天坑地缝-干部培训工作总结

第16章平行四边形的认识
§16.1平行四边形的性质
§16.2矩形、菱形与正方形的性质
1. 矩形
2. 菱形
3. 正方形
阅读材料 黄金矩形
§16.3梯形的性质
阅读材料 四边形的变身术
小结
复习题











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第16章平行四边形的认识
平行四边形是我们常见的一种图形，它 具有十分和谐的对称
美．它是什么样的对称图形呢?它又具有哪些基本性质呢?

读下去，你就会发现这些答案了．
§16.1 平行四边形的性质
平行四边形是随 处可见的几何图形，本章导图上的桌面、书
面……甚至连在阳光照耀下它们的影子都是平行四边形．
回 忆
我们知道，有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形
(parallelogram)．
你能从图16.1.1所示的图形中找出平行四边形吗?
- 2 -

图16.1.1
两组对边分别平行，是平行四边形的一个主要性质．除此之外，
它还有什么性质呢?
探 索
如图16.1.2，按照下面的步骤，在方格纸上画一个平行四边形．
步骤1： 画两条平行线．
步骤2： 在两条线上分别取点A和点B，连结AB．
步骤3： 沿着水平方向平移AB到DC，就得到ABCD．

图16.1.2
如图16.1.3，用剪刀把ABCD(可以先放大些)从方格纸上剪下，
再在一张纸上沿 ABCD的边沿，画出一个四边形，记为EFGH．则四
边形EFGH和ABCD完全一样，也为平行四 边形．它们的对应边、对应
角都相等．
在ABCD中连结AC、BD，它们的交点记为O．
用一枚图钉在O点穿过，将ABCD绕点O旋转180°．观察旋
转后的ABCD和纸上所 画的EFGH是否重合．
你能从中得出ABCD的一些边角关系吗?
- 3 -

图16.1.3
我们发现，旋转180°之后两个平行 四边形完全重合，即平行四
边形是中心对称图形，对角线的交点O就是对称中心．由此可以得到
AD＝BC， AB＝DC，
∠A＝∠C， ∠B＝∠D．
即平行四边形的对边相等，对角相等．
例1
如图16.1.4，在ABCD中，已 知∠A＝40°，求其他各个内角的
度数．

图16.1.4
解
在ABCD中，
∠D＝∠B， ∠C＝∠A＝40°(平行四边形的对角相等)．
又∵ AD∥BC，
∴ ∠B＝180°-∠A＝180°-40°＝140°，
∴ ∠D＝∠B＝140°．
例2
如图16.1.5，在ABCD中，已知AB＝ 8，周长等于24，求其余
三条边的长．

- 4 -

图16.1.5
解
在ABCD中，
AB＝DC， AD＝BC(平行四边形对边相等)．
又∵ AB＝8，
AB+BC+CD+DA＝24，
∴ CD＝8，AD＝BC＝4．
练习
1. 已知在ABCD中，∠A＝120°，求其余各内角的度数．
2. 已知在ABCD中，AB＝5， BC＝3，求它的周长．
观 察
在如图16.1.3那样的旋转过程中，你观察到OA与OC、OB与OD
的关系吗?
我们已经发现，ABCD是一个中心对称图形，对角线的交点O
就是对称中心，所以
OA＝OC， OB＝OD．
即平行四边形的对角线互相平分．
例3
如图 16.1.6，在ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，
△AOB的周长为15，AB＝6 ，那么对角线AC与BD的和是多少?

图16.1.6
解
在ABCD中，已知AB＝6，AO+BO+AB＝15，
∴ AO+BO＝15-6＝9．
- 5 -

又∵ AO＝OC， BO＝OD(平行四边形对角线互相平分)，
∴ AC+BD＝2AO+2BO＝2(AO+BO)＝２×９＝18．
试一试
如图16.1. 7，在方格纸上画两条互相平行的直线，在其中一条
直线上任取若干点，过这些点作另一条直线的垂线， 用刻度尺度量出
平行线之间的垂线段的长度．

图16.1.7
经过度量 ，我们发现这些垂线段的长度都相等(从图16.1.7中也
可以看到这一点)．这种现象说明了平行线 的又一个性质：
平行线之间的距离处处相等．
练习
1. 在ABCD中，两条对角线AC、BD相交于点O，指出图形中相等
的线段．

(第1题) (第2题)

2. 如图，如果 直线l1∥l2，那么△ABC的面积和△DBC的面积是相
等的．你能说出理由吗?你还能在这两条平 行线l1、l2之间画出其他
与△ABC面积相等的三角形吗?
习题16.1
1. 如图，在ABCD中，AE垂直于CD，E是垂足．如果∠B＝55°，
- 6 -

那么∠D与∠DAE分别等于多少度?

(第1题)
2. 如图，在ABCD中，已知AC、BD相交于点O，两条对角线的和
为２２厘米，CD 的长为5厘米，求△OCD的周长．

(第2题)
3. 在ABCD中，∠A与∠B的度数之比为２∶３，求这个平行四边
形各个内角的度数．
4. 如图，已知ABCD的周长为80cm，对角线AC与BD相交于点O，
△AOB的周长比△AOD的 周长小20cm，求这个平行四边形各边的长．

（第４题）
§16.2 矩形、菱形与正方形的性质
1. 矩形
试一试
如图16.2.1，用四段木条做 一个平行四边形的活动木框，将其
直立在地面上轻轻地推动点D，你会发现什么?
- 7 -

图16.2.1
可以发现，角的大小改变了，但不管如何，它仍然保持平行四边
形的形状．
我们若改 变平行四边形的内角，使其一个内角恰好为直角，就得
到一种特殊的平行四边形，也就是我们早已熟悉的 长方形，即矩形
(rectangle)，如图16.2.2所示．

图16.2.2
平行四边形所具有的性质，矩形都具有，此外，矩形还具有另一
些特 有的性质，你能说出几条吗?
作为特殊的平行四边形，矩形也是中心对称图形．
我们很容易发现矩形还是轴对称图形，对称轴为通过对边中点的
直线．
这样，我们可以列出矩形所具有的一些性质：
矩形的四个内角都是直角．
矩形的对角线相等且互相平分．

图16.2.3
- 8 -

例1
如图16.2.3，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角 形，如果
四个小三角形的周长的和是86cm，对角线长是13cm，那么矩形的周
长是多少?
解
△AOB、△BOC、△COD和△AOD四个小三角形的周长和为86cm，
又∵ AC＝BD＝13cm（矩形的对角线相等），
∴ AB+BC+CD+DA＝86-2(AC+BD)＝ 86-4×１３＝３４（cm)，
即矩形ABCD的周长等于34cm．
练习
1. 如图，在矩形ABCD中，找出相等的线段与相等的角．

(第1题) (第2题)

2. 如图，矩形ABCD的两条对角线交于点O，且∠AOD＝120°，你能
说明 AC＝2AB 吗?
例2
如图16.2.4，在矩形ABCD中，AB＝3， BC＝4， BE⊥AC于E．试
求出BE的长．

图16.2.4
解
在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，
AC＝
AB
2
BC
2

＝
3
2
4
2
＝
25
＝5(勾股定理)．
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又∵ S△ABC＝12AB·BC＝12AC·BE，
∴ BE＝AB·BCAC＝3·４５＝2.4．
练习
1. 如图，在矩形ABCD中，E是边AD上的一点．试说明△BCE的面积
与矩形ABCD的面积之间的关系．

(第1题) (第2题)

2. 如图，在矩形ABCD中，∠AOB＝60°， AB＝3.6，试求AC与AD
的长．(精确到0.1)

2. 菱形
试一试
将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，打开，
你发现这是一 个什么样的图形呢?这就是另一类特殊的平行四边形，
即菱形(rhombus)．

如图16.2.5，菱形是四条边都相等的四边形，它也是一组邻边
相等的平行四边形，它的两条对角 线互相垂直平分．
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图16.2.5 图16.2.6
如图16.2.6，菱形是中心对称图形，也是轴对称图形，对称轴
为它的对角线所在的直线．
这样，菱形具有以下的性质：
菱形的四条边都相等．
菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角．
例3
如图16.2. 7，在菱形ABCD中，∠BAD＝2∠B，试求出∠B的度数，
并说明△ABC是等边三角形．

图16.2.7
解
(1) 在菱形ABCD中，
∠B+∠BAD＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．
又∵ ∠BAD＝2∠B，
∴ ∠B＝60°．
(2) 在菱形ＡＢＣＤ中，
ＡＢ＝ＢＣ（菱形的四条边都相等），
∴ 在△ＡＢＣ中，
∠ＢＡＣ＝∠ＢＣＡ（等边对等角）．
又∵ ∠B+∠BAC+∠BCA＝180°(三角形内角和公式)，
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∴ ∠BAC＝∠BCA＝∠B＝60°．
∴ AB＝BC＝AC(等角对等边)，
即△ABC是等边三角形．
菱形的应用非常广泛．现在 流行一种新式的衣帽架，可以根据需
要将它伸缩，形成各种形状的菱形，固定在墙上，既美观又实用．

可伸缩的衣帽架练习
练习

1. 如图，在菱形ABCD中，AB＝5， OA＝4，求这一菱形的周长与两
条对角线的长度．

(第1题)
2. 试说明菱形的面积等于它的两条对角线长的积的一半．

例4
如图1628，已知菱形ABCD的边长为2cm，∠BAD＝120°，
对角线A C、BD相交于点O，试求这个菱形的两条对角线AC与BD的
长．
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图16.2.8
解
(1) 在菱形ABCD中，
∠BAO＝1〖〗2∠BAD＝1〖〗2×１２０°＝60°(菱形的每一条对角线平分一组对角)．
又在△ABC中，AB＝BC，
∴ ∠BCA＝∠BAC＝60°(等边对等角)，
∠ABC＝180°-∠BCA-∠BAC＝60°，
∴ △ABC为等边三角形，
∴ AC＝AB＝2(cm)．
(2) 在菱形ＡＢＣＤ中，
ＡＣ⊥ＢＤ（菱形的对角线互相垂直），
∴ △ ＡＯＢ为直角三角形，
∴ BO＝AB2-AO2＝22-12＝3cm(勾股定理)，
∴ BD＝2BO＝23(cm)．
练习
1. 如图，已知菱形ABCD的边AB长5cm，一条对角线ＡＣ长6cm，求
这个菱形的周长和它的面积．

(第1题) (第2题)
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2. 如图，已知菱形ABCD的一条对角线BD恰好与其边AB的长相等，
求这个菱形的各个内角的度数．

3. 正方形
正方形(square)是我们早就熟悉的平面图形，如图16.2 .9，在
正方形ABCD中，四条边都相等，四个角都是直角．所以正方形可以
看作为：
有一个角是直角的菱形；
有一组邻边相等的矩形．
正方形是中心对称图形，也是轴对称图形．

图16.2.9 图16.2.10
例5
如图16.2.10，在正方形 ABCD 中，求∠ABD、∠DAC、∠DOC的
度数．
解
由于正方形是一个角为直角的菱形，每一条对角线平分一组对
角，且对角线互相垂直平分，
∴ ∠ABD＝∠DAC＝90°×12＝45°，∠DOC＝90°．
正方形还有许多有趣 的性质．例如，如果要用给定长度的篱笆围
成一个最大面积的四边形区域，那么应当把这区域的形状选成 正方
形．
练习
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1. 在下列图中，有多少个正方形?有多少个矩形?




（１）






（２）
2. 已知正方形ABCD的边AB长2cm，求这个正方形的周长、对角线
长和它的面积．

习题16.2



1. 如图，已知矩形ABCD的一条对角线 AC长8cm，两条对角线的一
个交角∠AOB＝60°．求这个矩形的周长．(精确到0.1cm)

(第1题) (第2题)

2. 如图，已知菱形ABCD的两条对角线AC、BD分别长6cm和8cm，
求这个菱形的 周长和它的面积．

(第3题)
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3. 利用矩形的对角线相等且互相平分这一性质，说明直角三角形斜
边上的中线等于斜边的一半．

阅读材料
黄金矩形
看一看雅典帕德嫩神庙的造型，甚至现在这还是世界上最美丽的
建筑之一，这神庙建筑于古希腊数学繁荣的年代，并且它的美丽就是
建立在严格的数学法则上的 ．如果我们在帕德嫩神庙周围描一个矩
形，那么可以发现它的长大约是宽的1.6倍，这种矩形称为黄金 矩形．

你看到过具有黄金矩形形状的物体吗?
按照下图中给出的指示，用圆规与三角尺画一个黄金矩形．
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将一个正方形分成 在一个矩形中 用圆规以A点为圆心、
两个相等的矩形． 引一条对角线． AB为半径画一圆弧．

延长底边与弧相交于一点，过交点画底边的垂线，
与顶边延长线交于一点，这样我们就画成了黄金矩形．

§16.3 梯形的性质
我们知道，只有一组对边平行的四边形叫做梯形(trapezoid)．两
腰相等的梯形叫做 等腰梯形；有一个角是直角的梯形叫做直角梯
形．(如图16.3.1所示)

图16.3.1
如图16.3.2，梯形总可以看成是一个平行四边形与一个三角形
的组合，这也是我们解决有关梯形的问题时经常使用的方法．

图16.3.2
做一做
如图，在半透明的方格纸上，画一个等腰梯形ABCD，过两底边
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AD、BC的中点E、F画一条直线，将等腰梯形ABCD沿直线EF对折．你
发现了什么?

我们可以发现等腰梯形是一个轴对称图形，因而有以下性质(如
图16.3.3)：
等腰梯形同一底边上的两个内角相等．
等腰梯形的两条对角线相等．

图16.3.3
例1
如图1634，延长等腰梯形ABCD的两腰BA与CD，相交于< br>点E．试说明△EBC和△EAD都是等腰三角形．

图16.3.4
解
在等腰梯形ABCD中，
∠B＝∠C(等腰梯形两底角相等)，
∴ EB＝EC(等角对等边)，
因此△EBC是等腰三角形．
又∵ AB＝DC，
- 18 -

∴ EA＝ED，
因此△EAD也是等腰三角形．
例2
如图16.3.5，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC， CE∥DA．已知AB
＝8， DC＝5， DA＝6，求△CEB 的周长．

图16.3.5
解
在等腰梯形ABCD中，CB＝DA＝6．
又∵ AB∥DC， CE∥DA，
∴ 四边形AECD是平行四边形，
∴ CE＝DA＝CB＝6，
AE＝DC＝5(平行四边形的对边相等)，
∴ EB＝AB- AE＝8-5＝3．
于是△CEB的周长为
CE+EB+BC＝6+3+6＝15．
练习
1. 梯形ABCD中，如果DC∥AB， AD＝BC， ∠A＝60°， DB⊥AD，
那么∠DBC＝ ， ∠C＝ ．

(第1题) (第2题)

2. 如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，E是DC延长线上的一点，
- 19 -

BE＝BC，试说明∠A和∠E的关系．

习题16.3
1. 如图，在梯形ABCD中，AB∥DC， DE∥CB，△AED的周长为18，
EB＝4，求梯形的周长．

(第1题) (第2题)

2. 如图，在梯形ABCD中，BC∥AD， DE∥AB， DE＝DC， ∠A＝100°，
试求梯形Ａ ＢＣＤ的其他三个内角的度数．请问此时ABCD为等腰梯
形吗?说说你的理由．

阅读材料
四边形的变身术
我们知道，一个平行四边形总可以剪开拼成一个矩形．

一个梯形可以剪开拼成一个矩形，一个矩形可以剪开拼成一个三
角形．

那么任意一个四边形呢?它也可以剪开拼成各种各样的图形.下
- 20 -

面给出了一些剪拼的示意图，观察一下，你也试试看．

想想看，在这些剪拼过程中，都用到了图形的什么变换?

小结
一、 知识结构
两组对边
分别平行
有一直角
矩形

邻边相等
平行四边形

四
边
形
正方形

菱形

邻边相等
有一直角

两腰相等
等腰梯形

梯 形

只有一组
对边平行 一腰垂直于底
直角梯形


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二、 概括
本章通过操作探索几类特殊四边形的性质，学会解决一些简单的
度量问题．
平行四边形是中心对称图形，这是它的本质特征．
矩形、菱形、正方形作为特殊的平行四边形 ，不仅具有平行四边
形的一般的性质，而且它们都是轴对称图形，分别具有一些独特的性
质．
梯形经常通过划分成一个平行四边形和一个三角形而加以探索．
复习题
A组
1. 观察下列挂件的图形，将它们分割成一个个你所熟悉的图形，分
别指出它们的名称．
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（第１题）
2. 如图，在 ABCD中，过点P画线段EF、GH分别平行于AB、BC，
试找出图中的平行四边形，与你的同伴 比一比，看看谁找出的多．

(第2题)
3. 如图，在ABCD中，∠BAC＝68°， ∠ACB＝36°，求∠D和∠
BCD的度数．

(第3题)
4. 如图，在矩形ABCD中，相邻两边AB、BC分别长15cm 和25cm，
内角∠BAD的角平分线与边BC交于点E．试求BE与CE的长度．
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(第4题)
5. 已知正方形ABCD的一条对角线AC长为4cm，求它的边长和面积．
B组
6. 如图， 在ABCD中，AB＝BE，连结AE，并延长与DC的延长线交
于点F，∠F＝62°，求这个平行 四边形各内角的度数．

(第6题) (第7题)

7. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB， BC＝BD，∠A＝120°，
求梯形其他各内角的度数．
8. 如图，在正三角形ABC中 ，D、E、F分别为三边BC、CA、AB的中
点，看一看，数一数，在整个图形中，有多少个三角形? 多少个平行
四边形?多少个菱形?多少个等腰梯形？(本题只要求观察，说出你数
得的个数)

(第8题) (第9题)

9. 如图，在等腰梯形ABCD中，AB＝DC， ∠B＝60°， DE∥AB．试
说明
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(1) DE＝DC；
(2) △DEC是一个等边三角形．
10. 梯形ABCD中，AD∥BC，且∠A＝2∠B＝4∠C，求∠D的度数．
C组
11. 如图，D是等腰三角形ABC的底边BC上的一点，E、F分别在AC、
AB上，且DE∥AB， DF∥AC．试问DE、DF与AB之间有什么关系吗?
请说明理由．

(第11题)
12. 如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点O又是另一个正方形A′
B′C′O的一个顶点．如果两个正方形的边长相等，那么正方形A′
B′C′O绕点O无论怎 样旋转，两个正方形重叠部分的面积，总等于
一个正方形面积的四分之一．想一想，这是为什么？

(第12题)
13. 请你用不同的方法将一个矩形分成面积相等的两部分．
(1) 观察一下所分成的两部分图形之间的位置关系；
(2) 如果你用的是直线，那么这样的直线有多少条?它们之间又有什
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么联系呢?
(3) 若将矩形分成面积相等的四部分，你又能发现什么?
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