六年级上册奥数最终版
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前 言
小升初对于每个孩子来说都是意义重大的，作为求学阶段的地一个
转折点，
小升初这场战役是每个孩子都必须去经历，而且至关重要的。
如何在这场战役中取胜
？到底怎样才能做好充足的准备去迎接小升初之战？
这不仅仅是孩子个人的事，还关系到整个家庭，每个
家庭都将会为之付出努力。
这场考试充满了竞争和挑战，每一个经历过小升初的家庭都深有体会。 小升初不同于中考，不同于高考，没有考纲，没有统一考试，一切只能凭借
多年的经验、不断捕捉各
方面的消息去了解、应对。对于孩子和家长来说，小升
初都只会经历一次，每一个经历过小升初的家庭都
是从刚开始的手足无措到逐渐
了解，很多家长常常说：“如果小升初还可以再来一次的话，我就知道该怎
么做
了！”但此时孩子已经经历过小升初了，一切已成定局。
深圳有个奇怪的现象，中考的录
取率比高考还低，可想而知小升初的激烈程
度。中学希望选拔到应试能力强的孩子，而家长和孩子也希望
获得最优质的教育
资源，对各大名校趋之若鹜，由此衍生出小升初的选拔形势。
家长为了给孩
子争取一个好学位，从孩子上幼儿园就开始考虑，如在好学区
买房等等。但是从中学开始，即使房子在名
校片区内，也很难进入名校的重点班
或超常班，那才是优质教育资源真正的集中营，集中了名校名师、集
中了尖子生，
充满了竞争，得到学校的高度重视，孩子成为重点培养的对象。
有德教育团队对
深圳市各大名校近两年来小升初的试题进行了专业的解析
并亲临选拔现场，只为给小升初的孩子提供最前
面的资源和资料，要把这些经验
传承给家长和孩子。从而帮助大家在小升初考试开始之前就能彻底了解各
大名校
的选拔形式和选拔方向。家长可以根据实际情况提前做好学位申请的准备，也可
以对各个
学校有全面的了解，从而根据孩子的实际情况，选择符合孩子发展特点
的学校，确定好目标，更有针对性
。
目录
本内容适合六年级学生提高使用。重点落实在奥赛方面的基础知识和基本技
能培训和提高。本内容难度适
中，讲练结合，由浅入深，讲解与练习同步，是
学生提高数学水平的好资料。另外，在本次培训中，我们
适当安排了比例、百
分数方面的内容，给学生以学习上的提前量，对培养学生的学习兴趣有一定的
帮助。
其次本教程资料所有专题在北师大版五年级上下册教材的基础上进行改编。
符合深圳
地区行情。并深度与深圳五大名校、华杯赛、希望杯、走美杯、鹏程
杯等各大杯赛进行接轨。
第一讲：圆相关基本运算
第二讲：组合图形的面积计算（一）
第三讲：组合图形的面积计算（二）
第四讲：分数简便运算
第五讲：分数的巧算
第六讲：转化单位“1”（一）
第七讲：转化单位“1”（二）
第八讲：转化单位“1”（三）
第九讲：数图形
第十讲：平面与空间图形的基本变换
第十一讲：特殊工程问题
第十二讲：简单的工程问题
第十三讲：周期工程问题
第十四讲：用组合法解工程问题
第十五讲：简单的百分数应用题（一）
第十六讲：假设法解题（一）
第十七讲：倒推法解题
第十八讲：代数法解题
第十九讲：抓“不变量“解题
第二十讲：比的应用（一）
第二十一讲：比的应用（二）
第二十二讲：浓度问题
说明：1. 老师在教学的过程中，根据学生的具体情况和教学进度灵活的处理资
料，要求讲清
讲透，不能盲目的赶资料的进度。
2. 为了丰富内容，绝大部分资料按120分钟／次编排，老师可
以根据学
生实际从中选取80分钟内容讲授，余下的部分作为同学们 自由练习用。
第一讲：圆相关基本运算
一、考点1：圆的基本概念，圆心、半径、直径。判断：
1、通过圆心的线段是半径。
（ × ）
2、通过圆心的线段是直径。 （
× ）
3、两端都在圆上的线段是直径。 （ × ）
4、两端都在圆上并且经过圆心的线段是直径。 （ √ ）
5、所有的直径都相等，所有的半径都相等。 （ × ）
6、旋转式水龙喷头的射程是8m，8m就是指圆的直径。 （ × ）
二、考点2：圆心决定圆的位置，半径（直径）决定圆的大小。填空：
1、（ 圆心
）确定圆的位置，（ 半径 ）确定圆的大小。
2、（
）决定圆的大小，（ ）决定圆的位置。
3、圆内最长的线段是（ 直径
）， 圆规两脚之间的距离是（ ）。
4、圆有（ 无数 ）条半径，圆有（
无数 ）条直径。
判断：
1、圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。 （
√ ）
2、半径决定圆的位置，圆心决定圆的大小。 （ × ）
3、圆心决定圆的大小，半径决定圆的位置。 （ × ）
4、半径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。 （ √ ）
5、直径3厘米的圆大于半径2厘米的圆。 （ ）
6、半径3分米的圆大于直径5分米的圆。 （ ）
三、考点3：半径与直径的关系。
1、在同一个圆中，直径的长度是半径的（
），半径的长度是直径的（ ）。
2、在同一个圆中，半径的长度是直径的（ ），直径的长度是半径的（
）。
3、半径的长度是直径的（ ）。
4、直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的（ 50％ ）。
6、在同一个圆中，直径是半径的（ 2倍 ）。
7、在同一个圆中，直径是半径的2倍，半径是直径的（ 50％ ）。
8、在同一个圆中，半径是直径的（ ），直径是半径的（ ）。
9、一个圆的半径是3厘米，它的直径是（ ）。
10、圆规两脚间的距离是10厘米，画成的圆的直径是（ ）。
11、直径是5厘米的圆，它的半径是（ ）。
12、画一个直径为8厘米的圆，圆规两脚间是距离应是（ ）。
四、考点4：正方形、长方形与圆的关系。
1、在边长为6cm的正方形中画一个最大的圆，这个圆的直径是（ 3cm
）。
2、在边长为6cm的正方形中画一个最大的圆，这个圆的半径是（
3cm ）。
3、在边长为8厘米的正方形中画一个最大的圆，这个圆的直径是（
8cm ）厘米。
4、在边长为8厘米的正方形中画一个最大的圆，这个圆的半径是（
4cm ）厘米。
5、在一张长16厘米，宽8厘米的长方形内画直径是4厘的圆，这样的圆最多可画
（
12 ）个。
6、在一张长50厘片中剪最大米，宽6厘米的长方形纸的圆，这样的圆最多可剪
（
1 ）个。
7、在长3分米，宽2分米的长方形上剪出直径是4厘米的圆，至少可以剪（
b ）
个。
A、7
B、47 C、35
8、在长28cm，宽26cm的长方形纸板上剪出一个最大的圆，这个圆的半径是
（
26cm ）。
五、考点5：常见的轴对称图形与它们的对称轴。
1、圆是（ 轴对称
）图形，有（ 无数 ）条对称轴。 半圆有（ 一 ）
条对称轴。
2、圆是（ ）图形，它有（ ）条对称轴；正方形有（ 四条
）条对称轴，长方形有
（ 2条 ）条对称轴；
3、半圆有（ 一条
）条对称轴，等边三角形有（ 3条 ）条对称轴。
4、把圆对折（ 2次
）次，折痕的交点就是（ 圆心 ）。因此，圆是（ 轴对
称 ）图形,（
通过 ）所在的直线是圆的对称轴， 圆有（ 无数 ）条对称
轴。半圆只有（
1 ）条对称轴。
5、正方形有（ 4 ）条对称轴；长方形有（ 2 ）条对称轴；
等腰三角形有（ 1 ）
条对称轴；等边三角形有（ 3条 ）条对称轴；等腰梯形有（
）条对称轴；半圆有（ ）
条对称轴。五角星有（ ）条对称轴。
6、下列图形中，对称轴最多的图形是（ c ）
A、长方形 B、正方形 C、圆形
7、下列图形中，对称轴最少的图形是（ a ）
A、长方形 B、正方形 C、圆形
六、考点6：圆的周长、圆周率、直径（半径）的概念和关系。
1、圆（ 一圈
）的长度就是圆的周长。圆的周长总是直径的 （ π
）倍，圆
的周长除以直径的商（圆的周长与直径的比值）是一个（ 无限不循环小数
）,
我们把它叫做（ 圆周率 ）,用字母（ π ）表示,
π是一个
（ 无限不循环小数
），为了计算简便，通常取近似值
（ 3.14 ）。
判断：2、圆的周长是它直径的3.14 倍。 （ ×
）
3、圆的周长是它直径的π 倍。 （ √
）
4、圆的周长是它半径的6.28倍。 （ ×
）
5、圆的周长是它半径的2π 倍。 （ √
）
6、在同一个圆中，直径是半径的2倍，周长是直径的3.14倍。（ √
）
7、π＝3.14 。
（ × ）
8、π≈ 3.14。
（ √ ）
9、一个圆的半径每增加1厘米，周长就增加（ 2厘米
）厘米。
10、两个圆的周长不同，是因为它们的（ c ）。
A、圆心的位置不同 B、圆周率不同 C、半径不同
11、圆周率表示同一个圆内（ 半径 ）和（ 圆周率
）的倍
数关系，它用字母（ π ）表示，保留两位小数取近似值
是（ 3.14 ）。
七、考点7：圆的周长公式及其应用。
（一）、告诉直径，求周长。
1、圆的周长＝（ π ）×（ 直径 ）＝（ 半径 ）×（ ×2
）×（ π ）
即 C圆 = （ 2πr ） = （ dπ ）。
2、圆的周长＝（ ）×（ ），用公式表示为 （
）。
3、一个直径是10米的圆形花坛，它的周长是（ 31.4
）米。
4、一个直径是4厘米的圆，其周长是（ 12.56 ）厘米。
5、一个车轮的直径是65厘米，车轮转动一周长约前进 （ 204.1
）米。
6、一种压路机的前轮直径是1.6米，每分钟转10圈，压路机每分钟前进多少米？
1.6×3.14×10=50.24米
7、一种压路机的前轮直径是1.32米，每分钟转
6圈，压路机每分钟约前进多少米？（得数
保留整数。）
1.32×3.14×6=25米
七、考点7：圆的周长公式及其应用。
（二）、告诉半径，求周长。
1、一个挂钟的时针长3厘米，一昼夜这根时针的尖端走了（ b ）
A、18.84cm B、37.68cm C、75.36cm
2、一种钟表时针长5厘米，走一昼夜走了（ 62.8cm
）。
3、一个半径是6厘米的圆，它的周长是（ 37.68cm
）。
4、一个半径是2分米的圆，它的周长是（ 12.56cm
）分米。
5、圆规两脚间的距离是3厘米，画出的圆的周长是（ b ）。
A、9.42cm B、18.84cm C、28.26cm
6
、汽车车轮的半径是0.3米，它滚动1圈前进多少米？滚动1000圈前进多少米？0.3×2×
3.
14×1000=1884m
七、考点7：圆的周长公式及其应用。
（三）、告诉周长，求直径。
1、一根长25.12分米的绳子正好绕一树干10圈，这个树干的直径是（ 0.8
）分
米。
2、用一个硬纸板做成的圆在直尺上滚动一周，经过的距离是15.7dm，这个圆的直径是
（
5cm ）。
3、花坛的周长是62.8米，你能算出这个圆形花坛的直径吗？62.8÷3.14=20米
4、一根长12.56米的绳子正好绕一树干10周，树干横截面的直径是多少？
七、考点7：圆的周长公式及其应用。
（四）、告诉周长，求半径。
1、用圆规画一个周长是25.12cm的圆，圆规两脚之间的距离应是（ b ）。A、8cm
B、
4cm C、2cm
2、用圆规画一个周长是18.84cm的圆，圆规两脚之间的距离应是（ b ）。A、6cm
B、
3cm C、4cm
3、周长是18.84米的圆形花坛，它的半径是多少？
4、某景点有一棵古树，周长35分米的绳子绕它一圈，还剩下3.6分米，你能计算出这棵
古
树横截面的半径吗？
八、考点8：圆的面积公式及其应用。
（一）、告诉半径，求面积。
1、圆所占( 平面图形
)的大小叫圆的面积。沿着( 半径 )剪，把圆等分
的份数越多，拼成的图形就越接近(
长方形 )。拼成的平行四边形的底相当于
( 直径
)，高相当于( 半径
)；长方形的长相当于(圆周长的一
半 )，宽相当于(半径
)。
2、圆的面积＝( )×( )×(
)＝( )×( )。
公式：S圆＝(
) ×( )＝( )
八、考点8：圆的面积公式及其应用。
（一）、告诉半径，求面积。
3、一个钟表的分针长5cm，从1时到2时，分针针尖扫过的面积是（ 78.5
）
cm2。
4、一个钟表的分针长5cm，这个钟表从12时走到6时，分针扫过的面积是（
）
cm2。
A、78.5 B、19.625
C、117.75 D、471
5、把一个圆切拼成一个近似的长方形，量得这个长方形的宽是4cm，这个圆的直径是（
）
cm，长方形的长是（ ）cm。
八、考点8：圆的面积公式及其应用。
（二）、告诉直径，求面积。
1、一个圆形喷水池的直径是40米，它的面积是（ ）m2。
2、一个圆的直径是10厘米，它的面积是（ ）平方厘米。A、78.5
B、19.625 C、
117.75 D、471
3、在一个边长是6米的正方形中画一个最大的圆，这个圆的面积是 （
）平方
米。
A、36 B、28.26
C、113.04 D、9
4、直径是20厘米的圆的面积是多少？
八、考点8：圆的面积公式及其应用。
（三）、告诉周长，求面积。
1、一个周长是12.56分米的圆，它的面积是（ ）dm2。
2、一个周长是62.8米的圆形花坛，它的面积是多少平方米？
3、公园有一个圆形喷水池，周长是50.24米，这个喷水池的占地面积是多少？
九、考点9：圆的周长、面积、直径和半径的混合计算。
1、画圆时，圆规两脚之间的距离是3cm，那么这个圆的直径是（ ）cm，周长是（
）
cm，面积是（ ）cm2。
2、在边长8厘米的正方形纸板上剪下一个最大的圆，这个圆的半径是（
）厘米，
周长是（ ）厘米，面积是（ ）平方厘米。
3、半径是2厘米的圆，它的周长和面积各是多少？
4、半径扩大三倍圆直径扩大（
）倍，周长扩大（ ）倍，面积扩大（ ）
倍。
十、考点10：半圆的性质、周长和面积。
1、半圆是（
）图形，它有（ ）对称轴。
判断：
2、半圆的周长就是圆周长的一半
（ ）
3、同一个圆中，半圆的周长大于圆周长的一半。（
）
4、圆的周长除以2就是半圆的周长。 （ ）
5、两个半圆一定可以拼成一个圆。 （ ）
6、两个相等的半圆一定可以拼成一个圆。 （ ）
7、半圆的周长公式是（ ）。 A、 πr B、 πd
C、 πr+2r
十、考点10：半圆的性质、周长和面积。
8、把周长为12.56厘米的圆平均分成两个半圆，每个半圆的周长是（ ）厘米。
A、6.28 B、8.28 C、10.28
9、把周长为12.56厘米的圆平均分成两个半圆，每个半圆的周长是（ ）厘米。
10、小芳画了一个半径为4厘米的半圆，这个半圆的周长是多少？
十、考点10：半圆的性质、周长和面积。
11、画一个半径为2厘米的半圆，并求出它的周长和面积。
十一、考点11：周长和面积容易混淆的知识点。
判断：1、一个圆的周长是12.56厘米，面积是12.56平方厘米。（ ）
2、半径是2厘米的圆，其周长和面积相等。 （ ）
3、半径是2厘米的圆，其面积和周长相等。 （ ）
4、周长相等的两个圆，面积一定相等。 （ ）
5、面积相等的两个圆，周长也一定相等 。 （ ）
6、两个圆的周长相等，那么这两个圆的面积 （ ）。
A、 一定相等 B、 一定不相等 C、 无法确定
十二、考点12：周长和面积大小比较。
1、周长相等时,(
)的面积最大；面积相等时,( )的周长最小。
2、周长相等的正方形，长方形和圆，（ ）的面积最大。
判断：3、用三根同样长的铁丝分别围成长方形、正方形和圆，圆的面积最大。（ ）
4、边长2厘米的正方形与直径2厘米的圆相比，圆的周长大一些。（ ）
5、正方形的边长和圆的直径都是9厘米，正方形的面积 ( )圆的面积。
A、大于 B、等于
C、小于
6、一个圆和一个正方形的周长相等，它们的面积比较（
）
A、圆的面积大 B、正方形的面积大 C、一样大
7、长方形，正方形和圆的周长相等，（ ）的面积最大。
A、长方形 B、正方形 C、圆
8、周长相等的下列图形中，面积最大的是（ ）
A、正方形 B、三角形 C、圆
十二、考点12：周长和面积大小比较。
9、如图，下列说法中正确的是（
）
A、阴影部分的周长相等，面积不相等。
B、周长和面积都相等。
C、周长和面积都不相等。
D、周长不相等，面积相等。
10、甲乙两个婴儿参加爬行比赛，甲沿着一个边长是2米的正
方形爬行一圈，乙沿着一个直
径是2米的圆形爬行一圈，他们的速度一样，（
）先爬行完一圈。
A、甲 B、乙
C、无法判断
十三、考点13：圆的扩大（缩小）问题。
1、一个圆的半径扩大2倍，直径就扩大（ ）倍，周长就扩大（
）倍，面积扩
大（ ）倍。
2、一个圆的半径扩大4倍，面积就扩大（
）倍。
3、一个圆的半径扩大3倍，直径就扩大（ ）倍，周长就扩大（
）倍，面积扩
大（ ）倍。
4、一个圆的直径扩大4倍，面积就扩大（
）倍。
5、一个圆的周长扩大4倍，面积就扩大（ ）倍。
6、一个圆的半径扩大5倍，周长扩大（ ），面积就扩大（
）倍，圆周率
（ ）。
判断：
7、圆的直径扩大4倍，面积也扩大4倍。 （ ）
8、大圆半径是小圆半径的2倍，那么大圆面积也是小圆面积的2倍。（ ）
9、大圆的直径8厘米，小圆的直径4厘米，大圆周长是小圆周长的（
）倍，大圆面积是
小圆面积（ ）倍。
10、大圆的半径是4厘米，小圆的直径是4厘米，大圆周长是小圆周长的（
）倍，大
圆面积是小圆面积的（ ）倍。
11、一个圆的半径扩大3倍，它的周长也扩大（ ）倍。
A、3 B、6 C、9
12、一个圆的半径缩小二分之一，面积就缩小（ ）。
十四、考点14：阴影部分的面积。
1、求阴影部分的面积的常用方法有（ 割补法
）、（和差 ） 和等分法等。求阴影部
分的面积。（单位：厘米）
2
2
3
第二讲 面积计算（二）
【专题简析】：
在进行组合图形的面积计算时，要仔细观察，认真思考，看清组合图形是由
几个基本单位组成的，还要找出图中的隐蔽条件与已知条件和要求的问题间的关
系。
B1、求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。
试一试：
1、求下面各个图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。
B2、求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。
试一试：
1、计算下面图中阴影部分的面积（单位：厘米）。
B3、如图所示，两圆半径都是1厘米，且图中两个阴影部
分的面积相等。求
长方形ABO
1
O的面积。
试一试：
1、如图所示，圆的周长为12.56
厘米，AC两点把圆周分成相等的两段弧，阴影
部分（1）的面积与阴影部分（2）的面积相等，求平行
四边
形ABCD的面积。
2、如图所示，直径BC=8厘米，AB=AC，D为AC的中点，求阴影部分的面积。
3、如图所示，AB=BC=8厘米，求阴影部分的面积。
A1、如图所示，求阴影部分的面积（单位：厘米）。
4
6
试一试：
1、如图所示，求四边形ABCD的面积。
C
3
D
45
A
B
7
2、如图所示，BE长5厘米，长方形AEFD面积是38平方厘米。求CD的长度。
C
D
F
A
B
E
3、图中是两个完全一样的直角三角形重叠在一起，按照图中的已知条
件求
阴影部分的面积（单位：厘米）。
A2、如图所示，图中圆的直径AB是4厘米，平行四边形ABCD
的面积是7平方
厘米，∠ABC=30°，求阴影部分的面积（得
数保留两位小数）。
试一试：
1、如图所示，∠1=15°，圆的周长为62.8厘米，平行四边形的
面积为100平方
厘米。求阴影部分的面积（得数保留两位小数）。
2、如图所示，三角形ABC的面积是31.2平方厘米，圆的直
径AC=6厘米，BD：DC
=3：1。求阴影部分的面积。
3、图所示如，求阴影部分的面积（单位：厘米。得数保留两位小数）。
我的学习收获：
.
我来编题：
.
第十六讲 组合图形典型解法的整理和复习
组合图形
，是指由两个或两个以上的平面图形合并在一起的图形。而在小学
毕业测试中，关于组合图形的计算往往
不是能直接观察到两个或两个以上的图形
面积相加或相减得到的，小学生由于年龄小，空间观念比较薄弱
，这时候往往无
从下手，因此，如何通过求组合图形面积的总复习，让孩子们掌握一些求积方法，
感悟转化思想，从而达到培养初步的空间观念、发展空间想像力之目的，笔者根
据长期的教学实践和体
会，总结出以下一些典型方法，以飨读者。
一、思路整理。
二、具体说明。
（一）、图形变换
1、平移
（1）、点的移动（等积变形）
根据“平行线之间的距离处处相等”和“同
底等高的两个三角形面积相等”，将
图中的一个三角形的一个顶点看作一个“动点”沿直线移动，将原来
复杂的图形
变为简单明了的图形。
【例1】计算（图1）中的阴影部分面积。（单位：厘米）
【例2】如（图3）所示，已知大正方形的边长为10厘米，小正方形
的边长为7
厘米，求阴影部分面积。
（2）、面的移动（平移法）
将所给图形中的某个图形沿直线上下左右移动，把复杂的图形简单化。
【例3】求（图5）中阴影部分的面积（单位：厘米）
【例4】求（图7）阴影部分的面积（单位：厘米）
2、旋转
（1）、以点为旋转中心（旋转法）
将所给图形中的某一部分绕一个固定点旋转一定（或适当
）的角度，变为比较简
单又直观的图形。
【例5】求(图9)阴影部分的面积（单位：厘米）
【例6】如图（11），三角形ABC为等腰直角三角形，D为AB的中点，AB
=20厘
米，求阴影部分的面积。（单位：厘米）。
（2）、以直线为对称轴（翻折法）
将所给图形的某一部分以某一直线为对称轴翻折，使原来复杂的图形变为直观图
形。
【例7】求(图13)阴影部分的面积（单位：厘米）
【例8】求(图15)阴影部分的面积（单位：厘米）
3、对称
（1）、对称添加（扩大法）
将所求图形以某条直线为对称轴，把所求的图形面积扩大若干倍
，先求出总面积，
然后求原来的面积。
【例9】（图17）中扇形的半径6厘米，圆心角为4
5
0
，AC垂直于OB，垂足为C，
求阴影部分的面积是多少平方厘米?
（2）、等分（缩小法）
根据所求图形的对称性， 将所求图形面积平均分成若干份，先求出其中的一份
面积，然后求总面积。
【例10】求(图19)阴影部分的面积（单位：厘米）
（二）、等量替换
将题中的条件或问题替换成等价的另外的条件或问题，使条件或问题变得更加简
单直观。
1、条件替换
【例11】如（图21）所示，两个半径为2厘米的等圆，已知阴影的两个部分
面
积相等，求圆心距AB的长。
2、问题替换
【例12】如（图22）所示，一个直径为4厘米的半圆，以A点为圆心，把整
个
半圆按顺时针方向旋转45
0
，此时点B移到B
1
，求阴影部分的
面积。
（三）、从整体看问题
从整体上来考察
研究问题，不纠缠于问题的各项具体的细节，从而拓宽思路抓住
主要矛盾，有时可以将问题进行特殊化处
理，一举解决问题。
【例13】如（图23）所示，直角三角形ABC的三条边长分别为6厘米、8厘
米、
10厘米，三个顶点A、B、C分别是三个等圆的圆心，求阴影部分的面积和是多
少平方厘
米？
【例14】如（图24）
所示，一个长方形长40厘米，宽30厘米，A为长方形内
的任意一点，求阴影部分的面积。
（四）、灵活运用公式
当题中所给的条件不能直接套用公式时，这时就应考虑灵活运用公式计算。
【例15】在（图28）中，BC =20厘米，求直角梯形ABCD的面积
当求有关圆面积时，如果题中没有给出可求半径的条件，直
接给出有关图形的面
积时，可以考虑利用r
2
解题 。
【例16】如（图29），正方形的面积是30平方厘米，求圆的面积。
【例17】如（图30）阴影部分的面积是25平方厘米，求圆环的面积。
练习：
1、如图五个相同的圆的圆心
连线构成一个边长为10厘米的正五边形。求五边形
内阴影部分的面积。（π=3.14）
2、下面是两位同学的争论。
A：“这道题不好算，给的条件也太少了！”
B：“为什么你要这么说？”
A：“你看，题中只告诉我们AB的长度
等于12，却要求出阴影部分的面积！
事实上我连这两个半圆的直径各是多少都不知道呢。”
B：“不过AB可是小半圆的切线，而且它和大半圆的直径也是平行的呀！”
A：“那也不顶用，我看一定是出题人把什么条件给遗漏啦！”
请问，真是A说的这么回事吗？如果不是，你能求出阴影部分的面积吗？
A B
3、有一个梯形，如果它的上底增加2米，下底
和高都不变，它的面积就增加4.8
平方米；如果上底和下底都不变，高增加2米，它的面积就增加8.
5平方米，求
原来梯形的面积。
第三讲
面积计算（三）
专题简析：
对于一些比较复杂的组合图形，有时直接分
解有一定的困难，这时，可以通
过把其中的部分图形进行平移、翻折或旋转，化难为易。有些图形还可以
根据“容
2
斥问题”的原理来解答。在圆的半径r用小学知识无法求出时，可以把“r”整体地代入面积公式求面积。
B1、如图所示，求图中阴影部分的面积。
试一试：
1、如图所示，求阴影部分的面积（单位：；厘米）。
2、如图所示，用一张斜边为29厘米的红色直角三角形纸片，一张斜
边为49厘
米的蓝色直角三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形。求红、
蓝
两张三角形纸片面积之和是多少？
黄
蓝
红
B2、如图所示，求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。
试一试：
1、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，求阴影部分的面积（单位：
厘米）。
2、如图所示，三角形ABC是直角三角形，AC长4厘米，BC长2厘
米。以AC、BC为直径画半圆，两个半圆的交点在AB
边上。求图中阴影部分的面积。
3、如图所示，图中平行四边形的一个角为60°，两条边
的长分别为6厘米和8
厘米，高为5.2厘米。求图中阴影部分的面积。
B3、在图中，正方形的边长是10厘米，求图中阴影部分的面积。
试一试：
求下面各图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。
A1、在正方形ABCD中，AC=6厘米。求阴影部分的面积。
试一试：
1、如图所示，图形中正方形的面积都是50平方厘米，分别求出每个图形中阴影
部分的面积。
2、如图所示，正方形中
对角线长10厘米，过正方形两个相对的顶点以其边长为
半径分别作弧。求图中阴影部分的面积（试一试
，你能想出几种办法）。
A2、在图的扇形中，正方形的面积是30平方厘米。求阴影部
分的面积。
试一试：
1、如图所示，平行四边形ABCD的面积是100平
方厘米，求阴影部分的面积。
2、如图所示，O是小圆的圆心，CO垂直于AB，三角形
ABC的
面积是45平方厘米，求阴影部分的面积。
3、如图所示，半圆的面积是62.8平方厘米，求阴影部分的面积。
我的学习收获：
.
我来编题：
.
第七讲
分数的巧算
知识链接
进行分数计算时，有时需要将一个分数转化为两个或几个分数的差或和
，使部分分数互相
抵消，这种方法为“裂项法”。本节重点介绍运用“裂项法”进行分数的相关计算。
例题精讲
例题1 观察下面的推理：
111111,1,所以1
12222122
11111111
因为，，
所以
2362362323
11111111
因为
，，所以
341234123434
1111
根据上面的推理，计
算：
12233445
因为
11111
<
br>200220032003200420042005200520062006
例题2
计算：
例题3 计算：
1111111
261220304256
例题4 计算：
12
11111111
3456789
210132
例题5 观察下面的变形：
1
()
()
()
132133523568268
111111111
（2）
133557792446688101012<
br>依据上面的变形计算：
（1）
例题6
计算：
1
11111
...
1212312341234512345...50
巩固练习：
1、
2、
3、
4、
111111
3445
56677889
111111111
26122
111111
133557799111113
33333
255881111141417
5、
1
6、
11111
...
121231234
1234512345...100
11111
315356399
第二讲 简便运算（一）
专题简析
根据算式的结构和数的特征，灵活运用运算法则、定律、性质和某些
公式，
可以把一些较复杂的四则混合运算化繁为简，化难为易。
B1、计算：4.75-9.63+（8.25-1.37）
试一试：
计算下面各题
1、6.73-2
89551
+（3.27-1）
2、7-（3.8+1）-1
1717
3、14.15-（7
717
8-6
20
）-2.125 4
B2、计算
：333387
1
1
2
×79+790×66661
4
试一试：
计算下面各题：
1、3.5×1
1
4
+125％+1
1
4
2
÷
5
2
3、9
2
5
×425+4.25÷
1
60
4
B3、计算：36×1.09+1.2×67.3
试一试：
计算：
1、45×2.08+1.5×37.6
2
3、48×1.08+1.2×56.8 4
A1、计算：3
3
5
×25
2
5
+37.9×6
2
5
试一试：
计算下面各题：
1、6.8×16.8+19.3×3.2
2、139×
137
138
+137×
1
138
3、4.4×57.8+45.3×5.6
995
、13
713
-（4
17
4
+3
13
）-0.75
、975×0.25+9
3
4
×76-9.75
、0.9999×0.7+0.1111×2.7
、52×11.1+2.6×778
、72×2.09-1.8×73.6
A2、计算：81.5×15.8+81.5×51.8+67.6×18.5
试一试：
1、53.5×35.3+53.5×43.2+78.5×46.5
2、235×12.1+235×42.2-135×54.3
3、3.75×735-
3
×5730+16.2×62.5
8
我的学习收获：
.
我来编题：
.
第三讲 简便运算（二）
专题简析
计算过程中，我们先整体地分析算式的特点，然后进行一定的转化，创造条
件运用乘法分配律来简算，这种思考方法在四则运算中用处很大。
B1、计算：1234+2341+3412+4123
试一试：
计算下面各题：
1、23456+34562+45623+56234+62345
2、45678+56784+67845+78456+84567
3、124.68+324.68+524.68+724.68+924.68
4
B2、计算：2×23.4+11.1×57.6+6.54×28
5
试一试：
计算下面各题：
1、99999×77778+33333×66666
2、34.5×76.5-345×6.42-123×1.45
3、77×13+255×999+510
B3、计算：
19931994-1
199319921994
试一试：
计算下面各题：
1、
362548361198819891987
2、
362548186198819891
20458419911
-
1922584380143
3、
A1、有一串数1，4，9，16，
25，36……它们是按一定规律排列的，那么其中第
2000个数与第2001个数相差多少？
试一试：
计算：
1、1991
2
-1990
2
2、9999
2
+19999 3、999×274+6274
2255
A2、计算（9+7）÷（+）
7
979
试一试：
计算下面各题：
836354712510
1、
(1)()
2、
(31)(1)
97113
3、
(96
6324218
36)(3212)
73257325
我的学习收获：
.
我来编题：
.
第四讲 简便运算（三）
专题简析
在进行分数运算时，除了牢记运算定律、性质外，还要仔细审题，仔细观察
运算符号和数字特点，合理
地把参加运算的数拆开或者合并进行重新组合，使其
变成符号运算定律的模式，以便于口算，从而简化运
算。
B1、计算：（1）
4415
37
（2）27×
4526
试一试：
用简便方法计算下面各题：
1、
211
14
8
2、
126
3、35×
152536
1997
74
1999
5、
1998
75
4、73×
B2、计算：73
11
158
试一试：
计算下面各题：
1、64
1111
2、22
1792021
3、
111314
57
4、41
51
763445
13
B3、计算：
2741
55
试一试：
计算下面各题：
1315
1、
3927
2、
3517
4466
151
3、
5510
888
515256
A1、计算：
6139131813
试一试：
计算下面各题：
1、
1451133161
2、
12
5
3、
7950
4、
3
916152
A2 计算：
11998
（1）
166
÷41
（2）1998÷
1998
201999
试一试：
计算下面各题：
223811
1、
5417
2、
238238
3、
16341
52391339
我的学习收获：
.
我来编题：
.
第五讲 简便运算（四）
专题简析
前面我们介绍了运用定律和性质以及数的特点进行巧算和简算的一些方法，
下面再向同
学们介绍怎样用拆分法（也叫裂项法、拆项法）进行分数的简便运算。
运用拆分法解题主要是使拆开后
的一些分数互相抵消，达到简化运算的目
的。一般地，形如
11
的分数可以拆成
1
1
；形如的
aa1
a（a1)a（an)
1
分数可以拆成
1
（
na
ab11
1
；形如
的分数可以拆成
等等。同学
）
abab
a1
们可以结
合例题思考其中的规律。
11
11
B
1
计算：
12
23
349
9100
试一试：
计算下面各题：
1111
1、+
4556673940
11111
2、
101111121213131414
15
111111
3、
2612203042
1111
4、1-
6425672
B2
计算：
1111
2446684850
试一试：
计算下面各题：
1111
1、
3557799799
1111
2、
144771097100
1111
3、
15599133337
11111
4、
42870130208
179111315
B3
计算：
1
31220304256
试一试：
计算下面各题：
157911
1、
1
26122030
19111315
2、
1
420304256
819981998
3、
1223344556
7911
4、
666
122030
111111
A1 计算：
248163264
试一试：
计算下面各题：
1111
1、
248256
22222
2、
392781243
3、9.6+99.6+999.6+9999.6+99999.6
A2:计算：
111
（1）（）（1）（
）
23423452345234
试一试：
计算下面各题：
1
1111
1、× <
br>（）（）(）（）
2345
345623456345<
br>11111
2、
（）（）（）（）
8911
3、
（1<
br>
）（）（1）
199929992
111
（
）
1
我的学习收获：
.
我来编题：
.
单元练习（二）
第一章
实践与应用（一）
第一讲 转化单位“1”（一）
【专题导引】
把不同的数量当做单位“1”，得到的分率可以在一定的条件下转化。
ac<
br>aca
，乙是丙的，则甲是丙的；如果甲是乙的，则乙是
bd
bdb
b
acca
bc
ac
ad
甲的；如果甲的等于乙的，则甲是乙的÷=，乙是甲的
÷=。
abddb
ad
bd
bc
如果甲是乙的
【典型例题】
【B1】 晶晶三天看完一本书，第一天看了全书的
12
，第二天看余下
的，
45
第二天比第一天多看了15页，这本书共有多少页？
【试一试】
3
1
1、有一批货物，第一天运了这批货物的，第二天运的是第一天的，还
5
4
剩90吨没有运，这批货物有多少吨？
1
2、修路队在一条公路上施工。第一天修了这条公路的，第二天修了余下
4
2
的，已
知这两天共修路1200米，这条公路全长多少米？
3
【B2】
假设2000年我国的国民生产总值为S，并且以后每年都以8％的幅度
递增。那么，我国的国民生产总值最早在哪一年时可超过4S？
【试一试】
1、
在例题中，如果每年的递增幅度都比前一年提高一个百分点，那么可以在哪
一年，实现国民生产总值翻两
倍（达到2S）？
2、王先生1998年花3000元购得一种股票
，这种股票平均每年可增值50％。如
果王先生一直持有这种股票，最早在哪一年这些股票的总价值会超
过30000
元？
【B3】 某厂
有三个车间，第一车间的人数占三个车间总人数的25％，第二车
间人数是第三车间的<
br>少人？
【试一试】
3
。已知第一车间比第
二车间少40人，三个车间一共有多
4
1
1、某小学五年级三个班植树，一班植树的棵
数占三个班总棵数的，二班与三
5
班植树棵数的比是3：5，二班比三班少植树40棵，这三个
班各植树多少棵？
2
2、图书角有故事书、科技书、文艺书
这三种书，故事书的本数占总数的，科
5
3
技书的本数是文艺书的，文艺书比故事书少
20本，图书角共有书多少本 ？
4
【A1】
牛的头数比羊的头数多25％，羊的头数比牛的头数少百分之几？
【试一试】
1、甲仓存粮的吨数比乙仓少40％，乙仓存粮的吨数比甲仓多百分之几？
2
2、男生比女生少，女生比男声多几分之几？
7
【A2】、乐乐服装公司进了一批儿童服装，按40％的利润定价，当售出这批服装
的90％以后，决定换季减价售出，剩下的儿童服装全部按定价的五折出售，这
批儿童服装全部售完后实
际可获利百分之几？
【试一试】
1、甲、乙两种商品成本
共200元，甲商品按30％的利润定价，乙商品按20％的
利润定价，但出售时因商店“庆元旦大酬宾
”，全部商品按定价的“九折”销售，
结果卖出甲、乙两种商品各一可获利27.7元。求甲、乙两种商
品的成本各是多
少元？
2、兰兰把父母给他的压岁钱1
500元存入银行。银行的存款年利率为：三个月
0.72％；半年1.7％；一年1.98％；二年2
.25％；三年2.52％；五年2.79％。
利息税为20％，请你结合银行的人民币利率及实际情况
帮兰兰设计一种存款方
案。如果兰兰五年期的1500元存款，再过3个月才到期，而现在又急用这笔钱
，
你觉得兰兰怎样做比较合算呢？
【练习】
<
br>24
，接着乙加工了余下的。已知乙
59
加工的个数比甲少200个，这批零件
共有多少个？
2. 电子商场今年销售的某品牌笔记本电脑按台数统
计，每月的销售量平均增长
20％，今年12月销售了120台，按此速度下去，请你预计什么时候每月
的销售
量可以突破500台？
2
3、食堂买来萝卜
、青菜和土豆三种蔬菜。萝卜的重量占三种蔬菜总重量的，
5
3
青菜的重量比土豆少，
萝卜比土豆少360千克。食堂买来萝卜多少千克？
4
1
4、水结成冰体积增加，冰化成水体积减少几分之几？
10
5、某商店的一种皮衣，销售有一定困难，店老板核算一下：如果按销售价打九
折出
售，可盈利215元，如果打八折出售就要亏损125元，那么这种皮衣的进价
是多少元？
1、加工一批零件，甲先加工了这批零件的
我的学习收获：
.
我来编题：
.
第二讲 转化单位“1”（二）
【专题简析】
我们必须重
视转化训练。通过转化训练，既可理解数量关系的实质，又可以
拓展我们的解决思路，提高我们的思维能
力。
【典型例题】
23
【B1】
：甲数是乙数的，
乙数是丙数的，甲、乙、丙的和是216，甲、乙、
34
丙各是多少？
【试一试】
53
，乙数是丙数的，甲、乙、丙三数
的和是152，甲、乙、
64
丙三个数各是多少？
21
2、橘子的千克数是苹果的，香蕉的千克数是橘子的，香蕉和苹果共有220
32
千克，橘子
有多少千克？
32
【B2】
、某班共有学生51人，男生人数的等于女生人数的。这个班男、女
43
生各有多少人？
1、甲数是乙数的
【试一试】
：
1
4
1、图书馆买来科技书和文艺书共340本，文艺书本数的等于科技书本数的。
3
5
两种书各买来多少本？
26
2、学校合唱团比舞蹈队多24人，合唱团人数的等于舞蹈队人数的。合唱团
57
和舞蹈队各
有多少人？
23
【B3】
、已知甲校学生数是乙校
学生数的，甲校的女生数是甲校学生数的，
510
乙校的男生数是乙校学生数的
几？
21
，那么两校女生总数占两校学生总数的几分之
50
【试一试】
：
1
1
1、在一城市中，中学生数是居民的，大学生数是中学生数的，那么占大学
5
4
2
生总数的的理工科大学生是居民数的几分之几？
5
32
2、某人在一次选举中，需的选票才能当选，计算的选票后，他得到
的选票
43
5
已达到当选票数的，他还要得到剩下选票的几分之几才能当选？
6
1
【A1】、
甲、乙两堆棋子数相等，已
知甲堆白子数是乙堆黑子数的，乙堆白子
5
1
数是甲堆黑子数的。甲堆黑子数是乙堆黑
子数的几分之几？
8
【试一试】
1、甲、乙两班
的同学人数相等，各有一些同学参加课外天文小组，甲班参加天
1
文小组的人数恰好是乙班没有
参加的人数的，乙班参加课外天文小组的人数是
3
1
甲班没有参加的人数的。甲班没有
参加的人数是乙班没有参加的人数的几分之
4
几？
2
2、校合唱团和舞蹈队的人数相等，合唱团的男生人数是舞蹈队女生的，舞蹈
3
队男生人数是合唱团女生人数的
分之几？
9。合唱团的女生人数是舞蹈队女生人数的几
14
【A2】
、某厂男职工比全厂职工
总人数的多60人，女职工人数是男职工的，
这个厂共有职工多少人？
3
5
1
3
【试一试】
：
1
1
1
、一筐苹果卖掉后，又卖掉6千克，这时卖出的重量正好是剩下的。这筐
5
2
苹果原来
有多少千克？
71
2、甲、乙两车共运一堆煤，
运完时，甲车运了总数的多12吨，比乙车多运，
152
甲车运了多少吨？
【练习】
1、某中学初中部三个年级中，初一的学生数是初二学生数的
是初三学生数的1
2、粮店里有大米、面粉和玉米共900吨，大米重量的
米重200吨。
大米和面粉的重量各是多少吨？
9
，初二的学生数
10
1
倍，这个学校里初三的学生数占初中部学生数的几分之几？
4
1
1
等于面粉重量的，玉
3
4
31
3
3、某校有的学生是男生，男生的想当医生，全校想当医生的学生的
是男
520
4
生，那么全校女生的几分之几想当医生？
4、有三堆棋子，每堆棋子一样多，并且都只有黑白两色棋子。第一堆中的黑子
2<
br>和第二堆中的白子一样多，第三堆中的黑子占全部黑子的。把这三堆棋子集中
5
在一起。
白子总数占全部棋子总数的几分之几？
1
5、纺织厂女工人数比全厂人数的75％还多100人，男工人数是女工的，这个
5纺织厂有男工多少人？
我的学习收获：
.
我来编题：
.
第三讲 转化单位“1”（三）
【专题简析】
：
解答教复杂的分数应用题时，我们往往从题目中找出不变的量，把不
变的量看作
单位“1”，将已知条件进行转化，找出所求数量相当于单位“1”的几分之
几，
再列式解答。
【典型例题】
：
3
A1、有两筐梨
。乙筐是甲筐的，从甲筐取出5千克梨放入乙筐后，乙筐的梨是
5
7
甲筐的。甲、乙两
筐梨共重多少千克？
9
试一试：
1
1、某小学低年
级原有少先队员是非少先队员的，后来又有39名同学加入了少
3
7
先队组织。这样，
少先队员的人数是非少先队员的。低年级有学生多少人？
8
1
2、王师傅生产一批零件，不合格产品是合格产品的，后来从合格产品中又发
19
现
2个不合格产品，这时算出产品合格率是94％。合格产品共有多少个？
3
B2、某学校原有长跳绳的根数占长、短跳绳总数的。后来又买进20根长跳绳，
8
7
这时长跳绳的根数占长、短跳绳总数的。这个学校现有长、短跳绳的总数是
12
多少根？
试一试：
3
1、阅览室
看书的同学中，女同学占，从阅览室走出5位、女同学后，看书的
5
4
同学中，女同学
占，原来阅览室里一共有多少名同学在看书？
7
2、一堆什锦糖，其中
奶糖占45％，再放入16千克其他糖后，奶糖只占25％，
这堆糖中有奶糖多少千克？
<
/p>
B3、有两段布，一段长40米，另一段布长30米，把这两段布都用去同样长的一
3
部分后，发现短的一段布剩下的长度是长的一段所剩长度的，每段布用去多少
5
米
？
试一试：
1、有两根塑料绳，一根长80米，另一根长40米，如果从两根绳
上各剪去同样
2
长的一段后，短绳剩下的长度是长绳剩下的，两根绳各剪去多少米？
7
5
2、今年父亲40岁，儿子12岁，当儿子的年龄是父亲的时，儿子多少岁？
12
1
A1、某商店原有黑白、彩色电视机共630
台，其中黑白电视机占，后来又运进
5
一些黑白电视机。这时黑白电视机占两种电视机总台数的
30％，问：又运进黑
白电视机多少台？
试一试：
1
1、书店运来科技书
和文艺书共240包，科技书占。后来又运来一批科技书，
6
3
这时科技书占两种书总
和的，现在两种书各有多少包？
11
1
2、某市派出60名选
手参加田径比赛，其中女选手占，正式比赛时，有几名女
4
2
选手因故缺席，这样女选
手人数占参赛选手总数的。问：正式参赛的女选
11
手有多少人？
1
1
A2、甲数是乙数、丙数、丁数之和的，乙数是甲数、丙数、丁数之和
的，丙
3
2
1
数是甲数、乙数、丁数之和的。已知丁数是260，求甲、乙、
丙、丁四数之和。
4
试一试：
1、甲、乙、丙、丁四个筑路队共筑12
00米长的一段公路，甲队筑的路是其他三
1
11
个队的，乙队筑的路是其他三个队的
，丙队筑的路是其他三个队的，丁队
3
24
筑路多少米？
2、甲、乙、丙三人共购买一艘游艇，甲支付的钱是其余两人的
1
，乙队支
付的
2
1
钱是期于两人的，丙支付的钱恰好是5000元。这艘游艇的单价是多少元？
3
【练习】
1.某校六年级
上学期男生占总人数的54％，本学期初转进3名女生，转走3名
男生，这时女生占总人数的48％。现
有男生多少人？
5
2
2.数学课外兴趣小组，上学
期男生占，这学期增加21名女生后，男生就只占
9
5
了，这个小组现有女生多少人？
3、仓库里原来存的大米和面粉袋数相等，运出800袋大米和500袋面粉后，
仓
3
库里所剩的大米袋数是面粉的，仓库里原有大米和面粉各多少袋？
4
4、甲、乙、丙、丁四个筑路队共筑1200米长的一段公路，甲队筑的路是其他三
1
11
个队的，乙队筑的路是其他三个队的，丙队筑的路是其他三个队的，
3
24
丁队筑了多少米？
5、把12千克盐溶解于120千克水中，得到
132千克盐水，如果要使盐水中含盐
8％，要往盐水中加盐还是加水？加多少千克？
1
6、东风水果店上午运进梨和苹果共1020千克，其中梨占水果总数的；下午又
5
2
运进梨若干千克，这时梨占两种水果总数的，下午运进梨多少千克？
5
7、学校里买回四种图书，科技书是文艺书的
史地书是其
余三种书的
1
3
，连环画是其余三种书的，
3
4
1
，史地书比文艺书少80本，买回的四种书共多少本？
4
我的学习收获：
.
我来编题：
第二章 实践与应用（二）
第一讲 特殊工程问题
专题简析：
有些工程问题中，工作效率、工作时间和工作总量三者之间的数量关系很不
明显，这时我们就可以考虑运用一些特殊的思路，如综合转化、整体思考等方法
来解题。
B1、修一条路，甲队每天修8小时，5天完成；乙队每天修10小时，6天完成。
两队合作，
每天工作6小时，几天可以完成？
试一试：
1、 修一条路，甲队每
天修6小时，4天可以完成；乙队每天修8小时，5天可
以完成。现在让甲、乙两队合修，要求2天完成
。每天应修几小时？
2、 一项工作，甲组3人8天能完成，乙组4
人7天能完成。现在由甲组2人和
乙组7人和作，多少天可以完成？
B2、有两个同样的仓库A和B，搬运一个仓库里的货物，甲需要10小时，乙需
要12小时，丙需要15小时。甲和丙在A仓库，乙在B仓库，同时开始搬运。
中途丙又转 向帮助乙搬运。最后，两个仓库同时搬完，丙帮助甲、乙各多少时间？
试一试：
1
1、 师、徒两人加工相同数量的零件，师傅每小时加工自己任务的，徒 弟每小
10
1
时加工自己任务的。师、徒同时开始加工。师傅完成任务后立即帮助徒弟
15
加工，直到完成任务。师傅帮徒弟加工了几小时？
2、 有两个同样的仓库A和B，搬运一个仓库里的货物，甲需要18小时，乙需
要12小时， 丙需要9小时。甲、乙在A仓库，丙在B仓库，同时开始搬运。
中途甲又转向帮助丙搬。最后，两个仓库 同时搬完，甲帮助乙、丙各多少时
间？
3、一件工作，甲独 做要20天完成，乙独做要12天完成。这件工作先由甲做了
若干天，然后由乙继续做完，从开始到完工 共用14天。这件工作由甲先做了多
少天？
试一试： 1、一项工程，甲独做要12天完成，乙独做要4天完成。若甲先做了若干天后，
由乙接着做余下的 工程，直至完成全部任务，这样前后共用了6天，甲先做了多
少天？
2、一项工程，甲队单独做要30天完成，乙队单独做要40天完成。甲队单独做
了若干天后， 由乙队接着做，共用35天完成了任务。甲、乙两队各做了多少天？
A1、甲、乙两人合作加工一批零件，8天可以完成。中途甲因事停工3天，因此，
两人共用了 10天才完成。如果由甲单独加工这批零件，需要多少天才能完成？
试一试：
1、甲、乙两人合作某项工程需要12天。在合作中，甲
因事请假5天，因此共用
了15天才完工。如果全部工程由甲单独去干，需要多少天才能完成？
2、一段布，可以做30件上衣，也可做48条裤子。如果
先做20件上衣后，还可
以做多少条裤子？
A2
、放满一个水池的水，如果同时开放①②③号阀门，15小时可以放满；如果
同时开放①③⑤号阀门，1
0小时可以放满；如果同时开放①③④号阀门，12小
时可以放满；如果同时开放②④⑤号阀门，8小时
可以放满。问：同时开放这五
个阀门几小时可以放满这个水池？
试一试：
1、 完成一件工作，甲、乙两人合作需15小时，乙、丙两人合作需12小时，甲
、
乙两人合作需10小时。甲、乙、丙三人合作需几小时才能完成？
1
1
2、 一项工程，甲干3天、乙干5天可以完成，甲干5天、乙干3天可完成。<
br>3
2
甲、乙合干需几天完成？
【练习】
1、货场上有一堆沙子，如果用3辆卡车4天可以运完，用4辆马车5天可以运完，用20辆小板车6天可以运完。现在用2辆卡车、3辆马车和7辆小板车共
同运两天后，全改用
小板车运，必须两天内运完。问：后两天需要多少辆小板车？
52、甲、乙两人同时加工一批零件，完成任务时，甲做了全部零件的，乙每小
8
时加工12
个零件，甲单独加工这批零件要12小时。这批零件有多少个？
3、一项工程，甲单独做要50天完成，乙单独做要75天完成，现在由甲、乙合
作，中间乙休
息几天，这样共用40天完成。求乙休息的天数。
4、一项工程，甲
、乙合作6小时可以完成，同时开工，中途甲停工了2.5小时，
因此，经过7.5小时才完工。如果这
项工程由甲单独做需要多少小时？
4、一项工程，甲先单独做2天，然后与乙合作7天，这样才完成全
工程的一半。
已知甲、乙工作效率的比是3：2。如果这件工作由乙单独做，需要多少天才能
完
成？
5、完成一件工作，甲、乙两人合作需20小时，乙、丙两人合
作需28小时，丙、
丁两人合作需30小时。甲、丁两人合作需几小时？
6、一项工程，由一、二、三小队合干需18天完成，由二、三、四小队合干需<
br>15天完成，由一、二、四小队合干需12天完成，由一、三、四小队合干需20
天完成。由第一
小队单独干需要多少天？
我的学习收获：
.
我来编题：
.
第二讲 周期工程问题
专题简析：
周期工程问题中，工作时工作人员（或物体）是按一定顺序轮流交替工作的。解答时，首先要弄清一个循环周期的工作量，利用周期性规律，使貌似复杂的问
题迅速地化难为易。
其次要注意最后不满一个周期的部分所需的工作时间，这样
才能正确解答。
B1、
一项工程，甲单独做需要12小时，乙单独做需要18小时。若甲做1小时后
乙接替甲做1小时，再由甲
接替乙做1小时……两人如此交替工作，问完成任务
时需共用多少小时？
试一试：
1、 一项工程，甲单独做需要6小时完成，乙单独做需要10小时完成。如果按
甲、乙；甲、
乙……的顺序交替工作，，每次1小时，需要多少小时才能完成？
2、 一部书稿，甲单独打字要14
小时，乙单独打字要20小时，如果先由甲打1
小时，然后由乙接替甲打1小时；再由甲接替乙打1小时
……两人如此交替
工作，打完这部书稿共需要多少小时？
3、 一项工作，甲单独完成要9小
时，乙单独完成要12小时。如果按照甲、乙；
2
甲、乙……的顺序轮流工作，每人每次工作1
小时，完成这项工程的共要
3
多少时间？
2
B2、一项工程，甲
、乙合作26天完成。如果第一天甲做，第二天乙做，这样
3
交替轮流做，恰好用整数天完成。
如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流
做，比上次轮流做要多半天才能完成。这项工程由甲单独做
要多少天才能完成？
试一试：
1、 一项工程，乙单独做20天可以完成。如果
第一天甲做，第二天乙做，这样
轮流交替做，也恰好用整数天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，这样
交
替轮流做，比上次轮流做要多半天才能完成。这项工程由甲独做几天可以完
成？
2
、一项工程，甲单独做6天可以完成。如果第一天甲做，第二天乙做，这样轮
流交替做，恰好也用整数天
完成。如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流
1
做，比上次轮流做要多天才能完成。这项
工程由甲、乙合作几天可以完成？
3
3
3、一项工程，甲、乙合作12天可以完成。
如果第一小时甲做，第二小时乙做，
5
这样交替轮流做，恰好用整数小时完成。如果第一小时乙
做，第二小时甲做，这
1
样交替轮流做，比上次轮流做要多用小时。这项工程由甲单独做需要几
小时完
3
成？
4、蓄水池有一根进水管和一根排水管。单开进水管5小时灌满一池水
，单开排
水管3小时排完一池水。现在池内有半池水，如果按进水、排水；进水、排水…
…
的顺序轮流依次各开1小时，多少小时后水池的水刚好排完？
B3、一批零件，
如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做，恰好用整数天
数完成。如果第一天乙做，第二天甲做，
这样交替轮流做，做到上次轮流完成时
所用的天数后，还剩60个不能完成。已知甲、乙工作效率的比是
5：3。甲、乙
每天各做多少个？
试一试：
1、 一批零件如果第一天
师傅做，第二天徒弟做，这样交替轮流做，恰好用整数
天完成。如果第一天由徒弟做，第二天由师傅做，
这样交替轮流做，做到上
次轮流完成时所用的天数后，还剩84个不能完成。已知师、徒工作效率的比<
br>是7：4。师、徒二人每天各做多少个？
2、 一项工程，如果第一天甲做，第二天乙做，这样
交替轮流做，恰好用整数天
2
数完成。如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做要多天才
能完成。
5
5
如果让甲、乙二人同时合作，只需2天就可以完成。现在，由乙独做需要
8
几天才能完成？
3、 红星机械厂有1080个零件需要加工。如果第一小时让师
傅做，第二小时让
徒弟做，这样交替轮流，恰好整数小时可以完成。如果第一小时让徒弟做，
第
二小时让师傅做，这样交替轮流，做到上次轮流完成时所用的天数后，还
剩60个不能完成。如果让师、
徒二人同时合作，只需3小时36分就能完成。
师、徒每小时各能做多少个？
A1
、打印一部稿件，甲单独打要12小时完成，乙单独打要15小时完成。现在，
甲、乙两人轮流工作。甲
工作1小时，乙工作2小时；甲工作2小时，乙工作1
小时；甲工作1小时，乙工作2小时……如此交替
下去，打印这部稿件共要多少
小时？
试一试：
1、 一个水池安装了甲
、乙两根进水管。单独开甲管，24分钟能把空池灌满；单
开乙管，18分钟能把空池灌满。现在，甲、
乙两管轮流开放，按照甲1分钟、
乙2分钟，甲2分钟，乙1分钟，甲1分钟，乙2分钟……如此交替下
去，
灌满一池水共需多少分钟？
2、 一件工作，甲单独做，需12小时完成，乙单独打要1
5小时完成。现在，甲、
乙两人轮流工作。甲工作2小时，乙工作1小时；甲工作1小时，乙工作2小时；甲工作2小时，乙工作1小时……如此交替下去，完成这件工作共要
多少小时？
3、 一项工程，甲单独做要50天完工，乙单独做要60天完工。现在，自某年的
3月2日两
人一起开工，甲每工作3天则休息1天，乙每工作5天则休息一
52
天。完成全部工程的为几月
几日？
75
4、 一项工程，甲工程队单独做完要150天，乙工程队单独做需180天。两
队合
作时，甲队做5天
，休息2天。乙队做6天，休息1天。完成这项工程要多
少天？
A2、有一项工程
，由甲、乙、丙三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序
轮做，恰好整数天完成。如果按乙、丙、
甲次序轮做，比原计划多用0.5；如果
1
按丙、甲、乙次序轮做，比原计划多用天。已知甲单
独做13天完成，且3个
3
工程队的工效各不相同。这项工程由甲、乙、丙合作要多少天完工？
试一试：
1、 有一项工程，由三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮
做，恰好
1
用整数天完成。如果按乙、丙、甲次序轮做，比原计划多用天完成；如果
3
1
按丙、甲、乙次序轮做，比原计划多用天完成。已知甲单独做7天完成，
4
且三个工程队的工效各不相同。这项工程由甲、乙、丙三队合作要几天完成？
2、 有一项工程，由三
个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮做，恰好
1
用整数天完成。如果按乙、丙、甲次
序轮做，比原计划多用天完成；如果
2
1
按丙、甲、乙次序轮做，也比原计划多用天完
成。已知甲单独做10天完成，
2
且三个工程队的工效各不相同。这项工程由甲、乙、丙三队合
作要多少天可
以完成？
3、 有一项工程，由甲、乙、丙三个工程队每天轮做。原计划按甲、
乙、丙次序
1
轮做，恰好用整数天完工。如果按乙、丙、甲次序轮做，比原计划多用天
2
1
完成；如果按丙、甲、乙次序轮做，比原计划多用天完成。已知这项工程
3
7
由甲、乙、丙三个工程队同时合作，需13天可以完成，且三个工程队的工
9
效各
不相同。这项工程由甲单独做需要几天才能完成？
4、 蓄水池装有甲、丙两根进水管和乙、丁两根排
水管。要注满一池水，单开甲
管需要3小时，单开丙管需要5小时。要排光一池水，单开乙管要4小时，
1
单开丁管要6小时。现知池内有池水，如果按甲、乙、丙、丁，甲、乙、
6
丙、丁……的顺序轮流各开1小时，多长时间后水开始溢出水池？
我的学习收获：
.
我来编题：
.
第三讲 用组合法解工程问题
用“组合法”解工程问题
【专题简析】
在解答工程问题时，如果对题目提供的条件孤
立、分散、静止地看，则难以
找到明确的解题途径。若用“组合法”把具体相依关系的数学信息进行恰当
组合，
使之成为一个新的基本单位，便会使隐蔽的数量关系立刻明朗化，从而顺利找到
解题途径
。
【B1】 加工一批零件，甲单独做要12小时，乙单独做要10小时，丙单独做要15小时。如果要求这批零件在8小时以内做完，应该怎么办？请你设计一个方
案，并说说需要几小
时？
【试一试】：
1、修一条水渠，甲工程队单独修20天完成，乙工程队单独
修15天完成，丙工
程队单独修30天完成。若要在13天内完成任务，应该怎么办？
2、修一条路，甲队单独修8天完成，乙队单独修10天完成，丙队单独修12天
完成。若要在6天内完成，应该怎么办？
【B2】 一项工
程，甲、乙两人合作，36天完成，乙、丙两人合作，45天完成，
甲、丙两人合作，60天完成。甲、
乙、丙独做，各需多少天完成？
【试一试】：
1、一项工
程，甲、乙两队合作需12天完成，乙、丙两队合作需15天完成，甲、
丙两队合作需20天完成。如果
甲、乙丙三队合作，需几天完成？
2、放满一个水池的水， 若同时打开1，2，3号阀门则20分钟可以完成；若同
时打开2，
3，4号阀门，则21分钟可以完成；若同时打开1，3，4号阀门，
则28分钟可以完成；若同时打开
1，2，4号阀门，则30分钟可以完成。若
同时打开1，2，3，4号阀门，则多少分钟可以完成？
【B3】
单独完成一项工程，甲可比规定时间提前2天完成，乙则要超过规定时
间3天才能完成。如果甲、乙 两
人合作2天后，剩下的由乙单独做，那么刚好
在规定时间完成。这项工程如果甲、乙两人合作需多少天完
成？
【试一试】：
1、一项工程，如果由甲单独做，正好在计划规定
的时间完成，如果由乙单独做，
要超过规定的时间5天才能完成。如果先由甲、乙合作3天后，其余的再
由
乙单独做，正好也在计划规定的时间完成。完成这项工程计划用多少天？
2、一项任务，甲按规定时间可提前3天完成，乙则要超过规定时间5天才能完
成。
现在甲、乙两人合作3天后，剩下的由乙继续做，则正好在规定日期内
完成。若由甲单独做完成这项任务
要几天？
【A1】 一项工作，甲、乙、丙三人合作6小
时可以完成。如果甲工作6小时后，
2
乙、丙合作2小时，可以完成这项工作的；如果甲、乙
合作3小时后，丙做
3
2
6小时，也可以完成这项工作的。如果由甲、丙合作，需几小
时完成？
3
【试一试】：
1、一项工作，甲、乙
、丙三人合作，4小时可以完成。如果甲做4小时后，乙、
13
丙合作2小时，可以完成这项工
作的；如果甲、乙合作2小时后，丙再做
18
11
4小时，可以完成这项工作的。这项
工作如果由甲、丙合作需几小时完成？
18
2、一项工程，甲、乙合作6天可以完成，乙、丙合作10天可以完成。现在先由
甲、乙、丙合作3天后
，余下的乙再做6天则可以完成。乙独做这项工程要
几天就可以完成？
【A2】一条公路，甲队独修24天可以完成，乙队独修30天可以完成。先由甲、
乙两队合修4天，
再由丙队参加一起修7天后全部完成。如果由甲、乙、丙三
队同时开工修这条公路，几天可以完成？
试一试：
1、一件工作，
甲单独做12小时完成。现在甲、乙合作4小时后，乙又用6小时
才完成。这件工作始终由甲、乙合作几
小时可以完成？
2、一条水渠，甲队独挖120天完成，乙队独挖4
0天完成。现在两队合挖8天，
剩下的由丙队加入一起挖，又用12天挖完。这条水渠由丙队单独挖，多
少天
可以完成？
【练习】
1、一项工
程，甲队独做60天完成，乙队独做30天完成，丙队独做20天完成。
若要在15天内完成，应该怎么
办？
2、某工程有一、二、三小队合干，需要8天完成；由二、三、四小队合干
，需
要10天完成；由一、四小队合干，需15天完成。如果按一、二、三、四、一、
二、三、
四……的顺序。每个小队干一天地轮流干，那么工程由哪个队最后完成？
3、一
项工程，甲、乙、丙三人合作需13天完成。如果丙休息2天，乙就要多做
4天，或者由甲、乙两人多合
作1天。这项工程由甲单独做需多少天完成？
4、一
项工程，甲、乙两队合作10天完成，乙、丙两队合作8天完成。现在甲、
1
乙、丙三队合作4
天后，余下的工程由乙队独做
5
天完成。乙队单独做这项工
2
程需多少天可以
完成？
5、一件工作，甲、乙合作4小时完成，乙、丙合作5小时完成。现在由甲、丙
合作2
小时后，余下的工作乙6小时完成。乙独做这件工作需几小时才能完成？
5、一
件工作，甲、乙合作6天可以完成，乙、丙合作10天可以完成。如果甲、
丙合作3天后，由乙单独做，
还要9天才能完成。如果全部工作由3人合作，需
几天可以完成？
<
br>6、一项工程，甲、乙两队合作30天完成，甲队单独做24天后，乙队加入，两
队又合作了12
天。这时甲队调走，乙队又继续做了15天才完成。甲队独做这项
工程需要多少天？
我的学习收获：
.
我来编题：
.
第十一讲 简单的工程问题
准备题：修建
一条长1200米的公路，甲队需要30天，乙队需要40天，如
果两队合修需要多少天？
在日常生活中，做某一件事，制
造某种产品，完成某项任务，完成某项工程
等等，都要涉及到工作量、工作效率、工作时间这三个量，它
们之间的基本数量
关系是：工作效率×工作时间=工作总量（由此还可以变化为工作时间=工作总量÷工作效率，工作效率=工作总量÷工作时间），在小学数学中，探讨这三个数量
之间关系的应用题
，我们都叫做“工程问题”。
工程问题中的本质关系为：工作效率×工作时间=工作总量。分数工程问
题
的特点，常常不给出具体的工作总量，我们把全部工程看作单位“1”，这样，
工作效率=1
工作时间，然后再根据工总、工效和工时这三个量的关系解题。
一、基本方法
例1、加工一批零件，甲单独做6小时完成，乙单独做9小时完成。
（1）甲、乙合做，每小时完成这批零件的几分之几？
（2）合做3小时完成这批零件的几分之几？
（3）合做3小时后完成剩下零件两人合作还需要多少小时？
（4）如果合做2小时后，剩下的由甲单独做还需要多少小时做完？
练一练：现在打一份文稿，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成.现在甲先做<
br>了3天，余下的工作由甲、乙合作完成，还需要做几天可以完成全部工作？
例2、两列火车同时从甲、乙两地相向而行，货车从甲地开
往乙地需要10小时，
客车从乙地开往甲地需要8小时，现货车先行2小时后，客车才出
发，求客车出
发后多少小时两车相遇？
分析；没有告诉我们甲、乙两地的路程，我们把甲、乙
两地路程看做单位“1”，
速度用1时间来表示。求相遇时间，相遇时间=相隔路程÷速度和。
例3、一个水池有两个进水管，一个出水管。单
开甲管12小时可把空池注满，
单开乙管20小时可把空池注满，单开丙管15小时可把满池水放空，三
管同开，
多少小时把空池注满水？
分析：注意本题是两个进水管，一个出水管，进水管来灌水，出水管来放水。
例4、水池上装有甲、乙两个大小不同的水龙头，单开甲龙头60分钟
可注满水
池，现在两个水龙头同时注水，20分钟可注满水池的12，如果单开乙龙头需要
多长
时间注满水池？
分析：根据条件可以求出甲、乙两水龙头的工效和，再根据甲龙头的工效，就可以求出乙龙头的工效了。进而求出乙龙头的工作时间。
二、能力拓展
例5、一项工程，先由甲、乙合做5天完成了全部工程的
13，再由乙单独做
了2天完成了全部工程的130 ，然后由乙、丙二人合做19天完成余下的工程。
如果这项工程由甲、乙、丙三人合做，需要多少天完成？
例6、一项工程，甲队独做需要45天完成，乙队独做需要60天完成，现在甲、
乙
两队合作，中途乙队因事调走，这样完成全部工程共用了30 天，求乙队工作
了几天？
分析：这项工程，我们可以看成甲队做了一部分，乙队也做了一部分。
例7、某项工程，甲、乙两队合
做，30天可以完成。今两队合做12天后，剩下
的由甲队独做，经过24天才完成。问：乙队独做全部
工程需几天完成？
分析：根据条件可以求出两队工效和。
例8、加工一批零件，甲独做20天完成，乙独做每天完成这件零件的
130，
现在两人合作完成这批零件，甲中途休息了2.5天，乙也休息了几天，这样用了
15
天才全部完成，求乙休息了几天？
分析：乙休息的天数可能2.5天多或少或同样多。解题方法多样：
按前面例
题的思路，可用方程的方法，或假设方法。
练习：
一、基本题：
1、修一栋楼房，甲公司单独做5个月完成，乙公司单独做6个月完成。
（1）合做2个月完成这栋楼房的几分之几？
（2）如果合做2个月后，剩下的由甲公司做还需要多少个月做完？
2、一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成。现在两队合作，
多
少天可以完成？
3、一件工作，甲做9天可以完成，乙做
6天可以完成.现在甲先做了3天，余下
的工作由乙继续完成.乙需要做几天可以完成全
部工作？
4、做一批零件，甲单独
做12天完成，乙单独做16天完成，现在两人合作4天
后，余下的由乙独做多少天可以完成？
5、一个水池上装有一根进水管和一根出水管，单开一根进
水管30分钟可以将水
池注满，单开一根出水管45分钟可以将一池水放完。现在水池有12的水，两<
br>管齐开，多少分钟水池可以把水池灌满？
6、一只
大雁从甲地飞向乙地需要10天，一只野鸭从乙地飞向甲地需要12天，
现野鸭先飞了3天后，大雁才出
发，求大雁出发后多少天大雁和野鸭相遇？
7、一项工程
，甲队单独做5天完成；乙队单独做6天完成，甲、乙两队合做2
天后，甲队因事调走，余下的部分由乙
队单独做完，还需要多少天完成？
二、综合题
8、做一批零件，甲、乙两人合做12天完成，现在甲、乙合做4天后，余下的乙
独做20天可以完成。
如果甲单独完成这批零件要用多少天？
9、有一项工程
，甲队独做40天可完成，乙队独做60天可完成，现在已知两队
合做这项工程，但中间甲队因另有任务
调走几天，所以经过27天才完成全部工
作，甲队离开了几天？
10、一件工程，甲5小时先完成了14，乙接着用9小时又完成
了剩下任务的一
半，最后余下的部分由甲、乙合作，还需要多少小时才能完成？
11、一项工程，先由甲做10天完成了全部工程的16；
再由乙做5天完成了全
部工程的14；然后由丙做2天完成了全部工程的115。最后甲、乙、丙合做余
下的工程，还要几天可以完成？
第十二讲 简单的百分数应用题（一）
百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫
做百分数。百分数也叫做
百分率或百分比。百分数在生活中大量地运用。如出生率、利息、利润等。
一
般地，我们可以把百分数应用题看作分数应用题来解答。
一、一般百分数应用题
例1、东风化肥厂去年计划生产化肥60万吨，实际生产了72万吨。实际产量比
计划超过百分之几？
例2、商店卖一种袖珍收音机,
现在按八折出售，每台是14.4元,这种收音机原
价每台多少元?
例3、有甲、乙两个仓库，甲仓库存粮的23正好是乙仓库存粮的60
%，已知乙
仓库存粮1500吨，甲仓库存粮多少吨？
例4、工程队挖一条水渠，每天挖1.4千米，10天挖了全长的70%，还剩多
少千
米没有挖？
例5、学校去年春季植树500棵，成活率为85％，去年秋季植树的成活率为90％。已知去年春季比秋季多死了20棵树，那么去年秋季学校共种多少棵树？
分析：成活率是指成活的
棵数占全部棵数的百分之几。根据去年春季成活率
85％，可以求出成活棵数和死了的棵数。进而求出死
了的棵数，再根据去年秋季
植树的成活率90％，求出去年秋季种的树。
例6、纺织厂的女工占全厂人数的80％，一车间的男工占
全厂男工的25％。问：
一车间的男工占全厂人数的百分之几？
分析：没有告诉我们具体的数
量，而且求的也是一个不具体的数量百分比，
这样，我们可以采用设参数的方法。
二、特殊的百分数应用题——利润问题
在这类问题中，特别的在于，它涉及两个量的相乘，一
是商品的单价，另一
个是销售量。我们要同时把握这两个量的变化：总价=单价×数量
利润：
一般地，商店购进货物的钱叫成本（或购入价）。卖出去的钱叫售价（或
卖出价）。售价与成本的差叫利
润。利润与成本的比叫利润率。
售价=成本+利润=成本+成本×利润率=成本×（1+利润率）
利润=售价—成本
例7、某商店进货的批发价为50元一袋，规定零售价为70元一袋，求商
品的利
润率是多少？
例8、商店从某供货商以每台1200元，购进了50台空调。该商店以20%的利润
率来定价，空调的定价是多少？如果全部按这个价卖出，商店共获利多少元？
例9、商场以400元的成本购进一见商品，该商店准备以50%的利
润率来定价，
但因为价高，没有人购买，只好打75折优惠，问现在这件商品卖多少元？
练习
1、曙光面粉厂
①5000千克小麦可以出面粉4000千克，面粉的出粉率是多少？
②面粉的出粉率是80％，4000千克小麦可以出面粉多少千克？
③面粉的出粉率是80％，加工3200千克面粉需要多少千克小麦？
2、把20克盐溶解在80克水中，盐占盐水的百分之几？
3、一家大型超级市场,一月份的营业额是
5000万元,如果按营业额的5%缴纳营
业税后,还剩余多少万元？
4、甲数比乙数多20%，乙数比甲数少百分之几？
5、某化肥厂第一季度生产化肥2400吨，完成了全年任务的
25%，他们准备在第
二季度完成全年任务的 30%，那么第二季度应生产化肥多少吨？
6、运送一批树苗，已运了总数的6
2.5％，未运的比已运的少420棵，这批树苗
总数多少棵？
7、某商场以每套64元的价格，购进童装100套，全部
销售完后，共得10000
元，求商场销售这些童装的利润率。
8、中国书店收购一本旧书,
原价12元．收购时按八折作价,
然后又按比收购价
多5%的价钱售出．书店售出这本书的价钱是多少元?
9、在某校学生中，男生人数占
全校人数的60％，女生人数占全校的40％，那么，
男生人数比女生多百分之几？
10、采煤队三月份上半月完成月计
划的60％，下半月完成月计划的65％，这个
月实际采煤2.5万吨，这个月超过月计划多少万吨？
11、一家服装店出售两
种春装，一种是新式样，每件卖240元，可赚20%，另一
种样式过时，是处理品赔本20%，每件售
价也是240元，问：两种春装各出售一
件，是赔还是赚？赔（或赚）多少？
12、某校绿
化校园植了水杉，柏树、梧桐三种树，其中种植水杉的棵数为总数的
40%，柏树的棵数是水杉的78，
其余的是梧桐树。已知水杉比梧桐多144棵，
水杉是多少棵？
单元练习（三）
第三章 实践与应用（三）
第一讲
假设法解题（一）
第10周 假设法解题（一）
【专题简析】
假设法解题的思
考方法是先通过假设来改变题目的条件，然后再和已知条件
配合推算。有些题目用假设法思考，能找到巧
妙的解答思路。
运用假设法时，可以假设数量增加或减少，从而与已知条件产生联系；也可
以
假设某个量的分率与另一个量的分率一样，再根据乘法分配律求出这个分率对
应的和，最后根据它与实际
条件的矛盾来求解。
【B1】一批零件，甲单独做8天完成，乙独做10天完成，现在由两
人合作
这批零件，中途甲因事请假一天，完成这批零件共用多少天？
【试一试】：
1、 一件工作，甲独做15天完成，乙独做10天完成，两队合作若干天后<
br>甲休息了几天，结果共用8天才完成了任务。甲休息了几天？
2、 一项工程，甲、乙两人合作
12天可以完成。中途甲因事停工5天，
因此用了15天完成。甲独做这项工程要用多少天？
3、 一项工程，甲、乙合作4天后，再由乙单独做5天完成，已知甲比乙
1
每天多完
成这项工程的
30
。甲、乙单独做这项工程各需多少天？
1
【B2】 彩色电视机和黑白电视机共250台，如果彩色电视机卖出
9
，则比
黑白电视机多5台。问：两种电视机原来各有多少台？
【试一试】： <
br>1
1、姐妹俩养兔120只，如果姐姐卖掉
7
，还比妹妹多10只，姐姐和妹妹
各
养了多少只兔？
1
2、学校有篮球和足球共21个，篮球借出
3
后，比足球少1个，原来篮球和
足球各有多少个？
1
3、小明家养的鸡和鸭共有10
0只，如果将鸡卖掉
20
，还比鸭多17只，小
明家原来养的鸡和鸭各有多少只？
【B3】 某公司向银行申请A、B两种贷款共60万元，每年共需付利息5万
元
。A种贷款年利率为8%，B种贷款年利率为9%，该公司申请了A种贷款多
少万元？
【试一试】：
1、 二年级两个班共有学生90人，其中少先队员71人。一班少先队员占本
5
班人数的75%，二班少先队员占本班人数的
6
，一班少先
队员比二班少
先队员多几人？
1
2、 甲、乙两个容器共有药水2000克。从甲容
器里取出
3
的药水，从乙容器
1
里取出
4
的药水，结果两个
容器里共剩下1400克药水。甲、乙两个容
器里原来各有药水多少克？
3、 有两堆棋子，
A堆有白子500个和黑子350个，B堆有白子100个和黑
子400个。为了使A堆中黑子占50%
，B堆中黑子占75%，要从B堆中拿
到A堆的黑、白子各为多少个？
21
【A1】 甲、乙两数的和是300，甲数的
5
比乙数的
4<
br>多55，甲、乙两数各
是多少？
【试一试】：
21
1、
畜牧场有绵羊、山羊共800只，山羊的
5
比绵羊的
2
多50只，这个畜牧<
br>场有山羊、绵羊各多少只？
5
2、 师傅和徒弟共加工零件840个，师傅加工零件个
数的
8
比徒弟加工零件
2
的
3
多60个，师傅和徒弟各加工
零件多少个？
1
1
3、 某校六年级甲、乙两个班共种100棵树，乙班种的
10
比甲班种的
3
少16
棵，两个班各种多少棵？
1
1
【A2】 育红小学上学期共有750人，本学期男学生增加
6
，女学生减少
5
，
共有710人，本学期男、女学生各有多少人？
【试一试】：
3
2
1、袋子里原有红球和黄球共119个。将红球增加8
，黄球减少
5
后，红球
与黄球的总数变为121个。原来袋子里有红球
和黄球各多少个？
11
2、金放在水里称，重量减轻
19
，银放在水里称，
重量减少
10
，一块重770
克的金银合金，放在水里称是720可，这块合金含金、
银各多少克？
某中学去年共招新生475人，今年共招新生640人，其中初中招的新生比去
年增加48%，高中招的新生比去年增加20%，今年初、高中各招收新生多少人？
我的学习收获：
.
我来编题：
.
第二讲 假设法解题（二）
【专题简析】
已知甲是乙的几分之几，又知甲与乙各改变一定的数量后两者之间新的
倍数关系，要求甲、乙两个数是多少，这样的应用题称为变倍问题。
应用题中的变倍问题，有两
数同增、两数同减、一增一减等各种情况。
虽然其中的数量关系比较复杂，但解答时的关键仍是确定哪个
量为单位“1”，
然后通过假设，找出变化前后的相差数相当于单位“1”的几分之几，从而
求
出单位“1”的量，其他要求的量就迎刃而解。
【B1】 水果店里西瓜个数与白兰瓜个
数的比为7：5。如果每天卖白兰瓜
40个，西瓜50个，若干天后，白兰瓜正好卖完，西瓜还剩36个
。水果店里
原有西瓜多少个？
【试一试】：
1、红星幼儿园里白皮球的
个数与红皮球的个数的比是3：5，给每个班发4
个白皮球和10个红皮球，结果发现红皮球刚好发完，
还多18个白皮球。
红星幼儿园有多少个班？
1
2、食堂里面粉的重量是大米的2
，每天吃去30吨面粉，45吨大米。若干天
后，面粉正好吃完，大米还有150吨，食
堂里原有面粉多少吨？
1
3、师徒两人加工一批零件，师傅的任务比徒弟多
5
，徒弟每天做7个，师
傅每天做12个，若干天后，师傅正好完成了任务，徒弟还有30个没做。这批零件共有多少个？
【B2】 王明平时积蓄下来的零花钱比陈刚
的3倍多6.40元，若两人各买
了一本4.40元的故事书后，王明的钱就是陈刚的8倍，陈刚原来有
零花钱
多少元？
【试一试】：
1、甲书架上的书比乙书架上的3倍多5
0本，若甲、乙两个书架上各增加150
本，则甲书架上的书是乙书架上的2倍，甲、乙两个书架原来各
有多少
本书？
2、上学年，马村中学的学生比牛庄小学的学生的2倍多54人，本学年马村<
br>中学增加了20人，牛庄小学减少了8人，则马村中学的学生比牛庄小学
的学生的4倍少26人，
上学年马村中学和牛庄小学各有学生多少人？
3、箱子里有红、白两种玻璃球，红球比白球的3倍多2粒，每次从箱子里
取出
1
【B3】 小红的彩笔枝数是小刚的
2
，两人各买5枝后，小红的彩笔枝
数是
2
小刚的
3
，两人原来各有彩笔多少枝？
【试一试】：
11
1、小华今年的年龄是爸爸年龄的
6
，4年后小
华的年龄是爸爸的
4
，求小华
和爸爸今年的年龄各是多少岁？
3
1
2、小红今年的年龄是妈妈的
8
，10年后小红的年龄是妈妈的
2
，
小红今年
多少岁？
5
3、甲书架上的书是乙书架上的
7
，甲、乙两
个书架上各增加90本书后，甲
4
书架上的书是乙书架上的
5
，甲、乙两个书
架上原来各有多少本书？
4
【A1】 王芳原有的图书本数是李卫的
5<
br>，两人各捐给“希望工程”10本后，
7
则王芳图书的本数是李卫的
10
，两人原来各有图书多少本？
【试一试】：
4
1、甲书架上的书是乙
书架上的
5
，从这两个书架上各借出112本后，甲书
4
架上的书是乙书架上
的
7
，原来甲、乙两个书架上各有多少本书？
6
4
2、小明今年的
年龄是爸爸的
11
，10年前小明的年龄是爸爸的
9
，小明和爸
爸今年各多少岁？
1
3、甲车间的工人是乙车间的
4
，从甲、乙
两个车间各抽出30人后，甲车间
1
的工人只占乙车间的
6
，甲、乙两个车间
原来各有多少名工人？
2
【A2】 某校六年级男生人数是女生的
3，后来转进2名男生，转走3名女
3
生，这时男生人数是女生的
4
，现在
男、女生各有多少人？
【试一试】：
2
1、甲车间的工人是乙车间的<
br>5
，后来甲车间增加20人，乙车间减少35人，
7
这样甲车间的人数是乙车间
的
9
，现在甲、乙两个车间各有多少人？
2
2、有一堆围棋子，黑子是白子
的
3
，现在取走12粒黑子，添上18粒白子
5
后黑子是白子的
12
，现在白子、黑子各有多少粒？
爱华小学和曙光小学的同学参加小学数学竞赛，去年的比赛中
，爱华小学得
一等奖的人数是曙光小学的2.5倍。今年的比赛中，爱华小学得一等奖的人数减
少了1人，曙光小学增加了6人，这时曙光小学得一等奖的人数是爱华小学的2
倍。两校去年得一等奖的
同学各有多少人？
我的学习收获：
.
我来编题：
.
第三讲 倒推法解题
【专题简析】
有些应用题如果按照一般方法，顺着题目的条件一步一步地列出算式求
解
，过程比较繁琐。所以，解题时，我们可以从最后的结果出发，运用加与
减、乘与除之间的互逆关系，从
后到前一步一步地推算，这种思考问题的方
法叫倒推法。
1
【B1】 筑
路队修一段路，第一天修了全长的又100米，第二天修了余下
5
2
的，还剩500米
，这段公路全长多少米？
7
【试一试】：
1
2
1、一
堆煤，上午运走，下午运的比余下的还多6吨，最后剩下14吨还
3
7
没有运走，这堆
煤原有多少吨？
1
2、用拖拉机耕一块地，第一天耕了这块地的又2公顷，第二天耕的比余<
br>3
1
下的多3公顷，还剩下35公顷，这块地共有多少公顷？
2
1<
br>1
3、一批水泥，第一天用去了多1吨，第二天用去了余下的少2吨，还
3
2<
br>剩下16吨，原来这批水泥有多少吨？
【B2】 王大伯屋后有一棵桃树，他调皮的
孙子每天从树上摘下一些桃子和
1
邻居的小伙伴分着吃。第一天摘下桃子总个数的，以后8天分
别摘下当
10
11
1
1
1
天树上现有桃子的，，，……，，
，摘了9天，树上还留下10
98
7
3
2
个桃子。树上原来有多少个
桃子？
【试一试】：
1、把一根绳子对剪开，在取其中一段对半剪开，这样剪了四次，剩下
的正好是
1米。这根绳子原长多少米？
2、《九章算术》中有一道题：“今有人持米出三关，
关外三而取一，中关五而取
一，内关七而取一，余米五斗。问持米几何？”题意思是：有人背米过关卡，
经
11
过关外时，用全部米的纳税，过中关时用所余的纳税，经过内关时用再余的
35
1
纳税，最后还剩下5斗米。这个人原来背多少斗米出关？
7
11
3、仓库里存粮若干吨，第一次运出总数的又4吨，第二次运出余下的又3
22
1
吨，
第三次运出余下的又5吨，最后还剩下12吨。这个仓库原有粮食多少吨？
2
11
B3、有甲、乙两桶油，从甲桶中倒出给乙桶后，又从乙桶中倒出给甲桶，这
35
时两桶油各有24千克，原来甲、乙两个桶中各有多少千克油？
【试一试】： <
br>1
1
1、小华拿出自己画片的给小强，小强再从自己现有的画片中拿出给小华，
5
4
这时两人各有画片12张，原来两人各有画片多少张？
1
1
2
、甲、乙两人各有人民币若干元，甲拿出给乙后，乙又拿出给甲，这时他
54
们各有90元，他
们原来各有多少元？
15
3、一瓶酒精，第一次倒出，然后倒回瓶中40克，第二次再倒出瓶
中酒精的，
39
第三次倒出180克，瓶中还剩下60克，原来瓶中有多少千克酒精？
A1、甲、乙、丙三人共有人民币168元，第一次甲拿出与乙相同的钱数给乙，第
二次乙拿出与丙相同的钱数给丙，第三次丙拿出与这时甲相同的钱数给甲。这样，
甲、乙、丙三人的钱数
相等，原来甲比乙多多少元钱？
【试一试】：
1、甲、乙、丙三个班共有学生1
44人，先从甲班调出与乙班相同的人数给乙班，
再从乙班调出与丙班相同人数到丙班。再从丙班调出与
这时甲班相同的人数给甲
班，这样，甲、乙、丙三个班人数相等。原来甲班比乙班多多少人？
2、甲、乙、丙三个盒子各有若干个小球，从甲盒内拿出4个放入乙盒，再从乙
盒内拿出8个放入丙盒后
，三个盒子内的小球个数相等。原来乙盒比丙盒多几个
球？
3、甲、乙、丙三个仓库面粉袋数
的比是6：9：5，如果从乙仓拿出400袋平均
分给甲、丙两仓，则甲、乙两个仓库的数量相等。这三
个仓库共存面粉多少袋？
1
【A2】 甲、乙两个仓库各有粮食若干吨，从甲仓
库运出到乙仓库后，又从乙
4
1
仓库运出到甲仓库，这时甲、乙两仓库的粮食储量相等
。原来甲仓库的粮食是
4
乙仓库的几分之几？
【试一试】：
1
1
、甲、乙两个仓库各有粮食若干吨，从甲仓库运出到乙仓库后，又从乙仓库
3
1
运出到
甲仓库，这时甲、乙两仓库的粮食存量相等。原来甲仓库的粮食是乙仓
3
库的几分之几？ 1
2、甲、乙两个仓库各有粮食若干吨，从甲仓库运出到乙仓库后，又从乙仓库
5
1
运出到甲仓库，这时甲、乙两仓库的粮食存量相等。原来甲仓库的粮食是乙仓
4
库的几分之几？
1
3、甲、乙两个仓库各有粮食若干吨，从甲仓库运出到乙仓库后
，又从乙
3
29
仓库运出到甲仓库，这时乙仓库的粮食是甲仓库的，原来甲仓库的粮食
是
510
乙仓库的几分之几？
我的学习收获：
.
我来编题：
.
第四讲 代数法解题
专题简析：
有一些数量关系比较复杂的分数应用题，用算术方法解答比较繁、难，甚至
无法列出算式，这时我们可根据题中的等量关系列方程解答。
B1、某车间生产甲、乙两
种零件，生产的甲种零件比乙种零件多12个，乙种零
4
件全部合格，甲种零件只有合格，两种
零件合格的共有42个，两种零件各生
5
产了多少个？
试一试：
3
1、某校参加数学竞赛的女生比男生多28人，男生全部得优，女生的得优，男、
4
女生得优
的一共有42人，男、女生参赛的各有多少人？
2
2、有两盒球，第一盒比第二盒多15只，
第二盒中全部是红球，第一盒中是红
5
球，已知红球一共有69个，两盒球共有多少个？
1
1
3、六年级甲班比乙班少4人，甲班有的人、乙班有的人参加了课外数
学组，
3
4
两个班参加课外数学组的共有29人，甲、乙两班共有多少人？
11
B2、阅览室看书的学生中，男生比女生多10人，后来男生减少，女生减少，
4
6
剩下的男、女生人数相等，原来一共有多少名学生在阅览室看书？
1、某小学去
年参加无线电小组的同学比参加航模小组的同学多5人。今年参加
1
1
无线电小组的同
学减少，参加航模小组的人数减少，这样，两个组的同
5
10
学一样多。去年两个小组
各有多少人？
5
2、原来甲、乙两个书架上共有图书900本，将甲书架上的书增加，乙书架
上
8
3
的书增加，这样，两个书架上的书就一样多。原来甲、乙两个书架上各有
10
图书多少本？
3、某车间昨天生产的甲种零件比乙种零件多700个。今天生产的甲种
零件比昨
3
1
天少，生产的乙种零件比昨天增加，两种零件共生产了2065个。昨天
20
10
两种零件共生产了多少个？
1
1
B3
、甲、乙两校共有22人参加竞赛，甲校参加人数的比乙校参加人数的少
5
4
1人，甲
、乙两校各有多少人参加？
试一试：
12
1、
学校图书馆买
来文艺书和连环画共126本，文艺书的比连环画的少7本，
69
图书馆买来的文艺书和连环画
各是多少本？
24
2、
学校有学生465人，其中女生的比男生的少20人，男女生各多少人？
35
1
1
3、
王师傅和李师傅共加工零件62个，王师傅加工零件
个数的比李师傅的少
5
4
2个，两人各加工零件多少个？
11
A1、现在弟弟的年龄恰好是哥哥年龄的，而九年前弟弟年龄只是哥哥的，今
5
2
年哥哥多少岁？
试一试：
15
1、今年小红的年龄是爸爸年
龄的，4年后，小红的年龄是爸爸年龄的，小
416
红、爸爸今年各多少岁？
2、 原来学校书法组的人数是美术组的
现在书法组的人数是美术组的
2
，这学期书法组和美术组各增加了5人。
3
5
，原来书法组和美术组各有多
少人？
7
5
3、 原来甲书架上的书是乙书架上书的，后来从甲书架搬60本书到乙
书架。
6
9
这时甲书架上的书是乙书架的，原来两个书架各有多少本书？
13
3
9
A2、的分子加上一个自然数，分母减去这个自然数，分
数就变为。求这个
5
31
自然数。
试一试：
8
1、有一个分数的，把它的分子减去一个自然数，分母加上这个自然数，约分
22
1
后变为。求这个自然数。
5
21
2、有一个分数，如果分子加1，约分后等于；如果
分母加1，约分后等于。
32
求这个分数的分子与分母之和。
1
3、有一个
分数，如果分母加上6，分子不变，约分后为；如果分子加上4，原
6
1
分母不变，约
分后为。求原分数。
4
我的学习收获：
.
我来编题：
.
第五讲 设数法解题
专题简析：
在小学数学竞赛中，常常会遇到一些看起来缺少条件的题目，按
常规解法似
乎无解，但仔细分析就会发现，题目中缺少的条件，对于答案并无影响，这时就
可以
采用“设数代入法”，即对题目中“缺少”的条件，随便假设一个数代入（当
然假设的这个数要尽量方便
计算），然后求出解答。
B1、如果△△=□□□，△☆=□□□□，那么☆☆□=（
）个△。
试一试：
1、已知△=○○，△○=□□，☆=□□□，问△□☆=（
）个○。
2、五个人比较身高，甲比乙高3厘米，乙比丙矮7厘米，丙比丁高10厘米，丁
比
戊矮5厘米，甲与戊相比谁高，高几厘米？
3、甲、乙、丙三个仓库原有同样多的货，从甲仓库运60
吨到乙仓库，从乙仓库
运45吨到丙仓库，从丙仓库运55吨到甲仓库，这时三个仓库的货哪个最多？哪
个最少？最多的比最少的多多少吨？
1
B2、足球赛门票15元一张，降
价后观众增加一倍，收入增加，问一张门票降
5
价多少元？
试一试： <
br>3
1、某班一次考试，平均分为70分，其中及格，及格的同学平均分为80分，
4那么不及格的同学平均分是多少？
2、游泳池里参加游泳的学生中，小学生占30％，又来了一批
学生后，学生总数
增加20％，小学生增加百分之几？
3、五年级三个班的人数相等。一班的
男生人数和二班的女生人数相等，三班的
2
男生人数是全部男生人数的，全部女生人数占全年级
人数的几分之几？
5
B3、小王在一个小山坡来回运动，先从山下跑上山，每分钟
跑200米，再从原路
下山，每分钟跑240米，从原路上山，每分钟跑150米，再从原路下山，每分
钟
跑200米，求小王的平均速度。
试一试：
1、小华上山的速度是每
小时3千米，下山的速度是每小时6千米，求上山后又
沿原路下山的平均速度。
2、张师傅骑
自行车往返A、B；两地。去时每小时行15千米，返回时因逆风，
每小时只行10千米
，张师傅往返途中的平均速度是每小时多少千米？
3、小王骑摩托车往返A、B两地。平均速度为每小
时48千米，如果他去时每小
时行42千米，那么他返回时的平均速度是每小时行多少千米？
1
A1、某幼儿园中班的小朋友平均身高115厘米，其中男孩比女孩多，女孩平均
5
身高比男孩高10％，这个班男孩平均身高是多少？
试一试：
2
1、某班男生人数是女生的，男生平均身高为138厘米，全班平均身高为132
3
厘米。问
：女生平均身高是多少厘米？
4
2、某班男生人数是女生的，女生的平均身高比男生高15％
，全班的身高是130
5
厘米，求男、女生的平均身高各是多少？
3、一长方形每边增加10％，那么，它的周长增加百分之几？它的面积增加百分
之几？
A2、狗跑5步的时间马跑3步，马跑4步的距离狗跑7步，现在狗已跑出30米，
马开始追它。问：狗再跑多远，马可以追到它？
试一试：
1、猎狗前面26步远
处有一野兔，猎狗追之。兔跑8步的时间狗只跑5步，但兔
跑9步的距离仅等于狗跑4步的距离。问：兔
跑几步后，被狗抓获？
2、猎人带猎狗去捕猎，发现兔子刚跑出40米，猎狗去追兔子。已知猎狗跑2
步的时间兔子跑3步，猎狗跑4步的距离与兔子跑7步的距离相等，求兔再
跑多远，猎狗可以追
到它？
狗和兔同时从A地跑向B地，狗跑3步的距离等于兔跑5步的距离，而狗跑
2步的时间
等于兔跑3步的时间，狗跑600步到达B地，这时兔还要跑多少步才
能到达B地？
我的学习收获：
.
我来编题：
.
第六讲 抓“不变量“解题
【专题简析】
一些分数的分子与分母被施行了加减变化，解答时关键要分析哪些量变了，哪些量没有变。抓住分子或分母，或分子、分母的差，或分子、分母的和等等不
变量进行分析后，再
转化并解答。
【典型例题】
【B1】
将
437
的分子与分母同时加上某数后得，求所加的这个数。
619
【试一试】
972
1、
分数的分子和分母都减去同一个数，新的分母约分后是。那么减去的
1815
数是多少？
3
1
2、
分数的分子、分母同加上一个数后得。那么同加的这个数是多少？
5
13
35
3、 的分子、分母加上同一个数并约分得。那么加上的数是多少？
197
58
2
4、 将这个分数的分子、分母都减去同一个数，新的分数约分
后是。那么
79
3
减去的数是多少？
42
B2、将一个
分数的分母减去2得。如果将它的分母加上1，则得，求这个分
53
数。
试一试：
73
1、
将一个分数的分母加上2得，分母加上3得。原来的分数是_________。
94
34
2、
将一个分数的分母加上3得，分母加上2得。原来的分数是_________。
45
34
3、
将一个分数的分母加上5得，分母加上4得。原来的分数是_________。
79
5
4
4、
将一个分数的分母减去9得，分母减去6得。原来的分数是_________。
8
7
5
B3、在一个最简分数的分子上加一个数，这个分数就等于
。如果在它的分子上
7
1
减去同一个数，这个分数就等于。求原来的最简分数是多少？
2
试一试：
5
1、一个最简分数，在它的分子上加一个数，这个分数就等于
。如果在它的分
8
1
子上减去同一个数，这个分数就等于。求这个分数。
2
6
2、一个最简分数，在它的分子上加一个数，这个分数就等于。如果在它的分
71
子上减去同一个数，这个分数就等于。求这个分数。
3
7
3、一个分
数，在它的分子上加一个数，这个分数就等于。如果在它的分子上
9
3
减去同一个数，
这个分数就等于。求这个分数。
5
73
A1、将一个分数的分母加3得，分母加5得。原分数是___________。
94
试一试：
54
1、 一个分数，将它的分母加5得，加8得
。原来的分数是__________（用
65
两种方法解）。
67
2、
将一个分数的分母减去3，约分后得。若将它的分母减去5，则得。原
78
来的分数是____
______（用两种方法解）。
3
3、 将一个分数的分母减去2，约分后得。如果给原分
数的分母加上9，约分
4
5
后等于。求原分数。
7
1<
br>A2、有一个分数，如果分子加1，这个分数就等于。如果分母加1，这个分数
2
1就等于。这个分数是__________。
3
试一试：
1
1、 有一个分数，如果分子加3，这个分数就等于。如果分母加1，这个分数
2<
/p>
1
就等于。这个分数是__________。
3
2、 有一
个分数，如果分子加5，这个分数就等于
1
。如果分母减3，这个分数
2
1<
br>就等于。这个分数是__________。
3
3、 有一个分数，如果分子减1，这
个分数就等于
1
。如果分母加11，这个分数
2
1
就等于。这个分数
是__________。
3
我的学习收获：
.
我来编题：
.
单元练习（四）
第四章 实践与应用（四）
第一讲 比的应用（一）
比的应用（一）
【专题简析】
我们已
经学过比的知识，都知道比与分数、除法其实是一回事，所以比与分
数能够互相转化。运用这种方法解决
一些实际问题可以化难为易，化繁为简。
【B1】 全国1993年约有286万人参加全
国高考，录取人数与总人数的比1：4，
1998年约有325万人参加全国高考，录取
人数与总人数的比是9：25；2002年
约有525万人参加全国高考，录取人数与总人数的比是13
：25，从中你能获得
什么信息？
【试一试】：
1、医院里
经常要给病人输入葡萄糖水，这种葡萄糖水是把葡萄糖和水按1：19
配制的，根据这些信息，你能知道
什么？
2、下表是王玲打一篇稿子的情况：
每小时打8000字
每小时打6000字
3小时 4小时
观察上表，你能得到哪些结论？
【B2】、光明小学将五年级的140名学生，分成三个小
组进行植树活动。已知第
一小组和第二小组人数的比是2：3，第二小组和第三小组人数的比是4：5。
这
三个小组各有多少人？
试一试：
1、某农场把61600公亩耕地划
归为粮田与棉田，它们之间的面积比是7：2，棉
田与其他作物面积的比是6：1。每种作物各是多少公
亩？
2、黄山小学六年级的同学分三组参加植树。第一组与第二组人数的比是5
：4，
第二组与第三组人数的比是3：2。已知第一组的人数比二、三两组人数的总
和少15人
。六年级参加植树的共有多少人？
【B3】、甲、乙两校原有图书本
数的比是7：5，如果甲校给乙校650本，甲、乙
两校图书本数的比就是3：4。原来甲校有图书多少
本？
试一试：
1、小明读一本书，已读和未读的页数比是
1：5。如果再读30页，则已读和未
读的页数之比是3：5。这本书共有多少页？
2、甲、乙两包糖的重量比是4：1。从甲包取出130克放入乙包后，甲、
乙两包
糖的重量比为7：5。原来甲包有多少克糖？
【A1】 、甲、乙、丙三人同时从A向B跑，当甲跑到B时，乙离B还有35米，
丙离B还有68米；当乙跑到B时，丙离B还有40米，A、B相距多少米？
试一试：
1、甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，当甲到达B地时，乙车距A地30千<
br>米，当乙车到达A地时，甲车超过B地40千米，A、B两地相距多少千米？
2、小刚和小明进行了100米短跑比赛（假定二人的速度均不变）。当小刚跑了
90米时，小明距
终点还有25米，那么，当小刚到达终点时，小明距离终点还有
多少米？
【A2】、两个相同的瓶子装满酒精溶液。一个瓶中酒精与水的体积之比是3：1，
另一个瓶中酒精和水的体积之比是4：1。若把两瓶酒精溶液混合，混合液中酒
精和水的体积之比是多少
？
试一试：
1、两块一样重的合金，一块合金中铜与锌的比是2：5
，另一块合金中铜与锌的
比是1：3。现将两块合金合成一块，求新合金中铜与锌的比。
2、将一条公路平均分给甲、乙两个工程队修筑。甲队已修的与剩下的
比是2：1，
乙队已修的与剩下的比是5：2。这条公路已修了全长的几分之几？
【练习】
1.周末，小王约朋友小张、小黎
去水库钓鱼。一天下来他们数了数，共钓了21
1
条鱼，称一称共重42千克。如果依据钓鱼的
时间及钓鱼的收获，小王该分得，
3
1
小张该分得。那么他们三人会怎样分这些鱼呢？
6
2.科技组与作文组人数的比是9：10，作文
组与数学组人数的比是5：7。已知数
学组与科技组共有69人。数学组比作文组多多少人？
1
3、五年级三个班举行数学竞赛。一班参加比赛的占全年级
参赛总人数的，二
3
班与三班参加比赛人数的比是11：13，二班比三班少8人。一班有多少
人参
加了数学竞赛？
4、甲、乙两人各加工同样
多的零件，同时加工，当甲完成任务时，乙还有150
个没有完成，当乙完成任务时，甲可以超额完成2
50个，这批零件总数共多少个？
5
5.光华电
视机厂上半年生产的电视机产量占全年生产计划的，照这样的速
8
度计算，全年可超产1000
台。这个工厂上半年生产电视机多少台？
我的学习收获：
.
我来编题：
.
第二讲 比的应用（二）
【专题简析】：
比是反映数量关系的一种常见形式，也是解数学题的一种重要工具，有了它，
我们处理倍数关系、解答分数应用题就方便灵活得多。在这一讲，我们将探讨稍
复杂的比的应用
题。
【典型例题】：
11
B1、甲、乙两个学生放学回家，
甲要比乙多走的路，而乙走的时间比甲少，
511
求甲、乙两人速度的比。
试一试：
11
1、小明和小芳各走一段路。小明走的路程比小
芳多，小芳用的时间比小明多。
58
求小明和小芳速度的比。
1
1
2、 甲走的路程比乙多，乙用的时间比甲多。求甲、乙速度的比。
3
4
B2、制造一个零件，甲需6分钟，乙需5分钟
，丙需4.5分钟。现在有1590个
零件的制造任务分配给他们三个人，要求在相同时间内完成，每人
应该分配到多
少个零件？
试一试：
1、加工一个零件，甲需3分钟，乙
需3.5分钟，丙需4分钟。现在有1825个零
件需要甲、乙、丙三人加工。如果规定用同样的时间完
成任务，那么各应加
工多少个？
2、 甲、
乙、丙三人在同一时间里共制造940个零件。甲制造一个零件要5分钟，
2
比乙制造一个零件
所用的时间多25％，丙制造一个零件所用的时间比甲少。
5
甲、乙、丙各制造了多少个零件？
B3、有甲、乙两杯含盐率不同的盐水，甲杯盐
水重120克，乙杯盐水重80克。
现在从两杯中倒出等量的盐水，分别交换倒入两杯中。这时两杯新盐
水的含盐率
相同。从每杯中倒出的盐水是多少克？
试一试：
1、有甲、
乙两瓶含糖率不同的橙汁。甲瓶橙汁重150克，乙瓶橙汁重200克，
现将甲、乙两瓶倒出等量的橙汁
并交换倒入瓶中，这时两瓶中的含糖率相等。
各倒出橙汁多少克？
2、
有甲、乙两块含铜率不等的合金，甲块重12千克，乙块重18千克。现从两
块合金上各切下重量相等的
一部分，将甲块上切下的部分与乙块剩余的部分
一起熔炼，再将乙块上切下的部分与甲块上剩余的部分一
起熔炼，得到的两
块新合金的含铜率相等，从每块上切下的部分各重多少千克？
【A1】、
A、B两种商品的价格比是7：3。如果它们的价格分别上涨
70元，它们
的价格比是7：4，这两种商品原来的价格各是多少元？
试一试：
用两种思路解答下列应用题：
1、甲、乙两个建筑队原有水泥重量的比是
4：3。甲队给乙队54吨水泥后，甲、
乙两队水泥重量的比是3：4。原来甲队有水泥多少吨？
2、甲书架上的书是乙书架上的
4
，两个书架上
各增加154本后，甲书架上的书
7
5
是乙书架上的，甲、乙书架上原来各有多少本书
？
6
【A2】
、甲、乙两个圆柱体容器
，底面积之比为4：3，甲容器中水深7厘米，
乙容器中水深3厘米，再往两个容器注入同样多的水，直
到水深相等，这样甲容
器的水面应上升多少厘米？
试一试：
1、甲、乙两个长方体容器，底面积之比为4：5，甲容器水深8厘米，乙容器水<
br>深12厘米，再往两个容器中注入同样多的水，直到水深相等，这样甲容器的水
面应上升多少厘米
？
2、甲、乙两个正方体容器，底面积的比为2：5，甲容器水深比
乙容器水深低6
厘米，再往两个容器注入同样多的水，恰好两个容器的水深都是18厘米，原来
甲容器中的水深多少厘米？
【练习】
1、一个
人步行每小时走5千米，如果骑自行车每1千米比步行少用8分钟。这
个人骑自行车的速度和步行速度的
比是多少？
2、加工某种机器零件要三道工序，专做第一、二、三道
工序的工人每小时分别
能完成零件48个、32个、28个，现有118名工人，要使每天三道工序完成
的零
件个数相同，每道工序应安排多少名工人？
3、有甲、
乙两杯含糖率不同的糖水，甲杯中糖水重240克，乙杯中糖水重160
克。现从两杯中
倒出重量相等的糖水，分别交换倒入两只杯中，这时两杯新糖水
的含糖率正好相同，每杯中倒出的糖水重
多少克？
4、兄弟两人，每年收入的比是4：3，每年支出的比是1
8：13。从年初到年底，
他们都结余720元。他们每年的收入各是多少元？
5、有A、B两个圆柱体容器，最初在容器A里装有2升水，容器B是空的，现在
往
两个容器里以每分0.4升的速度注入。4分钟后，两个容器的水面高度相等。
已知B容器的底面半径为
5分米，求A容器的底面积。
我的学习收获：
.
我来编题：
.
第三讲 浓度问题
第17周 浓度问题
专题简析：
在百分数应用题中有一类叫溶液配比问题，即浓度问题。我们知道，将糖溶
于水就得到了糖水，其中糖叫溶质，水叫溶剂，糖水叫溶液。如果水的量不变，
那么糖加得越多，糖水
就越甜，也就是说糖水甜的程度是由糖（溶质）与糖水（溶
液=糖+水）二者质量的比值
决定的。这个比值就叫糖水的含糖量或糖含量。类似
地，酒精溶于水中，纯酒精与酒精溶液二者质量的比
值叫酒精含量。因而浓度就
是溶质质量与溶液质量的比值，通常用百分数表示，即：
浓度溶质质量溶质质量
100
％
100
％
溶液质量
溶质质量溶剂质量
解答浓度问题，首先要弄清什么是浓度。在解答浓度问题时，根据题意列方
程解答比较容易，在列方程时，要注意寻找题目中数量问题的相等关系。
浓度问题变化多，有些题目的
难度较大，计算比较复杂。要根据题目的条件
和问题逐一分析，也可以分步解答。
B1、有含糖量为7%的糖水600克，要使其含糖量加大到10%，需要再加入多
少克糖？
试一试：
1、现在有浓度为20%的糖水300克，要把它变成浓度为40%的糖水，需要加糖多
少克？
2、有含盐15%的盐水20千克，要使盐水的浓度为20%，需要盐多少千克？
3、有甲、
乙两个瓶子，甲瓶里装了200毫升清水，乙瓶里装了200毫升的纯酒
精。第一次把20毫升纯酒精由
乙瓶倒入甲瓶，第二次把甲瓶中20毫升的溶
液倒回乙瓶，此时甲瓶里含纯酒精多，还是乙瓶里含水多？
B2、一种35%的新农药，如稀释到1.75%时，治虫最有效。用多少千克浓度为35%的农药加多少千克水，才能配成1.75%的农药800千克？
试一试： 1、用含氨0.15%的氨水进行菜花追肥。现有含氨16%的氨水30千克，配制时需
要加水多少
千克？
2、仓库运来含水量为90%的一种水果100千克。一星期后再测，发现含水量降
低
到80%。现在这批水果的质量是多少千克？
3、一容器内装有10升纯酒精，倒出2.5升后，用水
加满；再倒出5升，再用水
加满。这时容器内溶液的浓度是多少？
B3、现有浓度
为10%的盐水20千克。再加入多少千克浓度为30%的盐水，可以得
到浓度为22%的盐水？
试一试：
1、在100千克浓度为50%的硫酸溶液中，再加入多少千克浓度为5
%的硫酸溶液
就可以配制成25%的硫酸溶液？
2、浓度为70%的酒精溶液500克与浓度
为50%的酒精溶液300克混合后所得到的
酒精溶液的浓度是多少？
3、在20%的盐水中加入10千克水，浓度为15%。再加入多少千克盐，浓度为25%？
A1、将20%的盐水混合，配成15%的盐水600克，需要20%的盐水和5%的盐水各
多少克？
试一试：
1、两种钢分别含镍5%和40%，要得到14 0吨含镍30%的钢，需要含镍40%的钢各
多少吨？
2、甲、乙两种洒各含酒精75%和气 55%，要配制含酒精65%的酒3000克，应当
从这两种酒精中各取多少吨？
3、甲、乙 两只装糖水的桶，甲桶有糖水60千克，含糖率为40%；乙桶有糖水40
千克，含糖率为20%。要使 两桶糖水的含糖率相等，需把两桶的糖水互相交
换多少千克？
A2
甲、乙、丙三个 试管中各盛有10克、20克、30克水。把某种浓度的盐水
10克倒入甲管中，混合后取10克倒入乙 管中，再混合后从乙管中取出10克倒
入丙管中。现在丙管中的盐水浓度为0.5%。最早倒入甲管中的 盐水浓度是多少？
试一试：
1、从装满100克80%的盐水中倒出40克盐水后，再用清 水将杯加满，搅拌后再
倒出40克盐水，然后再用清水将杯加满。如此反复三次后，杯中盐水的浓度是多少？
2、甲容器中有8%的盐水300克，乙容器中有12.5%的盐水120克。往甲、乙 两
个容器分别倒入等量的水，使两个容器中盐水的浓度一样。每个容器应倒入
多少克水？ 3、甲种酒含纯酒精40%，乙种酒含纯酒精36%，丙种酒含纯酒精35%。将三种酒
混在一起得 到含酒精38.5%的酒11千克。已知乙种酒比丙种酒多3千克，那
么甲种酒有多少千克？
我的学习收获：
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我来编题：
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