【小学数学解题思路大全】式题的巧解妙算.doc
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小學數學解題思路大全：式題的巧解妙算
1.特殊數題(1)21－12
當被減數和減數個位和十位上的數字(零除外)交叉相等時，其差為被減數與減數十位數字的差乘
以9。
因為這樣的兩位數減法，最低起點是21－12，差為9，即(2－1)×9。減數增加1，其差也
就相
應地增加了一個9，故31－13＝(3－1)×9＝18。減數從12—89，都可類推。
被減數和減數同時擴大(或縮小)十倍、百倍、千倍……，常數9也相應地擴大(或縮小)相同的<
br>倍數，其差不變。如
210－120＝(2－1)×90＝90，
0.65－0.56＝(6－5)×0.09＝0.09。
(2)31×51
個位
數字都是1，十位數字的和小於10的兩位數相乘，其積的前兩位是十位數字的積，後兩
位是十位數字的
和同1連在一起的數。
若十位數字的和滿10，進1。如
證明：(10a＋1)(10b＋1)
＝100ab＋10a＋10b＋1
＝100ab＋10(a＋b)＋1
(3)26×86
42×62
個位數字相同，十位數字和是10的兩位數相乘，十位數字的積與個位數字的和為積的前兩位
數，後兩位是個位數的積。若個位數的積是一位數，前面補0。
證明：(10a＋c)(10b＋c) ＝100ab＋10c(a＋b)＋cc
＝100(ab＋c)＋cc
(a＋b＝10)。
(4)17×19
十幾乘以十幾，任意一乘數與另一乘數的個位數之和乘以10，加個位數的積。
原式＝(17＋9)×10＋7×9＝323
證明：(10＋a)(10＋b)
＝100＋10a＋10b＋ab ＝[(10＋a)＋b]×10＋ab。
(5)63×69
十位數字相同，個位數字不同的兩位數相乘，用一個乘數與另個乘數的個位數之和乘以十位數
字，再乘以10，加個位數的積。
原式＝(63＋9)×6×10＋3×9
＝72×60＋27＝4347。
證明：(10a＋c)(10a＋d)
＝100aa＋10ac＋10ad＋cd ＝10a[(10a＋c)＋d]＋cd。
(6)83×87
十位數字相同，個位數字的和為10，用十位數字加1的和乘以十位
數字的積為前兩位數，後
兩位是個位數的積。如
證明：(10a＋c)(10a＋d)
=100aa＋10a(c＋d)＋cd ＝100a(a＋1)＋cd(c＋d＝10)。
(7)38×22
十位數字的差是1，個位數字的和是10且乘數的個位數字與十位數
字相同的兩位數相乘，積
為被乘數的十位數與個位數的平方差。
原式＝(30＋8)×(30－8) ＝302－82＝836。
(8)88×37
被乘數首尾相同，乘數首尾的和是10的兩位數相乘，乘數十位數字與1的和乘以被乘數的相
同數字，是積的前兩位數，後兩位是個位數的積。
(9)36×15
乘數是15的兩位數相乘。
被乘數是偶數時，積為被乘數與其一半的和乘以10；是奇數時，積
為被乘數加上它本身減去1
後的一半，和的後面添個5。
＝54×10＝540。
55×15
(10)125×101
三位數乘以101，積為被乘數與它的百位數字的和，接寫它的後兩位數。125＋1＝126。
原式＝12625。
再如348×101，因為348＋3＝351，
原式＝35148。
(11)84×49
一個數乘以49，把這個數乘以100，除以2，再減去這個數。
原式＝8400÷2－84
＝4200－84＝4116。
(12)85×99
兩位數乘以9、99、999、…。在被乘數的後面添上和乘數中9的個數一樣多的0、再減去被乘數。
原式＝8500－85＝8415
不難看出這類題的積：
最高位上的兩位數(或一位數)，是被乘數與1的差；
最低位上的兩位數，是100與被乘數的差；
中間數字是9，其個數是乘數中9的個數與2的差。
證明：設任意兩位數的個位數字為b、十位數字為a(a≠0)，則
如果被乘數的個位數是1，例如
31×999
在999前面添30為30999，再減去30，結果為30969。
71×9999＝709999－70＝709929。
這是因為任何一個末位為1的兩位自然
數都可表示為(10a＋1)的形式，由9組成的自然數可表
示為(10n－1)的形式，其積為
(10a＋1)(10n－1)＝10n＋1a＋(10n－1)－10a。
(13)1÷19
這是一道頗為繁複的計算題。
原式＝0.368421。
根據「如果被除數不變，除數擴大(或縮小)若干倍，商反而縮小(
或擴大)相同倍」和「商不變」
性質，可很方便算出結果。
原式轉化為0.1÷1.9，把1.9看作2，計算程式：
(1)先用0.1÷2＝0.05。
(2)把商向右移動一位，寫到被除數裏，繼續除
如此除到循環為止。
仔細分析這個算式：
加號前面的0.05是0.1÷2
的商，後面的0.05×0.1÷1.9中0.05×0.1＝0.005，就是把商向右移動一
位寫到
被除數裏，除以1.9。這樣我們又可把除數看作2繼續除，依此類推。
除數末位是9，都可用此法計算。
例如1÷29，用0.1÷3計算。
1÷399，用0.1÷40計算。
2.估算
數學素養與能力(含估算能力)的強
弱，直接影響到人們的生活節奏和工作、學習、科研效率。
已經引起世界有關專家、學者的重視，是個亟
待研究的課題。
美國數學督導委員會，提出的12種面向全體學生的基本數學能力中，第6種能
力即估算：「學
生應會通過心算或使用各種估算技巧快速進行近似計算。當解題或購物中需要計算時，估
算可以用
於考查合理性。檢驗預測或作出決定……」
(1)最高位估算
只計算式中幾個運算數字的最高位的結果，估算整個算式的值大概在什麼範圍。
例1
1137＋5044－3169
最高位之和1＋5－3＝3，結果在3000左右。
如果因為忽視小數點而算成560，依據「
一個不等於零的數乘以真分數，積必小於被乘數」估
算，錯誤立即暴露。
例3
51.9×1.51
整體思考。 因為
51.9≈50，
而50×1.51≈50×1.5＝75， 又51.9＞50，1.51＞1.5，
所以51.9×1.51＞75。 另外9×1＝9，
所以原式結果大致是75多一點，三位小數的末
位數字是9。
例4
3279÷79
把3279和79，看作3200和80。準確商接近40，若相差較大，則是錯的。
(2)最低位估算
例如，6403＋232＋1578
3＋2＋8＝13，原式和的末位必是3。
(3)規律估算
和大於每一個加數；
兩個真分數(或純小數)的和小於2；
一個真分數與一個帶分數(或一個純小數與
一個帶小數)的和大於這個帶分數(或帶小數)，且小
於這個帶分數(或帶小數)的整數部分與2的和；
兩個帶分數(或帶小數)的和總是大於兩個帶分數(或帶小數)整數部分的和，且小於這兩個整數<
br>部分的和加上2；
奇數±奇數＝偶數，偶數±偶數＝偶數，奇數±偶數＝奇數；
差總是小於被減數；
整數與帶分數(或帶小數)的差小於整數與帶分數(或帶小數
)的整數部分的差；帶分數(或帶小
數)，與整數的差大於帶分數(或帶小數)的整數部
分與整數的差。
帶分數(或帶小數)與真分數(或純小數)的差小於這個帶分數(或帶小數)，
且大於帶分數(或帶小
數)減去1的差；
帶分數與帶分數(或帶小數與帶小數)的差小於被減數與減數的整數部分的差，且大於這個差減
去1；
如果兩個因數都小於1，則積小於任意一個因數；
若兩個因數都大於1，則積大於任意一個因數；
帶分數與帶分數(或帶小數與帶小數)的積大於
兩個因數的整數部分的積，且小於這兩個整數部
分分別加1後相乘的積；
例如，
A＜AB＜B。
奇數×偶數＝偶數，偶數×偶數＝偶數；
若除數＜1，則商＞被除數；
若除數＞1，則商＜被除數；
若被除數＞除數，則商＞1；
若被除數＜除數，則商＜1。
(4)位數估算
整數減去小數，差的小數位數等於減數的小數位數；例如，320－0.68，差為兩位小數。
最高位的乘積滿十的兩個整數相乘的積的位數，等於這兩個數的位數和；
例如，451×7103
最高位的積4×7＝28，滿10，結果是3＋4＝7(位數)。在整
除的情況下，被除數的前幾位不夠
除，商的位數等於被除數的位數減去除數的位數；
例如，147342÷27
14不夠27除，商是4－2＝2(位數)。
被除數的前幾位夠除，商的位數等於被除數的位數與除數位數的差加上1。
例如，30226÷238
302夠238除，商是5－3＋1＝3(位數)。
(5)取整估算
把接近整數或整十、整百、……的數，看作整數，或整十、整百…的數估算。
如1.98＋0.97≈2＋1，和定小於3。
12×8.5≈10×10，積接近100。
3.並項式
應用交換律、結合律，把能湊整的數先並起來或去括號。
例1
3.34＋12.96＋6.66
＝12.96＋(3.34＋6.66)
＝12.96＋10＝22.96
＝3－3＝0
例3
15.74－(8.52＋3.74)
＝15.74－3.74－8.52 ＝12－8.52＝3.48
例4
1600÷(400÷7) ＝1600÷400×7 ＝4×7 ＝28
4.提取式
根據乘法分配律，可逆聯想。
＝(3.25＋6.75)×0.4＝10×0.4 ＝4
5.合乘式
＝87.5×10×1＝875
＝8－7＝1
6.擴 縮 式
例1 1.6×16＋0.4×36
＝0.4×(64＋36) ＝0.4×100＝40
例2 16×45
7.分 解 式
例如，14×72＋42×76
＝14×3×24＋42×76 ＝42×(24＋76) ＝42×100＝4200
8.約
分 式
＝3×7×2＝42
例2
169÷4÷7×28÷13
=1988
例7 1988
8÷91989被除數與除數，分別除
9.拆 分 式
10.拆 積
式
例如，32×1.25×25 ＝ 8×1.25×(4×25)
＝10×100＝1000
11.換 和 式
例1 0.1257×8
＝(0.125＋0.0007)×8 ＝1＋0.0056＝1.0056
例4 8.37－5.68
＝(8.37＋0.32)－(5.68＋0.32) ＝8.69－6＝2.69
12.換
差 式
13.換 乘 式
例1 123＋234＋345＋456＋567＋678 ＝(123＋678)×3
＝801×3＝2403
例2(6.72＋6.72＋6.72＋6.72)×25
＝6.72×(4×25)＝672
例3 45000÷8÷125
＝45000÷(8×125) ＝45000÷1000＝45
例4
9.728÷3.2÷25 ＝9.728÷(0.8×4×25) ＝9.728÷80
＝0.9728÷8＝0.1216
例5 33333×33333
＝11111×99999 ＝11111×(100000－1)
＝1111100000－11111 ＝1111088889
綜合應用，例如
＝1000＋7＝1007
＝(11.75＋1.25－4.15－0.85)×125.25(轉)
＝[(11.75＋1.25)－(4.15＋0.85)]×125.25(合)
＝8×125.25 ＝8×(125＋0.25)(拆) ＝8×125＋8×0.25＝1002
14.換 除 式
例如，5600÷(25×7) ＝5600÷7÷25
＝800÷25＝32
15.直 接 除
17.以乘代加
例1
7＋4＋5＋2＋3＋6 ＝9×3＝27
如果兩個分數的分子相同，且等於分母之和(或差)，那麽這兩個分數的和(或差)等於它們的積。
18.以乘代減
知，兩個分數的分子都是1，分母是連續自然數，其差等於其積。
可見，各分數的分子都是1。第一個減數的分母等於被減數的分母加1。第二個減數的分母等於被減
數的分
母與第一個減數的分母的積加1，第n個減數的分母等於被減數的分母與第一、二、……第n-1
個減數的分母的
連乘積加上1。(n爲不小於2的自然數)其差等於其積
19.以加代乘
一個整數與一個整數部分和分子都是1，分母比整數(另個乘數)小1
20.以除代乘
例如，25×123678448
＝123678448×(100÷4) ＝÷4
＝3091961200
21.以減代除
＝1986－662＝1324
3510÷15
＝(3510－1170)÷10＝234