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速算与巧算的技巧

篇一：小学数学速算与巧算方法例解
小学数学速算与巧算方法例解【转】
2019-04-17 21:04:55| 分类： 教海拾贝|举报|字号 订阅
速算与巧算
在小学数学中，关于整数、小数、分数的四 则运算，怎么样才
能算得既快又准确呢？这就需要我们熟练地掌握计算法则和运算顺
序，根据题 目本身的特点，综合应用各种运算定律和性质，或利用和、
差、积、商变化规律及有关运算公式，选用合 理、灵活的计算方法。
速算和巧算不仅能简便运算过程，化繁为简，化难为易，同时又会算
得又 快又准确。
一、“凑整”先算
1.计算：（1）24+44+56
（2）53+36+47
解：（1）24+44+56=24+（44+56）
=24+100=124
这样想：因为44+56=100是个整百的数，所以先把它们的和算
出来.
（2）53+36+47=53+47+36
=（53+47）+36=100+36=136
这样想：因为53+47=100是个整百的数，所以先把+47带着符

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号搬家，搬到+36前面；然后再把53+47的和算出来.
2.计算：（1）96+15
（2）52+69
解：（1）96+15=96+（4+11）
=（96+4）+11=100+11=111
这样想：把15分拆成15=4+11，这是因为96+4=100，可凑整先
算.
（2）52+69=（21+31）+69
=21+（31+69）=21+100=121
这样想：因为69+31=100，所以把52分 拆成21与31之和，再
把31+69=100凑整先算.
3.计算：（1）63+18+19
（2）28+28+28
解：（1）63+18+19
=60+2+1+18+19
=60+（2+18）+（1+19）
=60+20+20=100
这样想：将63分拆成63=60+2+1就是因为2+18和1+19可以凑
整先算.
（2）28+28+28
=（28+2）+（28+2）+（28+2）-6
=30+30+30-6=90-6=84

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这样想：因为28+2=30可凑整，但最后要把多加的三个2减去.
二、改变运算顺序：在只有“ +”、“-”号的混合算式中，运
算顺序可改变计算：（1）45-18+19
（2）45+18-19
解：（1）45-18+19=45+19-18
=45+（19-18）=45+1=46
这样想：把+19带着符号搬家，搬到-18的前面.然后先算19-18=1.
（2）45+18-19=45+（18-19）
=45-1=44
这样想：加18减19的结果就等于减1.
三、计算等差连续数的和
相邻的两个数的差 都相等的一串数就叫等差连续数，又叫等差
数列，如：1，2，3，4，5，6，7，8，9
1，3，5，7，9
2，4，6，8，10
3，6，9，12，15
4，8，12，16，20等等都是等差连续数.
1. 等差连续数的个数是奇数时，它们的和等于中间数乘以个
数，简记成：
（1）计算：1+2+3+4+5+6+7+8+9
=5×9 中间数是5
=45 共9个数

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（2）计算：1+3+5+7+9
=5×5 中间数是5
=25 共有5个数
（3）计算：2+4+6+8+10
=6×5 中间数是6
=30 共有5个数
（4）计算：3+6+9+12+15
=9×5 中间数是9
=45 共有5个数
（5）计算：4+8+12+16+20
=12×5 中间数是12
=60 共有5个数
2. 等差连续数的个数是偶数时，它们的和等于首数与末数之和
乘以个数的一半，简记成：
（1）计算：
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10
=（1+10）×5=11×5=55
共10个数，个数的一半是5，首数是1，末数是10.
（2）计算：
3+5+7+9+11+13+15+17
=（3+17）×4=20×4=80
共8个数，个数的一半是4，首数是3，末数是17.

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（3）计算：
2+4+6+8+10+12+14+16+18+20
=（2+20）×5=110
共10个数，个数的一半是5，首数是2，末数是20.
四、基准数法
（1）计算：23+20+19+22+18+21
解：仔细观察，各个加数的大小都接近20，所 以可以把每个加
数先按20相加，然后再把少算的加上，把多算的减去.
23+20+19+22+18+21
=20×6+3+0-1+2-2+1
=120+3=123
6个加数都按20相加，其和=20×6=120.23按20计算就少加了
“3”，所以再加上“3”；19按20计算多加了“1”，所以再减去
“1”，以此类推.
（2）计算：102+100+99+101+98
解：方法1：仔细观察，可知各个加数都接近100，所以选100
为基准数，采用基准数法进行巧算.
102+100+99+101+98
=100×5+2+0-1+1-2=500
方法2：仔细观察，可将5个数重新排列如下：（实际上就是
把有的加数带有符号搬家）
102+100+99+101+98

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=98+99+100+101+102
=100×5=500
可发现这是一个等差连续数的求和问题，中间数是100，个数
是5. 加法中的巧算
1.什么叫“补数”？
两个数相加，若能恰好凑成整十、整百、整千、整万?，就把其
中的一个数叫做另一个数的“补数”。
如：1+9=10，3+7=10，
2+8=10，4+6=10，
5+5=10。
又如：11+89=100，33＋67=100，
篇二：常用的巧算和速算方法(1)
常用的巧算和速算方法
【顺逆相加】用“顺逆相加”算式可求出若干个连续数的和。
例如著名的大数学家高斯（德国）小时候就做过的“百数求和”
题，可以计算为 1 + 2
+ ?? + 99 + 100
所以，1＋2＋3＋4＋??＋99＋100 =101×100÷2
=5050。
“3+5+7+???＋97+99=？
3+5＋7＋??＋97+99=（99＋3）×49÷2= 2499。
这种算法的思路，见于书籍中最早的是我国古代的《张丘建算

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经》。张丘建利用这一思路巧妙地解答了“有女不善织”这一名题：
“今有女子不善织，日减功，迟。初日织五尺，末日织一尺，
今三十日织讫。问织几何？” 题目的意思 是：有位妇女不善于织布，
她每天织的布都比上一天减少一些，并且减少的数量都相等。她第一
天织了5 尺布，最后一天织了1 尺，一共织了30 天。问她一共织
了多少布？
张丘建在《算经》上给出的解法是：
“并初末日织尺数，半之，余以乘织讫日数，即得。”“答曰：
二匹一丈”。
这一解法，用现代的算式表达，就是
1 匹=4 丈，1 丈=10 尺，
90 尺=9 丈=2 匹1 丈。（答略）
张丘建这一解法的思路，据推测为：如果把这妇女从第一天直
到第30 天所织的布都加起来，算式就是
5＋????＋1
在这一算式中，每一个往后加的加数，都会比它前一个紧挨着
它的加数，要递减一个相同的数，而这一递减的数不会是个整数。若
把这个式子反过来，则算式便是
1+??????＋5
此时，每一个往后的加数，就都会比它前一个紧挨着它的加数，< br>要递增一个相同的数。同样，这一递增的相同的数，也不是一个整数。
假若把上面这两个式子相加，并在相加时，利用“对应的数相

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加和会相等”
这一特点，那么，就会出现下面的式子：
所以，加得的结果是6×30=180（尺）
但这妇女用30 天织的布没有180 尺，而只有180 尺布的一半。
所以，这妇女30 天织的布是
180÷2=90（尺）
可见，这种解法的确是简单、巧妙和饶有趣味的。
【分组计算】一些看似很难计算的题目，采用“分组计算”的
方法，往往可以使它很快地解答出来。
例如：
求1 到10 亿这10 亿个自然数的数字之和。
这道题是求“10 亿个自然数的数字之和”，而不是“10 亿个
自然数之和”。
什么是“数字之和”？例如，求1 到12 这12 个自然数的数
字之和，算式是
1＋2＋3＋4＋5+6+7＋8+9+1＋0+1+1+1+1＋2=5l。
显然，10 亿个自 然数的数字之和，如果一个一个地相加，那是
极麻烦，也极费时间（很多年都难于算出结果）的。怎么办 呢？我们
不妨在这10 亿个自然数的前面添上一个“0”，改变数字的个数，
但不会改变计算的结果。然后，将它们分组：
0 和999，999，999；1 和999，999，998；
2 和999，999，997；3 和999，999，996；

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4 和999，999，995；5 和999，999， 994；
??? ???
依次类推，可知除最后一个数，1，000，000，000 以外，其他
的自然数与添上的0 共10 亿个数，共可以分为5 亿组，各组数字
之和都是81，如
0+9+9+9+9＋9＋9＋9＋9＋9=81
1+9+9＋9＋9＋9+9+9+9＋8=81
??????
最后的一个数1，000，000，000 不成对，它的数字之和是1。
所以，此题的计算结果是 （81×500，000，000）＋1
=40，500，000，000＋1
=40，500，000，001
【由小推大】“由小推大”是一种数学思维方法，也是一种速
算、巧算技巧。
遇到有些题数 目多，关系复杂时，我们可以从数目较小的特殊
情况入手，研究题目特点，找出一般规律，再推出题目的 结果。例如：
（1）计算下面方阵中所有的数的和。
这是个“100×100”的大方 阵，数目很多，关系较为复杂。不
妨先化大为小，再由小推大。先观察“5×5”的方阵，如下图（图< br>4.1）所示。
容易看到，对角线上五个“5”之和为25。
这时，如果将对角线下面的部分（右下部分）用剪刀剪开，如

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图4.2 那样拼接，那么将会发现，这五个斜行，每行数之和都是25。
所以 ，“5×5”方阵的所有数之和为25×5=125，即53=125。
于是，很容易推出大的数阵“100×100”的方阵所有数之和为
1003=1，000，000。
（2）把自然数中的偶数，像图4.3 那样排成五列。最左边的叫
第一列，按从左到右的顺序，其他叫第二、第三??第五列。那么2019
出现在哪一列：
因为从2 到2019，共有偶数2019÷2=1001（个）。从前到后，
是每8 个偶数为一组，每组都是前 四个偶数分别在第二、三、四、
五列，后四个偶数分别在第四、三、二、一列（偶数都是按由小到大的顺序）。所以，由1001÷8=125????1，可知这1001 个偶数可以分
为125 组，还余1 个。故2019 应排在第二列。
【凑整巧算】用“凑整方法”巧算，常常能使计算变得比较简
便、快速。例如
（1）99.9+11.1=（90＋10）+（9+1）＋（0.9+0.1）=111
（2）9＋97＋998＋6=（9+1）＋（97＋3）＋（998＋2）
=10＋100＋1000
=1110
（3）125＋125＋125＋125＋120＋125＋125＋125
=155＋125＋125＋125＋（120+5）＋125＋125+125-5
=125×8-5
=1000-5

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=995
【巧妙试商】除数是两位数的除法，可以采用一些巧妙试商方
法，提高计算速度。
（1）用“商五法”试商。
当除数（两位数）的10 倍的一半，与被除数相等（或相近）
时，可以直接试商“5”。如70÷14=5，125÷25=5。
当除数一次不能除尽被除数的时候，有些可以用“无除半商五”。
“无除”指被除数前两位
不够除，“半商五”指若被除数的前两位恰好等于（或接近）除
数的一半时，则可直接商“ 5”。例如1248÷24=52，2385÷45=53
（2）同头无除商八、九。
“同头”指被除数和除数最高位上的数字相同。“无除”仍指
被除数前两位不够除。这时，商定在被除数 高位数起的第三位上面，
再直接商8 或商9。
5742÷58=99，4176÷48=87。
（3）用“商九法”试商。
当被除数 的前两位数字临时组成的数小于除数，且前三位数字
临时组成的数与除数之和，大于或等于除数的10 倍时，可以一次定
商为“9”。
一般地说，假如被除数为m，除数为n，只有当9n≤m＜10n 时，
n 除m 的商才是9。同样地，10n≤m＋n＜11n。这就是我们上述做
法的根据。

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例如4508÷49=92，6480÷72=90。
（4）用差数试商。
当除数是11、12、13????18 和19，被除数前两位又不够除的< br>时候，可以用“差数试商法”，即根据被除数前两位临时组成的数与
除数的差来试商的方法。若差 数是1 或2，则初商为9；差数是3 或
4，则初商为8；差数是5 或6，则初商为7；差数是7 或8，则初商
是6；差数是9 时，则初商为5。若不准确，只要调小1 就行了。
例如
1476÷18=82（18 与14 差4，初商为8，经试除，商8正确）；
1278÷17=75（17 与12 的差为5，初商为7，经试除，商7 正
确）。
为了便于记忆，我们可将它编成下面的口诀：
差一差二商个九，差三差四八当头；
差五差六初商七，差七差八先商六；
差数是九五上阵，试商快速无忧愁。
【恒等变形】恒等变形是一种重要的思想和方法，也是一种重
要的解题技巧。
它利用我们学过的知识，去进行有目的的数学变形，常常能使
题目很快地获得解答。 例如
（1）1832＋68=（1832-32）＋（68+32）
=1800＋100
=1900

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（2）359.7-9.9=（359.7+0.1）-（9.9+O.1）
=359.8-10
=349.8
【拆数加减】在分数加减法运算中，把一个分数拆成两个分数
相减 或相加，使隐含的数量关系明朗化，并抵消其中的一些分数，往
往可大大地简化运算。
（1） 拆成两个分数相减。例如
又如
（2） 拆成两个分数相加。 例如
篇三：常用的巧算和速算方法
常用的巧算和速算方法
【顺逆相加】用“顺逆相加”算式 可求出若干个连续数的和。
例如著名的大数学家高斯（德国）小时候就做过的“百数求和”题，
可以计
算为
所以，1＋2＋3＋4＋??＋99＋100
=101×100÷2
=5050。
又如，计算“3+5+7+???＋97+99=
？”，可以计算为
所以，3+5＋7＋??＋97+99=（99＋3）×49÷2= 2499。
这种算法的思路，见于书籍中最早的是我国古代的《张丘建算

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经》。张丘建利用这一思路巧妙地解答了“有女不善织”这一名题：
“今有女子不善织，日减功，迟。初日织五尺，末日织一尺，
今三十日织讫。问织几何？”
题目的意思是：有位妇女不善于织布，她每天织的布都比上一
天减少
一些，并且减少的数量都相等。她第一天织了5 尺布，最后一
天织了1 尺，一共织了30 天。问她一共织了多少布？
张丘建在《算经》上给出的解法是：
“并初末日织尺数，半之，余以乘织讫日数，即得。”“答曰：
二匹一丈”。 这一解法，用现代的算式表达，就是
1 匹=4 丈，1 丈=10 尺，
90 尺=9 丈=2 匹1 丈。（答略）
张丘建这一解法的思路，据推测为：
如果把这妇女从第一天直到第30 天所织的布都加起来，算式
就是 5＋????＋1
在 这一算式中，每一个往后加的加数，都会比它前一个紧挨着
它的加数，要递减一个相同的数，而这一递减 的数不会是个整数。 若
把这个式子反过来，则算式便是
1+??????＋5
此时，每一个往后的加数，就都会比它前一个紧挨着它的加数，
要递增一个相同的数。同样，这一递增的 相同的数，也不是一个整数。
假若把上面这两个式子相加，并在相加时，利用“对应的数相加和会

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相等”这一特点，那么，就会出现下面的式子：
所以，加得的结果是6×30=180（尺）
但这妇女用30 天织的布没有180 尺，而只有180 尺布的一半。
所以，这妇女30 天织的布是180÷2=90
（尺）
可见，这种解法的确是简单、巧妙和饶有趣味的。
【分组计算】一些看似很难计算的题目，采用“分组计算”的
方法，往往可以使它很快地解答出来。例如
求1 到10 亿这10 亿个自然数的数字之和。
这道题是求“10 亿个自然数的数字之和”，而不是“10 亿个
自然数之和”。什么是“数字之和”？例如，求1 到12 这12 个自
然数的数字之和，算式是1＋2＋3＋4＋5+6+7＋8+9+1＋0+1+1 +1+1＋
2=5l。 显然，10 亿个自然数的数字之和，如果一个一个地相加，那
是极麻 烦，也极费时间（很多年都难于算出结果）的。怎么办呢？我
们不妨在这10 亿个自然数的前面添上一个“0”，改变数字的个数，
但不会改变计算的结果。然后，将它们两两分组：
0 和999，999，999；1 和999，999，998；
2 和999，999，997；3 和999，999，996；
4 和999，999，995；5 和999，999， 994；
??? ???
依次类推，可知除最后一个数，1，000，000，000 以外，其他
的自然数与添上的0 共10 亿个数，共可以分为5 亿组，各组数字

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之和都是81，如0+9+9+9+9＋9＋9＋9＋9＋9=81
1+9+9＋9＋9＋9+9+9+9＋8=81
??????
最后的一个数1，000，000，000 不成对，它的数字之和是1。
所以，此题的计算结果是
（81×500，000，000）＋1
=40，500，000，000＋1
=40，500，000，001
【由小推大】“由小推大”是一种数学思维方法，也是 一种速
算、巧算技巧。遇到有些题数目多，关系复杂时，我们可以从数目较
小的特殊情况入手， 研究题目特点，找出一般规律，再推出题目的结
果。例如：（1
）计算下面方阵中所有的数的和。
这是个“100×100”的大方阵，数目很多，关系 较为复杂。不
妨先化大为小，再由小推大。先观察“5×5”的方阵，如下图（图
4.1）所示 。
容易看到，对角线上五个“5”之和为25。
这时，如果将对角线下面的部分（右下部分）用剪刀剪开，如图
4.2 那样拼接，那么将会发 现，这五个斜行，每行数之和都是25。所
以，“5×5”方阵的所有数之和为25×5=125，即5 3=125。
于是，很容易推出大的数阵“100×100”的方阵所有数之和为
1003=1，000，000。

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（2）把自然数中的偶数，像图4.3 那样排成五列。最左边的叫
第一列，按从左到右的顺序，其他叫第二、第三??第五列。那么2019
出现在哪一列：
因为从2 到2019，共有偶数2019÷2=1001（个）。从前到后，
是每8 个偶数为一组，每组都是前 四个偶数分别在第二、三、四、
五列，后四个偶数分别在第四、三、二、一列（偶数都是按由小到大的顺序）。所以，由1001÷8=125????
1，可知这1001 个偶数可以分为125 组，还余1 个。故2019 应
排在第二列。
【凑整巧算】用“凑整方法”巧算，常常能使计算变得比较简
便、快速。例如
（1）99.9+11.1=（90＋10）+（9+1）＋（0.9+0.1）



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