网易同学录-信阳师范学院分数线

1.1正弦定理和余弦定理
1.1.1 正 弦 定 理


正弦定理
[提出问题]
如图，在Rt△ABC中，A＝30°，斜边c＝2.

问题1：求△ABC的其他边和角．
提示：B＝60°，C＝90°，a＝1，b＝3.
问题2：试计算
提示：
abc
，，的值，三者有何关系？
sin Asin Bsin C
abc
3
＝2，＝＝2，＝2，三者的值相等．
sin Asin B
sin 60°
sin C
问题3：对于任意的直角三角形是否也有类似的结论？
a
提示：是．如图，∵sin A＝，
c
a
∴＝c.
sin A
bb
∵sin B＝，∴＝c.
c
sin B
abc
∵sin C＝1，∴＝＝.
sin Asin Bsin C
问题4：在钝角△ABC中，B＝C＝30°，b＝3，试求其他边和角．
提示：如图，△ACD为直角三角形，C＝30°，AC＝3，

则AD＝
33
，CD＝，
22
BC＝3·AB＝3，∠BAC＝120°.
问题5：问题4中所得数字满足问题3中的结论吗？
提示：满足．
问题6：若是锐角三角形，上述结论还成立吗？
提示：成立．
[导入新知]
1．正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
2．解三角形
一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素，已知
三角形 的几个元素，求其他元素的过程叫做解三角形．
[化解疑难]
对正弦定理的理解
(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．
(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．
(3)揭示规 律：正弦定理指出的是三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式，它
描述了三角形中边与角的一 种数量关系．
(4)主要功能：正弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的转化.
abc
＝＝.
sin Asin Bsin C

已知两角及一边解三角形
[例1] 在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，b，c.
[解] A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°.
由
baasin B
8×sin 60°
＝得b＝＝＝46，
sin Bsin Asin Asin 45°
8×
2＋6
4
＝4(3＋1)．
2
2
由
acasin C
8×sin 75°
＝得c＝＝＝
sin Asin Csin Asin 45°
∴A＝45°，b＝46，c＝4(3＋1)．

[类题通法]
已知三角形任意两角和一边解三角形的基本思路
(1)由三角形的内角和定理求出第三个角；
(2)由正弦定理公式的变形，求另外的两条边．
注意：若已知角不是特殊角时，往往先求出 其正弦值(这时应注意角的拆并，即将非特殊
角转化为特殊角的和或差，如75°＝45°＋30°)， 再根据上述思路求解．
[活学活用]
在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，解这个三角形．
解：∵A＝45°，C＝30°，
∴B＝180°－(A＋C)＝105°.
由
由
sin 45°
accsin A
10×
＝得a＝＝＝102.
sin Asin Csin C
sin 30°
bccsin B
10×sin 105°
＝得b＝＝＝20sin 75°，
sin Bsin Csin C
sin 30°
∵sin 75°＝sin (30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°
2＋6
＝，
4
∴b＝20×
2＋6
＝52＋56.
4
∴B＝105°，a＝102，b＝52＋56.
已知两边及一边的对角解三角形
[例2] 根据下列条件解三角形．
(1)△ABC中，已知b＝3，B＝60°，c＝1；
(2)△ABC中，已知c＝6，A＝45°，a＝2.
[解] (1)由正弦定理知
sin C＝
csin B
1×sin 60°
1
＝，故C＝30°或C＝150°.
b
＝
2
3
∵A＋B＋C＝180°，

∴C＝150°不符合题意，舍去．
∴A＝90°，a＝b
2
＋c
2
＝2.
故a＝2，A＝90°，C＝30°.
(2)由正弦定理得sin C＝
6sin 45°
csin A
3
＝＝.
a
22
故C＝60°或C＝120°.
当C＝60°时，B＝75°，b＝
csin B
6sin 75°
＝＝3＋1.
sin Csin 60°
csin B
6sin 15°
＝＝3－1.
sin Csin 120°
当C＝120°时，B＝15°， b＝
故b＝3＋1，B＝75°，C＝60°或b＝3－1，B＝15°，
C＝120°.
[类题通法]
已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时的方法
(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值；
(2)如果已知的角为大边所对的角时，由 三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断
另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一； (3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值
可求两个 角，要分类讨论．
[活学活用]
π
在△ABC中，若c＝6，C＝，a＝2，求A，B，b.
3
acasin C
2
解：由＝，得sin A＝
c
＝.
sin Asin C2
π3π
∴A＝或A＝.
44
又∵c＞a，
∴C＞A，
π
∴只能取A＝，
4
ππ5π
∴B＝π－－＝，
3412

csin B
b＝＝
sin C
6·sin
5π
12
＝3＋1.
π
sin
3
判断三角形的形状
[例3] 在△ABC中，sin
2
A＝sin
2
B＋sin
2
C，且sin A＝2sin Bcos C，试判断△ABC的
形状．
[解] 由正弦定理，得sin A＝
∵sin
2
A＝sin
2
B＋sin
2
C，
a

2

b

2

c
2
∴


2R

＝

2R

＋

2R

，
即a
2
＝b
2
＋c
2
，故A＝90°.
∴C＝90°－B，cos C＝sin
∴2sin Bcos C＝2sin
2
B＝sin A＝1.
∴sin B＝
2
.
2
B.
abc
，sin B＝，sin C＝.(R为△ABC外接圆半径)
2R2R2R
∴B＝45°或B＝135°(A＋B＝225°＞180°，故舍去)．
∴△ABC是等腰直角三角形．
[类题通法]
1．判断三角形的形状，可以从考查 三边的关系入手，也可以从三个内角的关系入手，
从条件出发，利用正弦定理进行代换、转化，呈现出边 与边的关系或求出角与角的关系或大
小，从而作出准确判断．
2．判断三角形的形状，主要看 其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三
角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形 ”与“等腰三角形或直角三角形”的区
别．
[活学活用]
在△ABC中，若b＝acos C，试判断该三角形的形状．
ab
解：∵b＝acos C，＝＝2R，(R为△ABC外接圆半径)
sin Asin B
∴sin B＝sin A·cos C.

∵B＝π－(A＋C)，
∴sin (A＋C)＝sin A·cos C.
即sin Acos C＋cos Asin C＝sin A·cos C，
∴cos Asin C＝0，
∵A，C∈(0，π)，∴cos A＝0，
π
∴A＝，
2
∴△ABC为直角三角形．


1.警惕三角形中大边对大角

[典例] 在△ABC中，已知a＝23，b＝2，A＝60°，则B＝________.
[解析] 由正弦定理，得sin B＝b×
sin A
sin 60°1
＝2×＝.∵0°＜B ＜180°，∴B＝30°，
a
2
23
或B＝150°.∵b＜a，根据三角 形中大边对大角可知B＜A，∴B＝150°不符合条件，应舍去，
∴B＝30°.
[答案] 30°
[易错防范]
1
1．由sin B＝得B＝30°或150°，而忽视b＝2＜a＝23，从而易出错．
2
2．在求出角的正弦值后，要根据“大边对大角”和“内角和定理”讨论角的取舍．
[成功破障]
在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对应的边，且b＝6，a＝2 3，A＝30°，
求ac的值.
ab
解：由正弦定理＝得
sin Asin B
sin B＝
bsin A
6sin 30°3
a
＝
23
＝
2
.
由条件b＝6，a＝23，b＞a知B＞A.
∴B＝60°或120°.

①当B＝60°时，C＝180°－A－B＝180°－30°－60°＝90°.
在Rt△ABC中，C＝90°，a＝23，b＝6，c＝43，
∴ac＝23×43＝24.
②当B＝120°时，C＝180°－A－B＝180°－30°－120°＝30°，
∴A＝C，则有a＝c＝23.∴ac＝23×23＝12.

[随堂即时演练]
1．(广东高考)在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝32，则AC＝( )
A．43
C.3
解析：选B 由正弦定理得
即
AC
32
＝，
sin 60°sin 45°
B．23
D.
3

2
BCAC
＝，
sin Asin B
322
所以AC＝×＝23，故选B.
2
3
2
2．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cos B的值为( )
A．－
C．－
22

3
6

3
22
B.
3
D.
6

3
解析：选D 根据正弦定理
3
，
3
ab
1510
＝可得＝，
sin Asin B
sin 60°
sin B
解得sin B＝
又因为b所以B所以cos B＝1－sin
2
B＝
6
.
3
3．在△ABC中，若(sin A＋sin B)(sin A－sin B)＝sin
2
C，则△ABC是________三角形．
解析：由已知得sin
2
A－sin
2
B＝sin
2
C，根据正弦定理知

sin A＝
abc
，sin B＝，sin C＝，
2R2R2R
a
< br>2

b

2

c

2
所以


2R

－

2R

＝

2R

，
即a
2
－b
2
＝c
2
，故b
2
＋c
2
＝a
2
.
所以△ABC是直角三角形．
答案：直角
45
4．(全国甲卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，
513
a＝1，则b＝______.
45
解析：在△ABC中，∵cos A＝，cos C＝，
513
3123541263
∴sin A＝，sin C＝，∴sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝.
51351351365
63
65
21
abasin B
又∵＝，∴b＝＝＝.
sin Asin Bsin A313
5
1×
21
答案：
13
5．不解三角形，判断下列三角形解的个数．
(1)a＝5，b＝4，A＝120°；
(2)a＝7，b＝14，A＝150°；
(3)a＝9，b＝10，A＝60°.
解：(1)sin B＝
bsin 120°
433
＝×＜，
a
522
所以△ABC有一解．
(2)sin B＝
(3)sin B＝
bsin 150°
＝1，所以△ABC无解．
a
bsin 60°
10353353
＝×＝，而＜＜1，
a
92929
53
的B的取值范围为60°＜B＜90°；
9
所以当B为锐角时，满足sin B＝
当B为钝角时有90°＜B＜120°，也满足A＋B＜180°，
所以△ABC有两解．
[课时达标检测]

一、选择题
sin A
1．在△ABC中，下列式子与
a
的值相等的是( )
b
A.
c

sin C
C.
c

解析：选C 由正弦定理得
sin Asin C
所以
a
＝
c
.
2．在△ABC中，若sin A>sin B，则A与B的大小关系为( )
A．A>B
C．A≥B
解析：选A ∵sin A>sin B，
∴2Rsin A>2Rsin B，
即a>b，故A>B.
3．一个三角形的两个角分别等于120°和 45°，若45°角所对的边长是46，那么120°角
所对边长是( )
A．4
C．43
B．123
D．12
B．AD．A，B的大小关系不确定
sin B
B.
sin A
c
D.
sin C
ac
＝，
sin Asin C
解析：选D 若设120°角所对的边长为x，
x
46
则由正弦定理可得＝，
sin 120°sin 45°
46·sin 120°
于是x＝＝
sin 45°
46×
2
2
3
2
＝12，故选D.
4．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是( )
A．有一解
C．无解
解析：选C 由正弦定理得
40×
20
3
2
B．有两解
D．有解但解的个数不确定
bc
＝，
sin Bsin C
∴sin B＝
bsin C
c
＝＝3>1.

∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．
5．以下关于正弦定理或其变形的叙述错误的是( )
A．在△ABC中，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C
B．在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则a＝b
C．在△ABC中，若sin A＞sin B，则A ＞B，若A＞B，则sin A＞sin B都成立
b＋c
a
D．在△ABC中，＝
sin A
sin B＋sin C
解析：选B 由正弦定理易知A，C，D正确．
对于B，由sin 2A＝sin 2B，
可得A＝B，或2A＋2B＝π，
π
即A＝B，或A＋B＝，
2
∴a＝b，或a
2
＋b
2
＝c
2
，故B错误.
二、填空题
6．(北京高考)在△ABC中，a＝3，b＝6，∠A＝
ab
解析：在△ABC中，根据正弦定理＝，
sin Asin B
有
362
＝，可得sin B＝.
2π
sin B2
sin
3
2π
，则∠B＝________.
3
π
因为∠A为钝角，所以∠B＝.
4
π
答案：
4
7．在△ABC中，B＝30°，C＝120°，则a∶b∶c＝________.
解析：A＝180°－B－C＝30°，由正弦定理得
a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C，
即a∶b∶c＝sin 30°∶sin 30°∶sin 120°
＝1∶1∶3.
答案：1∶1∶3
8．在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，则sin B＝________.
解析：由正弦定理，得

sin C＝
AB·sin A
5sin 120°53
＝.
BC
＝
714
可知C为锐角，
∴cos C＝
11
1－sin
2
C＝.
14
∴sin B＝sin(180°－120°－C)＝sin(60°－C)
33
＝sin 60°·cos C－cos 60°·sin C＝.
14
答案：
33

14
三、解答题
9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2 B＝A＋C，a＋2b＝2c，
求sin C的值．
解：∵2B＝A＋C，A＋B＋C＝180°，
∴B＝60°，A＋C＝120°，
∴0°A＝120°－C.
∵a＋2b＝2c，
由正弦定理得sin A＋2sin B＝2sin C，
∴sin(120°－C)＋
即
6
＝2sin C，
2
316
cos C＋sin C＋＝2sin C，
222
336
∴sin C－cos C＝.
222
∴sin(C－30°)＝
2
.
2
∵－30°∴C－30°＝45°，C＝75°.
sin C＝sin(45°＋30°)
6＋2
＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝.
4

10．(天津高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知asin 2B＝3
bsin A.
(1)求B；
1
(2)若cos A＝，求sin C的值．
3
解：(1)由asin 2B＝3bsin A及正弦定理得
2asin Bcos B＝3bsin A＝3asin B，
所以cos B＝
3
π
，所以B＝.
26
122
(2)由cos A＝，可得sin A＝，则
33
sin C＝sin[π－(A＋B)]
π
A＋

＝sin(A＋B)＝sin


6< br>
26＋1
31
＝sin A＋cos A＝.
226

a
2
sin Bb
2
sin A
11．在△ABC中，已知＝，试判断△ABC的形状．
cos Bcos A
a
2
sin Bb
2
sin A
解：∵＝，
cos Bcos A
a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，
4R
2
sin
2
Asin B4R
2
sin
2
Bsin A
∴＝.
cos Bcos A
又∵sin Asin B≠0，∴sin Acos A＝sin Bcos B，
即sin 2A＝sin 2B，
∴2A＝2B，或2A＋2B＝π，
π
即A＝B，或A＋B＝.
2
故△ABC是等腰三角形或直角三角形．
12．已知方程x
2
－(bcos A)x＋acos B＝0的两根之积等于两根之 和，且a，b为△ABC的
两边，A，B为两内角，试判定这个三角形的形状．
解：设方程的两根为x
1
、x
2
，



x
1
＋x
2
＝bcos A，
由根与系数的关系，得



x
1
x
2
＝acos B.

∴bcos A＝acos B.
由正弦定理得：sin Bcos A＝sin Acos B，
∴sin Acos B－cos Asin B＝0，
sin(A－B)＝0.
∵A、B为△ABC的内角，
∴0∴A－B＝0，即A＝B.
故△ABC为等腰三角形．
1.1.2 余 弦 定 理



余弦定理
[提出问题]
在△ABC中，若AB＝2，AC＝3，A＝60°.
问题1：这个三角形确定吗？
提示：确定．
问题2：你能利用正弦定理求出BC吗？
提示：不能．
问题3：能否利用平面向量求边BC？如何求得？
提示：能．
―→―→―→
∵BC＝AC－AB，
―→―→―→―→―→
∴|BC|2
＝|AB|
2
＋|AC|
2
－2AB·AC
―→― →―→―→
＝|AB|
2
＋|AC|
2
－2|AB||AC|cos A
＝4＋9－2×2×3cos 60°
＝7.

―→
∴|BC|＝7.
问题4：利用问题3的推导方法，能否推导出用b，c，A表示a?
提示：能．
[导入新知]
余弦定理





a
2
＝b
2
＋c
2
－2bccos_A，
公式表达
[来源:][来源:学科网Z.X.X.K][来源:]

b
2
＝a
2
＋c
2
－2accos_B，
c
2
＝a
2
＋b
2
－2abcos_C
余
弦
定
[来源:学科网]
语言叙述

三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两
边与它们夹角的余弦的积的两倍
b
2
＋c
2
－a
2
cos A＝，
2bc
理
推论
a
2
＋c
2
－b
2
cos B＝，
2ac
a
2
＋b
2
－c
2
cos C＝
2ab
[化解疑难]
对余弦定理的理解
(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立．
(2)结构特征：“平方”“夹角”“余弦”．
(3)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中 三条边与其中一个角的余弦之间的关系式，它
描述了任意三角形中边与角的一种数量关系．
(4)主要功能：余弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的互化．

已知三角形的三边解三角形
[例1] 在△ABC中：
(1)a＝3，b＝4，c＝37，求最大角；
(2)a∶b∶c＝1∶3∶2，求A，B，C的大小．

[解] (1)由c>b>a，知C最大，
a
2
＋b
2
－c
23
2
＋4
2
－37
1
∵cos C＝＝＝－，
2ab2
2×3×4
∴C＝120°.
(2)∵a∶b∶c＝1∶3∶2，
∴设a＝x，则b＝3x，c＝2x(x>0)．
由余弦定理，得
b
2< br>＋c
2
－a
2
3x
2
＋4x
2
－x
2
3
cos A＝＝＝，
2bc2
23x·2x
∴A＝30°.
1
同理cos B＝，cos C＝0，
2
∴B＝60°，C＝90°.
[类题通法]
已知三角形的三边解三角形的方法
(1)先利用余弦定理求出一个角的余弦，从而求出第一个 角；再利用余弦定理或由求得的
第一个角，利用正弦定理求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求 出第三个角．
(2)利用余弦定理求三个角的余弦，进而求三个角．
[活学活用]
在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角和另外两角的余弦值．
解：∵a>c>b，∴A为最大角，
b
2
＋c
2
－a2
3
2
＋5
2
－7
2
1
由余弦定理得 ，cos A＝＝＝－，
2bc2
2×3×5
又∵0°a
2
＋c
2
－b
2
7
2
＋5
2
－ 3
2
13
cos B＝＝＝；
2ac
2×7×5
14b
2
＋a
2
－c
2
3
2
＋7
2
－5
2
11
cos C＝＝＝.
2ab
2×7×3
14
已知三角形的两边及其夹角解三角形

[例2] 在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，c＝4(3＋1)，解此三角形．
[解] 由余弦定理得：
b
2
＝a
2
＋c
2
－2accos B
＝8
2
＋[4(3＋1)]
2
－2×8×4(3＋1)·cos 60°
1
＝64＋16(4＋23)－64(3＋1)×＝96，
2
∴b＝46.
b
2
＋c
2
－a
2
法一：由cos A＝
2bc
96＋163＋1
2
－64
＝
2×46×43＋1
＝
2
，
2
∵0°＜A＜180°，∴A＝45°.
故C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°.
ab
法二：由正弦定理＝，
sin Asin B
8462
∴＝，∴sin A＝.∵b＞a，c＞a，
sin A
sin 60°
2
∴a最小，即A为锐角．
因此A＝45°.
故C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°.
[类题通法]
已知三角形的两边及其夹角解三角形的方法
先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种 思路：一是利用余弦定理的推论求出
其余角；二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解． 若用正弦定理求解，需对角的取值进行取舍，而用余弦定理就不存在这些问题[在(0，π)
上，余 弦值所对角的值是唯一的]，故用余弦定理求解较好．
[活学活用]
在△ABC中，已知a＝22，b＝23，C＝15°，解此三角形．

解：c
2
＝a
2
＋b
2
－2abcos C ＝(22)
2
＋(23)
2
－2×22×23×cos(45°－30° )
＝8－43
＝(6－2)
2
，
∴c＝6－2.
法一：由余弦定理的推论得
b
2
＋c
2
－a
2< br>23
2
＋6－2
2
－22
2
2
cos A＝＝＝.
2bc2
2×23×6－2
∵0°＜A＜180°，∴A＝45°，
从而B＝120°.
6－2
22×
4
asin C
2
法二：由正弦定理得sin A＝
c
＝＝.
2
6－2
∵a＜b，∴A＜B，
又∵0°＜A＜180°，
∴A必为锐角，∴A＝45°，从而得B＝120°.
已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形
[例3] 在△ABC中，已知b＝3，c＝33，B＝30°，求A，C，a.
[解] 法一：由余弦定理b
2
＝a
2
＋c
2
－2accos B，
得3
2
＝a
2
＋(33)
2
－2a×33×cos 30°，
∴a
2
－9a＋18＝0，得a＝3或6.
当a＝3时，A＝30°，
∴C＝120°.
asin B
当a＝6时，由正弦定理得sin A＝
b
＝
3
∴A＝90°，
∴C＝60°.
6×
1
2
＝1.

133
法二：由b＜c，B＝30°，b＞csin 30°＝33×＝知本题有两解．
22
csin B
b
＝
33×
3
1
2
3
，
2
由正弦定理得sin C＝
∴C＝60°或120°，
＝
当C＝60°时，A＝90°，△ABC为直角三角形．
由勾股定理得a＝b2
＋c
2
＝3
2
＋33
2
＝6，
当C＝120°时，A＝30°，△ABC为等腰三角形，
∴a＝3.
[类题通法]
已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形的方法
可根据余弦定理 列一元二次方程求出第三边(注意边的取舍)，再利用正弦定理求其他的
两个角；也可以由正弦定理求出 第二个角(注意角的取舍)，再利用三角形内角和定理求出第
三个角，最后再利用正弦定理求出第三边．
[活学活用]
3
已知在△ABC中，cos A＝，a＝4，b＝3，则c＝________.
5
解析：A为b，c的夹角，由余弦定理得
a
2
＝b
2
＋c
2
－2bccos A，
3
∴16＝9＋c
2
－6×c，
5
整理得5c
2
－18c－35＝0.
7
解得c＝5或c＝－(舍)．
5
答案：5





判断三角形的形状

[例4] 在△ABC中，若已知(a＋b＋c)·(a＋b－c)＝3ab，并且sin C＝2sin Bcos A，试判
断△ABC的形状．
bc
[解] 由正弦定理，可得sin B＝
，sin C＝.
2R2R
b
2
＋c
2
－a
2
由余弦定理，得cos A＝.
2bc
代入sin C＝2sin Bcos A，
b
2
＋c
2
－a
2
得c＝2b·.
2bc
整理得a＝b.
又因为(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，
所以a
2
＋b
2
－c
2
＝ab，
a
2
＋b
2
－c
2
1
π
即cos C＝＝.故C＝.
2ab23
又因为a＝b，
所以△ABC为等边三角形．
[类题通法]
判断三角形的形状的方法
判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系 进行思考，可用正、余弦定理将已知条件转
化为边边关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系 ，从而判断三角形的形状；也
可利用正、余弦定理将已知条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换， 得出三角形各内
角之间的关系，从而判断三角形的形状．
[活学活用]
在△ABC中，若cos A＝
sin B
解：由cos A＝得
sin C
b
2
＋c
2
－a
2
bb
cos A＝
c
，即＝
c
，
2bc
∴b
2
＋c< br>2
－a
2
＝2b
2
，即a
2
＋b
2
＝c
2
，
因此△ABC是以C为直角的直角三角形．
sin B
，试判断其形状．
sin C

1.利用正、余弦定理求解平面图形中线段长

[典例] (12分)如图所示，在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD＝10，AB＝
14 ，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求BC的长．
[解题流程]
[规范解答]

[活学活用]
如图所示，在△ABC中，已知B＝45°，D是BC边上一点，A D＝5，
AC＝7，DC＝3，求AB的长．
解：在△ADC中，cos C＝
A C
2
＋DC
2
－AD
2
7
2
＋3
2
－5
2
11
＝＝.
2·AC·DC
2×7×3
14
又∵0°＜C＜180°，
∴sin C＝
53
.
14

ACAB
在△ABC中，＝，
sin Bsin C
sin C
5356
∴AB＝·AC＝·2·7＝.
sin B142

[随堂即时演练]
1．在△ABC中，b＝5，c＝53，A＝30°，则a等于( )
A．5
C．3
B．4
D．10
解析：选A 由余弦定理，得a
2
＝b
2
＋c
2
－2bccos A＝5
2
＋(53)
2
－2×5×53×cos 30°
＝25，∴a＝5.
c
2
－a
2
－b
2< br>2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＞0，则△ABC( )
2ab
A．一定是锐角三角形
B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形
D．是锐角或直角三角形
c
2
－a
2
－b
2
解析：选C 由＞0得－cos C＞0，
2ab
所以cos C＜0，从而C为钝角，
因此△ABC一定是钝角三角形．
3．(天津高考改编)在△ABC中，若AB＝13，BC ＝3，∠C＝120°，则AC＝________.
解析：由余弦定理得
AB
2
＝AC
2
＋BC
2
－2AC·BC·cos C，
即13＝AC
2
＋9－2AC×3×cos 120°，
化简得AC
2
＋3AC－4＝0，
解得AC＝1或AC＝－4(舍去)．
答案：1
1
4．在△ABC 中，a＝1，b＝2，cos C＝，则 c＝________；sin A＝________.
4
解析：根据余弦定理，

1
c
2
＝a
2
＋b
2
－2abcos C＝1
2
＋2
2
－2×1×2×＝4，
4
故c＝2.
1
因为cos C＝，
4
于是sin C＝
1

2
15
1－

＝，

4

4
15
1×
4
asin C
15
于是，由正弦定理得sin A＝＝＝或：由a＝1，b＝2，c＝2，得cos A< br>c
28
2
2
＋2
2
－1
2
7
＝＝，于是sin A＝
2×2×2
8
答案：2
15

8
7

2
15
1－

＝.
< br>8

8
5．在△ABC中，已知a＝5，b＝3，角C的余弦值是方程5x2
＋7x－6＝0的根，求第三
边c的长．
解：5x
2
＋7x－6＝0可化为(5x－3)·(x＋2)＝0.
3
∴x
1
＝，x
2
＝－2(舍去)．
5
3
∴cos C＝.
5
根据余弦定理，
3
c
2
＝a
2
＋b
2
－2abcos C＝5
2
＋3
2
－2×5×3×＝16.
5
∴c＝4，即第三边长为4.
[课时达标检测]
一、选择题
1．在△ABC中，若b＝8，c＝3，A＝60°，则此三角形外接圆的半径为( )
82
A.
3
7
C.
3
解析：选D 由余弦定理，得
1
a
2
＝b
2
＋c
2
－2bccos A＝8
2
＋3
2
－2×8×3×＝49，
2
14
B.
3
73
D.
3

a
∴a＝7.由正弦定理，得＝2R，
sin A
73
∴R＝.
3
2．在△ABC中，若a＝8，b＝7，cos C＝
1
A．－
5
1
C．－
7
解析：选C 由余弦定理，得
c
2
＝a
2
＋b
2
－2abcos C＝8
2
＋7
2
－2×8×7×
所以c＝3，故a最大，
所以最大角的余弦值为
b
2
＋c
2
－a
2
7
2
＋3
2
－8
2
1
cos A＝＝＝－. < br>2bc7
2×7×3
3．在△ABC中，B＝60°，b
2
＝ac，则 此三角形一定是( )
A．直角三角形
C．等腰直角三角形
B．等边三角形
D．钝角三角形
13
＝9，
14
13
，则最大角的余弦值是( )
14
1
B．－
6
1
D．－
8
解析：选B 由余弦定理，得b
2
＝a
2
＋c
2
－ac，
又∵b
2
＝ac，
∴a
2
＋c
2
－2a c＝0，即(a－c)
2
＝0，
∴a＝c.
∵B＝60°，∴A＝C＝60°.
故△ABC是等边三角形．
4．(全国乙卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝5，c＝2，cos A
2
＝，则b＝( )
3
A.2
C．2
B.3
D．3
21
解析：选D 由余弦定理得5＝b
2
＋4－2×b×2×，解得b＝3或b＝－(舍去)，故选
33
D.

5．在△ABC中，sin
2
A≤sin
2
B＋sin
2< br>C－sin Bsin C，则A的取值范围是( )
π
0，

A.


6

π
0，

C.


3

π

B.


6，π


π

D.


3
，π


解析：选C ∵sin
2
A≤sin
2
B＋sin
2
C－sin Bsin C，
∴由正弦定理得a
2
≤b
2
＋c
2
－bc，
即b
2
＋c
2
－a
2
≥bc，
b
2
＋c
2
－a
2
bc
1
由余弦定理得cos A＝≥＝，
2bc2bc2
π
∴03
二、填空题
6．(福建高考)在△ABC 中，A＝60°，AC＝2，BC＝3，则AB 等于________．
ACBC
解析：在△ABC中，根据正弦定理，得＝，
sin Bsin A
23
所以＝，解得sin B＝1，
sin Bsin 60°
因为0°＜B＜180°，
所以B＝90°，
所以AB＝
答案：1
7．(北京高考)在△ABC中，∠A＝
2π
解析：在△ABC中，∠A＝，
3
2π
∴a
2
＝b
2
＋c
2
－2bcc os，即a
2
＝b
2
＋c
2
＋bc.
3
∵a＝3c，∴3c
2
＝b
2
＋c
2
＋bc，∴b
2
＋bc－2c
2
＝0，
b
∴(b＋2c)(b－c)＝0，∴b－c＝0，∴b＝c，∴
c
＝1.
答案：1
8．在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶7，则C＝________.
解析：因为sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶7，
b
2π
，a＝3c，则＝________.
c
3
2
2
－3
2
＝1.

由正弦定理可得a∶b∶c＝3∶5∶7，
设a＝3k(k＞0)，则b＝5k，c＝7k，
a
2
＋b
2－c
2
1
由余弦定理的推论得cos C＝＝－，
2ab2
又0°＜C＜180°，所以C＝120°.
答案：120°
三、解答题
9．在△ABC中，b＝asin C，c＝acos B，试判断△ABC的形状．
a
2
＋c
2
－b
2
解：由余弦定理知cos B＝，代入c＝acos B，
2ac
a
2
＋c
2
－b< br>2
得c＝a·，∴c
2
＋b
2
＝a
2
.
2ac
∴△ABC是以A为直角的直角三角形．
c
又∵b＝asin C，∴b＝a·.∴b＝c.
a
∴△ABC也是等腰三角形．
综上所述，△ABC是等腰直角三角形．
1
10．(天津高考改编)在△ABC中， 内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知b－c＝
4
a,2sin B＝3sin C，求cos A的值．
3
解：由2sin B＝3sin C及正弦定理得2b＝3c，即b＝c.
2
1
又b－c＝a，
4
11
∴c＝a，即a＝2c.
24
由余弦定理得
9< br>22
3
22
c＋c－4c－c
b＋c－a
44
1cos A＝＝＝
2
＝－.
2bc33c4
2×c
2
2
222

11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2b·cos A＝c·cos A＋a·cos C.
(1)求角A的大小；

(2)若a＝7，b＋c＝4，求bc的值．
解：(1)根据正弦定理得
2b·cos A＝c·cos A＋a·cos C⇒
2cos Asin B＝sin Acos C＋cos Asin C＝sin(A＋C)＝sin B，
∵sin B≠0，
1
∴cos A＝.
2
∵0°＜A＜180°，
∴A＝60°.
(2)由余弦定理得
7＝a
2
＝b
2
＋c
2
－2bc·cos 60°
＝b
2
＋c
2
－bc＝(b＋c)
2
－3bc，
把 b＋c＝4代入得bc＝3，故bc＝3.
12．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Asin B＋bcos
2
A＝2a.
b
(1)求；
a
(2)若c
2
＝b
2
＋3a
2
，求B.
解：(1)由正弦定理得，sin
2
Asin B＋sin Bcos
2
A＝2sin A，即sin B(sin
2
A＋cos
2
A)＝2sin
A.
b
故sin B＝2sin A，所以
a
＝2.
(2)由余弦定理和c
2
＝b
2
＋3a
2
，
得cos B＝
1＋3a
.
2c
由(1)知b
2＝2a
2
，故c
2
＝(2＋3)a
2
.
1
可得cos
2
B＝，又cos B>0，
2
故cos B＝
2
.
2
所以B＝45°.

1.2应_用_举_例
1．2.1 正、余弦定理在实际中的应用

测量中的基本术语
[提出问题]
李尧出校门向南前进200米，再向东走了200米，回到自己家中．
问题1：李尧家在学校的哪个方向？
提示：东南方向．
问题2：能否用角度再进一步确定其方位？
提示：可以，南偏东45°或东偏南45°.
[导入新知]
实际测量中的有关名称、术语




称
基线
仰角
定义
在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做基线
在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水
平线的夹角
在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水
平线的夹角

从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方
方向角 向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小
于90°)

南偏西60°(指以正南方向为始
边，转向目标方向线形成的角)


图示
俯角

方位角
从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过
的水平角

[化解疑难] < br>解三角形实际问题的一般步骤，在弄清题意的基础上作出示意图，在图形中分析已知三
角形中哪些 元素，需求哪些量．用正、余弦定理解三角形是解题的关键环节.

测量高度问题
[例1] 如图，为了测量河对岸的塔高AB，有不同的方案，其中之
一是选取与塔底B在同一 水平面内的两个测点C和D，测得CD＝200米，
在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45°和30 °，且∠CBD＝30°，
求塔高AB.
[解] 在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，若 设AB＝h，则BC＝h；在
Rt△ABD中，∠ADB＝30°，则BD＝3h.
在△BCD中，由余弦定理可得
CD
2
＝BC
2
＋BD< br>2
－2·BC·BD·cos∠CBD，
3
即200
2
＝h
2
＋(3h)
2
－2·h·3h·，
2
所以h
2
＝200
2
，解得h＝200(h＝－200舍去)，
即塔高AB为200米．
[类题通法]
测量高度问题的要求及注意事项
(1)依题意画图是解决三角形应用题的关键，问题中，如果既有方向角(它是在水平面上
所成的角)， 又有仰(俯)角(它是在铅垂面上所成的角)，在绘制图形时，可画立体图形和平面
图形两个图，以对比 分析求解．
(2)方向角是相对于在某地而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一点的方向
角．从这个意义上来说，方向角是一个动态角，在理解题意时，应把它看活，否则在理解题
意时 将可能产生偏差．

[活学活用]
(湖北高考)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一
山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北 75°的方向上，
仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.

解析：由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，
∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.
BC
600
又AB＝600 m，故由正弦定理得＝，
sin 45°sin 30°
解得BC＝3002 m.
在Rt△BCD中，CD＝BC·tan 30°＝3002×
答案：1006
测量角度问题
[例2] 如图，在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处(3－1)n
mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处2 n mile
的C处的缉私船奉命以103 n mileh的速度追截走私船．此时，走私
船正以10 n mileh的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问：缉私船
沿着什么方向能最快追上走私船？
[解] 设缉私船用t h在D处追上走私船，
则有CD＝103t，BD＝10t，
在△ABC中，∵AB＝3－1，AC＝2，∠BAC＝120°，
∴由余弦定理，得
3
＝100 6(m)．
3

BC
2
＝AB
2
＋AC
2
－2AB·AC·cos ∠BAC
＝(3－1)
2
＋2
2
－2·(3－1)·2·cos 120°
＝6，
∴BC＝6，
且sin ∠ABC＝
AC
232
·sin ∠BAC＝·＝.
BC
2
6
2
∴∠ABC＝45°.
∴BC与正北方向垂直．
∵∠CBD＝90°＋30°＝120°，
在△BCD中，由正弦定理，得
BD·sin ∠CBD
10tsin 120°
1
sin ∠BCD＝＝＝，
CD
2
103t
∴∠BCD＝30°.
即缉私船沿东偏北30°方向能最快追上走私船．
[类题通法]
解决追及问题的步骤
(1)把实际问题转化为数学问题；
(2)画出表示实际问题的图形， 并在图中标出有关的角和距离，这样借助于正弦定理或余
弦定理，就容易解决问题了；
(3)最后把数学问题还原到实际问题中去．
[活学活用]
某货船在索马里海域航 行中遭海盗袭击，发出呼叫信号，如图，我
海军护航舰在A处获悉后，立即测出该货船在方位角为45° ，距离为
10海里的C处，并测得货船正沿方位角为105°的方向，以10海里
小时的速度向 前行驶，我海军护航舰
立即以103 海里小时的速度前去营救，求护航舰的航向和靠近货船所需的时间．
解：设护航舰靠近货船所用时间为t小时．在△ABC中，根据余弦定理，有
AB
2
＝AC
2
＋BC
2
－2AC·BCcos 120°，

可得(103t)
2
＝10
2
＋(10t)
2
－2×10×10tcos 120°，
1
整理得2t
2
－t－1＝0，解得t＝1或t＝－(舍去)．
2
所以护航舰靠近货船需要1小时．
此时AB＝103，BC＝10，
又AC＝10，所以∠CAB＝30°，
所以护航舰航行的方位角为75°.


1.探究距离测量问题

测量距离问题分为三种类型：两点间不可通 又不可视，两点间可视但不可达，两点都不
可达．解决此问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三 角形，将问题转化为求某个三
角形的边长问题，从而利用正弦、余弦定理求解．


【角度一】 两点间不相通的距离
[例1] 如图所示，要测量一水塘两侧A，B两点间的 距离，其
方法为先选定适当的位置C，用经纬仪测出角α，再分别测出AC，
BC的长b，a， 则可求出A，B两点间的距离．
即AB＝a
2
＋b
2
－2abcos α.
若测得CA＝400 m，CB＝600 m，∠ACB＝60°，试计算AB的长度．
[解] 在△ABC中，由余弦定理得
AB
2
＝AC
2
＋ BC
2
－2AC·BC·cos∠ACB，
∴AB
2
＝4002
＋600
2
－2×400×600×cos 60°＝280 000.∴AB＝2007 m.
即A，B两点间的距离为2007 m.
【角度二】 两点间可视但有一点不可到达
[例2] 如图所示，A，B两点在一条河的两岸，测量者在A的同侧， 且B点不可到达，
要测出A，B的距离，其方法为在A所在的岸边选定一点C，可以测出A，C的距离m ，再

借助仪器，测出∠ACB＝α，∠CAB＝β，在△ABC中，运用正弦定理就可以求出AB.
若测出AC＝60 m，∠BAC＝75°，∠BCA＝45°，则A，B两点间的距离为________m.

[解析] ∠ABC＝180°－75°－45°＝60°，
ABAC
所以由正弦定理得＝，
sin Csin B
AC·sin C
60×sin 45°
∴AB＝＝＝206(m)．
sin B
sin 60°
即A，B两点间的距离为206 m.
[答案] 206
【角度三】 两点都不可到达
[例3] 如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，测出A，B的距 离，
其方法为测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD＝a，同时在C，D两点分别测得∠
BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ.在△ADC和△BDC中，由正弦定理分别计算< br>出AC和BC，再在△ABC中，应用余弦定理计算出AB.
若测得CD＝
3
km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A，
2
B两点 间的距离．

[解] ∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，
∴∠DAC＝60°，
∴AC＝DC＝
3
.
2
在△BCD中，∠DBC＝45°，由正弦定理，得
3
2
DC
6
BC＝·sin∠BDC＝·sin 30°＝.
4
sin 45°
sin∠DBC
在△ABC中，由余弦定理，得
AB
2
＝AC
2
＋BC
2
－2AC·BC·cos 45°

333623
＝＋－2×××＝.
482428
∴AB＝
6
km.
4
6
km.
4
∴A，B两点间的距离为

[随堂即时演练]
1．若P在Q的北偏东44°50′方向上，则Q在P的( )
A．东偏北45°10′方向上
B．北偏东45°50′方向上
C．南偏西44°50′方向上
D．西偏南45°50′方向上
解析：选C 如图所示，点Q在点P的南偏西44°50′的方向上．

2．海上有A，B两个小岛相距1 0海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛
望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离 是( )
A．103 海里
C．52 海里
106
B. 海里
3
D．56 海里
解析：选D 如图，C＝180°－60°－75°＝45°，AB＝10，
BC
10
由正弦定理得＝，
sin 45°sin 60°
∴BC＝56(海里)，故选D.
3．如图，线段AB，CD分别表示甲、乙两楼，A B⊥BD，CD⊥BD，
从甲楼顶部A处测得乙楼顶部C处的仰角为α＝30°，测得乙楼底部D
的俯角β＝60°，已知甲楼高AB＝24米，则乙楼高CD＝________米．
解析：过A作AE⊥CD(图略)，垂足为E，ED＝AB＝24米，则AE＝

ED
24
＝＝83(米)．
tan 60°
3
在Rt△ACE中，CE＝AE·tan 30°＝83×
∴CD＝CE＋ED＝8＋24＝32(米)．
答案：32
4.如 图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得∠CAB
＝45°，∠CB A＝75°，AB＝120米，则河的宽度为________米．
3
＝8(米)，
3

解析：∠ACB＝180°－45°－75°＝60°，
ABBC
在△ABC中，＝.
sin∠ACBsin∠CAB
sin 45°1202
∴BC＝120·＝，
sin 60°
3
1202
河宽为BCsin∠CBA＝sin 75°＝20(3＋3)米.
3
答案：20(3＋3)
5.如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距4 0海里的
B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其
南偏西30°、 相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿
直线CB前往B处救援，求cos θ的值．
解：如题中图所示，在△ABC中，
AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，
由余弦定理知，
BC
2
＝AB
2
＋AC
2
－2AB·AC·cos 120°＝2 800⇒BC＝207.
ABBC
由正弦定理，得＝
⇒
s in∠ACBsin∠BAC
AB
21
sin∠ACB＝
BC
·si n∠BAC＝.
7
由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，

则cos∠ACB＝
27
.
7
21
.
14
由θ＝∠ACB＋30°，得cos θ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACBcos 30°－sin∠ACBsin 30°＝
[课时达标检测]
一、选择题
1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为( )
A．α＞β
C．α＋β＝90°
B．α＝β
D．α＋β＝180°
解析：选B 根据题意和仰角、俯角的概念画出草图如下图．
知α＝β，故应选B.

2．两灯塔A，B与海洋观察站C的距离都等于a(km) ，灯塔A在C北偏东30°，B在C
南偏东60°，则A，B之间的距离为( )
A.2a km
C．a km
B.3a km
D．2a km
解析：选A △ABC中，AC＝BC＝a km，∠ACB＝90°，AB＝2a km.
3．有一长为10 m 的斜坡，倾斜角为75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡
面的方法将它的倾斜角改为30° ，则坡底要延长的长度(单位：m)是( )
A．5
C．102
B．10
D．103
解析：选C 如图，设将坡底加长到B′时，倾斜角为30°，在△ABB′中，利用正弦定
理可求得BB′的长度．

在△ABB′中，B′＝30°，
∠BAB′＝75°－30°＝45°，AB＝10 m，
由正弦定理，得

ABsin 45°
BB′＝＝
sin 30°
10×
1
2
2
2
＝102 (m)．
∴坡底延伸102 m时，斜坡的倾斜角将变为30°.
4．一船自西向东匀速航行，上午1 0时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M
处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则 这只船的航行速度为( )
A.
176
2
海里小时
B．346 海里小时
C.
172
2
海里小时
D．342 海里小时
解析：选A 如图所示，在△PMN中，
PM
sin 45°
＝
MN
sin 120°
，

∴MN＝
6 8×3
2
＝346，∴v＝
MN
4
＝
17
2
6 (海里小时)．


5.如图，甲船以每小时302 海里的速度向正北方向 航行，乙船按固
定方向匀速直线航行，当甲船位于A
1
处时，乙船位于甲船的北偏西1 05°
方向的B
1
处，此时两船相距20海里；当甲船航行20分钟到达A
2
处时，
乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B
2
处，此时两船相距102 海里，
则乙船每小时航行( )
A．102 海里 B．202 海里
C．30海里 D．302 海里
解析：选D 如图，连接A
1
B
2
，在△A
1
A
2
B
2
中，
易知∠A
1
A
2
B
2
＝60°，
又易求 得A×
1
1
A
2
＝302
3
＝102＝A
2
B
2
，

∴△A
1
A
2
B
2
为正三角形，∴A
1
B
2
＝10 2.
在△A
1
B
1
B
2
中，易知∠B
1
A
1
B
2
＝45°，
∴B
1
B
2
2
＝400＋200－2×20×102×
2
＝200，
2
∴B
1
B
2
＝102，∴乙船每小时航行302 海里．
二、填空题
6．某人从A处出发，沿北偏东60°行走33 km到B处，再沿正东方向行走2 km到C
处，则A，C两地距离为________km.
解析：如图所示，由题意可知AB＝33，
BC＝2，∠ABC＝150°.

由余弦定理，得
AC
2
＝27＋4－2×33×2×cos 150°＝49，AC＝7.
则A，C两地距离为7 km.
答案：7
7．(四 川高考)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，
此时气球的高 是46 m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个
位．参考数 据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈ 0.80，3≈1.73)

解析：过A作BC边上的高AD，D为垂足．
在Rt△ACD中，AC＝92，

在△ABC中，由正弦定理，
得BC＝
92
×sin∠BAC＝×sin 37° ≈
sin 67°
sin∠ABC
AC
92
×0.60＝60(m)．
0.92
答案：60
8．某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°方向航行30 n mile后，看
见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离为________ n mile.

解析：如图所示，B是灯塔，A是船的初始位置，C是船航行后的位置，
则BC⊥AD，∠DAB＝30°，
∠DAC＝60°，则在Rt△ACD中，
DC＝ACsin ∠DAC＝30sin 60°＝153 n mile，
AD＝ACcos ∠DAC＝30cos 60°＝15 n mile，
则在Rt△ADB中，
DB＝ADtan∠DAB＝15tan 30°＝53 n mile，
则BC＝DC－DB＝153－53＝103 n mile.
答案：103
三、解答题
9．某地电信局信号转播塔建在一山坡上，如图所示，施工人员欲在山坡上A，B 两点处
测量与地面垂直的塔CD的高，由A，B两地测得塔顶C的仰角分别为60°和45°，又知AB
的长为40 m，斜坡与水平面成30°角，求该转播塔的高度．

解：如图所示，由题意，得
∠ABC＝45°－30°＝15°，

∠DAC＝60°－30°＝30°.
∴∠BAC＝150°，∠ACB＝15°，
∴AC＝AB＝40 m，∠ADC＝120°，∠ACD＝30°，
在△ACD中，由正弦定理，得
sin∠CAD
CD＝·AC
sin∠ADC
＝
＝
sin 30°
·40
sin 120°
403
(m)．
3
403
故转播塔的高度为m.
3
10．某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40 m后，望见塔在东北方向，若沿途测
得塔的最大仰角为30°，求塔高．

解：设B为塔正东方向一点，AE为塔，沿南偏西60°行走40 m后到达C处，
即BC＝40，
且∠CAB＝135°，
∠ABC＝30°，
如图在△ABC中，
BC
＝，
sin∠ABCsin∠CAB
即
AC
40
＝，
sin 30°sin 135°
AC
∴AC＝202.由点A向BC作垂线AG，此时仰角∠AGE最大等于30°.
在△ABC中，
∠ACB＝180°－135°－30°＝15°

AG＝ACsin15°＝202 sin 15°
＝10(3－1)．
103－3
∴AE＝AG·tan 30°＝.
3
103－3
即塔高为 m.
3

11．甲船在A处 观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处，两船相距a海里，乙船正向
北行驶，若甲船速度是乙船速度 的3倍，问：甲船应往什么方向前进才能在最短时间内追上
乙船？此时乙船行驶多少海里？
解：设甲沿直线与乙船同时到达C点，
则A，B，C构成一个△ABC，
如图，设乙船速度为v，

则甲船速度为3v，到达C处用时为t.
由题意BC＝vt，AC＝3vt，∠ABC＝120°.
在△ABC中，
由余弦定理得
AC
2
＝AB
2
＋BC
2
－2AB·BC·cos 120°，
∴3v
2
t
2
＝a
2
＋v
2
t
2
＋avt.
a
∴2v
2
t
2
－avt－a
2
＝0，解得vt＝－(舍)或vt＝a.
2
∴BC＝a.
在△ABC中AB＝BC＝a，
∴∠BAC＝∠ACB＝30°.
答：甲船应往北偏东30°的方向去追乙，此时乙船行驶a海里．

12．A，B，C是一条直路上的三点，AB＝BC＝1 km，从这三点分别遥望一座电视发射
塔P，在A处看见塔在东北方向，在B处看见塔在正东方向，在C处看见塔在南偏东60°方
向，求塔 到直路的距离．
解：如图所示，过C、B、P分别作CM⊥l、BN⊥l、PQ⊥l，垂足分
别为M、N、Q.
设BN＝x，
即PQ＝x，PA＝2x，
∵AB＝BC，
∴CM＝2BN＝2x，
PC＝2PQ＝2x.
在△PAC中，由余弦定理得：
AC
2
＝PA
2
＋PC
2
－2PA·PC·cos 75°，
即4＝2x
2
＋4x
2
－42x
2
·< br>6－2
4
，
解得x
2
＝
24＋3
13
.
过P作PD⊥AC，垂足为D.
则线段PD的长为塔到直路的距离．
∵sin ∠BAN＝x，cos ∠BAN＝1－x
2
，
∴sin ∠CAP＝sin(135°－∠BAN)＝
2
2
(x＋1－x
2
)
PD＝APsin ∠CAP＝x(x＋1－x
2
)
＝x
2
＋x
2
1－x
2

＝
8＋238＋235－2
13
＋
13
×
3
13

＝
8＋2328－638＋233 3－17＋53
13
＋
13
＝
13
＋
13
＝
13
.
答：塔到直路的距离为
7＋53
13
km.

1.2.2 正、余弦定理在三角形中的应用

三角形的面积公式
[提出问题]
在△ABC中，若AC＝3，BC＝4，C＝60°.

问题1：△ABC的高AD为多少？
提示：AD＝AC·sin C＝3×sin 60°＝
问题2：△ABC的面积为多少？
1133
提示：S
△
ABC
＝BC·AD＝×4×＝33.
222
问题3：若AC＝b，BC＝a，你发现△ABC的面积S可以直接用a，b，C表示吗？
1
提示：能．S＝absin C.
2
[导入新知]
三角形的面积公式
1
(1)S＝a·h(h表示a边上的高)．
2
aa
111
(2)S＝absin C＝bcsin A＝acsin
222
[化解疑难]
11
三角形的面积公式S＝absin C与原来的面积公式 S＝a·h(h为a边上的高)的关系为：
22
h＝bsin C，实质上bsin C就是△ABC中a边上的高．
B.
33
.
2

三角形的面积计算
[例1] 在△ABC中，已知C＝120°，AB＝23，AC＝2，求△ABC的面积．
ABAC
[解] 由正弦定理知
＝，
sin Csin B

即
2321
＝，所以sin B＝，
sin 120°sin B2
由于AB＞AC，
所以C＞B，故B＝30°.
从而A＝180°－120°－30°＝30°.
所以△ABC的面积
1
S＝AB·AC·sin A
2
1
＝·23·2·sin 30°
2
＝ 3.
[类题通法]
1．求三角形面积时，应先根据题目给 出的已知条件选择最简便、最快捷的计算方法，
这样不仅能减少一些不必要的计算，还能使计算结果更加 接近真实值．
111
2．事实上，在众多公式中，最常用的公式是S
△
AB C
＝absin C＝bcsin A＝acsin B，即
222
给出三角形的两边 和夹角(其中某边或角需求解)求三角形面积，反过来，给出三角形的面积
利用上述公式也可求得相应的 边或角，应熟练应用此公式．
[活学活用]
1．在△ABC中，若A＝60°，b＝16， S
△
ABC
＝643，则c＝________.
1
解析：由已知得S
△
ABC
＝·bc·sin A，
2
1
即643＝×16×c×sin 60°，解得c＝16.
2
答案：16
2．在△ABC中，若a＝3，b＝2，c＝4，则其面积等于________．
b
2
＋c
2
－a
2
4＋16－9
11
解析：由余弦 定理得cos A＝＝＝，
2bc
2×2×4
16
所以sin A＝
315
1－cos
2
A＝，
16
11315315
于是S
△
ABC
＝bcsin A＝×2×4×＝.
22164

答案：
315

4
三角形中的恒等式证明问题
[例2] 在△ABC中，求证：
a－ccos B
sin B
＝.
b－ccos A
sin A
ca
2
＋c
2
－b
2
< br>a－
2ac
[证明] 法一：左边＝

cb
2
＋c
2
－a
2

b－
2bc
a
2
－c
2
＋b
2
2b
＝·
222

2a
b－c＋a
b2Rsin Bsin B
＝
a
＝＝＝右边，
2Rsin Asin A
其中R为△ABC外接圆的半径．
a－ccos B
sin B
∴＝.
b－ccos A
sin A
sin A－sin Ccos B
法二：左边＝
sin B－sin Ccos A
sin B＋C－sin Ccos B
＝
sin A＋C－sin Ccos A
＝
sin Bcos Csin B
＝＝右边，(cos C≠0)
sin Acos Csin A
a－c·cos B
sin B
∴＝.
sin A
b－c·cos A
[类题通法]
解决此类问题，既要用到三角形中特有的恒等变 形公式，又要用到任意角三角函数的恒
等变形公式，两者要结合，灵活运用．三角形边和角的相互转换公 式，主要是正弦定理、余
弦定理这两个定理，因此这类题型都可用不同的途径求解．
[活学活用]
cos Bcos A

ab
在△ABC中，角A， B，C所对的边分别为a，b，c，求证：
b
－
a
＝c


b
－
a

.
证明：由余弦定理的推论得

a
2
＋c
2
－b
2
b< br>2
＋c
2
－a
2
cos B＝，cos A＝，
2ac2bc
代入等式右边，得

a
2
＋c
2< br>－b
2
b
2
＋c
2
－a
2

右边＝c



2abc
－
2abc

2a
2
－2b
2
a
2
－b
2
ab
＝＝＝－＝左边，
abba
2ab
cos Bcos A

ab
－
a
. ∴－＝c


ba

b
三角形中的综合问题
[例3] (浙江高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＋c＝
2acos B.
(1)证明：A＝2B；
a
2
(2)若△ABC的面积S＝，求角A的大小．
4
[解] (1)证明：由正弦定理得sin B＋sin C＝2 sin Acos B，故2sin Acos B＝sin B＋sin(A
＋B)
＝sin B＋sin Acos B＋cos Asin B，
于是 sin B＝sin(A－B)．
又A，B∈(0，π)，故0＜A－B＜π，
所以B＝π－(A－B)或B＝A－B，
因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B.
a
2
1
a
2
11
(2)由S＝得absin C＝，故有sin Bsin C＝sin A＝ sin 2B＝sin Bcos B.
42422
因为 sin B≠0，所以 sin C＝cos B.
π
又B，C∈(0，π)，所以C＝±B.
2
ππ
当B＋C＝时，A＝；
22
ππ
当C－B＝时，A＝.
24
ππ
综上，A＝或A＝.
24

[类题通法]
解决三角形的综合问题，除灵活运用正弦、余弦定理及三角形的有关知识外，一般还要< br>用到三角函数、三角恒等变换、方程等知识．因此，掌握正弦、余弦定理，三角函数的公式
和性质 是解题关键．
[活学活用]
已知a，b，c是△ABC中角A，B，C的对边，S是△AB C的面积．若a＝4，b＝5，S
＝53，求c.
1
解：∵S＝absin C，
2
1
∴53＝×4×5sin C，
2
∴sin C＝
3
.
2
而0°又c
2
＝a
2
＋b
2
－2abcos C， ∴当C＝60°时，c
2
＝4
2
＋5
2
－2×4×5c os 60°＝21，
∴c＝21.
当C＝120°时，c
2
＝4
2
＋5
2
－2×4×5cos 120°＝61，
∴c＝61，故c的长为21或61.

2.破解多边形中的几何问题

1
[典例] (12分)如图，在四边形AB CD中，AC＝CD＝AB＝1，
2
―→―→
AB·AC＝1，
3
sin∠BCD＝.
5
(1)求边BC的长；
(2)求四边形ABCD的面积．
[解题流程]

[规范解答]
1
(1)∵AC＝CD＝AB＝1，
2
―→―→―→―→
∴AB·AC＝|AB|·|AC|·cos∠BAC＝
[名师批注]
―→―→
向量数量积运算公式易用错，在△ABC中，AB和AC夹角 有时误认为是∠ABC，从而
不得分．
2cos∠BAC＝1，
1
∴cos∠BAC＝，∴∠BAC＝60°.(3分)
2
在△ABC中，由余弦定理有：
1
BC
2
＝AB
2
＋AC
2
－2AB·AC·cos∠BAC＝2
2
＋1
2
－2×2×1×＝3，∴BC＝3.(6分)
2
(2)由(1)知，在△ABC中 有：AB
2
＝BC
2
＋AC
2
，
∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，(7分)

∴S
1< br>2
·AC＝
1
2
×3×1＝
3
△
ABC＝BC
2
.(8分)
又∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝90°＋∠ACD，
sin∠BCD＝
33
5
，∴cos∠ACD＝
5
，(9分 )
[名师批注]
利用了诱导公式求cos∠ACD，求解时对取正负号要特别注意. ∴sin∠ACD＝1－cos
2
∠ACD＝
4
5
，(10分)
∴S
1142
△
ACD
＝
2
AC·CD·sin∠ ACD＝
2
×1×1×
5
＝
5
.(11分)
∴S
32
4＋5
四边形
ABCD
＝S
△
ABC
＋S
△
ACD
＝
2
＋
5
＝
3
10
.(12分)
[活学活用]
在△ABC中，AB＝2，cos C＝
27
7
，D是AC上一点，AD＝2DC，
且cos∠DBC＝
57
14
.
求：(1)∠BDA的大小；(2)
―
AD
→
·
―
CB
→
.
解：(1)由已知cos∠DBC＝
57
14
，
cos C＝
27
7
，从而知sin∠DBC＝
21
14
，
sin C＝
21
7
，
∴cos∠BDA＝cos(∠DBC＋∠C)
＝
57
14
×27
7
－
21
14
×
21
7
＝
1
2
，
∴∠BDA＝
π
3
.
(2)设DC＝x，则AD＝2x，AC＝3x，设BC＝a，
则在△DBC中，由正弦定理 得
xa
sin∠DBC
＝
sin∠BDC
，
∴a＝7x.
在△ABC中，由余弦定理得

27
4＝(3x)
2
＋(7x)
2
－2·3x·7x·.
7
―→―→―→
解得x＝1，∴|AC|＝3，|AD|＝2，|BC|＝7.
―→―→―→―→
∴AD·CB＝|AD|·|CB
|cos(π－C)

27

＝－4. ＝2×7×
－

7


[随堂即时演练]
3
1．已知△ABC的面积为，且b＝2，c＝ 3，则A的大小为( )
2
A．60°或120°
C．120°
B．60°
D．30°或150°
131
解析：选A 由S
△
ABC
＝bcsin A得＝×2×3×sin A，
222
所以sin A＝
3
，故A＝60°或120°，故选A.
2
ACcos B
＝，则( )
AB
cos C
B．A＝B
D．以上都不正确
2．在△ABC中，若
A．A＝C
C．B＝C
ACsin Bcos B
解析：选C ∵
AB
＝＝，
sin Ccos C
∴sin Bcos C＝cos Bsin C.
∴sin(B－C)＝0.
又∵－π＜B－C＜π，
∴B－C＝0，即B＝C.
3．等腰△ABC中，顶角A＝120°，腰长AB＝1，则底边BC长为________．
BC
1
解析：易知B＝C＝30°，由正弦定理知：＝，
sin 120°sin 30°
∴BC＝3.
答案：3
4．三角形的两边分别为3 cm,5 cm，它们所夹角的余弦值为方程5x
2
－7x－6＝0的根，
则这个三角 形的面积为________cm
2
.

解析：方程5x
2< br>－7x－6＝0的两根为x2，x
3
1
＝
2
＝－
5< br>，
因此两边夹角的余弦值等于－
3
5
，
并可求得正弦值为
4
5
，
于是三角形面积
S＝
1
2
×3×5×
4
5
＝6(cm
2
)．
答案：6
5．在△ABC中，若B＝30°，AB＝23，AC＝2，求△ABC的面积．
解：∵AB＝23，AC＝2，B＝30°，
∴根据正弦定理，有
1
sin C＝
AB·sin B
23×
2
3
AC
＝
2
＝
2
，
又∵AB＞AC，
∴C＞B，则C有两解，
①当C为锐角时，C＝60°，A＝90°，
∴S＝
1
△
ABC
2
AB·ACsin A＝23.
②当C为钝角时，C＝120°，A＝30°，
∴S
1
△
ABC
＝
2
AB·ACsin A＝3.
综上可知，△ABC的面积为23或3.
[课时达标检测]
一、选择题
1．在△ABC中，已知AB＝2，BC＝5，△ABC的面积为4，若∠ABC＝θ，则cos θ是(
A.
3
5
B．－
3
5

C．±
3
5
D．±
4
5

解析：选C ∵S＝
1
△
ABC
2
AB·BCsin∠ABC

)

1
＝×2×5×sin θ＝4，
2
4
∴sin θ＝.
5
3
又θ∈(0，π)，∴cos θ＝±1－sin
2
θ＝±.
5
2．在△ABC中，已知A＝30°，a＝8，b＝83，则△ABC的面积为( )
A．323 B．16
C．323或16 D．323或163
解析：选D 在△ABC中，由正弦定理
a
sin A
＝
b
sin B
，得
8
1
sin B＝
bsin A
3×
2
3
a
＝
8
＝
2
，
又b＞a，∴B＝60°或120°.
当B＝60°时，C＝180°－30°－60°＝90°，
∴S
1
△
ABC
＝
2
×8×83＝323；
当B＝120°时，C＝180°－30°－120°＝30°，
∴S＝
1
2
absin C＝
1
2
×8×83×< br>1
△
ABC
2
＝163.
3．在△ABC中，A＝60°， AB＝2，且S
3
△
ABC
＝
2
，则边BC的长为(
A.3 B．3
C.7 D．7
解析：选A ∵S
13
△
ABC
＝
2
AB·ACsin A＝
2
，
∴AC＝1，由余弦定理可得
BC
2
＝AB
2
＋AC
2
－2AB·ACcos A
＝4＋1－2×2×1×cos 60°＝3.
即BC＝3.
4．△ABC的周长为20，面积为103，A＝60°，则BC的边长等于(
A．5 B．6
C．7 D．8
)
)

解析：选C 如图，由题意得
a＋b＋c＝20， ①


1
＝103， ②

2
bcsin 60°

. ③

a＝b＋c－2bccos 60°
222


由②得bc＝40，
由③得a
2
＝b
2
＋c
2
－bc＝(b＋c)
2
－3bc
＝(20－a)
2
－3×40，∴a＝7.
5．某人从出发点A向正东走x m后到B，向左转150°再向前走3 m到C，测得△ABC
33
2
的面积为 m，则此人这时离开出发点的距离为( )
4
A．3 m B.2 m
C．23 m D.3 m
1
解析：选D 在△ABC中，S＝AB×BCsin B，
2
331
∴＝×x×3×sin 30°，∴x＝3.
42
由余弦定理，得
AC＝
＝
AB
2
＋BC
2
－2AB×BC×cos B
3＋9－9＝ 3 (m)．
二 、填空题
1
6．△ABC的两边长 分别为2,3，其夹角的余弦值为，则其外接圆的半径为________．
3
1
解析：不妨设b＝2，c＝3，cos A＝，
3
则a
2
＝b
2
＋c
2
－2bc·cos A＝9，∴a＝3.
又∵sin A＝
22
1－cos
2
A＝，
3

a
392
∴外接圆半径为R＝＝＝.
2sin A8
22
2·
3
答案：
92

8
7．一艘船以4 kmh的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2
kmh，则经过3 h，该船实际航程为________km.
解析：如图所示，在△ACD中，
AC＝23，CD＝43，∠ACD＝60°，

1
∴AD
2
＝12＋48－2×23×43×＝36，
2
∴AD＝6，即该船实际航程为6 km.
答案：6
8．在△ABC中 ，a＝b＋2，b＝c＋2，又知最大角的正弦等于
解析：由题意知a边最大，sin A＝
∴ A＝120°，∴a
2
＝b
2
＋c
2
－2bccos A.
∴a
2
＝(a－2)
2
＋(a－4)
2
＋(a－2 )(a－4)．
∴a
2
－9a＋14＝0，a＝2(舍去)，a＝7.
∴b＝a－2＝5，c＝b－2＝3.
答案：a＝7，b＝5，c＝3
三、解答题
7
9．在△ABC中，若c＝4，b＝7，BC边上的中线AD的长为，求边长a.
2
解：∵AD是BC边上的中线，
3
，
2
3
，则三边长为________．
2

∴可设CD＝DB＝x，则CB＝a＝2x.

7
∵c＝4，b＝7，AD＝，
2
7

2
72
＋x
2
－


2

在△ACD中， 有cos C＝，
2×7×x
7
2
＋2x
2
－42
在△ABC中，有cos C＝，
2×7×2x
49
2
49 ＋x
2
－
4
49＋4x－16
∴＝，
14x28x
9
解得x＝.∴a＝2x＝9.
2
a
2－b
2
sinA－B
10．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a ，b，c.求证：
2
＝.
csin C
证明：法一：由余弦定理a
2
＝b
2
＋c
2
－2bccos A，
b
2
＝a
2
＋c
2
－2accos B，
得a
2
－b
2
＝b
2
－a
2
＋2c(a cos B－bcos A)，
即a
2
－b
2
＝c(acos B－bcos A)，
a
2
－b
2
acos B－bcos A
ababc
变形得
2
＝＝cos B－cos A，由正弦定理＝＝
ccc
csin Asin Bsin C
asin Absin B
得
c
＝，＝，
sin C
c
sin C
a
2
－b
2
sin Acos B－sin Bcos A
∴
2
＝
csin C
sinA－B
＝.
sin C
sinA－Bsin Acos B－cos Asin B
法二：＝
sin Csin C
＝
sin Asin B
cos B－cos A，
sin Csin C
abc
由正弦定理＝＝，
sin Asin Bsin C
sin Aasin Bb
得：＝，＝，
sin C
c
sin C
c
由余弦定理推论得，

a
2
＋c
2
－b
2
b
2
＋c
2< br>－a
2
cos B＝，cos A＝，
2ac2bc
代入上式得 < br>sinA－B
a
a
2
＋c
2
－b
2b
b
2
＋c
2
－a
2
＝
c
· －
c
·
sin C2ac2bc
a
2
＋c
2－b
2
b
2
＋c
2
－a
2
＝－ 2c
2
2c
2
2a
2
－b
2
a< br>2
－b
2
＝＝
2
.
2c
2
c
∴原等式成立．

11．(全国甲卷) △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos B＋
bcos A)＝c.
(1)求C；
(2)若c＝7，△ABC的面积为
解：(1)由已知及正弦定理得
2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin C，
即2cos Csin(A＋B)＝sin C，
故2sin Ccos C＝sin C.
1
π
可得cos C＝，所以C＝.
23
133
(2)由已知得absin C＝.
22
π
又C＝，所以ab＝6.
3
由已知及余弦定理得a
2
＋b
2
－2abcos C＝7，
故a
2
＋b
2
＝13，从而(a＋b)
2
＝25.
所以△ABC的周长为5＋7.
cos A－2cos C2c－a
12．在△AB C中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知＝
b
.
cos B
(1)求
sin C
的值；
sin A
33
，求△ABC的周长．
2

1
(2)若cos B＝，b＝2，求△ABC的面积．
4
解：(1)由正弦定理得a＝2Rsin A，
b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，
cos A－2cos C2c－a2sin C－sin A
所以＝
b
＝，
cos Bsin B
即sin Bcos A－2sin Bcos C＝2sin Ccos B－sin A cos B，
即有sin(A＋B)＝2sin(B＋C)，
sin C
即sin C＝2sin A，所以＝2.
sin A
csin C
222
(2)由(1)知：＝＝2 ，即c＝2a，又因为b＝2，所以由余弦定理得：b＝c＋a－2accos
a
sin A
1115
B，即2
2
＝4a
2
＋a
2
－2 a×2a×，解得a＝1，所以c＝2.又因为cos B＝，所以sin B＝.
444
111515
故△ABC的面积为acsin B＝×1×2×＝.
2244


(A卷 学业水平达标)
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分 ，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的)
1．在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是( )
A．直角三角形
C．等腰直角三角形
解析：选A 由题意有
三角形．
2．在△ABC中，B＝45°，C＝60°，c＝1，则最短边的边长等于( )
A.
6

3
B.
D.
6

2
3

2
B．等腰三角形
D．等边三角形
ab
＝b＝，则sin B＝1，即角B为直角，故△ABC是直角
sin Asin B
1
C.
2
解析：选A ∵A＝180°－45°－60°＝75°，

∴A＞C＞B，
∴边b最短．
由
bc
＝得
sin Bsin C
csin B
sin 45°6
b＝＝＝.
sin C sin 60°3
3．在△ABC中，A＝60°，a＝6，b＝4，那么满足条件的△ABC( )
A．有一个解
C．无解
B．有两个解
D．不能确定
3
＝23.
2
解析：选C bsin A＝4×sin 60°＝4×
又a＝6，且6＜23，故△ABC无解．
4．若三角形三边长如下：①4,6 ,8；②10,24,26；③10，12,14.其中分别为锐角三角形、
直角三角形、钝角三角形的 是( )
A．①②③
C．②③①
B．③②①
D．③①②
解析：选B 利用余弦定理，计算最大边所对角的余弦值，判断最大角是钝角、直角或
锐角即可．
―→―→
5．△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，CA＝6，则AB·BC的值为( )
A．19
C．－18
B．14
D．－19
解析：选D 在△ABC中，由余弦定理得
AB
2
＋BC
2
－AC
2
49＋25－36
19
cos B＝＝＝.
2AB·B C35
2×7×5
19
―→―→―→―→
∴AB·BC＝－|AB||BC| cos B＝－7×5×＝－19.
35
6．若△ABC的内角A，B，C满足6sin A＝4sin B＝3sin C，则cos B等于( )
A.
15

4
3
B.
4
11
D.
16
315
C.
16
解析：选D 依题意，结合正弦定理得6a＝4b＝3c，
设3c＝12k(k＞0)，则有a＝2k，b＝3k，c＝4k，

由余弦定理得
a
2
＋c
2
－b
2
2k 
2
＋4k
2
－3k
2
11
cos B＝＝＝.
2ac16
2×2k×4k
7．已知△ABC的内角A，B，C的对边分 别为a，b，c，且
于( )
π
A.
6
π
C.
3
π
B.
4
3π
D.
4
c－b
sin A
＝，则B等
c－asin C＋sin B
解析：选C 由正弦定理得(c－b)(c＋b)＝(c－a)a，即c
2
＋a2
－b
2
＝ac,2accos B＝ac，cos
1
B＝.
2
π
又03
8．已知圆的半径为4，a，b ，c为该圆的内接三角形的三边，若abc＝162，则三角形
的面积为( )
A．22
C.2
B．82
D.
2

2
abc
解析：选C ∵＝＝＝2R＝8，
sin Asin Bsin C
cabc
1621
∴sin C＝，∴S
△
ABC
＝absin C＝＝＝2.
821616
4
9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B＝2A，a＝1，b＝，则△ABC3
是( )
A．锐角三角形
C．钝角三角形
B．直角三角形
D．不能确定
4
3
1
解析：选C 由正弦定理得＝，
sin Asin 2A
21
则cos A＝，从而cos B＝cos 2A＝2cos
2
A－1＝－＜0，所以角B为钝角，△ABC是钝
39
角三角形．
π
1
10．(全国丙卷)在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cos A＝( )
43

31010
A. B.
1010
C．－
10

10
D．－
310

10
解析：选C 法一：设△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
111
则由题意得S
△
ABC
＝a·a＝acsin B，
232
∴c＝
2
a.由余弦定理得
3
222
b＋ c－a
22255
b
2
＝a
2
＋c
2
－2 accos B＝a
2
＋a
2
－2×a×a×＝a
2
，∴b ＝a.∴cos A＝
932932bc
5
2
2
2
a＋a －a
2
99
10
＝＝－.故选C.
10
52
2× a×a
33
11
π
法二：如图，AD为△ABC中BC边上的高．设BC＝a ，由题意知AD＝BC＝a，B＝，
334
12
易知BD＝AD＝a，DC＝a.
33

在Rt△ABD中，由勾股定理得，
AB＝

1
a

2
＋

1
a

2
＝
2
a.

3

3

3
同理，在Rt△ACD中，
AC＝

1
a

2
＋

2a

2
＝
5
a.

3

3

3
5
2
2
2
a＋a－a
2
9 9
10
∴cos A＝＝－.
10
52
2×a×a
33< br>11．已知锐角三角形的三边长分别为1,3，a，那么a的取值范围为( )
A．(8,10)
C．(22，10)
B．(22，10)
D．(10，8)
解析：选B 设1,3，a所对的角分别为C，B，A，
由余弦定理知a
2
＝1
2
＋3
2
－2×3cos A＜1
2
＋3
2
＝10,3
2
＝1＋a
2
－2×acos B＜1＋a
2
，

∴22＜a＜10.
12．江岸边有一炮台高30米，江中有两条船，在炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，
而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距( )
A．103 米
C．2030 米
B．1003 米
D．30米
解析：选D 设炮台 顶部为A，两条船分别为B，C，炮台底部为D，可知∠BAD＝45°，
∠CAD＝60°，∠BDC ＝30°，AD＝30.分别在Rt△ADB，Rt△ADC中，求得DB＝30，DC＝303.
在△ DBC中，由余弦定理得BC
2
＝DB
2
＋DC
2
－2DB ·DCcos 30°，解得BC＝30.故选D.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中的横线上)
13．在△ABC中，已知b＝503，c＝150，B＝30°，则边长a＝________.
解析：由余弦定理得a
2
＋c
2
－2accos 30°＝b
2
，
∴a
2
－1503a＋15 000＝0.
解得a＝1003或503.
答案：1003或503
14．△ABC为钝角三角 形，且C为钝角，则a
2
＋b
2
与c
2
的大小关系为___ _____．
a
2
＋b
2
－c
2
解析：cos C＝，∵C为钝角，
2ab
∴cos C<0，∴a
2
＋b
2
－c
2
<0，
故a
2
＋b
2
2
.
答案：a
2
＋b
2
2

15．△AB C的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝
(b－a，c－ a)，若p∥q，则C的大小为________．
解析：∵p∥q，∴(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0.
整理得，c
2
＝a
2
＋b
2
－ab.
∵c
2
＝a
2
＋b
2
－2abcos C，
1
π
∴cos C＝.即C＝.
23
π
答案：
3
16．在△ABC中，D为BC边上一点，BC＝3BD，AD＝2，∠ADB＝135°.若AC＝ 2

AB，则BD＝________.

解析：如图所示 ，设AB＝a，AC＝2a，BD＝k，DC＝2k，在△ABD与△ADC中分别运
用余弦定理有 < br>22


a＝k＋2＋2k，

2
解得k
2
－4k－1＝0⇒k＝2＋5.
2


2a＝4k＋2－4k，

答案：2＋5
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演
算步骤) 17．(本小题满分10分)在△ABC中，已知a＝23，b＝6，A＝30°，求B及S
△ABC
.
解：在△ABC中，由正弦定理，
b
613
得sin B＝sin A＝×＝.
a
23
22
又A＝30°，且a＜b，∴B＝60°或B＝120°.
①当B＝60°时，C＝90°，△ABC为直角三角形，
1
故S
△
ABC
＝ab＝63.
2
②当B＝120°时，C＝30°，△ABC为等腰三角形，
11
故S
△
ABC
＝absin C＝×23×6sin 30°＝33.
22
18．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别 为a，b，c，已知a＝2，
3
c＝5，cos B＝.
5
(1)求b的值；
(2)求sin C的值．
解：(1)由余弦定理得 b
2
＝a
2
＋c
2
－2accos B
3
＝4＋25－2×2×5×＝17，所以b＝17.
5
34
(2)因为cos B＝，所以sin B＝，
55
bc
175
由正弦定理＝，得＝，
sin Bsin C4sin C
5

所以sin C＝
417
. < br>17
19．(本小题满分12分)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，as in A＋csin
C－2asin C＝bsin B.
(1)求B；
(2)若A＝75°，b＝2，求a，c.
解：(1)由正弦定理得a
2
＋ c
2
－2ac＝b
2
.
由余弦定理得b
2
＝a
2
＋c
2
－2accos B.
故cos B＝
2
，因此B＝45°.
2
(2)因为sin A＝sin(30°＋45°)
＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°
＝
2＋6
，
4
C＝180°－(45°＋75°)＝60°，
2＋6
sin A
故a＝b·＝＝1＋3，
sin B
2
sin C
sin 60°
c＝b·＝2×＝6.
sin Bsin 45°
20．(本小题满分12分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b， c，且a＋b
＋c＝8.
5
(1)若a＝2，b＝，求cos C 的值；
2
9
(2)若sin A＋sin B＝3sin C，且△ABC的面积S＝sin C，求a和b的值．
2
7
解：(1)由题意可知c＝8－(a＋b)＝.
2
由余弦定理得
2

5

2

7

2
2＋－
a＋b－c

2

2
1
cos C＝＝＝－.
2ab55
2×2×
2
222
(2)∵sin A＋sin B＝3sin C，
由正弦定理可知a＋b＝3c.

又因a＋b＋c＝8，故a＋b＝6.
19
由于S＝absin C＝sin C，
22
所以ab＝9，从而a
2
－6a＋9＝0，解得a＝3，b＝3. 21．(本小题满分12分)为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要
求在考 点周围1 km内不能收到手机信号．检查员抽查青岛市一考点，在考点正西约3 km
处有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以12 kmh的速度沿公路< br>行驶，最长需要多少时间，检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？
解：如图所示，考点为A，检查开始处为B，设公路上C，D两点到考点的距离为1 km.

在△ABC中，AB＝ 3，AC＝1，∠ABC＝30°，
由正弦定理，得sin∠ACB＝
ABsin 30°
3
AC
＝
2
，
∴∠ACB＝120°(∠ACB＝60°不合题意)，
∴∠BAC＝30°，∴BC＝AC＝1.
在△ACD中，AC＝AD，∠ACD＝60°，
∴△ACD为等边三角形，
BC
∴CD＝1.∵×60＝5，
12
∴在BC上需要5 min，CD上需要5 min.
答：最长需要5 min检查员开始收不到信号，并持续至少5 min才算合格．
22．(本小题满分12分)已知函 数f(x)＝
(1)求函数f(x)的最小值和最小正周期；
(2)设△ABC的内角A、B 、C的对边分别为a、b、c且c＝7，f(c)＝0，若向量m＝(1，
sin A)与向量n＝(3，sin B)共线，求a，b的值．
解：(1)f(x)＝
31
sin2x－cos 2x－1
22
31
sin 2x－(cos
2
x－sin
2
x)－1.
22
π
2x－

－1， ＝sin

6


π
2x－

＝－1时，f(x)
min
＝－2. 当sin

6

∴最小正周期为T＝π.
π
2C－

－1＝0， (2)f(C)＝sin

6
π
2C－

＝1. ∴sin

6

ππ11π
∵0＜C＜π，∴－＜2C－＜，
666
πππ
∴2C－＝，∴C＝.
623
∵m∥n，∴sin B－3sin A＝0，
∴b－3a＝0.①
∵c
2
＝a
2
＋b
2
－2ab·cos C，c＝7，
∴7＝a
2
＋b
2
－ab②
由①，②知：a＝1，b＝3.

(B卷 能力素养提升)
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分 ，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的)
1．在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asin B＝3b，则角A等于( )
π
A.
3
π
C.
6
π
B.
4
D.
π

12
3
，因为三角形为锐角△
2
解析：选A 由正弦定理得2sin Asin B＝3sin B，即sin A＝
π
ABC，所以A＝.
3
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c.若asin A＋bsin B－csin C＝3
asin
π
A.
6
B．则角C等于( )
π
B.
4

π
C.
3
5π
D.
6
解析：选A 因为asin A＋bsin B－csin C＝3asin B，由正弦定理可知a
2
＋b
2
－c
2
＝3
a
2
＋b
2
－c
2
3
π
ab，所以cos C＝＝，又因为02ab26
3．在△ABC中，B＝30°，b＝503，c＝150，则△ABC的形状是( )
A．等腰三角形
C．直角三角形
B．等边三角形
D．等腰或直角三角形
csin B
3
解析：选D 由正弦定理可得sin C＝
b
＝.∵b2
A＝B ＝30°.
2sin
2
B－sin
2
A
4．在△ABC中 ，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若3a＝2b，则 的
sin
2
A
值为( )
1
A.
9
C．1
1
B.
3
7
D.
2
2sin
2
B－sin
2
A

sin B

2
b

2
解析：选D 由正弦定理可得＝2

sin A

－1＝2

2

a

－1，因为3a＝2b，所
sinA
2sin
2B－sin
2
A
3

2
b
37
以a
＝，所以＝2×

－1＝.
2

2
2sinA2
5．△ABC的三边分别为a，b，c，且a＝1，B＝45°，S
△
ABC
＝2，则△ABC的外接圆的
直径为( )
A．43
C．52
B．5
D．62
1
解析：选C ∵S
△
ABC
＝acsin B，∴c＝42.
2
由余弦定理b< br>2
＝a
2
＋c
2
－2accos B＝25，∴b＝5.
b
由正弦定理2R＝＝52(R为△ABC外接圆的半径)．
sin B
6 ．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c若(a
2
＋c
2
－b
2
)tan B＝3ac，则角
B的值为( )
ππ
A. B.
63
π5ππ2π
C.或 D.或
6633

a
2
＋c
2
－b
2
解析：选D 由余弦定理得cos B＝，又因为(a
2
＋c
2
－b
2
)tan B＝3ac，所以
2ac
有cos B·tan B＝
33
π2π
，即sin B＝，所以B＝或.
2233
sin C
5
＝3，b
2
－a
2
＝ac，则cos B的值为( )
sin A2
7．在△ABC中，若
1111
A. B. C. D.
3254
sin C
517
解析：选D 因为＝3，由 正弦定理得c＝3a，又因为b
2
－a
2
＝ac，所以b
2
＝a
2
，
sin A22
22
17
2
a＋9a－a
a＋c－b
2
1
由余弦定理可知cos B＝＝＝.
2
2 ac6a4
222
8．已知等腰三角形ABC的面积为
该三角形一腰的长为( )
A.2 B.3 C．2 D.6
3
，顶角A的正弦值是底角B正弦值的 3 倍，则
2
解析：选A 依题意b＝c，sin A＝3sin B.
ab
由正弦定理＝，∴a＝3b.
sin Asin B
∴三角形底边上的高h＝
又三角形的面积为
∴b＝2.
9．在锐角△A BC中，AB＝3，AC＝4，其面积S
△
ABC
＝33，则BC＝( )
A．5 B.13或37
C.37 D.13
13
解析：选D 因为S
△
ABC
＝·AB·AC·sin A＝33，所以sin A＝，又因为△A BC是锐角
22
π
三角形，所以A＝，在△ABC中，由余弦定理可得BC
2
＝AC
2
＋AB
2
－2AB·AC·cos A＝9＋16
3
1
－2×3×4×＝13，∴BC＝13.
2
10.如图所示为起重机装置示意图，支杆BC＝10 m，吊杆AC＝15 m，
吊索AB＝519 m，起吊的货物与岸的距离AD为( )
1

2
1
b
2
－


2
a

＝
2
b.
b
331
，∴＝×3b×，
2222

A．30 m
C．153 m
153
B. m
2
D．45 m
解析：选B 在△ABC中，AC＝15 m，
AB＝519 m，BC＝10 m，
AC
2< br>＋BC
2
－AB
2
由余弦定理得cos∠ACB＝
2×AC ×BC
15
2
＋10
2
－519
2
1
＝＝－.
2
2×15×10
∴sin∠ACB＝
3
.
2
又∠ACB＋∠ACD＝180°.
∴sin∠ACD＝sin∠ACB＝
3
.
2
3153
＝ m.
22
在Rt△ADC中，AD＝AC·sin∠ACD＝15×
11．在△AB C中，若3b＝23asin B，且cos B＝cos C，则△ABC的形状是( )
A．等腰三角形
C．等腰直角三角形
B．等边三角形
D．直角三角形
解析：选A 由已知3b＝23asin B可得
ba
3
＝，根据正弦定理 知sin A＝，
sin B2
3
2
∴A＝60°或120°.又cos B＝cos C，∴B＝C.
∴A＝B＝C＝60°或A＝120°，B＝C＝30°，
所以选A项．
12.某 班设计了一个八边形的班徽(如图)，它由腰长为1，顶角为α的
四个等腰三角形，及其底边构成的正方 形所组成，该八边形的面积为
( )
A．2sin α－2cos α＋2
B．sin α－3cos α＋3
C．3sin α－3cos α＋1
D．2sin α－cos α＋1

1
解析：选A 四个等腰三角形的面积之和为4××1×1×sin α＝2sin α再由余弦定理可
2
得正 方形的边长为1
2
＋1
2
－2×1×1×cos α＝2－2cos α，故正方形的面积为2－2cos α，
所以所求八边形的面积为2sin α－2cos α＋2.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中的横线上)
13．等腰三角形的底边长为a，腰长为2a，则腰上的中线长等于________．

解析：如图，AB＝AC＝2a，BC＝a，
设BC中点为D，连结AD，
则AD⊥BC.在Rt△ABD中，
1
a
BD
2
1
cos B＝
BA
＝＝.
2a4
设AB中点为点E，连结CE，
则在△BEC中，BE＝BC＝a，
113
由余弦定理CE
2
＝CB
2
＋BE
2
－2 CB·BE·cos B＝a
2
＋a
2
－2a
2
·＝2a< br>2
－a
2
＝a
2
，
422
∴CE＝
答案：
6
a.
2
6
a
2
1
14．在△ABC中，a比c长4，b比c长2，且最大角的余弦值是－，则△A BC面积等
2
于________．
解析：由题意得：a＝c＋4，b＝c＋2，则A为最大角，
b
2
＋c2
－a
2
c＋2
2
＋c
2
－c＋4< br>2
cos A＝＝＝
2bc
2×c＋2×c
c
2
＋4c＋4＋c
2
－c
2
－8c－16c
2
－4c－12
1
＝＝－，
2
2
2cc＋22c＋4c

即c
2< br>－4c－12＝－c
2
－2c.即c
2
－c－6＝0.
解得c＝3，或c＝－2(舍)．∴a＝7，b＝5，
A＝120°.
11315 3
∴S
△
ABC
＝bcsin A＝×5×3×＝.
2224
答案：
15 3

4
π
15．△ABC的 内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2，c＝23，C＝，则b＝
3
______ __.
ac
1
ππ
解析：由正弦定理＝得sin A＝，因为asin Asin C262
＝4.
答案：4
16．某人在C点测得塔AB在南偏西80°，对塔顶A的仰角为45°，沿南偏东 40°方向前
进10 m到O，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为________．
c
2
＋a
2

解析：画出示意图，如图所示，CO＝10，∠OCD＝40°，
∠BCD＝80°，∠ACB＝45°，∠AOB＝30°，
AB⊥平面BCO.
令AB＝x，则BC＝x，BO＝3x.
在△BCO中，由余弦定理得(3x)
2< br>＝x
2
＋100－2x×10×cos(80°＋40°)，整理得x
2
－5x－
50＝0.
解得x＝10，或x＝－5(舍去)．所以塔高为10 m.
答案：10 m
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证 明过程或演
算步骤)
A－B
17．(本小题满分10分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为 a，b，c.已知4sin
2
2

＋4sin Asin B＝2＋2.
(1)求角C的大小；
(2)已知 b＝4, △ABC的面积为6，求边长 c的值．
解：(1)由已知得2[1－cos(A－B)]＋4sin Asin B＝2＋2，
化简得－2cos Acos B＋2sin Asin B＝2，
故cos(A＋B)＝－
2
.
2
3ππ
所以A＋B＝，从而C＝.
44
1
(2)因为S
△
ABC
＝absin C，
2
π
由S
△
ABC
＝6，b＝4，C＝，得a＝32. < br>4
由余弦定理c
2
＝a
2
＋b
2
－2abc os C，得c＝10.
18．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c且满足4acos B
－bcos C＝ccos B.
(1)求cos B的值；
(2)若ac＝12，b＝32，求a，c.
解：(1)∵4acos B－bcos C＝ccos B及正弦定理得
4sin Acos B－sin Bcos C＝sin Ccos B，
∴4sin Acos B＝sin(B＋C)，即4sin Acos B＝sin A，
1
∵sin A≠0，∴cos B＝.
4
(2)∵ac＝12，b＝32 及余弦定理b
2
＝a
2
＋c
2
－2accos B，
得a
2
＋c
2
＝24，由a
2
＋c
2< br>＝24及ac＝12解得a＝c＝23.
19．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B ，C所对的边分别为a，b，c.已知b
2
＋c
2
＝a
2
＋ bc.
(1)求角A的大小；
(2)如果cos B＝
6
，b＝2，求△ABC的面积．
3
解：(1)因为b
2＋c
2
＝a
2
＋bc，
b
2
＋c
2
－a
2
1
所以cos A＝＝，
2bc2

π
又因为A∈(0，π)，所以A＝.
3
(2)因为cos B＝
所以sin B＝
6
，B∈(0，π)，
3
3
.
3
1－cos
2
B＝
abbsin A
由正弦定理＝，得a＝＝3.
sin Asin Bsin B
因为b
2
＋c
2
＝a
2
＋bc，所以c
2
－2c－5＝0 ，解得c＝1±6，
因为c>0，所以c＝6＋1.
32＋3
1
故△ABC的面积S＝bcsin A＝.
22
20．(本小题满分12分)在锐角△ABC中， a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且 3
a＝2csin A.
(1)确定角C的大小；
(2)若c＝3，求△ABC周长的取值范围．
解：(1)已知a，b，c分别为角A，B，C所对的边，
由 3a＝2csin A，得 3sin A＝2sin Csin A，
又sin A≠0，则sin C＝
π2π
∴C＝或C＝，
33
∵△ABC为锐角三角形，∴C＝
π
∴C＝.
3
(2)∵c＝3，sin C＝
3
，
2
2π
舍去，
3
3
，
2
abc
3
∴由正弦定理得：＝＝＝＝2，
sin Asin Bsin C
3
2
即a＝2sin A，b＝2sin B，又A＋B＝π－C＝
∴a＋b＋c＝2(sin A＋sin B)＋3
2π2π
，即B＝－A，
33

2π
－A

＋3 ＝2

sin A＋sin

3


2π2π
sin A＋sincos A－cossin A

＋3 ＝2

33

＝3sin A＋3cos A＋3
ππ

A＋
π

＋3，
sin Acos＋cos Asin

＋3＝23·＝23

sin
66< br>
6

ππ
∵△ABC是锐角三角形，∴＜A＜，
62
∴
π
3
A＋

≤1， ＜sin
< br>
6

2
则△ABC周长的取值范围是(3＋3，33 ]．
21．(本小题满分12分)A，B，C为△ABC的三个内角，且其对边分别为a，b，c.若m
A A
AA
1
cos ，sin

，且m·＝－cos ，sin ，n＝

n＝.
22

222
(1)求角A的大小；
(2)若a＝23，三角形的面积S＝3，求b＋c的值．
AA
－cos ，sin

， 解：(1)∵m＝

22

AA
1
cos ，sin

，且m·n＝

n＝，
22

2
AA
11
∴－cos
2
＋sin
2
＝，即－cos A＝，
2222
1
2π
∴cos A＝－.又A∈(0，π)，∴A＝.
23
11
2π
(2)S
△
ABC
＝bc·sin A＝bc·sin ＝3，
223
∴bc＝4.又由余弦定理得
a
2
＝b
2
＋c
2
－2bc·cos
2π
2
＝b
2
＋
c＋bc
，
3
∴16＝(b＋c)
2
，故b＋c＝4.
22．(本小题满分1 2分)如图所示，某海岛上一观察哨A上午
11时测得一轮船在海岛北偏东60°的C处，12时20分 时测得该轮
船在海岛北偏西60°的B处，12时40分该轮船到达位于海岛正西
方且距海岛5 千米的E港口，如果轮船始终匀速直线航行，则船速
是多少？(结果保留根号)
解：轮船从点C到点B用时80分钟，从点B到点E用时20分钟，而船始终匀速航行，
由此可见，BC＝4EB.

设EB＝x，则BC＝4x，由已知得∠BAE＝30°，
在△AEC中，由正弦定理得
AE
＝，
sin∠EAC
sin C
EC
AEsin∠EAC
5sin 150°1
即sin C＝＝＝，
EC
5x2x
在△ABC中，由正弦定理得
AB
＝，
sin C
sin∠BAC
BC
1
2x
BCsin C
443
即AB＝＝＝＝.
sin 120°sin 120°
3
3
4x×
在△ABE中，由余弦定理得
BE
2
＝AE
2
＋AB
2
－2AE·ABcos 30°
1643331
＝25＋－2×5××＝，
3323
所以BE＝
31
(千米)．
3
3120
÷＝93(千米时).
360
故轮船的速度为v＝





_2.1数列的概念与简单表示法
第一课时 数列的概念与通项公式

数列的概念
[提出问题]
观察下列示例，回答后面问题

11111
(1)正整数1,2,3,4,5,6的倒数依次是1，，，，，.
23456
(2)－2的1次幂、2次幂、3次幂、4次幂依次是－2,4，－8,16. < br>(3)人们在1740年发现了一颗彗星，并推算出这颗彗星每隔83年出现一次，那么从发现
那 次算起，这颗彗星出现的年份依次为：1740,1823,1906,1989,2072，….
( 4)“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思为：一尺长的木棒，每日取其一半，永远
11111也取不完．如果将“一尺之棰”视为1份，那么每日剩下的部分依次为：，，，，，….
2481632
问题：观察上面4个例子，它们都涉及了一些数，这些数的呈现有什么特点？
提示：按照一定的顺序排列．
[导入新知]
数列的概念
(1)定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列．
(2)项：数列中的每一个数叫做这个数 列的项．a
1
称为数列{a
n
}的第1项(或称为首项)，
a
2
称为第2项，…，a
n
称为第n项．
(3)数列的表示：数列的一般形 式可以写成a
1
，a
2
，a
3
，…，a
n
，…，简记为{a
n
}．
[化解疑难]
1．数列的定义中要把握两个关键 词：“一定顺序”与“一列数”．也就是说构成数列
的元素是“数”，并且这些数是按照“一定顺序”排 列着的，即确定的数在确定的位置．
2．项a
n
与序号n是不同的，数列的项是这个 数列中的一个确定的数，而序号是指项在
数列中的位次．
3．{a
n
}与a
n
是不同概念：{a
n
}表示数列a
1
，a
2，a
3
，…，a
n
，…；而a
n
表示数列{a
n
}中
的第n项.
数列的分类
[提出问题]
问题：观察“知识 点一”中的4个例子中对应的数列，它们的项数分别是多少？这些数
列中从第2项起每一项与它前一项的 大小关系又是怎样的？
提示：数列(1)中有6项，数列(2)中有4项，数列(3)(4)中有无穷 多项；数列(1)中每一项
都小于它的前一项，数列(2)中的项大小不确定，数列(3)中每一项都大 于它的前一项，数列(4)
中每一项都小于它的前一项．
[导入新知]
数列的分类

分类标准
按项的个
数
名称
有穷数列
无穷数列
递增数列
项数有限的数列
项数无限的数列
含义
从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列
从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列
各项相等的数列
从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的
前一项的数列
按项的变
化趋势
递减数列
常数列
摆动数列
[化解疑难]
在写数列时，对于有穷数列，要把末项写出．例如，数列1,2,3,4，…， 100.表示有穷数
列．但是如果把数列写成1,2,3,4，…，100，…就表示无穷数列．
数列的通项公式
[提出问题]
问题：仍然观察“知识点一”中的4个例子，你能否 发现这些数列中，每一项与这一项
的项数之间存在着某种关系？这种关系是否可以表示为一个公式？
提示：每一项与这一项的项数间存在一定的关系，有些可用公式表示，有些不能用公式
表示．
[导入新知]
数列的通项公式
如果数列{a
n
}的第n项与序号 n之间的关系可以用一个式子来表示，那么就把这个公式
叫做这个数列的通项公式．

[化解疑难]
1．数列的通项公式实际上是一个以正整数集N
*
或它的有限 子集{1,2,3，…，n}为定义域
的函数解析式．
2．同所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式．

数列的概念及分类
[例1] 已知下列数列：
(1)0,0,0,0,0,0；
(2)0，－1,2，－3,4，－5，…；

n－1
12
(3)0，，，…，，…；
n
23
(4)1, 0.2,0.2
2,
0.2
3
，…；
n
(5)0，－1,0，…，cos
π，….
2
其中，有穷数列是 ________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是
____ ____，常数列是________，摆动数列是________．(填序号)
[解析] (1)是常数列且是有穷数列；
(2)是无穷摆动数列；

n－1
1
(3)是无穷递增数列

因为＝1－

；
nn

(4)是无穷递减数列；
(5)是无穷摆动数列．
[答案] (1) (2)(3)(4)(5) (3) (4) (1) (2)(5)
[类题通法]
判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需观察数列是有限项还是无限项． 若数列
含有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列．而判断数列的单调性，则需要从第2项起，观
察每一项与它的前一项的大小关系，若满足a
n
n
＋
1
，则是递增数列；若满足a
n
>a
n
＋
1
，则是
递减数列；若满足a
n
＝a
n
＋
1
，则是常数列；若an
与a
n
＋
1
的大小不确定时，则是摆动数列．
[活学活用]
给出下列数列：
(1)2009～2016年某市普通高中生人数( 单位：万人)构成数列
82,93,105,119,129,130,132,135.
(2)无穷多个3构成数列3，3，3，3，….
(3)－2的1次幂，2次幂，3次幂，4 次幂，5次幂……构成数列－2,4，－8,16，－32，….
(4)2精确到1,0.1,0.01,0.001，…的不足近似值与过剩近似值分别构成数列
1,1.4,1.41,1.414，…；
2,1.5,1.42,1.415，….
分别指出其中哪些是有穷数列、无穷数列、递增数列、递减数列、常数列、摆动数列．
解：有穷数列：82,93,105,119,129,130,132,135.
无穷数列：3，3，3，3，…；

－2,4，－8,16，－32，…；
1,1.4,1.41,1.414，…；
2,1.5,1.42,1.415，….
递增数列：82,93,105,119,129,130,132,135；
1,1.4,1.41,1.414，….
递减数列：2,1.5,1.42,1.415，….
常数列：3，3，3，3，….
摆动数列有：－2,4，－8,16，－32，….
由数列的前几项求通项公式
[例2] 写出下列数列的一个通项公式：
1925
(1)，2，，8，，…；
222
(2)9,99,999,9 999，…；
14916
(3)1，2，3，4，…；
251017
(4)－
1111
，，－，，….
1×22×33×44×5
149
[解] (1)数列的项，有的是分数，有的是整数 ，可将各项都统一成分数再观察：
，，，
222
n
2
1625
，，…，所以它的一个通项公式为a
n
＝(n∈N
*
)．
222
(2)各项加1后，变为10,100,1 000，10 000，…，此数列的通项 公式为10
n
，可得原数列
的通项公式为a
n
＝10
n－1.
11
2
42
2
93
2
164
2
(3)因为1＝1＋
2
，2＝2＋
2
，3＝3＋
2
，4＝4＋
2
，…，
2
1＋1
5
2＋1
10< br>3＋1
17
4＋1
所以该数列的一个通项公式为a
n
＝n＋.
n
2
＋1
n
2
(4)这个数列的前4项的绝对值都等于序号 与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数
1
项为正，所以它的一个通项公式是a
n
＝(－1)
n
.
nn＋1

[类题通法]

此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较( 比较已知数列)、
归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．这些方法的具体对 象为：①分
式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对< br>值特征；⑤化异为同．对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间
的关系 ．
[活学活用]
写出下列数列的一个通项公式：
(1)0,3,8,15,24，…；
(2)1，－3,5，－7,9，…；
2< br>2
－23
2
－34
2
－4
(3)0，，，，…；
51017
(4)1,11,111,1 111，….
解：(1)观察数列中的数 ，可以看到0＝1－1,3＝4－1,8＝9－1，15＝16－1,24＝25－1，…，
所以它的一 个通项公式是a
n
＝n
2
－1.
(2)数列各项的绝对值为1,3 ,5,7,9，…，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数
项为负，所以它的一个通项公式为a
n
＝(－1)
n
＋
1
(2n－1)．
n
2
－n
(3)因为5＝2＋1,10＝3＋1,17＝4＋1，所以数列的一个通项公式为a< br>n
＝
2
(n∈N
*
)．
n＋1
2221111
(4)原数列的各项可变为×9，×99，×999，×9 999，…，易知数列9,99,999,9 999，…
9999
1
的一个通项公式 为a
n
＝10
n
－1.所以原数列的一个通项公式为a
n
＝ (10
n
－1).
9
通项公式的简单应用
n
2
[例3] 已知数列{a
n
}的通项公式是a
n
＝
2
.
n＋1
(1)写出该数列的第4项和第7项；
(2)试判断
91
和 是否是该数列中的项，若是，求出它是第几项；若不是，说明理由．
1010
可得
n
2
＋1
n
2
[解] (1)由通项公式a
n＝
4
2
167
2
49
a
4
＝
2
＝，a
7
＝
2
＝.
4＋1
17
7＋1
50

(2)令
9
＝，得n
2
＝9，
2
n＋1
10
n
2
所以n＝3(n＝－3舍去)，
9
故是该数列中的项，并且是第3项；
10
令
1
2
1
＝，得n＝，
9
n
2
＋1
10
n
2
1
所以n＝±，
3
1
由于±都不是正整数，
3
1
因此不是数列中的项．
10
[类题通法]
1．数列的通项公式给出了第n项a
n
与它的位 置序号n之间的关系，只要用序号代替公
式中的n，就可以求出数列的相应项．
2．判断某数 值是否为该数列的项，需先假定它是数列中的项，列方程求解．若方程的
解为正整数，则该数值是数列的 项；若方程无解或解不是正整数，则该数值不是此数列的项．
[活学活用]
已知数列{a< br>n
}的通项公式为a
n
＝q
n
，且a
4
－a
2
＝72.
(1)求实数q的值；
(2)判断－81是否为此数列中的项．
解：(1)由题意知q
4
－q
2
＝72⇒q
2
＝9
或q
2
＝－8(舍去)，
∴q＝±3.
(2)当q＝3时，a
n
＝3
n
，显然－81不是此数列中的项；
当q＝－3时，a
n
＝(－3)
n
，
令(－3)
n
＝－81＝－3
4
，也无解．
∴－81不是此数列中的项.

2.牢记数列中n∈N
*

[典例] 已知数列{a
n
}的 通项公式为a
n
＝n
2
－5n＋4，求n为何值时，a
n
有 最小值？并求
出最小值．
5
9
n－

2
－，
[解] ∵a
n
＝n
2
－5n＋4＝


2

4
5
∴可知对称轴为n＝＝2.5.
2
又n∈N
*
，故n＝2或3时，a
n
有最小值，
其最小值为a
2
＝a
3
＝2
2
－5×2＋4＝－2.
[易错防范]
1．忽视了借助二次函数求最值，而认为当n＝1时取得最小值．
5
95
n－

2
－知n＝时取最小值，忽视n∈N
*
. 2．由a
n
＝


2

42
3．在用 函数的有关知识解决数列问题时，要注意它的定义域是N
*
(或它的有限子集
{1,2 ,3，…，n})这一约束条件．
[成功破障]
求数列{－2n
2
＋9n＋3}中的最大项．
9
105
n－

2
＋， 解：已知－2n
2
＋9n＋3＝－2


4

8
由于n为正整数，
故当n＝2时，取得最大值为13，
所以数列{－2n
2
＋9n＋3}中的最大项为第2项，值为13.

[随堂即时演练]
1．将正整数的前5个数排列如下：
①1,2,3,4,5；② 5,4,3,2,1；③2,1,5,3,4；④4,1,5,3,2.那么可以称为数列的有( )
A．①
C．①②③
B．①②
D．①②③④
解析：选D 数列是按“一定顺序”排列的一列数．因此选D.注意此题易错选B.
n－2< br>11
2．在数列－1,0，，，…，
2
，…中，0.08是它的( )
98n

A．第100项
C．第10项
解析：选C ∵a
n
＝
B．第12项
D．第8项
n－2n－2
＝0.08，
2
，令
nn
2
5
解得n＝10或n＝(舍去)．
2
a
2
3．若数列{a
n
}的通项公式是a
n
＝3 －2
n
，则a
2n
＝________，＝________.
a
3
解析：根据通项公式我们可以求出这个数列的任意一项．∵a
n
＝3－2< br>n
，
2
3－2
a
1
2
∴a
2n< br>＝3－2
2n
＝3－4
n
，＝＝.
a
3
3－2
3
5
答案：3－4
n


1

5
a
n
4．若数列{a
n
}的通项满足＝n－2，那么15是这个数列的第________项．
n
a
n解析：由
n
＝n－2可知，a
n
＝n
2
－2n，
令n
2
－2n＝15，得n＝5(n＝－3舍去)．
答案：5
2n
5．已知a
n
＝.
3n＋2
(1)求a
3< br>；(2)若a
n
＝
8
，求n.
13
，
3 n＋2
2n
解：(1)将n＝3代入a
n
＝
6
＝.
3×3＋2
11
2×3
得a
3
＝
(2)将a
n< br>＝
2n
8
代入a
n
＝，
13
3n＋2
2n
8
得＝，解得n＝8.
13
3n＋2
[课时达标检测]
一、选择题
1．下面有四个结论：
①数列的通项公式是唯一的；

②数列可以看做是一个定义在正整数集或其子集上的函数；
③数列若用图象表示，它是一群孤立的点；
④每个数列都有通项公式．
其中叙述正确的有( )
A．①②
C．③④
B．②③
D．①④
解析：选B 数列的通项公式不唯一，有的数列没有通项公式，所以①④不正确．


3n＋1， n为奇数，
2．数列的通项公式为a
n
＝

则a
2
·a
3
等于( )

2n－2，n为偶数，


A．70
C．20
B．28
D．8


3n＋1，n为奇数，
解析：选C 由a
n
＝



2n－2，n为偶数，

得a
2
＝2，a
3
＝10，所以a
2
·a
3
＝20.
3．数列－1,3，－7,15，…的一个通项公式可以是( )
A．a
n
＝(－1)
n
·(2
n
－1)
B．a
n
＝(－1)
n
·(2n－1)
C．a
n
＝(－1)
n1
·(2
n
－1)
＋

D．a
n
＝(－1)
n1
·(2n－1)
＋
解析：选A 数列各项正、负交替，故可用(－1)
n
来调节，又1＝2< br>1
－1,3＝2
2
－1,7＝2
3
－1,15＝2
4
－1，…，所以通项公式为a
n
＝(－1)
n
·(2
n－1)．
4．已知数列{a
n
}的通项公式是a
n
＝
A．递增数列
C．常数列
n－1
，那么这个数列是( )
n＋1
B．递减数列
D．摆动数列
n－1
22
解析：选A a
n
＝＝1－，∴n越大，越小，则an
越大，故该数列是递增数
n＋1n＋1n＋1
列．
5．下列命题：
①已知数列{a
n
}，a
n
＝
项；
11
(n∈N
*
)，那么是这个数列的第10项，且最大项为第1
120
nn＋ 2

②数列2，5，22，11，…的一个通项公式是a
n
＝3n－1；
③已知 数列{a
n
}，a
n
＝kn－5，且a
8
＝11，则a17
＝29；
④已知a
n
＋
1
＝a
n
＋3，则数列{a
n
}是递增数列．
其中正确命题的个数为( )
A．4
C．2
解析：选A 对于①，令a
n
＝
B．3
D．1
11
＝
⇒n＝10，易知最大项为第1项．①正确．
nn＋2
120
3×1－1，3×2－1，对于②，数列2，5，22，11，…变为2，5，8，11，…⇒< br>3×3－1，
a
n
＝
3×4－1，…⇒
3n－1.②正确．
对于③，a
n
＝kn－5，且a
8
＝11⇒k＝2⇒a
n< br>＝2n－5⇒a
17
＝29.
③正确．
对于④，由a
n< br>＋
1
－a
n
＝3＞0，易知④正确．
二、填空题
6．已知数列{a
n
}的通项公式为a
n
＝
21
，那么是它 的第________项．
10
n＋n
2
211
解析：令
2
＝，解得n＝4(n＝－5舍去)，所以是第4项．
10
n＋n
10
答案：4
7．已知数列{a
n
}的前4项为11,102,1 003,10 004，…，则它的一个通项公式为________．
解析：由于11＝10＋1,102＝10
2
＋2，1 003＝10
3
＋3，10 004＝10
4
＋4，…，所以该数列
的一个通项公式是a
n
＝10
n
＋n.
答案：a
n
＝10
n
＋n
8．已知数列{a
n< br>}的通项公式是a
n
＝n
2
－8n＋12，那么该数列中为负数的项一 共有
________项．
解析：令a
n
＝n
2
－8n＋12＜0，
解得2＜n＜6，
又因为n∈N
*
，
所以n＝3,4,5，一共有3项．

答案：3
三、解答题
9．求下列数列的一个可能的通项公式：
(1)1，－1,1，－1，…；
(2)1,10,2,11,3,12，…；
1 3
2
5
2
7
2
(3)1＋，1－，1＋，1－，…. 2468
解：(1)a
n
＝(－1)
n
＋
1
或


1，n为奇数，
a
n
＝




－1，n为偶数.

n＋1


2< br>，n为奇数，
(2)a＝

n


2
＋9， n为偶数
n


19
17
1

n＋

＋－1
n
×

. 或a
n
＝
< br>2

2

2


(3)a
n
＝1＋(－1)
n
＋
1
2n－1
2
.
2n
n
2
＋n－1
10．数列{a
n
}中，已知a
n< br>＝(n∈N
*
)．
3
2
(1)写出a
10
，a
n
＋
1
，a
n
；
2
(2)79是不是该数列中的项？若是，是第几项．
3
10
2< br>＋10－1
109
解：(1)a
10
＝＝，
33
 n＋1
2
＋n＋1－1n
2
＋3n＋1
a
n
＋
1
＝＝，
33
n
2

2
＋n
2
－1n
4
＋n
2
－1
a
n2
＝＝.
33
2
22
n＋n－1
(2)假设79是该数列的第n项，则79＝ ，
333
∴n
2
＋n－240＝0.
解之，得n＝15或n＝－16(舍去)．
2
故79是该数列的第15项．
3

11．在数列{a
n
}中，a
1
＝2，a
17
＝66，通项公式是关于n的一次函数．
(1)求数列{a
n
}的通项公式；
(2)求a
2 015
；
(3)2 016是否为数列{a
n
}中的项？

k＋b＝2，
解：(1)设a
n
＝kn＋b(k≠0)，则有




17k＋b＝66，
解得k＝4，b＝－2.
∴a
n
＝4n－2.
(2)a
2 015
＝4×2 015－2＝8 058.
(3)令2 016＝4n－2，解得n＝504.5∉N
*
，
∴2 016不是数列{a
n
}中的项．
12．数列{a
n
}中，a1
＝1，对所有的n≥2，都有a
1
·a
2
·a
3·…·a
n
＝n
2
.
(1)求a
3
＋a
5
；
256
(2)探究是否为此数列中的项；
225
(3)试比较a
n
与a
n
＋
1
(n≥2)的大小．
解：∵a
1·a
2
·a
3
·…·a
n
＝n
2
(n ∈N
*
)，①
∴当n≥2时，a
1
·a
2
·a< br>3
·…·a
n
－
1
＝(n－1)
2
.②
①
n
2
由，得a
n
＝(n≥2)．
②n－1
2
(1)∵a
n
＝
92561
(n≥2)，∴a＋a＝＋＝ .
35
2
41616
n－1
n
2

25616
2
256
(2)∵＝
2
＝a
16
，∴是 数列中的第16项．
22515225
n＋1
2
(3)n≥2时，a< br>n
－a
n
＋
1
＝－
n
2
n－1 
2
n
2
n
4
－n
2
－1
2
2n
2
－1
＝＝
2
>0，
n－1
2
n
2
nn－1
2
∴a
n
>a
n
＋
1
.

第二课时 数列的通项公式与递推公式

数列的递推关系
[提出问题]
某剧场有30排座位，第一排有20个座位，从第二排起，后一排都比前一排多2个座位．
问题1：写出前五排座位数．
提示：20,22,24,26,28.
问题2：第n排与第n＋1排座位数有何关系？
提示：第n＋1排比第n排多2个座位． < br>问题3：第n排座位数a
n
与第n＋1排座位数a
n
＋
1能用等式表示吗？
提示：能．a
n
＋
1
＝a
n
＋2.
[导入新知]
如果已知数列{a
n
}的第一项(或前几项)，且任一项a< br>n
与它的前一项a
n
－
1
(或前几项)间的关
系可以 用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
[化解疑难]
1．数列的递推公式是给出数列的另一重要形式，由递推公式可以依次求出数列的各项．
2． 有些数列的通项公式与递推公式可以相互转化，如数列1,3,5，…，2n－1，…的一个
通项公式为 a
n
＝2n－1(n∈N
*
)，用递推公式表示为a
1
＝1 ，a
n
＝a
n
－
1
＋2(n≥2，n∈N
*
)．

数列的表示方法
[例1] 根据数列{a
n
}的通项公 式，把下列数列用图象表示出来(n≤5，且n∈N
*
)．
(1)a
n
＝(－1)
n
＋2；
(2)a
n
＝
n＋1
.
n
[解] (1)数列{a
n
}的前5项依次是1,3,1,3,1，图象如下图①所示．
34 56
(2)数列{a
n
}的前5项依次是2，，，，，图象如下图②所示．
2345

[类题通法]
通项公式法、列表法与图象法表示数列的优点
(1)用通项公式表示数列，简洁明了，便于计算．公式法是常用的数学方法．
(2)列表法的优点是不经过计算，就可以直接看出项数与项的对应关系．
(3)图象能直观形象地表示出随着序号的变化，相应项变化的趋势．
[活学活用]
一辆邮车每天从A地往B地运送邮件，沿途(包括A，B)共有8站，从A地出发时，装
上发往后面7 站的邮件各一个，到达各站后卸下前面各站发往该站的邮件，同时装上该站发
往后面各站的邮件各一个． 试用列表法表示邮车在各站装卸完毕后剩余邮件个数所成的数
列．
解：将A，B之间所有站按 序号1,2,3,4,5,6,7,8编号．通过计算，各站装卸完毕后剩余邮
件个数依次构成数列7, 12,15,16,15,12,7,0，如下表：
站号(n)
剩余邮件数(a
n
)

由递推公式求数列中的项
[例2] 已知数列{a
n
}的第1项a
1
＝1，以后的各项由公式 a
n
＋
1
＝
数列的前5项．
2a
n
[解] ∵a
1
＝1，a
n
＋
1
＝，
a
n
＋2
∴a
2
＝
2
＝，
a< br>1
＋2
3
2a
1
2a
n
给出，试写出这个< br>a
n
＋2
1
7
2
12
3
15
4
16
5
15
6
12
7
7
8
0
2
2×
3
1
2a
2
a
3
＝＝＝，
2
a
2
＋2
＋2
2
3
1
2×2
2
2a
3
a
4
＝＝＝，
a
3
＋2
1
＋2
5
2

2
2×
5
1
2a
4
a
5
＝＝＝.
a
4
＋2
2
＋2
3
5
2121
故 该数列的前5项为1，，，，.
3253
[类题通法]
根据递推公式写出数列的前 几项，要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可．另
外，解答这类问题时还需注意：若知道的是 首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后
面的项的形式；若知道的是末项，通常将所给公式整理成 用后面的项表示前面的项的形式．
[活学活用]
1
设数列{a
n
}满足a
1
＝2，a
n
＝2＋(n>1，n∈N
*
)，试写 出这个数列的前4项．
a
n
－
1
1
解：∵a
1< br>＝2，a
n
＝2＋(n>1，n∈N
*
)，
a
n< br>－
1
15112129
∴a
2
＝2＋＝，a
3
＝2＋＝，a
4
＝2＋＝.
a
1
2a
2
5a< br>3
12
由递推公式归纳数列的通项公式
a
n
－
1
[例3] 已知数列{a
n
}的第1项是 2，以后的各项由公式a
n
＝(n＝2,3,4，…)给出，
1－a
n
－
1
写出这个数列的前5项，并归纳出数列{a
n
}的通项公式．
[解] 可依次代入项数进行求值．
－2
22
a
1
＝2， a
2
＝＝－2，a
3
＝＝－，
3
1－21－－2
2
a
4
＝＝－，
25－

1－


3

2
a
5< br>＝＝－.
27
－

1－


5

222
即数列{a
n
}的前5项为2，－2，－，－，－.
357
－2－2－2－2－2
也可写为，，，，.
357
－11
2
－
5
2
－
3

即分子都是－2，分母依次加2，且都是奇数，
2
所以a
n
＝－(n∈N
*
)．
2n－3


[类题通法]
根据递推公式写出数列的前几项，然后 由前几项分析其特点、规律，归纳总结出数列的
一个通项公式．
[活学活用]
已知 数列{a
n
}满足a
1
＝1，a
n
＝a
n
－
1
＋
的一个通项公式．
解：a
1
＝1，
113
a
2
＝a
1
＋＝1＋＝，
22
2 ×1
1315
a
3
＝a
2
＋＝＋＝，
3×2263
1517
a
4
＝a
3
＋＝＋＝，
4× 3
3124
1719
a
5
＝a
4
＋＝＋＝.
5×4
4205
3579
故数列的前5项分别为1，，，，.
23 45
2×1－1
3
2×2－1
5
2×3－1
由于1＝，＝， ＝，
12233
7
2×4－1
9
2×5－1
＝，＝， < br>4455
2n－1
1
故数列{a
n
}的一个通项公式为an
＝
n
＝2－
n
.
1
(n≥2)，写出该数列的前5项，并归纳出它
nn－1

2．巧析递推数列求通项公式两种常用方法
递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可 以确定数列中的任意一项，只是

由递推公式确定数列中的项时，不如通项公式 直接，下面介绍由递推数列求通项公式的两种
方法．
【角度一】 累加法
若数列 {a
n
}满足a
n
＋
1
－a
n
＝f(n) ，需用累加法，即a
n
＝(a
n
－a
n
－
1
)＋(a
n
－
1
－a
n
－
2
)＋…＋( a
2
－a
1
)＋a
1
来求a
n
.
[例1] 已知a
1
＝1，a
n
＋
1
－a
n
＝2，求数列{a
n
}的一个通项公式．
[解] ∵a
1
＝1，a
n
＋
1
－a
n
＝2， < br>∴a
2
－a
1
＝2，a
3
－a
2
＝ 2，a
4
－a
3
＝2，…，
a
n
－a
n
－
1
＝2(n≥2)，
将这些式子的两边分别相加，
(a
2
－a
1
)＋(a3
－a
2
)＋(a
4
－a
3
)＋…＋(an
－a
n
－
1
)＝2(n－1)，
即a
n
－a
1
＝2(n－1)，又a
1
＝1，
∴a
n
＝2n－1(n≥2)，
当n＝1时，a
1
＝1也满足上式，
故数列{a
n
}的一个通项公式为a
n
＝2n－1.
【角度二】 累乘法
a
n
a
n
a
n
－
1
a
3
a
2
若数列{a
n
}满足＝f(n )，需用累乘法，即a
n
＝··…···a来求a
n
.
a
2
a
1
1
a
n
－
1
a
n
－
1
a
n
－
2
[例2] 已知数列{a
n
}中，a
1
＝2，a
n
＋
1
＝3a
n
(n ∈N
*
)，求数列{a
n
}的通项公式．
a
n
＋
1
[解] 由a
n
＋
1
＝3a
n
得
a
＝3.
n
a
2
a
3
a
4
a
n
因此可得 ＝3，＝3，＝3，…，＝3.
a
1
a
2
a
3
a
n
－
1
将上面的n－1个式子相乘可得
a
2
a< br>3
a
4
a
n
···…·＝3
n
－
1
.
a
1
a
2
a
3
a
n
－
1
a
n
即＝3
n
－
1
，所以a
n
＝a
1
·3
n
－
1
，
a
1< br>又a
1
＝2，故a
n
＝2·3
n
－
1
.

[随堂即时演练]
1．符合递推关系式a
n
＝2a
n
－
1
的数列是( )
A．1,2,3,4，…
C.2，2，2，2，…
B．1，2，2,22，…
D．0，2，2,22，…
解析：选B B中从第2项 起，后一项是前一项的2倍，符合递推公式a
n
＝2a
n
－
1
.
1111
2．数列，，，，…的递推公式可以是( )
24816
1
A．a
n
＝
n
＋
1
(n∈N
*
)
2
1
C．a
n
＋
1
＝a
n
(n∈N
*
)
2
B．a
n
＝
1
(n∈N
*
)
2n
D．a
n
＋
1
＝2a
n
(n∈N
*< br>)
11
解析：选C 数列从第2项起，后一项是前一项的，故递推公式为a
n
＋
1
＝a
n
(n∈N
*
)．
22
2
3．设{a
n
}是首项为1的正项数列，且(n＋1)a
2
a< br>n
＝0(n＝1,2,3，…)，则它
n
＋
1
－na
n
＋a
n
＋
1
·
的通项公式a
n
＝___ _____.
2
解析：∵(n＋1)a
n
a
n
－na2
＋
1
＋a
n
＋
1
·
n
＝0 ，
∴(a
n
＋
1
＋a
n
)[(n＋1)a
n
＋
1
－na
n
]＝0，
又a
n
＋< br>1
＋a
n
>0，∴(n＋1)a
n
＋
1
－n a
n
＝0，
a
n
＋
1
na
2
a
3
a
4
a
5
a
n
即＝，∴····…·＝
a
n
n＋1
a
1
a
2
a
3
a
4
a
n
－
1
n－1
12341
××× ×…×
n
，∵a
1
＝1，∴a
n
＝
n
.
2345
1
答案：
n

4．已知数列{a
n
}满足a
1
>0，
或“递减”) 1
解析：由已知a
1
>0，a
n
＋
1
＝an
(n∈N
*
)，
3
得a
n
>0(n∈N
*
)．
12
又a
n
＋
1
－a
n
＝a
n
－a
n＝－a
n
<0，
33
所以{a
n
}是递减数列． < br>a
n
＋
1
1
＝(n∈N
*
)，则数列{a< br>n
}是________数列．(填“递增”
a
n
3

< br>
答案：递减
5．已知数列{a
n
}的通项公式为a
n＝
解：对于公式a
n
＝
345
＝，a
4
＝，a
5
＝.
101726
而a
n
＋
1
－a< br>n
＝
n
－
22
n＋1＋1n＋1
n＋1
n
n
，写出它的前5项，并判断该数列的单调性．
n＋1
2
12
，依次取n＝1,2,3,4,5，得到数列的前5项为a＝，a＝，a
31
2
2
5
n
2
＋1
＝.
[n＋1
2
＋ 1]n
2
＋1
1－n
2
－n
因为n∈N
*，所以1－n
2
－n＜0，
所以a
n
＋
1
－a
n
＜0，
即a
n
＋
1
＜a
n
.故该数列为递减数列．





[课时达标检测]
一、选择题 1．已知数列{a
n
}满足a
1
＝1，a
n
＝a
n
－
1
＋2n(n≥2)，则a
7
＝( )
A．53
C．55
B．54
D．109
解析：选C a
2
＝ a
1
＋2×2，a
3
＝a
2
＋2×3，……，a
7
＝a
6
＋2×7，各式相加得a
7
＝a
1
＋
2(2＋3＋4＋…＋7)＝55.故选C.
2．数列{a
n
}中a
n< br>＋
1
＝a
n
＋
2
－a
n
，a
1
＝2，a
2
＝5，则a
5
等于 ( )
A．－3
C．－5
B．－11
D．19
解析：选D 由a
n
＋
1
＝a
n
＋
2
－a
n
得a
n< br>＋
2
＝a
n
＋a
n
＋
1
，
故a
3
＝a
1
＋a
2
＝7，a
4
＝a< br>2
＋a
3
＝12，a
5
＝a
3
＋a
4
＝19.
1
3．在数列{a
n
}中，a
1
＝， a
n
＝(－1)
n
·2a
n
－
1
(n≥2 )，则a
5
等于( )
3