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第一讲 巧算

巧算：包括乘法，除法的分配律，结合律，交换律。加法交换 ，结合等。这需要
在某个算式中找出。找到了可以应用的定律，及每个数的分解数，就可以巧妙地算出< br>答案了。
例1 计算：9＋99＋999＋9999＋99999
分析：在涉 及所有数字都是9的计算中，常使用凑整法.例如将999化成1000
—1去计算.这是小学数学中常 用的一种技巧.
解： 9＋99＋999＋9999＋99999
＝（10－1）＋（100-1）＋（1000－1）＋（10000-1） ＋（100000-1）
＝10＋100＋1000＋10000＋100000-5
＝111110-5
＝111105.
练习：计算899998＋89998＋8998＋898＋88
解：利用凑整法解.
899998＋89998＋8998＋898＋88
＝（899998＋2）＋（89998＋2）＋（8998＋2）＋（898＋2）（88＋2）－10
＝900000＋90000＋9000＋900＋90-10
＝999980.
例2 计算（1＋3＋5＋„＋1989）－（2＋4＋6＋„＋1988）
解：（1＋3＋5＋„＋1989）－（2＋4＋6＋„＋1988）
=1＋3＋5＋„＋1989－2-4-6-„-1988
=1+（3-2）+（5-4）+„+(1989-1988)
1



1
=1+
1

共有19882994个1

=995
练习：计算（1988＋1986＋1984＋„＋6＋4＋2）－（1＋3＋5＋„＋19 83＋1985
＋1987）
解：（1988＋1986＋1984＋„＋6＋4＋2） －（1＋3＋5＋„＋1983＋1985＋1987）
＝1988＋1986＋1984＋„＋6＋4＋2-1-3-5„
－1983－1985－1987
＝（1988-1987）＋（1986-1985）＋„＋（6-5）＋（4-3）＋（2－1）
＝994.
例3 计算（4942＋4943＋4938＋4939＋4941＋4943）÷6
分析：认真观察可知此题关键是求括号中6个相接近的数之和，故可选4940为基准
数.
解： （4942＋4943＋4938＋4939＋4941＋4943）÷6
＝（4940×6＋2＋3—2—1＋1＋3）÷6
＝（4940×6＋6）÷6（这里没有把4940×6先算出来，而是运
＝4940×6÷6＋6÷6运用了除法中的巧算方法）
＝4940＋1
＝4941.
练习：计算92＋94＋89＋93＋95＋88＋94＋96＋87
解: 92＋94＋89＋93＋95＋88＋94＋96＋87
=90×9+2+4-1+3+5-2+4+6-3
=810+18
=828

例4 计算54＋99×99＋45

分析：此题表面上看没有 巧妙的算法，但如果把45和54先结合可得99，就可
以运用乘法分配律进行简算了.
解： 54＋99×99＋45
＝（54＋45）＋99×99
＝99＋99×99
＝99×（1＋99）
＝99×100
＝9900.
练习：67×12+67×35＋67×52+67
解：67×12+67×35＋67×52+6
=67×（12＋35＋52＋1）
＝ 67×100
＝6700
例5 计算 9999×2222＋3333×3334
分析：此题如果直接乘，数字较大，容易出错.如果将9999变为3333×3，规
律就出现了.
解： 9999×2222＋3333×3334
＝3333×3×2222＋3333×3334
＝3333×6666＋3333×3334
＝3333×（6666＋3334）
＝3333×10000
＝33330000.
练习：6666×2222+4444×6667
解：6666×2222+4444×6667
=6666×2222+2222×2×6667

=2222×（6666+2×6667）
=2222×20000
=44440000
例6 1999＋999×999
解法1：1999＋999×999
＝1000＋999＋999×999
＝1000＋999×（1＋999）
＝1000＋999×1000
＝1000×（999＋1）
＝1000×1000
＝1000000.
解法2：1999＋999×999
＝1999＋999×（1000-1）
＝1999＋999000-999
＝（1999-999）＋999000
＝1000＋999000
＝1000000.
练习：计算999999×78053
解：999999×78053
＝（1000000—1）×78053
＝78053000000—78053
＝78052921947.
99999919999
所得结果有多少个零。 例7求
99

1988个91988个91988个9

解：
9999999919999

 
1988个91988个91988个9
9999（10000 1）19999


1988个91988 个01988个9
99990000999919999
< br>
1988个91988个01988个91988个 9
9999000010000

 
1988个91988个01988个0
10000

 
3976个0
练习：两个10位数1111111111和9999999999的乘积中 ，有几个数字是奇数？
解：1111111111×9999999999
＝1111111111×（1—1）
＝1111111111—1111111111
＝111111111.
这个积有10个数字是奇数.
例8 比较下面两个积的大小：
A＝987654321×123456789，
B＝987654322×123456788.
分析 :经审题可知A的第一个因数的个位数字 比B的第一个因数的个位数字小
1，但A的第二个因数的个位数字比B的第二个因数的个位数字大1.所 以不经计算，
凭直接观察不容易知道A和B哪个大.但是无论是对A或是对B，直接把两个因数相
乘求积又太繁，所以我们开动脑筋，将A和B先进行恒等变形，再作判断.
解： A＝987654321×123456789
＝987654321×（123456788＋1）
＝987654321×123456788＋987654321.
B＝987654322×123456788

＝（987654321＋1）×123456788
＝987654321×123456788＋123456788.
因为 987654321＞123456788，所以 A＞B.
8.有两个算式：①98765×98769，
②98766 × 98768，
请先不要计算出结果，用最简单的方法很快比较出哪个得数大，大多少？
解：① 98765 × 98769
＝ 98765 ×（98768＋ 1）
＝ 98765 × 98768＋98765.
② 98766 × 98768
＝（98765＋1）× 98768
＝ 98765 × 98768＋ 98768.
所以②比①大3.



课后练习
1． 计算9＋99＋999＋„+99999999+999999999
解： 9＋99＋999＋„+99999999+999999999
＝（10－1）＋（100-1）＋（1000－1）＋„（100000000-1） ＋（1000000000-1）
＝10＋100＋1000＋„100000000＋1000000000-9
＝1111111110-9
＝1111111101.
2． 计算199999＋19999＋1999＋199＋19

解： 199999＋19999＋1999＋199＋19
＝（19999＋1）＋（19999＋1）＋（1999＋1）＋（199＋1）＋（19＋1）
－5
＝200000＋20000＋2000＋200＋20-5
＝222220-5
＝22225.
3．计算：1—2+3—4+5—6+„+1991—1992+1993
解：1—2+3—4+5—6+„+1991—1992+1993
=1+（3-2）+（5-4）+„+(1991-1990)+(1993-1992)
=1+1×996
=997

4．计算：567+558+562+555+563
解：567+558+562+555+563
=560×5+（7-2+2-5+3）（以560为基准数）
=2800+5
=2805
5． 计算 ：389＋387＋383＋385＋384＋386＋388
解法1： 389＋387＋383＋385＋384＋386＋388
＝390×7—1—3—7—5—6—4—
＝2730—28
＝2702.
解法2： 389＋387＋383＋385＋384＋386＋388
＝380×7＋9＋7＋3＋5＋4＋6＋8
＝2660＋42
＝2702.
6．计算：（11+12+13+14+15+16+17）÷7
解：（11+12+13+14+15+16+17）÷7
=（7×14）÷7
=14
7.计算：44×555+55×666

解：44×555+55×666
=4×11×5×111+5×11×6×111
=11×111×（20+30）
=1221×50
=61050
8.计算3×999+3+99×8+8+2×9+2+9
解：3×999+3+99×8+8+2×9+2+9
=3×（999+1）+（99+1）×8+2×（9+1）+9
=3×1000+8×100+2×10+9
=3829
9.不用笔算，请你指出下面哪道题得数最大，并说明理由.
241×249 242×248 243×247
244×246 245×245.
解：利用乘法分配律，将各式恒等变形之后，再判断.
241×249＝（240＋1）×（250—1）＝240×250＋1×9；
242×248＝（240＋2）×（250—2）＝240×250＋2×8；
243×247＝（240＋ 3）×（250— 3）＝ 240×250＋3×7；
244×246＝（240＋4）×（250—4）＝240×250＋4×6；
245×245＝（240＋5）×（250— 5）＝240×250＋5×5.
恒等变形以后的各式有相同的部分 240 × 250，又有不同的部分 1×9，
×6， 5×5，由此很容易看出 245×245的积最大.
10． 已知被乘数是
888





8
，乘数是
999
 




9
，它们的积是多少？
1993个 81993个9
解：
888





8
×
999





9=
888





8
×（100



01）

1993个8199 3个91993个81993个8
=
888



< br>
8000





0888





8

1993个81993个01993个8
×8， 3×7，

2 4

=
888



8711112


1992个8
1992个1
11. 在下面四个算式中，最大的得数是多少？
① 1992×1999＋1999
② 1993×1998＋1998
③ 1994×1997＋1997
④ 1995×1996＋1996
解：根据“若保持和不变，则两个数的差越小”，则1996×199 6=3984016是最大的得数。
12.求1966、1976、1986、1996、2006五个数的总和。
解：五个数中 ，后一个数都比前一个数大10，可看出1986是这五个数的平均值，古其总和
为：1986×5=9 930
13.2、4、6、8、10、12„是连续偶数，如果五个连续偶数的和是320，求它们中 最小的一
个.
解：五个连续偶数的中间一个数应为 320÷5＝64，因相邻偶数相差2 ，故这五个偶数依
次是60、62、64、66、68，其中最小的是60.
14.将1～1001各数按下面格式排列：

一个正方形框出九个数，要使这九个数之和等于：

①1986，②2529，③1989，能否办到？如果办不到，请说明理由.
解：仔细观察，方框 中的九个数里，最中间的一个是这九个数的平均值，即中数.又因横
行相邻两数相差1，是3个连续自然 数，竖列3个数中，上下两数相差7.框中的九个数之和
应是9的倍数.
①1986不是9的倍数，故不行；

②2529÷9＝281，是9的倍数，但是 281÷7＝40×7＋1，这说明281在题中数
表的最左一列，显然它不能做中数，也不行；
③1989÷9＝221，是9的倍数，且221÷7＝31×7＋4，这就是说221在数表中< br>第四列，它可做中数.这样可求出所框九数之和为1989是办得到的，且最大的数是
229，最 小的数是213.
15. 45是从小到大五个整数之和，这些整数相邻两数之差是3，请你写出这五个数.
解：45÷5＝9为中数，则这五个数是：3，6，9，12，15.