方程答）
3、分数应用题基本数量关系（把分数看成比）
（1）甲是乙的几分之几？
甲＝乙×几分之几 （例：甲是15的，求甲是多少？15×＝9）
3
5
3
5
3
5
3
5
3
5
3
5
3
5
3
5
3
5
3
几分之几＝甲÷乙 （例：9
是15的几分之几？9÷15＝）（“是”字相当“÷”号，乙是单位
5
乙＝甲÷几分之几
（例：9是乙的，求乙是多少？9÷＝15）
“1”）
（2）甲比乙多（少）几分之几？
3
5
差
（“比”字后面的量是单位“1”的量）
乙
15962
（例：9比15少几分之几？（15-9）÷15＝＝＝）
15155
甲
B 多几分之几是：–1
乙
1552
（例： 15比9少几分之几？15÷9＝-1＝–1＝）
3
93
甲
C
少几分之几是：1–
乙
932
（例：9比15少几分之几？1-9÷15＝1–＝1–＝）
15
5
5
差
几几
D
甲=乙±差=乙±乙×=乙±乙×=乙（1±）
乙
几几
222
（例：甲比
15少，求甲是多少？15–15×＝15×（1–）＝9（多是“+”少是“–”）
555
几
E 乙=甲÷(1± )
几
3
22
（例：9比乙少，求乙是多少？9÷（1-）＝9
÷＝15）（多是“+”少是“–”）
55
5
225
（例：15比乙多，求乙是多少？15÷（1+）＝15
÷＝9）（多是“+”少是“–”）
333
A 差÷乙=
5、画线段图：
（1）找出单位“1”的量，先画出单位“1”，标出已知和未知。
（2）分析数量关系。
（3）找等量关系。
（4）列方程。
注：两个量的关系画两条线段图，部分和整体的关系画一条线段图。