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第23章 圆
古希腊的数学家认为：“一切立体图形中最美的是球形，一切平面图形中最
美的是圆形.”它的 完美来自于中心对称，无论处于哪个位置，都具有同一形状.
它最谐调、最匀称.

与圆的对称性有关联的还有哪些性质呢？你想知道吗？请打开本章吧！
§23.1 圆的认识
1.圆和基本元素
在上学期，我们已经学会将收集到的数据用扇形统计图加以描述.图23. 1.1
就是反映某学校学生上学方式的扇形统计图.





图23.1.1


我们是先用圆规画出一个圆，再将圆划分成一个个扇形.
在图23.1.2中，线段OA、O B、OC都是圆的半径，线段AC为直径.这个
以点O为圆心的圆叫作“圆O”，记为“⊙O”.
- 1 -

线段AB、BC、AC都是圆O中的弦（ chord），曲线BC、BAC都是圆O中
︵
的弧，分别记为BC、BAC，其中像弧BC这 样小于半圆周的圆弧叫做劣弧（minor
︵
arc）,像弧BAC这样的大于半圆周的圆弧叫做优弧（major arc）.
∠AOB、∠BOC等就是我们知道的圆心角（central angle）.
练 习
1. 如何在操场上画出一个很大的圆？说说你的方法.
2. 比较下图中的三条弧，先估计它们所在圆的半径的大小关系，再用圆规验证
你的结论是否正确.

2.圆的对称性
我们知道圆是一个旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度，

它都能与自身重合，对称中心即为其圆心.

试一试
将图23.1.3中的扇形AOB（阴影部分）绕点O逆时针旋转

某个角度，画出旋转之后的图形，比较前后两个图形，你能发


现什么？
如图23.1.4，扇形AOB旋转到扇形A
′
OB
′
的位置.我们 可

︵
以发现，在旋转过程中，∠AOB＝∠A
′
OB
′
，AB＝A′B′，AB


＝A
′
B
′
.

由于圆心角∠AOB（或孤AB，或弦AB）确定了扇形AOB

的大小，所以，在一个圆中，如果圆心角相等，那么它所对的

图23.1.3
︵
弧________，所对的弦_________.

图23.1.4
- 2 -

同样，也可以得到：
在一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角_______，所对的弦________.
在一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角_______，圆心角所对的弧
______.






图 23.1.5
例1图23.1.5，在⊙O中，AC＝BD，∠1＝45°，求∠2的度
数.
解 因为 AC＝BD
，

︵︵
︵︵
︵︵︵︵
AC－BC
＝
BD
－
BC
，

所以 AB＝CD.
根据在一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角相等，可得
∠2＝∠1＝45°.
我们还知道圆是轴对称图形，它的任意一条直径所在的直线都是它的对称
轴，由此我们可以如图23.1.6那样十分简捷地将一个圆2等分、4等分、8等分.





图 23.1.6
︵︵

试一试
如图23.1.7，如果在图形纸片上任意画一条垂直于直径CD的弦AB，垂足为P，再将纸片沿着直径CD对折，比较AP与PB、AC与CB，你能发现什么
结论？
你的结论是：____________________________________________ _________
____________________________________ ___________________________.
练 习
1. 如图，在⊙O
中，
AB
＝
AC
，
∠B＝70°.求∠C度数.
︵︵
︵︵
- 3 -

(第1题)







（第2题）

2. 如图，AB是直径，BC＝CD＝DE，∠BOC＝40°，求∠AOE的度数.
3.圆周角
如图23.1.8所示（2）中的两条线段所成的角叫圆周角（circumference
angle）.





图23.1.8
︵︵︵







图23.1.9
(1)、（3）、（4）中两条线段所成的角都不是圆周角.
思 考
如图23.1.9，线段AB是⊙O的直径，点C是⊙O上任意
一点（除点A、B），那么 ，∠ACB就是直径AB所对的圆周
角.想想看，∠ACB会是怎么样的角？
我们可以看到，OA＝OB＝OC，所以△AOC、△BOC都
是等腰三角形，因而
∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB.
又 ∠OAC＋∠OBC＋∠ACB＝180°，
180

所以 ∠ACB＝∠OCA＋∠OCB＝＝90°.
2
因此，不管点C在⊙O上何处（除点A、B），∠ACB总等于90°，即
半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）．
实际上，还有
90°的圆周角所对的弦是圆的直径．
那么对于一般的圆周角，又有什么规律呢？
- 4 -

如图23.1.10， ∠ACB、 ∠ADB都是弧AB所对的

圆周角．∠AOB是弧AB所对的圆心角．这几个角有什么关


系？

试一试
（1） 分别量一量图23.1.10中弧AB所对的两个圆

周角的度数，比较一下. 再变动点C在圆周上的位置，看看

图23.1.10
圆周角的度数有没有变化. 你发现其中有什么规律吗？
（2） 分别量出图23.1.10中弧AB所对的圆周角和
圆心角的度数，比较一下，你发现什么？
我们可以发现，圆周角的度数没有变化. 并且圆周角的度数恰好为同
弧所对的圆心角的度数的一半.
由上述操作可以猜想：在一个圆中，一条弧所对的任意一个圆周角的
大小都等于该弧所对的 圆心角的一半．
为了验证这个猜想，如图23.1.11所示，可将圆对折，使折痕经过圆心O和圆周角的顶点C，这时可能出现三种情况：（1） 折痕是圆周角的一条边，
（2） 折痕在圆周角的内部，（3） 折痕在圆周角的外部．







图23.1.11

我们来分析一下第一种情况： 如图23.1.11（1），由于
OA＝OC，
因此 ∠A＝∠C，
而∠AOB是△OAC的外角，所以
1
∠C＝∠AOB.
2
对（2）、（3），有同样的结论.
由此，可以得出：一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半．
因此我们可以知道：
在同一圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的
一半； 相等的圆周角所对的弧相等．
例2 如图23.1.12，AB是⊙O的直径，∠A＝80°．求∠ABC的度数．
- 5 -

图23.1.12

解 因为AB是⊙O的直径，而直径所对的圆周角是直角，所以
∠ABC＝180°－∠A－∠ACB
＝180°－80°－90°＝10°．

练 习

1. 试找出图中所有相等的圆周角.

2. 在圆中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为（2x＋100）°

和（5x－30）°，求这条弧所对的圆心角和圆周角的度数.


（第1题）

习题23.1
1.如图，AB、AC、BC都是⊙O的弦， ∠CAB＝∠CBA，∠COB与∠COA相等
吗？为什么？






（第1题）














（第2题）

（第3题）

2.如图，AB、CD、 EF都是⊙O的直径，且∠1＝∠2＝∠3，弦AC、EB、DF
是否相等？为什么？
3. 如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，AB、CD相交于点E，∠COD＝100°，
求∠COE、∠D OE的度数.
4. 如图，AB是⊙O的直径，AC、CD、DE、EF、FB都是⊙O的弦，且AC ＝
CD＝DE＝EF＝FB，求∠AOC与∠COF的度数.
5. 如图，AB是⊙O的直径 ，如果∠COA＝∠DOB＝60°，那么与线段OA相
等的线段有________________ ；与弧AC相等的弧有
_____________________.
- 6 -

（第4题）







（第5题）







（第6题）

6. 如图，∠A是⊙O的圆周角，∠A＝40°，求∠OBC的度数.
7. 使用曲尺检验工件的凹面，成 半圆时为合格.如图所示的三种情况中，哪种
是合格的？哪种是不合格的？为什么？




（第7题）


















- 7 -

§23.2 与圆有关的位置关系
1.点与圆的位置关系
看到过打靶用的靶子吗？靶子是由很多圆组成的，你知道击中靶子上不同
位
置的成绩是如何算的吗？
这一现象体现了平面内点与圆的位置关系．

我们已经知道圆上所有的点到圆心的距离都等于半径，如图23.2.1所示，
设⊙O的半径为 r，A点在圆内，B点在圆上，C点在圆外，那
OA＜r， OB＝r， OC＞r．





图23.2.1

在圆上的点有无数多个，那么多少个点就可以确定一个圆呢？
试一试
如图23.2.2，画过A点的圆．
- 8 -

图23.2.2




图23.2 .3

如图23.2.3，画过两点A、B的圆．
思 考
经过三点一定能画出一个圆吗？如果能，那么如何找出这个圆的圆心
呢？
如图23. 2.4，如果A、B、C三点不在一条直线上，那么经过A、B两
点所画的圆的圆心在线段AB的垂直平 分线上，而经过B、C两点所画的圆的圆
心在线段BC的垂直平分线上，此时，这两条垂直平分线一定相 交，设交点为
O，则OA＝OB＝OC，于是以O为圆心，OA为半径画圆，便可画出经过A、B、C三点的圆．即有
不在同一条直线上的三个点确定一个圆．






图23.2.4

也就是说，经过三角 形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．经过三
角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆（circu mcircle）．三角形外接圆的圆心叫
做这个三角形的外心（circumcenter）．这个三 角形叫做这个圆的内接三角形．三
角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点．
练 习
1. 任意画一个三角形，然后再画这个三角形的外接圆.
2. 随意画出四点，其中任何三点都不在同一条直线上，是否一定可以画一个圆
经过这四点？请举例说明.


2.直线与圆的位置关系


大家也许看过日出，如图23.2.5所示的照片中，

如果我们把太阳看作一个圆，那么太阳在升起的过程

中，和地平线会有几种位置关系？
- 9 -
图23.2.5

试一试
在纸上画一条直线，把硬币的边缘看作圆，在纸 上移动硬币，你能发现直
线与圆的公共点个数的变化情况吗？公共点个数最少时有几个？最多时有几个？
我们可以看到，直线与圆的位置关系有下面图23.2.6所示的三种．








图23.2.6

如果一条直线与一个圆没有公共点，那么就说这条直线与这个圆相离，如
图23.2 .6（1）所示．
如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么就说这条直线与这个圆
相 切，如图23.2.6（2）所示．此时这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切
点．
如果一条直线与一个圆有两个公共点，那么就说这条直线与这个圆相
交，如图23.2.6（3）所示． 此时这条直线叫做圆的割线．
直线与圆的位置关系只有相离、相切和相交三种．
如 果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，利用d与r之间的
关系即可判断直线与圆的位置关系．
当d＞r时，如图23.2.6（1），圆心O到直线l的距离d大于半径r，
因而直线l 上的所有点到圆心的距离都大于半径r，说明直线l在圆的外部，与
圆没有公共点，因此
当d＞r时，直线与圆的位置关系是相离．
那么当d＝r时，直线与圆的位置关系是___________________，
当d＜r时，直线与圆的位置关系是___________________．
思 考
反过来，如果已知直线l与⊙O的位置关系分别是相离、相切和相交
时，一定有d＞r、d＝r、d＜r 吗？
练 习
1. 已知圆的半径等于5厘米，圆心到直线l的距离是：（1）4厘米；（2 ）5厘
米；（3）6厘米.直线l和圆分别有几个公共点？分别说出直线l与圆的位置
关系.
- 10 -

2. 已知圆的半径等于10厘米，直线l和圆只有一个公共点，求圆心到直线l
的距离.
3. 如果⊙O的直径为10厘米，圆心O到直线AB的距离为10厘米，那么⊙O
与直线AB有怎样的位置关系？
3.切线
下雨天，当你转动雨伞，你会发现雨伞上 的水珠顺着
伞面的边缘飞出．仔细观察一下，水珠是顺着什么样的方
向飞出的？
这就是我们所要研究的直线与圆相切的情况．
做一做
如图23.2.7，画一个圆O及半径OA，画一条直线l
经过⊙
O
的半径OA的外端点A，且垂直于这条半径OA，
这条直线与圆有几个交点？







从图23.2.7可以看出，此时直线与圆只有一个交点，即直线l
是圆的切线．
经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线
（tangent line）．
思 考

如图23.2.8，如果直线l是⊙O的切线，点A为切点，那么半

径OA与l垂直吗？
由于l是⊙O的切线，圆心O到直线l的距离等于半径，所

以OA是圆心O到直线l的距离，因此l⊥OA，这就是说，圆的


切线垂直于经过切点的半径．
例1 如图23.2.9，已知直线AB经过⊙O上的点A ，且
AB＝OA，∠OBA＝45°，直线AB是⊙O的切线吗？为什么？

解 直线AB是⊙O的切线．
因为AB＝OA，且∠OBA＝45°，所以∠AOB＝45°，

∠OAB＝90°．根据经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是


圆的切线，可知直线AB是⊙O的切线．
- 11 -
图23.2.7

]



图23.2.8
图23.2.8

图23.2.9

练 习
1. 是非题：
（1）垂直于圆的半径的直线一定是这个圆的切线. （ ）
（2）过圆的半径的外端的直线一定是这个圆的切线. （ ）
2. 如图，AB是⊙O的直径，∠B＝45°，AC＝是⊙
O
的切线吗？为什
么？





（第2题）






（第3题）

3. 如图，线段A B经过圆心O，交⊙
O
于点A、C，∠BAD＝∠B＝30°，边BD
交圆于点是⊙< br>O
的切线吗？为什么？
4. 以三角形的一边为直径的圆恰好与另一边相切，则此三角形是__________
三角形.
试一试
如图23.2.10（1），PA为⊙O的一条切线，点A为切点．
如图23.2.10（2）所示，沿着直线PO将纸对折，由于直线PO经过圆心O，
所以P O是圆的一条对称轴，两半圆重合．设与点A重合的点为点B，这里，
OB是⊙O的一条_______ ___，PB是⊙O的一条____________．图中PA与PB、
∠
APO与∠BPO有什么关系？







图23.2.10

我们把圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长
（length of tangent）．如图23.2.10（2），线段PA、PB的长就是点P到⊙O的切

线长．

由上述操作可知：
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相

- 12 -


图23.2.11

等．这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．
试一试
如图23.2.11为一张三角形铁皮，如何在它上面截一个面积最大的圆形铁
皮？
可能大家都会想到这样一个圆，它与三角形的三条边都相切，那么这
样的圆存在吗？如果存在，我们又如 何画出它来呢？
如图23.2.12，在△ABC中，如果有一圆与AB、AC、
BC都 相切，那么该圆的圆心到这三边的距离都等于半径．如


何找到这个圆心呢？
我们以前学过，角平分线上的点到角的两边距离相

等，那么∠BAC和∠ABC平分线的交点应该到三边的距离都


相等．
图23.2.12
如果∠BAC和∠ABC的平分线相交于点I，那么点
I到A C、AB、BC的距离都相等．以I为圆心，I到AB的距
离为半径作圆，则⊙I必与△ABC的三条边 都相切．
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆（inscribed circle）． 三
角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心（incenter）．这个三角形叫做圆的外切
三角 形（externally tangent triangle）．三角形的内心就是三角形三条内角平分线
的交点．
练 习
1. 如图，⊙
O
是△ABC 的内切圆，与AB、BC、CA分别切于点D、E、F ，∠
DOE＝120°，∠EOF＝150°，求△
ABC
的三个内角的度数.

2. △
ABC
的内切圆⊙
O
与AC、AB、BC分 别相切于点D、E、F，且AB＝5厘
米，BC＝9厘米，AC＝6厘米，求AE、BF和CD的长.
3. 设△
ABC
的内切圆的半径为r，△
ABC
的周长为l，求△
ABC
的面积S.
4.
4.圆与圆的位置关系
思 考
观察图23.2.13，圆和圆有不同的位置关系，圆和圆之间还有别的位置关系
吗？
- 13 -
(第1题)

自行车的两个轮

奥运会五环

转轮
图23.2.13

试一试
在纸上画一个半径为2厘米的⊙O
1
，把一枚硬币当作另一个圆，在纸上移
动这枚硬币，观察两圆的位置关系和公共点的个数．
如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，如图23.2.14（1）、（2）、
（3）所示．其中（1）又叫做外离，（2）、（3）又叫做内含.（3）中两圆的圆心
相同，这两个圆还可以叫做同心圆.
如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，如图23.2.14（4）、（5）
所示．其中（4）又叫做外切，（5）又叫做内切.
如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交，如图23.2.14（6）所示．
图 23.2.14

试一试
如果两圆的半径分别为3和5，圆心距（两圆圆心的距离 ）d为9，你能确
定它们的位置关系吗？若d分别为8、6、4、2、1时，它们的位置关系又如何呢？
思 考
如果两圆的半径分别为r
1
、r
2
，圆心距为d，知道d＞r
1
＋r
2
，你能判
断出两圆的位置关系吗 ？
我们可以发现，此时如图23.2.14（1）那样，两圆外离．实际上，当
两圆外离 时，圆心距d也一定大于两圆半径之和．
因此d＞r
1
＋r
2
这一不等关系是两圆外离的数量关系及其识别方法．相
应地，我们可以得到：
- 14 -

两圆的位置关系 数量关系及其识别方法
外 离 d＞r
1
＋r
2

外 切
相 交
内 切
内 含
显然，当r
1
＝r
2
时，两圆不可能内切，也不 可能内含，而是可能重合．
例2 已知⊙A、⊙B相切，圆心距为10 cm，其中⊙A的半径为4 cm，求
⊙
B的半径．
解 设⊙B的半径为R．
（1） 如果两圆外切，那么
d＝10＝4＋R，
R＝6．
（2） 如果两圆内切，那么
d＝｜R－4｜＝10，
R＝－6（舍去），R＝14．
所以⊙B的半径为6 cm或14 cm．
练 习
1. ⊙
O
1
和⊙
O
2
的半径分别为2厘米和4厘米，当两圆圆心距O
1
O
2
为下列值 时，
分别说出两圆的位置关系.（1）0厘米；（2）2厘米；（3）4厘米；（4）6厘
米； （5）8厘米.
2. 分别以1厘米、2厘米、4厘米为半径，用圆规画圆，使它们两两外切.
3. 生活中存在同心圆的形状吗？试举出一两个例子.
习题23.2
1. 已知 ⊙
O
的半径为10厘米，根据下列点
P
到圆心的距离，判定点
P到圆的
位置关系，并说明理由.
2. 已知线段
AB
＝6厘米.
（1） 画半径为4厘米的圆，使它经过
A
、
B
两点，这样的圆能画几个？
（2） 画半径为3厘米的圆，使它经过
A
、
B
两点，这样的圆能画几个？
（3） 画半径为2厘米的圆，使它经过
A
、B两点，这样的圆能画几个？
3. 分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，
观察并叙述各 三角形与它的外心的位置关系.
4. 下面的图形主要是用圆规画出的.请你试着用圆规画出下列图形.
- 15 -

5. 已知圆的直径为20厘米，根据下列圆心到直线l的距离， 判定直线l与圆
有几个公共点，并说明理由：（1）8厘米；（2）10厘米；（3）12厘米.
6. 如图，已经直线l与圆O相交于A、B两点，若圆心O到直线l的距离为6，
且AB＝1 6，试求出圆O的半径.
(第4题)

7. 如图，以点O为圆心的两个同圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为
切点，说明AP 、BP相等的理由.
8. 已知半径均为1厘米的两圆外切，半径为2厘米，且和这两圆都相切的圆共
有___________个.
9. 三角形三边长分别为5厘米、12厘米、13厘米，以 三角形三个顶点为圆心
的三个圆两两相切，则此三个圆的半径分别为________________ ______.
10. 三角形的内切圆的切点将该圆周分为5：9：10三条弧，则此三角形的最大
的内角为______________.
11. △
ABC
的面积为4平方厘米，周长为10厘米，求△
ABC
的内切圆半径.
12. 如图，PA、PB是⊙
O
的切线，A、B为切点，AC是⊙
O
的直径，∠BAC＝20°，
求∠P的度数.
(第6题)
（第7题）
- 16 -

13. 试用多种方法找出如图所示的破残轮片的圆心位置.


弧长及扇形面积的计算
一、学习目标：
1、利用圆的周长与面积公式探索弧长和扇形面积的计算公式的过程．
2、掌握弧长和扇形面积公式并解决实际问题．
3、培养对圆的数量运算关系本质的理解。
二、学习重点与难点：
重点：利用圆的周长与面积公式探索弧长和扇形面积的计算公式
难点：探索弧长和扇形面积的计算公式．
三、知识准备：
根据以下问题，将你对问题的理解记录下来，在小组内与同学交流、展示你的
认识和收获，
1、请你写出圆的周长计算公式： ；并求半径为3cm的圆的周
长： 。
2、你能求出半径为3cm的圆中，圆心角分别为180°,90°,45°,1°所对的弧
长分别是多少？若在半径为
R
的圆中，有一个
n
°的圆心角，如何计算它所 对
的弧长
l
呢？
小结：在你得到的半径为
R
的圆中，
n
°圆心角所对的弧长计算公式
中，
n
的意义是什么？哪些量决定了弧长？
3、认识概念： 是扇形.
写出半径为R的圆的面积公式 求半径为3的圆的面积
4、思考完成：
1、若将360°的圆心角分成360等份，这360条半径将圆分割成 个小扇形，
每个小扇形的圆心角
2、如果圆的半径为R，那么，圆心角1°的扇形面积等于 ；
3、如果圆的半径为R，那么，圆心角30°的扇形面积等于 ；
4、如果圆的半径为R，那么，圆心角n°的扇形面积等于 ；
5、如果扇形的半径为R，弧长为
l
.那么，扇形面积等于 ；
- 17 -
（第12题）
（第13题）

由此,得到扇形面积计算公式: S
扇形
＝ .
（写出你的推导过程）




小结：小组内总结扇形面积公式的推导过程、结构特点。
四、新知掌握。利用弧长及扇形面积计算公式完成以下题目.
1、在半径为24的圆中，60°的圆心角所对的弧长
l
= ；
2、75°的圆心角所对的弧长是2.5π，则此弧所在圆的半径为 ．
3、若扇形的圆心角n为50°，半径为R=1，则这个扇形的面积，S
扇
= ;
4、若扇形的圆心角n为60°, 面积为
2

,则这个扇形的半径R= ;
3
5、若扇形的半径R=3, S
扇形
＝3π,则这个扇形的圆心角n的度数为
6、若扇形的 半径R=2㎝,弧长
l
4

㎝，则这个扇形的面积，S
扇
=
3
五、典型例题
例1 如图23.3.5，圆心角为60°的 扇形的半径为10厘米，求这个扇形的面
积和周长．（π≈3.14）




图23.3.5



例2、右图是某工件形状，圆弧 BC的度数为
60
，
AB6cm
，点B到点C的距
C
离 等于AB，
BAC30
，求工件的面积。
B

O

A




例3、矩形
ABCD
的边AB
=8，
AD
=6，现将矩形
ABCD
放在直线
l< br>上且沿着
l
向右
作无滑动地翻滚，当它翻滚至类似开始的位置A
1B
1
C
1
D
1
时（如图所示），求顶点
A所经过的路线长．

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【你认为解决本题的关键是什么？ 】







总结：说说你对本节课的感受:
六、巩固反馈
1已知⊙
O
的半径
OA
=6，∠
A OB
=90°，则∠
AOB
所对的弧
AB
的长
为 .
2.圆心角为120°的扇形的弧长为20π，它的面积为 .
3.如图，三角板
ABC
中，∠
ACB
=90°, ∠
B
=30°，
BC
=6．三角板绕直角顶点
C
逆时针旋转，当点A
的对应点
A
′落在
AB
边的起始位置上时即停止转动，则B
点转过的路径长为 ．
B'

A

C

P
O

B

BA
A'


4题图） （第

（第3题图）
（第5

题图）

4. 如图，PA，PB切⊙
O
于A，B两点，若∠APB=60°，⊙
O
的半径为3，求阴影
部分的面积．








5.如图，圆心角都是90º的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起，连结AC，BD．
（1）求证：AC=BD；（2）若图中阴影部分的面积是
3

cm
2
，OA=2cm，求OC的长．
4




- 19 -

CD
的长为10π cm，6.如图，两个同心圆被两条半径截得的
AB
的长为6π cm，
又
AC
＝12cm，求阴影部分
ABDC
的面积。










7
cm，BD=2cm，分别
以 A，C为圆心，OA长为半径作弧，交菱形四边于E，F，G，H四点．求阴影部
分的面积．







圆柱、圆锥的侧面展开图
一、学习目标：
1．通过实验使学生知道圆柱、圆锥各部分的名称；
2．理解圆柱的侧面展开图是矩形、圆锥 的侧面展开图是扇形，并能够计算圆柱、圆
锥的侧面积和全面积．
二、重点、难点：
学习重点：1．圆锥的侧面展开图，计算圆锥的侧面积和全面积.
学习难点：1. 圆锥的侧面展开图，计算圆锥的侧面积和全面积．
三、自学指导：
思考并回答下列问题：



- 20 -

1. 圆柱、圆锥分别是由什么图形旋转形成的?它们的各部分名称分别是什么？





2. 圆柱、圆锥的侧面积、全面积：
① 圆柱的侧面积 、全面
积 ．
② 圆锥的侧面积 、全面
积 ．
四、典型例题：
例1已知圆锥的底面积为4πcm
2
，母线长为3cm，求它的侧面展开图的圆心角．




例2圆锥的侧面积是18π，它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥的高和锥角．




例3在Rt△ABC中，已知AB=6，AC=8，∠A=90°．如 果把Rt△ABC绕直线AC旋转
一周得到一个圆锥，其全面积为S
1
；把Rt△AB C绕直线AB旋转一周得到另一个圆
锥，其全面积为S
2
．那么S
1
：S
2
等于（ ）
A．2：3







- 21 -
B．3：4 C．4：9 D．5：12

例4一个圆锥的高为
33
cm，侧面展开图是半圆．
求：（1）圆锥母线与底面半径的比；（2）锥角的大小；（3）圆锥的全面积．












五、对应训练：
1．已知圆锥的底面直径为4，母线长为6，则它的侧面积为 ．
2．粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面直径是4m，母线长3m，为防雨需在粮仓
的顶 部铺上油毡，那么这块油毡的面积至少为（ ）
A．6m
2
B．6πm
2
C．12m
2
D．12πm
2

3．若圆锥的侧面展开图是一个半径为a的半圆，则圆锥的高为（ ）
A．a
3
B．a
3
C．
3
a
3
D．a
2
4．一圆锥的侧面展开图的圆心角为120°，该圆锥的侧面积与全面积之比值为
（ ）
3
A．
4

2
B．
3

4
C．
5

1
D．
2

5．若圆锥经过轴的剖面是正三角形，则它的侧面积与底面积之比为（ ）
A．3：2 B．3：1 C．2：1 D．5：3
6．如图，将半径为2的圆形纸片沿半径OA、OB将其截 成1：3两部分，用所得的
扇形围成圆锥的侧面，则圆锥的底面半径为（ ）
113
A． B．1 C．1或3 D．或
222


- 22 -

7．如图，将三角形绕直线ι旋转一周，可以得到图所示的立体图形的是（ ）

8．在△ABC中，∠C=90°，AB=4cm，BC=3cm．若△ABC绕直线AC旋转一周得到 一
个几何体，则此几何体的侧面积是（ ）
A．6πcm
2
B．12πcm
2
C．18πcm
2
D．24πcm
2

9．将一个半径为8cm，面积为32πcm
2
的扇形铁皮围成一个圆锥形容器（不计接缝），
那么这个圆锥形容器的高为（ ）
A．4 B．4
3

角α．












六、当堂检测：
1．已知圆锥的母线长是10cm，侧面展开图的面积是60πcm
2
，则这个圆锥的底面半
径是 cm．
2．圆锥的轴截面是一个等边三角形，则这个圆锥的底面积、侧面积、全面积的比
是 ．
3．一个扇形，半径为30cm，圆心角为120°，用它做成一个圆锥的侧面，那么这
个 圆锥的底面半径为 ．
- 23 -
C．4
5
D．2
14

10．如图，已知圆锥的母线SB=6，底面半径r=2，求圆锥的侧面 展开图扇形的圆心

4．以斜边长为a的等腰直角三角形的斜边为轴，旋转一周，求所得图形的表面积．





5．一个圆锥的底面半径为10cm，母线长20cm．求 ：（1）圆锥的全面积；（2）圆锥
的高；（3）轴与一条母线所夹的角；（4）侧面展开图扇形的圆心 角．






6．如图，粮仓的顶部是圆锥 形，这个圆锥的底面周长为36m，母线长为8m，为防
雨需在粮仓顶部铺上油毡，如果按用料的10% 计接头重合部分，那么这座粮仓实际
需用油毡的面积是多少？







7．如图，有一直径是1m的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角是90°的扇形
ABC．
求：（1）被剪掉的阴影部分的面积；（2）用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥
的底面圆 半径是多少？（结果可用根号表示）







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