广东职业技术学院-助学贷款申请书

人教版五年级数学下册知识点
班级： 姓名：
第一单元 观察物体
1、由几个大小相同的小正方体摆成的立体图形，从同一个方向观察， 看到的图形可
能是相同的，也可能是不同的。根据一个方向看到的图形摆立体图形，有多种摆法。 2、从同一个方向观察物体最多只能看到三个面。几何视图一般是根据三个方向观察
到的形状进行绘 制。
3、根据两个方向观察到的形状能确定所用小正方体的个数。根据三个方向观察到的
形状 摆小正方体结果只有一种。
第二单元 因数和倍数
1、在整数除法中，如果商是整数而没 有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数
是被除数的因数。因数和倍数是相互依存的，不能单独存在 。）
2、注意：为了方便，在研究因数和倍数时候，我们所说的数指的是自然数（一般不
包括0）
3、找因数的方法：①乘法②除法； 找倍数的方法：逐次乘自然数。
4、①一个数的最 小因数是1，最大因数是它本身。一个数的最小倍数是它本身，没
有最大的倍数。
②一个数的 因数的个数是有限的，一个数的倍数的个数是无限的。一个数的最大因
数和最小倍数是相等的都是它本身 。
③1是所有非0自然数的因数。也是任一自然数（0除外）的最小因数。
④一个数的因数至少有1个，这个数是1。
⑤一个数的因数都小于等于他本身，一个数的倍数都大于等于他本身。
5、因数＜或=它本身、倍数＞或 = 它本身、 最大的因数=最小的倍数=它本身。
一个数的倍数一定比它的因数大这种说法是错误的。一个数越大它的因数个数就越
- 1 -

多，一个数越小它的因数个数就越少。这种说法是错误的。
6、2 的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数。自然数中，是2的
倍数的数叫做偶数（0 也是偶数），不是2的倍数的数叫奇数。
7、5的倍数特征：个位上是0或5的数，都是5的倍数。
8、3的倍数的特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。个
位上是3、 6、9点数都是3的倍数是错误的说法。
9、2和5的倍数特征：个位上是0的数，既是2的倍数，也 是5的倍数。（就是10
的倍数）。
10、2和3的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8 ，而且各个数位上的数字的和是3
的倍数，这个数既是2的倍数，也是3的倍数。(就是6的倍数)。
11、3和5的倍数特征：个位上是0或者5，而且各个数位上的数字的和是3的倍数，
这个数 既是5的倍数，也是3的倍数。（就是15的倍数）。
12、2、3、5的倍数特征：个位上是0，而 且各个数位上的数字的和是3的倍数，这
个数同时是2、3、5的倍数。（就是30的倍数）能同时被2 、3、
5整除的最小两位数是30，最大两位数是90，最小三位数是120.
同时满足2，3，5的倍数，实际是求2×3×5=30的倍数。
4的倍数特征：一个数末尾两位数是4的倍数，这个数就是4的倍数。
一个数各位数上的和能 被9整除，这个数就是9的倍数。能被3整除的数不一
定能被9整除；能被9整除的数一定能被3整除。
如果两个数都是同一个数的倍数，那么这两个数的和或差也是这个数的倍数。
13、自然数按 能否被2整除分成奇数和偶数。所以我们说自然数不是奇数就是偶数。
最小的偶数是0，最小的奇数是1 ，没有最大的奇数和偶数，最小的自然数是0。
如果用n表示自然数，那么2n表示偶数， 2n+1表示奇数。相邻的两个自然数
相差1；相邻两个奇数相差2；相邻两个偶数相差2。
- 2 -

14、奇数+偶数=奇数 奇数+奇数=偶数 偶数+偶数=偶数
奇数－偶数=奇数 奇数－奇数=偶数 偶数－偶数=偶数
奇数×奇数=奇数 偶数×偶数=偶数 偶数×奇数=偶数
无论多少个偶数相加都 是偶数、偶数个奇数相加是偶数、奇数个奇数相加是奇
数。任意一个整数乘以2都变成偶数。
15、一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）；一个数，
如果除了1和它 本身还有别的因数，这样的数叫做合数。
1既不是质数，也不是合数。两个质数相乘的积一定是合数。质数×质数=合数
16、最小的质数是2，最小的合数是4 。2是偶数中唯一的质数称为偶质数；也是质
数中唯一的偶数。
17、100以内找质数、合 数的技巧：看是否是2、3、5、7、11、13…的倍数，是的
就是合数，不是的就是质数。
18、100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43 、47、
53、59、61、67、71、73、79、83、89、97 。
19、自然数按因数的个数分可分为1、质数和合数。
除2以外所有的质数都是奇数。
按是否是2的倍数来分：分为奇数和偶数两类；
自然数分类
按因数的个数来分：分为质数、合数和1三类。
第三单元 长方体和正方体
一、长方体、正方体的认识：长方体和正方体都是立体图形。正方体也叫立方体。
1、长方体 是由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。
在一个长方体中，相对的面完全 相同，相对的棱长度相等。
2、长方体有6个面。有12条棱，相对（也可以说是平行）的4条棱的长 度相等。
长方体有8个顶点。长方体最多有8条棱的长度相等，最多有4个面完全相同。
- 3 -

一个长方体最多有6个面是长方形，最少有4个面是长方形，最多有 2个面是正方
形。
3、相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。（长、 宽、高都
各有4条，分别平行并且相等）
4、长方体的棱长总和 = 长×4+宽×4+高×4 =（长+宽+高）×4
长方体的长=棱长总和÷4－ 宽－ 高； 长方体的宽=棱长总和÷4－ 长－ 高；
长方体的高=棱长总和÷4－ 长－ 宽
5、（1）正方体的6个面是完全相同的正方形。 （2）正方体的12条棱长度都相等。
（3）有8个顶点。
6、正方体是由6个完全相同的正方形围成的立体图形，所有的棱长度相等。
正方体可以看成是长、宽、高都相等的长方体，所以正方体是特殊的长方体。

相同点
面
不同点
棱
长方体 有6个面， 6个面都是长方形。（有可能有两个相对相对的棱平行且
12条棱， 的面是正方形）。相对的面完全相同。 长度都相等
正方体
8个顶点。
6个面都是正方形。面积都相等。 12条棱都相等。
7、正方体的棱长总和=棱长×12 正方体的棱长=棱长总和÷12
（如果用长60cm铁丝做成长方体或正方体，60cm就是长方体或正方体的棱长总和）
8、用棱长1cm的小正方体摆成稍大一些的正方体,至少需要8个小正方体。
二、长方体和正方体的表面积
1、长方体或正方体6个面的总面积，叫做它的表面积
2、长方体的表面积：
①长方体有“上”、“下”、“前”、“后”、“左”、“右”6个面。
- 4 -

上、下面每个面的面积＝长×宽；
前、后面每个面的面积＝长×高；
左、右面每个面的面积＝宽×高；
②长方体的表面积=（长×宽＋长×高＋宽×高）×2
用字母表示：S=2（ab＋ah＋bh）
长方体的表面积=长×宽×2＋长×高×2＋宽×高×2
用字母表示：S=2ab＋2ah＋2bh
无底（或无盖）长方体表面积= 长×宽＋（长×高＋宽×高）×2
S=2（ah＋bh）＋ab 或 S=2（ab＋ah＋bh）－ab
无底又无盖长方体表面积=（长×高＋宽×高）×2 S=2（ah＋bh）
③特殊长方体的表面积（有两个面是正方形）正方形的两个面完全相同，其余四个
面完全相同。
3、正方体的表面积
正方体的表面积=棱长×棱长×6 用字母表示： S= 6a
2

4、生活实际
油箱、罐头盒等都是6个面；游泳池、鱼缸等都 只有5个面；水管、烟囱等都只
有4个面。粉刷教室只有5个面。
5、注意1：用刀分开物体时，每分一次增加两个面。（表面积相应增加）
两物体拼成一个物体时，减少两个面。（表面积相应减少）
注意2：长方体或正方体的长、宽、高同时 扩大几倍，表面积会扩大倍数的平方
倍。（如长、宽、高各扩大2倍，表面积就会扩大到原来的4倍）。
长方体或正方体每截断一次会增加两个截面，这两个截面和它相对的面的面积相等，
所以这时的 两个物体的表面积大于原来物体的表面积。
三、长方体和正方体的体积
- 5 -

1、体积：物体所占空间的大小叫做物体的体积。（就是看物体含有多少个体积单位）
2、常用的体积单位有： 立方米（m
3
）、 立方分米（dm
3
）、 立方厘米（cm
3
）
① 棱长是1 cm的正方体，体积是1 cm
3
。如手指头的大小。
② 棱长是1 dm的正方体，体积是1 dm
3
。如黑板擦和粉笔盒的大小。
③ 棱长是1 m的正方体，体积是1 m
3
。
相邻两个体积单位之间的进率是1000 1 m
3
=1000 dm
3
1 dm
3
=1000 cm
3

3、长方体的体积
长方体的体积=长×宽×高 用字母表示：V=abh
4、正方体的体积
正方体的体积=棱长×棱长×棱长 用字母表示：V= a
3
（a·a·a也可以写作“a³”，
读作“a的立方”，表示3个a相乘）
5、底面积：长方体或正方体底面的面积叫做底面积。（也叫占地面积）。
6、长方体和正方体的体积公式：
长方体或正方体的体积 = 底面积 × 高 ；用字母表示： V=S
底
h（横截面积相当于
底面积，长相当于高）。
7 、一个长方体的长、宽、高（或正方体的棱长）分别扩大a倍，它的表面积就扩大
a
2
, 长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，体积就会扩大倍数的立方倍就是扩
大a
3倍。（如长、宽、高各扩大2倍，体积就会扩大到原来的8倍）。（例如：长方体
长、宽、高分别扩 大3倍，它的表面积就扩大3×3=9倍，体积扩大3×3×3=27倍）

÷进率
8、低级单位 高级单位
×进率

长度单位：千米（km），米(m)，分米(dm)，厘米(cm)，毫米(mm)
1km=1000m 1m=10dm 1dm=10cm 1cm=10mm 1m=100cm
面积单位：平方千米(km²)，公顷，平方米(m²)，平方分米(dm²)，平方厘米(cm²)
- 6 -

1km²=100公顷＝1000000m² 1公顷＝10000 m²
1m²=100dm² 1dm²=100cm² 1m²=10000cm²
体积单位：立方米(m³)，立方分米(dm³)，立方厘米(cm³)
1m³=1000dm³ 1dm³=1000cm³ 1m³=1000000 cm³
容积单位：升（L），毫升（ml）
1L=1000ml 1L=1 dm³ 1mL=1cm³
质量单位：吨（t）,千克（kg），克（g）
1t=1000kg 1kg=1000g
长度、面积、体积不可以相互比较，所以不可能相等。
9、一个长方体和一个正方体的棱长总和相等，但体积不一定相等，正方体体积大于
长方体体积。
10、箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做它们的容积。
11、固体一般就用 体积单位，计量液体的体积，如水、油等，常用容积单位升和毫
升，也可以写成L和ml。
1 3、把长方体或正方体截成若干个小长方体（或正方体）后，表面积增加了，体积
不变。用8个小正方体 拼成的大正方体拿走一块小正方体，体积减少，表面积不变。
14、容积的计算：
长方体和 正方体容器容积的计算方法，跟体积的计算方法相同，但要从里面量长、
宽、高。（所以对于同一个物体 体积大于它的容积）。
15、排水法：（计算不规则物体的体积）形状不规则的物体可以用排水法求体 积，形
状规则的物体可以用公式直接求体积。排水法的公式：

被浸没物体的体积等于


（1）装满水：排出水的体积=不规则物体的体积。
（2）放入物体后的总体积—放入物体前水的体积=不规则物体的体积。
V物体 =V现在－V原来
- 7 -

① 容器的底面积×上升那部分水的高度。
计算方法
② 放入物体后的体积—原来水的体积
上升那部分水的体积

（3）用装水的长方体（或正方体）的长×宽× 物体放入后水面上升的高度=不规则
物体的体积。V物体 =S
底
×(h现在－ h原来)
（4）因为放入物体前后底面积不会变。所以不规则物体的体积=长方体底面积×水< br>面上升的高度（放入物体后水面高度—放入前水的高度）。V物体 = S
底
×h升高。
16、物体的体积不会随着物体的位置和形状的变化而变化。把一个正方体铁球熔铸
成长方体， 体积不变。
17.正方体的展开图
正方体的平面展开图一共有11种。

18、包装盒能否装下玻璃器皿，不仅要看体积，还要看物体的长、宽、高能否
装下。
19、对于一个n×n×n的正方体，其涂色情况如下：
三面都涂色：8个（只有位于正方体8个顶点的地方才三面都涂色）
两面涂色：（n—2）×12个（两面涂色的位于正方体两个面的交界处，但又不
在顶点处）
一面涂色：（n—2）×（n—2）×6个（一面涂色的小正方体位于正方体每个面
的中心部位 ）
各面都没有涂色=总块数－三面涂色的块数－两面涂色的块数－一面涂色的块
数
- 8 -

第四单元 分数的意义和性质
一、分数的意义
 在进行测量、分物或计算时，往往不能正好得到整数的结果，这里常用分数来表示。
 一个物体、一 个计量单位或是一些物体等都可以看作一个整体，一个整体可以用自然数1来表
示，我们通常把它叫做单 位“1”。单位“1”与自然数1不同。单位“1”的量也叫标准量，用
来跟标准量比较的量叫做比较量 。
 单位“1”的找法：“是”、“占”、“相当于”、“比”字后面的量，“的”字前面的量。如 果含有
分数不带单位的那句话中一个关键字也没有，可以加进去再找。
 把单位“1”平 均分成若干份，表示这样一份或几份的数叫做分数。（如：
7
表示把单位“1”
88
平均分成8份，表示其中7份的数）（把一根8米长的铁丝平均分成5分，每段长米，每段
5
11
3
占整根铁丝的）。1米的和3米的一样大。
5
55
 3 分子：表示有这样的几份。 分数线表示平均分
4 分母：表示把单位“1”平均分成的份数。
 写分数时先写分数线，再写分母，最后写分子。
 解决问题时，分数有带单位时表示数 量，最后带什么单位就来分谁，分成几份就除以几；不带
单位表示份数与数量无关。
 把单 位“1”平均分成若干份，表示这样一份的数叫做分数单位。（如：1
7
1
的分数单位 是，
9
9
它有16个这样的分数单位。带分数有几个分数单位要先把带分数化成假分数 ，再看分子是多
少）一个分数的分母是几，它的分数单位就是几分之一；分子是几，它就有几个这样的分 数单
1
位。分母相同，分数单位就相同；分母不同，分数单位就不同。最大的分数单位是，没有 最
2
小的分数单位，分母越小分数单位就越大。
 分数与除法的关系：（被除数相当于分数的分子；除数相当于分数的分母;除号相当于分数的分
数线）
 被除数÷除数=
被除数分子
=分子÷分母 （除数不能为0，分母也不能够为0）。 a
除数分母
a
÷b=（b≠0）
b
- 9 -

3
 一个分数，不但可以从分数 的意义上理解，也可以从分数与除法的关系上理解。例如：
表示
4
把单位“1”平均分 成4份，取其中3份的数；也可以表示为把3平均分成4份，得1份的数。
 “求一个数是（占）另 一个数的几分之几”和“求一个数是另一个数的几倍”都用除法计算，
即一个数÷另一个数=一个数是另 一个数的几分之几（或几倍）。用“是”“占”前面的量除以
他们后面的量。求鹅的只数是鸭的几分之几 用（鹅的只数）÷（鸭的只数）=鹅的只数是鸭的
几分之几。
二、真分数和假分数
 分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于1。
 分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数。假分数大于1或等于1。
 由整数（不包括0） 和真分数合成的数叫做带分数。带分数大于1。带分数是一部分假分数（分
子不是分母的倍数）的另外一 种书写形式，所以分数只分为真分数和假分数。真分数＜1≤假
分数。带分数的读法：先读整数部分，再 读分数部分，中间加个“又”字。
a
 在
中（a为非0自然数），当a<9时，它 是真分数；当a≥9时，它是假分数；当a是9的倍
9
数时，它能化成整数。
 把 假分数化成整数或带分数：根据分数与除法的关系，用分子除以分母。如果能整除时，那么
14
=14÷7=2。如果不能整除，那么商就是带分数的整数部分，
7
14
余数就是带分 数的分数部分的分子，分母不变。 如：，14÷3=4……2，分子除以分母商是
3
142
4作带分数的整数部分，余数是2作分数部分的分子，分母是原来的分母3，所以=14÷3=< br>4
。
3
3
商就是所要化成的整数。如：
 带分数化成假分数的方法：用带分数的整数部分乘分母加分子作假分数的分子，分母不变。
 任何整 数都可以看成分母是1的分数。当分子和分母相等时，分数值是1，是最小的假分数，
34
没有 最大的假分数。整数都比分数大是错误的。和中间有无数个分数。
55
三、分数的基本性质
 分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变。这叫做分数的基本
性质。
 利用分数的基本性质可以把分母不同的分数化成分母相同的分数；也可以把一个分数化成指定
分母的分数。
- 10 -

四、约分、通分
 几 个数公有的因数，叫做它们的公因数。其中最大的公因数，叫做它们的最大公因数。公因数
的个数是有限 的。1是所有非0自然数的公因数。
 两个数的公因数是最大公因数的因数；最大公因数是公因数的倍数。
 几个数公有的倍数，叫做它们 的公倍数。其中最小的一个公倍数，叫做它们的最小公倍数。公
倍数的个数是无限的。
 两 个数的公倍数是它们的最小公倍数的倍数；最小公倍数是公倍数的因数；最小公倍数的倍数
也是这两个数 的公倍数。
 任意两个数的最大公因数和最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。任意两个数的最小 公倍数
一定大于这两个数和最大公因数一定大于这两个数是错误的。
 分解质因数：把一个合数分解成多个质数相乘的形式。
➢ 用短除法
分解质因数 （合数＝质数×质数×……×质数）。
．．．
➢ 比如：30分解质因数是：（30 ＝ 2×3×5）
2 30
3 15
5
 互质数：公因数只有1的两个数，叫做互质数。
➢ 两个质数的互质数：5和7 两个合数的互质数：8和9
➢ 一质一合的互质数：7和8
※ 两数互质的特殊情况：
（1） 1和任何自然数互质；⑵ 相邻两个自然数互质； ⑶ 两个质数一定互质；
（4） 2和所有奇数互质； （5）相邻两个奇数互质。
 最大公因数和最小公倍数的特殊求法： 当两个数成倍数关系时，它们的最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数；当两个数只有公因
数1 时（互质时），最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。如：32是8的倍数，它们的最大
公因数是 8，最小公倍数是32。（A÷B=6或A=6B说明A和B成倍数关系则最大公因数是较小数
B，最小 公倍数是较大数A）
 一般关系的两个数求最大公因数和最小公倍数的方法：
用12和16来举例
 求法一：（列举法）先分别找出两个数的因数（倍数），再从中找出 公因数（公倍数），最后找
出最大公因数（最小公倍数）。
- 11 -

 最大公因数的求法：
12的因数有：1、2、3、4、6、12
16的因数有：1、2、4、8、16
公因数是1、2、4
最大公因数是4

 求法二：（筛选法）
 最小公倍数的求法：
12的倍数有：12、24、36、48、…
16的倍数有：16、32、48、…
公倍数是48，96……
最小公倍数是48
➢
先找出两个数中较小数的 因数，再从中圈出另一个数的因数，最后看圈出的因数中哪一个最大。
如16和12的公因数：
○
1，
○
2 ，3，
○
4 ，6，12
➢
先写 出两个数中其中一个数的倍数，再从中圈出另一个数的倍数，最后找出最小的一个。如
48
，6 4，80，○
96
……
16和12的公倍数：
16，32，○
 求法三：（分解质因数法或短除法）
➢ 分解质因数法就是将几个数各自分解成质因数的形式，把公有 的质因数相乘得到的就是最大公
因数。除了相同的还要乘不同的数得到的就是最小公倍数。
12=2×2×3
16=2×2×2×2
最大公因数是：2×2=4 （相同乘）
最小公倍数是：2×2 × 3×2×2= 48 （相同乘× 不同乘）
➢ 短除法：用短除法求两个数或三个数的最大公因数 （除到互质为止）
用短除法求两个数或三个数的最小公倍数（除到互质为止）
除到两数互质 时最大公因数是短除号前面的数相乘；最小公倍数除了短除号前面的还要乘以短
除号下面的数。三个数的 最大公因数除到有互质的数就行，最小公倍数要除到任意两个数都互
质为止。
 分数的分子和分母只有公因数1，像这样的分数叫做最简分数。
 把一个分数化成和它相等，但分子 和分母都比较小的分数，叫做约分。约分通常要约成最简分
数。约分和通分的根据是分数的基本性质。
 约分的方法：
➢ 逐次约分法：用分子和分母的公因数（1除外）依次去除分子和分母， 除到分子和分母的公因
数只有1为止。
➢ 一次约分法：用分子和分母的最大公因数去除分子和分母。
- 12 -

 分数比较大小的方法：
➢ 分母相同的两个分数，分子大的分数比较大。
➢ 分子相同的两个分数，分母小的分数反而比较大。
 把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。
 通分的方法：通分时要用原分母 的公倍数（最好是最小公倍数）做它们的公分母比较合适，把
每个分数化成用这个公倍数（最小公倍数） 作分母的分数。
五、分数和小数的互化
 小数化成分数的方法：因为小数表示的是十分之 几，百分之几，千分之几……的数，所以可以
直接写成分母是10、100、1000……的分数。原来 是几位小数，就在1后面写几个0作分母，
把原来的小数去掉小数点作分子，能约分的要约成最简分数。
 分数化成小数的方法：
※ （1）当分母是10，10，1000……的分数化成小数， 可以直接去掉分母，看1后面有几个0，
就从分子的右边起向左数出几位，点上小数点，如果位数不够时 ，用“0”补足。
※ （2）分母不是10，100，1000……的分数化成小数，根据分数与除法 的关系，用分子除以分母，
除不尽时，要根据需要按“四舍五入”法保留几位小数。如果没有特殊要求， 一般保留两位小
数。
 常用分数和小数：
1131234
= 0.5 = 0.25 = 0.75 = 0.2 = 0.4 = 0.6 = 0.8
2445555
135711
➢
= 0.125 = 0.375 = 0.625 =0.875 = 0.05 = 0.04。
88882025
➢
 一个最简分数，如果分母中除了2和5以外，不含其他的质 因数，就能够化成有限小数。如果
分母中除了2和5以外，还含其他的质因数就不能够化成有限小数。
第五单元 图形的运动（三）
 描述图形的旋转时，要说清楚“绕哪个点旋转”“向什么方 向旋转”“旋转了多少度”。也就是
要明确旋转中心，旋转角度和旋转方向。
 旋转的三要素：旋转中心（固定点），旋转角度和旋转方向。旋转方向分为顺时针旋转和逆时
针旋转。
 图形旋转的特征：旋转中心的位置不变，过旋转中心的所有边旋转的方向相同，旋转的角度也
相同。
 图形旋转前后，形状和大小都没有发生变化，只改变了物体的位置。旋转点O点位置不变。钟
表上共有12小格，每一格为30
°
。
- 13 -

 在方格纸上画简单图形旋转90°的方法：
※ ①找出原图形的关键点，根据旋转点和旋转方向，借助三角尺作某一条线段的垂线；
※ ②从旋转点开始，在所作的垂线上量出与原来线段相等的长度，并标出对应点；
※ ③顺次连接所画出的对应点，就得到了旋转后的图形。
第六单元 分数的加法和减法
一、同分母分数加、减法
➢ 分数加法的意义与整数加法的意义相同，都是把两个或两个以上的数合并成一个数的运算。
➢ 同分母分数相加，分母不变，只把分子相加；计算的结果，能约分的要约成最简分数。
➢ 分数减法的含义与整数减法的含义相同，都是已知两个数的和与其中的一个加数，求另一个加
数的运算。
➢ 同分母分数减法的计算方法：分母不变，分子相减。
二、异分母分数加、减法
异分母分数相加、减，先通分，再按照同分母分数加、减法的计算方法计算。异分母分数不能直
接相加减 是因为他们的分数单位不同。结果要约成最简分数。
三、分数加减混合运算
➢ 分数加减混 合运算的运算顺序与整数加减混合运算的顺序相同。没有括号的，按照从左到右的
顺序依次计算。有括号 的先算括号里面的，再算括号外面的。
➢ 计算没有括号的异分母分数的混合运算，可以分步通分进行 计算，也可以将几个分数一次性通
分进行计算。
➢ 整数加法的交换律、结合律和减法的运算 性质在分数加、减法中同样适用。利用运算定律可以
使一些分数计算变得简单。
 运算定律： 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变，即a+b = b+a 。
➢ 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再
和第一个数相加它们的和不变，即（a+b)+c = a+(b+c) 。
➢ 减法的性质：从一个数里连续减去几个数，可以从这个数里减去所有减数的和，差不变，即a
－b－c = a－(b+c)
第七单元 折线统计图
 折线统计图的意义：用一个单位长度表示一 定的数量，根据数据的大小描出各点，然后把各点
顺次连接起来，所得的统计图叫做折线统计图。
 折线统计图的特点：既可以反映数量的多少，又可以反映数量的增减变化情况。
 折线统计图的制作方法：（1）标出统计图的名称。（2）建立横轴和纵轴。
- 14 -

（3）描点、连线。 （4）标注数据。
 复式折线统计图的意义 ：在统计过程中存在两组数据，又需要在一个统计图中表示这两组数据，
并且要用两条不同的折线表示不 同数据的变化情况的统计图，就是复式折线统计图。
 复式折线统计图的特点：不但能表示出多组数 据的多少，数量的增减变化情况，而且便于比较
两组数据的差异和变化趋势。
 复式折线统 计图的制作方法：与单式折线统计图的制作方法基本相同，只是用不同的折线来表
示不同的量，并标明图 例。
第八单元 数学广角——找次品
 从3个物品中找次品的基本思路：用天平称一次， 判断出次品是否在托盘上。也就是说通过推
理，确定次品是这三个中的哪一个。
 找次品的 最优策略：一是把待分的物品分成3份；二是要分得尽量平均。能够平均分的就平均
分成3份，不能平均 分的，也应该使最多的一份与最少的一份只相差1。这样可以保证找出次
品称量的次数最少。
 用天平找次品时，所测物品数目与测试的次数。有以下关系：
要辨别的物品数目
2－－3（1×3）
4－－9（3×3）
10－－27（9×3）
28－－81（27×3）
82－－243（81×3）
244——729（243×3）
……
数目与测试的次数的关系：
2～3个物体，保证能找出次品需要测的次数是1次
4～9个物体，保证能找出次品需要测的次数是2次
10～27个物体，保证能找出次品需要测的次数是3次
28～81个物体，保证能找出次品需要测的次数是4次
82～243个物体，保证能找出次品需要测的次数是5次
244～729个物体，保证能找出次品需要测的次数是6次
保证能找出次品需要测的次数
1
2
3
4
5
6
……

- 15 -