小学数学解题思路大全式题的巧解妙算
保护环境的英语作文-经济纠纷起诉状
小学数学解题思路大全：式题的巧解妙算
1.特殊数题(1)21－12
当被减数和减数个位和十位上的数字(零除外)交叉相等时，其差为被减数与减数十位数字的差乘以
9。
因为这样的两位数减法，最低起点是21－12，差为9，即(2－1)×9。减数增加1，其差也
就相应地
增加了一个9，故31－13＝(3－1)×9＝18。减数从12—89，都可类推。
被减数和减数同时扩大(或缩小)十倍、百倍、千倍……，常数9也相应地扩大(或缩小)相同的倍
数，其差不变。如
210－120＝(2－1)×90＝90，
－＝(6－5)×＝。
(2)31×51
个位数字都是1，十位数字的和小於10
的两位数相乘，其积的前两位是十位数字的积，後两位
是十位数字的和同1连在一起的数。
若十位数字的和满10，进1。如
证明：(10a＋1)(10b＋1)
＝100ab＋10a＋10b＋1 ＝100ab＋10(a＋b)＋1
(3)26×86
42×62
个位数字相同，十位数字和是10的两位数相
乘，十位数字的积与个位数字的和为积的前两位数，
後两位是个位数的积。若个位数的积是一位数，前面
补0。
证明：(10a＋c)(10b＋c) ＝100ab＋10c(a＋b)＋cc
＝100(ab＋c)＋cc
(a＋b＝10)。
(4)17×19
十几乘以十几，任意一乘数与另一乘数的个位数之和乘以10，加个位数的积。
原式＝(17＋9)×10＋7×9＝323
证明：(10＋a)(10＋b)
＝100＋10a＋10b＋ab ＝[(10＋a)＋b]×10＋ab。
(5)63×69
十位数字相同，个位数字不同的两位数相乘，用一个乘数与另个乘数的个位数之和乘以十位数
字，再乘以10，加个位数的积。
原式＝(63＋9)×6×10＋3×9
＝72×60＋27＝4347。
证明：(10a＋c)(10a＋d)
＝100aa＋10ac＋10ad＋cd ＝10a[(10a＋c)＋d]＋cd。
(6)83×87
十位数字相同，个位数字的和为10，用十位数字加1的和乘以十位
数字的积为前两位数，後两
位是个位数的积。如
证明：(10a＋c)(10a＋d)
=100aa＋10a(c＋d)＋cd ＝100a(a＋1)＋cd(c＋d＝10)。
(7)38×22
十位数字的差是1，个位数字的和是10且乘数的个位数字与十位数
字相同的两位数相乘，积为
被乘数的十位数与个位数的平方差。
原式＝(30＋8)×(30－8) ＝302－82＝836。
(8)88×37
被乘数首尾相同，乘数首尾的和是10的两位数相乘，乘数十位数字与1的和
乘以被乘数的相同
数字，是积的前两位数，後两位是个位数的积。
(9)36×15
乘数是15的两位数相乘。
被乘数是偶数时，积为被乘数与其一半的和乘以10；
是奇数时，积为被乘数加上它本身减去1
後的一半，和的後面添个5。
＝54×10＝540。
55×15
(10)125×101
三位数乘以101，积为被乘数与它的百位数字的和，接写它的後两位数。125＋1＝126。
原式＝12625。
再如348×101，因为348＋3＝351，
原式＝35148。
(11)84×49
一个数乘以49，把这个数乘以100，除以2，再减去这个数。
原式＝8400÷2－84
＝4200－84＝4116。
(12)85×99
两位数乘以9、99、999、…。在被乘数的後面添上和乘数中9的个数一样多的0、再减去被乘数。
原式＝8500－85＝8415
不难看出这类题的积：
最高位上的两位数(或一位数)，是被乘数与1的差；
最低位上的两位数，是100与被乘数的差；
中间数字是9，其个数是乘数中9的个数与2的差。
证明：设任意两位数的个位数字为b、十位数字为a(a≠0)，则
如果被乘数的个位数是1，例如
31×999
在999前面添30为30999，再减去30，结果为30969。
71×9999＝709999－70＝709929。
这是因为任何一个末位为1的两位自然
数都可表示为(10a＋1)的形式，由9组成的自然数可表示
为(10n－1)的形式，其积为
(10a＋1)(10n－1)＝10n＋1a＋(10n－1)－10a。
(13)1÷19
这是一道颇为繁复的计算题。
原式＝。
根据「如果被除数不变，除数扩大(或缩小)若干倍，商反而缩小(或扩大)相同倍」和「商不变」
性质，可很方便算出结果。
原式转化为÷，把看作2，计算程式：
(1)先用÷2＝。
(2)把商向右移动一位，写到被除数里，继续除
如此除到循环为止。
仔细分析这个算式：
加
号前面的是÷2的商，後面的×÷中×＝，就是把商向右移动一位写到被除数里，除以。这样我们
又可把
除数看作2继续除，依此类推。
除数末位是9，都可用此法计算。
例如1÷29，用÷3计算。
1÷399，用÷40计算。
2.估算
数学素养与能力(含估算能力)的强弱，直接影响到人们的生活节奏和工作、学习、科研效率。已
经引起
世界有关专家、学者的重视，是个亟待研究的课题。
美国数学督导委员会，提出的12种面向全
体学生的基本数学能力中，第6种能力即估算：「学生
应会通过心算或使用各种估算技巧快速进行近似计
算。当解题或购物中需要计算时，估算可以用於考
查合理性。检验预测或作出决定……」
(1)最高位估算
只计算式中几个运算数字的最高位的结果，估算整个算式的值大概在什麽范围。
例1
1137＋5044－3169
最高位之和1＋5－3＝3，结果在3000左右。
如果因为忽视小数点而算成560，依据「
一个不等於零的数乘以真分数，积必小於被乘数」估算，
错误立即暴露。
例3
×
整体思考。 因为
≈50，
而50×≈50×＝75， 又＞50，＞，
所以×＞75。 另外9×1＝9，
所以原式结果大致是75多一点，三位小数的末位数字是9。
例4
3279÷79
把3279和79，看作3200和80。准确商接近40，若相差较大，则是错的。
(2)最低位估算
例如，6403＋232＋1578
3＋2＋8＝13，原式和的末位必是3。
(3)规律估算
和大於每一个加数；
两个真分数(或纯小数)的和小於2；
一个真分数与一个带分数(或一个纯小数与
一个带小数)的和大於这个带分数(或带小数)，且小於
这个带分数(或带小数)的整数部分与2的和；
两个带分数(或带小数)的和总是大於两个带分数(或带小数)整数部分的和，且小於这两个整数部
分的和加上2；
奇数±奇数＝偶数，偶数±偶数＝偶数，奇数±偶数＝奇数；
差总是小於被减数；
整数与带分数(或带小数)的差小於整数与带分数(或带小数
)的整数部分的差；带分数(或带小数)，
与整数的差大於带分数(或带小数)的整数部分与整数的差。
带分数(或带小数)与真分数(或纯小数)的差小於这个带分数(或带小数)，且大於带分数(或带
小数)
减去1的差；
带分数与带分数(或带小数与带小数)的差小於被减数与减数的整数部分的差，且大於这个差减去
1；
如果两个因数都小於1，则积小於任意一个因数；
若两个因数都大於1，则积大於任意一个因数；
带分数与带分数(或带小数与带小数)的积大於
两个因数的整数部分的积，且小於这两个整数部分
分别加1後相乘的积；
例如，
A＜AB＜B。
奇数×偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数；
若除数＜1，则商＞被除数；
若除数＞1，则商＜被除数；
若被除数＞除数，则商＞1；
若被除数＜除数，则商＜1。
(4)位数估算
整数减去小数，差的小数位数等於减数的小数位数；例如，320－，差为两位小数。
最高位的乘积满十的两个整数相乘的积的位数，等於这两个数的位数和；
例如，451×7103
最高位的积4×7＝28，满10，结果是3＋4＝7(位数)。在整
除的情况下，被除数的前几位不够除，
商的位数等於被除数的位数减去除数的位数；
例如，147342÷27
14不够27除，商是4－2＝2(位数)。
被除数的前几位够除，商的位数等於被除数的位数与除数位数的差加上1。
例如，30226÷238
302够238除，商是5－3＋1＝3(位数)。
(5)取整估算
把接近整数或整十、整百、……的数，看作整数，或整十、整百…的数估算。
如＋≈2＋1，和定小於3。
12×≈10×10，积接近100。
3.并项式
应用交换律、结合律，把能凑整的数先并起来或去括号。
例1
＋＋
＝＋＋
＝＋10＝ ＝3－3＝0
例3
－＋ ＝－－ ＝12－＝
例4
1600÷(400÷7) ＝1600÷400×7 ＝4×7 ＝28
4.提取式
根据乘法分配律，可逆联想。
＝＋×＝10× ＝4
5.合乘式
＝×10×1＝875
＝8－7＝1
6.扩 缩 式
例1 ×16＋×36
＝×(64＋36)
＝×100＝40
例2 16×45
??
7.分 解
式
例如，14×72＋42×76 ＝14×3×24＋42×76
＝42×(24＋76)
8.约 分 式
＝3×7×2＝42
例2 169÷4÷7×28÷13
??
=1988
例7 1988
÷989被除数与除数，分别除
9.拆 分 式
??
10.拆 积
式
例如，32××25 ＝ 8××(4×25) ＝10×100＝1000
11.换 和 式
例1 ×8 ＝＋×8 ＝1＋＝
42×100＝4200 ＝
例4 － ＝＋－＋
＝－6＝
12.换 差 式
13.换 乘 式
例1 123＋234＋345＋456＋567＋678
＝(123＋678)×3 ＝801×3＝2403
例2＋＋＋×25
＝×(4×25)＝672
例3 45000÷8÷125
＝45000÷(8×125) ＝45000÷1000＝45
例4 ÷÷25
＝÷×4×25) ＝÷80
＝÷8＝
例5 33333×33333
＝11111×99999 ＝11111×(100000－1)
＝00－11111 ＝89
综合应用，例如
＝1000＋7＝1007
＝＋－－×(转) ＝[＋－＋]×(合)
＝8× ＝8×(125＋(拆) ＝8×125＋8×＝1002
14.换 除 式
例如，5600÷(25×7) ＝5600÷7÷25 ＝800÷25＝32
15.直 接 除
17.以乘代加
例1 7＋4＋5＋2＋3＋6
＝9×3＝27
如果两个分数的分子相同，且等於分母之和(或差)，那麽这两个分数的和(或差)等於它们的积。
18.以乘代减
知，两个分数的分子都是1，分母是连续自然数，其差等於其积。
可见，各分数的分子都是1。第一个减数的分母等於被减数的分母加1。第二个减数的分母等於被减
数的分母
与第一个减数的分母的积加1，第n个减数的分母等於被减数的分母与第一、二、……第n-1
个减数的分母的连乘
积加上1。(n爲不小於2的自然数)其差等於其积
19.以加代乘
一个整数与一个整数部分和分子都是1，分母比整数(另个乘数)小1
20.以除代乘
例如，25×8 ＝8×(100÷4) ＝÷4
＝00
21.以减代除
＝1986－662＝1324
3510÷15
＝(3510－1170)÷10＝234