天津中环信息学院-中秋节的日记

小 学 数 学



1.想 数 码
例如，1989年“从小爱数学”邀请赛试题6：两个四位数相加，第一个四位数的每一个数码都不小于5，第< br>二个四位数仅仅是第一个四位数的数码调换了位置。某同学的答数是16246。试问该同学的答数正确吗 ？(如果正
确，请你写出这个四位数；如果不正确，请说明理由)。
思路一：易知两个 四位数的四个数码之和相等，奇数＋奇数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数，这两个四位数相加
的和必为偶数。
相应位数两数码之和，个、十、百、千位分别是17、13、11、15。所以该同学的加法做错了。正确答案是

思路二：每个数码都不小于5，百位上两数码之和的11只有一种拆法5＋6，另一个5 只可能与8组成13，6
只可能与9组成15。这样个位上的两个数码，8＋9＝16是不可能的。
不要把“数码调换了位置”误解为“数码顺序颠倒了位置。”
2.尾数法
例1 比较 1222×1222和 1221×1223的大小。
由两式的尾数2×2＝4，1×3＝3，且4＞3。
知 1222×1222＞1221×1223
例2 二数和是382，甲数的末位数是8，若将8去掉，两数相同。求这两个数。
由题意知两数的尾数和是12，乙数的末位和甲数的十位数字都是4。
由两数十位数字之和是8－1＝7，知乙数的十位和甲数的百位数字都是3。
甲数是348，乙数是34。
例3 请将下式中的字母换成适当的数字，使算式成立。


由3和a
5
乘积的尾数是1，知a
5
只能是7；
由3和a
4
乘积的尾数是7－2＝5，知a
4
是5；……不难推出原式为
142857×3＝428571。
3.从较大数想起
例如，从1～10的十个数中，每次取两个数，要使其和大于10，有多少种取法？
思路一：较大数不可能取5或比5小的数。
取6有6＋5；
取7有7＋4，7＋5，7＋6；
…………………………………………

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取10有九种 10＋1，10＋2，……10＋9。
共为 1＋3＋5＋7＋9＝25(种)。
思路二：两数不能相同。较小数为1的只有一种取法1＋10；为2的有2＋9，2＋10；……较小数为9的有 9
＋10。
共有取法1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1＝25(种)
这是从较小数想起，当然也可从9或8、7、……开始。
思路三：两数和最大的是19。两数和大于10的是11、12、…、19。
和是11的有五种1＋10，2＋9，3＋8，4＋7，5＋6；和是11～19的取法 5＋4＋4＋3＋3＋2＋2＋1＋1＝
25(种)。
4.想大小数之积

用最大与最小数之积作内项(或外项)的积，剩的相乘为外项(或内项)的积，由比例基本性质知

交换所得比例式各项的位置，可很快列出全部的八个比例式。


5.由得数想
例如，思考题：在五个0.5中间加上怎样的运算符号和括号，等式就成立？其结果是
0，0.5，1，1.5，2。
从得数出发，想：
两个相同数的差，等于0；
一个数加上或减去0，仍等于这个数；
一个因数是0，积就等于0；
0除以一个数(不是0)，商等于0；
两个相同数的商为1；
1除以0.5，商等于2；……
解法很多，只举几种：
(0.5－0.5)×0.5×0.5×0.5＝0
0.5－0.5－(0.5－0.5)×0.5＝0
(0.5＋0.5＋0.5)×(0.5－0.5)＝0
(0.5＋0.5－0.5－0.5)×0.5＝0
(0.5－0.5)×0.5×0.5＋0.5＝0.5
0.5＋0.5＋0.5－0.5－0.5＝0.5
(0.5＋0.5)×(0.5＋0.5—0.5)＝0.5
(0.5＋0.5)×0.5＋0.5－0.5＝0.5
(0.5－0.5)×0.5＋0.5＋0.5＝1
0.5÷0.5＋(0.5－0.5)×0.5＝1
(0.5－0.5)÷0.5＋0.5＋0.5＝1
(0.5＋0.5)÷0.5－(0.5＋0.5)＝1
0.5－0.5＋0.5＋0.5÷0.5＝1.5

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(0.5＋0.5)×0.5＋0.5＋0.5＝1.5
0.5＋0.5＋0.5＋0.5－0.5＝1.5
0.5÷0.5＋0.5÷0.5－0.5＝1.5
0.5÷0.5÷0.5＋0.5－0.5＝2
(0.5＋0.5)÷0.5＋0.5－0.5＝2
(0.5＋0.5＋0.5－0.5)÷0.5＝2
[(0.5＋0.5)×0.5＋0.5]÷0.5＝2
.想平均数
思路一：由“任意三个连续自然数的平均数是中间的数”。设第一个数为“1”，则中间数占

知这三个数是14、15、16。

二、一个数分别为

16－1＝15，
15－1＝14 或 16－2＝14。
若先求第一个数，则

思路三：设第三个数为“1”，则第二、三个数，

知是15、16。
思路四：第一、三个数的比是7∶8，第一个数是2÷(8－7)×7＝14。
若先求第三个数，则
2÷(8－7)×8＝16。
7.想奇偶数


例1 思考题：在1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数字中，不改变它们的顺序、 在它们中间添上加、减两种符
号，使所得的结果都等于100。

例如

1＋23－4＋5＋6＋78－9＝100123＋45－67＋8－9＝100
你还能想出不同的添法吗？
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45。若去掉 7和8间的“＋”，式左为1＋2＋3＋4＋5＋6＋78＋9，比原式和
增大了78－(7＋8)＝6 3，即
1＋2＋3＋4＋5＋6＋78＋9
＝45＋63＝108。

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为使其和等于100，式左必须减去8。加4改为减4，即可1＋2＋3－4＋5＋6＋78＋9＝100。
“减去4”可变为“减1、减3”，即－1＋2－3＋4＋5＋6＋78＋9＝100二年级小学生没 学过负“－1”，不能
介绍。如果式左变为
12＋3＋4＋5＋6＋7＋89。
［12－(1＋2)］＋［89－(8＋9)］＝81。即 12＋3＋4＋5＋6＋7＋89＝45＋81＝100＋26。
要将“＋”变为“－”的数和为13，在3、4、5、6、7中有6＋7，3＋4＋6，因而有
12＋3＋4＋5－6－7＋89＝100，
12－3－4＋5－6＋7＋89＝100，
同理得
12＋3－4＋5＋67＋8＋9＝100，
1＋23－4＋56＋7＋8＋9＝100，
1＋2＋34－5＋67－8＋9＝100，
123－4－5－6－7＋8－9＝100，
123＋4－5＋67－89＝100，
123－45－67＋89＝100。
为了减少计算。应注意：
(1)能否在1、23、4、5、6、7、89中间添上加、减(不再去掉某两数间的加号)，结果为100呢？
1、23、5、7、89的和或差是奇数，4、6的和或差是偶数，奇数±偶数＝奇数，结果不会是100。
(2)有一个是四位数，结果也不可能为100。因为1234减去余下数字组成(按顺序)的最大 数789，再减去余
下的56，差大于100。
例2 求59～199的奇数和。
由从1开始的连续n个奇数和、等于奇数个数n的平方
1＋3＋5＋7＋……＋(2n－1)＝n2
奇数比它对应的序数2倍少1。用n表示任意一个自然数，它对应的奇数为2n－1。
例如，3 2对应奇数2×32－1＝63。奇数199，从1起的连续奇数中排列在100(2n－1＝199，n＝10 0)的位置
上。
知1～199的奇数和是1002＝10000。此和包括59，2n －1＝57、n＝29、1～57的奇数和为292＝841。
所求为 10000－841＝9159。
或者 59＝30×2－1，302＝900，
10000－900＋59＝9159。
例1 思考题：在1、2、3、4、5、6、7、8、9九 个数字中，不改变它们的顺序、在它们中间添上加、减两种符号，
使所得的结果都等于100。
例如
1＋23－4＋5＋6＋78－9＝100123＋45－67＋8－9＝100

你还能想出不同的添法吗？

1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝ 45。若去掉7和8间的“＋”，式左为1＋2＋3＋4＋5＋6＋78＋9，比原式和增大
了78－( 7＋8)＝63，即

1＋2＋3＋4＋5＋6＋78＋9
＝45＋63＝108。
为使其和等于100，式左必须减去8。加4改为减4，即可 1＋2＋3－4＋5＋6＋78＋9＝100。
“减去4”可变为“减1、减3”，即－1＋2－3 ＋4＋5＋6＋78＋9＝100二年级小学生没学过负数“－1”，不能

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介绍。如果式左变为
12＋3＋4＋5＋6＋7＋89。
［12－(1＋2)］＋［89－(8＋9)］＝81。即 12＋3＋4＋5＋6＋7＋89＝45＋81＝100＋26。
要将“＋”变为“－”的数和为13，在3、4、5、6、7中有6＋7，3＋4＋6，因而有
12＋3＋4＋5－6－7＋89＝100，
12－3－4＋5－6＋7＋89＝100，
同理得
12＋3－4＋5＋67＋8＋9＝100，
1＋23－4＋56＋7＋8＋9＝100，
1＋2＋34－5＋67－8＋9＝100，
123－4－5－6－7＋8－9＝100，
123＋4－5＋67－89＝100，
123－45－67＋89＝100。
为了减少计算。应注意：
(1)能否在1、23、4、5、6、7、89中间添上加、减(不再去掉某两数间的加号)，结果为100呢？
1、23、5、7、89的和或差是奇数，4、6的和或差是偶数，奇数±偶数＝奇数，结果不会是100。
(2)有一个是四位数，结果也不可能为100。因为1234减去余下数字组成(按顺序)的最大 数789，再减去余
下的56，差大于100。
例2 求59～199的奇数和。
由从1开始的连续n个奇数和、等于奇数个数n的平方

1＋3＋5＋7＋……＋(2n－1)＝n
2

奇数比它对应的序数2倍少1。用n表示任意一个自然数，它对应的奇数为2n－1。
例如 ，32对应奇数2×32－1＝63。奇数199，从1起的连续奇数中排列在100(2n－1＝199，n＝ 100)的位置上。
知1～199的奇数和是100
2
＝10000。此和包括5 9，2n－1＝57、n＝29、1～57的奇数和为29
2
＝841。
所求为 10000－841＝9159。
或者 59＝30×2－1，30
2
＝900，
10000－900＋59＝9159。

8.约倍数积法

任意两个自然数的最大公约数与最小公倍数的积，等于这两个自然数的积。
证明：设M、N (都是自然数)的最大公约数为P，最小公倍数为Q、且M、N不公有的因数各为a、b。
那么 M×N＝P×a×P×b。
而 Q＝P×a×b，
所以 M×N＝P×Q。
例1 甲乙两数的最大公约数是7，最小公倍数是105。甲数是21，乙数是多少？

例2 已知两个互质数的最小公倍数是155，求这两个数。
这两个互质数的积为1×155＝155，还可分解为5×31。
所求是1和155，5和31。
例3 两数的最大公约数是4，最小公倍数是40，大数是数的2.5倍，求各数。
由上述定理和题意知两数的积，是小数平方的2.5倍。

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小数的平方为4×40÷2.5＝64。
小数是8。
大数是8×2.5＝20。
算理：4×40＝8×20＝8×(8×2.5)＝8
2
×2.5。

9.想 份 数













10巧用分解质因数
例1 四个比1大的整数的积是144，写出由这四个数组成的比例式。
144＝2
4
×3
2

＝(2
2
×3)×[(2×3)×2]
＝(4×3)×(6×2)
可组成4∶6＝2∶3等八个比例式。
例2 三个连续自然数的积是4896，求这三个数。
4896＝2
5
×3
2
×17
＝2
4
×17×(2×3
2
)
＝16×17×18

1728＝2
6
×3
3
＝(2
2×3)
3
＝12
3

385＝5×7×11

例4 1992年小学数学奥林匹克试题初赛(C)卷题3：找出1992的所有不同的质因数，它们的和是多少？
1992＝2×2×2×3×83
2＋3＋83＝88
例5 甲数比乙数大9，两数的积是1620，求这两个数。

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1620＝2
2
×3
4
×5
＝(3
2
×2
2
)×(3
2
×5)
甲数是45，乙数是36。
例6 把14、30、33、75、143、169、4445、4 953分成两组，每组四个数且积相等，求这两组数。
八个数的积等于2×7×2×3×5×3 ×11×3×5×5×11×13×13×13×5×7×127×3×13×127。
每组数 的积为2×3
2
×5
2
×7×11×13
2
×127。两组 为

例7 600有多少个约数？
600＝6×100＝2×3×2×2×5×5
＝2
3
×3×5
2

只含因数2、3、5、2×3、2×5、3×5、2×3×5的约数分别为：
2、2
2
、2
3
；
3；
5、5
2
；
2×3、2
2
×3、2
3
×3；
2×5、2
2×5、2
3
×5、2×5
2
、2
2
×5
2、2
3
×5
2
；
3×5、3×5
2
；
2×3×5、2
2
×3×5、2
3
×3×5、2×3×5
2
、2
2
×3×5
2
、2
3
×3×5
2
。
不含2×3×5的因数的数只有1。
这八种情况约数的个数为；
3＋1＋2＋3＋6＋2＋6＋1＝24。
不难发现解题规律：把给定数分解质因 数，写成幂指数形式，各指数分别加1后相乘，其积就是所求约数的
个数。(3＋1)×(1＋1)×( 2＋1)＝24。
•
【小学数学解题思路大全】巧想妙算文字题

17.想 法 则
用来说明运算规律(或方法)的文字，叫做法则。
子比分母少16。求这个分数？
由“一个分数乘以5，是分子乘以5分母不变”，结果是分子的5倍比3倍比分母少16。知
分 子的5－3＝2(倍)是2＋16＝18，分子为18÷2＝9，分母为9×5－2＝43或9×3＋16＝43 。

18.想 公 式



证明方法：

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以分母a，要加(或减)的数为

(2)设分子加上(或减去)的数为x，分母应加上(或减去)的数为y。





19.想 性 质
例1 1992年小学数学奥林匹克试题初赛(C)卷题6：有甲、乙两个多少倍？



200÷16＝12.5(倍)。
例2 思考题：三个最简真分 数，它们的分子是连续自然数，分母大于10，且它们最小公分母是60；其中一
个分数的值，等于另两 个分数的和。写出这三个分数。
由“分母都大于10，且最小公分母是60”，知其分母只能是 12、15、20；12、15、30；12、15、60。
由“分子是连续自然数”，知分子只能是小于12的自然数。
满足题意的三个分数是



(二)第400个分数是几分之几？
此题特点：

(2)每组分子的排列：

假设某一组分数的分母是自然数n，则分子从1递增到n，再递减到1。分数的个数为n＋n－1＝ 2n－1，即
任何一组分数的个数总是奇数。
(3)分母数与分数个数的对应关系，正是自然数与奇数的对应关系

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分母：1、2、3、4、5、……
分数个数：1、3、5、7、9、……
(4)每组分数之前(包括这组本身)所有分数个数的和，等于这组的组号(这一组的分母)的平方。
例如，第3组分数前(包括第3组)所有分数个数的和是3
2
=9。
10×2－1－6=13(个)位置上。

分别排在81＋7＝88(个)，81＋13=94(个)的位置上。
或者10
2
=100， 100－12=88。
100－6＝94， 88＋6＝94。
问题(二)：由上述一串分数个数的和与组号的关系，将400分成某数的平 方，这个数就是第400个分数所在
的组数400＝20
2
，分母也是它。
第400个分数在第20组分数中，400是这20组分数的和且正好是20的平方无剩余，故可断 定是最后一个，
即
若分解为某数的平方有剩余，例如，第415个和385个分数各是多少。

逆向思考，上述的一串分数中，分母是35的排在第几到第几个？
35
2
－(35×2－1)＋1
＝1225－69＋1＝1157。
排在1157－1225个的位置上。
20.由规则想
例如，198 9年从小爱数学邀请赛试题：接着1989后面写一串数字，写下的每一个数字都是它前面两个数字
的乘 积的个位数字。
例如，8×9＝72，在9后面写2，9×2＝18，在2后面写8，……得到一串数：1989286……
这串数字从1开始往右数，第1989个数字是什么？
先按规则多计算几个数字， 得86884……显然，1989后面的数总是不断重复出现286884，每6
个一组。
(1989－4)÷6＝330……5
最后一组数接着的五个数字是28688，即第1989个数字是8。

21.用 规 律
例1 第六册P62第14题：选择“＋、－、×、÷”中的符号，把下面各题连成算式，使它们的 得数分别等
于0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。
(1)2 2 2 2 2＝0
(2)2 2 2 2 2＝1
……
(10)2 2 2 2 2＝9
解这类题的规律是：
先想用两、三个2列出，结果为0、1、2的基本算式：
2－2＝0，2÷2＝1；

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再联想2－2÷2＝1，2×2÷2＝2，2÷2＋2＝3，……
每题都有几种选填方法，这里各介绍一种：
2÷2＋2÷2－2＝0
2÷2×2－2÷2＝1
2－2＋2÷2×2＝2
2×2＋2÷2－2＝3
2×2×2－2－2＝4
2－2÷2＋2×2＝5
2＋2－2＋2×2＝6
2×2×2－2÷2＝7
2÷2×2×2×2＝8
2÷2＋2×2×2＝9
例2 第六册P63题4：写出奇妙的得数
2＋1×9＝
3＋12×9＝
4＋123×9＝
5＋1234×9＝
6＋12345×9＝
得数依次为11、111、1111、11111、111111。此组算式的特点：
第一个加 数由2开始，每式依次增加1。第二个加数由乘式组成，被乘数的位数依次为1、12、123、……继
续写下去
7＋123456×9=1111111
8＋1234567×9=11111111
9＋12345678×9＝111111111
10＋123456789×9＝1111111111
11＋1234567900×9=
12＋×9=1
……
很自然地想到，可推广为

(1)当n=1、2时，等式显然成立。
(2)设n=k时，上式正确。当n=k＋1时
k＋1＋123…k×9
=k＋1＋[123…(k－1)×10＋k］×9
=k＋1＋123…(k－1)×9×10＋9k
=[k＋123…(k－1)×9]×10＋1

根据数学归纳法原理，由(1)、(2)可断定对于任意的自然数n，此等式都成立。
例3 牢记下面两个规律，可随口说出任意一个自然数作分母的，所有真分数的和。
(1)奇数(除1外)作分母的所有真分数的和、是(分母－1)÷2。

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=(21－1)÷2=10。
22.巧想条件
比5小，分母是13的最简分数有多少个。
7～64 为64－(7－1)＝58(个)，去掉13的倍数13、26、39、52，余下的作分子得54个最简分数。
例2 一个整数与1、2、3，通过加减乘除(可添加括号)组成算式，若结果为24这个整数就是 可用的。4、5、
6、7、8、9、10中，有几个是可用的。
看结果，想条件，知都是可用的。
4×(1＋2＋3)＝24
(5＋1＋2)×3＝24
6×(3＋2－1)＝24
7×3＋1＋2＝24
8×3÷(2－1)＝24
9×3－1－2＝24
10×2＋1＋3＝24





23.想和不变

无论某数是多少，原分数的分子与分母的和7＋11=18是不变的。
而新分数的分子与分母的和为1＋2=3，要保持原和不变，必同时扩大18÷3＝6(倍)。



24.想和与差












某数为7－6＝1或12－11＝1。
算理，原式相当于

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求这个分数。
25.想差不变
分子与分母的差41－35＝6是不变的。新分数的此差是8－7＝1，要保持原差不变，新分数的分
子 和分母需同时扩大6÷1＝6(倍)。





某数为42－35＝7，或48－41＝7。
与上例同理。23－11＝12，3－1＝2，12÷2＝6，

某数为11－6＝5或23－18＝5。










分子加上3变成1，说明原分数的分子比分母小3。当分母加上2后，分子比分母应小3＋2=5。
26.想差的12
对于任意分母大于2的同分母最简真分数来说，其元素的个数一定是 偶数，和为这个偶数的一半。
分母减去所有非最简真分数(包括分子和分母相同的这个假分数)的个数， 差就是这个偶数。
例1 求分母是12的所有最简真分数的和。
由12中2的倍数有6个，3的倍数有4个，(2×3)的倍数2个，知所求数是

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例2 分母是105的，最简真分数的和是多少？
倍数15个，(3×5)、(5×7)、(3×7)的倍数分别是7、3、5个，(3×5×7)的倍数1个。知
105－［(35＋21＋15)－(3＋5＋7)＋1］＝48，
48÷2＝24。
27.借助加减恒等式









28.计算比较
例如，九册思考题：1÷11、2÷11、3÷11……10÷11。想一想，得数有什么规律？


……
可见，除数是11，被除数是1的几倍(倍数不得大于或等于11)，商
17÷11＝(11＋6)÷11＝11÷11＋6÷11







个数。
若从中找出和为1的9个分数，将上式两边同乘以2，得
这九个分数是
凡商是纯循环小数的除式，都有此规律；不是纯循环小数的，得数不存在这一规律。

不难发现，它们循环节的位数比除数少1，循环数字和顺序相同，只是起点不同。

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只要记住1÷7的循环节数字 “142857”和顺序，计算时以最大商的数字为起点，顺序写出全部
循环节数字，即可。

29.由验算想
例如，思考题：计算1212÷101，……，3939÷ 303，你能从计算中得到启发，很快说出下面各题
的得数？
4848÷202，7575÷505，……
3939÷303
＝(3030＋909)÷303
＝3030÷303＋909÷303
＝10＋3＝13
备课用书这种由“除法的分配律”解，要使三年级学生接受，比较困难。
若从“除法的验算”推导
由3939÷303＝( )，

商百位上的3和13相乘才可得39，商个位上的3也必须与13相乘得39，除数是13确定无疑 。
显然，在被除数上面写上除数，使位数对齐，口算很快会得出结果。


30.想 倍 比










所以商是12。
31.扩 缩 法
例如，两数和是42，如果其中一个数扩大5倍，另一个数扩大4倍，则和是181。求这两个数。
若把和，即这两个数都扩大4倍，则得数比181小，因为原来扩大5倍的那个数少扩大了1倍。< br>差就是那个数。
181－42×4＝13
42－13＝29
若把两数都扩大5倍，结果比181多了原来扩大4倍的那个数。
42×5－181＝29，42—29＝13。

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若把181缩小4倍，则得数比42大。因为其中的一个数先扩大5倍，又


若把181缩小5倍，得数比42小。因为先扩大4倍的那个数，又缩小5


最佳想法：
两数扩大的倍数不同，181不会是42的整倍数。相除就把多扩大1倍的那个数以余数形式分离
出来。
181÷42＝4余13。
另个数可这样求

32.分别假设
例如，1992年中学数学奥林匹克试题初赛(C)卷题5：把一个正 方形的一边减少20％，另一边增
加2米，得到一个长方形，它与原来的正方形面积相等。那么，正方形 的面积是多少平方米。
设正方形的边长为1，另一边增加的百分数为x，则
(1－1×20％)×(1＋x)＝1，

正方形边长 2÷25％＝8(米)，
面积 8×8＝64(平方米)。

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