沙市三中-浙江省高考时间

《小数的产生与意义》教学案例
“小数的产生与意义”的教学内容较为抽象， 难于理解，是在分数初步认识的基础上进行教
学的，是教科书上第一次出现的学习内容。虽然四年级的小 学生对小数有一定接触与了解，如商
品价格等，但较为零碎的，是生活中的数学，缺乏提升与概括。如何 从生活的数学进行提炼为数
学知识，我的做法是：
教学实录：
在学生汇报调查商品价格并通过量身高了解小数是如何产生的之后，出示米尺。
一位小数的教学：
师：把1米平均分成10份，每份是几分米？每份是几分之几米？
生：每份是1分米，也是110米。
师：110米，如何用小数来表示，该怎样表示？有什么理由？
生：可以写为0.1米。因为1角 是1元的110，写为0.1元。110米是1分米同样的道理写
为0.1米。
师：谁有不同的想法?
生：1 分米就是110米，也就是0.1米。
师： 1分米就是110米，也就是0.1米。(出示米尺，用红色标示: 110米=0.1米。)
师：3分米，就是几分之几米? 用小数怎样表示?
生：3分米就是310米，也是0.3米。
师：310米有( )个110米，0.3米有( )个0.1米。
出示：3个0.1米=0.3米。
生：310米有3个110米，0.3米有3个0.1米。
师：0.3米用分数为表示可以怎样说?
生：0.3米有3 个110米，也是310米。
生：直接说310米。
师：同学们，你们能自己举例吗?（这时同学纷纷举手。）
生：710米等于0.7米，就是7分米。7分米就是710米等于0.7米。
生： 2分米就是210米，也就是0.2米。„„
板书：110米=0.1米 310米=0.3 米 710米=0.7 米 510米=0.5米„„
师：如果是110、310、710、510分别可以用什么小数来表示？
生：110=0.1、310=0.3、710=0.7、510=0.5
师：0.3、0.7、0.5分别有几个0.1？谁还能例举别的？
生：（略）
板书：110=0.1 310=0.3 710=0.7 510=0.5
二位小数的教学：
师：1厘米是几分之几米？可以用什么小数表示？
生：1 厘米是1100米， 1100米=0.01米。
师：1厘米是1100米，就是0.01米。那么请你推理一下710 0米、13100米、75100米各
是几厘米？可以用小数怎样表示？
生：分别为0.07米、0.13米、0.75米。
师：对。0.07米、0.13米、0.75米各有几个0.01米或1100米。
生：0.07米有7个0.01米；0.13米有13个0.01米；0.75米有75个0.01米。

师：如果是7100、13100、75100可以用什么小数表示？
生：0.07、0.13与0.75。
板书：7100=0.07、13100=0.13、75100=0.75
师：0.07、0.13与0.75各有几个0.01？生：（略）。
师：谁能例举象这样百分之几是多少的小数？并说一说它有几个0.01或1100？
三位小数的教学：
师：1毫米是11000米，也就是0.001米。请同学们以小组为单位确定 一个毫米的刻度分别
用分数与小数表示。（学生小组气氛热烈。）
汇报：9毫米=910 00米=0.009米；998毫米=9981000米=0.998米；550毫米=5501000米=0. 550
米；97毫米=97100米=0.097米。„„
师：0.009米、0.998米、0.550米、0.097米各有几个0.001米?
生：略。
师：如果是91000、9981000、5501000、971000用什么小数表示？各有
几个0.001？生汇报，教师板书。（略）
小组讨论：
一位小数、二位小数、三位小数分别表示几分之几？小数的意义是什么？学生用自己的话表
述。
生：表示十分之几的是一位小数，表示百分之几的是二位小数，表示千分之几的是三位小数。
生：一位小数表示十分之几，二位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几。
师：如果是四位小数呢？
生：表示万分之几，„„
分析：
1、把生活情境中的数学抽象为纯数学。
荷兰数学教育家弗赖登塔尔说：“只有用逻辑关系建立结构，它才成为数学，而这个过程就是
数学化”。 在实际的教学中，“当然从最低的层次开始，也就是对非数学的内容进行数学化，以保
证数学的应用性， 同时还应进行到下一个层次，即至少能对数学内容进行局部的组织。”在弗赖登
塔尔看来，没有数学化就 没有数学，对数学的教与学，也就围绕着数学化来展开。执教者根据这
一理论，组织了教学，让学生亲历 了数学化的过程。在结合一些实际生活经验，如物价、量身高
等内容让学生感受小数是如何产生的之后， 运用课件这较为直观的手段，引导学生观察米尺的1
分米，也就是1100米，化为小数0.1米,进而 引出110米=0.1米、310米=0.3 米、710米=0.7 米、
510米=0.5米„„接 着抽象出110=0.1、310=0.3、710=0.7、510=0.5„„这种数学活动，让学
生亲历了从生活数学抽象出纯数学，也就是学习者从自己的数学现实出发，经过自己的思考，得
出有关数 学结论的过程。这样学生从具体内容中抽象出的数学知识，理解深刻，掌握牢固。
2、在数学化中掌握学习方法。
教是为了不教，要达到不教目的，就得让学生获得知识的同时掌握 学习方法。执教者在让学
生学习几个特殊的小数后就由学生运用推想来举例，并通过课件来验证；在让学 生学习三位小数
时，讲清三位小数的计数单位之后，由学生自主地选定一个毫米的刻度用小数表示，并表 述其意
义，接着让学生概括小数的意义，在一定的程度上体现了自主学习的特点。整个过程，让学生在< br>直观感知——推想——例证——概括中学习，学得主动，掌握了知识，获得了联想、例举、推理
概 括的学习方法。
3、在数学化中获取数学思想。
数学思想是数学知识的“灵魂”， 它隐形于知识的形成过程之中，是数学活动中的根本想法，

是对数学内在规律的理性认识 ，是数学知识与数学方法的高度概括总结。学生在掌握数学概念、
原理的过程中建立数学思想，反过来数 学思想又帮助了学生理解与解决数学问题。不管是以实物
操作上升到模型化，还是由模型化的知识回到现 实中，我想要有一个适合小学生探究学习的数学
情境，在这情境中探究学习，获取知识的同时获取了数学 思想方法。如上述小数意义的教学是以
“米尺”为情境，采用课件显示：310米=0.3 米，910 00米=0.009米等，这样直观形象，便于
学生理解由分数转换为小数，感受等值替换的数学思想。 这样，为今后学习用“等量关系”思想
来解决实际问题奠定基础。
这里情境创设也有人持 不同的看法：认为小学生对“人民币”较有生活经验基础，应以“元、
角、分”为情境。如何创设一个有 利于小学生进行数学化的学习情境，值得探讨？
我想不管以什么为情境，小学数学进行数学化教学 ，首先应遵循“由感性到理性”、“由特殊
到一般再到特殊”认识规律进行教学。顾泠沅先生提出：实现 数学化要经历三个阶段，即实物操
作、表象操作和符号操作，表象操作是一个中介，借助这个表象操作， 实现了从动手操作到算式
表示的过渡，越过了形式化的难关。由此可见，借助数学情境建立数学表象是数 学化的关键；再
者，要从学生的已有知识经验出发，创设一个“最近发展区”数学情境，引导小学生自主 探索学
习。正如《标准》指出的“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础< br>之上。”这样才能使数学化教学更有实际意义。

《乘法分配律》 教学案例
教学目标：
1、经历发现乘法分配律的过程，理解和掌握乘法分配律（含用字母表示）。
2、在自主合 作交流的学习过程中，调动学生积极的情感，培养他们的数学兴趣及
数学应用意识。
3、初步感受运用乘法分配律能进行一些简便运算。
教学重点：发现、理解并掌握乘法分配律
教学难点：能运用规律进行简便运算
教学过程：
一、谈话导入：
数学课上，我们要经常进行计算，计算时不仅要计算得快，而且要做得——正确。
引入：老师手中有1组题目，南北两小组分别进行比赛
出示：1、（12＋18）×16 12×16＋18×16
公平吗？那我们再来一次
2、（125+8）×8 125×8+8×8
（1）学生依次回答，师把答案写在算式旁边。
（2）刚才我们做的这些题目，为什么他们算得比较快，你发现了吗？
（3）你们能不能仿照老师的形式来出两道题。
二、归纳验证规律
1、学生汇报自己发现的规律。
2、教师小结规律，并提问：是不是类似这样的等式都成立呢？
3、提问：你能不能用一条算式表示这所有的等式呢？
4、得出规律，揭示课题。
5、练习：
（1）、在□里填上合适的数，在○里填上运算符号。
（42＋35）×2=42×□＋35×□
27×12＋43×12=（27＋□）×□
15×26＋15×14=□○（□○□）
72×（30＋6）=□○□○□○□
☆×△＋☆×6=□×（□＋□）
（2）、横着看，在得数相同的两个算式后面画“√”
（28＋16）×17 28×7＋16×7 （ ）
15×39＋45×39 （15＋45）×39 （ ）
74×（20＋1） 74×20＋74 （ ）
40×50＋50×90 40×（50＋90） （ ）
（3）、解决实际问题：用两种不同的 64米
方法计算长方形菜地的周长。 26米
三、质疑猜想，深化认识。
1、同学们，我们在刚才接触到的等式中，都是两个数的和去乘 以一个数，那么除
了两个数的和去乘以一个数有这样的规律以外，你还想到了什么？
2、学生汇报，板书猜想。

（1）（a－b）×c=a×c－b×c
（2）（a×b）×c=（a×c）×(b×c)
（3）（a÷b）×c=（a×c）÷（b×c）
（4）（a＋b＋c）×d=a×d＋b×d＋c×d
（5）（a＋b）÷c=a÷c＋b÷c
……
3、验证猜想，得出不成立的。
4、教师小结：刚才大家发现了乘法分配律，但是我们通过自己的猜想却得到了另
外的一些规律 ，但是不是所有的猜想都是成立的，我们还要进行验证，从而来证明自己
的猜想是否成立。（板书：猜想 ——验证）
四、综合练习，应用规律。
和平路小学四、五、六年级的学生人数情况如下表。
年级
班级数
每班人数
四
3
45
五
3
48
六
2
48
（1）五年级和六年级一共有多少人？
（2）四年级比五年级少多少人？
五、总结回顾
今天你掌握了什么新的知识？
六、课堂作业：《补充习题》第26页
分析：
乘法分配律是在学生学习了加法交 换律、结合律和乘法交换律、结合律的基础上教
学的。乘法分配律也是学生较难理解和叙述的定律。因此 在本节课教学设计上，我结合
新课标的一些基本理念和本地区的具体情况，注重从学生的实际出发，把数 学知识和实
际生活紧密联系起来，让学生在不断的感悟和体验中学习知识。
《数学课程标准 》指出：“学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑
战性的。”数学教育家波利亚曾经说过 ：“数学教师的首要责任是尽其一切可能，来发展
学生解决问题的能力。”而我们过去的教学往往比较重 视解决书上的数学问题，学生一
旦遇到实际问题就束手无策。因此，我在一开始设计了比一比谁的计算能 力强开场,极大
地激发了学生的学习欲望。学生很快地按要求用两种不同的方法列出算式，并且能够轻< br>而易举地证明两式相等。接着要求学生通过观察这个等式看看能否发现什么规律。在此
基础上，我 并没有急于让学生说出规律，而是继续为学生提供具有挑战性的研究机会：
“请你再举出一些符合自己心 中规律的等式”，继续让学生观察、思考、猜想，然后交流、
分析、探讨，感悟到等式的特点，验证其内 在的规律，从而概括出乘法分配律。这样既
培养了学生的猜想能力，又培养了学生验证猜想的能力。学生 通过自主探索去发现、猜
想、质疑、感悟、调整、验证、完善，主体性得到了充分的发挥。
与此同时，我还十分注重合作与交流，多向互动。倡导课堂教学的动态生成是新课
程标准的重要理念。在 数学学习中，每个学生的思维方式、智力、活动水平都是不一样
的。因此，为了让不同的学生在数学学习 中都得到发展，我在本课教学中立足通过生生、
师生之间多向互动，特别是通过学生之间的互相启发与补 充来培养他们的合作意识，实

现对“乘法分配律”的主动建构。学生在这样一个开放的环 境中博采众长，共同经历猜想、
验证、归纳知识的形成过程，共同体验成功的快乐。既培养了学生的问题 意识，又拓宽
了学生思维，学生也学得积极主动。
应用规律，解决实际问题是数学学习的目 的所在。在练习题型的设计上，它们并不
孤立，而是有机地联系在一起，由基本题到变式题，由一般题到 综合题，有一定的梯度
和广度。使学生逐步加深认识，在弄清算理的基础上，学生能根据题目的特点，灵 活地
运用所学知识进行简便运算和拓展练习。不仅要求学生会顺向应用乘法分配律，而且还
要求 学生会反向应用。通过正反应用的练习，加深学生对乘法分配律的理解。从课堂反
馈来看，学生热情较高 ，能够学以致用。学生通过自己的努力以及和同学的交流合作，
解题速度和准确性都很理想。只有这样才 能真正提高学生的计算能力。
本节课有一定的亮点，但其中出现了不少问题：学生参与的积极性没有 预想中那么
高。可能与我相对缺乏激励性语言有关。也有可能今天的题材学生不太感兴趣。但学生
不感兴趣的材料，教师应该想办法使呈现的这个材料变得能让学生感兴趣。另外，在回
答问题时，个别 学生的语言不够流利、准确。对乘法分配律的叙述稍显罗嗦，不够坚定、
自信。在这方面有待今后加强训 练和提高。

数学广角-植树问题的教学案例

（一）教学内容：人教版义务教育课程标准实验教材四年级（下册）第117--- 118
页例1、例2。
（二）教材简析：“植树问题”是人教版新课程标准实验教材四年级下 册“数学广角”
的内容。在本节课里，学生第一次接触到“植树问题”，根据课程标准的精神，学习的主
要任务定位在“能将植树问题推广到生活中的其他问题中，学会通过画线段图来分析理
解题意。 ”数学的思想方法是数学的灵魂。本册安排“植树问题”的目的就是向学生渗透复
杂问题从简单入手的思 想。
（三）设计思路：本课教学分四大环节：
一、谈话导入，明确课题
二、引导探究，发现“两端要种”的规律
1． 创设情境，提出问题。
通过创设在 公路中间绿化带中植树的现实问题情境，提出“共需多少棵树苗的问题”。
学生在解答的过程中出现了三 种不同的答案，到底哪种答案对呢？引导学生通过画图实
际种一种去检验。通过模拟种学生体验到一棵一 棵种到1000米太麻烦了，于是老师介
绍研究复杂问题的方法：遇到复杂问题想简单的，从简单问题入 手去研究。（说明：为
了使学生对复杂问题简单化的思想体验得更深刻，教材原题是在100米的小路的 一侧植
树我们将100米改为了1000米。）
2．简单验证，发现规律。
在举简单例子画一画这个环节，安排了两个小层次：
① 按老师要求画。
② 学生任意画。
通过按老师要求画，学生对棵树和段数的关系已有了一定的感性认识。然后让学生
再任意画一画，种一种，更丰富了学生的感性材料，为学生顺利发现并总结规律打下了
基础。
3．应用规律，解决问题。
①应用规律，验证前面例题哪个答案是正确的。
③ 应用规律，解决插多少面小旗的问题。
这样一方面巩固刚发现的规律，另一方面使学生认识到植树问题 的规律不仅仅能解
决植树的问题，还能解决生活中很多类似的问题。
三、合作探究“两端不种”的规律
1． 猜测“两端不种”的规律。
猜测是一种培 养学生推理能力的好方法。学生已经发现了“两端要种”的规律，这时
候老师提出如果两端不种，棵数和 段数又会有怎样的规律呢？有了前面的学习基础，学
生的思维非常活跃，想表达的欲望也很强烈。所以这 时候让学生进行猜测是很有必要的，
通过验证证明绝大多数同学的猜测是正确的，这样学生的研究成果被 认可使学生会有一
种成就感，从而也更增强了学生学习数学的信心。
2． 独立操作，探究规 律。有了前面的学习基础，放手让学生先独立探究再合作交
流，通过简单的例子验证前面的猜测，发现两 端不种的规律。在这个过程中，学生对复
杂问题从简单入手的数学思想又有了更深刻的体验。

四、回归生活，实际应用
设计了三道题：锯木头、算第一个同学和最后一个同 学的距离以及对算距离问题的
进一步巩固。通过解决生活中的问题，使学生感受到数学知识源于生活，用 于生活，数
学就在我们身边。从而使学生深刻感受到数学的应用价值，激发了学生学习数学的兴趣。
（四）目标预设：
1．通过探究发现一条线段上两端要种和两端不种两种不同情况植树问题 的规律。
2．使学生经历和体验“复杂问题简单化”的解题策略和方法。
3．让学生感受 数学在日常生活中的广泛应用，尝试用数学的方法来解决实际生活
中的简单问题，培养学生的应用意识和 解决实际问题的能力。
（五）教学过程：（在每个环节写出相应的意图）
一、 谈话引入，明确课题
老师问：2008年我国将举行什么盛会？学生回答：“2008年奥运会。”
“为了迎接这次盛会，迎接世界各国的运动员和朋友，给全世界人民展现一个全新
的中国。我们 应该怎么做，怎样改造我们的环境？（学生畅所欲言）
引入植树造林对我们的环境用什么好处？（让学生充分发言）
教师出示大量图片让学生欣赏。
大家知道3月12日是什么日子吗？（植树节）你参加过植树活动吗？植树不仅能
美化环境，净 化空气，而且植树中还有很多数学问题。今天这节课，我们就一起来研究
“植树问题”。（板书课题：植 树问题）（引入从学生期盼的奥运会开始，运用多媒体课
件演示创设教学情境，学生学习情绪高涨。同时 对学生进行环保教育和爱国教育。）
二、 引导探究，发现“两端要种”的规律
1． 创设情境，提出问题。
①课件出示图片。
介绍：这是我市新修的一条公路。这条公路将通向 奥运会帆船比赛场地青岛。公路
中间有一条绿化带，现在要在绿化带中种一行树，怎么种呢？
出示题目：这条公路全长1000米，每隔5米种一棵树（两端要种）。一共需要多
少棵树苗？
②理解题意。
指名读题，从题中你了解到了哪些信息？
b. 理解“两端”是什么意思？
指名说一说，然后师实物演示：指一指哪里是这根小棒的两端？
说明：如把这根小棒看作是这条绿化带，在绿化带的两端要种就是在绿化带的两头要种。
③算一算，一共需要多少棵树苗？
④反馈答案。
方法一：1000÷5=200（棵）
方法二：1000÷5=200（棵） 200 +2=202（棵）
方法三：1000÷5=200（棵） 200 +1=201（棵）
师：现在出现了三种答案，而且每种答案都有不少的支持者，到底哪种答案是正确
的呢？咱们可不可以画 图模拟实际种一种？如果从图上一棵一棵种到1000米，数一数，
是不是就能知道到底谁的答案是正确 的了呢？
2. 简单验证，发现规律。
①画图实际种一种。

演 示：我们用这条线段表示这条绿化带。“两端要种”，我们从绿化带的这头开始，
先在头儿上种上一棵， 然后隔5米再种一棵，再隔5米再种一棵，再隔5米再种一棵，
照这样一棵一棵的种下去……
师：大家看，已经种了多少米？（45米）这么长时间才种了45米，一共要种多少
米？（1000米） 要一棵一棵一棵一直种到1000米呀？！同学们，你有什么想法？（太
累了，太麻烦了，太浪费时间了 ）
师：老师也有同感，一棵一棵种到1000米确实太麻烦了。其实，像这种比较复杂
的问题 ，在数学上还有一种更好的研究方法，大家想知道吗？这种方法可不是一般的方
法。大家听好喽，这种方 法就是：遇到比较复杂的问题先想简单的，从简单的问题入手
来研究。比如：1000米的路太长了，我 们可以先在短距离的路上种一种，看一看怎样
种？②画一画，简单验证，发现规律。
a. 先 种15米，还是每隔5米种一棵，画图种一种，看种了多少棵？比一比，看谁
画得快种的好。（板书：3 段 4棵）
b. 跟上面一样，再种25米看一看，这次你又分了几段，种了几棵？（板书：5段
6棵）
c. 任意选择一段距离再种一种，看这次你又分了几段，种了几棵？从中你发现了
什么？
（板书： 2段 3棵；7段 8棵；10段 11棵。）
d. 你发现了什么？小结：你们真了不起，发现了植树问题中非常重要的一个规律，
那就是：
（板书：两端要种：棵树=段数+1）
④ 应用规律，解决问题。
a. 出示：前面例题
问：应用这个规律，前面这个问题，能不能解决了？那个答案是正确的？
1000÷5=200 这里的200指什么？
200 +1=201 为什么还要+1？
师：这个“秘方”好不好？
通过简单的例子，发现了规律，应用这个规律解决了这个复杂的 问题。以后，再遇
到“两端要种”求棵树，知道该怎么做了吗？
b. 解决实际问题
运动会上，在笔直的跑道的一侧插彩旗，每隔10米插一面（两端要插）。这条跑
道长100米 ，一共要插多少面彩旗？(学生独立完成。)
问：这道题是不是应用植树问题的规律解决的？ < br>师：看来，应用植树问题的规律，不仅仅能解决植树的问题，生活中很多类似的现
象也能用植树问 题的规律来解决。
小结：刚才，我们应用发现的规律，解决了一个实际问题。我们已经知道，“两端< br>要种”求棵树用段数+1;如果“两端不种”棵树和段数又会有怎样的关系呢？（本环节通过
为学 生设计困难，让学生想出有复杂问题从简单入手，从学生已有的生活经验出发，让
学生自由设计，然后引 导学生自主探索、合作交流，得出“两端要栽：棵数=间隔数+1“的
关系，体现教学方法的开放性。）
二、 合作探究，“两端不种”的规律
1． 猜测“两端不种”的规律。

猜测结果是：两端不种：棵树=段数－1
师：到底同学们的猜测是不是正确 呢？我们还是用前面学习的方法，举简单的例子
画一画，种一种。
要求：每人独立画一段路种种看；然后4人一组进行交流。你们组发现了什么规律？
2． 独立探究，合作交流。
3． 展示小组研究成果，发现规律，验证前面的猜测。
小结 ：同学们太了不起了，通过举简单的例子，自己又发现了“两端不种”的规律：
棵树=段数-1。如果“ 两端不种”求棵树，你会做了吗？
4． 做一做。
① 在一条长2000米 的路的一侧种树，每隔10米种一棵（两端不种）。一共需
要多少棵树苗？（学生独立完成）
② 师：同学们注意看，这道题发生了什么变化？课件闪烁：将“一侧”改为“两侧”
问：“两侧种树 ”是什么意思？实际要种几行树？会做吗？赶紧做一做。
小结：今天我们研 究了植树问题的两种情况。发现了两端要种：棵树=段数+1；两
端不种：棵树=段数—1。以后同学们 在做题的时候，一定要注意分清是“两端要种”还是“两
端不种”。 （探讨“两端不种”的规律，充分 放手让学生自己讨论研究，用同样的方法从
简单问题入手，让学生获得“两端不种”的规律：棵数=段数 -1，学生尝试运用新获得的数
学知识解决问题。）
四、 回归生活，实际应用
1． 一根木头长8米，每2米锯一段。一共要锯几次？（学生独立完成。）
8÷2=4（段）
4—1=3（次）
问：为什么要—1？这相当于今天学习的植树问题中的那种情况？
2． 我们身边类似的数学问题。
① 看，这一列共有几个同学？（4个）如果每相邻两个同学的距离 是1米，从
第1个同学到最后一个同学的距离是多少米？如果这一列共有10个同学呢？100个同学呢？
②这一列还是4个同学，如果每相邻两个同学之间的距离是2米，从第一个同学到
最后一个同学的距离是多少米呢？
3．在一条路的一侧种树，每隔6米种一棵，一共种了41棵树 。从第1棵树到最后
一棵树的距离是多少米？（练习的设计从多个方面进行应用，让学生针对不同的问题 ，
采用线段图加以分析，让学生深入浅出的理解问题，在头脑里建立数学知识模型，达到
学习的 高境界——举一反三，灵活应用。）
五、 全课总结
通过今天的学习，你有哪些收获？
师：通过今天的学习，我们不仅发现了植树问题中两端要种和两端不种的规律，而
且还学习了一 种研究问题的方法，那就是遇到复杂问题先想简单的。植树中的学问还有
很多，有兴趣的同学，课下可以 查阅有关的资料继续研究