九丈崖-党员干部公开承诺书

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人教版五年级数学下册知识点归纳总结
第一单元 观察物体（三）
1、根据一个方向观察到的形状摆小正方体，有多种摆法，无法确定立体图形的形状。
2、根据三个方向观察到的形状摆小正方休，只有1 种摆法。
3、只要对着原来物体的前面或后面的任意1个正方体添1个正方体，从正面看到的形状就都不变。
4、从正面、左面、上面3个不同的方向观察同一组物体而画出的图形就是三视图。
5、综合三视图的形状，可以确定出立体图形中小正方体的摆放位置，通常只有一种摆法。
6、由三视图拼摆正方体的方法：俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章。
7、先摆 出符合正面的立体图形，再摆出符合上面的立体图形，最后确定立体图形。根据从正面、左
面、上面观察 到的平面图形还原立体图形只有唯一的一种情况。
8、想象不出来时，用小正方体摆一摆就简单了。
第二单元 因数和倍数
1、整除：被除数、除数和商都是自然数，并且没有余数。
整数与自然数的关系：整数包括自然数。 最小的自然数是0
2、因数、倍数 ：在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是
被除数的因数。例： 12÷2=6， 12是6的倍数，6是12的因数。为了方便，在研究因数和倍数时，
我们所说的数是 自然数（一般不包括0）。
数a能被b整除，那么a就是b的倍数，b就是a的因数。因数和倍数是相互依存的，不能单
独存在。
一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。
一个数的因数的求法：成对地按顺序找。
一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。
一个数的倍数的求法：依次乘以自然数。
一个数的最大因数=最小倍数=它本身
3、2、3、5的倍数特征
1）奇数和偶数的意义：
在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数。
①自然数按能不能被2整除来分：奇数、偶数。
奇数：不能被2整除的数，叫奇数。也就是个位上是1、3、5、7、9的数。
偶数：能被2整除的数叫偶数（0也是偶数），也就是个位上是0、2、4、6、8的数。
②最小的奇数是1，最小的偶数是0.
③奇数、偶数的运算性质：
奇数±奇数=偶数 偶数±偶数=偶数 奇数±偶数=奇数（大减小）
奇数×奇数=奇数 奇数×偶数=偶数 偶数×偶数=偶数
2）数的整除特征

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整除数
2
3或9
5
2和5
2、3和5
4或25
8或125
7、11、13
末尾是0，2，4，6，8
特征
各数位上数的和是3或9的倍数
末尾是0或5
个位上的数是0
是30的倍数的数 （最大的两位数是90，最小的三位数是120）
末两位数所组成的数是4或25的倍数
末三位数所组成的数是8或125的倍数
末三位与前几位数的差（大减小）是7或11或13的倍数
例题：1、从0、4、5、8、9中取出三个数字组成三位数，
①在能被2整除的数中，最大的是（ 984 ），最小的是（ 450 ）
②在能被3整除的数中，最大的是（ 984 ），最小的是（ 405 ）
③在能被5整除的数中，最大的是（ 980 ），最小的是（ 405 ）
2、在四位数21□0的方框中填入一个数，使它能同时被2、3、5整除，最多能（ 4 ）种填法。
4、质数和合数
①质数和合数的意义：一个数，如果只有1和它本身两个因数， 这样的数叫做质素和（或素数）；
一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。
②自然数按因数的个数来分：质数、合数、1、0四类.
质数（或素数）：只有1和它本身两个因数。
合数：除了1和它本身还有别的因数（至少有三个因数：1、它本身、别的因数）。
1： 只有1个因数。“1”既不是质数，也不是合数。
0：
最小的质数是2，最小的合数是4，连续的两个质数是2、3。
所有的奇数都是质数。（ × ） 所有的偶数都是合数（ × ）
在1，2，3……自然数中，除了质数以外都是合数。（ × ）
两个质数的和是偶数。（ × ）
③质数×质数=合数 每个合数都可以由几个质数相乘得到，质数相乘一定得合数。
④20以内的质数：有8个（2、3、5、7、11、13、17、19）
100以内的质数 有25个：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、< br>59、61、67、71、73、79、83、89、97
100以内找质数、合数的技巧 ：看是否是2、3、5、7、11、13…的倍数，是的就是合数，不是
的就是质数。
5、最大、最小
A的最小因数是：1； 最小的奇数是：1；
A的最大因数是：A； 最小的偶数是：0；

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A的最小倍数是：A； 最小的质数是：2；
最小的自然数是：0； 最小的合数是：4
猜电话号码0592－A B C D E F G
提示：A——5的最小倍数 B——最小的自然数 C——5的最大因数 D——它既是4的倍数，
又是4的因数 E——它的所有因数是1，2，3，6 F——它的所有因数是1， 3 G——它
只有一个因数，这个号码就是 5054631
附：判断
（1）因为7×8＝56，所以56是倍数，7和8是因数 （ × ）
（2）1是1，2，3，4，5… 的因数（ √ ）
（3）14比12大，所以14的因数比12的因数多（ × ）
（4）因为1.2÷0.6=2，所以1.2是0.6倍数． ( × )
第三单元 长方体和正方体
1、长方体或正方体的认识
①一般是由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形叫做长方体。
两个面相交的边叫做棱。三条棱相交的点叫做顶点。
相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。
判断：长方体的三条棱分别叫做长方体的长宽高。（ × ）
长方体特点：

有6个面（6个面都是长方形或者4个面是长方形,2个面是正方形），8个顶点，12条棱 ，相
对的面的面积相等，相对的棱的长度相等。



一个长方体（ 不含正方体）最多有6个面是长方形，最少有4个面是长方形，最多有2个面
是正方形。最多有4个面完 全相同。用6个完全一样的长方形可以围成一个长方体（ × ）。
长方体12条棱可以分成3组，分别有4条长、4条宽、4条高。
②由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体（也叫做立方体）。
正方体特点：
正方体有12条棱，它们的长度都相等。有8个顶点。
正方形的6个面是完全相同的正方形。
正方体可以说是长、宽、高都相等的长方体，它是一种特殊的长方体。
3、比较
相同点
面
长方体 都有6个面，
12条棱，8个顶
正方体
点。
6个面都是长方形。
（有可能有两个相对的面是正方形）。
6个面都是正方形。 12条棱都相等。
不同点
棱
相对的棱的长度都相等

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4、 长方体、正方体有关棱长计算公式：
长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4＝长×4+宽×4+高×4 L=（a＋b＋h）×4
长= 棱长总和÷4－宽 －高 a=L÷4－b－h
宽= 棱长总和÷4－长 －高 b=L÷4－a－h
高= 棱长总和÷4－长 －宽 h=L÷4－a－b
正方体的棱长总和=棱长×12 L=a×12
正方体的棱长=棱长总和÷12 a=L÷12
例1、如图，有一个长5分米、宽 和高都是3分米的长方体硬纸箱，如果用绳子将箱子横着捆两道，
长着捆一道，打结处共用2分米。一共 要用绳子多长？

2、一盒饼干长20厘米，宽15厘米，高30厘米，现在要在它的四周< br>标纸，这张商标纸的面积是多少平方厘米？
2、长方体或正方体的表面积
表面积的意义：长方体或者正方体的6个面的总面积，叫做它的表面积。
长方体表面积的计算方法。
长方体表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2，用字母表示为S=2（ab+ah+bh）； 长方体的表面积=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2；用字母表示为：S=2ab+2ah+2bh.
无底（或无盖）长方体表面积= 长×宽＋（长×高＋宽×高）×2
S=2（ab＋ah＋bh）－ab S=2（ah＋bh）＋ab
无底又无盖长方体表面积=（长×高＋宽×高）×2 S=2（ah＋bh） 贴墙纸
正方体表面积的计算方法：
正方体的表面积=棱长×棱长×6 S=a×a×6 用字母表示： S= 6a2
生活实际：
油箱、罐头盒等都是6个面
游泳池、鱼缸等都只有5个面
水管、烟囱等都只有4个面。
注意1：用刀分开物体时，每分一次增加两个面。（表面积相应增加）
如：一根长方体木料，长1.5米，宽和厚都是2分米，把它锯成4段，表面积最少增加（ ）平方
分米．①8 ②16 ③24 ④32

贴上商
注意2：长方体 或正方体的长、宽、高同时扩大（或缩小）几倍，表面积会扩大（或缩小）倍数
的平方倍。如长、宽、高 各扩大3倍，表面积就会扩大到原来的9倍。
长、宽、高各缩小3倍，表面积就会缩小到原来的 1 9。
3、长方体和正方体的体积
（1） 体积的意义：物体所占空间的大小叫做物体的体积。
（2） 体积单位：立方米，立方分米，立方厘米 ；用字母表示为m
3
，dm
3
，cm
3
。
体积相邻单位间的进率是1000：1m
3
=1000dm
3
1dm
3
=1000cm
3

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（3）长方体的体积= 长×宽×高 V=abh
长= 体积÷宽÷高 a=V÷b÷h
宽= 体积÷长÷高 b=V÷a÷h
高= 体积÷长÷宽 h= V÷a÷b
正方体的体积= 棱长×棱长×棱长 V=a×a×a = a³ 读作“a的立方”
表示3个a相乘，（即a·a·a）


某纸盒厂生产一种正方体纸板箱，棱长40厘米，它的体积是多少立方厘米？合多少立方分米？
长方体的长为12厘米，高为8厘米，阴影部分的两个面的面积和是200平方厘米，这个长方体的体
积是多少立方厘米？


长方体的长是6厘米，宽是4厘米，高是2厘米，它的棱长总和是（ ）厘米，六个面中最大的面
积是（ ）平方厘米，表面积是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米．




将一个正方体钢坯锻造成长方体，正方体和长方体 （体积相等，表面积不相等 ）．
表面积相等的长方体和正方体的体积相比，（1）．①正方体体积大 ②长方体体积大 ③相等
体积相等的长方体和正方体的表面积相比，（2）．①正方体表面积大 ②长方体表面积大 ③相
等

（4）底面积
长方体或正方体底面的面积叫做底面积。（横截面积相当于底面积，长相当于高）。
长方体的体积= 长×宽×高 = 底面积×高 正方体的体积= 棱长×棱长×棱长
底面积 = 横截面面积×长 底面积
所以，长（正）方体的体积用字母表示：V=S h
如：1、表面积是54平方厘米的正方体，它的体积是（ ）立方厘米．
2、把一 块棱长是20厘米的正方体钢坯，锻造成底面积是16平方厘米的长方体钢材，长方体钢材长多
少厘米？
注意：一个长方体和一个正方体的棱长总和相等，但体积不一定相等。
长方体或正方体的长、 宽、高同时扩大几倍，体积就会扩大倍数的立方倍。如长、宽、高各扩
大2倍，体积就会扩大到原来的8 倍。
正方体的棱长扩大2倍，则体积扩大（ ）倍． ①2 ②4 ③6 ④8
(5) 体积单位间的进率：1m
3
=1000dm
3
1dm
3
=1000cm
3

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(6) 容积和容积单位：
箱子、油桶、仓库等（容器）所能容纳物体的体积，通常叫做他们的容积。
计量容积，一般就 用体积单位。计量液体的体积，如水、油等，单位升或毫升，常用的容积单位
有升和毫升，也可以写成L 和ml。
1升=1立方分米 1毫升=1立方厘米 1升=1000毫升
（1 L = 1 dm³ 1 ml = 1 cm³ 1 L = 1000 ml ）
长方体或正方体容器容积的计算方法，跟体积的计算方法相同。但要从容器里面量 长、宽、高。
（所以，对于同一个物体，体积大于容积。）



长方体的体积就是长方体的容积． （ ）
一个菜窖能容纳6立方米白菜，这个菜窖的（ ② ）是 6立方米． ①体积 ②容积 ③表
面积

一块长40厘米、宽30厘米的长方形铁板，把它的四个角分别切掉边 长为4厘米的正方形，
然后焊接成一个无盖的盒子。它的表面积是多少？容积是多少升？

* 形状不规则的物体可以用排水法求体积，形状规则的物体可以用公式直接求体积。
排水法的公式：V物体 =V现在－V原来
也可以 V物体 =S×(h现在- h原来)
V物体 = S×h升高

×进率
小单位
÷进率


大单位
进率： 1立方米＝1000立方分米＝1000000立方厘米 （体积相邻单位进率1000）
1立方分米＝1000立方厘米＝1升＝1000毫升
1立方厘米＝1毫升
1平方米=100平方分米=10000平方厘米
1平方千米=100公顷=1000000平方米
注意：长方体与正方体关系
把长方体或正方体截成若干个小长方体（或正方体）后，表面积增加了，体积不变。
【单位换算】 重量单位进率，时间单位进率，长度单位进率。
长度单位：1千米 =1000 米 1 分米=10 厘米 1厘米=10毫米 1分米=100毫米
1米=10分米=100厘米=1000毫米 （相邻单位进率10）
面积单位：1平方千米=100公顷 1公顷=10000平方米
1平方米=100平方分米 1平方分米=100平方厘米 （面积相邻单位进率100）
（7）、【体积单位换算】 大单位 小单位

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质量单位：1吨=1000千克 1千克=1000克
人 民 币：1元=10角 1角=10分 1元=100分
第四单元 分数的意义和性质
1、分数的意义：一个物体、一物体等都可以看作 一个整体，把这个整体平均分成若干份，这样的一
份或几份都可以用分数来表示。
2、单位“ 1”：一个整体可以用自然数1来表示，通常把它叫做单位“1”。（也就是把什么平均分什么
就是单位 “1”。）
1
4

的分数单位是 。
5
5
A
4
4、分数与除法A÷B= （B≠0，除数不能为0，分母也不能够为0） 例如： 4÷5=
B
5
3、 分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫做分数单位。如
5、真分数和假分数、带 分数
1、真分数：分子比分母小的分数叫真分数。真分数<1。
2、假分数：分子比分母大或分子和分母相等的分数叫假分数。假分数≧1
3、带分数：带分数由整数和真分数组成的分数。带分数＞1.
4、真分数＜1≤假分数 真分数＜1＜带分数
6、假分数与整数、带分数的互化
（1）假分数化为整数或带分数，用分子÷分母，商作为整数，余数作为分子， 如：
1
1021
=10÷5=2 =21÷5=4
5
55
（2）整数化为假分数，用整数乘以分母得分子 如：2=
（8）
2×4=8 （8作分子）
4
（3）带分数化为假分数，用整数乘以分母加分子，得数就是假分数的分子，分母不变，如：
5
1（26）
=

5×5+1=26
55
（4）1等于任何分子和分母相同的分数。如：1=
35100
24
= = = =… = =…
35100
24
7、分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。
8、最简分数：分数的分子和分母只有公因数1，像这样的分数叫做最简分数。
一个最简分数 ，如果分母中除了2和5以外，不含其他的质因数，就能够化成有限小数。反之则
不可以。
9 、约分：把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。如：
10、通分：把异分 母分数分别化成和原来相等的同分母分数，叫做通分。
24
4
=
30
5

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如：
85
21
和 可以化成

和
2020
54
11、分数和小数的互化
（1）小数化为分数：数小数位数。一位小数，分母是10；两位小数，分母是100……
如：0.3=
3
33
0.03= 0.003=

100
101000
（2）分数化为小数：
方法一：把分数化为分母是10、100、1000……
如：
3
63
=0.3 ==0.6
5
1010
1
25
==0.25
4
100
方法二：用分子÷分母 如： ＝3÷4=0.75
（3）带分数化为小数：先把
如：2
整数后的分数化为小数，再加上整数
3
4
3
=2+0.3=2.3
10
12、比分数的大小： 分母相同，分子大，分数就大；分子相同，分母小，分数才大。分数比较大
小的一般方法：同分子比较； 通分后比较；化成小数比较。
13、分数化简包括两步：一是约分；二是把假分数化成整数或带分数。
13
11324
=0.5 =0.25 =0.75 =0.2 =0.4 =0.6 =0.8
55
24455
13511
7
=0.125 =0.375 =0.625 =0.875 =0.05 =0.04。

8882025
8
14、两个数互质的特殊判断方法：
① 1和任何大于1的自然数互质。
② 2和任何奇数都是互质数。
③ 相邻的两个自然数是互质数。
④ 相邻的两个奇数互质。
⑤ 不相同的两个质数互质。 < br>⑥当一个数是合数，另一个数是质数时（除了合数是质数的倍数情况下），一般情况下这两个数也都
是互质数。
15、求最大公因数的方法：
① 倍数关系： 最大公因数就是较小数。
② 互质关系： 最大公因数就是1
③ 一般关系： 从大到小看较小数的因数是否是较大数的因数。
16、分数知识图解：

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16、分数知识图解：
分数的产生
分数的意义 分数与意义 ：把单位1平均分成几份，表示其中的一份或几份。
分数与除法 ：分子（被除数），分母（除数），分数值（商）。
真分数 真分数小于1
真分数与假分数 假分数 假分数大于1或等于1
带分数 （整数部分和真分数）
假分数化带分数、整数（分子除以分母，商作整数部分，余数作分子）
分数的基本性质 分数的分子、分母同时扩大或缩小相同的倍数， 分数的大小不变。
通分、通分子：化成分母不同，大小不变的分数（通分）
最大公因数
约 分 求最大公因数
最简分数 分子分母互质的分数（最简真分数、最简假分数）
约分及其方法
最小公倍数
通 分 求最小公倍数
分数比大小 （通分、通分子、化成小数）
通分及其方法
小数化分数 小数化成分母是10、100、1000的分数再化简
分数和小数的互化
分数化小数 分子除以分母，除不尽的取近似值
第五单元 图形的运动（三）
图形变换的基本方式是平移、对称和旋转。
1、轴对称: 如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形， 这条
直线叫做对称轴。
（1）学过的轴对称平面图形：长（正）方形、圆形、等腰三角形、等边三角形、等腰梯形……
等腰三角形有1条对称轴，等边三角形有3条对称轴，长方形有2条对称轴，正方形有4条对称轴，
等 腰梯形有1条对称轴，任意梯形和平行四边形不是轴对称图形。
（2）圆有无数条对称轴。
（3）对称点到对称轴的距离相等。
（4）轴对称图形的特征和性质：
①对应点到对称轴的距离相等；

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②对应点的连线与对称轴垂直；
③对称轴两边的图形大小、形状完全相同。
3、对称图形包括轴对称图形和中心对称图形。平行四边形（除棱形）属于中心对称图形。
2 、旋转：在平面内，一个图形绕着一个顶点旋转一定的角度得到另一个图形的变化较做旋转，定点
O叫做 旋转中心，旋转的角度叫做旋转角，原图形上的一点旋转后成为的另一点成为对应点。
（1）生活中的旋转：电风扇、车轮、纸风车
（2）旋转要明确绕点，角度和方向。
（3）长方形绕中点旋转180度与原来重合，正方形绕中点旋转90度与原来重合。等边三角形绕中点
旋转120度与原来重合。
旋转的性质：
（1）图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动；
（2）其中对应点到旋转中心的距离相等；
（3）旋转前后图形的大小和形状没有改变；
（4）两组对应点非别与旋转中心的连线所成的角相等，都等于旋转角；
（5）旋转中心是唯一不动的点。
3、对称和旋转的画法：旋转要注意：顺时针、逆时针、度数
第六单元 分数的加法和减法
（1） 同分母分数加、减法 （分母不变，分子相加减）
1、分数数的加法和减法 （2） 异分母分数加、减法 （通分后再加减）
（3） 分数加减混合运算：同整数。
（4） 结果要是最简分数
2、带分数加减法: 带分数相加减，整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的结果合并起来。
附：具体解释
（一）同分母分数加、减法
1、同分母分数加、减法： 同分母分数相加、减，分母不变，只把分子相加减。
2、计算的结果，能约分的要约成最简分数。
（二）异分母分数加、减法
1、分母不同，也就是分数单位不同，不能直接相加、减。 2、异分母分数的加减法：异分母分数相加、减，要先通分，再按照同分母分数加减法的方法进行
计 算。
（三）分数加减混合运算
1、分数加减混合运算的运算顺序与整数加减混合运算的顺序相同。
在一个算式中，如果有括 号，应先算括号里面的，再算括号外面的；如果只含有同一级运算，应
从左到右依次计算。
2、整数加法的交换律、结合律对分数加法同样适用。

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3、

1-

-

-

-

2262312342045
第七单元 统计
众数 一组数据中出现次数最多的数叫众数。
众数能够反映一组数据的集中情况。
统计 在一组数据中，众数可能不止一个，也可能没有众数。
复式折线统计图
综合应用 打电话的最优方案
1、众数： 一组数据中出现次数最多的一个数或几个数，就是这组数据的众数。
众数能够反映一组数据的集中情况。
在一组数据中，众数可能不止一个，也可能没有众数。
2、中位数：（1）按大小排列；
（2）如果数据的个数是单数，那么最中间的那个数就是中位数；
（3）如果数据的个数是双数，那么最中间的那两个数的平均数就是中位数。
3、平均数的求法：总数÷总份数=平均数
4、一组数据的一般水平：
（1）当一组数据中没有偏大偏小的数，也没有个别数据多次出现，用平均数表示一般水平。
（2）当一组数据中有偏大或偏小的数时，用中位数来表示一般水平。
（3）当一组数据中有个别数据多次出现，就用众数来表示一般水平。
4、平均数、中位数和众数的联系与区别:
① 平均数：
一组数据的总和除以这组数据个数所得到的商叫这组数据的平均数。
容易受极端数据的影响，表示一组数据的平均情况。
② 中位数：
将一组数据按大小顺序排列，处在最中间位置的一个数叫做这组数据的中位数 。
它不受极端数据的影响，表示一组数据的一般情况。
③ 众数：
在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数。
它不受极端数据的影响，表示一组数据的集中情况。
5、统计图： 我们学过——条形统计图、复式折线统计图。
条形统计图优点：条形统计图能形象地反映出数量的多少。
折线统计图优点：折线统计图不仅能表示出数量的多少，还能反映出数量的变化情况。
注：① 画图时注意：一“点”（描点）、 二“连”（连线） 三“标”（标数据）。
②要用不同的线段分别连接两组数据中的数。
6、 打电话：规律——人人不闲着，每人都在传。（技巧：已知人数依次 × 2）
（1）逐个法：所需时间最多。

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（2）分组法：相对节约时间。
（3）同时进行法：最节约时间。
第8单元 数学广角
用天平找次品规律：
1、把所有物品尽可能平均地分成3份，（如余1则放入到最 后一份中；如余2则分别放入到前两份中），
保证找出次品而且称的次数一定最少。
2、数目与测试的次数的关系：2～3个物体，保证能找出次品需要测的次数是1次
4～9个物体，保证能找出次品需要测的次数是2次
10～27个物体，保证能找出次品需要测的次数是3次
28～81个物体，保证能找出次品需要测的次数是4次
82～243个物体，保证能找出次品需要测的次数是5次
244～729个物体，保证能找出次品需要测的次数是6次
3、找次品规律
1 2 3 4 5 …次数
3 3×3 3×3×3 3×3×3×3 3×3×3×3×3 …
3 9 27 81 243 … 次品个数

第九单元 总复习（略）