【含义】就是研究钟面上时针与分针关系的问题，如两针重合、两针垂直、两针
成一线、两针夹角为6 0度等。时钟问题可与追及问题相类比。
【数量关系】分针的速度是时针的12倍，
二者的速度差为1112。
通常按追及问题来对待，也可以按差倍问题来计算。
【解题思路和方法】变通为“追及问题”后可以直接利用公式。
例1从时针指向4点开始，再经过多少分钟时针正好与分针重合？
解钟面的一周分为60格， 分针每分钟走一格，每小时走60格；时针每小时走5
格，每分钟走560＝112格。每分钟分针比时 针多走（1－112）＝1112格。
4点整，时针在前，分针在后，两针相距20格。所以
分针追上时针的时间为20÷（1－112）≈22（分）
答：再经过22分钟时针正好与分针重合。
例2四点和五点之间，时针和分针在什么时候成直角？
解钟面上有60格，它的14是15格 ，因而两针成直角的时候相差15格（包括
分针在时针的前或后15格两种情况）。四点整的时候，分针 在时针后（5×4）
格，如果分针在时针后与它成直角，那么分针就要比时针多走（5×4－15）格，
如果分针在时针前与它成直角，那么分针就要比时针多走（5×4＋15）格。再根
据1分钟分 针比时针多走（1－112）格就可以求出二针成直角的时间。
（5×4－15）÷（1－112）≈6（分）
（5×4＋15）÷（1－112）≈38（分）
答：4点06分及4点38分时两针成直角。
例3六点与七点之间什么时候时针与分针重合？
解六点整的时候，分针在时针后（5×6）格，分针要与时针重合，就得追上时针。
这实际上是 一个追及问题。
（5×6）÷（1－112）≈33（分）
答：6点33分的时候分针与时针重合。
14盈亏问题

【含义】根 据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余（盈），
一次不足（亏），或两次都有余，或 两次都不足，求人数或物品数，这类应用题
叫做盈亏问题。
【数量关系】一般地说，在两次分配中，如果一次盈，一次亏，则有：
参加分配总人数＝（盈＋亏）÷分配差
如果两次都盈或都亏，则有：
参加分配总人数＝（大盈－小盈）÷分配差
参加分配总人数＝（大亏－小亏）÷分配差
【解题思路和方法】大多数情况可以直接利用数量关系的公式。
例1给幼儿园小朋友分苹果， 若每人分3个就余11个；若每人分4个就少1个。
问有多少小朋友？有多少个苹果？
解按照“参加分配的总人数＝（盈＋亏）÷分配差”的数量关系：
（1）有小朋友多少人？（11＋1）÷（4－3）＝12（人）
（2）有多少个苹果？3×12＋11＝47（个）
答：有小朋友12人，有47个苹果。
例2修一条公路，如果每天修260米，修完全长就得延长8天；如果每天修300
米，修完全 长仍得延长4天。这条路全长多少米？
解题中原定完成任务的天数，就相当于“参加分配的总人数”， 按照“参加分配
的总人数＝（大亏－小亏）÷分配差”的数量关系，可以得知
原定完成任务的天数为
（260×8－300×4）÷（300－260）＝22（天）
这条路全长为300×（22＋4）＝7800（米）
答：这条路全长7800米。
例3学校组织春游，如果每辆车坐40人，就余下30人；如果每辆车坐45人，
就刚好坐完。问有多 少车？多少人？
解本题中的车辆数就相当于“参加分配的总人数”，于是就有

（1）有多少车？（30－0）÷（45－40）＝6（辆）
（2）有多少人？40×6＋30＝270（人）
答：有6辆车，有270人。
15工程问题
【含义】工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。这类
问题在已知条件中，常常不给出工作量的具体数量，只提出“一项工程”、“一
块土地”、“一 条水渠”、“一件工作”等，在解题时，常常用单位“1”表示
工作总量。
【数量关系】解答 工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这样，工作效率就
是工作时间的倒数（它表示单位时间内完成 工作总量的几分之几），进而就可以
根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。
工作量＝工作效率×工作时间
工作时间＝工作量÷工作效率
工作时间＝总工作量÷（甲工作效率＋乙工作效率）
【解题思路和方法】变通后可以利用上述数量关系的公式。
例1一项工程，甲队单独做需要1 0天完成，乙队单独做需要15天完成，现在两
队合作，需要几天完成？
解题中的“一项工程 ”是工作总量，由于没有给出这项工程的具体数量，因此，
把此项工程看作单位“1”。由于甲队独做需 10天完成，那么每天完成这项工程
的110；乙队单独做需15天完成，每天完成这项工程的115； 两队合做，每天
可以完成这项工程的（110＋115）。
由此可以列出算式：1÷（110＋115）＝1÷16＝6（天）
答：两队合做需要6天完成。
例2一批零件，甲独做6小时完成，乙独做8小时完成。现在两 人合做，完成任
务时甲比乙多做24个，求这批零件共有多少个？

解设总工作 量为1，则甲每小时完成16，乙每小时完成18，甲比乙每小时多
完成（16－18），二人合做时每 小时完成（16＋18）。因为二人合做需要［1
÷（16＋18）］小时，这个时间内，甲比乙多做2 4个零件，所以
（1）每小时甲比乙多做多少零件？
24÷［1÷（16＋18）］＝7（个）
（2）这批零件共有多少个？
7÷（16－18）＝168（个）
答：这批零件共有168个。
解二上面这道题还可以用另一种方法计算：
两人合做，完成任务时甲乙的工作量之比为16∶18＝4∶3
由此可知，甲比乙多完成总工作量的4－34＋3＝17
所以，这批零件共有24÷17＝168（个）
例3一件工作，甲独做12小时完成，乙独做 10小时完成，丙独做15小时完成。
现在甲先做2小时，余下的由乙丙二人合做，还需几小时才能完成 ？
解必须先求出各人每小时的工作效率。如果能把效率用整数表示，就会给计算带
来方便，因 此，我们设总工作量为12、10、和15的某一公倍数，例如最小公倍
数60，则甲乙丙三人的工作效 率分别是
60÷12＝560÷10＝660÷15＝4
因此余下的工作量由乙丙合做还需要
（60－5×2）÷（6＋4）＝5（小时）
答：还需要5小时才能完成。
例4一个水池，底部装有一个常开的排水管，上部装有若干个同 样粗细的进水管。
当打开4个进水管时，需要5小时才能注满水池；当打开2个进水管时，需要
15小时才能注满水池；现在要用2小时将水池注满，至少要打开多少个进水管？
解注（排）水问题是 一类特殊的工程问题。往水池注水或从水池排水相当于一项
工程，水的流量就是工作量，单位时间内水的 流量就是工作效率。

要2小时内将水池注满，即要使2小时内的进水量与排水量之差刚 好是一池水。
为此需要知道进水管、排水管的工作效率及总工作量（一池水）。只要设某一个
量 为单位1，其余两个量便可由条件推出。
我们设每个同样的进水管每小时注水量为1，则4个进水管5 小时注水量为（1
×4×5），2个进水管15小时注水量为（1×2×15），从而可知
每小时的排水量为（1×2×15－1×4×5）÷（15－5）＝1
即一个排水管与每个进水管的工作效率相同。由此可知
一池水的总工作量为1×4×5－1×5＝15
又因为在2小时内，每个进水管的注水量为1×2，
所以，2小时内注满一池水
至少需要多少个进水管？（15＋1×2）÷（1×2）
＝8.5≈9（个）
答：至少需要9个进水管。

16正反比例问题
【含义】两种相关联的 量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中
相对应的两个数的比的比值一定（即商一定）， 那么这两种量就叫做成正比例的
量，它们的关系叫做正比例关系。正比例应用题是正比例意义和解比例等 知识的
综合运用。
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对 应的
两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。
反比例应用 题是反比例的意义和解比例等知识的综合运用。
【数量关系】判断正比例或反比例关系是解这类应用题 的关键。许多典型应用题
都可以转化为正反比例问题去解决，而且比较简捷。
【解题思路和方 法】解决这类问题的重要方法是：把分率（倍数）转化为比，应
用比和比例的性质去解应用题。
正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似。

例1修一条公路，已修的是未 修的13，再修300米后，已修的变成未修的12，
求这条公路总长是多少米？
解由条件知，公路总长不变。
原已修长度∶总长度＝1∶（1＋3）＝1∶4＝3∶12
现已修长度∶总长度＝1∶（1＋2）＝1∶3＝4∶12
比较以上两式可知，把总长度当作 12份，则300米相当于（4－3）份，从而知
公路总长为300÷（4－3）×12＝3600（米 ）
答：这条公路总长3600米。
例2张晗做4道应用题用了28分钟，照这样计算，91分钟可以做几道应用题？
解做题效率一定，做题数量与做题时间成正比例关系
设91分钟可以做X应用题则有28∶4＝91∶X
28X＝91×4X＝91×4÷28X＝13
答：91分钟可以做13道应用题。
例3孙亮看《十万个为什么》这本书，每天看24页，15天看完，如果每天看36
页，几天就可以看 完？
解书的页数一定，每天看的页数与需要的天数成反比例关系
设X天可以看完，就有24∶36＝X∶15
36X＝24×15X＝10
答：10天就可以看完。
例4一个大矩形被分成六个小矩形，其中四个小矩形的面积如图所示，求大矩
形的面积。
A
36
25
B
20
16
解由面积÷宽 ＝长可知，当长一定时，面积与宽成正比，所以每一上下两个小矩
形面积之比就等于它们的宽的正比。又 因为第一行三个小矩形的宽相等，第二行
三个小矩形的宽也相等。因此，

A∶36＝20∶1625∶B＝20∶16
解这两个比例，得A＝45B＝20
所以，大矩形面积为45＋36＋25＋20＋20＋16＝162
答：大矩形的面积是162
17按比例分配问题
【含义】所谓按比例分配，就是把 一个数按照一定的比分成若干份。这类题的已
知条件一般有两种形式：一是用比或连比的形式反映各部分 占总数量的份数，另
一种是直接给出份数。
【数量关系】从条件看，已知总量和几个部分量的 比；从问题看，求几个部分量
各是多少。总份数＝比的前后项之和
【解题思路和方法】先把各 部分量的比转化为各占总量的几分之几，把比的前后
项相加求出总份数，再求各部分占总量的几分之几（ 以总份数作分母，比的前后
项分别作分子），再按照求一个数的几分之几是多少的计算方法，分别求出各 部
分量的值。
例1学校把植树560棵的任务按人数分配给五年级三个班，已知一班有47人 ，
二班有48人，三班有45人，三个班各植树多少棵？
解总份数为47＋48＋45＝140
一班植树560×47140＝188（棵）
二班植树560×48140＝192（棵）
三班植树560×45140＝180（棵）
答：一、二、三班分别植树188棵、192棵、180棵。
例2用60厘米长的铁丝围成一 个三角形，三角形三条边的比是3∶4∶5。三条
边的长各是多少厘米？
解3＋4＋5＝1260×312＝15（厘米）
60×412＝20（厘米）
60×512＝25（厘米）
答：三角形三条边的长分别是15厘米、20厘米、25厘米。

例3从前有个牧民，临死前留下遗言，要把17只羊分给三个儿子，大儿子分总
数的12，二儿子分总数的13，三儿子分总数的19，并规定不许把羊宰割分，
求三个儿子各分多少只 羊。
解如果用总数乘以分率的方法解答，显然得不到符合题意的整数解。如果用按比
例分配的 方法解，则很容易得到
12∶13∶19＝9∶6∶2
9＋6＋2＝1717×917＝9
17×617＝617×217＝2
答：大儿子分得9只羊，二儿子分得6只羊，三儿子分得2只羊。
例4某工厂第一、二、三车 间人数之比为8∶12∶21，第一车间比第二车间少80
人，三个车间共多少人？
人数
对应的份数
80人
12－8
一共多少人？
8＋12＋21
解80÷（12－8）×（8＋12＋21）＝820（人）
答：三个车间一共820人。
18百分数问题
【含义】百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数。百分数是一种特殊 的
分数。分数常常可以通分、约分，而百分数则无需；分数既可以表示“率”，也
可以表示“量 ”，而百分数只能表示“率”；分数的分子、分母必须是自然数，
而百分数的分子可以是小数；百分数有 一个专门的记号“%”。
在实际中和常用到“百分点”这个概念，一个百分点就是1%，两个百分点就是
2%。
【数量关系】掌握“百分数”、“标准量”“比较量”三者之间的数量关系：
百分数＝比较量÷标准量
标准量＝比较量÷百分数
【解题思路和方法】一般有三种基本类型：

（1）求一个数是另一个数的百分之几；
（2）已知一个数，求它的百分之几是多少；
（3）已知一个数的百分之几是多少，求这个数。
例1仓库里有一批化肥，用去720千克， 剩下6480千克，用去的与剩下的各占
原重量的百分之几？
解（1）用去的占720÷（720＋6480）＝10%
（2）剩下的占6480÷（720＋6480）＝90%
答：用去了10%，剩下90%。
例2红旗化工厂有男职工420人，女职工525人，男职工人数比女职工少百分之
几？解本题 中女职工人数为标准量，男职工比女职工少的人数是比较量所以（525
－420）÷525＝0.2＝ 20%
或者1－420÷525＝0.2＝20%
答：男职工人数比女职工少20%。 < br>例3红旗化工厂有男职工420人，女职工525人，女职工比男职工人数多百分之
几？解本题中 以男职工人数为标准量，女职工比男职工多的人数为比较量，因此
（525－420）÷420＝0.25＝25%
或者525÷420－1＝0.25＝25%
答：女职工人数比男职工多25%。
例4红旗化工厂有男职工420人，有女职工525人，男、女职工各占全厂职工总
数的百分之几？
解（1）男职工占420÷（420＋525）＝0.444＝44.4%
（2）女职工占525÷（420＋525）＝0.556＝55.6%
答：男职工占全厂职工总数的44.4%，女职工占55.6%。
例5百分数又叫百分率，百分率在工农业生产中应用很广泛，常见的百分率有：
增长率＝增长数÷原来基数×100%
合格率＝合格产品数÷产品总数×100%

出勤率＝实际出勤人数÷应出勤人数×100%
出勤率＝实际出勤天数÷应出勤天数×100%
缺席率＝缺席人数÷实有总人数×100%
发芽率＝发芽种子数÷试验种子总数×100%
成活率＝成活棵数÷种植总棵数×100%
出粉率＝面粉重量÷小麦重量×100%
出油率＝油的重量÷油料重量×100%
废品率＝废品数量÷全部产品数量×100%
命中率＝命中次数÷总次数×100%
烘干率＝烘干后重量÷烘前重量×100%
及格率＝及格人数÷参加考试人数×100%
19“牛吃草”问题
【含义】“牛吃草”问题是大科学家牛顿提出的问题，也叫“牛顿问题” 。这类
问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素。
【数量关系】草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数
【解题思路和方法】解这类题的关键是求出草每天的生长量。
例1一块草地，10头牛20天 可以把草吃完，15头牛10天可以把草吃完。问多
少头牛5天可以把草吃完？
解草是均匀生 长的，所以，草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数。求“多少
头牛5天可以把草吃完”，就是说5天 内的草总量要5天吃完的话，得有多少头
牛？设每头牛每天吃草量为1，按以下步骤解答：
（1）求草每天的生长量
因为，一方面20天内的草总量就是10头牛20天所吃的草，即（ 1×10×20）；
另一方面，20天内的草总量又等于原有草量加上20天内的生长量，所以
1×10×20＝原有草量＋20天内生长量
同理1×15×10＝原有草量＋10天内生长量

由此可知（20－10）天内草的生长量为
1×10×20－1×15×10＝50
因此，草每天的生长量为50÷（20－10）＝5
（2）求原有草量
原有草量＝10天内总草量－10内生长量＝1×15×10－5×10＝100
（3）求5天内草总量
5天内草总量＝原有草量＋5天内生长量＝100＋5×5＝125
（4）求多少头牛5天吃完草
因为每头牛每天吃草量为1，所以每头牛5天吃草量为5。
因此5天吃完草需要牛的头数125÷5＝25（头）
答：需要5头牛5天可以把草吃完。
例2一只船有一个漏洞，水以均匀速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水。
如果有12个人 淘水，3小时可以淘完；如果只有5人淘水，要10小时才能淘完。
求17人几小时可以淘完？
解这是一道变相的“牛吃草”问题。与上题不同的是，最后一问给出了人数（相
当于“牛数”），求时 间。设每人每小时淘水量为1，按以下步骤计算：
（1）求每小时进水量
因为，3小时内的总水量＝1×12×3＝原有水量＋3小时进水量
10小时内的总水量＝1×5×10＝原有水量＋10小时进水量
所以，（10－3）小时内的进水量为1×5×10－1×12×3＝14
因此，每小时的进水量为14÷（10－3）＝2
（2）求淘水前原有水量
原有水量＝1×12×3－3小时进水量＝36－2×3＝30
（3）求17人几小时淘完
17人每小时淘水量为17，因为每小时漏进水为2，所以实际上船中每小时减少
的水量为（1 7－2），所以17人淘完水的时间是

30÷（17－2）＝2（小时）
答：17人2小时可以淘完水。
20鸡兔同笼问题
【含义】这是古典的算术问题。 已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚，求鸡、
兔各有多少只的问题，叫做第一鸡兔同笼问题。已知鸡 兔的总数和鸡脚与兔脚的
差，求鸡、兔各是多少的问题叫做第二鸡兔同笼问题。
【数量关系】第一鸡兔同笼问题：
假设全都是鸡，则有
兔数＝（实际脚数－2×鸡兔总数）÷（4－2）
假设全都是兔，则有
鸡数＝（4×鸡兔总数－实际脚数）÷（4－2）
第二鸡兔同笼问题：
假设全都是鸡，则有
兔数＝（2×鸡兔总数－鸡与兔脚之差）÷（4＋2）
假设全都是兔，则有
鸡数＝（4×鸡兔总数＋鸡与兔脚之差）÷（4＋2）
【解题 思路和方法】解答此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡，也可以
假设都是兔。如果先假设都是鸡 ，然后以兔换鸡；如果先假设都是兔，然后以鸡
换兔。这类问题也叫置换问题。通过先假设，再置换，使 问题得到解决。
例1长毛兔子芦花鸡，鸡兔圈在一笼里。数数头有三十五，脚数共有九十四。请
你仔细算一算，多少兔子多少鸡？
解假设35只全为兔，则
鸡数＝（4×35－94）÷（4－2）＝23（只）
兔数＝35－23＝12（只）
也可以先假设35只全为鸡，则
兔数＝（94－2×35）÷（4－2）＝12（只）

鸡数＝35－12＝23（只）
答：有鸡23只，有兔12只。
例 22亩菠菜要施肥1千克，5亩白菜要施肥3千克，两种菜共16亩，施肥9千
克，求白菜有多少亩？
解此题实际上是改头换面的“鸡兔同笼”问题。“每亩菠菜施肥（1÷2）千克”
与“每只鸡有 两个脚”相对应，“每亩白菜施肥（3÷5）千克”与“每只兔有4
只脚”相对应，“16亩”与“鸡兔 总数”相对应，“9千克”与“鸡兔总脚数”
相对应。假设16亩全都是菠菜，则有
白菜亩数＝（9－1÷2×16）÷（3÷5－1÷2）＝10（亩）
答：白菜地有10亩。
例3李老师用69元给学校买作业本和日记本共45本，作业本每本3.20元，日
记本每本0 .70元。问作业本和日记本各买了多少本？
解此题可以变通为“鸡兔同笼”问题。假设45本全都是日记本，则有
作业本数＝（69－0.70×45）÷（3.20－0.70）＝15（本）
日记本数＝45－15＝30（本）
答：作业本有15本，日记本有30本。
例4（第二鸡兔同笼问题）鸡兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与
兔各多少只？
解假设100只全都是鸡，则有
兔数＝（2×100－80）÷（4＋2）＝20（只）
鸡数＝100－20＝80（只）
答：有鸡80只，有兔20只。
例5有100个 馍100个和尚吃，大和尚一人吃3个馍，小和尚3人吃1个馍，问
大小和尚各多少人？
解假 设全为大和尚，则共吃馍（3×100）个，比实际多吃（3×100－100）个，
这是因为把小和尚 也算成了大和尚，因此我们在保证和尚总数100不变的情况

下，以“小”换“大”，一 个小和尚换掉一个大和尚可减少馍（3－13）个。因
此，共有小和尚
（3×100－100）÷（3－13）＝75（人）
共有大和尚100－75＝25（人）
答：共有大和尚25人，有小和尚75人。
21方阵问题
【含义】将若干人或物依 一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总
人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题。
【数量关系】（1）方阵每边人数与四周人数的关系：
四周人数＝（每边人数－1）×4
每边人数＝四周人数÷4＋1
（2）方阵总人数的求法：
实心方阵：总人数＝每边人数×每边人数
空心方阵：总人数＝（外边人数）?－（内边人数）?
内边人数＝外边人数－层数×2
（3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：
总人数＝（每边人数－层数）×层数×4
【解题思路和方法】方阵问题有实心与空心两种。实心方阵的求法是以每边的数
自乘；空心方阵 的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。
例1在育才小学的运动会上，进行体操表演的同学排成 方阵，每行22人，参加
体操表演的同学一共有多少人？
解22×22＝484（人）
答：参加体操表演的同学一共有484人。
例2有一个3层中空方阵，最外边一层有10人，求全方阵的人数。
解10－（10－3×2）?
＝84（人）

答：全方阵84人。
例3有一队学生，排成一个中空方阵，最外层人数是52人，最内层人数是28
人，这队学生共 多少人？
解（1）中空方阵外层每边人数＝52÷4＋1＝14（人）
（2）中空方阵内层每边人数＝28÷4－1＝6（人）
（3）中空方阵的总人数＝14×14－6×6＝160（人）
答：这队学生共160人。
例4一堆棋子，排列成正方形，多余4棋子，若正方形纵横两个方向各增加一层，
则缺少9只棋 子，问有棋子多少个？
解（1）纵横方向各增加一层所需棋子数＝4＋9＝13（只）
（2）纵横增加一层后正方形每边棋子数＝（13＋1）÷2＝7（只）
（3）原有棋子数＝7×7－9＝40（只）
答：棋子有40只。
例5有一个三角 形树林，顶点上有1棵树，以下每排的树都比前一排多1棵，最
下面一排有5棵树。这个树林一共有多少 棵树？
解第一种方法：1＋2＋3＋4＋5＝15（棵）
第二种方法：（5＋1）×5÷2＝15（棵）
答：这个三角形树林一共有15棵树。
21方阵问题
【含义】将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总
人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题。
【数量关系】（1）方阵每边人数与四周人数的关系：
四周人数＝（每边人数－1）×4
每边人数＝四周人数÷4＋1
（2）方阵总人数的求法：
实心方阵：总人数＝每边人数×每边人数

空心方阵：总人数＝（外边人数）?－（内边人数）?
内边人数＝外边人数－层数×2
（3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：
总人数＝（每边人数－层数）×层数×4
【解题思路和方法】方阵问题有实心与空心两种。实 心方阵的求法是以每边的数
自乘；空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。
例 1在育才小学的运动会上，进行体操表演的同学排成方阵，每行22人，参加
体操表演的同学一共有多少 人？
解22×22＝484（人）
答：参加体操表演的同学一共有484人。
例2有一个3层中空方阵，最外边一层有10人，求全方阵的人数。
解10－（10－3×2）?
＝84（人）
答：全方阵84人。
例3有 一队学生，排成一个中空方阵，最外层人数是52人，最内层人数是28
人，这队学生共多少人？
解（1）中空方阵外层每边人数＝52÷4＋1＝14（人）
（2）中空方阵内层每边人数＝28÷4－1＝6（人）
（3）中空方阵的总人数＝14×14－6×6＝160（人）
答：这队学生共160人。
例4一堆棋子，排列成正方形，多余4棋子，若正方形纵横两个方向各增加一层，
则缺少9只棋 子，问有棋子多少个？
解（1）纵横方向各增加一层所需棋子数＝4＋9＝13（只）
（2）纵横增加一层后正方形每边棋子数＝（13＋1）÷2＝7（只）
（3）原有棋子数＝7×7－9＝40（只）
答：棋子有40只。

例5有一个三角形树林，顶点上有1棵树，以下每排的树都比前一排多1棵，最
下面一排有5棵树。这个 树林一共有多少棵树？
解第一种方法：1＋2＋3＋4＋5＝15（棵）
第二种方法：（5＋1）×5÷2＝15（棵）
答：这个三角形树林一共有15棵树。
22商品利润问题
【含义】这是一种在生产经营中经常遇到的问题，包括成本、利润、利润率 和亏
损、亏损率等方面的问题。
【数量关系】利润＝售价－进货价
利润率＝（售价－进货价）÷进货价×100%
售价＝进货价×（1＋利润率）
亏损＝进货价－售价
亏损率＝（进货价－售价）÷进货价×100%
【解题思路和方法】简单的题目可以直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。
例1某商品 的平均价格在一月份上调了10%，到二月份又下调了10%，这种商品
从原价到二月份的价格变动情况 如何？
解设这种商品的原价为1，则一月份售价为（1＋10%），二月份的售价为（1＋
1 0%）×（1－10%），所以二月份售价比原价下降了
1－（1＋10%）×（1－10%）＝1%
答：二月份比原价下降了1%。
例2某服装店因搬迁，店内商品八折销售。苗苗买了一件衣服 用去52元，已知
衣服原来按期望盈利30%定价，那么该店是亏本还是盈利？亏（盈）率是多少？ < br>解要知亏还是盈，得知实际售价52元比成本少多少或多多少元，进而需知成本。
因为52元是原 价的80%，所以原价为（52÷80%）元；又因为原价是按期望盈利
30%定的，所以成本为52÷ 80%÷（1＋30%）＝50（元）
可以看出该店是盈利的，盈利率为（52－50）÷50＝4%

答：该店是盈利的，盈利率是4%。
例3成本0.25元的作业本1200册 ，按期望获得40%的利润定价出售，当销售出
80%后，剩下的作业本打折扣，结果获得的利润是预定 的86%。问剩下的作业本
出售时按定价打了多少折扣？
解问题是要计算剩下的作业本每册实 际售价是原定价的百分之几。从题意可知，
每册的原定价是0.25×（1＋40%），所以关键是求出 剩下的每册的实际售价，
为此要知道剩下的每册盈利多少元。剩下的作业本售出后的盈利额等于实际总盈
利与先售出的80%的盈利额之差，即
0.25×1200×40%×86%－0.25×1200×40%×80%＝7.20（元）
剩下的作业本每册盈利7.20÷［1200×（1－80%）］＝0.03（元）
又可知（0.25＋0.03）÷［0.25×（1＋40%）］＝80%
答：剩下的作业本是按原定价的八折出售的。
例4某种商品，甲店的进货价比乙店的进货价便 宜10%，甲店按30%的利润定价，
乙店按20%的利润定价，结果乙店的定价比甲店的定价贵6元， 求乙店的定价。
解设乙店的进货价为1，则甲店的进货价为1－10%＝0.9
甲店定价为0.9×（1＋30%）＝1.17
乙店定价为1×（1＋20%）＝1.20
由此可得乙店进货价为6÷（1.20－1.17）＝200（元）
乙店定价为200×1.2＝240（元）
答：乙店的定价是240元。
23存款利率问题
【含义】把钱存入银行是有一定利息的，利息的多少，与本金、利率、存期 这三
个因素有关。利率一般有年利率和月利率两种。年利率是指存期一年本金所生利
息占本金的 百分数；月利率是指存期一月所生利息占本金的百分数。
【数量关系】年（月）利率＝利息÷本金÷存款年（月）数×100%
利息＝本金×存款年（月）数×年（月）利率
本利和＝本金＋利息

＝本金×［1＋年（月）利率×存款年（月）数］
【解题思路和方法】简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。
例1李大强 存入银行1200元，月利率0.8%，到期后连本带利共取出1488元，
求存款期多长。
解因为存款期内的总利息是（1488－1200）元，
所以总利率为（1488－1200）÷1200又因为已知月利率，
所以存款月数为（1488－1200）÷1200÷0.8%＝30（月）
答：李大强的存款期是30月即两年半。
例2银行定期整存整取的年利率是：二年期7.92 %，三年期8.28%，五年期9%。
如果甲乙二人同时各存入1万元，甲先存二年期，到期后连本带利 改存三年期；
乙直存五年期。五年后二人同时取出，那么，谁的收益多？多多少元？
解甲的总利息
［10000×7.92%×2＋［10000×（1＋7.92%×2）］×8.28%×3
＝1584＋11584×8.28%×3＝4461.47（元）
乙的总利息10000×9%×5＝4500（元）
4500－4461.47＝38.53（元）
答：乙的收益较多，乙比甲多38.53元。
学典型应用题
24溶液浓度问题
【含义】在生产和生活中，我们经常会遇到溶液浓 度问题。这类问题研究的主要
是溶剂（水或其它液体）、溶质、溶液、浓度这几个量的关系。例如，水是 一种
溶剂，被溶解的东西叫溶质，溶解后的混合物叫溶液。溶质的量在溶液的量中所
占的百分数 叫浓度，也叫百分比浓度。
【数量关系】溶液＝溶剂＋溶质
浓度＝溶质÷溶液×100%
【解题思路和方法】简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。

例1爷爷有16%的糖水50克，（1）要把它稀释成10%的糖水，需加水多少克？
（2）若要把 它变成30%的糖水，需加糖多少克？
解（1）需要加水多少克？50×16%÷10%－50＝30（克）
（2）需要加糖多少克？50×（1－16%）÷（1－30%）－50
＝10（克）
答：（1）需要加水30克，（2）需要加糖10克。
例2要把30%的糖水与15%的糖水 混合，配成25%的糖水600克，需要30%和15%
的糖水各多少克？
解假设全用30%的糖水溶液，那么含糖量就会多出
600×（30%－25%）＝30（克）
这是因为30%的糖水多用了。于是，我们设想在 保证总重量600克不变的情况下，
用15%的溶液来“换掉”一部分30%的溶液。这样，每“换掉” 100克，就会减
少糖100×（30%－15%）＝15（克）所以需要“换掉”30%的溶液（即“ 换上”
15%的溶液）100×（30÷15）＝200（克）
由此可知，需要15%的溶液200克。
需要30%的溶液600－200＝400（克）
答：需要15%的糖水溶液200克，需要30%的糖水400克。
例3甲容器有浓度为12 %的盐水500克，乙容器有500克水。把甲中盐水的一半
倒入乙中，混合后再把乙中现有盐水的一半 倒入甲中，混合后又把甲中的一部分
盐水倒入乙中，使甲乙两容器中的盐水同样多。求最后乙中盐水的百 分比浓度。
解由条件知，倒了三次后，甲乙两容器中溶液重量相等，各为500克，因此，只
要算出乙容器中最后的含盐量，便会知所求的浓度。下面列表推算：

原有
甲容器
盐水500
盐500×12%＝60
第一次把甲中一半
盐水500÷2＝250 盐水500＋250＝750
乙容器
水500

倒入乙中后 盐60÷2＝30 盐30
盐水750÷2＝375
盐30÷2＝15
盐水500
盐45－36＋15＝24
第而次把乙中一半
盐水250＋375＝625
倒入甲中后
盐30＋15＝45
第三次使甲乙中 盐水500
盐水同样多
由以上推算可知，
盐45－9＝36
乙容器中最后盐水的百分比浓度为24÷500＝4.8%
答：乙容器中最后的百分比浓度是4.8%。
25构图布数问题
【含义】这是一种 数学游戏，也是现实生活中常用的数学问题。所谓“构图”，
就是设计出一种图形；所谓“布数”，就是 把一定的数字填入图中。“构图布数”
问题的关键是要符合所给的条件。
【数量关系】根据不同题目的要求而定。
【解题思路和方法】通常多从三角形、正方形、圆形 和五角星等图形方面考虑。
按照题意来构图布数，符合题目所给的条件。
例1十棵树苗子，要栽五行子，每行四棵子，请你想法子。
解符合题目要求的图形应是一个五角星。
4×5÷2＝10
因为五角星的5条边交叉重复，应减去一半。
例2九棵树苗子，要栽十行子，每行三棵子，请你想法子。
解符合题目要求的图形是两个倒立交叉的等腰三角形，
一个三角形的顶点在另一个三角形底边的中线上。
例3九棵树苗子，要栽三行子，每行四棵子，请你想法子。
解符合题目要求的图形是一个三角 形，每边栽4棵树，三个顶点上重复应减去，
正好9棵。4×3－3＝9

例4 把12拆成1到7这七个数中三个不同数的和，有几种写法？请设计一种图
形，填入这七个数，每个数只 填一处，且每条线上三个数的和都等于12。
解共有五种写法，即12＝1＋4＋712＝1＋5＋61 2＝2＋3＋7
12＝2＋4＋612＝3＋4＋5
在这五个算式中，4出现三次，其余的 1、2、3、5、6、7各出现两次，因此，4
应位于三条线的交点处，其余数都位于两条线的交点处。 据此，我们可以设计出
以下三种图形：
26幻方问题
【含义】把n×n个自然数排 在正方形的格子中，使各行、各列以及对角线上的
各数之和都相等，这样的图叫做幻方。最简单的幻方是 三级幻方。
【数量关系】每行、每列、每条对角线上各数的和都相等，这个“和”叫做“幻
和”。
三级幻方的幻和＝45÷3＝15
五级幻方的幻和＝325÷5＝65
【解题思路 和方法】首先要确定每行、每列以及每条对角线上各数的和（即幻和），
其次是确定正中间方格的数，然 后再确定其它方格中的数。
例1把1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数填入九个方格中，使 每行、每列、
每条对角线上三个数的和相等。
解幻和的3倍正好等于这九个数的和，所以幻和为
（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9）÷3＝45÷3＝15
九个数在这八条线上反复出 现构成幻和时，每个数用到的次数不全相同，最中心
的那个数要用到四次（即出现在中行、中列、和两条 对角线这四条线上），四角
的四个数各用到三次，其余的四个数各用到两次。看来，用到四次的“中心数 ”
地位重要，宜优先考虑。
设“中心数”为Χ，因为Χ出现在四条线上，而每条线上三个数之 和等于15，
所以（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9）＋（4－1）Χ＝15×4
2 7 6
[来源:学科网]

9
4
即45＋3Χ＝60所以Χ＝5
5
3
1
8
接着用奇偶分析法寻找其余四个偶数的位置，它们
分别在四个角，再确定其余四个奇数的位置，它们分别
在中行、中列，进一步尝试，容易得到正确的结果。
例2把2，3，4，5，6，7，8，9，10这九个数填到九个方格中，
使每行、每列、以及对角线上的各数之和都相等。
解只有三行，三行用完了所给的9个数，所以每行三数之和为
（2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10）÷3＝18
假设符合要求的数都已经填好，那么 三行、三列、两条对角线共8行上的三个数
之和都等于18，我们看18能写成哪三个数之和：
最大数是10：18＝10＋6＋2＝10＋5＋3
最大数是9：18＝9＋7＋2＝9＋6＋3＝9＋5＋4
最大数是8：18＝8＋7＋3＝8＋6＋4
最大数是7：18＝7＋6＋5刚好写成8个算式。
首先确定正中间方格的数。第二横行、第 二竖行、两个斜行都用到正中间方格的
数，共用了四次。观察上述8个算式，只有6被用了4次，所以正 中间方格中应
填6。
9
4
5
2
6
7
8
10 3
然后确定四个角的数。四个角的数都用了三次，而上述8个算式中只有 9、7、5、
3被用了三次，所以9、7、5、3应填在四个角上。但还应兼顾两条对角线上三
个数的和都为18。
最后确定其它方格中的数。如图。

27抽屉原则问题
【含义】把3只苹果放进两个抽屉中，会出现哪些结果呢？要么把2只苹果放进
一个抽屉，剩下 的一个放进另一个抽屉；要么把3只苹果都放进同一个抽屉中。
这两种情况可用一句话表示：一定有一个 抽屉中放了2只或2只以上的苹果。这
就是数学中的抽屉原则问题。
【数量关系】基本的抽屉 原则是：如果把n＋1个物体（也叫元素）放到n个抽
屉中，那么至少有一个抽屉中放着2个或更多的物 体（元素）。
抽屉原则可以推广为：如果有m个抽屉，有k×m＋r（0＜r≤m）个元素那么至少有一个抽屉中要放（k＋1）个或更多的元素。
通俗地说，如果元素的个数是抽屉个数的k倍多 一些，那么至少有一个抽屉要放
（k＋1）个或更多的元素。
【解题思路和方法】（1）改造抽屉，指出元素；
（2）把元素放入（或取出）抽屉；
（3）说明理由，得出结论。
例1育才小学有367个1999年出生的学生，那么其中至少有几个学生的生日是
同
一天的？
解由于1999年是润年，全年共有366天，可以看作366个“抽屉”，把36 7个
1999年出生的学生看作367个“元素”。367个“元素”放进366个“抽屉”中，
至少有一个“抽屉”中放有2个或更多的“元素”。
这说明至少有2个学生的生日是同一天的。 < br>例2据说人的头发不超过20万跟，如果陕西省有3645万人，根据这些数据，你
知道陕西省至 少有多少人头发根数一样多吗？
[来源:学*科*网Z*X*X*K]

解人的头发不 超过20万根，可看作20万个“抽屉”，3645万人可看作3645万
个“元素”，把3645万个 “元素”放到20万个“抽屉”中，得到
3645÷20＝182„„5根据抽屉原则的推广规律，可知k＋1＝183
答：陕西省至少有183人的头发根数一样多。

例3一个袋子里有一些球，这 些球仅只有颜色不同。其中红球10个，白球9个，
黄球8个，蓝球2个。某人闭着眼睛从中取出若干个 ，试问他至少要取多少个球，
才能保证至少有4个球颜色相同？
解把四种颜色的球的总数（3 ＋3＋3＋2）＝11看作11个“抽屉”，那么，至少
要取（11＋1）个球才能保证至少有4个球的 颜色相同。
答；他至少要取12个球才能保证至少有4个球的颜色相同。
28公约公倍问题
【含义】需要用公约数、公倍数来解答的应用题叫做公约数、公倍数问题。
【数量关系】绝大多数要用最大公约数、最小公倍数来解答。
【解题思路和方法】先确定题目 中要用最大公约数或者最小公倍数，再求出答案。
最大公约数和最小公倍数的求法，最常用的是“短除法 ”。
例1一张硬纸板长60厘米，宽56厘米，现在需要把它剪成若干个大小相同的最
大的正 方形，不许有剩余。问正方形的边长是多少？
解硬纸板的长和宽的最大公约数就是所求的边长。
60和56的最大公约数是4。
答：正方形的边长是4厘米。
例2甲、乙、丙三辆 汽车在环形马路上同向行驶，甲车行一周要36分钟，乙车
行一周要30分钟，丙车行一周要48分钟， 三辆汽车同时从同一个起点出发，问
至少要多少时间这三辆汽车才能同时又在起点相遇？
解要 求多少时间才能在同一起点相遇，这个时间必定同时是36、30、48的倍数。
因为问至少要多少时间 ，所以应是36、30、48的最小公倍数。36、30、48的最
小公倍数是720。
答：至少要720分钟（即12小时）这三辆汽车才能同时又在起点相遇。
例3一个四边形广 场，边长分别为60米，72米，96米，84米，现要在四角和
四边植树，若四边上每两棵树间距相等 ，至少要植多少棵树？

解相邻两树的间距应是60、72、96、84的公约数，要使 植树的棵数尽量少，须
使相邻两树的间距尽量大，那么这个相等的间距应是60、72、96、84这几 个数
的最大公约数12。
所以，至少应植树（60＋72＋96＋84）÷12＝26（棵）
答：至少要植26棵树。
例4一盒围棋子，4个4个地数多1个，5个5个地数多1个，6个 6个地数还
多1个。又知棋子总数在150到200之间，求棋子总数。
解如果从总数中取出 1个，余下的总数便是4、5、6的公倍数。因为4、5、6
的最小公倍数是60，又知棋子总数在15 0到200之间，所以这个总数为
60×3＋1＝181（个）
答：棋子的总数是181个。
29最值问题
【含义】科学的发展观认为，国民经济 的发展既要讲求效率，又要节约能源，
要少花钱多办事，办好事，以最小的代价取得最大的效益。这类应 用题叫做最值
问题。
【数量关系】一般是求最大值或最小值。
【解题思路和方法】按照题目的要求，求出最大值或最小值。
例1在火炉上烤饼，饼的两面都 要烤，每烤一面需要3分钟，炉上只能同时放两
块饼，现在需要烤三块饼，最少需要多少分钟？
解先将两块饼同时放上烤，3分钟后都熟了一面，这时将第一块饼取出，放入第
三块饼，翻过第二块饼 。再过3分钟取出熟了的第二块饼，翻过第三块饼，又放
入第一块饼烤另一面，再烤3分钟即可。这样做 ，用的时间最少，为9分钟。
答：最少需要9分钟。
例2在一条公路上有五个卸煤场，每相 邻两个之间的距离都是10千米，已知1
号煤场存煤100吨，2号煤场存煤200吨，5号煤场存煤4 00吨，其余两个煤场
是空的。现在要把所有的煤集中到一个煤场里，每吨煤运1千米花费1元，集中< br>到几号煤场花费最少？

解我们采用尝试比较的方法来解答。
集中到1号场总费用为1×200×10＋1×400×40＝18000（元）
集中到2号场总费用为1×100×10＋1×400×30＝13000（元）
集中到3号场总费用为1×100×20＋1×200×10＋1×400×10＝12000（元）
集中到4号场总费用为1×100×30＋1×200×20＋1×400×10＝11000（元）
集中到5号场总费用为1×100×40＋1×200×30＝10000（元）
经过比较，显然，集中到5号煤场费用最少。
答：集中到5号煤场费用最少。
重庆 武汉
400
300
北京 800
上海 500

例3北京和上海同时制成计算机若干台，北京可调运外地10台，上海可调运外
地4台。现决定 给重庆调运8台，给武汉调运6台，
若每台运费如右表，问如何调运才使运费最省？
解北京调运到重庆的运费最高，因此，北京
往重庆应尽量少调运。这样，把上海的4台全都调
往重庆，再从北京调往重庆4台，调往武汉6台，运费就会最少，其数额为
500×4＋800×4＋400×6＝7600（元）
答：上海调往重庆4台，北京调往武汉6台，调往重庆4台，这样运费最少。
30列方程问题
【含义】把应用题中的未知数用字母Χ代替，根据等量关系列出含有未知数的等
式——方程，通 过解这个方程而得到应用题的答案，这个过程，就叫做列方程解
应用题。
【数量关系】方程的等号两边数量相等。
【解题思路和方法】可以概括为“审、设、列、解、验、答”六字法。

（1） 审：认真审题，弄清应用题中的已知量和未知量各是什么，问题中的等量
关系是什么。
（2）设：把应用题中的未知数设为Χ。
（3）列；根据所设的未知数和题目中的已知条件，按照等量关系列出方程。
（4）解；求出所列方程的解。
（5）验：检验方程的解是否正确，是否符合题意。
（6）答：回答题目所问，也就是写出答问的话。
同学们在列方程解应用题时，一般只写出四 项内容，即设未知数、列方程、解方
程、答语。设未知数时要在Χ后面写上单位名称，在方程中已知数和 未知数都
不带单位名称，求出的Χ值也不带单位名称，在答语中要写出单位名称。检验的
过程不 必写出，但必须检验。
例1甲乙两班共90人，甲班比乙班人数的2倍少30人，求两班各有多少人？
解第一种方法：设乙班有Χ人，则甲班有（90－Χ）人。
找等量关系：甲班人数＝乙班人数×2－30人。
列方程：90－Χ＝2Χ－30
解方程得Χ＝40从而知90－Χ＝50
第二种方法：设乙班有Χ人，则甲班有（2Χ－30）人。
列方程（2Χ－30）＋Χ＝90
解方程得Χ＝40从而得知2Χ－30＝50
答：甲班有50人，乙班有40人。
例2鸡兔35只，共有94只脚，问有多少兔？多少鸡？
解第一种方法：设兔为Χ只，则鸡为 （35－Χ）只，兔的脚数为4Χ个，鸡的脚
数为2（35－Χ）个。根据等量关系“兔脚数＋鸡脚数＝ 94”可列出方程4Χ＋2
（35－Χ）＝94解方程得Χ＝12则35－Χ＝23
第二种方法：可按“鸡兔同笼”问题来解答。假设全都是鸡，
则有兔数＝（实际脚数－2×鸡兔总数）÷（4－2）

所以兔数＝（94－2×35）÷（4－2）＝12（只）
鸡数＝35－12＝23（只）
答：鸡是23只，兔是12只。
例3仓库里有化肥 940袋，两辆汽车4次可以运完，已知甲汽车每次运125袋，
乙汽车每次运多少袋？
解第 一种方法：求出甲乙两车一次共可运的袋数，再减去甲车一次运的袋数，即
是所求。940÷4－125 ＝110（袋）
第二种方法：从总量里减去甲汽车4次运的袋数，即为乙汽车共运的袋数，再除
以4，即是所求。（940－125×4）÷4＝110（袋）
第三种方法：设乙汽车每次运Χ袋，可列出方程940÷4－Χ＝125
解方程得Χ＝110
第四种方法：设乙汽车每次运Χ袋，依题意得
（125＋Χ）×4＝940解方程得Χ＝110
答：乙汽车每次运110袋。
一、☆变单位“1” ☆
例题1：甲乙两色糖的重量比是4:1，如果从甲色糖取出10克放 入乙色糖后，甲
乙两色糖的重量之比是7:5，那么甲色糖原来重多少克？




变式：甲、乙两个书架上共有若干本书，已知甲书架的书比乙书架的书为7: 5。
如果从甲书架拿出39本放到乙书架上，则乙书架的书比甲书架的书多 ，求甲、
乙两个书架共有多少本书？

二、☆倒推法 ☆
例题2：耕一块地，第一天的比这块地的 多2公顷，第二天耕的比剩下的 少1
公顷，这时还剩38公顷没有耕，这块地共有多少公顷？



变式：小红看一本故事书，第一天看了这本书的一半又10页，第二天看了余下
的一半又10页 ，第三天看了10页正好看完。这本故事书共有多少页？



三、☆行程问题☆
例题3：两地相距600千米，甲乙两列火车同时从两地出发相向而行，经 过6小
时相遇，已知甲每小时行的路程比乙每小时行的 多1千米，乙每小时行多少千
米？


变式：甲、乙两车分别从A、B两地同时相对开出，经过5小时相遇，相遇后 各
自继续前进，又经过3小时，甲车到达B地，这时乙车距离A地还有120千米，
A、B两地 相距多少千米？



例题4：一架飞机在A、B两个城市之间飞行 ，顺风需要5.5小时，逆风需要6
小时，风速为24千米时，A、B两城市之间的距离是多少？

变式1：一艘货轮往返于上下游两 个码头之间，逆流而上需要38小时，顺流而
下需要32小时，若水流速度为8千米时，则两码头之间的 距离是多少千米？



四、☆工程问题（掌握假设和合并技巧）☆
例题5：一件工程，甲独做要40天，乙独做要60天，现在两人合做，中间甲因
病休息了几天 ，所以27天才完成，甲休息了多少天？（假设技巧）



< br>变式：甲乙两人合作一批零件，需25天完成，先由甲单独加工10天，再由乙单
独加工30天， 这时共加工了这批零件的 ，乙每天能加工这批零件的几分之几？
（合并技巧）


五、☆比例问题☆
例题6：一辆汽车在甲乙两站之间行驶，往返一次共用4小时，汽车去时每 小时
行45千米，回来时每小时行30千米。甲乙两站之间的距离是多少千米？（抓准
不变量）

变式1：甲乙两个瓶 子里装的溶液体积相等，甲瓶中酒精与水的体积比是3:1，
乙瓶中酒精与水的体积比是4:1，现在把 两瓶溶液混和在一起，这时酒精和水的
体积比是多少？




变式2：光明小学五年级共有学生140人，分成三个小组进行植树活动，已知第
一个小组与第二个小组人数的比是2:3，第二个小组与第三个小组人数的比是
4:5，这三个小组各有 多少人？




六、☆立体几何☆
例题7：一只装有水的长方体玻璃杯，底面积是60平方厘米，水深8厘米。现
将一个
底面积是12平方厘米的圆柱体铁块竖放在水中后，仍有一部分铁块露在水面上，
现在
水深多少厘米？

变式：有一个高为8厘米，容积为50毫升的圆柱形容器，里面装满了水，现把
长16
厘米的圆柱垂直放入，这时一部分水从容器中溢出，当把水中圆柱从容器中取出
后，
容器中水高度是6厘米，求圆柱体体积。




七、☆方程法，俗称“万能法” ☆
例题8：甲书架有800本书，乙书架有240本书，现 在甲乙书架分别都取走相等
的书，乙书架剩下的书正好是甲书架剩下的书的 ，甲、乙书架分别取走了多少
本书？

八、☆销售问题☆
例题9：某商品按20%的利润定价，然后又按8折售出，结果亏损了64元，这个
商品
的成本是多少元？



变式：商店以每双6.5元的价格 购进一批凉鞋，售价为每双8.7元,卖到还剩200
双时，除去购进这批凉鞋的成本外还获利20元， 这批凉鞋共有多少双？

九、☆分数与百分数问题☆
例题10：甲乙两班共有62人参加科技小组活动，甲班参加人数的 比乙班参加
人数的 少2人。甲乙两班各有多少人参加科技小组活动？



变式1：某校选出男教师的 和女教师12人参加广播操比赛，剩下的男教师人数
是女教师人数 的2倍，已知学校共有男女教师156名，男教师有多少人？




变式2：张伯伯买回两框苹果，甲框的重量是乙框的75%，如果从乙框拿出10
千克放入甲框 ，那么，甲框的苹果重量是乙框的2倍，乙框原有苹果重量多少千
克？


十、☆浓度问题☆
例题7：现有40千克浓度为20%的盐水，加入多少千克水就能得到浓度为8%的
盐水？