（3）．分解质因数的方法：把一个合数分解质因数，通常用短
除法。先用这个合数的质 因数（通常从最小的开始）去
除，直到得出的商是质数为止，然后把各个除数和最后
的商写成连 乘的形式。
5.公因数和公倍数。
1)．最大公因数：几个数公有的因数，叫做这几个数 的公因
数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。
2)．最小公倍数：几个数公有 的倍数，叫做这几个数的公倍
数；其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。
3）互质数：公因数只有1的两个数叫做互质数。
4）求两个数的最大公因数的方法：一般 采用列举法，先把这
两个数的因数分别一一列举出来，然后找出这两个数的
公因数，其中最大的 那个公因数
5）求两个数的最小公倍数的方法：一般也采用列举法，先把
这两个数的倍数按从 小到大的顺序分别列举出来，从中
找出这两个数公有的倍数，其中最小的那个公倍数就是
这两个 数的最小公倍数。
6．求两个数的最大公因数和最小公倍数的特殊方法：
两个数中，如果 较大数是较小数的倍数，那么较小数就
是这两个数的最大公因数，较大数就是这两个数的最小
公 倍数。 如果两个数是互质数，那么它们的最大公因
数就是1，最小公倍数就是这两个数的乘积。

五、数的运算（一）
1.四则运算的意义。
1）加法的含义：求两个数和的运算。
2）减法的含义：已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个
加数的运算。
3）乘法的意义：
（1）一个数乘整数，就是求几个相同加数和的简便运算。
（2）一个数乘小数，可以看做求这个数的十分之几、百分之几、、、
是多少。
（3）一个数乘分数，就是求这个数的几分之几是多少。
4) 除法的意义：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数
的运算。
2. 四则运算的计算方法
1)加法的计算方法：
(1) 整数：相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数相加满十
要向前一位进1。
(2) 小数：先把小数点对齐，从末位加起。哪一位上的数相加满
10，要向前一位进1。最后在得数里对齐横线上的小数点的位
置，点上小数点。
(3) 分数：同分母分数相加，分母不变，只把分子相加；异分母
分数相加，先通分，再按照 同分母分数加法的法则进行计算。

2）减法的计算方法
（1）整数：相同数 位对齐，从低位减起，哪一位上的数不够减，要
从前一位上退1，在本位上加十再减。
（2）小数：先把小数点对齐,再按整数减法的法则进行计算，最后
在得数里对齐横线上的小数点的位置 ，点上小数点。
（3）分数：同分母分数相减，分母不变，分子相减；异分母分数
相减，先通 分，再按照同分母分数加法的法则进行计算。
3）乘法的计算方法：
（1）整数乘法：相 同数位对齐，从低位到高位，用第二个因数每
一位上的数分别去乘第一个因数。用第二个因数的哪一位< br>上的数去乘，乘得的积的末位就要和那一位对齐，最后再
把每次所乘得的积相加。
（ 2）小数乘法：计算小数乘法，先按照整数乘法的计算方法算出
积，再看因数中一共有几位小数，就从积 的末位起数出几位，
点上小数点。
（3）分数乘法：分数乘分数，用分子相乘的积作分子， 分母相乘
的积作分母。在计算过程中，能约分的要约成最简分数。
（4）倒数：乘积为1的两个数互为倒数。
4）除法的计算方法：
（1）整数 除法：从被除数的最高位除起，除数是几位数，就看被
除数的前几位，如果前几位不够除，再多看一位， 除到被除数的哪
一位，就把商写在那一位的上面，每次除得的余数必须比除数小。

< br>（2）小数除法：除数是整数的小数除法，要按照整数除法的计算方
法去除，商的小数点要和被除 数的小数点对齐。如果除到被除数
的末尾仍有余数，就在余数的后面添0再继续除。
除数是小 数的除法，先向右移动除数的小数点，使它变成整数，
除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向 右移动几
位，位数不够时，在被除数的末尾用“0”补足，然后按除数
是整数的小数除法进行计 算。
（3）分数除法：甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数。
5）估算
在进行估算时，一般是将式中的数看作与它们接近的整十、整百、
整千数等进行计算。
3.运算各部分之间的关系
1） 加法：加数+加数=和 和—一个加数=另一个加数
2） 减法：被减数—减数=差 被减数—差=减数
减数+差=被减数
3）乘法：因数×因数=积 积÷一个因数=另一个因数
4)除法
能整除的：被除数÷除数=商 被除数÷商=除数
数×商=被除数
不能整除的：被除数÷除数=商……余数
商×除数+余数=被除数
4.

0与1在四则运算中的特性

a+0=a a-0=a a-a=0 a×0=0 a×1=a a÷1=a（a≠0）a-a=0
1÷a= （a≠0） a÷a=1

六、数的运算（二）
运算定律
1)加法交换率：a+b=b+a
2）加法结合律：a+b+c=a+(b+c)
3）乘法交换率：a×b=b×a
4）乘法结合律：（a×b）×c=a×c+b×c
5）乘法分配律：（a+b）×c=a×c+b×c
运算性质
1）减法的性质：a-(b+c)=a-b-c a-(b-c)=a-b+c
2）除法的性质（除数不等于0）：a÷(b×c)=a÷b÷c a÷(b÷c)=a÷b×c
(a+b) ÷c=a÷c+b÷c (a-b) ÷c=a÷c-b÷c
3.运算顺序
1．四则运算分为两级：加法和减法叫做第一级运算。乘法和除法
叫做第二级运算。
2．（ 1）在没有括号的算式里，如果只含有同一级运算，要从左
往右依次计算；如果含有两级运算，要先做第 二级运算，再
做第一级运算。（即：先乘除后加减）
（2）在有括号的算式里，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，
最后算括号外面的。
1
a

4.解决问题
1)用算术方法解应用题的一般步骤：
（1）审清题意，并找出已知条件或所求问题。
（2）分析数量关系，确定先算什么，再算什么，最后算什么。
（3）列式计算。
（4）检验并写出答语。
2）应用题的类型及解法。
1)归一问题：此类应用 题中暗含着单一量不变，文字叙述中多
带有类似“照这样计算”的字样，其解题的关键是从已知的一种对应量中求出单一量（即归一），再以它为标准，根据题目
要求算出所求量。
2)归 总问题：此类题中暗含的总量不变，即乘积不变。其解题
是先求出总数（即归总），根据总数算出所求量 。
3)行程问题：速度×时间=路程 路程÷速度=时间 路程÷时间=
速度
相遇问题：速度和×（相遇）时间=总路程。
追及问题：速度差×追及时间=路程差。
4)工程问题：工作效率×工作时间=工作总量（单位“1”）
工作总量（单位“1”）÷工作效率=工作时间
工作总量（单位“1”）÷工作时间=工作效率
5）分数应用是：关键是找准标量，即单位“1”。若单位“1”已知，
用乘法计算；若单位“ 1”未知，用除法计算。

（1）求甲比乙多（或少）几分之几（百分之几）的解题规律：甲乙
的差÷乙。
（2）已知甲比乙多（或少）几分之几（百分之几），求甲的解题规律：
乙×（1±几分之几）
（3）已知甲比乙多（或少）几分之几（百分之几），求乙的解题规律：
甲÷（1±几分之几）
（4）利息=本金×利率×时间 税后利息=本金×利率×时间×
（1-5%）
（5）应纳税额=总收入×税率

七、 式与方程
1. 用字母表示数、运算定律和计算公式
1）用字母或含有字母的式子可以表示数,括整数、小数、分数和百
分数
2)有字母的式子里，字母就读字母的名称，字母与字母、字母与数
字之间的乘号
可以记作“·”或省略不写。但要注意，在省略乘号的时候，应
当把数字写在字母的前面。
3）用字母表示除法、分数和比时，表示除数、分母及比的后项的字
母不能为0。 4．用字母表示运算结果时必须
是最简明的式子。
2.等式和简易方程

1）等式的含义：表示相等关系的式子叫做等式。
2）方程的含义：含有未知数的等式叫做方程。
3）等式与方程的关系：所有的方程都是等式，但是等式却不全是
方程。
4）方程的解的含义：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方
程的解。
5）解方程的含义：求方程的解的过程叫做解方程。
6）等式的性质：等式的两边都加上（或减去 ）同一个数，左右两
边仍然相等。这就是等式的性质（1）。
以一个不等于0的数，左右两边仍然相等。这就
是等式的性质（2）
7）列方程解应用题的步骤
（1）弄清题意，找出未知数并用x表示。
（2）找出应用题中数量间的相等关系，并根据等量关系列出方
程。
（3）解方程，求出未知数的值。
（4）检验并写出答语。


八、常见的量
1.

长度、面积和体积单位及其同类量之间的进率
1）长度单位：千米、米、分米、厘米、毫米。

1千米=1000米 1米=10分米 1分米=10厘米 1厘米=10毫米
2）面积单位：平方米、平方分米、平方厘米、平方千米、公顷
1平方千米=100公倾 1公倾=10000平方米 1平方米=100平方分米
1平方分米=100平方厘米
3）体积单位：立方米、立方分米、立方厘米、升、毫升。
1立方米=1000立方分米
1立方分米=1000立方厘米 1立方厘米=1000立方毫米
1升=1000毫升 1立方分米=1升 1立方厘米=1毫升
2.质量单位及其进率
质量单位：吨、千克、克。
1吨=1000千克 1千克=1000克 一吨=1000000克
3.

时间单位和它们之间的进率
（1）时间单位：有世纪、年、月、日、时、分、秒，还有季度、
旬、星期等。
（2）一年有12个月，平年全年 365天，闰年全年366天。
（2） 1、3、5、7、8、10、12月（每月31天） 是大月,

4、6、9、
11月 （每月30天）是小月，平年2月28天，闰年2月29
天，即不是大月，也不是小月
（3）一年有四个季度:

第一季度 1月、2月、3月，第二季度 4
月、5月、6月 ，第三季度 7月、8月、9月，第四季度
10月、11月、12月。
（4）日、时、分、秒等其他时间单位

1世纪=100年 1日=24时 1时=60分 1分=60秒 1
星期=7天
（5）平年、闰年的计算方法
根据公历年份判断，整百、整千的年份是400的倍数，其
他 年份是4的倍数的年份都是闰年，反之则是平年。
（6）人民币的单位及其进率。
人民币的单位有元、角、分。 1元=10角 1角=10分
4、名数之间的互化
1）名数的意义：计算的结果，要用数来表示，并且还要带上单位< br>名称，通常把它们合起来叫做名数。只带有一个单位名称的，叫
做单名数，如：1米、30天等； 带有两个或两个以上单位名称的，
叫做复名数，如：3吨50千克、1米5厘米等。
2）名数 的改写：把高级单位的名数改写成低级单位的名数用进率去
乘，反之用进率去除。如果进率是10、10 0、1000、、、、时，也可
以把小数点向右（或左）移动一位、两位、三位、、、来完成。




九、比和比例
1.比和比例的联系与区别
名称 比 比例

意义
各部分
名称
表示两个数相除
9 ： 6 = 1.5
前项 比号 后项 比值
表示两个比相等的式子
9 ： 6 = 3 ： 2
外项 内项
在比例中，两个内项的积等
于两个外项的积。
解比例的根据。
是一个等式，有四项
基本性比的前项和后项都乘或除以相同的
质

数（0除外），比值不变。
化简比的根据。
总体比表示两个数相除，有两项
较
2.

比和分数、除法的关系。
名称
比
分数
除法
前项
分子
被除数
联系
：（比号）
—（分数线）
÷（除号）
后项
分母
除数
比值
分数值
商
3.

求比值和化简比
分类 意义 方法 结果
一个数（是整数、分
数或小数）
求比值 前项除以后项所得的商 用前项除以后项
化简比 把两个数的比化成最简
单的整数比
前项和后项都乘或除以同一个数
一个比（或是带

（0除外），也可以用求比值的方
有比号，或是分

法，用前项除以后项，得出一个分
数形式的比）
数值。
4.

正比例和反比例的意义和判断方法
1）正比例 的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随
着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（ 也就是商）一

定，这两种量就叫做正比例的量，它们的关系叫做成正比例关系。
关系式：=k(一定)
2）反比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随
着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量
就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反 比例关系。关系式：
x×y=k(一定)
3）判断正、反比例的方法。
一找 二看三判断：即（1）找变化量：分析数量关系，确定哪
两种量是相关联的量。（2）看定量，分析这两 种相关联的量，
它们之间的关系是商一定，还是积一定。（3）判断：如果商一
定，就成正比例 ；如果积一定就成反比例；如果商或积都不是
定量，就不成比例。
5.

按比例分配问题。
（1）按比例分配应用题：把一个数量按照一定的比例分配成几部分，< br>求每部分数量各是多少的应用题叫做按比例分配应用题。
用正、反比例知识解答应用题。
（2）解题关键：正确判断正、反比例是解答比例应用题的关键。
（3 ）解题步骤： 1、分析数量关系，判断成什么比例。2、找等量
关系。如果是成正比例 ，则按“等比”找等量关系式；如果是成反比
例，则按：等积“找等量关系式。3、列比例式。设未知数 为x，并
代入等量关系式，得正或反比例式。4、解比例。5验算并写答语。

y
x

十、
空间与图形
1.

直线、射线、线段
名称
线段
射线
意义
直线上两点间的一段叫做线段
特征
线段有两个端点，它可以试度量长度
把线段的一端无限延长，就得到一
射线只有一个端点，它是无限
条射线
长的，不能度量长度
直线 把线段的两端无限延长，就可以没有端点，它是无限长的，不
得到一条直线。 能度量长度。
2.

垂直与平行。
1）垂直和垂线：两条直线相交成直角时，这两条直 线互相垂
直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交
点叫做垂足。
2）平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
两条平行线之间的距离相等。 同一平面内的两条直线不是平
行，就相交（垂直是相交的特例）。
3）点到直线的距离：从 直线外的一点向该直线引垂线，从这点
到垂足的线段的长，叫做这个点到直线的距离。
3.角的认识
1）角的意义：从一点引出的两条射线所组成的图形叫做角。
角的 大小与边的长短无关，与两边叉开的大小有关。
2）角分类
锐角：大于0° 小于90°。

直角 ：等于90°。
钝角：大于90°小于180°。
平角：等于180°.
周角：等于360°.
4.三角形
1）三角形的意义 ：由三条线段首尾相接围成的图形叫做三角
形。
2）三角形的各部分名称
围成三角形的三条线段叫做三角形的边；每两条边的交点叫做< br>三角形的顶点；每两条边所形成的角叫做三角形的内角。一个三
角形有三条边，三个顶点和三个内 角。 从三角形的一个顶点到
它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
3）三角形的分类
（1）按角来分
锐角三角形 ：三个角都是锐角
直角三角形 ：有一个角是直角
钝角三角形：有一个角是钝角
（2）按边来分
不等边三角形 三条边都不相等：
等腰三角形 ：有两条边相等
等边三角形（正三角形）： 三条边都相等
等边三角形是特殊的等腰三角形

4）三角形的特殊性质：三角形具有稳定性。
5）三角形的内角和是180°。
5.四边形
1）四边形的意义：由四条线段首尾相接围成的图形叫做四边形。
2）四边形的分类
（1）平行四边形：两组对边分别平行且相等，对角相等。
（2）长方形：两组对边分别平行且相等，四个角都是直角。
（3）正方形：四条边都相等，四个角都是直角。
（4）梯形：只有一组对边平行的四边形叫做梯形。
1、等腰梯形：两腰相等的梯形叫等腰梯形。
2、直角梯形：有两个角是直角的梯形叫直角梯。
6.圆
1）圆的意义：圆是一种封闭的曲线图形，图形上的任意一点到
某一定点的距离都相等。
2）圆的各部分名称
圆中心的一点，叫做圆心，圆心用字母0表示；圆心到圆上任
意一点的 线段叫做半径，半径用字母r表示；通过圆心并且两
端都在圆上的线段叫做直径，直径用字母d表示。
3）圆的特征
（1）在同圆或等圆中，d=2r或r=d÷2。
（2）圆是轴对称图形，圆的直径所在的直线都是它的对称轴，
圆有无数条对称轴。

十一、空间与图形（二）

1.

平面图形的周长和面积
1）周长的意义：围成一个图形的所有边长的总和叫做这个图形
的周长。
2）平面图形的周长的计算公式
名称
周长公
式
长方形 正方形
长方形的
周长=（长
+宽）×2
C
长
=2
（a+b）
平行四边形
三角形 梯形 圆
圆的周长=
圆周率×直
径（或=圆率
×半径×2）
C=πd
或 C=2πr
正方形的平行四边形三角形的周梯形的周长
周长 =边的周长=4条长=三条边=上、下底加
长×4 边长总和 长的和 上两腰长的
C
正
=4a 和
3）圆周率。
圆的周长与直径的比 值叫做圆周率，圆周率用“π”来表示圆
周率是一个无限不循环小数，π=3.14159263„„， 在计算时，
一般只取它的两位小数，即π≈3.14。 平面图形的面积。
4）面积的意义：物体的表面或围成的平面图形的大小，叫做它
的面积。
（1）长方形的面积=长×宽 S=ab
（2）正方形的面积=边长×边长 S=a²
（3） 平行四边形的面积=底×高 S=ab
（4）梯形的面积=（上底+下底）×高÷2 S=(a+b)h÷2
（5）三角形的面积=底×高÷2 S=ah÷2
（6） 圆的面积=圆周率×半径的平方 S=πr²
十二、空间与图形（三）

1.

长方体和正方体特征的异同点
名称
相同点
面


6
个
棱


12
条
不同点
顶点 面的特点


8
个
面的大小 棱长
相对棱的长度相
等。长方体的棱长
总和
C=4(a+b+h)

长
方
形
6个面，一般都是长方
相对的面
形（特殊情况可能有
完全相同
两个相对的面是正方
形）
正
方
形
6个面都是完全相同
6个面的面积12条棱的长度都相
的正方形。
都相等。 等。正方体的棱长
总和C=12a
2.

圆柱、圆锥和球的特征
名称
圆柱
特征
1．圆柱有3个面，上、下两个底面是相等的圆，侧面是 曲面。2．圆
柱两底面之间的距离叫做高，它有无数条高。3．圆柱侧面展开后是
长方形（或正 方形）。4．以长方形或正方形的一条边为轴旋转一周形
成直圆柱。
圆锥
1．圆锥有2个面，它的底面是圆，侧面是曲面。
2．圆锥的顶点到底面圆心的距离叫做高，圆锥只有一条高。
3．以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周形成直圆锥。

3.

立体图形的表面积和体积
1）表面积：一个立体图形所有的面的面积总和，叫做它的表
面积。

2）体积：一个立体图形所占空间的大小叫做它的体积。
3）立体图形的表面积和体积的计算公式。
名称 字母意义 侧面积 表面积 体积



s=4a²
S=ch
=2πrh
S=6a²
S=ch+2πr²

V=a²
V=sh =πr²
h
V=sh
长方体 a一长
b一宽
h一高
正方体 a一棱长
圆柱 s一底面积
r一底面半径
h一高
c一底面周长
圆锥 s一底面积
r一底面半径
h一高
S=2(a+b)S=(ab+ah+bh)×2 V=abh
h
V=sh÷3 =πr²h
十三、空间与图形（四）
1.图形与变换
（1）轴对称图形：把一个图形沿着某一条直线对 折，两边能够完
全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
（2）平移：物体或图形平移后本身的形状、大小和方向都不会改变。
（3）旋转：把一个图形绕着某一点O 转动一个角度的图形变换叫做
旋转。
2.图形与位置

1）确定物体的相对位置
（1）根据行、列用数对表示物体的位置。
竖排叫做列，横排叫做行，确定第几列一般是从左往右数 ，确定
第几行一般是从前往后数。用数对表示物体位置时，一般先表示
第几列，再表示第几行。 要用括号把列数与行数括起来，并在列
数和行数之间写个逗号，把两个数隔开。
（2）根据物体的方向和距离可以确定物体的位置。
2）线路图
1．看懂并描述线路图。
（1）根据方向标示弄清线路图的方向；（2）根据比例尺和测得的图上距离求出相应的实际距离；（3）弄清图中从哪儿按什么方向
走，走多远来到哪儿。
2．画线路图。
（1）确定方向；（2）根据实际距离及图纸的大小确定比例尺；
（3）求出图上距离；（4）以某一地点为起点，根据方向和图上
距离确定下一地点位置，再以下一地点为起点继续画。
3）比例尺
（1）比例尺的意义。
图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。
（2）求图上距离或实际距离。
图上距离=实际距离×比例尺；
实际距离=图上距离÷比例尺

十四、统计与概率
1、调查统计工作的主要步骤。
1）确定调查的主题和需要调查的数据。
2）确定调查方法：实地调查、测量，还是问卷调查，或是收
集各种媒体上的信息。
3）进行实际调查，把数据记录在统计表上。
4）对数据进行分析、整理，选择适当的统计图表表示数据。
5）分析数据，作出判断和预测
2、统计表
1）分类：（1）单式统计表：只有一组统计项目的统计表，叫做
单式统计表。 （2）复式统计表：有两组或两组以上统计项
目的统计表，叫做复式统计表。
2）制作统计表步骤：
（1）搜集整理数据；（2）确定表的格式和栏目数量，根据纸张 < br>大小制成表格；（3）填写栏目和各项目名称，并填写数（4）
计算总计和合计并填入表中，一般 总计放在横栏最左格，合计
放在竖栏最上格。（5）写好表格名称并注明制表时间。

3.

统计图
（1）条形统计图、折线统计图和扇形统计图的特点和作用
条形统计图 折线统计图 扇形统计图

特点 用一个单位长度表示一定的数量。
用整个圆面积表示总数，
用直条的长短表示用折线起伏表 示数
用圆内的扇形面积表示
数量的多少。
作用
量的增减变化。
各部分占总数的百分数。
从图中能清楚地看出从图中能清楚地看从图中能清楚地看出各
各数量的多少，便于出数量增减变化的部分与总数的百分比，以
相互比较。 情况，也能看出数量及部分与部分之间的关
的多少。 系。
4、平均数、中位数和众数
1）平均数：求平均数的实质主是将几个数量，在总量（和）不
变的情况下，通过移多补少， 使它们变为相等。求平均数的
基本数量关系式是：总数量÷总份数=平均数
2）中位数：把调 查得到的一组数据，按照大小顺序排列起来，
其中处于正中间的那一个数据叫做这组数据的中位数。如果
数据是偶数个时则取正中间的两个，计算了这两个数据的平
均数作为该组数据的中位数。
3）众数：在一组数据中，出现次数最多的那个数就叫做这组数
据的众数。
5、可能性
1）确定事件和不确定事件 ：会用一定、可能等词语描述事件。
2）体验事件发生的等可能性及游戏规则的公平性，能设计公
平的、符合指定要求的游戏或方案。
3）会求一些简单事件发生的可能性。

4）对简单事件发生的可能性作出预测。