关于和平的作文-产品质量的重要性

2019-2020学年人教版高一数学新教材
全套题库含答案详解
目 录
专题01 集合及其表示方法
专题02 集合的基本关系
专题03 集合的基本运算
专题04 《集合》单元测试卷
专题05 命题与量词
专题06 全称量词命题与存在性量词命题的否定
专题07 充分条件、必要条件
专题08 《常用逻辑用语》单元测试卷
专题09 《集合与常用逻辑用语》综合测试卷
专题10 等式的性质与方程的解
专题11 一元二次方程的解集及其根与系数的关系
专题12 方程组的解集
专题13 《等式》单元测试卷
专题14 不等式及其性质
专题15 不等式的解集
专题16 一元二次不等式的解法
专题17 均值不等式及其应用
专题18《不等式》单元测试卷
专题19《等式与不等式》综合测试卷

第 1 页 共 239 页

专题01 集合及其表示方法

一、选择题

1
．下列给出的对象中，能表示集合的是（

）．

A
．一切很大的数
B
．无限接近零的数

C．聪明的人 D．方程的实数根
2
．已知集合
A={x
∈
N|-1
＜
x
＜
4}
，则集合
A
中的元素个数是（ ）

A
．
3 B
．
4 C
．
5
2
D
．
6
3．用列举法表示集合
Ax|x40
正确的是（ ）
A. −2,2 B. {−2} C. {2} D. {−2,2}
4
．已知 集合
A
＝
{0,1,2}
，则集合
B
＝
{x
－
y|x
∈
A
，
y
∈
A}
中元素的个数 是
(

)
A
．
9 B
．
5 C
．
3 D
．
1

5
．下列说法正确的是（

）

A
．我校爱好足球的同学组成一个集合

B．
C．集合
是不大于3的自然数组成的集合
和表示同一集合
D ．数1，0，5，，，，
6
．集合
{x|x≥2}
表示成区间是

组成的集合有7个元素
A
．（
2
，
+∞
）
B
．
[2
，
+∞
）
C
．（
–∞
，
2
）
D
．（
–∞
，
2]
7．集合A＝{x∈Z|y＝，y∈Z}的元素个数为( )
A
．
4 B
．
5 C
．
10 D
．
12
8．不等式的解集用区间可表示为
A．（–∞，） B．（–∞，]
C．（，+∞） D．[，+∞）
9
．下列说法正确的是（

）

A．0与

0

的意义相同 B．高一（1）班个子比较高的同学可以形成一个集合

第 2 页 共 239 页

C．集合
A
个元素
10．方程组
A．{(x，y )|
B．{(x，y)|
C
．
{1,2}
D
．
{(1,2)}


x,y

|3xy2,xN

是有限集 D．方程
x
2
2x10
的解集只有一
的解集不可以表示为( )
}
}
11
．下列选项中，表示同一集合的是

A
．
A={0
，
1}
，
B={
（
0
，
1
）
} B
．
A={2
，
3}
，
B={3
，
2}
C．A={x|–112
．若集合
A
具有以下性质：

(
Ⅰ
)0
∈
A,1
∈
A
；
(
Ⅱ
)
若
x
∈
A
，
y
∈A
，则
x
－
y
∈
A
，且
x≠0
时，∈
A.
则称集合
A
是
“
好集
”
． 下列命题正确的个数是
(

)
(1)
集合
B
＝
{
－
1,0,1}
是
“
好集
”
；

(2)
有理数集
Q
是
“
好集
”
；

(3)
设集合
A
是
“
好集
”
，若
x
∈
A
，
y
∈
A
，则
x
＋
y
∈
A.
A
．
0 B
．
1 C
．
2 D
．
3
二、填空题
13
．用区 间表示数集
{x|2．

14
．若
[a,3a
－
1]
为一确定区间，则
a
的取值范围是
________
．

15
．下列所给关系正确的个数是
________
．

①π∈R；② Q；③0∈N
＋
；④|－4|N
＋
.
< br>16．在数集

0,1,x2

中，实数
x
不能取 的值是______.
三、解答题
17
．在数轴上表示集合
{x|x<< br>－
2
或
x≥1}
，并用区间表示该集合．




第 3 页 共 239 页

18
．用适当的方法表示下列集合．

（
1
）小于
5
的自然数构成的集合；

（
2
）直角坐标系内第三象限的点集；

（
3
）偶数集．






19．已知





20．已知





21
．用区间表示下列数集：

（1）







第 4 页 共 239 页
，用列举法表示集合．
, ,求实数的值.
； （2）；

（3）




（5）




； （4）R；
； （6）.
22．设数集由实数构成，且满足：若
（1）若
（且），则.
，试证明中还有另外两个元素；
（2）集合是否为双元素集合，并说明理由；
（3）若中元素个数不超过8个，所有元素的和为
元素的积，求集合.
，且中有一个元素的平方等于所有











第 5 页 共 239 页

答案解析
一、选择题

1
．下列给出的对象中，能表示集合的是（

）．

A
．一切很大的数
B
．无限接近零的数

C．聪明的人 D．方程
【答案】
D
【解析】

选项，，中给出的对象都是不确定的，所以不能表示集合；
选项中方程
故选． 2
．已知集合
A={x
∈
N|-1
＜
x
＜4}
，则集合
A
中的元素个数是（ ）

A
．
3
【答案】
B
【解析】

集合< br>A={x
∈
N|-1
＜
x
＜
4}={0
，< br>1
，
2
，
3}
．即集合
A
中的元素个数是< br>4
．

故选：
B
．

3．用列举法表示集合
Ax|x40
正确的是（ ）
A. −2,2 B. {−2} C. {2} D. {−2,2}
【答案】D
【解析】由x
2
−4=0，解得：x=±2，
故A={−2,2}，
本题选择D选项.
4
．已知集合
A
＝
{0,1,2}，则集合
B
＝
{x
－
y|x
∈
A
，< br>y
∈
A}
中元素的个数是
(

)
A
．
9
【答案】
B
【解析】

因为集 合
A
＝
{0,1,2}
，所以集合
B{2,1,0,1,2}
,
所以集合
B
中共有
5
个元素，故选
B.
B
．
5 C
．
3 D
．
1
B
．
4 C
．
5 D
．
6
的实数根为或，具有确定性，所以能构成集合．
的实数根

2


第 6 页 共 239 页

5
．下列说法正确的是（

）

A
．我校爱好足球的同学组成一个集合

B．
C．集合
是不大于3的自然数组成的集合
和表示同一集合
D．数1，0，5，，，，
【答案】
C
【解析】

组成的集合有7个元素
选项
A
，不满足确定性，故错误

选项B，不大于3的自然数组成的集合是，故错误
选项
C,
满足集合的互异性，无序性和确定性，故正确

选项D，数1，0，5，，，，
故选
C
6
．集合
{x|x≥2}
表示成区间是

组成的集合有5个元素，故错误
A
．（
2
，
+∞
）
B
．
[2
，
+∞
）
C
．（
–∞
，
2
）
D
．（
–∞
，
2]
【答案】
B
【解析】

集合
{x|x≥2}
表示成区间是
[2
，
+∞
），

故选
B
．

点睛：
(1)
用区间表示数集的原则有：①数集是连续的；②左小右大；③区间的一端是开或
闭不能弄 错；（
2
）用区间表示数集的方法：区间符号里面的两个数字
(
或字母
)
之间用
“
，
”
隔
开；（
3
）用数轴表 示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别．

7．集合A＝{x∈Z|y＝，y∈Z}的元素个数为( )
A
．
4 B
．
5 C
．
10 D
．
12
【答案】
D
【解析】

由题意，集合{x∈Z|y=∈Z}中的元素满足
x
是正整数，且
y
是整数，由此可得
x=
﹣
15
，﹣
9
，﹣
7，﹣
6
，﹣
5
，﹣
4
，﹣
2
，﹣1
，
0
，
1
，

第 7 页 共 239 页

3
，
9
；

此时
y
的值分 别为：﹣
1
，﹣
2
，﹣
3
，﹣
4
，﹣6
，﹣
12
，
12
，
6
，
4
，
3
，
3
，
1
，

符合条件的
x
共有
12
个，

故选：
D
．

8．不等式的解集用区间可表示为
A．（–∞，） B．（–∞，]
C．（，+∞） D．[，+∞）
【答案】
D
【解析】解不等式2x–1≥0，得x≥，所以其解集用区间可表示为[，+∞）．故选D．
9
．下列说法正确的是（

）

A．0与

0

的意义相同 B．高一（1）班个子比较高的同学可以形成一个集合
C．集合
A
个元素
【答案】
D
【解析】因为0是元素，

0

是 含0的集合，所以其意义不相同；因为“比较高”是一个不
确定的概念，所以不能构成集合；当
xN
时，
yN
，故集合
由于方程
x
2
2x 10
可化为方程

x1

0
，
A


x,y

|3xy2,xN

是无限集；2


x,y

|3xy2,xN

是 有限集 D．方程
x
2
2x10
的解集只有一
所以x1
（只有一个实数根），即方程
x
2
2x10
的解 集只有一个元素，应选答案D。
10．方程组
A．{(x，y)|
B．{(x，y) |
C
．
{1,2}
D
．
{(1,2)}
【答案】
C
【解析】

由于方程组的解集中最多含有一个元素，且元素是一个有序实数对，


第 8 页 共 239 页
的解集不可以表示为( )
}
}

所以
A,B,D
符合题意，
C
不符合题意．

故选
C
．

11
．下列选项中，表示同一集合的是

A
．
A={0
，
1}
，
B={
（
0
，
1
）
} B
．
A={2
，
3}
，
B={3
，
2}
C．A={x|–1【答案】
B
【解析】

在A中，A={0，1}是数 集，B={（0，1）}是点集，二者不表示同一集合，故A错误；在B中，
A={2，3}，B={3 ，2}，集合中的元素具有无序性，所以两个集合相等，表示同一集合，故B
正确；在C中，A={x| –1错误；在D中 ，A=∅，
B．
12
．若集合
A
具有以下性质：

(
Ⅰ
)0
∈
A,1
∈
A
；
(
Ⅱ
)
若
x
∈
A
，
y
∈A
，则
x
－
y
∈
A
，且
x≠0
时，∈
A.
则称集合
A
是
“
好集
”
． 下列命题正确的个数是
(

)
(1)
集合
B
＝
{
－
1,0,1}
是
“
好集
”
；

(2)
有理数集
Q
是
“
好集
”
；

(3)
设集合
A
是
“
好集
”
，若
x
∈
A
，
y
∈
A
，则
x
＋
y
∈
A.
A
．
0 B
．
1 C
．
2 D
．
3
【答案】
C
【解析】

(1)
集合
B
不是
“
好集< br>”
，假设集合
B
是
“
好集
”
，因为当－1
∈
B,1
∈
B
，－
1
－
1
＝－
2
∉
B
，这与
－
2
∈
B
矛盾 ．
(2)
有理数集
Q
是
“
好集
”
，因为< br>0
∈
Q,1
∈
Q
，对任意的
x
∈
Q
，
y
∈
Q
，有
x
－
y
∈
Q
，且
x≠0
时，∈
Q
，所以有理数集
Q
是
“
好集
”
．
(3)
因为集合
A
是
“好集
”
，所以
0
∈
A
，
若
x
∈
A
，
y
∈
A
，则
0
－
y
∈
A
，即－
y
∈
A
，所以
x
－
(
－
y)
∈
A
，即
x
＋
y
∈A.
二、填空题
13
．用区间表示数集
{x|2．

【答案】（
2
，
4]

第 9 页 共 239 页

={0}，二者不相等，不表示同一集合，故D错误．故选

【解析】

数集
{x|2（
2
，
4]
，

故答案为：（
2
，
4]
．

14
．若[a,3a
－
1]
为一确定区间，则
a
的取值范围是
_ _______
．

【答案】


1

,



2

【解析】由题意3a－1>a，得a>
1

1

,故填

,

.

2

2

15
．下列所给关系正确的个数是
________
．

①π∈R；②
【答案】
2
【解析】

因为R是实数集，所以
因为Q是有理数集，而
正确；
不是有理数，所以
，所以
正确；
是错误的；
Q；③0∈N
＋
；④|－4|N
＋
.
是非零的自然数，所以
因为，所以是错误的；
所以正确的个数是
2. 16．在数集

0,1,x2

中，实数
x
不能取的 值是______.
【答案】
2,3
【解析】由集合的互异性知：

0,1,x2

中，
x201
.
，
实数
x
不能取的值是2,3.
三、解答题
17
．在数轴上表示集合
{x|x<
－
2
或
x≥1}
，并用区 间表示该集合．

【答案】答案详见解析．

【解析】在数轴上表示集合{x|x<
－
2
或
x≥1}
，如下图：


用区间表示该集合为：．

第 10 页 共 239 页

18
．用适当的方法表示下列集合．

（
1
）小于
5
的自然数构成的集合；

（
2
）直角坐标系内第三象限的点集；

（
3
）偶数集．

【答案】（1）
【解析】

（1）
（2）
（3）
19．已知
【答案】
【解析】

因为，所以
，所以
20．已知
【答案】
【解析】

因为
当
，所以有
时，，此时
或，显然，

,

,求实数的值.
，


，用列举法表示集合．
；
；
；（2）；（3）.
不符合集合元素的互异性，故舍去；
当
.
时，解得，由上可知不符合集合元素的互异性，舍去，故
21
．用区间表示下列数集：

（1）
（3）
（5）
【答案】（1）

； （2）
； （4）R；
； （6）
；（2）；（3）；（4）
；
.
；（5）；（6）．
第 11 页 共 239 页

【解析】

（1）
（2）
（3）
（4）R=
（5）
（6）
；
；
．
；
；
；
22．设数集由实数构成，且满足：若
（1）若
（且），则.
，试证明中还有另外两个元素；
（2）集合是否为双元素集合，并说明理由；
（3）若中元素个数不超过8个，所有元素的和为
元素的积，求集合.
【答案】(1)
【解析】

（1）证明：若x∈A，则
又∵2∈A，
∴
∵-1∈A，∴
∴A中另外两个元素为
（2），，


，；
，且，，

，;(2)见解析；（3）.
，且中有一个元素的平方等于所有
，故集合中至少有3个元素，∴不是双元素集合；
（3）由，，可得
，

，所有元素积为1，∴

第 12 页 共 239 页

、、，∴


.





















第 13 页 共 239 页

专题02 集合的基本关系

一、选择题

1
．下列关系正确的是（

）

A． B． C． D．
2
．已知集合
A{0,1,2}
，B{a,2}
，若
BA
，则
a
（

）

A
．
0
C
．
2
3．已知集合
A．
4．
A．只有
C．与

_____

都可以
，且
B．
B．
B
．
0
或
1
D
．
0
或
1
或
2
．为自然数集，则下列表示不正确的是（ ）
C． D．
横线上可以填入的符号有（ ）
B．只有
D．与

都不可以
5．已知集合
A．
，则可以是（ ）
C． D．
6．已知集合，则M的非空子集的个数是（ ）
A
．
15 B
．
16 C
．
7 D
．
8
7
．下列写法正确的是（

）

A． B．0 C． D．
8
．已知集合
A={x|x
＞
l}
，则下列关系中正确的是（ ）

A． B． C． D．
9
．下列各式：①
1
∈
{0,1,2}
；②∅⊆{0,1,2}
；③
{1}
∈
{0,1,2}
；④
{0 ,1,2}
＝
{2,0,1}
，其中错误的个
数是
(

)
A
．
1
个
B
．
2
个

C
．
3
个
D
．
4
个

10
．若集合
A

x|x2

，
a
A
．
aA

3
，则下列结论中正确的是（

）

C
．
aA
D
．

a

A
B
．

a

A


第 14 页 共 239 页

11．若集合
A
．
2
C．2，，0
，且，则( )
B
．
2
，
-2
D．2，-2，0，1
，那么集合的所有子集为（ ）．

，，
12．已知集合
A．
C．
，
，
B．
， D．，
二、填空题
13．已知集合
14．设集合、
，且，则实数的值是_________.
，若，则实数＝___________.
15
．已知集合
A

x|1x3

，
B

x|mxm

，若
BA
，则
m
的取值范围为
__________．

16．已知集合A={x|x
2
+x=0，x∈R}，则集合A=_ _____．若集合B满足{0}B⊆A，则集合B=______．
三、解答题
17．写出符合条件




18．已知集合




19．已知集合





第 15 页 共 239 页
的集合．
，，若，求实数，的值.
，集合，且是的真子集，求实数的值.

20．设集合
（1）若
（2）若






，
，试判定集合与的关系；
，求实数的取值集合.
.
2
21
．已知集合
P={x
∈
R|x
2
-3x+b=0}
，
Q={x
∈
R|
（
x+1< br>）（
x+3x-4
）
=0}
．

（1）若b=4，存在集合M使得PMQ；
（
2
）若
P
⊆
Q
，求
b
的取值范围．






22．设集合是集合…，的子集．记中
的“和谐子集”． 所有元素的和为（规定： 为空集时，=0）．若为3的整数倍，则称为
求：（1）集合的“和谐子集”的个数；
（2）集合的“和谐子集”的个数．






第 16 页 共 239 页

答案解析
一、选择题

1
．下列关系正确的是（

）

A． B． C． D．
【答案】
A
【解析】

空集是任何集合的子集；
正确
本题正确选项：
2
．已知集合
A{0,1,2}
，
B{a,2}
，若
BA
，则
a
（

）

A
．
0
C
．
2
【答案】
B
【解析】

由
BA
，可知
B{0,2}
或
B{1,2}
，所以
a0
或
1.故选：
B
3．已知集合
A． B．
．为自然数集，则下列表示不正确的是（ ）
C． D．
B
．
0
或
1
D
．
0
或
1
或
2
【答案】
D
【解析】

集合
在A中，
在B中，
在C中，
，正确；
，正确；
，正确；
．为自然数集，
在D中，不是的子集，故D错误．
故选：
D
．

4．
A．只有
C．

_____

都可以
横线上可以填入的符号有（ ）
B．只有
D．与

都不可以 与
第 17 页 共 239 页

【答案】
C
【解析】

，
或
故选：
C
．

5．已知集合
A． B．
，且

，则可以是（ ）
C． D．
．
【答案】
A
【解析】

∵
∴
故选：
A
6．已知集合，则M的非空子集的个数是（ ）
，即

A
．
15 B
．
16 C
．
7 D
．
8
【答案】
C
【解析】

,所以的非空子集为
7
．下列写法正确的是（

）

A．
【答案】
A
【解析】

是 任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，集合与集合间是包含关系，集合与元素间
是属于符号.
B．0 C． D．
共7个，故选C.
故答案为
:A.
8
．已知集合
A={x|x
＞
l }
，则下列关系中正确的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】
C
【解析】

集合，

第 18 页 共 239 页

中，0是一个元素，元素与集合之间是属于或者不属于关系，故错误；
中，不成立，不对，故错误；
中，空集是任何集合的子集，故正确；
中，集合与集合之间是真子集或者子集以及相等关系，故错误；
故选：．
9
．下列各式：①
1
∈
{0,1,2}
；②∅⊆
{0,1,2}；③
{1}
∈
{0,1,2}
；④
{0,1,2}
＝< br>{2,0,1}
，其中错误的个
数是
(

)
A
．
1
个
B
．
2
个

C
．
3
个
D
．
4
个

【答案】
A
【解析】对于①，由元素与集合的关系的可得正确；对于②，由空集是任 何集合的子集知正
确；对于③，根据集合间的关系知不正确；对于④，由于集合的元素具有无序性知正确 。故
错误的结论为③。选
A
。

10
．若集合
A

x|x2

，
a
A
．
aA

【答案】
B
【解析】

因为
32
，所以< br>aA
，

a

A
，选
B.
11．若集合
A
．
2
C．2，，0
，且，则( )
3
，则下列结论中正确的是（

）

C
．
aA
D
．

a

A
B
．

a

A

B
．
2
，
-2
D．2，-2，0，1
【答案】
C
【解析】

因为
当
当
当

，所以
时，与
时，
时，
或
或

矛盾.
（舍去），即：
，都满足.
第 19 页 共 239 页
时，满足

所以
故选：
C
或或.
12．已知集合
A．
C．
，
，
B．
，
，那么集合的所有子集为（ ）．

，， D．，
【答案】
D
【解析】

由题意得，集合
故选．
二、填空题
13．已知集合
【答案】
5
【解析】

，
集合
可得
所以
，
，故答案为5 .
、

，若，则实数＝___________.
，
，且，则实数的值是_________.
的子集有，，，．
14．设集合
【答案】
【解析】

由于集合是集合的子集，令
符合题意，故舍去.当时，
时，或，当
符合题意.令
.
时集合中有两个， 不
，解得，
根据上面的分析，不符合题意.综上所述，故实数
15
．已知集合
A

x|1x3

，
B

x| mxm

，若
BA
，则
m
的取值范围为
_ _________
．

【答案】

,1


【解析】

∵
B
⊆
A
，


第 20 页 共 239 页

B
＝∅，
m≤0
，


m0
B≠
∅，

m3
解得，
0
＜
m≤ 1

m1

即实数
m
的取值范围为
m≤1
．

16．已知集合A={x|x
2
+x=0，x∈R}，则集合A =______．若集合B满足{0}B⊆A，则集合B=______．
【答案】
{-1
，
0} {-1
，
0}
【解析】

2
∵解方程
x+x=0
，得
x=-1< br>或
x=0
，

2
∴集合
A={x|x+x=0，
x
∈
R}={-1
，
0}
，

∵集合B满足{0}B⊆A，
∴集合
B={-1
，
0}
．

故答案为：
{-1
，
0}
，
{-1
，
0}
．

三、解答题
17．写出符合条件
【答案】
【解析】

集合中必有元素，故符合条件的集合为：
.
18．已知集合，，若，求实数，的值.

的集合．
【答案】
【解析】

由已知
解（1）得
或.
，得
或
（1）或
，
.（2）
解（2）得或，
又由集合中元素的互异性


第 21 页 共 239 页

得或.
，集合，且是的真子集，求实数的值. 19．已知集合
【答案】
2
【解析】

因为是的真子集，所以当
当
综上，
20．设集合
（1）若
（2）若
时，
时，
.
，故，
，符合；
，不是的真子集；
，
，试判定集合与的关系；
，求实数的取值集合.
.
.
【答案】（1）是的真子集；（2）
【解析】

（1）
（2）当
当
， 是真子集
时，满足，此时
，又
.
，得
；
或，解得或 时，集合< br>综上，实数的取值集合为
2
21
．已知集合
P={x
∈
R|x
2
-3x+b=0}
，
Q={x
∈
R|
（
x+1
）（
x+3x-4
）
=0}
．

（1）若b=4，存在集合M使得PMQ；
（
2
）若
P
⊆
Q
，求
b
的取值范围．

【答案】（1）详见解析（2）（，+∞）
【解析】

2
（
1
）∵集合
Q={x|
（
x+1
）（
x+3x-4
）
=0}={x|
（
x+1
）（
x+4
）（
x- 1
）
=0}={-1
，
1
，
-4}
，

当b=4时，集合P=∅，再由P M⊆Q可得，M是Q的非空子集．
3
共有
2-1=7
个，分别为
{-1}
、
{1}
、
{-4}
、
{-1
，
1}
、
{-1，
4}
、
{1
，
4}
、
{-1
，1
，
-4}
．


第 22 页 共 239 页 < /p>

2
（
2
）∵
P
⊆
Q
，对于方 程
x-3x+b=0
，

当P=∅，△=9-4b＜0时，有b＞，
2
△
=9-4b≥0
时，
P≠
∅，方程
x
-3x +b=0
有实数根，且实数根是
-1
，
1
，
-4
中 的数．

2
若
-1
是方程
x-3x+b=0
的实数 根，则有
b=-4
，此时
P={-1
，
4}
，不满足
P
⊆
Q
，故舍去．

2
若
1
是方程x-3x+b=0
的实数根，则有
b=2
，此时
P={1
，2}
，不满足
P
⊆
Q
，故舍去．

2
若
-4
是方程
x-3x+b=0
的实数根，则有
b=2
，此 时
P={-1
，
4}
，不满足
P
⊆
Q
，故 舍去．

综上可得，实数b的取值范围为（，+∞）．
22．设集合是集合…，的子集．记中
的“和谐子集”． 所有元素的和为（规定：为空集时， =0）．若为3的整数倍，则称为
求：（1）集合的“和谐子集”的个数；
（2）集合的“和谐子集”的个数．
【答案】（1）的“和谐子集”的个数等于4．（2）
【解析】

（1）集合的子集有：，，，，
，
，
，
，
．

，．
其中所有元素和为3的整数倍的集合有：，
所以的“和谐子集”的个数等于4．
（2）记
另记
的“和谐子集”的个数等于，即有个所有元素和为3的整数倍的子集；
有个所有元素和为3的整数倍余1的子集，有个所有元素和为3的整数
倍余
2
的子集．

由（1）知，
集合
谐子集”
有以下四类（考查新增元素
第一类 集合…，
）：
的“和谐子集”，共个；
．
的“和

第 23 页 共 239 页

第二类 仅含一个元素
同时含两个元素
同时含三个元素
第三类 仅含一个元素
同时含两个元素
第四类 仅含一个元素
同时含有两个元素
所以 集合
同理得
所以
所以数列
所以
又

的“和谐子集”，共个；
的“和谐子集”，共个；
的“和谐子集”，共个；
的“和谐子集”，共个；
的“和谐子集”，共个；
的“和谐子集”，共个；
的“和谐子集”，共个，
个．
．
，
的“和谐子集”共有
，
，
是以2为首项，公比为2 的等比数列．
．同理得
，所以
．
．









第 24 页 共 239 页

专题03 集合的基本运算

一、选择题

1．（2018年浙江卷）已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，则
A． B．{1，3} C．{2，4，5} D．{1，2，3，4，5}
2．已知集合
A． B．
，则
C．
（ ）
D．
（ ）
3
．（
2019
年北京卷文）已知集合
A={ x|–1，
B={x|x>1}
，则
A
∪
B=< br>（

）

A
．（
–1
，
1
）
B
．（
1
，
2
）
C
．（
–1
，
+∞
）
D
．（
1
，
+∞
）

4
．（
20 19
年新课标Ⅰ文
)
已知集合
U

1,2,3,4,5, 6,7

，A

2,3,4,5

，B
2,3,6,7

，
则
BC
U
A
=
（

）

B
．

1,7

C
．

6,7

D
．

1,6,7

A
．

1,6


5
．已知
R
是 实数集，集合
A

1,0,1

，
Bx2x10
，则
A
A
．

1,0

B
．

1

C
．

,1




ð
B


（

）

R

1


2

D
．

,


1



2

6
．已知集合
A{1,2,3,4},B{3,6,7,9}，则
A
A
．
1 B
．
2 C
．
3
B
中元素的个数为（

）

D
．
4
7
．设集合
A{x|x1}
，
B{x|x
2
4}
，则
A
A
．
{x|x2}
B
．
{x|1x2}

B
（

）

D
．
{x|x2}
C
．
{x|1x2}

8
．已知集合
U{xN|0 x7}
，
A{2,5}
，
B

1,3,5

，则
(ð
U
A)
A
．
{5}
B
．

1,5

C
．
{2,5}

B
（

）

D
．

1,3


9
．（
201 9
年浙江卷）已知全集
U

1,0,1,2,3

，集 合
A

0,1,2

，
B

1,0 ,1

，则
ð
U
AB
（

）

B
．

0,1


D
．

1,0,1,3


第 25 页 共 239 页
A
．

1


C
．

1,2,3


10
．已知集合
A{1,2}
，
B{x|0x2}
，则< br>A
A
．

B
．
{1}

B
（

）

D
．

1,2

C
．
{2}

11
．已知集合
Ax|xx20
，
B

2,1,0,1,2

，则
A
2

B
（< br>
）

D
．

1,2

A
．

2,1

B
．

1,2

C
．

2,1


12
．已知全集
U =R
，集合
A=

1,2,3,4,5

，B=xRx 3
，图中阴影部分所表示的集
合为（

）



A
．

1,2


C
．

1,2,3


二、填空题
13．（2019年上海市春季高考）已知集合
_________________
14
．（
2015
年江苏卷
)
已知集合
_______.
，
B
．

4,5


D
．

3,4,5


，，则
，则集合中 元素的个数为
15．（2017年江苏卷)已知集合
A

1,2

，
Ba,a
2
3
，若
AB={1}
则实数 a的值
为________
16．（2015年上海卷)设全集
．
三、解答题
17．若集合
（1）
（2）
（3）


第 26 页 共 239 页

．若集合，，则
，当全集分别取下列集合时，求.
；
；
.

18．已知集合






19．已知全集U=R，集合
（1）若
（2）若






20．若集合
（1）求
（2）若









；
，
或
，求;
，或，求，．
，．
，求实数的取值范围．
，全集.
，求的取值范围．

第 27 页 共 239 页

21．设集合
（1）若
（2）若








22．已知集合
（1）若
（2 ）若
（3）若
，
，求的取值范围；
，求的取值范围；
，求的取值范围．
，求实数的值；
，求实数的取值集合.
.
．











第 28 页 共 239 页

答案解析
一、选择题

1．（2018年浙江卷）已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，则
A． B．{1，3} C．{2，4，5} D．{1，2，3，4，5}
【答案】
C
【解析】

因为全集
故选
C.
2．已知集合
A．
【答案】
C
【解析】

因为集合 ，所以 ，故选C.
B．
，则
C．
（ ）
D．
，，所以根据补集的定义得,
（ ）
3
．（
2019
年北京卷文）已知集合
A={x|–1，
B={x|x >1}
，则
A
∪
B=
（

）

A
．（
–1
，
1
）

【答案】
C
【解析】

∵
A{x|1x2},B{x|1}

，

∴
AB(1,)

，

故选
C.
4
．（
2019
年新课标Ⅰ文
)
已知集合
U

1,2,3,4,5,6,7

，A

2,3,4,5

，B

2,3,6,7

，< br>则
B
B
．（
1
，
2
）
C
．（
–1
，
+∞
）
D
．（
1
，
+∞
）

C
U
A
=
（

）

B
．

1,7

C
．

6,7

D
．

1,6,7

A
．

1,6


【答案】
C
【解析】

由已知得
C
U
A

1,6, 7

，所以
BC
U
A
{6,7}
，故选
C
．


第 29 页 共 239 页

5．已知
R
是实数集，集合
A

1,0,1

，
Bx2x10
，则
A
A
．

1,0< br>

【答案】
A
6
．已知集合
A{1,2,3, 4},B{3,6,7,9}
，则
A
A
．
1
【答案】
A
【解析】

∵集合
A{1,2,3,4}, B{3,6,7,9}
∴
A∩B
＝
{3}
，

∴
A∩B
中元素的个数为
1
．

故选：
A
．

7
．设集合
A{x|x1}，
B{x|x
2
4}
，则
A
A
．
{x|x2}

【答案】
C
【解析】

∵集合
A{x|x1}
，

B{x|x4}{x|2x2}
，

∴
A
2< br>

ð
B


（

）

R
B
．

1

C
．

,1



1


2

D
．

,


1
< br>

2

B
中元素的个数为（

）

D
．
4 B
．
2 C
．
3
B
（

）

D
．
{x|x2}
B
．
{x|1x2}
C
．
{x|1x2}

B{x|1x2}
.
故选：
C
．

8
．已知集合
U{xN|0x7}
，
A{2,5}
，
B

1,3,5

，则
(ð
U
A)
A
．
{5}

【答案】
D
【解析】

B
．

1,5

C
．
{2,5}

B
（

）

D
．

1,3


U{xN|0x7}{1,2,3,4,5,6}
，

则
C
U
A{1,3,4,6}
，

则
(C
U
A)
故选：
D
．

9< br>．（
2019
年浙江卷）已知全集
U

1,0,1,2, 3

，集合
A

0,1,2

，
B< br>
1,0,1

，则

第 30 页 共 239 页
B{1,3}
，

ð
U
AB
（

）

B
．

0,1


D
．

1,0,1,3


A
．

1


C
．

1,2,3


【答案】
A
【解析】

C
U
A={1,3}
，则

C
U
A

B{1}

10
．已知集合
A{1,2}
，
B{x|0x2}
，则
A
A
．

【答案】
B
【解析】

由题意，集合
A {1,2}
，
B{x|0x2}
，所以
AB{1}
，故 选
B.
2
11
．已知集合
Ax|xx20
，B

2,1,0,1,2

，则
A
B
（

）

D
．

1,2

B
．
{1}
C
．
{2}


B
（

）

D
．

1,2

A
．

2,1


【答案】
B
【解析】

B
．

1,2

C
．

2,1


解方程
x
2
x20
可得
x
1
=-1,x
2
2

A

1,2


B

2,1,0,1,2


AB

1,2

.
故选
B.
12
．已知全集
U=R
，集合
A=

1,2,3,4,5

，B=xRx3
，图中阴影部分所表示的集
合为（

）



A
．

1,2



B
．

4,5


第 31 页 共 239 页

C
．

1,2,3


【答案】
A
【解析】

D
．

3,4,5


由已知中阴影部分在集合< br>A
中，而不在集合
B
中，故阴影部分所表示的元素属于
A
，不 属
于
B
（属于
B
的补集），即
ð
R
BA 

1,2

.
二、填空题
13．（2019年上海市春季高考）已知集合
_________________
【答案】
【解析】

，

本题正确结果：
，，则集合中元素的个数为


，，则

14
． （
2015
年江苏卷
)
已知集合
_______.
【答案】
5
【解析】


15．（2017年江苏卷)已知集合
A

1,2

，
Ba,a
2
3
，若
AB={1}
则实数a的值
为________
【答案】
1
【解析】由题意
1B
，显然
a
2
33
，所以
a1
，此时
a
2< br>34
，满足题意，故答案
为1．
16．（2015年上海卷)设全集
．
【答案】
【解析】


．若集合，，则


第 32 页 共 239 页

因为
三、解答题
17．若 集合
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）
【解析】

（1）
（2）
，
，
；
，所以
，当全集分别取下列集合时，求.
；
.
或；（2）或；（3）或.


或
或

（3）， 或

18．已知集合
【答案】
【解析】

或
，
,
或
或
，求

，．
或或
19．已知全集U=R，集合
（1）若
（2）若
【答案】(1)
【解析】



或
，

．
，
，求;
，求实数的取值范围．
..(2) .
第 33 页 共 239 页

（1）因为
所以
故
（2）因为
如图 所示
所以.
，
，
，
，

.
20．若集合
（1）求
（2）若
【答案】（1）
【解析】

（1）
（
2
）由题意可得下图：

或
；
，
或，全集.
，求的取值范围．
或}；（2）.
， 或


当时，

21．设集合
（1）若
（2）若
，求实数的值；
，求实数的取值集合.
；（2）.
.

【答案】（1）
【解析】

（1）由

得：，解得：
第 34 页 共 239 页

（2）①若
当
当
② 若
当
当
时，
时，
时，
时，
，解得：或
，满足题意
，满足题意
，解得：
，
，

．
或
，满足题意
，满足题意
综上所述，实数的取值集合为：
22 ．已知集合
（1）若
（2）若
（3）若
【答案】（1）
【解析】
由题意，集合
（1）由
（2）由
（3）由


，
，则满足
，则满足
，则满足
，则
或
或
，解得< br>，解得
，
，求的取值范围；
，求的取值范围；
，求的取值范围．
或；（2）或；（3）.
．
，解得
或
．
；
或；








第 35 页 共 239 页

专题04 《集合》单元测试卷
一、选择题

1．（2018年新课标I卷文）已知集合
（ ）
A． B． C． D．
，，则
2
．（
201 9
年新课标Ⅱ文
)
已知集合
A={x|x1}
，
B{ x|x2}
，则
A∩B=
（

）

A
．
(–1
，
+∞)
C
．
(–1
，
2)
3．下列关系中，正确的是
A． B．
，则
B． C． D．
C． D．
B
．
(–∞
，
2)
D
．


4．已知集合是
A．
5．不等式的解集用区间可表示为（ ）
A．（–∞，） B．（–∞，]
C．（，+∞） D．[，+∞）
6
．已知集合
A={x|x
＞
0}
，
B={x|-1
＜
x
＜
1}
，则
A
∪
B=
（ ）

A
．

1,1

B
．

1,

C
．

0,1

D
．

0,


7．若集合M={x|x≤6}，a=2
A． B．
，则下面结论中正确的是（ ）
C．
，则


D．
（ ）

8.（2018年新课标I卷)已知集合
A．
C．
9．设集合
A．
C ．
，
B．
D．
3，，则正确的是
3， 3， B．
D．
10．（2018年天津卷理)设全集为R，集合，，则

第 36 页 共 239 页

（ ）
A．
11．已知
A．
B． C． D．
，则实数的值为（ ）
B．
，
C．
，
D．
，则12．（2018年天津卷文)设集合
（ ）
A．
C．
二、填空题
13．已知集合，
B．
D．


，则________．
14
．集合
A={x| x≥0
且
x≠1}
用区间表示
_______________
．< br>
15
．已知集合
A

1,2,3

，< br>B{2,3,4}
，则集合
AB
中元素的个数为
_____
．

16
．已知集合
A

1,m,9

,Bm,1
，若
A
2

BB
，则实数
m< br>=______________
三、解答题
17
．用区间表示下列数集：

（1）


（3）



（5）



18．设集合或，，若是的真子集，求实数的取值范
； （6）．
； （4）R；
； （2）；

第 37 页 共 239 页

围．






19．设集合
（I）用列举法写出集合；
（II）求







20．设全集为，
（1）
（2）








21．已知集合

.
和.
，：
；
.
，
第 38 页 共 239 页
，全集．

当
若









时，求；
，求实数a的取值范围．
22．设全集，集合，，若，求
实数的取值集合．













第 39 页 共 239 页

答案解析
一、选择题

1．（2018年新课标I卷文）已知集合，，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】
A
【解析】
根据集合交集中元素的特征，可以求得，故选A.
2
．（
2019
年新课标Ⅱ文
)
已知集合
A={x|x1}
，
B{x|x2 }
，则
A∩B=
（

A
．
(–1
，
+∞) B
．
(–∞
，
2)
C
．
(–1
，
2) D
．


【答案】
C
【解析】

由题知，
AB(1,2)
，故选
C
．

3．下列关系中，正确的是
A． B． C． D．
【答案】
C
【解析】

选项A：，错误；
选项B，，错误；
选项C，，正确；
选项D， 与是元素与集合的关系，应该满足，故错误；
故选：
C
．

4．已知集合是，则
A． B． C． D．
【答案】
A
【解析】


第 40 页 共 239 页

）

集合

本题正确选项：
5．不等式

的解集用区间可表示为（ ）
A．（–∞，） B．（–∞，]
C．（，+∞） D．[，+∞）
【答案】
D
【解析】解不等式2x–1≥0，得x≥，所以其解集用区间可表示为[，+∞）．故选D．
6
．已知集合
A={x|x
＞
0}
，
B={x|-1
＜
x
＜
1}
，则
A
∪
B=
（ ）

A
．

1,1


【答案】
B
【解析】

由题意，集合
A={x|x
＞
0}
，
B={x|-1
＜
x
＜
1}
，

根据集合的并集的运算可得
A
∪
B={x|x
＞
-1}=
（
-1
，
+∞
），

故选：
B
．

7．若集合M={x|x≤6}，a=2
A． B．
，则下面结论中正确的是（ ）
C． D．
B
．

1,

C
．

0,1

D
．

0,


【答案】
A
【解析】

由集合M={x|x≤6}，a=2，知：
在A中，{a}M，故A正确；
在B中，aM，故B错误；
在
C
中，
{a}
⊆
M
，故
C
错误；

在D中，a
故选：
A
．

8.（2018年新课标I卷)已知集合
A．
C．

M，故D错误．
，则


第 41 页 共 239 页
（ ）
B．
D．

【答案】
B
【解析】
解不等式
所以
所以可以求得
9．设集合
A．
C．
，
得
，
，故选B.
3，，则正确的是
3，

，
3， B．
D．
【答案】
D
【解析】

集合
则
，3，，
，选项A错误；
2，3，，选项B错误；
，选项C错误；
，选项D正确．
故选：
D
．

10．（2018年天津卷理)设全集为R，集合

A．
【答案】
B
【解析】
由题意可得：
结合交集的定义可得：
本题选择
B
选项
.
11．已知
A．
【答案】
C
【解析】


第 42 页 共 239 页
，，则
B． C． D．
，
.
，则实数的值为（ ）
B． C． D．

，
由
综上
当
当
当
故
得
，或
时 ，集合为
时，集合为
时，集合为
．
，由
，，
，得
，
，由得或．
．
不成立．
不成立．
，满足条件．
故选：
C
．

12．（2018年天津卷文)设集合
（ ）
A．
C．
【答案】
C
【解析】

由并集的定义可 得：
结合交集的定义可知：
本题选择
C
选项
.
二、填空题
13．已知集合
【答案】
【解析】

因为
所以
，

，，则____．
，
.
B．
D．


，，，则
14
．集合
A={x|x≥0
且
x≠1}
用区间表示
_______________
．

【答案】
[0
，
1
）∪（
1
，
+∞
）
【解析】

集合
A={x|x≥0
且
x≠1}
用区间表示为：
[0
，
1
）∪（
1
，
+∞
），


第 43 页 共 239 页

故答案为：[0
，
1
）∪（
1
，
+∞
）．
15
．已知集合
A

1,2,3

，
B{ 2,3,4}
，则集合
AB
中元素的个数为
_____
．

【答案】
4
【解析】

因为集合
A

1,2,3

，
B{2,3,4}
，

所以
AB{1,2,3,4}
.
所以集合
AB
中元素的个数为
4
，故答案为
4.
16
．已知集合
A

1,m,9

,Bm,1
，若
A
2

BB
，则实数
m
=______ ________
【答案】
0,3,3

【解析】

2
∵
A∩B
＝
B
，
A
＝
{1
，m
，
9}
，
B
＝
{1
，
m}
，

∴
B
⊆
A
，

22
∴
m
＝
m
或
m=9
，且
m≠1
，

解得：
m
＝
1
（舍去）或
m
＝
0
，或< br>m=3
或
-3
，

故答案为
0
，
3
，
-3
．

三、解答题
17
．用区间表示下列数集：

（1）
（3）
（5）
【答案】（1）
； （2）
； （4）R；
； （6）
；（2）；（3）；（4）
．
；（5）；（6）．
；
【解析】由区间的概念可得：

（1）
（2）
（3）
（4）R=

；
；
；
；
第 44 页 共 239 页

（5）
（6）
18．设集合
围．
【答案】
【解析】


或
；
．
，，若 是的真子集，求实数的取值范
，因是的真子集，所以
19．设集合
（I）用列举法写出 集合；
（II）求
【答案】（I）
【解析】

（I）因为x
所以
（II）因为
所以,
，
.
，
.
，所以,
和.
；（II）,.
.
，故．
20．设全集为，
（1）
（2）
【答案】（1）
【解析】

（1）由
；
.
或
：
；（2）或.
画出数轴：

由图得
或
（2）

，
.
得，
第 45 页 共 239 页

或，
或.
，
；
，全集． 21．已知集合
当
若
【答案】（1）
【解析】

（1）当a=2时，A=
所以A∪B=，
，
时，求
，求实数a的取值范围．
；（2）或.
（
2
）因 为
A∩B=A
，所以
A
⊆
B
，

①当A=
∅，即
a-1≥2a+3
即
a≤-4
时满足题意，

②当A≠∅时，由A⊆B，有
解得-1
综合①②得：

实数a的取值范围为：
22．设全集，集合
或-1
，
，
，
，，若，求
实数的取值集合．
【答案】
【解析】

当，即
时，
当
若
则
即

或.
，
，满足条件
时，
，
或， ，即
，
或
或
，
，此时，
第 46 页 共 239 页

综上：a的取值范围是或






















第 47 页 共 239 页

专题05 命题与量词
一、选择题

1
．下列语句是命题的是
(

)
①三角形的内角和等于
180°
；②
2>3
；③一个数不是正数就是负数；④
x>2
；⑤这座山真险
啊！

A
．①②③
B
．①③④

C
．①②⑤
D
．②③⑤

2
．下列语句为命题的是（）

A．是一个很小的数 B．对顶角相等 C．他去哪儿 D．
3
．下列四个命题中的真命题是
(

)
A．∀x∈R，x
2
＋3<0 B．∀x∈N，x
2
>1 C．∃x∈Z，使
4
．下列命题
:
①面积相等的三角形是全等三角形
;
②若
xy=0,
则
|x|+|y|=0;
22
③若
a>b,
则
ac>bc;
④矩形的对角线互相垂直
.
D．∃x∈Q，x
2
＝3
其中假命题的个数是
(

)
A
．
1 B
．
2 C
．
3 D
．
4
5
．下列语句中是命题的为（

）

2
①
x
－
3
＝
0
；②与一条直线相交的两 直线平行吗？③
3
＋
1
＝
5
；④∀
x
∈< br>R,5x
－
3>6.
A
．①③
B
．②③
C
．②④
D
．③④

6
．下列关于集合的命题正确的有（

）

①很小的整数可以构成集合

22
②集合
{y|y=2x+1}
与集合
{(x,y) |y=2x+1}
是同一个集合
;
③1，2，|-|，0.5，这些数组成的集合有5个元素
④空集是任何集合的子集

A
．
0
个

7．“
A．
C．

B
．
1
个

，关于的不等式
，使得
，使得
C
．
2
个

有解”等价于（ ）
D
．
3
个

成立 B．
成立 D．
，使得
，使得
成立
成立
第 48 页 共 239 页

8
．
“
若
x>2
，则
p”
为真命题，那么
p
不能是
(

)
A
．
x>3 B
．
x>1
C
．
x>0 D
．
x>
－
1
9
．下列命题中，真命题的是（

）

A．
C．
B．
D．

对恒成立
10．设非空集合P，Q满足P∩Q＝Q，且，则下列错误的是（ ）
A
．∀
x
∈
Q
，有
x
∈
P B
．∃
x
₀∈
P
，使得
x
₀∉
Q
C
．∃
x
₀∉
Q
，使得
x
₀∈
P D
．∀
x
∉
Q
，有
x
∉
P
11
．已知集合
A={–1
，
0
，
1
，
2}< br>，则下列表示正确的是（

）

A
．∅∈
A B
．
{1}
∈
A
C
．
{1}
⊆
A D
．
1
⊆
A
12
．已知命题
“
xR ,4x(a2)x
A
．
(,0)

二、填空题
13．命题：“x > 1， x
2
- 2 > 0”是____命题．（ 填“真”、“假’”）
14．如果将“偶数可被2整除”写成“若，则”的形式，那么：______ __，：_________.
15．已知命题,使得是假命题，则实数的最大值是____________
是真命题”的一组有序数对为
B
．
[0,4]

2
1
0
”
是假命题，则实数
a
的取值范围是（

）

4
C
．
[4,)
D
．
(0,4)

16．能够说明“存在两个不相等的正数a，b，使得
______．
三、解答题
17
．把下列命题写成
“
若
p
，则
q”
的 形式，并判断其真假：

(1)
等腰三角形的两个底角相等；

(2 )
当
x
＝
2
或
x
＝
4
时，
x
2
－
6x
＋
8
＝
0.


18
．判断命题
“
任意
x
∈
R
，存在m
∈
Z
，
m
2
－
m2
＋
x
＋
1”
真假．



第 49 页 共 239 页

19
．判断下列命题的真假：

①若，则
；④若




20.命题“若







21．已知命题：，为真命题，求实数的取值范围．





22.
已知
A
：
5x
－
1< br>＞
a
，
B
：
x
＞
1
，请确定实数< br>a
的范围，使得利用
A
，
B
构造的命题
“
若
p
，
则
q”
为真命题．

，则”，写出能说明该命题为假命题的一组的值（不唯一）.
；②方程
，则
有两个实根；③对于实数，若
；⑤正方形不是菱形.
，则

第 50 页 共 239 页

一、选择题

答案解析
第 51 页 共 239 页

1
．下列语句是命题的是
(

)
①三角 形的内角和等于
180°
；②
2>3
；③一个数不是正数就是负数；④
x>2
；⑤这座山真险
啊！

A
．①②③
B
．①③④

C
．①②⑤
D
．②③⑤

【答案】
A
【解析】

逐一考查所给的语句：

①三角形的内角和等于
180°
，是一个可以判断真假的陈述句，是命题；

②
2>3
，是一个可以判断真假的陈述句，是命题；

③一个数不是正数就是负数，是一个可以判断真假的陈述句，是命题；

④
x>2
无法判断真假，不是命题；

⑤这座山真险啊！是祈使句，不是命题
.
综上可得，题中所给语句是命题的是①②③
.
本题选择
A
选项
.
2
．下列语句为命题的是（

）

A．
【答案】
B
【解析】

对于
A
，不能判定真假，，不构成命题，选项错误；

对于
B
、能够判断真假，是命题，选项正确；

对于
C
、不是陈述句，不构成命题，选项错误；

对于
D
、不能判定真假，不构成命题，选项错误．

故选：
B
．

3
．下列四个命题中的真命题是
(

)
A．∀x∈R，x
2
＋3<0 B．∀x∈N，x
2
>1 C．∃x∈Z，使
【答案】
C
【解析】

由于

是一个很小的数 B．对顶角相等 C．他去哪儿 D．
D．∃x∈Q，x
2
＝3
，故选项错误.当时，，故选项错误.当，故选项.
第 52 页 共 239 页

由于
4
．下列命题
:
，不是有理数，故选项错误.故本题选C.
①面积相等的三角形是全等三角形
;
②若
xy=0,
则
|x|+|y|=0;
22
③若
a>b,
则
ac>bc;
④矩形的对角线互相垂直
.
其中假命题的个数是
(

)
A
．
1 B
．
2 C
．
3 D
．
4
【答案】
D
【解析】

对于①，面积相等的三角形不一定全等，所以是假命题；对于②，若
B不能得到，即且，所以是假命题；对于③，当
，则
时，
或，
，
所 以是假命题；对于④，矩形的对角线不一定互相垂直，所以是假命题，综上所述，假命题
有四个，选择D
5
．下列语句中是命题的为

（

）

2
①
x
－
3
＝
0
；②与一条直线相交的两 直线平行吗？③
3
＋
1
＝
5
；④∀
x
∈< br>R,5x
－
3>6.
A
．①③
B
．②③
C
．②④
D
．③④

【答案】
D
【解析】

2
①
x
－
3
＝
0
随
x
的变化而变化，不是命题．②问句，不是陈述句，所以 不是命题
.
③
3
＋
1
＝
5
是假命题．④ 是全称命题，真命题

故选：
D
．

6
．下列关于集合的命题正确的有（

）

①很小的整数可以构成集合

22
②集合
{y|y=2x+1}
与集合
{(x,y) |y=2x+1}
是同一个集合
;
③1，2，|-|，0.5，这些数组成的集合有5个元素
④空集是任何集合的子集

A
．
0
个

【答案】
B
【解析】

①很小的整数可以构成集合是错误的，不满足元素确定性，故错误


第 53 页 共 239 页
B
．
1
个
C
．
2
个
D
．
3
个

< br>②集合
表示的集合为函数
为，需要求出函数的值域，而
图象上的点，所以不是同 一集合，故错误
③l，2，，0.5，这些数组成的集合有3个元素，而不是5个元素，故错误
④空集是任何集合的子集正确

综上只有1个命题正确，故选
7．“
A．
C．
，关于的不等式
，使得
，使得
有解”等价于（ ）
成立 B．
成立 D．
，使得
，使得
成立
成立
【答案】
A
【解析】

命题对
x
∈
R
，
“
关于
x
的不等式
f
（
x
）＞
0
有解
”
为特称命题，

则根据特称命题的定 义可知命题等价为∃
x
0
∈
R
，使得
f
（
x
0
）＞
0
成立．

故选
A
．

8
．
“
若
x>2
，则
p”
为真命题，那么
p
不能是
(

)
A
．
x>3 B
．
x>1
C
．
x>0 D
．
x>
－
1
【答案】
A
【解析】

大于
2
的实数不一定大于
3
，故
p
不能是
x>3.
本题选择
A
选项
.
9
．下列命题中，真命题的是（

）

A．
C．
【答案】
D
【解析】

，错误，当x=0.2时，不满足
小于0，故方程无解，故B错误；C，

B．
D．

对恒成立
；B.方程的判别式
，解得a<0或a>1,故C不正确；D令a>1，即可
第 54 页 共 239 页

满足条件，对任意的x均有
故答案为：
D.
成立，故正确。
10．设非空集合P，Q满足P∩Q＝Q，且，则下列错误的是（ ）
A
．∀
x
∈
Q
，有
x
∈
P B
．∃
x
₀∈
P
，使得
x
₀∉
Q C
．∃
x
₀∉
Q
，使得
x
₀∈
P D
．∀
x
∉
Q
，
有
x
∉
P
【答案】
D
【解析】

由于，故是的子集.所以集合的元素都是集 合的元素，故A选项命题正确.但
，故中有是不属于的元素，可能也不属于，故D选项命题错误.对于B 选项，由于
元素集合是没有的，故B选项和C选项命题正确.综上所述，本题选D.
11．已知集合
A={–1
，
0
，
1
，
2}
，则下列表示正确的是（

）

A
．∅∈
A B
．
{1}
∈
A
C
．
{1}
⊆
A D
．
1
⊆
A
【答案】
C
【解析】
< br>由集合
A={–1
，
0
，
1
，
2}
，知：∅∉
A
，∅⊆
A
，
{1}
⊆
A
，< br>1
∈
A
．故选
C
．

12
．已知命 题
“
xR,4x(a2)x
A
．
(,0)

【答案】
B
【解析】

因为
“
xR,4x (a2)x
2
2
1
0
”
是假命题，则实数
a
的取值范围是（

）

4
C
．
[4,)
D
．
(0,4)
B
．
[0,4]

1
0
”
是假命题，

4
所以
(a2)44
2
1
00a4< br>，选
B.
4

第 55 页 共 239 页

二、填空题
13．命题：“x > 1， x
2
- 2 > 0”是____命题．（ 填“真”、“假’”）
【答案】真

【解析】

如时，，故原命题为真命题.
14．如果将“偶数可被2整除” 写成“若，则”的形式，那么：________，：_________.
【答案】一个数是偶数

这个数可以被
2
整除

【解析】

将“偶数可被2整除”写成“若，则”的形式,则为：若一个数是偶数，则 这个数可以被2整
除.
故答案为：
(1).
一个数是偶数
(2).
这个数可以被
2
整除

15．已知命题
【答案】
【解析】

因为命题“
所以“
故.
是真命题”的一组有序数对为
，使得
，使得
”是假命题，
”是真命题，
,使得是假命题，则实数的最大值是____________
16．能够说明“存在两个不相等的正数a，b，使得
______．
【答案】，3
【解析】

取，，得到，
能够说明“存在不相等的正数a，b，使得
故答案为：
三、解答题
答案不唯一
”是真命题的一组a，b的值为，3．
17
．把下列命题写成
“
若
p
，则
q”
的形式，并判断其真假：

(1)
等腰三角形的两个底角相等；

(2)
当
x
＝
2
或
x
＝
4
时，
x
2
－
6x
＋
8
＝
0.

第 56 页 共 239 页 < /p>

【答案】
(1)
答案见解析；
(2)
答案见解析
.
【解析】

(1)
条件是
“
一个三角形是等腰三角 形
”
，结论是
“
这个三角形的两个底角相等
”
．故命题可以
写成：若一个三角形是等腰三角形，则它的两个底角相等．显然这个命题是真命题．

(2)
条件是
“x
＝
2
或
x
＝
4”
，结论是
“x
2
－
6x
＋
8
＝
0”．故命题可以写成：若
x
＝
2
或
x
＝
4
，则
x
2
－
6x
＋
8
＝
0.
通 过检验可知这个命题是真命题．

18
．判断命题
“
任意
x
∈
R
，存在
m
∈
Z
，
m
2
－
m2
＋
x
＋
1”
真假．

【答案】真

【解析】

222
由于任意
x
∈
R
，
x
＋
x
＋
1
＝
(x＋
)
＋
≥
，因此只需
m
－
m<
，即－
，即
0≤m≤1
，

22
所以当
m
＝
0
或
m
＝
1
时，任意
x
∈R
，存在
m
∈
Z
，
m
－
m＋
x
＋
1
成立，因此该命题是真
命题．

19
．判断下列命题的真假：

①若，则
；④若
；②方程< br>，则
有两个实根；③对于实数，若
；⑤正方形不是菱形.
，则
【答案】真命题有③，假命题有①②④⑤

【解析】
< br>①当时，a不一定等于b，是假命题；②方程
，则，
的判别式
成立，真命题；④ 当
故此
时方程无实根，假命题；③若
，故此结论不成立，命题是假命题；⑤正方形是菱 形，故原命题不成立，是假命题．
故证明，真命题有③，假命题有①②④⑤
.
20.命题“若
【答案】
【解析】

代入特殊值，当
21．已知命题：
【答案】

，则
(不唯一)
”，写出能说明该命题为假命题的一组的值（不唯一）.
，发现
，
，为假命题.
为真命题，求实数的取值范围．

第 57 页 共 239 页

【解析】

当
当
时，
时，要使
为真命题，符合题意；
，为真命题，
则对应的抛物线开口向上且与轴没有交点，
可得，
，故答案为. 综上可得实数的 取值范围是
22.
已知
A
：
5x
－
1
＞< br>a
，
B
：
x
＞
1
，请确定实数
a< br>的范围，使得利用
A
，
B
构造的命题
“
若
p
，
则
q”
为真命题．

【答案】见解析

【解析】

若视
A
为
p
，则命题
“
若
p
，则
q”
为
“
若
x
＞，则
x
＞
1”
，由命题为真命题可知
≥1
，
解得
a≥4
，即当
a≥4
时，
“
若
5x
－
1
＞
a
，则
x
＞
1”
为真命题．

若视B
为
p
，则命题
“
若
p
，则
q”为
“
若
x
＞
1
，则
x
＞
”< br>，由命题为真命题可知
≤1
，解
得
a≤4
，即当
a≤ 4
时，
“
若
x
＞
1
，则
5x
－< br>1
＞
a”
是真命题．













第 58 页 共 239 页

专题06 全称量词命题与存在性量词命题的否定

一、选择题

1．已知命题
A．
C．
，
，


，


，，则是（ ）
B．
D．
，则（ ）
B．
D．
：
：
，
，


，
，
.
.
2．已知命题p：
A．
C．
：
：
，
，
3
．命题
“
x1
，
x
2
x0
”
的否定是（

）

2
A
．
x
0
1
，
x
0
x0
0

2
C
．
x
0
1
，
x
0
x
0
0

B
．
x1
，
x
2
x0

D
．
x1
，
x
2
x0

为 4．已知命题某班所有的男生都爱踢足球，则命题
A
．某班至多有一个男生爱踢足球

C
．某班所有的男生都不爱踢足球

5
．给出下列四个命题：

①有理数是实数；②有些平行四边形不是菱形；

2
③∀
x
∈
R
，
x
﹣
2x
＞
0
；

④∃
x
∈
R
，
2x+1
为奇数；

B
．某班至少有一个男生不爱踢足球

D
．某班所有的女生都爱踢足球

以上命题的否定为真命题的序号依次是

（

）

A
．①④
B
．②④
C
．①②③④
D
．③

6．命题p：
A．
C．
：
：
，< br>，
，


的否定是
B．
D．
：
：
，
，


2
7
．命题：
“
∀
x
∈（
-1
，
1
），都有
x
＜
1”
的否定是（ ）

A．

，都有 B．
第 59 页 共 239 页
，都有

C．，使得 D．，使得
8
．命题
p:x
20
R
，
x
0
x
0
0
的否定p
是（

）

A
．
xR,x
2
00
x
0
0
B
．
xR,x
2
x0

C
．
xR,x
2
x0
D
．
x
2
0
R,x
0
x
0
0

9
．命题
“
存在实数
x
，使
x
＞
1”
的否定是
(

)
A
．对任意实数
x
，都有
x
＞
1 B
．对任意实数
x
，都有
x≤1
C
．不存在实数
x
，使
x≤1 D
．存在实数
x
，使
x≤1
10
．命题
“
xR
，
x
2
x
”
的否定是
(

)

A
．
xR
，
x
2
x
B
．
xR
，
x
2
x

C
．
xR
，
x
2
x
D
．
xR
，
x
2
x

11
．若命题
“
存在
x
0
R
，使
x
2
2xm0
”
是假命题，则实数
m
的取值范围是（
A
．
(,0)
B
．
(,2)
C
．
[1,1]
D
．
(,1)

12．若使得成立是真命题，则实数取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13
．写出命题
“
xA
，使得
x
2
-2x-3=0
”
的否定
_______．

14．已知命题为，，，则为__________．
15．命题“，”的否定是______命题选填“真”、“假”之一
16．命题“，”是假命题，则实数的取值范围是_________．
三、解答题
17．设：，试用不同的表达方法写出特称命题“，”．






第 60 页 共 239 页

）

18．设集合





四边形，：内角和为360°．试用不同的表述写出全称命题“”；
19
．写出下列命题的否定
,
并判断其真假：

（
1
）任何有理数都是实数；

（2）存在一个实数，能使






20
．写出下列命题的否定并判断真假：

(1)
不论
m< br>取何实数，方程
x
2
＋
x
＋
m
＝
0
必有实数根；

(2)
所有末位数字是
0
或
5的整数都能被
5
整除；

(3)
某些梯形的对角线互相平分；

(4)
被
8
整除的数能被
4
整除．










成立.

第 61 页 共 239 页

21．是否存在整数，使得命题“
值；若不存在，请说明理由．












22．已知命题，使得
，”是真命题？若存在，求出的
，命题，若命题p为 假，
命题q为真，求a的取值范围.




















第 62 页 共 239 页

答案解析
一、选择题

1．已知命题
A．
C．
，
，


，，则是（ ）
B．
D．
，
，
.
.
【答案】
B
【解析】

根据全称命题的否定为特称命题，可得
本题正确选项：
2．已知命题p：
A ．
C．
：
：
，
，
，


，则（ ）
B．
D．
：
：
，
，


，
【答案】
C
【解析】

因为特称命题的否定是全称命题，

所以，命题p：
故选：
C
．

3
．命题
“
x1
，
x
2
x0
”
的否定是（

）

2
A
．
x
0
1
，
x
0
x
0
0

2
C
．
x
0
1
，
x
0
x
0
0

，的否定是：，，
B
．
x1
，
x
2
x0

D
．
x1
，
x
2
x0

【答案】
C
【解析】

因为全称命题的否定是特称命题，所以命题
“
x>1
，
x
2
x0
”
的否定是：< br>
2
“
x
0
1
，
x
0
x
0
0
”
，故选
C.
4．已知命题某班所有的男生都 爱踢足球，则命题
A
．某班至多有一个男生爱踢足球


为
B
．某班至少有一个男生不爱踢足球

第 63 页 共 239 页

C
．某班所有的男生都不爱踢足球

【答案】
B
【解析】

D
．某班所有的女生都爱踢足球

命题
“
某班所有男生都爱踢足球
”
是一个全称命题，它的否定是一个特称命题，

考察四个命题，
“
某班至少有一个男生不爱踢足球
”
是所研究命题的 否定．

故选：
B
．

5
．给出下列四个命题：

①有理数是实数；②有些平行四边形不是菱形；

2
③∀
x
∈
R
，
x
﹣
2x
＞
0
；

④∃
x
∈
R
，
2x+1
为奇数；

以上命题的否定为真命题的序号依次是

（

）

A
．①④
B
．②④
C
．①②③④
D
．③

【答案】
D
【解析】

①有理数是实数命题正确，则命题的否定为假命题；

②有些平行四边形不是菱形，为真命题，则命题的否定是假命题；

2
③∀< br>x
∈
R
，
x
﹣
2x
＞
0
为 假命题，当
x
＝
0
时，不等式不成立，则命题的否定是真命题；

④∃
x
∈
R
，
2x+1
为奇数为真命题 ，则命题的否定是假命题；

故满足条件的序号是③，故选：
D
．

6．命题p：
A．
C．
：
：
，
，
，


的否定是
B．
D．
：
：
，
，


【答案】
D
【解析】

根据全称命题的否定是特称命题

命题p：
“
故选：
D
．

2
7
． 命题：
“
∀
x
∈（
-1
，
1
），都有x
＜
1”
的否定是（ ）

，
，
的否定是

第 64 页 共 239 页

A．
C．
【答案】
C
【解析】

，都有
，使得


B．
D．
，都有
，使得


2
命题是全称命题，则否定是特称命题即：

∃
x
∈（-1
，
1
），使得
x≥1
，

故选：
C
．

8
．命题
p:x
0
R
，
x
0
x
0
0
的否定
p是（

）

2
2
A
．
x
0
R,x
0
x
0
0
B
．
xR,x
2
x0

2
D
．< br>x
0
R,x
0
x
0
0
C
．
xR,x
2
x0

【答案】
B
【解析】

因命题
p
为
“
x
0
R
，
x
0
x
0
0
”
，它是存在性命 题，

2
2
故其否定为：

xR,xx0
，选
B
9
．命题
“
存在实 数
x
，使
x
＞
1”
的否定是
(

)
A
．对任意实数
x
，都有
x
＞
1
C
．不存在实数
x
，使
x≤1
【答案】
B
【解析】

命题
“
存在实数
x
，使
x＞
1”
的否定是
“
对任意实数
x
，都有
x≤1 ”
，故选
B.
10
．命题
“
xR
，
x
2
x
”
的否定是
(

)

A
．
xR
，
x
2
x

C
．
xR
，
x
2
x

【答案】
D
【解析】

根据全称命题的否定是特称命题，

B
．
xR
，
x
2
x

D
．
xR
，
x
2
x

B
．对任意实数
x
，都有
x≤1
D
．存在实数
x
，使
x≤1

命题的否定是：< br>x
0
R
，
x
0
2
x
0
．

故选：
D
．


第 65 页 共 239 页

11
．若命题
“
存在
x
0
R
，使
x
2
2xm0
”
是假命题，则实数
m< br>的取值范围是（

）

A
．
(,0)

【答案】
D
【解析】

命题
“
存在
x
0
R
，使
x
2
2xm0
”
的否定为：

任意
xR
，

x
2
2xm0
总成立
.
所以
44m 0
，所以
m

,1

，选
D.
B
．
(,2)
C
．
[1,1]
D
．
(,1)

12．若
A．
使得
B． C．
成立是真命题，则实数取值范围为（ ）
D．
【答案】
D
【解析】若“
即“
由
，使得2x
2< br>﹣λx+2＜0成立”是真命题，
，使得λ＞2x+成立”是真命题，4
，当x=1时，函数取最小值4，
， 故实数λ的取值范围为
故选：
D
二、填空题
13
．写出命题
“
xA
，使得
x
2
-2x-3=0
”
的否定
_______
．

【答案】
xA
，都有
x
2
2x30

【解析】

根据含特称量词命题的否定可得该命题的否定为：
xA
，都有
x
2
2x30

本题正确结果：
xA< br>，都有
x
2
2x30

14．已知命题为，
【答案】
【解析】

由题意，根据全称命题与存在性命题的关系可得：命题命题：，，
，
，

，则为__________．

第 66 页 共 239 页

则为
，
，.
”的否定是______命题选填“真”、“假”之一 15．命题“
【答案】假

【解析】

由
则命题“，
得，
”是真命题，
，
则命题的否定是假命题，

故答案为：假

16．命题“
【答案】
【解析】

由题意，命题，
即
是假命题，可得出二次函数与轴有交点，
，解得或.
，

”是假命题，则实数的取值范围是_________．
又由二次函数的性质，可得
三、解答题
17．设：，试用不同的表达方法写出特称命题“，”．
【答案】见解析；

【解析】

依题意可得以下几种不同的表述：①存在实数，使
②至少有一个< br>④有一个
18．设集合
，使
四边形，
，使成立；③对有些实数，使成立；⑤对某一个，使
成立；
成立；
成立．
”； ：内角和为360°．试用不同的表述写出全称命题“
【答案】见解析；

【解析】

①对所有的四边形
x
，
x
的内角和为< br>360°
；

②对一切四边形
x
，
x
的内角 和为
360°
；

③每一个四边形
x
的内角和为
360°
；


第 67 页 共 239 页

④任一个四边形
x
的内角和为
360°
；

⑤凡是四边形
x
，它的内角和为
360°
．

19
．写出下列命题的否定
,
并判断其真假：

（
1
）任何有理数都是实数；

（2）存在一个实数，能使成立.
【答案】（1）至少有一个有理数不是实数，假命题;（2）任意一个实数，不能使
成立.真命 题
【解析】

（1）根据全称命题的否定是特称命题可知，原命题的否定为：至少有 一个有理数不是实数.
由于有理数是实数，故原命题为真命题，其否定为假命题.（2）根据特称命题的 否定是全称
命题可知，原命题的否定为：任意一个实数，不能使
围内不成立，所以原命题为假命 题，那么它的否定就是真命题.
20
．写出下列命题的否定并判断真假：

(1)
不论
m
取何实数，方程
x
2
＋
x
＋
m
＝
0
必有实数根；

(2)
所有末位数字是0
或
5
的整数都能被
5
整除；

(3)
某些梯形的对角线互相平分；

(4)
被
8
整除的数能被
4
整除．

【答案】见解析

【解析】

(1)这一命题可以表述为“对所有 的实数m，方程x
2
＋x＋m＝0都有实数根”，其否定为“存在
实数m，使得x2
＋x＋m＝0没有实数根”，注意到当Δ＝1－4m<0，即m＞时，一元二次方
程没有 实根，因此其否定是真命题．
(2)
命题的否定是
“
存在末位数字是
0
或
5
的整数不能被
5
整除
”
，是假命题．
(3)
命题的否定是
“
任一个梯形的对角线都不互相平分
”< br>，是真命题．

(4)
命题的否定是
“
存在一个数能被
8
整除，但不能被
4
整除
”
，是假命题．

21．是否存在整数，使得命题“
值；若不存在，请说明理由．
【答案】存在整数

成立.由于在实数范
，”是真命题？若存在，求出的
或，使得命题“，”是真命题．
第 68 页 共 239 页

【解析】

假设存在整数，使得命题“，”是真命题．
由于对于
所以
故存在整数
，
，解得
或，使得命题“
．
，
，
”是真命题．
22．已知命题，使得，命题，若命题p为假，
命题q为真，求a的取值范围.
【答案】
【解析】

因为命题p为假，所以其否定：
则：
所以：

，

恒成立为真，

又命题q为真得：
所以：













第 69 页 共 239 页

专题07 充分条件、必要条件

一、选择题
1．“”是“”的（ ）
B．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
A．充分而不必要条件
C．充要条件
2．已知a∈R，则“a＜1”是“
A．充分不必要条件
C．充要条件
1
1
”的（ ）
a
B．必要不充分条件
D．既不充分又不必要条件
3．设
xR
，“
x0
”是 “
x(x1)0
”的（ ）
A．充分非必要条件
C．充要条件
4．设，则“”是“
B．必要非充分条件
D．既非充分又非必要条件
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知，则“”是“”成立的（ ）
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
A．充分不必要条件
C．充分必要条件
6． 已知条件
p
：2≤
x
≤3，条件
q
：
x
＜ -3或
x
≥1，则
p
是
q
的（ ）
A．充分必要条件
C．必要非充分条件
B．充分非必要条件
D．既非充分又非必要条件
2
7．已知命题
p:x
0
R
,使
x
0
2x
0
a0(aR)
,则使得
p
为真命题的一个 充分不必
要条件是(

)
A.a2B.a2C.a1D.a0

8．“x≠1且x≠2”是“x
2
－3x＋2≠0”的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件

第 70 页 共 239 页

9．若
a
、
b
不全为0，必须且只需( )
A．
ab0

C．
a
、
b
中只有一个为0
10．设
p
：，
q
：
B．
a
、
b
中至多有一个不为0
D．
a
、
b
中至少有一个不为0
，则
p
是
q
成立的（ ）
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
A．充分不必要条件
C．充要条件
11．命 题“∀x∈[1，2]，
x
2
a0
”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．a≥4 B．a≤4 C．a≥5
“
D．a≤5
”是“”的12．设A，B，U是三个集合，且
（ ）
A．充分不必要条件
C．充要条件
二、填空题
13．“
a
=
b
”是“
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
”的_________条件.
14．命题“
x
2
x20
”是命题“
x1
”的______条件.
15．已知集合
A
为数集，则“
A
∩{0，1}={0}”是“A
={0}”的______条件．
16．若“
三、解答题
17．已知p, q都是r的必要条件， s是r的充分条件， q是s的充分条件， 那么：
(1)s是q的什么条件？
(2)p是q的什么条件？









第 71 页 共 239 页
”是“”的充分不必要条件，则a的取值范围为______．

18．已知命题：
求实数的取值范围.





19．设
值范围.






20．已知
p
：
值范围．













，命题：，若是的必要不充分条件，
，或，若是的充分条件，求实数的取
，
q
：，若
p
是
q
的充分不必要条件，求实数
k的取
第 72 页 共 239 页

21．已知命题关于的方程
（1）若
有实数根，命题．
是真命题，求实数的取值范围；
（2）若是的必要非充分条件，求实数的取值范围．










22．设集合
（1）若“
（2）若




















第 73 页 共 239 页
，集合
”是“
.
”的必要条件，求实数的取值范围；
中只有一个整数，求实数的取值范围.