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小学奥数总复习
第2讲 速算与巧算（裂项法）
1、分数裂项法
将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项
法。裂项分为分数裂项和整数 裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个
数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观 察每项的分子和分母，找
出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的
计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让
它们消去才是最 根本的。
1
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即
ab
形式的 ，这里我们把较
1111
()
ab
abbaab
小的数写在前面，即，那么有
(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：
1
n(n1)(n2)
1
n(n1)(n2)(n3)
，形式的，我们有：
1111
[]
n(n1)(n2)2n(n 1)(n1)(n2)

1111
[]
n(n1)(n2) (n3)3n(n1)(n2)(n1)(n2)(n3)

裂差型裂项的三大关键特征：
（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都 是x(x为任
意自然数)的，但是只要将x提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数
“首尾相接”
（3）分母上几个因数间的差是一个定值。

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2、整数裂项法：
裂项思想是：瞻前顾后，相互抵消。
例如：
122334
设S ＝
122334
4950
=_________；
4950

1×2×3＝1×2×3
2×3×3＝2×3×（4－1）＝2×3×4－1×2×3
3×4×3＝3×4×（5－2）＝3×4×5－2×3×4
……
49×50×3＝49×50×（51－48）=49×50×51－48×49×50
3S＝1×2×3＋2×3×3＋3×4×3＋…＋49×50×3＝49×50×51
S＝49×50×51÷3＝41650





例1：






11111

。
1223344556
练习：（1）
111

... ...
101111125960
22

10998

22


5443
（2）

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例2：



111

133557

1


99101
练习：（1）
25


111

133557

1




2325

（2）



251251251< br>
488121216

251251


2000200420042008
例3：
(

1
8
1111111
)128

2448 88
练习：（1）

11111111


6122
1
3
11111


610152 128
（2）
1
1
2
（3）

11111 111


6122
（4）




11111


1

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例4：




11

123234

1
789

练习：（1）
11

123234

1
9899100


1
200120032005

（2）
111

135357579
（3）



例5：（1）
999897

12323 4345

1

99100101
234
< br>1(12)(12)(123)(123)(1234)

( 123
50
49)(1250)

111

112123
（2）
1
12100




1
练习：（1）
23

1（12）(12)(123)
(123
10
9)(12310)

3245671


255771111161622222929
（2）

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例6：1×2＋2×3＋3×4＋…＋99×100





例7：3×5＋5×7＋7×9＋…＋99×101






例8：1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋…＋99×100×101






例9：10×16×22＋16×22×28＋22×28×34＋…＋76×82×88

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例10：（1）
122334
（2）
（3）





综合练习：
n(n1)



分数裂项法主要有以下几种方式：
111


n(n1)nn1
一、
1、






2、






111




101111125960
11111111


6122
3、
1






1111




1212312341 23

99100

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4、从1到1 00这100个自然数中任取10个数，使它们的倒数和等于1，这10个数分别是
多少？






5、
12







6、






7、★
1






8、★
11111111
3456789

6122
111


36120
179111315


31220304256
11111


4

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二、
1、






2、


3、






4、






5、






6、



11

11

k1

1






n(nk)k

n nk

n(nk)

nnk

11111
 

577991111131315
1111




144771097100
11111
35911

255881111141417
11111


315356399
11111




2 5364758710
11111




132435462022

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7、






11111


8244880120
8、★





9、★
1111




223234 234

200
1111




224246246

100





三、
1、






2、





11

11




n( nk)(n2k)2k

n(nk)(nk)(n2k)

11 111




123234345456 484950
1111




24646868109698100

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3、






4、







5、

1111




135357579959799
111111


6246012021084
22222




1232343454569899100




四、
1、





2、

11

11





n(nk)(n2k（)n3k)3k

n(nk)(n 2k)(nk)(n2k)(n3k)

1111




12342345345617181920
1111 1


2412

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五、用拆项法求复合型分数和
123

1、


223234






2、






3、






4、






5、
12345


22323 4234523456
1468101


335 3573579357911357911
57197019899


2612229900
5235911920983


6246012021084