华师大版八年级上册电子课本 第14章 勾股定理(新版)-

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2020年09月19日 19:23
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2020年9月19日发(作者:郗照明)



第14章勾股定理
§14.1勾股定理
1. 直角三角形三边的关系
2. 直角三角形的判定
阅读材料 勾股定理史话
美丽的勾股树
§14.2勾股定理的应用
小结
复习题
课题学习 勾股定理的“无字证明”












- 1 -



第14章勾股定理
还记得2002年在北京召开的国际数学家大会 (ICM2002)
吗?在那个大会上,到处可以看到一个简洁优美的图案在流动,那个
远看像 旋转的纸风车的图案就是大会的会标.
那是采用了1700多年前中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理
的弦图.

§14.1 勾股定理
1. 直角三角形三边的关系
本章导图中的弦图隐含着直角 三角形三边之间的一种奇妙的关
系,让我们首先观察经常使用的两块直角三角尺.
试一试
测量你的两块直角三角尺的三边的长度,并将各边的长度填入下
表:
- 2 -



三角尺
1
2
直角边a


直角边b


斜边c


关系


根据已经得到的数据,请猜想三边的长度a、 b、 c之间的关系.
图14.1 .1是正方形瓷砖拼成的地面,观察图中用阴影画出的三
个正方形,很显然,两个小正方形P、 Q的面积之和等于大正方形R
的面积.即
AC
2
+BC
2
=AB
2


图14.1.1
这说明,在等腰直角三角形ABC中,两直角边的平方和等于斜
边的 平方.那么在一般的直角三角形中,两直角边的平方和是否等于
斜边的平方呢?
试一试
观察图14.1.2,如果每一小方格表示1平方厘米,那么可以得
到:正方形P的面积= 平方厘米;
正方形Q的面积= 平方厘米;
- 3 -




(每一小方格表示1平方厘米)
图14.1.2
正方形R的面积= 平方厘米.
我们发现,正方形P、 Q、 R的面积之间的关系
是 .
由此,我们得出直角三角形ABC的三边的长度之间存在关
系 .
做一做
在图14.1.3的方格图中,用三角尺画出两条直角边分别为5cm、
12cm的直角三角形,然后用刻度尺量出斜边的长,并验证上述关系
对这个直角三角形是否成立.
- 4 -




(每一小格代表1平方厘米)
图14.1.3
概 括

数学上可以说明: 对于任意的直角三角形,如果它的两条直角
边分别为a、 b,斜边为c,那么一定有a
2+b
2
=c
2
,这种关系我们
称为勾股定理.
勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系.
例1
如图14.1.4,将长为5.4 1米的梯子AC斜靠在墙上,BC长为
2.16米,求梯子上端A到墙的底边的垂直距离AB.(精确到 0.01
米)

- 5 -



图14.1.4

如图14.1.4,在Rt△ABC中,
BC=2.16米, AC=5.41米,
根据勾股定理可得
AB=
AC
2
-BC
2


541

.
2
-216.
2
≈4.96(米)
2
答: 梯子上端A到墙的底边的垂直距离 AB 约为4.96米.
练习
1. 在Rt△ABC中, AB=c, BC=a, AC=b, ∠B=90°.
(1) 已知a=6, b=10, 求c;
(2) 已知a=24, c=25, 求b.
2. 如果一个直角三角形的两条边长分别是3厘米和4厘米,那么这
个三角形的周长是多少厘米?
试一试
剪四个与图14.1.5完全相同的直角三角形,然后将它们拼成如
图14. 1.6所示的图形.
大正方形的面积可以表示为 ,
又可以表示为 .
对比两种表示方法,看看能不能得到勾股定理的结论.

图14.1.5 图14.1.6

用上面得到的完全相同的四个直角三角形,还可以拼成如图
- 6 -



14.1.7所示的图形,与上面的方法类似,也能说明勾股定理是正确
的.
读一读
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的称为股,
斜边称为弦.图14.1.7称 为“弦图”,最早是由三国时期的数学家
赵爽在为《周髀算经》作注时给出的.图14.1.8是在北京 召开的2002
年国际数学家大会(ICM2002)的会标,其图案正是“弦图”,它标
志着 中国古代的数学成就.

图14.1.7 图14.1.8
例2
如图14.1.9,为了求出位于湖两岸的两点A、 B之间的距离,一
个观测者在点C设桩,使三角形ABC恰好为直角三角形.通过测量,
得到AC长160米,B C长128米.问从点A穿过湖到点B有多远?

图14.1.9

如图14.1.9,在直角三角形ABC中,
AC=160米, BC=128米,
根据勾股定理可得
AB=
AC
2
BC
2
160
2
128
2
=96(米).
答: 从点A穿过湖到点B有96米.
- 7 -



练习
1. 如图,小方格都是边长为1的正方形,求四边形ABCD的面积
与周长.
2. 假期中,王强和同学到某海岛上去探宝旅游,按照探宝图(如图),
他们登陆后先往东走8千米,又往北 走2千米,遇到障碍后又往西走
3千米,再折向北走到6千米处往东一拐,仅走1千米就找到宝藏,问登陆点A到宝藏埋藏点B的直线距离是多少千米?

(第1题) (第2题)

2. 直角三角形的判定
古埃及人曾经用下面的方法画直角: 将一根长绳打上等距离的
13个结, 然后如图14.1.10那样用桩钉钉成一个三角形,他们认为
其中一个角便是直角.
你知道这是什么道理吗?

图14.1.10
试一试
试画出三边长度分别为如下数据的三角形,看看它们是一些什么
- 8 -



样的三角形:
(1) a=3, b=4, c=5;
(2) a=4, b=6, c=8;
(3) a=6, b=8, c=10.
可以发现,其中按(1)、(3)所画的三角形都是直角三角形,而
按(2)所画的不是直角三角形.
在这三组数据中,(1)、(3)两组都满足a
2
+b
2
=c
2
,而组(2)
不满足.以后我们会证明一般的结论:
如果三角形的三边长a、 b、 c有关系: a
2
+b
2
=c
2
,那么这
个 三角形是直角三角形.
古埃及人所画的三角形的三边长恰好满足这样的关系,所以其中
一个角是直角.
例3
设三角形三边长分别为下列各组数,试判断各三角形是否是直
角三角形:
(1) 7, 24, 25; (2) 12, 35, 37; (3) 13, 11, 9.

因为 25
2
=24
2
+7
2

37
2
=35
2
+12
2

13
2
≠11
2
+9
2

所以根据前面 的判定方法可知,以(1)、(2)两组数为边长的三角形
是直角三角形,而以组(3)的数为边长的三 角形不是直角三角形.
练习
1. 设三角形的三边长分别等于下列各组数,试判断各三角形 是否是
直角三角形.若是,指出哪一条边所对的角是直角.
- 9 -



(1) 12, 16, 20;
(2) 8, 12, 15;
(3) 5, 6, 8.
2. 有哪些方法可以判断一个三角形是直角三角形?

习题14.1
1. 将图14.1.6沿中间的小正方形的对角线剪开,得到如图所示的梯< br>形.利用此图的面积表示式验证勾股定理.

(第1题)
2. 已知△ABC中,∠B=90°, AC=13cm, BC=5cm,求
AB的长.
3. 已知等腰直角三角形斜边的长为2cm,求这个三角形的周长.
4. 如图,分别以直角三角形的三边 为边长向外作正方形,然后分别
以三个正方形的中心为圆心、正方形边长的一半为半径作圆.试探索这三个圆的面积之间的关系.

(第4题) (第5题)

5. 如图,已知直角三角形ABC的三边分别为6、8、10,分别以
它的三边为直径向上作三个半圆,求图 中阴影部分的面积.
- 10 -



6. 试判断以如下的a、 b、 c为边长的三角形是不是直角三角形?
如果是,那么哪一条边所对的角是直角?
(1) a=25, b=20, c=15;(2) a=1, b=2, c=3;
(3) a=40, b=9, c=40;(4) a∶b∶c=5∶12∶13.
阅读材料
勾股定理史话 < br>勾股定理从被发现到现在已有五千年的历史.远在公元前三千年
的巴比伦人就已经知道和应用它了 .我国古代也发现了这个定理.据
《周髀算经》记载,商高(公元前1120年)关于勾股定理已有明确
的认识,《周髀算经》中有商高答周公的话:“勾广三,股修四,径
隅五.”同书中还有另一位 学者陈子(公元前六七世纪)与荣方(公
元前六世纪)的一段对话:“求邪(斜)至日者,以日下为勾, 日高
为股,勾、股各自乘,并而开方除之,得邪至日”(如图所示),即
邪至日=勾2+股2. 这里陈子已不限于“三、四、五”的特殊情形,
而是推广到一般情形了.
人们对勾股定理的认 识,经历过一个从特殊到一般的过程,其特
殊情况,在世界很多地区的现存文献中都有记载,很难区分这 个定理
是谁最先发明的.国外一般认为这个定理是毕达哥拉斯(Pythagoras)
学派首 先发现的,因而称为毕达哥拉斯定理.
勾股定理曾引起很多人的兴趣,世界上对这个定理的证明方法很
多.1940年卢米斯(E.S. Loomis)专门编辑了一本证明勾股定理的
小册子—— 《毕氏命题》,作者收集了这个著名定理的370种证明,
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其中包括大画家达·芬奇和美国第20任总统詹姆士·阿·加菲尔
德(James Abram Garfield, 1831~1881)的证法.

美丽的勾股树
你可能去过森林公园,看到过许许多多千姿百态的植物.可是你
是否见过如下的勾股树呢?

你知道这是如何画出来的吗?仔细看看,你就会发现那一个个细小的部分正是我们学过的勾股图,一个一个连接在一起,构成了多么
奇妙美丽的勾股树!动手画画看 ,相信你也能画出其他形态的勾股树.



§14.2 勾股定理的应用
勾股定理能解决直角三角形的许多问题,因此在现实生活和数学
中有着广泛的应用.
例1
如图14.2.1,一圆柱体的底面周长为20cm,高AB为4cm,BC
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是上底面的直径.一只蚂蚁从点A出发,沿着圆柱的侧面爬行到点C,
试求出爬行的最短路程.

图14.2.1
分析
蚂蚁实际上是在圆柱的半个侧面内爬行,如果将 这半个侧面展
开(如图14.2.2),得到矩形 ABCD,根据“两点之间,线段最短”,
所求的最短路程就是侧面展开图矩形对角线AC之长.(精确到0.0
1cm)

图14.2.2

如图14.2.2,在Rt△ABC中,BC=底面周长的一半=10
cm,
∴ A C=
AB
2
BC
2

4
2
10
2

=229≈10.77(cm)(勾股定理).
答: 最短路程约为10.77cm.

例2
一辆装满货物的卡车,其外形高2.5米,宽 1.6米,要开进厂门
形状如图14.2.3的某工厂,问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?
- 13 -




图14.2.3
分析
由于厂门 宽度足够,所以卡车能否通过,只要看当卡车位于厂门
正中间时其高度是否小于CH.如图14.2.3 所示,点D在离厂门
中线0.8米处,且CD⊥AB, 与地面交于H.

在Rt△OCD中,由勾股定理得
CD=
OC
2
OD
2

1
2
0.8
2
=0.6米,
CH=0.6+2.3=2.9(米)>2.5(米).
因此高度上有0.4米的余量,所以卡车能通过厂门.
做一做

图14.2.4
如图14.2.4,以直角三角形ABC的三边为边分别向外作正方
形,其中一个正方形划分成四个形状与大小都一样的四边形.试将图
中5个带色的图形拼入到大正方形中 ,填满整个大正方形.
练习
1. 如图,从电杆离地面5米处向地面拉一条7米长的钢缆,求地面
钢缆固定点A到电杆底部B的距离.
2. 现准备将一块形为直角三角形的绿地扩大,使其仍为直角三角形,
- 14 -



两直角边同时扩大到原来的两倍,问斜边扩大到原来的多少倍?

(第1题)
例3
如图14.2.5,在5×5的正方形网格中,每个小正方形的边长 都
为1,请在给定网格中按下列要求画出图形:
(1) 从点A出发画一条线段AB,使它的另一个端点B在格点(即
小正方形的顶点)上,且长度为22;
(2) 画出所有的以(1)中的AB为边的等腰三角形, 使另一个顶
点在格点上,且另两边的长度都是无理数.
分析
只需利用勾股定理看哪一个矩形的对角线满足要求.

图14.2.5 图14.2.6

(1) 图14.2.6中AB长度为22.
(2) 图14.2.6中△ABC、 △ABD就是所要画的等腰三角形.
例4
如图14.2.7,已知CD=6m, AD=8m, ∠ADC=90°, BC
=24m, AB=26m.求图中阴影部分的面积.

- 15 -



图14.2.7

在Rt△ADC中,
AC
2
=AD
2
+CD
2< br>=6
2
+8
2
=100(勾股定理),
∴ AC=10m.
∵ AC
2
+BC
2
=10
2
+24
2< br>=676=AB
2

∴ △ACB为直角三角形(如果三角形的三边长a、 b、 c有关系: a
2
+b
2
=c
2
,那么这个三角形是直角三角形),
∴ S阴影部分=S△ACB-S△ACD
=12×10×24-12×6×8=96(m
2
).
练习
1. 若直角三角形的三边长分别为2、 4、 x,试求出x的所有可能
值.
2. 利用勾股定理,分别画出长度为
3

5
厘米的线段.
习题14.2
1. 若等腰直角三角形的斜边长为2cm,试求出它的直角边和斜边上
的高的长度.
2. 下图由4个等腰直角三角形组成,其中第1个直角三角形腰长为
1cm,求第4个直角三角形斜边长度.

(第2题) (第3题)

3. 如图,为了加固一个高2米、宽3米的大门,需在相对角的顶点
间加一块木条.求木条的长度.
- 16 -



4. 在△ABC中,AB=2, BC=4, AC=23, ∠C=3
0°, 求∠B的大小.
5. 已知三角形的三边分别是n+1、 n+2、 n+3,当n是多少时,
三角形是一个直角三角形?
6. 如图,AD⊥CD, AB=13,BC=12,CD=4,AD=3,
若∠CAB=55°,求∠B的大小.

(第6题)
小结
一、 知识结构
勾股定理

直角三角形

应用

判定直角三角形的一种方法

二、 概括
本章研究了揭示直角三角形三条边之间关系的勾股定理和由此
产生的一种 判定直角三角形的方法.如果知道了直角三角形任意两边
的长度,那么应用勾股定理可以计算出第三边的 长度;如果知道了一
- 17 -



个三角形的三边的长,也可以 判断这个三角形是否是直角三角形.勾
股定理可以解决直角三角形中的许多问题,在现实生活中有许多重 要
的应用.
复习题
A组
1. 求下列阴影部分的面积:
(1) 阴影部分是正方形; (2) 阴影部分是长方形; (3) 阴影
部分是半圆.

(第1题)
2. 如图,以Rt△ABC的三边为直径分别向外作三个半圆,试探索
三个半圆的面积之间的关系.

(第2题)
3. 试判断下列三角形是否是直角三角形:
(1) 三边长为m
2
+n
2
、 mn、 m
2
-n
2
(m>n>0);
(2) 三边长之比为 1∶1∶2;
(3) △ABC的三边长为a、 b、 c,满足a
2
-b
2
=c
2

4. 一架2.5米长的梯子靠在一座建筑物上,梯子的底部离建筑物
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0.7米,如果梯子的顶部滑下0.4米,梯子的底部向外滑出多远?
5. 如图所示的图形中,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都
是直角三角形,其中最大 的正方形的边长为7cm,求正方形A、 B、 C、
D的面积和.

(第5题)
B组
6. 在△ABC中,AB=AC=10, BD是AC边的高,DC=2,
求BD的长.

(第7题)
7. 有一块四边形地ABCD(如图),∠B=90°, AB=4m, B
C=3m, CD=12m, DA=13m, 求该四边形地ABCD的面积.
8. 能够成为直角三角形三条边长的正整数,称为勾股数.请你写出
5组勾股数.
9. 已知△ABC中,三条边长分别为a=n
2
-1, b=2n, c=n
2

1(n>1).试判断该三角形是否是直角三角形,若是,请指出哪一
条边所对的角是直角.< br>
C组
- 19 -



10. 如图,四边形ABCD中,AB=BC=2, CD=3, DA
=1, 且∠B=90°,求∠DAB的度数.

(第10题) (第11题)

11. 如图,在矩形ABCD中,AB=5cm,在边CD上适当选定一< br>点E,沿直线AE把△ADE折叠,使点D恰好落在边BC上一点F处,
且△ABF的面积是30 cm
2
.求此时AD的长.

(第12题)
12. 折竹抵地(源自《九章算术》):今有竹高一丈,末折抵地,去本
三尺.问折者高几何?意即: 一根竹 子,原高一丈,虫伤有病,一阵
风将竹子折断,其竹梢恰好抵地,抵地处离原长竹子处3尺远.问原处还有多高的竹子?

课题学习
勾股定理的“无字证明”
在勾股定理的学习过程中,我们已经学会运用以下图形,验证著名的
- 20 -



勾股定理:

整个大正方形的面积可以表示为里面小正方 形的面积与四边上
的4个直角三角形的面积之和,即为
(a+b)
2
=c
2
+4·(12ab),
由此可以推出勾股定理
a
2
+b
2
=c
2

这种根据图形可以极其简单地直观推论或验证数学规律和公式
的方法,简称为“无字证明”.
对于勾股定理,我们还可以找到一些用于“无字证明”的图
形.现在请你和大家一起,查阅课本 和其他有关书籍,上网查询各种
相应的资料,相信你一定能够发现更多的有趣图形,验证勾股定理. < br>实际上你还可以发现“无字证明”也可以用于验证数与代数、空
间与图形等领域中的许多数学公式 和规律!
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