36小学数学解题思路巧解妙算大全4
台州学院网-小学教师教学工作总结
【小学数学解题思路大全】式题的巧解妙算(四)
1.特殊数题(1)21－12
当被减数和减数个位和十位上的数字(零除外)交叉相等时，其差为被减数与减
数十位数字的差乘以9。
因为这样的两位数减法，最低起点是21－12，差为9，即(2－1)×9。减数增加
1
，其差也就相应地增加了一个9，故31－13＝(3－1)×9＝18。减数从12—89，都
可类推
。
被减数和减数同时扩大(或缩小)十倍、百倍、千倍„„，常数9也相应地扩大(或
缩
小)相同的倍数，其差不变。如
210－120＝(2－1)×90＝90，
0.65－0.56＝(6－5)×0.09＝0.09。
(2)31×51
个位数字
都是1，十位数字的和小于10的两位数相乘，其积的前两位是十位数
字的积，后两位是十位数字的和同
1连在一起的数。
若十位数字的和满10，进1。如
证明：(10a＋1)(10b＋1)
＝100ab＋10a＋10b＋1
＝100ab＋10(a＋b)＋1
(3)26×86 42×62
个位数字相同，十位数字和是10的两位数相乘，
十位数字的积与个位数字的和
为积的前两位数，后两位是个位数的积。若个位数的积是一位数，前面补0
。
证明：(10a＋c)(10b＋c)
＝100ab＋10c(a＋b)＋cc
＝100(ab＋c)＋cc (a＋b＝10)。
(4)17×19
十几乘以十几，任意一乘数与另一乘数的个位数之和乘以10，加个位数的积。
原式＝(17＋9)×10＋7×9＝323
证明：(10＋a)(10＋b)
＝100＋10a＋10b＋ab
＝[(10＋a)＋b]×10＋ab。
(5)63×69
十位数字相同，个位数字不同的两位数相乘，用一个乘数与另个乘数的
个位数
之和乘以十位数字，再乘以10，加个位数的积。
原式＝(63＋9)×6×10＋3×9
＝72×60＋27＝4347。
证明：(10a＋c)(10a＋d)
＝100aa＋10ac＋10ad＋cd
＝10a[(10a＋c)＋d]＋cd。
(6)83×87
十位数字相
同，个位数字的和为10，用十位数字加1的和乘以十位数字的积为
前两位数，后两位是个位数的积。如
证明：(10a＋c)(10a＋d)
=100aa＋10a(c＋d)＋cd
＝100a(a＋1)＋cd(c＋d＝10)。
(7)38×22
十位数字的差是1，个位数字的和是10且乘数的个位数字
与十位数字相同的两
位数相乘，积为被乘数的十位数与个位数的平方差。
原式＝(30＋8)×(30－8)
＝30
2
－8
2
＝836。
(8)88×37
被乘数首尾相同，乘数首尾的和是10的两位数相乘，乘数十位数字与1的和乘
以被乘数的相同数字，是积的前两位数，后两位是个位数的积。
(9)36×15
乘数是15的两位数相乘。
被乘数是偶数时
，积为被乘数与其一半的和乘以10；是奇数时，积为被乘数加
上它本身减去1后的一半，和的后面添个
5。
＝54×10＝540。
55×15
(10)125×101
三位数乘以101，积为被乘数与它的百位数字的和，接写它的后两位数。125＋
1＝126。
原式＝12625。
再如348×101，因为348＋3＝351，
原式＝35148。
(11)84×49
一个数乘以49，把这个数乘以100，除以2，再减去这个数。
原式＝8400÷2－84
＝4200－84＝4116。
(12)85×99
两位数乘以9、99、999、„。在被乘数的后面添上和乘数中9的个数一样多的
0、再减去被乘数。
原式＝8500－85＝8415
不难看出这类题的积：
最高位上的两位数(或一位数)，是被乘数与1的差；
最低位上的两位数，是100与被乘数的差；
中间数字是9，其个数是乘数中9的个数与2的差。
证明：设任意两位数的个位数字为b、十位数字为a(a≠0)，则
如果被乘数的个位数是1，例如
31×999
在999前面添30为30999，再减去30，结果为30969。
71×9999＝709999－70＝709929。
这是因为任何一个末位为1的两位自然数
都可表示为(10a＋1)的形式，由9组
成的自然数可表示为(10
n
－1)的形式
，其积为
(10a＋1)(10
n
－1)＝10
n＋1
a＋(
10
n
－1)－10a。
(13)1÷19
这是一道颇为繁复的计算题。
原式＝0.368421。
根据“如果被除数不变，
除数扩大(或缩小)若干倍，商反而缩小(或扩大)相同
倍”和“商不变”性质，可很方便算出结果。
原式转化为0.1÷1.9，把1.9看作2，计算程序：
(1)先用0.1÷2＝0.05。
(2)把商向右移动一位，写到被除数里，继续除
如此除到循环为止。
仔细分析这个算式：
加号前面的0.05是0.1÷2的商，后面的0.05×0.1÷1.9中
0.05×0.1＝0.005，
就是把商向右移动一位写到被除数里，除以1.9。这样我们又可把除
数看作2继续
除，依此类推。
除数末位是9，都可用此法计算。
例如1÷29，用0.1÷3计算。
1÷399，用0.1÷40计算。
2.估算
数学素养与能力(含估算能力)的强弱，直接影响到人们的生活节奏和工
作、学习、科研效
率。已经引起世界有关专家、学者的重视，是个亟待研究
的课题。
美国数学督导委员会，
提出的12种面向全体学生的基本数学能力中，
第6种能力即估算：“学生应会通过心算或使用各种估算
技巧快速进行近似
计算。当解题或购物中需要计算时，估算可以用于考查合理性。检验预测或
作
出决定„„”
(1)最高位估算
只计算式中几个运算数字的最高位的结果，估算整个算式的值大概在什
么范围。
例1
1137＋5044－3169
最高位之和1＋5－3＝3，结果在3000左右。
如果因为忽视小数点而算成560，依据“一个不等于零的数乘以真分数，
积必小于被乘数
”估算，错误立即暴露。
例3 51.9×1.51
整体思考。
因为 51.9≈50，
而50×1.51≈50×1.5＝75，
又51.9＞50，1.51＞1.5，
所以51.9×1.51＞75。
另外9×1＝9，
所以原式结果大致是75多一点，三位小数的末位数字是9。
例4 3279÷79
把3279和79，看作3200和80。准确商接近40，若相差较大，则是错
的。
(2)最低位估算
例如，6403＋232＋1578
3＋2＋8＝13，原式和的末位必是3。
(3)规律估算
和大于每一个加数；
两个真分数(或纯小数)的和小于2；
一个真分数与一个带分
数(或一个纯小数与一个带小数)的和大于这个
带分数(或带小数)，且小于这个带分数(或带小数)的
整数部分与2的和；
两个带分数(或带小数)的和总是大于两个带分数(或带小数
)整数部分
的和，且小于这两个整数部分的和加上2；
奇数±奇数＝偶数，偶数±偶数＝偶数，奇数±偶数＝奇数；
差总是小于被减数；
整数与带分数(或带小数)的差小于整数与带分数(或带小数)的整数部
分的差；带分数(或带小数)，
与整数的差大于带分数(或带小数)的整数部分
与整数的差。
带分数(
或带小数)与真分数(或纯小数)的差小于这个带分数(或带小
数)，且大于带分数(或带小数)减去1
的差；
带分数与带分数(或带小数与带小数)的差小于被减数与减数的整数部
分的差，且大于这个差减去1；
如果两个因数都小于1，则积小于任意一个因数；
若两个因数都大于1，则积大于任意一个因数；
带分数与带分数(或带小数与带小数)的积大于两
个因数的整数部分的
积，且小于这两个整数部分分别加1后相乘的积； 例如，
A＜AB＜B。
奇数×偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数；
若除数＜1，则商＞被除数；
若除数＞1，则商＜被除数；
若被除数＞除数，则商＞1；
若被除数＜除数，则商＜1。
(4)位数估算
整数减去小数，差的小数位数等于减数的小数位数；例如，320－0.68，
差为两位小数。
最高位的乘积满十的两个整数相乘的积的位数，等于这两个数的位数
和；
例如，451×7103
最高位的积4×7＝28，满1
0，结果是3＋4＝7(位数)。在整除的情况
下，被除数的前几位不够除，商的位数等于被除数的位数
减去除数的位数；
例如，147342÷27
14不够27除，商是4－2＝2(位数)。
被除数的前几位够除，商的位数等于被除数的位数与除数位数的差加上
1。
例如，30226÷238
302够238除，商是5－3＋1＝3(位数)。
(5)取整估算
把接近整数或整十、整百、„„的数，看作整数，或整十、整百„的数
估算。
如1.98＋0.97≈2＋1，和定小于3。
12×8.5≈10×10，积接近100。
3.并项式
应用交换律、结合律，把能凑整的数先并起来或去括号。
例1
3.34＋12.96＋6.66
＝12.96＋(3.34＋6.66)
＝12.96＋10＝22.96
＝3－3＝0
例3 15.74－(8.52＋3.74)
＝15.74－3.74－8.52
＝12－8.52＝3.48
例4 1600÷(400÷7)
＝1600÷400×7
＝4×7
＝28
4.提取式
根据乘法分配律，可逆联想。
＝(3.25＋6.75)×0.4＝10×0.4
＝4
5.合乘式
＝87.5×10×1＝875
＝8－7＝1
6.扩 缩 式
例1 1.6×16＋0.4×36
＝0.4×(64＋36)
＝0.4×100＝40
例2 16×45
7.分 解 式
例如，14×72＋42×76
＝14×3×24＋42×76
＝42×(24＋76)
＝42×100＝4200
8.约 分 式
＝3×7×2＝42
例2
169÷4÷7×28÷13
=1988
例7 1988
8÷91989被除数
与除数，分别除
9.拆 分 式
10.拆 积 式
例如，32×1.25×25
＝
8×1.25×(4×25)
＝10×100＝1000
11.换 和 式
例1 0.1257×8
＝(0.125＋0.0007)×8
＝1＋0.0056＝1.0056
12.换 差 式
例4 8.37－5.68
＝(8.37＋0.32)－(5.68＋0.32)
＝8.69－6＝2.69
13.换 乘
式
例1 123＋234＋345＋456＋567＋678
＝(123＋678)×3
＝801×3＝2403
例2(6.72＋6.72＋6.72＋6.72)×25
＝6.72×(4×25)＝672
例3 45000÷8÷125
＝45000÷(8×125)
＝45000÷1000＝45
例4
9.728÷3.2÷25
＝9.728÷(0.8×4×25)
＝9.728÷80
＝0.9728÷8＝0.1216
例5 33333×33333
＝11111×99999
＝11111×(100000－1)
＝1111100000－11111
＝1111088889
综合应用，例如
＝1000＋7＝1007
＝(11.75＋1.25－4.15－0.85)×125.25(转)
＝[(11.75＋1.25)－(4.15＋0.85)]×125.25(合)
＝8×125.25
＝8×(125＋0.25)(拆)
＝8×125＋8×0.25＝1002
14.换 除 式
例如，5600÷(25×7)
＝5600÷7÷25
＝800÷25＝32
15.直 接 除
17.以乘代加
例1 7＋4＋5＋2＋3＋6
＝9×3＝27
如果两个分数的分子相同，且等于分母之和(或差)，那么这两个分数的和(或差)
等于它们的积。
18.以乘代减
知，两个分数的分子都是1，分母是连续自然数，其差等于其积。
可见，各分数的分子都是1。第一个减数的分母等于被减数的分母加1。
第二个减数的分母
等于被减数的分母与第一个减数的分母的积加1，第n个
减数的分母等于被减数的分母与第一、二、……
第n-1个减数的分母的连乘
积加上1。(n为不小于2的自然数)其差等于其积
19.以加代乘
一个整数与一个整数部分和分子都是1，分母比整数(另个乘数)
小1
20.以除代乘
例如，25×123678448
＝123678448×(100÷4)
＝÷4
＝3091961200
21.以减代除
＝1986－662＝1324
3510÷15
＝(3510－1170)÷10＝234
22.以乘代除
例如，2.7÷4÷6×24÷27
23.以除代除
观察其特点，
24.并数凑整
例如，372＋499
＝372＋500－1＝871
56.7－12.8
＝56.7－13＋0.2＝43.9
25.拆数凑整
例如，476＋302
＝476＋300＋2＝778
9.42－3.1
＝9.42－3－0.1＝6.32
26.加分数凑整
应用“被减数、减数同时增加或
减少相同的数，其差不变”
的性质，使原来减去一个带分数或带小数，变成减去整数。
例3 8.37-5.68
=(8.37+0.32)-(5.68+0.32)
=8.69-6=2.69
30.凑公因数
例如，1992×27.5＋1982×72.5
＝1992×27.5＋(1992-10)×72.5
＝1992×27.5＋1992×72.5-10×72.5
＝1992×(27.5＋72.5)-725
=199200-725=198475
或原式=(1982＋10)×27.5＋1982×72.5
……
31.和差积法
32.直接写得数
观察整数和分数部分，显然原式=3。
33.变数为式
……
34.分解再组合
例如，(1＋2＋3＋…＋99)＋(4＋8＋12＋…＋396)
＝(1＋2＋3＋…＋99)＋4(1+2+3＋…＋99)
＝5(1＋2+3＋…＋99)
35.先分解再通分
有的学生通分时用短除法，找了许多数试除都不行，而
断定57和76为互质数。
判断两个数是否互质，不必用2、3、5、……逐个试除。
把其
中一个分解质因数，看另一个数能否被这里的某个质因
数整除即可。
57＝3×19，如果57和76有公有的质因数，只可能是
3或19。用3、19试除，
[57，76]＝19×3×4＝228。
26＝2×13，65和91是13的倍数。
最小公分母为
13×2×5×7＝910。
37.巧用分解质因数
教材中讲分解质因数，主要是为了
求几个数的最大公约数和最小公倍数，给通
分和约分打基础。其实，分解质因数在解题中很有用处。提供
新解法，启迪创造思
维。
例1 184×75
原式＝2×2×46×3×5×5
=46×3×(2×5)
2
=138×100=13800。
38.“1、1”法
一个整数减去一个带分数，可用这个整数减去比减数的整数部分多1的
数，再从1中减去分数部分。
为便于记忆，称“1、1”法。
39.“1，9，9„10”法
一个整数
减去一个小数(末位不为0)，可先减去比小数高位多1的数，
再从9中减去其它位数，最后从10中减
去末位数。
40.改变运算顺序
例1 650×74÷65
＝(650÷65)×74
＝10×74＝740
例2
176×98÷49
＝176×(98÷49)
＝176×2＝352
例3 7÷13×52÷4
例4
102×99－0.125×99×8
＝102×99－1×99
＝99×(l00＋１)
＝9900＋99＝9999
41.用 数 据
熟记一些特殊数据，可使计算简捷、迅速。
例1 由37×3＝111
知 37×6＝111×2＝222
37×15＝37×3×5＝555
例3 1000以内(不包括整十、整百)只含因数2或5的2、4、8
、
16、32、64、128、256、512；
5、25、125、625。
这些数作分母的分数才能化成有限小数，不需试除。
例4 特殊分数化小数
分母是5、20、25、50的最简分数，在化为小数时，把分子相
应地扩大2、5、4、
2倍，再缩小10、100倍。
分母是8的最简分数，分子是1、3，小数的第一位也是1、3。
分母是9的最简分数，循环节的数字和分子的数字相同。
例5 1～9π
1×3.14＝3.14 6×3.14＝18.84
2×3.14＝6.28 7×3.14＝21.98
3×3.14＝9.42
8×3.14＝25.12
4×3.14＝12.56 9×3.14＝28.26
5×3.14＝15.7
熟记这些数值，可口算。
3.14×13=10π+3π=40.82
3.14×89=90π-π
=282.6-3.14=279.46
π×1.58
变为整数，三位数前面补0改为四位数，
这样不会把数位搞错，将结果左端的0去掉，点上小数点得
4.9612。也可从高位算起。
42.想特殊性
仔细审题，知第二个括号里的结果为0，此题得0。
所以可直接得0。
例3(1.9-1.9×0.9)÷(3.8－2.8)
除数为1，则商就是被除数。
43.想 变 式
44.用 规 律
例1 68
2
＋70
2
两个连续奇(偶)数的平方和，等于这两个数之积的2倍加4的
和。
原式＝68×70×2＋4
＝9520＋4＝9524。
例2
52
2
－51
2
＝52＋51＝103
两个连续自然数的平方差，等于这两个数的和。
例3 18×19＋20
任意三个连续自然数，最小数与中间数的乘积加上最大数的和，
等于最大数与中间数的乘积减去最小数。
原式＝20×19－18＝362。
例4 16×17－15×18
四个连续自然数，中间两个的积比首尾两个的积多2。
原式＝2。
证明：设任意四个连续自然数分别为a－1、a、a＋1、a＋2，
则a(a＋1)－(a－1)(a＋2)
＝a
2
+a-a
2
-a＋2＝2。
例5 一个从第一位开始有
规律循环的多位数(包括整数部分是
0的纯循环小数)，乘以一个与其循环节位数相同的数，其规律适用
于一些题的简算。
ABAB×CD＝(AB×100＋AB)×CD
＝AB×100×CD＋AB×CD
＝(CD×100＋CD)×AB
＝CDCD×AB
如：125×5×1616×78
＝125×5×7878×16
＝(125×8)×(5×2)×7878
＝78780000
45.基础题法
在基础题上深化。例如，
观察(1)的解题过程，
逆用各步的结构特点，
46.巧 归 纳
例如，1＋2＋„＋100＋99＋„＋1
1～100的和为5050，再加一倍为10100，减去多加的
100为10000。但速度太慢。
有相同的行数和列数，用点或圈列成正方形的数，叫作
正方形数。
由图知
1＋2＋3＋2+1＝3
2
，
1＋2＋3＋4+5＋4+3＋2＋1＝5
2
。
不难发现，和为最大加数的平方。显然，
5＋6＋„＋29＋30＋29＋„＋6＋5
＝30
2
－4
2
-4
＝900－16－4＝880。