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第十八章 平行四边形






















平行四边形
与三角形一 样，平行四边形也是一种基本的几何图
形，宏伟的建筑物、开关自如的栅栏门、别具一格的窗
棂 ……现实世界中很多物体都有平行四边形的形象。为什
么平行四边形形状的物体到处可见呢？这与平行四 边形
的性质有关。
前面我们学习了许多图形与几何的知识，掌握了一些
探索和证明图 形几何性质的方法。本章我们将进一步学习
平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念，并在理解它们之间关系的基础上，利用已有的几何知识和方法，探索并
证明它们的性质定理和判定定理；进一步体 会研究图形几
何性质的思路和方法，即通过观察、类比、特殊化等途径
和方法发现图形的几何性 质，再通过逻辑推理证明它们。

平行四边形是常见的图形．小区的伸缩门、庭院的 竹篱笆、载重汽车的防护栏等（图），
都有平行四边形的形象．你还能举出一些例子吗？


我们知道，两组对边分别平行的四边形

平行四边形（parallelogram）叫做．平行四
平行四边形的性质
图，平行四边形边形用“
Y
”表示，如

ABCD
由平行 四边形的定义，我们知道平行四边形的两组对边分别平行．除此之外，平行四边形
记作“
YAB CD
”．
还有什么性质呢？


探究

根据定义画一个平行四边形，观察它，除了“两组对边分别平行”外，它的边之间还

有什么关系？它的角之间有什么关系？度量一下，和你的猜想一致吗？


通过观察和度量，我们猜想：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等．下面我们
对它进行证明．












上述猜想涉及线段相等、角相等．我们知道，利



用三角形全等得出全等三角形的对应边、对应角相

等，是证明线段相等、角相等的一种重要的方法．为
不添加辅助线，你

此，我们通过添加辅助线，构造两个三角形，通过
能否直接运用平行四

三角形全等进行证明．
边形的定义，证明其对

证明：如图，连接
AC
.
角相等？

QADBC
，
ABCD
，

12
，
34
.

又
AC
是
ABC
和
CDA
的公共边，

ABCCDA
．
已知平行四边形

ADCB
，
ABCD
，
BD
．
的一个内角的度数，你

请同学们自己证明
BADDCB
．
能确定其他内角得到

这样我们证明了平行四边形具有以下性质：
度数吗？

平行四边形的对边相等；

平行四边形的对角相等．



距离是几何中的重要度量之一．前面我们已经学习了点与点之间的距离、点到直线的距
例1 如图，在平行四边形
ABCD
中，
DEAB
，
垂足分别为
E
，求证
AECF
．
F
．
BFCD
，
证明：
Q
四边形
ABCD
是平行四边形，
AC
，
ADCB
，
又
AEDCFB90
o
，
ADECBF
．

离．在此基础上，我们结合平行四边形的性质与概念，介绍两条平行线之间的距离．
如图，
ab
，
cd
，
c
，
d
与
a
，
b
分别相交于
A
，
B
，
C< br>，
D
四点．由平行四
边形的概念和性质可知，四边形
ABCD
是平行四边形，
ABCD
．也就是说，两条平行
线之间的任何平行线段都相等．














两条平行线之间
从上面的结论我们可以知道，如果 两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直
的距离和点与点之间
线上的距离都相等．两 条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线上的距离，叫做这两
的距离、点到直线的距
条平 行线之间的距离．如图，
ab
，
A
是
a
上的任意一点，ABb
，
B
是垂足，线段
AB
离有何联系和区别？
的长就是
a
，
b
之间的距离．



练习



1．在平行四边形
ABCD
中，


(1)
已知
AB5
，
BC3
，求它的周长；


(2)
已知
A38
o
，求其余各内角的度数．


2．如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉后叠放在
一起，重合的部分 构成了一个四边形．转动其中一张

纸条，线段
AD
和
BC
的长度有什么关系？为什么？



上面我们研究了平行四边形的边、角这两个基本要素的性质，下面我们研究平行四 边形
对角线的性质．



探究

如图，在平行四边形
ABCD
中，连接
AC< br>，
BD
，并设

它们相交于
O
点，
OA与
OC
，
OB
与
OD
有什么关系？

你能证明你发现的结论吗？


我们猜想，在平行四边形
AB CD
中，
OAOC
，
OBOD
．

与证明平行四边形的对边相等，对角相等的方法类似，我们也可以通过三










角形全等证明这个猜想．请你结合图完成证明．
由此我们又得到平行四边形的一个性质:
平行四边形的对角线互相平分．

例2 如图，在平行四边形
ABC D
中，
AB10
，
AD8
，
ACBC
，求< br>BC
，
CD
，
AC
，
OA
的长，以及平行四 边形
ABCD
的面积．
解：
Q
四边形
ABCD
是 平行四边形，
BCAD8
，
CDAB10
．
QACBC
，
ABC
是直角三角形．
根据勾股定理， < br>ACAB
2
BC
2
10
2
8
26
．
又
OAOC
，
1
OAAC3
，
2
S
YABCD
BCAC
8648
．
















练习
1．如图，在平行四边形
ABCD
中，
BC10
，
AC8
，
BD14
．
AOD
的周长是
多少？
ABC
与
DBC
的周长哪个长？长多少？

2．如图，平行四边形
ABCD
的对角线
AC
，
BD
相交于点
O
，
EF
过点
O< br>且与
AB
，
CD
分别相交于
E
，
F
．求证
OEOF
．

平行四边形的判定












思考
通过 前面的学习，我们知道，平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分．反
过来，对边相等，或对 角相等，或对角线互相平分的四边形就是平行四边形吗？也就是
说，平行四边形的性质定理的逆命题成立 吗？
可以证明，这些逆定理都成立．这样我们得到平
行四边形的判定定理：
两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
对角线互相平分的四边形是平行四边形．
你能根据平行四
边形的定义证明它们
吗？
下面我们以“对角线互相平分的四边形是平行四边形”为例，通过三角形全等进行证明．
< br>如图，在四边形
ABCD
中，
AC
，
BD
相交于点< br>O
，


且
OAOC
，
OBOD．求证：四边形
ABCD
是平行

四边形．

证明：
QOAOC
，
OBOD
，
AODCOB
，
AODCOB
．
OADOCB
．
ADBC
．
同理得
ABDC
．

四边形
ABCD
是平行四边形．

由上我们知道，平行 四边形的判定定理与相应的性质定理互为逆定理．也就是说，当定
理的条件与结论互换之后，所得命题依 然成立．

例3 如图，平行四边形
ABCD
的对角线
AC
与














BD
相交于
O
，
E
，
F
是AC
上的两点，并且
AECF
．求证：四边形
BFDE
是平行 四边形．
证明：
Q
四边形
ABCD
是平行四边形，
AOCO
，
BODO
．
QAECF
，
AOAECOCF
，即
EOFO
．
又
BODO
，

四边形
BFDE
是平行四边形．

你还有其他的
证明方法吗？

思考
我们知道，两组对边分别平行或相 等的四边形是平行四边形，如果只考虑四边形的一
组对边，它们满足什么条件时这个四边形能成为平行四 边形呢？
我们知道，如果一个四边形是平行四边形，那么它的任意一组对边平行且相等．反过来 ，
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形吗？



我们猜想这个结论正确，下面进行证明．


如图，在四边形
ABCD
中，
ABCD
，

ABCD
．求证四边形
ABCD
是平行四边形．

证明：连接
AC
．

QABCD
，

12
．

又
ABCD
，
ACCA
，

ABCCDA
．
现在你有多少种

BCDA
．
判定一个四边形是


四边形
A BCD
的两组对边分别相等，它是平行四
平行四边形的方

边形．
法？

于是我们又得到平行四边形的一个判定定理：

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

例4 如图，在平行四边形
ABCD
中，
E
，
F
分别是
AB
，
CD
的中点．求证：四边
形
EBFD
是平行四边形．


证明：
Q
四边形
ABCD
是平行四边形，

ABCD
，
EBFD
．

11

又
EBAB
，
FDCD
，
22

EBFD
．


四边形
EBFD
是平行四边形．





练习
















1．如图，
ABDCEF
，
ADBC
，
DECF< br>．图中有哪些互相平行的线段？

2．如图，平行四边形
ABCD
的 对角线
AC
，
BD
相交于点
O
，
E
，F
分别是
OA
，
OC
的中点．求证
BEDF
．
3．为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使互相平行的夹在铁轨之间的枕木长
相 等就可以了．你能说出其中的道理吗？

4．如图，在平行四边形
ABCD
中，
BD
是它的一条对角线，过
A
，
C
两点分别作
AEBD
，
CFBD
，
E
，
F
为垂足．求证： 四边形
AFCE
是平行四边形．




前面我 们研究平行四边形时，常常把它分成几个三角形，利用三角形全等的性质研究平行
四边形的有关问题．下 面我们利用平行四边形研究三角形的有关问题．
如图，在
ABC
中，
D< br>，
E
分别是
AB
，
AC
的中点，连接
DE< br>．像
DE
这样，连接
三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．

探究
一个三角形有

观察图，你能发现的
ABC
中位线
DE
与边
BC
的位置关系吗？度量一下，
几条中位线 ？三角
DE
与

BC
之间有什么数量关系？
形的中位线和中线

一样吗？

我们猜想，
DEBC，
DE
1
BC
．下面我们对它们进行证明．
2
1

BC
．
2
分析：本题既要证明两条线段所在 的直线平行，又要证明其中一条线段的长等于另一条
1
线段长的一半．将
DE
延长一倍后，可以将证明
DEBC
转化为延长后的线段与
BC
相
2
等．又由于
E
分别是
AC
的中点，根据对角线互相平分的四边形是平 行四边形构造一个平
行四边形，利用平行四边形的性质进行证明．

证明：如图，延长到
DE
点
F
，使


EFDE
，连接
FC
，
DC
，
AF
．

QAEEC
，
DEEF
，


四边形
ADCF
是平行四边形，

CFPDA
．


BD
．

CFP



四边形
DBCF
是平行四边形，

DFPBC
．


1
又
DEDF
，

2
“
P
”表示平行

1

DEBC
，且
DEBC
．

且相等．
2






通过上述证明，我们得到三角形中位线定理：
如图，
D
，
E
分别是
ABC
的边
AB
，
AC
的中点．求证：
DEBC
且
DE

三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．

练习

1．如图，在
ABC
中，
D
，
E
，
F
分别是
AB
，
BC
，
CA
的中点．以这些点为顶

点，在图中，你能画出多少个平行四边形？




2． 如图，直线
l
1
l
2
，在
l
1
，使
ADBC
，连接
AB
，
BC
，
CD
．
AB
l
2
上分别截取
AD
，

和
CD
有什么关系？为什么？

3． 如图，
A
，
B
两点被池塘隔开，在
AB
外选一点
C
，连接
A C
和
BC
．怎样测出

A
，
B
两点间的距离？根据是什么？






习题
复习巩固
1．如果四边形
ABCD
是平行四边形，
AB6
，且
AB
的长是平行四边形
ABC D
周长的
那么
BC
的长是多少？
2．如图，在一束平行光线中插入 一张对边平行的纸板．如果光线与纸板右下方所成的
1
是
3
，
16
72
o
15

，那么光线与纸板左上方所成的
2
是多少度？为什么？

3．如图，平行四边形
ABCD
的对角线
A C
，
BD
相交于点
O
，且
ACBD36
，AB11
．求
OCD
的周长．







4． 如图，在平行四边形
ABCD
中，点
E
，
F
分别在
BC
，
AD
上，且
AFC E
．求
证：四边形
AECF
是平行四边形．

5． 如图 ，平行四边形
ABCD
的对角线
AC
，
BD
相交于点
O
，且
E
，
F
，
G
，
H
分别是
AO
，
BO
，
CO
，
DO
的中点 ．求证：四边形
EFGH
是平行四边形．
6． 如图，四边形
AEFD和
EBCF
都是平行四边形．求证：四边形
ABCD
是平行四边形．

7． 如图，直线
l
1
l
2
，< br>ABC
与
DBC
的面积相等吗？为什么？你还能画出一些与
AB C
面积相等的三角形吗?
综合运用
8． 如图，平行四边形
OABC的顶点
O
，
A
，
C
的坐标分别为
(0,0)< br>，
(a,0)
，
(b,c)
．求
顶点
B
的坐 标．

9． 如图，在梯形
ABCD
中，
ABCD
．
(1)
已知
AB
，求证
ADBC
；
(2)
已知
ADBC
，求证
AB
．
10． 如图，四边形
ABCD
是平行四边形，
ABC70
o< br>，
BE
平分
ABC
且交
AD
于点
E
，
DFBE
且交
BC
于点
F
．求
1
的 大小．








11 ．如图，
A

B

BA
，
B

C

CB
，
C

A

AC
，
ABC
与
B

有什么关系？线段
AB

与< br>线段
AC

呢？为什么？

12． 如图，在四边形
ABCD
中，
AD12
，
DOOB5
，
AC26
，
ADB90
o
．求
BC
的长和四边形
ABC D
的面积．
13． 如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，有多少个平行四边形？为什么？
拓广探索
14． 如图，用硬纸板剪一个平行四边形，作出它的对角线的交点
O
，用大头针把一根平放
在 平行四边形上的直细木条固定在点
O
处，并使细木条可以绕点
O
转动．拨动细 木条，使
它随意停留在任意位置．观察几次拨动的结果，你发现了什么？证明你的发现．

15． 如图，在平行四边形
OABC
中，过对角线
BD
上一点P
作
EFBC
，
GHAB
．图
中哪两个平行四边形面积 相等？为什么？

特殊的平行四边形

上节我们研究了平行四边 形，下面我们通过平行四边形角、边的特殊化，研究特殊的平行
四边形——矩形、菱形和正方形．

矩形

我们先从角开始，如图，当平行四边形的一个角为


直角时，这时的平行四边形是一个特殊的平行四边

形．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形

（rectangle）．也就是长方形．

矩形也是常见的图形．门窗框、书桌面、教科书封

面、地砖等（图）都有矩形的形象．你还能举出一些

例子吗？




思考

因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质．由于它有一个直角，它

是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？

对于矩形，我们仍然从它的边 、角和对角线等方面进行研究．可以发现并证明（请你自
己完成证明），矩形还有以下性质：
矩形的四个角都是直角；
矩形的对角线相等．

上节我们运用平行四边形 的判定和性质研究了三角形的中位线，下面我们用矩形的性质
研究直角三角形的一个性质．

思考
如图，矩形
ABCD
的对角线
AC
，
B D
相交于点
O
．我们观察
RtABC
，在
RtABC< br>中，
BO
是
斜边
AC
上的中线，
BO
与AC
有什么关系？


根据矩形的性质，我们知道，
BO 
11
BDAC
．由此，我们得到直角三角形的一个
22
性质：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

例1 如图 ，矩形
ABCD
的对角线
AC
，
BD
相交

于点
O
，
AOB60
o
，
AB4
．求矩形 对角线的长．

解：
Q
四边形
ABCD
是矩形，


AC
与
BD
互相平分．

OAOB
．

又
AOB60
o
，

OAB
是等边三角形．

OAAB4
．

ACBD2OA8
．






练习

1．求证：矩形的对角线相等．

一个矩形的一条对角线长为
8
，两条对角线的一个交角为
120
．求这个矩形 的边长（结

2．
．

果保留小数点后两位）

3．矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？



上面我们研究了矩形的性质，下面我们研究一下如何判定一个平行四边形或四边形是矩
形．




o

由矩形的定义可知，有一个角是直角的平行四边形是矩形．除此之外，还有没有其他 判定方
法呢？
与研究平行四边形的判定方法类似，我们研究矩形的性质定理的逆命题，看看它们是否
成立．


思考

我们知道，矩形的对角线相等．反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？




可以发现并证明矩形的一个判定定理：

对角线相等的平行四边形是矩形．
不仅要测量两组对边

工人师傅在做门窗或矩形零件时，

的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线

是否相等，以确保图形是矩形，你知道其中的道理吗？



思考

前面我们研究了矩形的四个角，知道它们都是直角．它的逆命题成立吗？即四个角都

是直角的平行四边形是矩形吗？进一步，至少有几个角是直角的四边形是矩形？

可以发现并证明矩形的另一个判定定理：
有三个角是直角的四边形是矩形．

例2 如图，在平行四边形
ABCD
中，对角线
AC
，
BD
相交于点
O
，且
OAOD
，
OAD50
o< br>．求
OAB
的度数．
解：
Q
四边形
ABCD
是矩形，
11

OAOCAC
，
OBODBD
．
22
又
OAOD
，
ACBD


四边形
ABCD
是矩形．

DAB90
o
.
又
OAD50
o
，
OAB40
o
.



练习

1．八年级（3）班的同学要在广场上布置 一个矩形的
计划用红花摆成对角线．如果一条对角线用了
38

花坛，

盆红花，还需要从花房运来多少盆红花？为什么？如

果一条对角线用了
49
盆呢？
如图，在平行四边形
ABCD
中，对角线
AC
，
BD

2．

相交于点
O
，
OAB
是等边三角形，且< br>AB4
．求

平行四边形
ABCD
的面积．







菱形


我们观察平行四边形的一组邻边，如图，当这组

邻边相等时，这时的平行四边形也是一个特殊的平

行四边形．有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
．

（rhombus）



菱形也是常见的图形．一些门窗的窗 格、美丽的中国结、伸缩的衣帽架（图）等都有菱形
的现象．你还能举出一些例子吗？



思考

因为菱形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质．由于它的一组邻边相等，

它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？





对于菱形，我们仍然从它的边、角和对角线等方面进行研究．可以发现并证明（请你完成
自己的证明），菱形还有以下性质：
菱形的四条边都相等；

菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．

如图，比较菱形的 对角线和平行四边形的对角线，我们发现，菱形的对角线把菱形分成四
个全等的直角三角形，而平行四边 形通常只被分为两对全等的三角形．

菱形是轴对称图形，它的对角线所在的直线就是它的对称轴．
由菱形的两条对

角线的长，你能求出

例3 如图，菱形花坛
ABCD
的边长为
20m
，
它的面积吗？

ABC60
o
，沿着菱形的对角线修建了两条小路
AC
和


BD
．求两条小路的长（结果保留小数点后两位）和花坛

的面积（结果保留小数点后一位）．


解：
Q
花坛
ABCD
的形状是菱形，
ACBD
，
ABO
1
ABC
1
60
o
30< br>o
．
22
在
RtOAB
中，
11
AB 2010
，
BO
22

花坛的两条小路长
AO
AB
2
AO
2
20
2
10
2
103
，
AC2AO20
(m)
，
BD2BO20
花坛的面积
S
ABCD
4S
OAB


3
34.64
(m)
．
1
ACBD

2003346.4
(m
2
)
．
2












练习

1．四边形
ABCD
是菱形，对角线
A C
，
BD
相交于点
O
，且
AB5
，
AO 4
．求
AC

和
BD
的长．

2．已 知菱形的两条对角线的长分别是
6
和
8
．求菱形的周长和面积．


上面我们研究了菱形的性质，下面我们研究如何判定一个平行四边形或四边形是菱形．
由菱形的定义可知，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．除此之外，还有没有其他判定