乘除法中的巧算
田园风光作文-云南二本大学
乘除法中的巧算；
如何灵活运用乘，除法的运算定律和运算性质进行巧算的方法与策
略。
乘法交换律；a × b = b × a
乘法结合律；(a × b ) × c =
a ×(b ×c)
乘法分配律；(a ± b) × c = a × c ± b × c
乘法性质；
1．
两个数的差与一个数相乘，可以用被减数和减数分别与这个数相
乘, 再把所得的积相减。
（a - b）× c=a × c - b × c
2．一个数与两个数商相乘，可以用这个数先与商里的被除数相乘，
再除
以商里的的除数；或用这个数先除以商里的除数，再与商里的被除数
相乘。
a
×（b ÷ c）=a × b ÷ c =a÷ c× b
特殊数字的乘积；
5
×2=10 25 × 4=100 125 × 8 =1000 37
× 3 =111
625 × 16 =10000 75 × 4 =300
375 × 8 =3000
1
例；125 ×（98 × 8）
利用乘法结合律，先交换8与98的位置，使125和8结合得出1000。
125
×（98 × 8）
=（125 × 8）× 98
=1000 × 98
=98000
例；48 × 625 × 37
利用数的分解，把48转化成3 6的形式，再把16与625，3与37
结合。
48 ×625 ×37
=3 ×16 ×625 × 37
=（16
× 625） ×（3 ×37）
=10000 × 111
=1110000
例；43 ×76+76 × 57
运用乘法分配律，先提出两个乘法
算式中的公因数76，再使43和57
结合，然后与76相乘。
43 ×76+76 ×
57
=（43+57）× 76
=100 × 76
=7600
2
例；495 × 72+27 × 495+495
先把加数495改写成495 ×
1，这样三个乘法算式中都有公因数495，
提取公,因数再把其它几个因数相结合。
495 ×72+27 × 495+495
=495 × 72+27 × 495+495 ×
1
=495 × （72+27+1）
=495 × 100
=49500
例；791× 9+81
先把81分解成9 ×
9的形式，这样就使两个乘法算式中都有公因数9。
然后按,乘法分配律进行计算。
791 ×9+81
=791 × 9+9 × 9
=（791+9） × 9
=800 × 9
=7200
例；72 × （846 ÷ 9）
利用乘法运算性质进行计算；a ×（b ÷ c）=a × b ÷ c = a÷ c× b
先使
72 ÷9的商与846相乘。
72 ×（846 ÷ 9）
=72 ÷ 9 × 846
=8 × 846
=6768
3
例；64 × 125
运用积的变化
规律；一个因数扩大几倍，另一个因数缩小相同的倍数。
它们的积不变。根据积的变化规律64 ×
8，125 × 8它们的积不变。
64 ×125
=（64 ÷ 8） × （125 × 8）
=8 × 1000
=8000
例1；3456 × 998
因998接近1000，可以根据乘法分配律进行巧算。
解；3456 × 998
=3456 × （1000 – 2）
=3456 × 1000 -3456 × 2
=3456000 - 6912
=3449088
例2； 96 × 125 × 25
因为125 8，25 4以及5 2
可以―凑整‖，可以先将96分解成
8 × 4 × 3 ，再根据乘法交换律和结合律进行巧算。
解； 96 × 125 × 25
=8 × 4 × 3 × 125 × 25
=（8
× 125） ×（4 × 25）× 3
4
=1000 × 100 × 3
=3000000
例3；22222 × 99999+99999 × 33333
加号两边都有相同的乘数99999，因此，可利用乘法分配律，将
99999提取出来
进行计算要简便些。
22222 × 99999+99999 ×
33333
=99999 × （22222 + 33333）
=99999 × 55555
=（100000-1）× 55555
=100000 × 55555 – 1 × 55555
=5555500000
-55555
=55555444445
例4； 111111 ×
111111
先观察以下几个算式；
1 ×1= 1
11 ×11 =121
111×111=12321
1111
×1111 =1234321
可以发现这一个规律；11。。。1（n个1） ×
11。。。。1（n个1）=
=123。。。n..321(n ≤
9时)，根据这个规律，计算起来轻而易举了。
解； 111111 ×
111111 =
5
例5；1999 ×
1998 -1998 ×1997—1997 × 1996 +1996 × 1995
这样想；(a +b) × c = a × c +b × c 这道题可以灵活应用
乘法分配律进行巧算 。
1999×1998 -1998 ×
1997—1997 ×1996 +1996 × 1995
=1998
×（1999 – 1997 ）- 1996 × （1997 -1995 ）
=1998 × 2 - 1996 × 2
=（1998 –
1996 ）× 2
=2 × 2
=4
例6； 1234 × 100010001
可以先把100010001分解为100000000+10000+1，然后再利用
乘法
分配律进行巧算。
1234×100010001
=1234 ×（100000000+10000+1）
=1234 ×
100000000+1234 × 10000 +1234× 1
=0+12340000+1234
＝4
6
除法中的速算
（1），数的积除以另一个数，可以先用积里的任何一个因数除以
这个数，所得的商与其它因数相乘。
（a ×b ×c）÷m= a ÷m
×b × c
=a ×（b ÷m）×c
=a × b ×（c ÷m）
（2），一个数除以两个数的积，可以用这个数依次除以积里的各个
因数。
a ÷（b ×c）=a ÷b ÷ c
（3），一个数除以两个数的商，要以用这个数除以商里的被除数，
再乘以
商里的除数或者用这个数乘以商里的除数，再除以里的被除数。
a ÷（b ÷ c）=a ÷ b × c
（4），两个或几个数的和除以一个数，可以把和里的各个数除以这
个数，再把它们的商相加。
（a +b+c）÷m=a ÷m+b ÷m+c ÷m
（5）两个数的差除以一个数，可以用被减数，减数分别除以这个数，
再把所有的商进行相减。
（a －b）÷ c=a ÷c－b÷c
（6），商不变的性质，如果被除数各除数同时扩大或是缩小相同的
倍数，它们的商不变。
a ÷b=c
7
=（a ×m） ÷（b
×m）=c
=（a ÷m）÷（b ÷m）=c （m ≠ 0）
（7
），乘除混合运算的交换性质；在乘除混合运算中，带着数字前
面的运算符号交换乘数，除数的位置，结
果不变。
a × b ÷ c=a ÷c ×b
=b ÷ c ×a
除法的运算性质；a ÷ b ÷ c = a÷ ( b × c
)
例；（81+72）÷ 9
根据除法运算性质，用和中的81与72分别除以9，再把两个商相加。
（81+72）÷
9
=81 ÷9+ 72 ÷ 9
=9+8
=17
例； 37500 ÷ 4 ÷ 25
此题是根据对一个数除以两个数的积这个除法运算性质的反应
用,可以用 25 乘以4再进行计算。
37500 ÷ 4 ÷ 25
=37500 ÷（4 × 25）
=37500 ÷ 100
=375
8
例4；2400 ÷ 25
这题既可以根据商不变的性质，
被除数和除数同时乘4，然后把
所得的积进行相除，还可以先把2400分解成24
与100，先用100除
以25。所得的商再和24相乘。
解1；2400 ÷ 25
解2；2400 ÷ 25
=（2400 × 4） ÷（25 × 4）
=24 × 100 × 25
=9600 ÷ 100
=24 ×（100 ÷ 25）
=96
=24 × 4 =96
例； 1344 ÷24+2088 ÷4 +144 ÷ 24
运用几个数的和除以另一个数的逆用，把几个被除数相加的和再
除以相同
的除数24。
1344 ÷24+2088 ÷24 +144
÷ 24
=（1344+2088+144）÷ 24
=3576 ÷24
=149
例；623 ×27 ÷ 54
根据乘除混合运算交换结合的性质，先交换54与27的位置。使
54与27结合，
除号后面添上括号，要改变原来的符号。
623 × 27 ÷54
=632 ÷54 × 27
=632 ÷（54 ÷ 27）
9
=632 ÷ 2
=316
总结；在乘法，除法各乘除混合运算中，根据运算的定律和运算的
性质，可以 归纳为；
括号前面是乘号，去掉括号不变号。
乘号后面添括号，括号里面不变号。
括号前面是除号，去掉括号要变号。
除号后面添括号，括号里面要变号。
注；号指数字前面的运算符号。
10
等差数列求和；
数
列是指按一定规律顺序排成的一列数，如果一个数列中从第二个
数开始，每一个数减去前一个数所得的差
都是相等的话，我们就把这
样的一列数叫做等差数列。
等差数列中每一个数都叫做项数
，第一个数叫第一项，通常也叫：
―首项‖第二个数叫第二项，第三个数叫第三项-----
最后一项叫做―末
项‖
等差数列中相邻两项的差叫做―公差‖。
等差数列中项的个数叫做―项数‖。
例；1+2+3+4+5+6+7+8+9+10
从上面可以看出每两个数为一组的和都是11，共有5组，由此可以
得出。
1是首项，10是末项，项数有10个。
总和=（首项+末项） ×项数 ÷ 2
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10
=（1+10）× 10 ÷2
=11 ×10 ÷2
=110 ÷2
=55
11
例2；10+11+12+13+14+------99
最小的两位数是10，最大的两位数是99。相邻两个数之间的差都是
1，
所有两位数之和是指首项10，末项是99，公差是1的一个等差数列
之和。
项数=（末项---首项）÷公差+1
项数=（99—10）÷ 1+1=90
总和= 10+11+12+13+14+------99
=（10+99）×90 ÷2
=109 × 90 ÷2
=4905
12