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分数加减法的奥数题

知识点一 任意一个自然数1除外作为分母的所有最简真分数的和，等于最简真分数的个数除
以2。
1 2 3 4 5 6
例1 计算 (1) — ＋ — ＋ —＋ — ＋ — ＋ —
7 7 7 7 7 7

1 3 7 9
(2) — ＋ — ＋ — ＋ —
10 10 10 10


通过计算，你能从中发现什么规律？

练一练 (1) 分母是9的所有最简真分数的和是( )。
1
(2) 以 — 为分数单位的所有最简真分数的和是( )。
12

知识点二 两 个分数单位相加减，如果它们的分母是互质数，那么所得的结果的分母是算式中
两个分母的乘积，分子是 算式中两个分母的和或差，运用这个规律，我们可以使计算简便。

例2 计算下面各题说说你发现了什么？
1 1 1 1 1 1 1 1
— ＋ — = — ＋ — = — - — = — - — =
2 3 4 7 2 3 4 7

练一练 在括号里填上合适的数。

1 1 1 1 1 11
—— — —— = — —— — —— = —
( ) ( ) 12 ( ) ( ) 30
1
知识点三 一个分数是相邻两个自然数的积作分母，形如: ——— ,可以
n×(n＋1)
1 1 1 1 1
把这个分数拆成 — - —— ,即: ——— = — - —— 。利用这个规律可以使
n n＋1 n×(n＋1) n n＋1

我们计算简便。

1 1 1 1 1 1
例3 计算 —— ＋ —— ＋—— ＋ —— ＋ —— ＋ ——
1×2 2×3 3×4 4×5 5×6 6×7






1 1 1 1 1 1

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练一练 计算 — － — - — - — - — - —
4 20 30 42 56 72
知识点四 一道算式里，第一个加 数是12，依次每个加数的分母都是前一个分母的2倍，分子
都是1，这道算式的结果就是1减去最后一 个分数，即计算结果的分母是最后一个分数的分母，分
子比分母少1.

例4 不用通分，你能很快地算出下面算式的结果吗？
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
— ＋ — ＋ — ＋ — — ＋ — ＋ — ＋ — ＋ — ＋ —
2 4 8 16 2 4 8 16 32 64


1 1 1 1 1 1 1 1
练一练 1- — = — — - — = ( ) — - — = ( ) — - — = ( )
2 2 2 3 3 4 4 5

1 1 1 1
从上题中你发现了什么？用你的发现计算 — ＋ — ＋ — ＋ —
2 6 12 20



367224
12
、、、四个分数中，第二大的是 .
41832 9
13
11
2.有一个分数,分子加1可以约简为,分子减1可约简为,这个分数是
35
241
3.已知
A1B90%C75%DE1
.把A、B、C、D、E这五个数从小到大排列,第
355
二个数是 .
4.所有分母小于30并且分母是质数的真分数相加,和是 .
a
5.三个质数的倒数和为,则a= .
231
6.计算,把结果写成若干个分母是质数的既约分数之和:
15111

= .
9919951995
734 62551
89
7.将、、、和分别填入下面各( )中,使不等式成立.
8457
100
3662
( )<( )<( )<( )<( ).
8.纯循环小数写成最简分数时,分子与分母之和是58,请你写出这个循环小数 .
11113

9..(要求三个加数的分母是连续的偶数).







24
10.下式中的五个分数都是最简真分数,要使不等式成立,这些分母的和最小
12345

是 ..











1
11.我们把分子为1，分母为大于1的自然 数的分数称为单位分数.试把表示成分母不同的两个单
6
位分数的和.(列出所有可能的表示情 况).
1．在

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12.试比较22…2与55…5的大小.

301个2 129个5






1
,求这两个单位分数之差的最小值.
12
14.(1)要把9块完全相同 的巧克力平均分给4个孩子(每块巧克力最多只能切成两部分),怎么分?
(2)如果把上面(1)中 的“4个孩子”改为“7个孩子”，好不好分？如果好分，怎么分？如果不好
分，为什么？
13.已知两个不同的单位分数之和是








———————————————答 案——————————————————————

36

41
提示,将分子“通分”为72，再比较分母的大小.
4
2.
15
4
1111
事实上,所求分数为和的平均数,即(+)2=.
15
3535
3. C
2944545942
1
, 所以D>E>B>C>A,故从小到大因为
A1BCDE
,又

31
第二个数是C.
1
4.
59

2
n(n1)
分母是n的所有真分数共有n-1个,这n-1个分数的分子依次为1~n-1, 和为,所以分母n
2
n1
的所有真分数之和等于.本题的解为
2
21315171111131171191231291
+
2222222222
11
=+1+2+3+5+6+8+9+11+14=
59
.
22
1.

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5. 131
因为231=3
6.
7
1
1 1
131
11,易知这3个质数分别为3,7和11,又+

=,故a=13 1.
3
711
231
41

.
719
610521383ab
原式=

,令,则19a+7b=83,易见

999399133133719
a=4,b=1,符合要求.
2546517389
7. .

36576284100
11
11
11
11
11
提示:各分数的倒数依次为
1,
1
,
1
,
1
,
1
.
73
46
89
25
89
8. 0.567
ab c
化为分数时是,当化为最简分数时,因为分母大于分子,所以分母大于582=29,即分母是999
大于29的两位数,由999=33337,推知999大于29的两位数约数只有3 7,所以分母是37,分子
212127567
是58-37=21.因为,所以这个循环小 数是0.567.

373727999
9. 4,6,8.


111137
131113

令

(a为偶数 ).由

，得
a5
，故a=2或4，a=2
aa2a4 2413
24aa2a4a
11113
时，

，不合题意， 因此，
a4
.
24624
10. 40
12345
提示:

.
2581114
111111a6
6a36
11. 令

,则

.所以
b
.
6
ab6b6a6a
a6a6
36
由a、b为整数，知为整数，即a-6为36的约 数，所以
a61
,2,3,4,6,9,12,18,36.所以
a6
a=7,8,9,10,12,15,18,24,42,相应地b=42,24,18,15,12,10,9 ,8,7.注意到
ab
,所有可能情况为
111111111
 
.
610
43

2
7

2128< br>
129
301



1
5
1 2. 因为301=437,129=433,
129


,所以>.
2


5
3

125
5

1
11111
13. 令

,且a12
12ab2424
1
1
111
111


注意 到==22,23不合要求,所以差的最小值为

.
12
20302128
212884
14. (1)把9块中的三块各分为两部分:
132213
1
,
1
,
1
.
444444
301
43

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1
每个孩子得
2
块:
4
1231
32
甲:1+1+；乙:1+

；丙: 1++；丁:1+1+.
4444
44
2
(2)好分,每人分
1
块:
7< br>2
5436116345
2
甲:1+；乙:

；丙:

；丁:
1
；戊:

；己:

；庚:
1
.
7
7777777777
7