江苏科技大学研究生院-重庆市会计之家

【小学数学解题思路大全】式题的巧解妙算 （一）

1.特殊数题(1)21－12
当被减数和减数个位和十位上的数字(零除外)交叉相等时，其差为被减数与减数十位数字的差乘以9。
因为这样的两位数减法，最低起点是21－12，差为9，即(2－1)×9。减数增加1，其差也 就相应地增加
了一个9，故31－13＝(3－1)×9＝18。减数从12—89，都可类推。
被减数和减数同时扩大(或缩小)十倍、百倍、千倍……，常数9也相应地扩大(或缩小)相同的倍 数，其差
不变。如
210－120＝(2－1)×90＝90，
0.65－0.56＝(6－5)×0.09＝0.09。
(2)31×51
个位数字 都是1，十位数字的和小于10的两位数相乘，其积的前两位是十位数字的积，后两位是十位数
字的和同 1连在一起的数。

若十位数字的和满10，进1。如

证明：(10a＋1)(10b＋1)
＝100ab＋10a＋10b＋1
＝100ab＋10(a＋b)＋1
(3)26×86 42×62

个位数字相同，十位数字和是10的两位数相乘，十位数字的积与个位数字的和为积的前两位数，后 两位
是个位数的积。若个位数的积是一位数，前面补0。
证明：(10a＋c)(10b＋c)
＝100ab＋10c(a＋b)＋cc
＝100(ab＋c)＋cc (a＋b＝10)。
(4)17×19
十几乘以十几，任意一乘数与另一乘数的个位数之和乘以10，加个位数的积。
原式＝(17＋9)×10＋7×9＝323
证明：(10＋a)(10＋b)
＝100＋10a＋10b＋ab
＝[(10＋a)＋b]×10＋ab。
(5)63×69
十位数字相同，个位数字不同的两位数相乘，用一个乘数与另个乘数的 个位数之和乘以十位数字，再乘
以10，加个位数的积。
原式＝(63＋9)×6×10＋3×9
＝72×60＋27＝4347。
证明：(10a＋c)(10a＋d)
＝100aa＋10ac＋10ad＋cd
＝10a[(10a＋c)＋d]＋cd。
(6)83×87
十位数字相 同，个位数字的和为10，用十位数字加1的和乘以十位数字的积为前两位数，后两位是个位
数的积。如

证明：(10a＋c)(10a＋d)
=100aa＋10a(c＋d)＋cd
＝100a(a＋1)＋cd(c＋d＝10)。

(7)38×22
十位数字的差是1，个位数字 的和是10且乘数的个位数字与十位数字相同的两位数相乘，积为被乘数的
十位数与个位数的平方差。
原式＝(30＋8)×(30－8)
＝302－82＝836。
(8)88×37
被乘数首尾相同，乘数首尾的和是10的两位数相乘，乘数十位数字与1的和乘 以被乘数的相同数字，是
积的前两位数，后两位是个位数的积。

(9)36×15
乘数是15的两位数相乘。
被乘数是偶数时，积为被乘 数与其一半的和乘以10；是奇数时，积为被乘数加上它本身减去1后的一半，
和的后面添个5。

＝54×10＝540。
55×15

(10)125×101
三位数乘以101，积为被乘数与它的百位数字的和，接写它的后两位数。125＋1＝126。
原式＝12625。
再如348×101，因为348＋3＝351，
原式＝35148。
(11)84×49
一个数乘以49，把这个数乘以100，除以2，再减去这个数。
原式＝8400÷2－84
＝4200－84＝4116。
(12)85×99
两位数乘以9、99、999、…。在被乘数的后面添上和乘数中9的个数一样多的0、再减去被乘数。
原式＝8500－85＝8415

不难看出这类题的积：
最高位上的两位数(或一位数)，是被乘数与1的差；
最低位上的两位数，是100与被乘数的差；
中间数字是9，其个数是乘数中9的个数与2的差。
证明：设任意两位数的个位数字为b、十位数字为a(a≠0)，则

如果被乘数的个位数是1，例如
31×999
在999前面添30为30999，再减去30，结果为30969。
71×9999＝709999－70＝709929。
这是因为任何一个末位为1的两位自然数 都可表示为(10a＋1)的形式，由9组成的自然数可表示为(10n
－1)的形式，其积为
(10a＋1)(10n－1)＝10n＋1a＋(10n－1)－10a。
(13)1÷19
这是一道颇为繁复的计算题。
原式＝0.368421。

根据“如果被除数不变，除数扩大(或缩小 )若干倍，商反而缩小(或扩大)相同倍”和“商不变”性质，可
很方便算出结果。
原式转化为0.1÷1.9，把1.9看作2，计算程序：
(1)先用0.1÷2＝0.05。
(2)把商向右移动一位，写到被除数里，继续除

如此除到循环为止。






仔细分析这个算式：
加号前面的0.05是0.1÷2的商，后面的0.05×0.1÷1.9中 0.05×0.1＝0.005，就是把商向右移动一位
写到被除数里，除以1.9。这样我们又可把除 数看作2继续除，依此类推。
除数末位是9，都可用此法计算。
例如1÷29，用0.1÷3计算。
1÷399，用0.1÷40计算。
2.估算
数学素养与能力(含估算能力)的强弱，直接影响到人们的生活节奏和工作、学习、科研效率。已经 引起世
界有关专家、学者的重视，是个亟待研究的课题。
美国数学督导委员会，提出的1 2种面向全体学生的基本数学能力中，第6种能力即估算：“学生应会通
过心算或使用各种估算技巧快速 进行近似计算。当解题或购物中需要计算时，估算可以用于考查合理性。检
验预测或作出决定……”
(1)最高位估算
只计算式中几个运算数字的最高位的结果，估算整个算式的值大概在什么范围。
例1 1137＋5044－3169
最高位之和1＋5－3＝3，结果在3000左右。

如果因为忽视小数点而算成560，依据“一个不等于零的数乘以真分数，积必小于被乘数”估算， 错误立
即暴露。
例3 51.9×1.51
整体思考。
因为 51.9≈50，
而50×1.51≈50×1.5＝75，
又51.9＞50，1.51＞1.5，
所以51.9×1.51＞75。
另外9×1＝9，
所以原式结果大致是75多一点，三位小数的末位数字是9。
例4 3279÷79
把3279和79，看作3200和80。准确商接近40，若相差较大，则是错的。
(2)最低位估算
例如，6403＋232＋1578
3＋2＋8＝13，原式和的末位必是3。
(3)规律估算
和大于每一个加数；

两个真分数(或纯小数)的和小于2；
一个真分数与一个 带分数(或一个纯小数与一个带小数)的和大于这个带分数(或带小数)，且小于这个带分
数(或带小数 )的整数部分与2的和；

两个带分数(或带小数)的和总是大于两个带分数(或 带小数)整数部分的和，且小于这两个整数部分的和加
上2；

奇数±奇数＝偶数，偶数±偶数＝偶数，奇数±偶数＝奇数；
差总是小于被减数；
整数与带分数(或带小数)的差小于整数与带分数(或带小数)的整数部分的差；带分数(或带小数)，与整数< br>的差大于带分数(或带小数)的整数部分与整数的差。

带分数(或带小 数)与真分数(或纯小数)的差小于这个带分数(或带小数)，且大于带分数(或带小数)减去1的
差；

带分数与带分数(或带小数与带小数)的差小于被减数与减数的整数部分的差，且大于这个差减去1；

如果两个因数都小于1，则积小于任意一个因数；
若两个因数都大于1，则积大于任意一个因数；
带分数与带分数(或带小数与带小数)的积大于两 个因数的整数部分的积，且小于这两个整数部分分别加1
后相乘的积； 例如，


A＜AB＜B。
奇数×偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数；
若除数＜1，则商＞被除数；
若除数＞1，则商＜被除数；
若被除数＞除数，则商＞1；
若被除数＜除数，则商＜1。
(4)位数估算
整数减去小数，差的小数位数等于减数的小数位数；例如，320－0.68，差为两位小数。
最高位的乘积满十的两个整数相乘的积的位数，等于这两个数的位数和；
例如，451×7103
最高位的积4×7＝28，满10，结果是3＋4＝7(位数)。在整除的情况下，被除数的前几位 不够除，商的
位数等于被除数的位数减去除数的位数；
例如，147342÷27
14不够27除，商是4－2＝2(位数)。
被除数的前几位够除，商的位数等于被除数的位数与除数位数的差加上1。
例如，30226÷238
302够238除，商是5－3＋1＝3(位数)。
(5)取整估算
把接近整数或整十、整百、……的数，看作整数，或整十、整百…的数估算。
如1.98＋0.97≈2＋1，和定小于3。
12×8.5≈10×10，积接近100。
3.并项式
应用交换律、结合律，把能凑整的数先并起来或去括号。
例1 3.34＋12.96＋6.66

＝12.96＋(3.34＋6.66)

＝12.96＋10＝22.96
＝3－3＝0
例3 15.74－(8.52＋3.74)
＝15.74－3.74－8.52
＝12－8.52＝3.48
例4 1600÷(400÷7)
＝1600÷400×7
＝4×7
＝28
4.提取式
根据乘法分配律，可逆联想。

＝(3.25＋6.75)×0.4＝10×0.4
＝4

5.合乘式

＝87.5×10×1＝875
＝8－7＝1

6.扩 缩 式
例1 1.6×16＋0.4×36

＝0.4×(64＋36)
＝0.4×100＝40
例2 16×45


7.分 解 式
例如，14×72＋42×76
＝14×3×24＋42×76
＝42×(24＋76)
＝42×100＝4200
8.约 分 式

＝3×7×2＝42
例2 169÷4÷7×28÷13

=1988
例7 1988 8÷91989被除数与除数，分别除
9.拆 分 式


10.拆 积 式
例如，32×1.25×25
＝ 8×1.25×(4×25)
＝10×100＝1000
11.换 和 式
例1 0.1257×8
＝(0.125＋0.0007)×8
＝1＋0.0056＝1.0056


例4 8.37－5.68
＝(8.37＋0.32)－(5.68＋0.32)
＝8.69－6＝2.69

12.换 差 式




13.换 乘 式
例1 123＋234＋345＋456＋567＋678
＝(123＋678)×3
＝801×3＝2403
例2(6.72＋6.72＋6.72＋6.72)×25
＝6.72×(4×25)＝672
例3 45000÷8÷125
＝45000÷(8×125)
＝45000÷1000＝45
例4 9.728÷3.2÷25
＝9.728÷(0.8×4×25)
＝9.728÷80
＝0.9728÷8＝0.1216
例5 33333×33333
＝11111×99999
＝11111×(100000－1)
＝1111100000－11111
＝1111088889
综合应用，例如

＝1000＋7＝1007

＝(11.75＋1.25－4.15－0.85)×125.25(转)
＝[(11.75＋1.25)－(4.15＋0.85)]×125.25(合)
＝8×125.25
＝8×(125＋0.25)(拆)
＝8×125＋8×0.25＝1002
14.换 除 式
例如，5600÷(25×7)
＝5600÷7÷25
＝800÷25＝32
15.直 接 除

17.以乘代加
例1 7＋4＋5＋2＋3＋6
＝9×3＝27

如果两个分数的分子相同，且等于分母之和(或差)，那么这两个分数的和(或差)等于它们的积。

18.以乘代减

知，两个分数的分子都是1，分母是连续自然数，其差等于其积。



可见，各分数的分子都是1。第一个减数的分母等于被减数的分母加1。第二个减数的分母等于被减 数的
分母与第一个减数的分母的积加1，第n个减数的分母等于被减数的分母与第一、二、……第n-1 个减数的分
母的连乘积加上1。(n为不小于2的自然数)其差等于其积
19.以加代乘

一个整数与一个整数部分和分子都是1，分母比整数(另个乘数)小1
20.以除代乘
例如，25×123678448
＝123678448×(100÷4)
＝÷4
＝3091961200
21.以减代除

＝1986－662＝1324
3510÷15

＝(3510－1170)÷10＝234
22.以乘代除
例如，2.7÷4÷6×24÷27

23.以除代除

观察其特点，

24.并数凑整
例如，372＋499
＝372＋500－1＝871
56.7－12.8
＝56.7－13＋0.2＝43.9
25.拆数凑整
例如，476＋302
＝476＋300＋2＝778
9.42－3.1
＝9.42－3－0.1＝6.32
26.加分数凑整
应用“被减数、减数同时增加或减少相同的数，其差不变”的性质，使原来减去一个带分数或带小数 ，
变成减去整数。


例3 8.37-5.68
=(8.37+0.32)-(5.68+0.32)
=8.69-6=2.69
30.凑公因数
例如，1992×27.5＋1982×72.5
＝1992×27.5＋(1992-10)×72.5
＝1992×27.5＋1992×72.5-10×72.5
＝1992×(27.5＋72.5)-725
=199200-725=198475
或原式=(1982＋10)×27.5＋1982×72.5
……
31.和差积法


32.直接写得数

观察整数和分数部分，显然原式=3。

33.变数为式





……


34.分解再组合
例如，(1＋2＋3＋…＋99)＋(4＋8＋12＋…＋396)
＝(1＋2＋3＋…＋99)＋4(1+2+3＋…＋99)
＝5(1＋2+3＋…＋99)

35.先分解再通分

有的学生通分时用短除法，找了许多数试除都不行，而断定57和76为互质数。

判断两个数是否互质，不必用2、3、5、……逐个试除。把其中一个分解质因数，看另一个数能否被这里
的某个质因数整除即可。
57＝3×19，如果57和76有公有的质因数，只可能是3或19。用3、19试除，
[57，76]＝19×3×4＝228。


26＝2×13，65和91是13的倍数。
最小公分母为
13×2×5×7＝910。
37.巧用分解质因数
教材中讲分解质因数，主要是为了 求几个数的最大公约数和最小公倍数，给通分和约分打基础。其实，
分解质因数在解题中很有用处。提供 新解法，启迪创造思维。
例1 184×75
原式＝2×2×46×3×5×5
=46×3×(2×5)2
=138×100=13800。
38.“1、1”法
一个整数减去一个带分数，可用这个整数减去比减数的整数部分多1的数，再从1中减去分数部分。
为便于记忆，称“1、1”法。
39.“1，9，9…10”法
一个整数减去一个小数 (末位不为0)，可先减去比小数高位多1的数，再从9中减去其它位数，最后从10
中减去末位数。

40.改变运算顺序
例1 650×74÷65
＝(650÷65)×74
＝10×74＝740
例2 176×98÷49
＝176×(98÷49)
＝176×2＝352
例3 7÷13×52÷4

例4 102×99－0.125×99×8
＝102×99－1×99
＝99×(l00＋１)
＝9900＋99＝9999

41.用 数 据
熟记一些特殊数据，可使计算简捷、迅速。
例1 由37×3＝111
知 37×6＝111×2＝222
37×15＝37×3×5＝555

例3 1000以内 (不包括整十、整百)只含因数2或5的2、4、8、16、32、64、128、256、512；
5、25、125、625。
这些数作分母的分数才能化成有限小数，不需试除。
例4 特殊分数化小数
分母是5、20、25、50的最简分数，在化为小数时，把分子相应地扩 大2、5、4、2倍，再缩小10、100
倍。

分母是8的最简分数，分子是1、3，小数的第一位也是1、3。


分母是9的最简分数，循环节的数字和分子的数字相同。

例5 1～9π
1×3.14＝3.14 6×3.14＝18.84
2×3.14＝6.28 7×3.14＝21.98
3×3.14＝9.42 8×3.14＝25.12
4×3.14＝12.56 9×3.14＝28.26
5×3.14＝15.7
熟记这些数值，可口算。

3.14×13=10π+3π=40.82
3.14×89=90π-π
=282.6-3.14=279.46
π×1.58
变为整数，三位数前面补0改为四位数，

这样不会把数位搞错，将结果左端的0去掉，点上小数点得4.9612。也可从高位算起。
42.想特殊性

仔细审题，知第二个括号里的结果为0，此题得0。

所以可直接得0。
例3(1.9-1.9×0.9)÷(3.8－2.8)
除数为1，则商就是被除数。
43.想 变 式



44.用 规 律
例1 682＋702
两个连续奇(偶)数的平方和，等于这两个数之积的2倍加4的和。
原式＝68×70×2＋4
＝9520＋4＝9524。
例2 522－512＝52＋51＝103

两个连续自然数的平方差，等于这两个数的和。
例3 18×19＋20
任意三个连续自然数，最小数与中间数的乘积加上最大数的和，等于最大数与中间数的乘积减去最小数。
原式＝20×19－18＝362。
例4 16×17－15×18
四个连续自然数，中间两个的积比首尾两个的积多2。
原式＝2。
证明：设任意四个连续自然数分别为a－1、a、a＋1、a＋2，
则a(a＋1)－(a－1)(a＋2)
＝a2+a-a2-a＋2＝2。
例5 一个从第一位开始有规律循环的多位数(包括整数部分是0的纯循环小数)，乘以一个与其循环节位
数相 同的数，其规律适用于一些题的简算。
ABAB×CD＝(AB×100＋AB)×CD
＝AB×100×CD＋AB×CD
＝(CD×100＋CD)×AB
＝CDCD×AB
如：125×5×1616×78
＝125×5×7878×16
＝(125×8)×(5×2)×7878
＝78780000


45.基础题法
在基础题上深化。例如，

观察(1)的解题过程，

逆用各步的结构特点，




46.巧 归 纳
例如，1＋2＋…＋100＋99＋…＋1
1～100的和为5050，再加一倍为10100，减去多加的100为10000。但速度太慢。
有相同的行数和列数，用点或圈列成正方形的数，叫作正方形数。

由图知
1＋2＋3＋2+1＝32，
1＋2＋3＋4+5＋4+3＋2＋1＝52。
不难发现，和为最大加数的平方。显然，
5＋6＋…＋29＋30＋29＋…＋6＋5
＝302－42-4
＝900－16－4＝880。
【小学数学解题思路大全】巧想妙算文字题（一）
1.想 数 码
例如，19 89年“从小爱数学”邀请赛试题6：两个四位数相加，第一个四位数的每一个数码都不小于5，

第二个四位数仅仅是第一个四位数的数码调换了位置。某同学的答数是16246。试问该同 学的答数正确吗？(如
果正确，请你写出这个四位数；如果不正确，请说明理由)。
思路 一：易知两个四位数的四个数码之和相等，奇数＋奇数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数，这两个四位数
相加的 和必为偶数。
相应位数两数码之和，个、十、百、千位分别是17、13、11、15。所以该同 学的加法做错了。正确答案
是

思路二：每个数码都不小于5，百位上两数码 之和的11只有一种拆法5＋6，另一个5只可能与8组成
13，6只可能与9组成15。这样个位上的 两个数码，8＋9＝16是不可能的。
不要把“数码调换了位置”误解为“数码顺序颠倒了位置。”
2.尾数法
例1 比较 1222×1222和 1221×1223的大小。
由两式的尾数2×2＝4，1×3＝3，且4＞3。
知 1222×1222＞1221×1223
例2 二数和是382，甲数的末位数是8，若将8去掉，两数相同。求这两个数。
由题意知两数的尾数和是12，乙数的末位和甲数的十位数字都是4。
由两数十位数字之和是8－1＝7，知乙数的十位和甲数的百位数字都是3。
甲数是348，乙数是34。
例3 请将下式中的字母换成适当的数字，使算式成立。

由3和a5乘积的尾数是1，知a5只能是7；
由3和a4乘积的尾数是7－2＝5，知a4是5；……不难推出原式为
142857×3＝428571。
3.从较大数想起
例如，从1～10的十个数中，每次取两个数，要使其和大于10，有多少种取法？
思路一：较大数不可能取5或比5小的数。
取6有6＋5；
取7有7＋4，7＋5，7＋6；
…………………………………………
取10有九种 10＋1，10＋2，……10＋9。
共为 1＋3＋5＋7＋9＝25(种)。
思路二：两数不能相同。较小数为1的只有一种取法1＋10；为2的有2＋9，2＋10；……较 小数为9
的有9＋10。
共有取法1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1＝25(种)
这是从较小数想起，当然也可从9或8、7、……开始。
思路三：两数和最大的是19。两数和大于10的是11、12、…、19。
和是11的有五种1＋10，2＋9，3＋8，4＋7，5＋6；和是11～19的取法
5＋4＋4＋3＋3＋2＋2＋1＋1＝25(种)。
4.想大小数之积

用最大与最小数之积作内项(或外项)的积，剩的相乘为外项(或内项)的积，由比例基本性质知

交换所得比例式各项的位置，可很快列出全部的八个比例式。


5.由得数想
例如，思考题：在五个0.5中间加上怎样的运算符号和括号，等式就成立？其结果是

0，0.5，1，1.5，2。
从得数出发，想：
两个相同数的差，等于0；
一个数加上或减去0，仍等于这个数；
一个因数是0，积就等于0；
0除以一个数(不是0)，商等于0；
两个相同数的商为1；
1除以0.5，商等于2；……
解法很多，只举几种：
(0.5－0.5)×0.5×0.5×0.5＝0
0.5－0.5－(0.5－0.5)×0.5＝0
(0.5＋0.5＋0.5)×(0.5－0.5)＝0
(0.5＋0.5－0.5－0.5)×0.5＝0
(0.5－0.5)×0.5×0.5＋0.5＝0.5
0.5＋0.5＋0.5－0.5－0.5＝0.5
(0.5＋0.5)×(0.5＋0.5—0.5)＝0.5
(0.5＋0.5)×0.5＋0.5－0.5＝0.5
(0.5－0.5)×0.5＋0.5＋0.5＝1
0.5÷0.5＋(0.5－0.5)×0.5＝1
(0.5－0.5)÷0.5＋0.5＋0.5＝1
(0.5＋0.5)÷0.5－(0.5＋0.5)＝1
0.5－0.5＋0.5＋0.5÷0.5＝1.5
(0.5＋0.5)×0.5＋0.5＋0.5＝1.5
0.5＋0.5＋0.5＋0.5－0.5＝1.5
0.5÷0.5＋0.5÷0.5－0.5＝1.5
0.5÷0.5÷0.5＋0.5－0.5＝2
(0.5＋0.5)÷0.5＋0.5－0.5＝2
(0.5＋0.5＋0.5－0.5)÷0.5＝2
[(0.5＋0.5)×0.5＋0.5]÷0.5＝2
6.想平均数

思路一：由“任意三个连续自然数的平均数是中间的数”。设第一个数为“1”，则中间数占

知这三个数是14、15、16。

二、一个数分别为

16－1＝15，
15－1＝14 或 16－2＝14。
若先求第一个数，则

思路三：设第三个数为“1”，则第二、三个数，

知是15、16。
思路四：第一、三个数的比是7∶8，第一个数是2÷(8－7)×7＝14。
若先求第三个数，则
2÷(8－7)×8＝16。

7.想奇偶数

例1 思考题：在1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数字中 ，不改变它们的顺序、在它们中间添上加、减两种
符号，使所得的结果都等于100。
例如

1＋23－4＋5＋6＋78－9＝100123＋45－67＋8－9＝100
你还能想出不同的添法吗？
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45。若去掉7 和8间的“＋”，式左为1＋2＋3＋4＋5＋6＋78＋9，比
原式和增大了78－(7＋8)＝63 ，即
1＋2＋3＋4＋5＋6＋78＋9
＝45＋63＝108。
为使其和等于100，式左必须减去8。加4改为减4，即可1＋2＋3－4＋5＋6＋78＋9＝100。
“减去4”可变为“减1、减3”，即－1＋2－3＋4＋5＋6＋78＋9＝100二年级小学生没 学过负“－1”，
不能介绍。如果式左变为
12＋3＋4＋5＋6＋7＋89。
［12－(1＋2)］＋［89－(8＋9)］＝81。即 12＋3＋4＋5＋6＋7＋89＝45＋81＝100＋26。
要将“＋”变为“－”的数和为13，在3、4、5、6、7中有6＋7，3＋4＋6，因而有
12＋3＋4＋5－6－7＋89＝100，
12－3－4＋5－6＋7＋89＝100，
同理得
12＋3－4＋5＋67＋8＋9＝100，
1＋23－4＋56＋7＋8＋9＝100，
1＋2＋34－5＋67－8＋9＝100，
123－4－5－6－7＋8－9＝100，
123＋4－5＋67－89＝100，
123－45－67＋89＝100。
为了减少计算。应注意：
(1)能否在1、23、4、5、6、7、89中间添上加、减(不再去掉某两数间的加号)，结果为100呢？
1、23、5、7、89的和或差是奇数，4、6的和或差是偶数，奇数±偶数＝奇数，结果不会是100。
(2)有一个是四位数，结果也不可能为100。因为1234减去余下数字组成(按顺序)的最大 数789，再减去
余下的56，差大于100。
例2 求59～199的奇数和。
由从1开始的连续n个奇数和、等于奇数个数n的平方
1＋3＋5＋7＋……＋(2n－1)＝n2
奇数比它对应的序数2倍少1。用n表示任意一个自然数，它对应的奇数为2n－1。
例如，32 对应奇数2×32－1＝63。奇数199，从1起的连续奇数中排列在100(2n－1＝199，n＝100 )
的位置上。
知1～199的奇数和是1002＝10000。此和包括59，2n－1 ＝57、n＝29、1～57的奇数和为292＝841。
所求为 10000－841＝9159。
或者 59＝30×2－1，302＝900，
10000－900＋59＝9159。
例1 思考题：在1、2、3、4、5、6、7、8、9九个 数字中，不改变它们的顺序、在它们中间添上加、减两种
符号，使所得的结果都等于100。
例如
1＋23－4＋5＋6＋78－9＝100123＋45－67＋8－9＝100

你还能想出不同的添法吗？

1＋2＋3＋4 ＋5＋6＋7＋8＋9＝45。若去掉7和8间的“＋”，式左为1＋2＋3＋4＋5＋6＋78＋9，比原式< br>和增大了78－(7＋8)＝63，即

1＋2＋3＋4＋5＋6＋78＋9
＝45＋63＝108。
为使其和等于100，式 左必须减去8。加4改为减4，即可1＋2＋3－4＋5＋6＋78＋9＝100。
“减去4”可变为 “减1、减3”，即－1＋2－3＋4＋5＋6＋78＋9＝100二年级小学生没学过负数“－1”，
不能介绍。如果式左变为
12＋3＋4＋5＋6＋7＋89。
［12－(1＋2)］＋［89－(8＋9)］＝81。即 12＋3＋4＋5＋6＋7＋89＝45＋81＝100＋26。
要将“＋”变为“－”的数和为13，在3、4、5、6、7中有6＋7，3＋4＋6，因而有
12＋3＋4＋5－6－7＋89＝100，
12－3－4＋5－6＋7＋89＝100，
同理得
12＋3－4＋5＋67＋8＋9＝100，
1＋23－4＋56＋7＋8＋9＝100，
1＋2＋34－5＋67－8＋9＝100，
123－4－5－6－7＋8－9＝100，
123＋4－5＋67－89＝100，
123－45－67＋89＝100。
为了减少计算。应注意：
(1)能否在1、23、4、5、6、7、89中间添上加、减(不再去掉某两数间的加号)，结果为100呢？
1、23、5、7、89的和或差是奇数，4、6的和或差是偶数，奇数±偶数＝奇数，结果不会是100。
(2)有一个是四位数，结果也不可能为100。因为1234减去余下数字组成(按顺序)的最大 数789，再减去
余下的56，差大于100。
例2 求59～199的奇数和。
由从1开始的连续n个奇数和、等于奇数个数n的平方

1＋3＋5＋7＋……＋(2n－1)＝n2
奇数比它对应的序数2倍少1。用n表示任意一个自然数，它对应的奇数为2n－1。
例如， 32对应奇数2×32－1＝63。奇数199，从1起的连续奇数中排列在100(2n－1＝199，n＝1 00)的位
置上。
知1～199的奇数和是1002＝10000。此和包括59，2n－1 ＝57、n＝29、1～57的奇数和为292＝841。
所求为 10000－841＝9159。
或者 59＝30×2－1，302＝900，
10000－900＋59＝9159。

8.约倍数积法

任意两个自然数的最大公约数与最小公倍数的积，等于这两个自然数的积。
证明：设M、N( 都是自然数)的最大公约数为P，最小公倍数为Q、且M、N不公有的因数各为a、b。
那么 M×N＝P×a×P×b。
而 Q＝P×a×b，
所以 M×N＝P×Q。
例1 甲乙两数的最大公约数是7，最小公倍数是105。甲数是21，乙数是多少？

例2 已知两个互质数的最小公倍数是155，求这两个数。
这两个互质数的积为1×155＝155，还可分解为5×31。
所求是1和155，5和31。
例3 两数的最大公约数是4，最小公倍数是40，大数是数的2.5倍，求各数。
由上述定理和题意知两数的积，是小数平方的2.5倍。
小数的平方为4×40÷2.5＝64。
小数是8。
大数是8×2.5＝20。
算理：4×40＝8×20＝8×(8×2.5)＝82×2.5。

9.想 份 数












10.巧用分解质因数
例1 四个比1大的整数的积是144，写出由这四个数组成的比例式。
144＝24×32
＝(22×3)×[(2×3)×2]
＝(4×3)×(6×2)
可组成4∶6＝2∶3等八个比例式。
例2 三个连续自然数的积是4896，求这三个数。
4896＝25×32×17
＝24×17×(2×32)
＝16×17×18

1728＝26×33＝(22×3)3＝123
385＝5×7×11

例4 1992年小学数学奥林匹克试题初赛(C)卷题3：找出1992的所有不同的质因数，它们的和是多少？
1992＝2×2×2×3×83
2＋3＋83＝88
例5 甲数比乙数大9，两数的积是1620，求这两个数。
1620＝22×34×5
＝(32×22)×(32×5)
甲数是45，乙数是36。
例6 把14、30 、33、75、143、169、4445、4953分成两组，每组四个数且积相等，求这两组数。
八个数的积等于2×7×2×3×5×3×11×3×5×5×11×13×13×13×5×7×127×3× 13×127。

每组数的积为2×32×52×7×11×132×127。两组为

例7 600有多少个约数？
600＝6×100＝2×3×2×2×5×5
＝23×3×52
只含因数2、3、5、2×3、2×5、3×5、2×3×5的约数分别为：
2、22、23；
3；
5、52；
2×3、22×3、23×3；
2×5、22×5、23×5、2×52、22×52、23×52；
3×5、3×52；
2×3×5、22×3×5、23×3×5、2×3×52、22×3×52、23×3×52。
不含2×3×5的因数的数只有1。
这八种情况约数的个数为；
3＋1＋2＋3＋6＋2＋6＋1＝24。
不难发现解题规律：把给定数分解质因数，写成幂指数 形式，各指数分别加1后相乘，其积就是所求约
数的个数。(3＋1)×(1＋1)×(2＋1)＝24 。
17.想 法 则
用来说明运算规律(或方法)的文字，叫做法则。
子比分母少16。求这个分数？
由“一个分数乘以5，是分子乘以5分母不变”，结果是分子的5倍比 3倍比分母少16。知
分 子的5－3＝2(倍)是2＋16＝18，分子为18÷2＝9，分母为9×5－2＝43或9×3＋16＝43 。

18.想 公 式



证明方法：

以分母a，要加(或减)的数为

(2)设分子加上(或减去)的数为x，分母应加上(或减去)的数为y。



19.想 性 质
例1 1992年小学数学奥林匹克试题初赛(C)卷题6：有甲、乙两个 多少倍？



200÷16＝12.5(倍)。
例2 思考题：三个最简真分数 ，它们的分子是连续自然数，分母大于10，且它们最小公分母是60；其
中一个分数的值，等于另两个 分数的和。写出这三个分数。
由“分母都大于10，且最小公分母是60”，知其分母只能是12 、15、20；12、15、30；12、15、60。
由“分子是连续自然数”，知分子只能是小于12的自然数。
满足题意的三个分数是

(二)第400个分数是几分之几？
此题特点：

(2)每组分子的排列：

假设某一组分数的分母是自然数n，则分子从1递增到 n，再递减到1。分数的个数为n＋n－1＝2n－1，
即任何一组分数的个数总是奇数。
(3)分母数与分数个数的对应关系，正是自然数与奇数的对应关系
分母：1、2、3、4、5、……
分数个数：1、3、5、7、9、……
(4)每组分数之前(包括这组本身)所有分数个数的和，等于这组的组号(这一组的分母)的平方。
例如，第3组分数前(包括第3组)所有分数个数的和是32=9。
10×2－1－6=13(个)位置上。

分别排在81＋7＝88(个)，81＋13=94(个)的位置上。
或者102=100， 100－12=88。
100－6＝94， 88＋6＝94。
问题(二)：由上 述一串分数个数的和与组号的关系，将400分成某数的平方，这个数就是第400个分数
所在的组数4 00＝202，分母也是它。
第400个分数在第20组分数中，400是这20组分数的和且正 好是20的平方无剩余，故可断定是最后一
个，即
若分解为某数的平方有剩余，例如，第415个和385个分数各是多少。

逆向思考，上述的一串分数中，分母是35的排在第几到第几个？
352－(35×2－1)＋1
＝1225－69＋1＝1157。
排在1157－1225个的位置上。
20.由规则想
例如，1989年从小爱数学邀请赛试题：接着1989后面写一串数字 ，写下的每一个数字都是它前面两个
数字的乘积的个位数字。
例如，8×9＝72，在9后面写2，9×2＝18，在2后面写8，……得到一串数：1989286……
这串数字从1开始往右数，第1989个数字是什么？
先按规则多计算几个数字，得 86884……显然，1989后面的数总是不断重复出现286884，
每6个一组。
(1989－4)÷6＝330……5
最后一组数接着的五个数字是28688，即第1989个数字是8。
21.用 规 律
例1 第六册P62第14题：选择“＋、－、×、÷”中的符号，把下面各题连成算式，使它们的得数分
别等于0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。
(1)2 2 2 2 2＝0
(2)2 2 2 2 2＝1
……
(10)2 2 2 2 2＝9
解这类题的规律是：

先想用两、三个2列出，结果为0、1、2的基本算式：
2－2＝0，2÷2＝1；
再联想2－2÷2＝1，2×2÷2＝2，2÷2＋2＝3，……
每题都有几种选填方法，这里各介绍一种：
2÷2＋2÷2－2＝0
2÷2×2－2÷2＝1
2－2＋2÷2×2＝2
2×2＋2÷2－2＝3
2×2×2－2－2＝4
2－2÷2＋2×2＝5
2＋2－2＋2×2＝6
2×2×2－2÷2＝7
2÷2×2×2×2＝8
2÷2＋2×2×2＝9
例2 第六册P63题4：写出奇妙的得数
2＋1×9＝
3＋12×9＝
4＋123×9＝
5＋1234×9＝
6＋12345×9＝
得数依次为11、111、1111、11111、111111。此组算式的特点：
第一个加数 由2开始，每式依次增加1。第二个加数由乘式组成，被乘数的位数依次为1、12、123、……
继续 写下去
7＋123456×9=1111111
8＋1234567×9=11111111
9＋12345678×9＝111111111
10＋123456789×9＝1111111111
11＋1234567900×9=
12＋×9=1
……
很自然地想到，可推广为

(1)当n=1、2时，等式显然成立。
(2)设n=k时，上式正确。当n=k＋1时
k＋1＋123…k×9
=k＋1＋[123…(k－1)×10＋k］×9
=k＋1＋123…(k－1)×9×10＋9k
=[k＋123…(k－1)×9]×10＋1

根据数学归纳法原理，由(1)、(2)可断定对于任意的自然数n，此等式都成立。
例3 牢记下面两个规律，可随口说出任意一个自然数作分母的，所有真分数的和。
(1)奇数(除1外)作分母的所有真分数的和、是(分母－1)÷2。

=(21－1)÷2=10。
22.巧想条件
比5小，分母是13的最简分数有多少个。
7～64为64－(7－1)＝58(个)，去掉1 3的倍数13、26、39、52，余下的作分子得54个最简分数。

例2 一个整数与1、2、3，通过加减乘除(可添加括号)组成算式，若结果为24这个整数就是可用的。4、
5、6、7、8、9、10中，有几个是可用的。
看结果，想条件，知都是可用的。
4×(1＋2＋3)＝24
(5＋1＋2)×3＝24
6×(3＋2－1)＝24
7×3＋1＋2＝24
8×3÷(2－1)＝24
9×3－1－2＝24
10×2＋1＋3＝24
23.想和不变

无论某数是多少，原分数的分子与分母的和7＋11=18是不变的。
而新分数的分子与分母的和为1＋2=3，要保持原和不变，必同时扩大18÷3＝6(倍)。


某数为7－6＝1或12－11＝1。
24.想和与差




算理，原式相当于

求这个分数。

25.想差不变


分子与分 母的差41－35＝6是不变的。新分数的此差是8－7＝1，要保持原差不变，新分数的分子和分
母需 同时扩大6÷1＝6(倍)。




某数为42－35＝7，或48－41＝7。
与上例同理。23－11＝12，3－1＝2，12÷2＝6，

某数为11－6＝5或23－18＝5。

分子加上3变成1，说明原分数的分子比分母小3。当分母加上2后，分子比分母应小3＋2=5。



26.想差的12
对于任意分母大于2的同分母最简真分数 来说，其元素的个数一定是偶数，和为这个偶数的一半。分母
减去所有非最简真分数(包括分子和分母相 同的这个假分数)的个数，差就是这个偶数。

例1 求分母是12的所有最简真分数的和。
由12中2的倍数有6个，3的倍数有4个，(2×3)的倍数2个，知所求数是

例2 分母是105的，最简真分数的和是多少？
倍数15个，(3×5)、(5×7)、(3×7)的倍数分别是7、3、5个，(3×5×7)的倍数1个。知
105－［(35＋21＋15)－(3＋5＋7)＋1］＝48，
48÷2＝24。
27.借助加减恒等式
个数。




若从中找出和为1的9个分数，将上式两边同乘以2，得


这九个分数是


28.计算比较
例如，九册思考题：1÷11、2÷11、3÷11……10÷11。想一想，得数有什么规律？


……
可见，除数是11，被除数是1的几倍(倍数不得大于或等于11)，商
17÷11＝(11＋6)÷11＝11÷11＋6÷11

凡商是纯循环小数的除式，都有此规律；不是纯循环小数的，得数不存在这一规律。

不难发现，它们循环节的位数比除数少1，循环数字和顺序相同，只是起点不同。

只 要记住1÷7的循环节数字“142857”和顺序，计算时以最大商的数字为起点，顺序写出全部循环节数字，即可。
29.由验算想
例如，思考题：计算1212÷101，……，393 9÷303，你能从计算中得到启发，很快说出下面各题的得
数？
4848÷202，7575÷505，……
3939÷303
＝(3030＋909)÷303
＝3030÷303＋909÷303
＝10＋3＝13
备课用书这种由“除法的分配律”解，要使三年级学生接受，比较困难。
若从“除法的验算”推导
由3939÷303＝( )，

商百位上的3和13相乘才可得39，商个位上的3也必须与13相乘得39，除数是13确定无疑 。显然，
在被除数上面写上除数，使位数对齐，口算很快会得出结果。

所以商是12。
30.想 倍 比





31.扩 缩 法
例如，两数和是42，如果其中一个数扩大5倍，另一个数扩大4倍，则和是181。求这两个数。
若把和，即这两个数都扩大4倍，则得数比181小，因为原来扩大5倍的那个数少扩大了1倍。差就是
那个数。
181－42×4＝13
42－13＝29
若把两数都扩大5倍，结果比181多了原来扩大4倍的那个数。
42×5－181＝29，42—29＝13。

若把181缩小4倍，则得数比42大。因为其中的一个数先扩大5倍，又

若把181缩小5倍，得数比42小。因为先扩大4倍的那个数，又缩小5

最佳想法：
两数扩大的倍数不同，181不会是42的整倍数。相除就把多扩大1倍的那个数以余数形式分离出来。
181÷42＝4余13。
另个数可这样求

32.分别假设
例如，1992年中学数学奥林匹克试题初赛(C)卷题5：把一个正方 形的一边减少20％，另一边增加2米，
得到一个长方形，它与原来的正方形面积相等。那么，正方形的 面积是多少平方米。
设正方形的边长为1，另一边增加的百分数为x，则
(1－1×20％)×(1＋x)＝1，

正方形边长 2÷25％＝8(米)，
面积 8×8＝64(平方米)。
33.变数为式




……


34.分解再组合
例如，(1＋2＋3＋…＋99)＋(4＋8＋12＋…＋396)
＝(1＋2＋3＋…＋99)＋4(1+2+3＋…＋99)
＝5(1＋2+3＋…＋99)
35.先分解再通分

有的学生通分时用短除法，找了许多数试除都不行，而断定57和76为互质数。

判断两个数是否互质，不必用2、3、5、……逐个试除。把其中一个分解质因数，看另一个数能否 被这里
的某个质因数整除即可。
57＝3×19，如果57和76有公有的质因数，只可能是3或19。用3、19试除，
[57，76]＝19×3×4＝228。


26＝2×13，65和91是13的倍数。
最小公分母为
13×2×5×7＝910。
36.巧用分解质因数
教材中讲分解质因数，主要是为了 求几个数的最大公约数和最小公倍数，给通分和约分打基础。其实，
分解质因数在解题中很有用处。提供 新解法，启迪创造思维。

例2 184×75
原式＝2×2×46×3×5×5
=46×3×(2×5)2
=138×100=13800。
37.变 式 法

38.推理调整
例如，1992年小学数学奥林匹克试题初赛(C)卷题8：一个小于200的自然数，它的每位数 字都是奇数，
并且它是两个两位数的乘积，那么，这个自然数是多少？
由奇数×奇数＝奇数，知这个自然数是两个奇数的乘积。
如果其中一个是11，乘积的十位数字将是百位与个位数字之和、必为偶数。因此，两奇数都至少是13。
所求数只能是13×15＝195。
39.想 顺 推
例如，用1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字，能组成多少个九位数？
由“1”，组成1个数；
由“1、2”，可组成12、21，2个数；
由“1、2、3”，可组成123、132、231、213、312、321，6个数。
可见：
由两个一位数组成的两位数的个数＝2×1：由三个一位数组成的三位数的个数＝3×2。依此类推

40.想 倒 推
倒推是常用的数学思维方法，思考途径是从题目的问题出 发，倒着推理，逐步靠拢已知条件，直到解决
问题。有些题用此法解，能化难为易。
例1 一个数扩大3倍后再增加100，然后缩小2倍后再减去36得50，求这个数。
从最后的差50 倒推。减前是50＋36＝86，缩小2倍前是86×2=172，增加前是172-100=72。扩大3倍前是72÷3=24。即这个数是：
［(50＋36)× 2－100］÷3＝24。
例2 某种细菌每小时可增长1倍，现有一批这样的细菌，10小时可增长100万个。问增长到2 5万个时，
需要几小时？
由“细菌每小时增长1倍”，知增长到25万个后经过1小时增 长到25×2=50(万个)，再过1小时就可
增长到50×2=100(万个)。从25万个增长到1 00万个要用1＋1=2(小时)，所以增长到25万个需
10-2=8(小时)

41.推想与推断
例如，武汉市武昌区数学竞赛题：317的分子和分母同时加上什么数，

因为一个分数的分子与分母同时加上一个数的前后、分母与分子的差17
分母同时扩大14÷2=7(倍)，就是

加上的数是35－17＝18或21－3＝18。
42.巧 归 结
例如，选择“＋、-、 ×、 ÷、( )”中的符号，把七个5连成算式，得数为 0、1、2、3、…10。
5的个数是7以上的都可归结为7个讨论。
此题解法很多，这里只介绍一种。
由5÷5＝1，
5÷5＋5÷5＝2，
5＝5，
知问题可变为，怎样用运算符号把1、2、5连成结果分别等于0、1、2、…10的算式。
1、2、5三个数不能通过四则运算得0和1，但5÷5＝1、5－5＝0、0乘任何数都得0，易得到
0＝(5－5＋5－5＋5－5)×5
1＝5÷5＋5×(5－5＋5－5)
2＝5－(5÷5＋5÷5)－5÷5＝5－2－1
3＝5×(5÷5)－(5÷5＋5÷5)＝5×1－2
4＝5＋5÷5－(5÷5＋5÷5)＝5＋1－2
5＝5×(5÷5＋5÷5)－5÷5＝5×(2－1)
6＝5＋(5÷5＋5÷5)－5÷5＝5＋2－1
7＝5×(5÷5)＋(5÷5＋5÷5)＝5×1＋2
8＝5＋(5÷5－5÷5)＋5÷5＝5＋2＋1
9＝5×(5÷5＋5÷5)－5÷5＝5×2－1
10＝5×(5÷5＋5÷5)×(5÷5)＝5×2×1
若5的个数是8，则
0＝5－5＋5－5＋5－5＋5－5
1＝5÷5＋5－5＋5－5＋5－5
10＝5×2×1
＝5×(1＋1)×1
＝5×5÷5＋5×5÷5×5÷5
9＝5×2－1
＝5×(1＋1)－1
＝5×5÷5＋5×5÷5－5÷5
5＝5×(2－1)
＝5×2－5×1
＝5×(5÷5＋5÷5)－5×5÷5
由5÷5＝1
5－(5＋5＋5)÷5＝2
5=5
知其余各式的讨论，和5的个数为7时相同。即
8=5＋2＋1
=5＋5-(5＋5＋5)÷5＋5÷5
7＝5×1＋2
＝5×5÷5＋5－(5＋5＋5)÷5

6＝5＋2－1
＝5＋5－(5＋5＋5)÷5－5÷5
4＝5＋1－2
＝5＋5÷5－5＋(5＋5＋5)÷5
3＝5×1－2
＝5×5÷5－5＋(5＋5＋5)÷5
2＝5－2－1
＝5－5＋(5＋5＋5)÷5－5÷5
显然，若5的个数是9，只要在5的个数是7的各式后面加上(5－5)。如
10＝5×(5÷5 －5÷5)×(5÷5)＋(5－5)若5的个数是7＋2n(n为自然数)，只要在5的个数是7的各式，后面加上n个(5－5)。
若5的个数是10，只要在5的个数是8的各式，后面加上一个(5－5)。
若5的个数是8＋2n，则只要在5的个数是8的各式，后面加上n个(5－5)。
43.巧 归 类
例如，用1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13这十二个数，编加、减、 乘、除四个算式，每
个数只许用一次。
根据逆运算关系，把“加法和减法”、“乘法和除法”归为一类。
编加减法算式，比编乘除法算式 多得多，宜从量少的入手。想到这十二个数中，能做被除数的只有12、
10、8、6，先编除法算式更 为适宜。
(1)12÷3＝4 (2)12÷2＝6
12÷4＝3 12÷6＝2
(3)10÷2＝5 (4)8÷2＝4 (5)6÷2＝3
10÷5＝2 8÷4＝2 6÷3＝2
确定(1)组为除法算式，其余四组都可变为乘法算式。由于每个数只许 用一次，此组已出现3、4、12。乘
法算式的(2)、(4)、(5)组重复、舍去。唯有第(3)组 符合题意。
若(1)组为除法算式，(3)组为乘法算式。或反过来，各得四式
12÷3＝4 10÷2＝5
12÷4=3 10÷5=2
4×3=12 5×2=10
3×4=12 2×5=10
剩的六个数，可组成
6＋7=13 8＋1=9
7＋6=13 1＋8=9
13－6＝7 9－1＝8
13－7＝6 9-8=1
整理：
组合：
(1)组可组合算式

(2)、(3)、(4)均可组成16种答案，共64种。
44.想 联 系
求这二数。
由整数除法、分数、比的内在联系想：
被除数÷除数＝商(整数)……余数；

45.想 关 系
例1 一个减法式子中，被减数、减数与差的和是76。求被减数。76÷2＝38

例2 被减数是7，被减数、减数与差的和是多少？
7×2＝14
例3 被除数、除数和商的积是196。求被除数。
196＝2×2×7×7
＝14×14
被除数是14。
例1与此例的算理
设A－B＝C，那么A＝B＋C。
若A＋B＋C＝n，则A＋A＝n，2A＝n，A＝n2。
设A÷B＝C，那么A＝B×C。
如果A×B×C＝n，则有A×A＝n。
A可用分解质因数法求。
46.想 对 调
例如，第八册P94思考题：用1、2、3、4、5、6、7、8、9 九个数字，写出三个大小相等的分数，每个
数字只许用一次。参考书中给出：
这三种和下面的四种答案的分子和分母对调，为14种。
还能求出12种
47.逻辑思考
例如，一个硬币重10克，每10个硬币为一摞，一共有10摞。从表面 上看，这10摞硬币都一样，其实
里面有一摞是假的。现在只知道假币比真币轻2克，你能只称一次，就 把这摞假币找出来吗？
从第一摞里取一个硬币，从第二摞里取两个，……从第十摞中取十个。55 个放在一起称，如果都是真的，
应重10×55＝550(克)。
假如称的结果是538 克，那就少了12克，每个假币比真币少2克，因而有12÷2＝6(个)，说明6个硬
币的第六摞是假 的。
若称的结果是542克，少了8克，说明第四摞是假的。
48.由特征想
例如，哪些自然数的和能被2、4、5、7整除？
任何个偶数的和，能被2整除；
偶数个奇数的和，能被2整除；
任意四个连续自然数，如果首尾两数的和能被5整除，那么这四个数的和也能被5整除；
任意四个连续偶数的和，能被4整除；
任意五个(或5的倍数)个连续自然数的和，能被5整除；
任意七个连续自然数的和，能被7整除；
…………
49.以零求整
把题分成有联系而又相对独立的小问题，进而解决所求问题。
例如，第五册P20思 考题：用0、1、2…9十个数字组成三个数(每个数字只能用一次，且必须用一次)，
其中两个数的和 等于第三个数。
这是三位数加三位数等于四位数，百位上两数相加和为10，其它两位数相加不进位的题。
分成小问题：一位数分别相加，其中一组的和为10，再分别找出两个数相加得第三个数。
这样分别开来，易找出
3＋7＝10，
2＋6＝8，
4＋5＝9，
合起来为324＋765＝1089。
或者4＋6＝10，
2＋7＝9，

3＋5＝8，
423＋675＝1098。
再分别交换个位、十位上的数字，又可得到多组答案
50.探 索 法
就是多方寻求答案，解决疑难。
51.观 察 法
数学知识是通过数、式、形三方面的内容，体现客观事物和空间形式相互间数量关系的。这常常需要 观
察。
例1 计算下组算式的(1)、(2)、(3)，类推出(4)的结果。
(1)1＋1×8
(2)2＋12×8
(3)3＋123×8
(4)4＋1234×8
仔细观察算式间的联系，
第一个加数，逐次增加1；第二个加数逐次增加11，111， 1111，……而乘数都是8，即第二个加数中
两个数的乘积，逐次多11个8，111个8，……；(1)式，(2)式，(3)式，……的结果逐次 增加 89，889，8889，……
由式(3)的结果9＋89＋889＝987，知
式(4)为 987＋8889＝9876。
例2 观察
不难发现：自然数从1开始，累加到任何一个自然数，其和除以下一个
是偶数，商是小数，是奇数时，商是整数。
如：(1＋2＋3＋…＋1000＋1001)
例3 由11＋1.1＝11×1.1，
知其积等于其和。
特点：第一个加数是整数。第二个加数是带分数，整数部分是1，分数部分的分 子是1，分母比第一个加
数少1。
例4 观察分析

…………
会产生一个直觉：如果a与b是互质数(且a＞b)，那么a±b与ab是互质数。
此结论成立的话，两个分子是1，分母是互质数的分数相加减，所得结果岂不是不必考虑约分了吗？
用反证法证明：
若a±b与ab不互质，而有因子d的话，设a±b＝cd，ab＝ed。
则由ab＝ed，d为素数可知，或d｜a，或d｜b。
若d｜a，则由a±b＝cd，可知必有d｜b，这与ab是互质数矛盾。
同理，若d｜b，也有矛盾，所以a±b与ab互质。
52.猜测与证明
美国数学家G •玻利亚在《数学与似真推理》一书中写道：“人们对数学事实总是首先猜测，然后才加以
证明。”
例1 3×4＝12
它的积是由1和2依顺序排列的数。
由33×34＝1122
333×334＝111222
n个 n个 n个 n个
为方便起见，在后面的n位数乘以n位数等于2n位数的乘法中，用省略号连在一起的n个数字不再 标n
个了，它们的个数同上式一样。
证明：

令S＝11…1，
则S＝10n－1＋10n－2＋…＋10＋1，
10S＝10n＋10n－1＋…＋102＋10，
9S＝10S－S＝10n－1，

由此得

故33…3×33…4＝11…122…2，
进而可得33…3×33…5
＝33…3×(33…34＋1)
＝11…122…2＋33…3
＝11…155…5。
例2 abcd各不相同，表示一个四位数。问各是什么数时，能同时被2、3、5整除？
智力好的学生 ，总是经过一番尝试和猜测后，就力图寻求一般规律，不遗漏地写出符合要求的全部四位
数。符合题意的 数是，各位上的数字和一定能被3整除，且个位数字是0。
如果a、b、c分别取1、2、3作为一组的话，有1230、1320、2130、 2310、3120、3210。
这样的数组有：
1、2、3 1、2、6 1、2、9
1、3、5 1、3、8 1、4、7
1、5、6 1、5、9 1、6、8
1、8、9 2、3、4 2、3、7
2、4、6 2、4、9 2、5、8
2、6、7 2、7、9 3、4、5
3、8、4 3、5、7 3、6、9
4、5、9 4、6、8 5、6、7
5、7、9 6、7、8 7、8、9
符合题意的全部四位数是，
6×27＝162(个)
例3 证明：任意10个连续的自然数一定能找出4个a、b、c、d，使(a－b)×(c－d)能被56整除。若使 (a－
b)×(c－d)能被56整除，只要a－b能被8(或7)整除，c－d能被7(或8)整除。
在10个连续自然数中，必有两数的差为8，其余8个数中必有两数的差为7。
设10个连续自然数为：
n、n＋1、n＋2、…、n＋9，
则(n＋8)－n＝8，
(n＋9)－(n＋2)＝7。
这里 a＝n＋8，
b＝n，
c＝n＋9，
d＝n＋2，
或 a＝n＋9，
b＝n＋2，
c＝n＋8，
d＝n。
或者(n＋9)－(n＋1)＝8，
(n＋7)－n＝7。
这里a＝n＋9，
b＝n＋1，

c=n＋7，d=n，
或 a=n＋7， b=n，
c=n＋9，d=n＋1。
例4 任意连续4n个自然数的和除以2的商是第一个数与最后一个数和的n倍。
证明：设任意的连续自然数m，m＋1，m＋2，……
当n＝1时，因为m＋(m＋1)＋(m＋2)＋(m＋3)＝4m＋6，所以

＝2m＋3＝［m＋(m＋3)］×1。
当n＝2时，因为m＋(m＋1)＋(m＋2)＋…＋( m＋4×2－1)＝8m＋(1＋2＋…＋7)＝8m＋28。所以

＝4m＋14＝［m＋(m＋7)］×2。
当m＝3时，因为m＋(m＋1)＋(m＋2)＋…＋ (m＋4×3－1)＝12m＋(1＋2＋…＋11)＝12m＋66。所以

＝6m＋33＝［m＋(m＋11)］×3。


＝［m1＋(m＋k－1)k］×n。

这里m1＝9，(m＋k－1)k＝40，

原式＝(9＋40)×8＝392。
53.相似运算
例1 在0、1、2、3、4、5、6、7、8、9中，任选一个数字， 把它与9相乘，得到一个积，把这个积再
乘上12345679，答案所有数位上的数字总是和选择的那 个数字一样。
比如说，选择5，5×9＝45。

两边都除以5，
12345679×9=11 11 11 11 1。
对于任何其它数字，可进行同样的推理。用数字a乘等式两边，
12345679×(a×9)＝(11 11 11 11 1)a
＝aaaaaaaaa 。
例2 任意选出小于10的三个不同的自然数，如1、6、8。
从中任取两个，组成二位数16、18、61、68、81、86。其和为330。
1＋6＋8＝15。
两位数的和除以一位数的和，
设a、b、c表示任意三个不同的小于10的自然数，组成两位数，
10a＋b 10a＋c 10b＋a
10b＋c 10c＋a 10c＋b
其和为 22a＋22b＋22c
＝22(a＋b＋c)
遇到类似的运算，可不假思索地写出22。