奥数 比和比例
作风建设年-销售工作计划
六年奥数综合练习题十二答案（比和比例关系）
比和比例，是小学数学中的最后一个内
容，也是学习更多数学知识的重要基础.有了“比”这个概念和表达方
式，处理倍数、分数等问题，要方
便灵活得多.我们希望，小学同学学完这一讲，对“除法、分数、比例实质上
是一回事，但各有用处”有
所理解.
这一讲分三个内容：
一、比和比的分配；
二、倍数的变化；
三、有比例关系的其他问题.
一、比和比的分配
最基本的比例问题是求比或比值.从已知一些比或者其他数量关系，求出新的比.
例1 甲、乙两
个长方形，它们的周长相等.甲的长与宽之比是3∶2，乙的长与宽之比是7∶5.求甲与乙的面
积之比
.
解：设甲的周长是2.
甲与乙的面积之比是
答：甲与乙的面积之比是864∶875.
作为答数，求出的比最好都写成整数.
例2 如右图，ABCD是一个梯形，E是AD的中点，直
线CE把梯形分成甲、乙两部分，它们的面积之比
是10∶7.
求上底AB与下底CD的长度之比.
解：因为E是中点，三角形CDE与三角形CEA面积相等.
三角形ADC与三角形ABC高相等，它们的底边的比AB∶CD=三角形ABC的面积∶三角形ADC的面积
=（10-7）∶（7×2）= 3∶14.
答：AB∶CD=3∶14.
两数之比，可以看作一个分数，处理时与分数计算几乎一样.三数之比，却与分数不一样，因此是这
一节讲
述的重点.
例3 大、中、小三种杯子，2大杯相当于5中杯，3中杯相当于4小
杯.如果记号表示2大杯、3中杯、4
小杯容量之和，求与之比.
解：大杯与中杯容量之比是5∶2=10∶4，
中杯与小杯容量之比是4∶3，
大杯、中杯与小杯容量之比是10∶4∶3.
∶
=（10×2+4×3+3×4）∶（10×5+4×4+3×3）
=44∶75.
答：两者容量之比是44∶75.
把5∶2与4∶3这两个比合在一起，成为三样东西之比10∶
4∶3，称为连比.例3中已告诉你连比的方法，
再举一个更一般的例子.
甲∶乙=3∶5，乙∶丙=7∶4，
3∶5=3×7∶5×7=21∶35，
7∶4=7×5∶4×5=35∶20，
甲∶乙∶丙=21∶35∶20.
花了多少钱？
解：根据比例与乘法的关系，
连比后是
甲∶乙∶丙=2×16∶3×16∶3×2
=32∶48∶63.
答：甲、乙、丙三人共花了429元.
例5
有甲、乙、丙三枚长短不相同的钉子，甲与乙
，而它们留在墙外的部分一样长.问：甲、乙、丙的长度之比是多少？
解：设甲的长度是6份.
∶x=5∶4.
乙与丙的长度之比是
而甲与乙的长度之比是 6∶5=30∶25.
甲∶乙∶丙=30∶25∶26.
答：甲、乙、丙的长度之比是30∶25∶26.
于利用已知条件6∶5，使大部分计算都整数化.这是解比例和分数问题的常用手段.
例6 甲、
乙、丙三种糖果每千克价分别是22元、30元、33元.某人买这三种糖果，在每种糖果上所花钱数
一
样多，问他买的这些糖果每千克的平均价是多少元？
解一：设每种糖果所花钱数为1，因此平均价是
答：这些糖果每千克平均价是27.5元.
上面解法中，算式很容易列出，但计算却使人感到不易
.最好的计算方法是，用22，30，33的最小公倍数
330，乘这个繁分数的分子与分母，就有：
事实上，有稍简捷的解题思路.
解二：先求出这三种糖果所买数量之比.
不妨设，所花钱数是330，立即可求出，所买数量之比是甲∶乙∶丙=15∶11∶10.
平均数是（15+11+10）÷3=12.
单价33元的可买10份，要买12份，单价是
下面我们转向求比的另一问题，即“比的分配”问题，当一个数量被分成若干个数量，如
果知道这些数量
之比，我们就能求出这些数量.
例7
一个分数，分子与分母之和是100.如果分子加23，分母加32，
解：新的分数，分子与分母之和是（10+23+32），而分子与分母之比2∶3.因此
例8 加工一个零件，甲需3分钟，乙需3.5分钟，丙
需4分钟，现有1825个零件要加工，为尽早完成任务，
甲、乙、丙应各加工多少个？所需时间是多少
？
解：三人同时加工，并且同一时间完成任务，所用时间最少，要同时完成，应根据工作效率之比
，按比例
分配工作量.
三人工作效率之比是
他们分别需要完成的工作量是
所需时间是
700×3=2100分钟）=35小时 .
答：甲、乙、丙分别完成700个，600个，525个零件，需要35小时.
这是三个数量按比例分配的典型例题.
例9 某团体有100名会员，男
会员与女会员的人数之比是14∶11，会员分成三个组，甲组人数与乙、丙两
组人数之和一样多.各组
男会员与女会员人数之比是：
甲：12∶13，乙：5∶3，丙：2∶1，
那么丙有多少名男会员？
解：甲组的人数是100÷2=50（人）.
乙、丙两组男会员人数是 56-24=32 （人）.
答：丙组有12名男会员.
上面解题的最后一段，实质上与“鸡兔同笼”解法一致，可以设想，“兔
例10 一段路程分成上坡、平路、下坡三段，各段路程长之比依次是1∶2∶3.小龙走各段路程所用时间之<
br>比依次是4∶5∶6.已知他上坡时速度为每小时3千米，路程全长50千米.问小龙走完全程用了多少时
间？
解一：通常我们要求出小龙走平路与下坡的速度，先求出走各段路程的速度比.
上坡、平路、下坡的速度之比是
走完全程所用时间
答：小龙走完全程用了10小时25分.
上面是通常思路下解题.1
∶2∶3计算中用了两次，似乎重复计算，最后算式也颇费事.事实上，灵活运用比
例有简捷解法.
解二：全程长是上坡这一段长的（1+2+3）=6（倍）.如果上坡用的时
设小龙走完全程用x小时.可列出比例式
二、比的变化
已知两个数量的比，当这两个数量发生增减变化后，当然比也发生变化.通
过变化的描述，如何求出原来的
两个数量呢？这就是这一节的内容.
例11 甲、乙两同
学的分数比是5∶4.如果甲少得22.5分，乙多得22.5分，则他们的分数比是5∶7.甲、乙
原
来各得多少分？
解一：甲、乙两人的分数之和没有变化.原来要分成5+4=9份，变化后要分成
5+7=12份.如何把这两种分法
统一起来？这是解题的关键.9与12的最小公倍数是36，我们让
变化前后都按36份来算.
5∶4=（5×4）∶（4×4）=20∶16.
5∶7=（5×3）∶（7×3）=15∶21.
甲少得22.5分，乙多得22.5分，相当于20-15=5份.因此原来
甲得22.5÷5×20=90（分），
乙得 22.5÷5×16=72（分）.
答：原来甲得90分，乙得72分.
我们再介绍一种能解本节所有问题的解法，也就是通过比例式来列方程.
解二：设原先甲的得分是5x，那么乙的得分是4x.根据得分变化，可列出比例式.
（5x-22.5）∶（4x+22.5）=5∶7
即
5（4x+22.5）=7（5x-22.5）
15x=12×22.5
x=18.
甲原先得分18×5=90（分），乙得18×4=72（分）.
解：其他球的数量没有改变.
增加8个红球后，红球与其他球数量之比是
5∶（14-5）=5∶9.
在没有球增加时，红球与其他球数量之比是
1∶（3-1）=1∶2=4.5∶9.
因此8个红球是5-4.5=0.5（份）.
现在总球数是
答：现在共有球224个.
本题的特点是两个数量中，有一个数量没有变.把1∶2写成4.5∶
9，就是充分利用这一特点.本题也可以列
出如下方程求解：
（x+8）∶2x=5∶9.
例13 张家与李家的收入钱数之比是8∶5，开支的钱数之比是8
∶3，结果张家结余240元，李家结余270
元.问每家各收入多少元？
解一：我们采用“假设”方法求解.
如果他们开支的钱数之比也是8∶5，那么结
余的钱数之比也应是8∶5.张家结余240元，李家应结余x元.
有
240∶x=8∶5，x=150（元）.
实际上李家结余270元，比150元多120元.这
就是8∶5中5份与8∶3中3份的差，每份是120÷（5-3）
=60.（元）.因此可求出
答：张家收入720元，李家收入450元.
解二：设张家收入是8份，李家收入是5份.张家开支的3倍与李家开支的8倍的钱一样多.
我们画出一个示意图：
张家开支的3倍是（8份-240）×3.
李家开支的8倍是（5份-270）×8.
从图上可以看出
5×8-8×3=16份，相当于
270×8-240×3=1440（元）.
因此每份是1440÷16=90（元）.
张家收入是90×8=720（元），李家收入是90×5=450（元）.
本题也可以列出比例式：
（8x-240）∶（5x-270）=8∶3.
然后求
出x.事实上，解方程求x的计算，与解二中图解所示是同一回事，图解有算术味道，而且一些数量
关系
也直观些.
例14
A和B两个数的比是8∶5，每一数都减少34后，A是B的2倍，求这两个数.
解：减少相同的数34，因此未减时，与减了以后，A与B两数之差并没有变，解题时要充分利用这一点.
8∶5，就是8份与5份，两者相差3份.减去34后，A是B的2倍，就是2∶1，两者相差1.
将前项与后项
都乘以3，即2∶1=6∶3，使两者也相差3份.现在就知道34是8-6=2（份）或
5-3=2（份）.因此，每份是34∶
2=17.
A数是17×8=136，B数是17×5=85.
答：A，B两数分别是136与85.
本题也可以用例13解一“假设”方法求解，不过要把减少后的2∶1，改写成8∶4.
例15 小明和小强原有的图画纸之比是4∶3，小明又买来15张.小强用掉了8张，现有的图画纸之比是5∶
2.问原来两人各有多少张图画纸？
解一：充分利用已知数据的特殊性.
4+3=7，5+2=7，15-8=7.原来总数分成7份，变化后总数仍分成7份，总数多了7张，因此，
新的1份=原来1份+1
原来4份，新的5份，5-4=1，因此
新的1份有15-1×4=11（张）.
小明原有图画纸11×5-15=40（张），
小强原有图画纸11×2+8=30（张）.
答：原来小明有40张，小强有30张图画纸.
解二：我们也可采用例13解一的“假设”方法.先要将两个比中的前项化成同一个数（实际上就是通分）
4∶3=20∶15
5∶2=20∶8.
但现在是20∶8，因此这个比的每一份是
当然，也可以采用实质上与解方程完全相同的图解法.
解三：设原来小明有4“份”，小强有3“份”图画纸.
把小明现有的图画纸张数乘2，小强现有
的图画纸张数乘5，所得到的两个结果相等.我们可以画出如下示
意图：
从图上可以看出，3×5-4×2=7（份）相当于图画纸15×2+8×5=70（张）.
因此每份是10张，原来小明有40张，小强有30张.
例11至15这五个例题是同一类型的问
题.用比例式的方程求解没有多大差别.用算术方法，却可以充分利用
已知数据的特殊性，找到较简捷的
解法，也启示一些随机应变的解题思路.另外，解方程的代数运算，对小学生
说来是超前的，不容易熟练
掌握.例13的解一，也是一种通用的方法.“假设”这一思路是很有用的，希望读者
能很好掌握，灵活
运用.从课外的角度，我们更应启发小同学善于思考，去找灵巧的解法，这就要充分利用数据
的特殊性.
因此我们总是先讲述灵巧的解法，利于心算，促进思维.
例16 粗蜡烛和细蜡烛长短一样.粗蜡
烛可以点5小时，细蜡烛可以点4小时.同时点燃这两支蜡烛，点了一
段时间后，粗蜡烛长是细蜡烛长的
2倍.问这两支蜡烛点了多少时间？
我们把问题改变一下：设细蜡烛长度是2，每小时点
等需要时间是
答：这两支蜡烛点了3小时20分.
把细蜡烛的长度和每小时烧掉的长度
都乘以2，使原来要考虑的“2倍”变成“相等”，思考就简捷了.解这
类问题这是常用的技巧.再请看
一个稍复杂的例子.
例17 箱子里有红、白两种玻璃球，红球数是白球数的3倍多2只.每次从
箱子里取出7只白球，15只红球，
经过若干次后，箱子里剩下3只白球，53只红球，那么，箱子里原
来红球数比白球数多多少只？
解：因为红球是白球的3倍多2只，每次取15只，最后剩下53只
，所以对3倍的白球，每次取15只，最
后应剩51只.
因为白球每次取7只，最后剩下3只，所以对3倍的白球，每次取 7×3＝21只，最后应剩 3×3＝
9只.
因此.共取了（51- 3×3）÷（7×3-15）＝ 7（次）.
红球有
15×7＋ 53＝ 158（只）.
白球有
7×7＋3＝52（只）.
原来红球比白球多 158-52＝106（只）.
答：箱子里原有红球数比白球数多106只.
三、比例的其他问题
，这里必须用分数来说，而不能用比.实际上它还是隐含着比例关系：
（甲-7）∶乙=
2∶3.
因此，有些分数问题，就是比例问题.
加33张，他们两人取的画片一样多.问这些画片有多少张？
答：这些画片有261张.
解：设最初的水量是1，因此最后剩下的水是
样重，就有
因此原有水的重量是
答：容器中原来有8.4千克水.
例18和例19，通常在小学数学中，叫做分数应用题.“比”
有前项和后项，当两项合在一起写成一个分数
后，才便于与其他数进行加、减运算.这就是把比（或除法
）写成分数的好处.下面一个例题却是要把分数写成比，
计算就方便些.
例20 有两堆棋子， A堆有黑子 350个和白子500个， B堆有黑子
堆中拿到 A堆黑子、白子各多少个？
子100个，使余下黑子与白子之比是（40-100）∶100＝3∶1.再要从
B堆拿出黑子与白子到A堆，拿出的
黑子与白子数目也要保持3∶1的比.
现在
A堆已有黑子 350＋ 100＝ 450个），与已有白子500个，相差
从B堆再拿出黑子与白子，要相差50个，又要符合3∶1这个比，要拿出白子数是
50÷（3-1）＝25（个）.
再要拿出黑子数是 25×3＝ 75（个）.
答：从B堆拿出黑子 175个，白子25个.
人，问高、初中毕业生共有多少人？
解一：先画出如下示意图：
6-5＝1，相当于图中相差
17-12＝5（份），初中总人数是 5×6＝30份，因此，每份人数是
520÷（30-17）= 40（人）.
因此，高、初中毕业生共有
40×（17＋12）＝ 1160（人）.
答：高、初中毕业生共1160人.
计算出每份是
例21与例14是完全一样的问题，解一与例14的解法也
是一样的.（你是否发现？）解二是通常分数应用
题的解法，显然计算不如解一简便.
例
18，19，20，21四个例题说明分数与比例各有好处，你是否从中有所心得？当然关键还是在于灵活运用.
下的钱共有多少元？
解：设钢笔的价格是1.
这样就可以求出，钢笔价格是
张剩下的钱数是
李剩下的钱数
答：张、李两人剩下的钱共28元.
题中有三个分数，但
它们比的基准是不一样的.为了统一计算单位，设定钢笔的价格为1.每个人原有的钱和
剩下的钱都可以
通过“1”统一地折算.解分数应用题中，设定统一的计算单位是常用的解题技巧.
作为这一讲最后的内容，我们通过两个例题，介绍一下“混合比”.
用100个银币买了100头牲畜，问猪、山羊、绵羊各几头？
这是十八世纪瑞士大数学家欧拉（1707～1783）提出的问题.
们设1头猪和5头绵羊为A组，3头山羊和2头羊绵为B组.A表示A组的数，B表示B组的数，要使
（1＋ 5）× A＋（3＋ 2）× B＝100，
或简写成 6A＋5B＝100.
就恰好符合均价是1.
类似于第三讲鸡兔同笼中例17，很明显，A必定是5的整数倍.A＝5， B＝ 4， 6×5＋
5×4＝50，50是
100的约数，符合要求.
A＝5，猪 5头，绵羊 25头，
B=4，山羊12头，绵羊8头.
猪∶山羊∶绵羊=5∶12∶（25＋8）.
现在已把1∶5和3∶2两种比，组合在一起通常称为混合比.
要注意，这样的问题常常有多种解答.
A= 5， B＝14或
A＝15，B＝2才能产生解答，相应的猪、山羊、绵羊混合比是5∶42∶53或15∶6∶79.
答：有三组解答.买猪、山羊、绵羊的头数是10，24，66；或者5，42，53；或者15，6，79.
求混合比是一种很实用的方法，对数学有兴趣的小学同学，学会这种方法是有好处的，会增加灵活运
用比
例的技巧.
通常求混合比可列下表：
下面例题与例23是同一类型，但由于题目的条件，解法上稍有变化.
例24
某商品76件，出售给33位顾客，每位顾客最多买三件，买 1件按定价，买2件降价 10％，买
3
件降价 20％.最后结算，平均每件恰好按原定价的 85％出售，那么买3件的顾客有多少人？
解：题目已给出平均数 85％，可作比较的基准.
1人买3件少 5％×3；
1人买2件多 5％×2；
1人买1件多 15％ ×1.
1人买3件与1人买1件成A组，即按1∶1比例，2人买3件与3人买2件成B组，即按2∶3的比例.
A组是2人买4件，每人平均买2件.
B组是5人买12件，每人平均买2.4件.
现在已建立了一个鸡兔同笼型问题：总脚数76，总头数33，兔脚数2.4，鸡脚数2.
B组人数是
（76-2×33）÷（24-2）＝ 25（人），
A组人数是 33-25＝8（人），其中买 3件4人，买 1件4人.
10＋
4＝ 14（人）.
答：买3件的顾客有14位.
建立两种比的A组和B组，与例
23的解题思路完全一致，只是后面解法稍有不同.因为对A组和B组，不
仅要从人数考虑满足2A+5
B＝33，还要从买的件数考虑满足
4A＋12B＝76.这已完全确定了A组和B组的数，
不必再求混合比.