最新人教版小学五年级数学上下册知识点归纳总结
食品科学与工程排名-网络经典语录
一:小学五年级数学上册复习教学知识点归纳总结
第一单元小数乘法
1、小数乘整数:
@意义——求几个相同加数的和的简便运算。
如:1.5×3表示求3个1.5的和的简便运算(或1.5的3倍是多少)。
@计算方法:
先把小数扩大成整数;按整数乘法的法则算出积;再看因数中
一共有几位小数,就从积的右边起数出几位
点上小数点。
2、小数乘小数:
@意义——就是求这个数的几分之几是多少。
如:1.5×0.8就是求1.5的十分之八是多少(或求1.5的1.8倍是多少)。
@计
算方法:先把小数扩大成整数;按整数乘法的法则算出积;再看因数中
一共有几位小数,就从积的右边起
数出几位点上小数点。
注意:按整数算出积后,小数末尾的0要去掉,也就是把小数化简;位数
不够时,要用0占位。
3、规律:
一个数(0除外)乘大于1的数,积比原来的数大;
一个数(0除外)乘小于1的数,积比原来的数小。
4、求近似数的方法一般有三种:
⑴四舍五入法; ⑵进一法; ⑶去尾法
5、计算钱数,保留两位小数,表示计算到分;保留一位小数,表示计算到
角。
6、小数四则运算顺序和运算定律跟整数是一样的。
7、运算定律和性质:
@
加法:
加法交换律:a+b=b+a
加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)
@ 减法:
a-b-c=a-(b+c)
a-(b+c)=a-b-c
@ 乘法:
乘法交换律:a×b=b×a
乘法结合律:(a×b)×c=a×(b×c)
乘法分配律:(a+b)×c=a×c+b×c【(a-b)×c=a×c-b×c】
@
除法:
a÷b÷c=a÷(b×c)
a÷(b×c) =a÷b÷c
第二单元 位 置
1、数对:由两个数组成,中间用逗号
隔开,用括号括起来。括号里面的数
由左至右分别为列数和行数,即“先列后行”。
2、作用:一组数对确定唯一 一个点的位置。经度和纬度就是这个原理。
例:在方格图(平面直角坐标系)中用数对(3,5)表示(第三列,第五
行)。
注:(1)在平面直角坐标系中X轴上的坐标表示列,y轴上的坐标表示行。
如:数对(3,2)表示第
三列,第二行。
(2)数对(X,5)的行号不变,表示一条横线,(5,Y)的列号不变,表示一条竖线。(有一个数不确定,不能确定一个点)
2、图形左右平移行数不变;图形上下平移列数不变。
第三单元小数除法
1、小数除法的意义:已知两个因数的积与其中的一个因数,求另一个因数
的运算。
如:0.6÷0.3表示已知两个因数的积0.6与其中的一个因数0.3,求另一
个因数的运算。 <
/p>
2、小数除以整数的计算方法:小数除以整数,按整数除法的方法去除。商
的小数
点要和被除数的小数点对齐。整数部分不够除,商0,点上小数点。如
果有余数,要添0再除。
3、除数是小数的除法的计算方法:先将除数和被除数扩大相同的倍数,使
除数变成整数,再按“除数
是整数的小数除法”的法则进行计算。
注意:如果被除数的位数不够,在被除数的末尾用0补足。 <
br>4、在实际应用中,小数除法所得的商也可以根据需要用“四舍五入”法保
留一定的小数位数,求
出商的近似数。
5、除法中的变化规律:
①商不变:被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数(0除外),商不变。
②除数不变,被除数扩大,商随着扩大。
③被除数不变,除数缩小,商扩大。
6、
循环小数:一个数的小数部分,从某一位起,一个数字或者几个数字依
次不断重复出现,这样的小数叫做
循环小数。
@
循环节:一个循环小数的小数部分,依次不断重复出现的数字。如
6.3232……的循环节是32.
7、小数部分的位数是有限的小数,叫做有限小数。小数部分的位数是无限
的小数,叫做无限小
数。
第四单元可能性
1、有些事件的发生是确定的,有些是不确定的。
可能
(不能确定)
可能性 不可能
(确定)
一定
2、事件发生的机会(或概率)有大小。
大 数量多
可能性
小 数量少
第五单元简易方程
1、在含有字母的式子里,字母中间的乘号可以记作“·”,也可以省略不
写。
注:
加号、减号除号以及数与数之间的乘号不能省略。
2、a×a可以写作a·a或a
2
读作a的平方。
注: 2a表示a+a ; a
2
表示a×a
3、方程:含有未知数的等式称为方程。
4、使方程左右两边相等的未知数的值,叫做方程的解。
5、求方程的解的过程叫做解方程。
6、解方程原理:天平平衡。
等式左右两边同时加、减、乘、除相同的数(0除外),等式依然成立。
7、10个数量关系式:
@ 加法;
和=加数+加数 ;
一个加数=和-两一个加数
@ 减法:
差=被减数-减数 ;
被减数=差+减数 ;
减数=被减数-差
@乘法:
积=因数×因数 ;
一个因数=积÷另一个因数
@
除法:
商=被除数÷除数 ;
被除数=商×除数 ;
除数=被除数÷商
第六单元多边形的面积
1、长方形:
@
周长=(长+宽)×2——【长=周长÷2-宽;宽=周长÷2-
长】
字母表示:C=(a+b)×2
@面积=长×宽
字母表示:S=ab
2、正方形:
@周长=边长×4
字母表示:C=4a
@面积=边长×边长
字母表示:S=a
3、平行四边形的面积=底×高
字母表示:
S=ah
4、
三角形的面积=底×高÷2 ——【底=面积×2÷高;高=面积×2÷底】
字母表示: S=ah÷2
2
5、梯形的面积=(上底+下底)×高÷2
字母表示: S=(a+b)h÷2
上底=面积×2÷高-下底,
下底=面积×2÷高-上底;
高=面积×2÷(上底+下底)
6、平行四边形面积公式推导:剪拼、平移、割补法
7、三角形面积公式推导:旋转 、拼凑法
平行四边形可以转化成一个长方形;
两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形,
长方形的长相当于平行四边形的底;
平行四边形的底相当于三角形的底;
长方形的宽相当于平行四边形的高;
平行四边形的高相当于三角形的高;
长方形的面积等于平行四边形的面积,
平行四边形的面积等于三角形面积的2倍,
因为长方形面积=长×宽,所以平行四边形面积=底×高。
因为平行四边形面积=底×高,所以三角形面积=底×高÷2
8、梯形面积公式推导:旋转、拼凑法
9、两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形;
平行四边形的底相当于梯形的上下底之和;
平行四边形的高相当于梯形的高;
平行四边形面积等于梯形面积的2倍,
因为平行四边形面积=底×高,所以梯形面积=(上底+下底)×高÷2
10、等底等高的平行四边形面积相等;等底等高的三角形面积相等;
等底等高的平行四边形面积是三角形面积的2倍。
11、长方形框架拉成平行四边形,周长不变,面积变小。
12、组合图形面积(或阴影部分
面积):转化成已学的简单图形,通过加、
减进行计算(整体-部分=另一部分)。
第七单元数学广角——植树问题
1、 只载一端(封闭线路植树问题)
如
间隔数=棵树 间隔长×间隔数=全长
全长÷间隔长=间隔数 全长÷间隔数=间隔长
2、 两端都载:
图:
或
如图:
间隔数+1=棵树
间隔长×间隔数=全长
全长÷间隔长=间隔数 全长÷间隔数=间隔长
全长÷间隔长+1=棵数 全长÷(棵树-1)=间隔长
3、
两端都不载
如图:
间隔数-1=棵树
间隔长×间隔数=全长
全长÷间隔长=间隔数 全长÷间隔数=间隔长
全长÷间隔长-1=棵数 全长÷(棵树+1)=间隔长
二:人教版五年级数学下册知识点
第一单元
观察物体
1、由几个大小相同的小正方体摆成的立体图形,从同一个方向观察,看到的图形可
能是相同的,也可能是不同的。根据一个方向看到的图形摆立体图形,有多种摆法。
2、从同一个方向
观察物体最多只能看到三个面。几何视图一般是根据三个方向观察
到的形状进行绘制。
3、根
据两个方向观察到的形状能确定所用小正方体的个数。根据三个方向观察到的
形状摆小正方体结果只有一
种。
第二单元 因数和倍数
1、在整数除法中,如果商是整数而没有余数,我们就说被除
数是除数的倍数,除数
是被除数的因数。因数和倍数是相互依存的,不能单独存在。)
2、注意:为了方便,在研究因数和倍数时候,我们所说的数指的是自然数(一般不
包括0)
3、找因数的方法:①乘法②除法; 找倍数的方法:逐次乘自然数。
4、①一个数的最
小因数是1,最大因数是它本身。一个数的最小倍数是它本身,没
有最大的倍数。
②一个数的
因数的个数是有限的,一个数的倍数的个数是无限的。一个数的最大因
数和最小倍数是相等的都是它本身
。
③1是所有非0自然数的因数。也是任一自然数(0除外)的最小因数。
④一个数的因数至少有1个,这个数是1。
⑤一个数的因数都小于等于他本身,一个数的倍数都大于等于他本身。
5、因数<或=它本身、倍数>或 = 它本身、 最大的因数=最小的倍数=它本身。
一个
数的倍数一定比它的因数大这种说法是错误的。一个数越大它的因数个数就越
多,一个数越小它的因数个
数就越少。这种说法是错误的。
6、2的倍数特征:个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数。
自然数中,是2的
倍数的数叫做偶数(0也是偶数),不是2的倍数的数叫奇数。
7、5的倍数特征:个位上是0或5的数,都是5的倍数。
8、3的倍数的特
征:一个数各位上的数的和是3的倍数,这个数就是3的倍数。个
位上是3、6、9点数都是3的倍数是
错误的说法。
9、2和5的倍数特征:个位上是0的数,既是2的倍数,也是5的倍数。(就是10<
br>的倍数)。
10、2和3的倍数特征:个位上是0、2、4、6、8,而且各个数位上的数字的
和是3
的倍数,这个数既是2的倍数,也是3的倍数。(就是6的倍数)。
11、3和5的倍
数特征:个位上是0或者5,而且各个数位上的数字的和是3的倍数,
这个数既是5的倍数,也是3的倍
数。(就是15的倍数)。
12、2、3、5的倍数特征:个位上是0,而且各个数位上的数字的和是
3的倍数,这
个数同时是2、3、5的倍数。(就是30的倍数)能同时被2、3、
5整除的最
小两位数是30,最大两位数是90,最小三位数是120.
同时满足2,3,5的倍数,实际是求2×3×5=30的倍数。
4的倍数特征:一个数末尾两位数是4的倍数,这个数就是4的倍数。
一个数各位数上的和能
被9整除,这个数就是9的倍数。能被3整除的数不一
定能被9整除;能被9整除的数一定能被3整除。
如果两个数都是同一个数的倍数,那么这两个数的和或差也是这个数的倍数。
13、自然数按
能否被2整除分成奇数和偶数。所以我们说自然数不是奇数就是偶数。
最小的偶数是0,最小的奇数是1
,没有最大的奇数和偶数,最小的自然数是0。
如果用n表示自然数,那么2n表示偶数,
2n+1表示奇数。相邻的两个自然数
相差1;相邻两个奇数相差2;相邻两个偶数相差2。
14、奇数+偶数=奇数 奇数+奇数=偶数 偶数+偶数=偶数
奇数-偶数=奇数 奇数-奇数=偶数 偶数-偶数=偶数
奇数×奇数=奇数
偶数×偶数=偶数 偶数×奇数=偶数
无论多少个偶数相加都是偶数、偶数个奇数相加是偶数、奇
数个奇数相加是奇
数。任意一个整数乘以2都变成偶数。
15、一个数,如果
只有1和它本身两个因数,这样的数叫做质数(或素数);一个数,
如果除了1和它本身还有别的因数,
这样的数叫做合数。
1既不是质数,也不是合数。两个质数相乘的积一定是合数。质数×质数=合数
16、最小的质数是2,最小的合数是4
。2是偶数中唯一的质数称为偶质数;也是质
数中唯一的偶数。
17、100以内找质数、合
数的技巧:看是否是2、3、5、7、11、13…的倍数,是的
就是合数,不是的就是质数。
18、100以内的质数:2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43
、47、
53、59、61、67、71、73、79、83、89、97 。
19、自然数按因数的个数分可分为1、质数和合数。
除2以外所有的质数都是奇数。
按是否是2的倍数来分:分为奇数和偶数两类;
自然数分类
按因数的个数来分:分为质数、合数和1三类。
第三单元 长方体和正方体
一、长方体、正方体的认识:长方体和正方体都是立体图形。正方体也叫立方体。
1、长方体
是由6个长方形(特殊情况有两个相对的面是正方形)围成的立体图形。
在一个长方体中,相对的面完全
相同,相对的棱长度相等。
2、长方体有6个面。有12条棱,相对(也可以说是平行)的4条棱的长
度相等。
长方体有8个顶点。长方体最多有8条棱的长度相等,最多有4个面完全相同。
一个长方体最多有6个面是长方形,最少有4个面是长方形,最多有2个面是正方
形。
3、相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。(长、宽、高都
各有4条,分别平
行并且相等)
4、长方体的棱长总和 = 长×4+宽×4+高×4 =(长+宽+高)×4
长方体的长=棱长总和÷4- 宽- 高; 长方体的宽=棱长总和÷4- 长- 高;
长方体的高=棱长总和÷4- 长- 宽
5、(1)正方体的6个面是完全相同的正方形。 (2)正方体的12条棱长度都相等。
(3)有8个顶点。
6、正方体是由6个完全相同的正方形围成的立体图形,所有的棱长度相等。
正方体可以看成是长、宽、高都相等的长方体,所以正方体是特殊的长方体。
相同点
面
不同点
棱
长方体 有6个面,
6个面都是长方形。(有可能有两个相对相对的棱平行且
12条棱,
的面是正方形)。相对的面完全相同。 长度都相等
正方体
8个顶点。
6个面都是正方形。面积都相等。 12条棱都相等。
7、正方体的棱长总和=棱长×12
正方体的棱长=棱长总和÷12
(如果用长60cm铁丝做成长方体或正方体,60cm就是长方体或正方体的棱长总和)
8、用棱长1cm的小正方体摆成稍大一些的正方体,至少需要8个小正方体。
二、长方体和正方体的表面积
1、长方体或正方体6个面的总面积,叫做它的表面积
2、长方体的表面积:
①长方体有“上”、“下”、“前”、“后”、“左”、“右”6个面。
上、下面每个面的面积=长×宽;
前、后面每个面的面积=长×高;
左、右面每个面的面积=宽×高;
②长方体的表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2???
用字母表示:S=2(ab+ah+bh)
长方体的表面积=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2???
用字母表示:S=2ab+2ah+2bh
无底(或无盖)长方体表面积=
长×宽+(长×高+宽×高)×2
S=2(ah+bh)+ab 或
S=2(ab+ah+bh)-ab
无底又无盖长方体表面积=(长×高+宽×高)×2
S=2(ah+bh)
③特殊长方体的表面积(有两个面是正方形)正方形的两个面完全相同,其余四个
面完全相同。
3、正方体的表面积
正方体的表面积=棱长×棱长×6??? 用字母表示: S=
6a
2
4、生活实际
油箱、罐头盒等都是6个面;游泳池、鱼缸等都
只有5个面;水管、烟囱等都只
有4个面。粉刷教室只有5个面。
5、注意1:用刀分开物体时,每分一次增加两个面。(表面积相应增加)
两物体拼成一个物体时,减少两个面。(表面积相应减少)
注意2:长方体或正方体的长、宽、高同时
扩大几倍,表面积会扩大倍数的平方
倍。(如长、宽、高各扩大2倍,表面积就会扩大到原来的4倍)。
长方体或正方体每截断一次会增加两个截面,这两个截面和它相对的面的面积相等,
所以这时的
两个物体的表面积大于原来物体的表面积。
三、长方体和正方体的体积
1、体积:物体所占空间的大小叫做物体的体积。(就是看物体含有多少个体积单位)
2、常用的体积单位有: 立方米(m
3
)、
立方分米(dm
3
)、 立方厘米(cm
3
)
① 棱长是1 cm的正方体,体积是1 cm
3
。如手指头的大小。
②
棱长是1 dm的正方体,体积是1 dm
3
。如黑板擦和粉笔盒的大小。
③
棱长是1 m的正方体,体积是1 m
3
。
相邻两个体积单位之间的进率是1000? 1 m
3
=1000
dm
3?
? 1 dm
3
=1000 cm
3
3、长方体的体积
长方体的体积=长×宽×高???? 用字母表示:V=abh
4、正方体的体积
正方体的体积=棱长×棱长×棱长 用字母表示:V=
a
3
(a·a·a也可以写作“a3”,
读作“a的立方”,表示3个a相乘)
5、底面积:长方体或正方体底面的面积叫做底面积。(也叫占地面积)。
6、长方体和正方体的体积公式:
长方体或正方体的体积 = 底面积 × 高
;用字母表示: V=S
底
h(横截面积相当于
底面积,长相当于高)。
7
、一个长方体的长、宽、高(或正方体的棱长)分别扩大a倍,它的表面积就扩大
a
2
, 长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍,体积就会扩大倍数的立方倍就是扩
大a
3倍。(如长、宽、高各扩大2倍,体积就会扩大到原来的8倍)。(例如:长方体
长、宽、高分别扩
大3倍,它的表面积就扩大3×3=9倍,体积扩大3×3×3=27倍)
8、低级单位
高级单位
×进率
÷进率
长度单位:千米(km),米(m),分米(dm),厘米(cm),毫米(mm)
1km=1000m 1m=10dm 1dm=10cm 1cm=10mm
1m=100cm
面积单位:平方千米(km2),公顷,平方米(m2),平方分米(dm2),平方厘米(cm2)
1km2=100公顷=1000000m2 1公顷=10000 m2
1m2=100dm2 1dm2=100cm2
1m2=10000cm2
体积单位:立方米(m3),立方分米(dm3),立方厘米(cm3)
1m3=1000dm3 1dm3=1000cm3
1m3=1000000 cm3
容积单位:升(L),毫升(ml)
1L=1000ml
1L=1 dm3 1mL=1cm3
质量单位:吨(t),千克(kg),克(g)
1t=1000kg
1kg=1000g
长度、面积、体积不可以相互比较,所以不可能相等。
9、一个长方体和一个正方体的棱长总和相等,但体积不一定相等,正方体体积大于
长方体体积。
10、箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积,通常叫做它们的容积。
11、固体一般就用
体积单位,计量液体的体积,如水、油等,常用容积单位升和毫
升,也可以写成L和ml。
1
3、把长方体或正方体截成若干个小长方体(或正方体)后,表面积增加了,体积
不变。用8个小正方体
拼成的大正方体拿走一块小正方体,体积减少,表面积不变。
14、容积的计算: <
br>长方体和正方体容器容积的计算方法,跟体积的计算方法相同,但要从里面量长、
宽、高。(所以
对于同一个物体体积大于它的容积)。
15、排水法:(计算不规则物体的体积)形状不规则的物体可
以用排水法求体积,形
状规则的物体可以用公式直接求体积。排水法的公式:
被浸没物体的体积等于
上升那部分水的体积
①
容器的底面积×上升那部分水的高度。
计算方法
② 放入物体后的体积—原来水的体积
(1)装满水:排出水的体积=不规则物体的体积。
(2)放入物体后的总体积—放入物体前水的体积=不规则物体的体积。
V物体
=V现在-V原来
(3)用装水的长方体(或正方体)的长×宽×物体放入后水面上升的高度
=不规则
物体的体积。V物体 =S
底
×(h现在- h原来)
(4
)因为放入物体前后底面积不会变。所以不规则物体的体积=长方体底面积×水
面上升的高度(放入物体
后水面高度—放入前水的高度)。V物体 = S
底
×h升高。
16、物体的体积不
会随着物体的位置和形状的变化而变化。把一个正方体铁球熔铸
成长方体,体积不变。
17.正方体的展开图
正方体的平面展开图一共有11种。
18、包装盒能否装下玻璃器皿,不仅要看体积,还要看物体的长、宽、高能否
装下。
19、对于一个n×n×n的正方体,其涂色情况如下:
三面都涂色:8个(只有位于正方体8个顶点的地方才三面都涂色)
两面涂色:(n—2)×12个(两面涂色的位于正方体两个面的交界处,但又不
在顶点处)
一面涂色:(n—2)×(n—2)×6个(一面涂色的小正方体位于正方体每个面
的中心部位
)
各面都没有涂色=总块数-三面涂色的块数-两面涂色的块数-一面涂色的块
数
第四单元 分数的意义和性质
一、分数的意义
在进行测量、分物或计算时,往往不能正好得到整数的结果,这里常用分数来表示。
一个物体、一
个计量单位或是一些物体等都可以看作一个整体,一个整体可以用自然数1来表
示,我们通常把它叫做单
位“1”。单位“1”与自然数1不同。单位“1”的量也叫标准量,用
来跟标准量比较的量叫做比较量
。
单位“1”的找法:“是”、“占”、“相当于”、“比”字后面的量,“的”字前面的量。如
果含有
分数不带单位的那句话中一个关键字也没有,可以加进去再找。
把单位“1”平
均分成若干份,表示这样一份或几份的数叫做分数。(如:
7
表示把单位“1”
88
平均分成8份,表示其中7份的数)(把一根8米长的铁丝平均分成5分,每段长米,每段
5
3
11
占整根铁丝的)。1米的和3米的一样大。
5
55
3 分子:表示有这样的几份。
分数线表示平均分
4 分母:表示把单位“1”平均分成的份数。
写分数时先写分数线,再写分母,最后写分子。
解决问题时,分数有带单位时表示数
量,最后带什么单位就来分谁,分成几份就除以几;不带
单位表示份数与数量无关。
把单
位“1”平均分成若干份,表示这样一份的数叫做分数单位。(如:1
7
1
的分数单位
是,
9
9
它有16个这样的分数单位。带分数有几个分数单位要先把带分数化成假分数
,再看分子是多
少)一个分数的分母是几,它的分数单位就是几分之一;分子是几,它就有几个这样的分
数单
1
位。分母相同,分数单位就相同;分母不同,分数单位就不同。最大的分数单位是,没有
最
2
小的分数单位,分母越小分数单位就越大。
分数与除法的关系:(被除数相当于分数的分子;除数相当于分数的分母;除号相当于分数的分
数线)
被除数÷除数=
被除数分子
=分子÷分母
(除数不能为0,分母也不能够为0)。
a
除数分母
a
÷b=(b≠0)
b
3
一个分数,不但可以从分数的意义上理解,也可以从分数与除法的关系上理解。例如:
表示
4<
br>把单位“1”平均分成4份,取其中3份的数;也可以表示为把3平均分成4份,得1份的数。
“求一个数是(占)另一个数的几分之几”和“求一个数是另一个数的几倍”都用除法计算,
即一个数÷另一个数=一个数是另一个数的几分之几(或几倍)。用“是”“占”前面的量除以
他们后
面的量。求鹅的只数是鸭的几分之几用(鹅的只数)÷(鸭的只数)=鹅的只数是鸭的
几分之几。
二、真分数和假分数
分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于1。
分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数。假分数大于1或等于1。
由整数(不包括0)
和真分数合成的数叫做带分数。带分数大于1。带分数是一部分假分数(分
子不是分母的倍数)的另外一
种书写形式,所以分数只分为真分数和假分数。真分数<1≤假
分数。带分数的读法:先读整数部分,再
读分数部分,中间加个“又”字。
a
在
中(a为非0自然数),当a<9时,它
是真分数;当a≥9时,它是假分数;当a是9的倍
9
数时,它能化成整数。
把
假分数化成整数或带分数:根据分数与除法的关系,用分子除以分母。如果能整除时,那么
14
=14÷7=2。如果不能整除,那么商就是带分数的整数部分,
7
14
余数就是带分
数的分数部分的分子,分母不变。 如:,14÷3=4……2,分子除以分母商是
3
142
4作带分数的整数部分,余数是2作分数部分的分子,分母是原来的分母3,所以=14÷3=<
br>4
。
3
3
商就是所要化成的整数。如:
带分数化成假分数的方法:用带分数的整数部分乘分母加分子作假分数的分子,分母不变。
任何整
数都可以看成分母是1的分数。当分子和分母相等时,分数值是1,是最小的假分数,
34
没有
最大的假分数。整数都比分数大是错误的。和中间有无数个分数。
55
三、分数的基本性质
分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数(0除外),分数的大小不变。这叫做分数的基本
性质。
利用分数的基本性质可以把分母不同的分数化成分母相同的分数;也可以把一个分数化成指定
分母的分数。
四、约分、通分
几个数公有的因数,叫做它们的公因数
。其中最大的公因数,叫做它们的最大公因数。公因数
的个数是有限的。1是所有非0自然数的公因数。
两个数的公因数是最大公因数的因数;最大公因数是公因数的倍数。
几个数公有的倍
数,叫做它们的公倍数。其中最小的一个公倍数,叫做它们的最小公倍数。公
倍数的个数是无限的。
两个数的公倍数是它们的最小公倍数的倍数;最小公倍数是公倍数的因数;最小公倍数的倍数
也是这两个数的公倍数。
任意两个数的最大公因数和最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。任
意两个数的最小公倍数
一定大于这两个数和最大公因数一定大于这两个数是错误的。
分解质因数:把一个合数分解成多个质数相乘的形式。
➢ 用短除法
分解质因数
(合数=质数×质数×……×质数)。
...
➢ 比如:30分解质因数是:(30 =
2×3×5)
2 30
3 15
5
互质数:公因数只有1的两个数,叫做互质数。
➢ 两个质数的互质数:5和7
两个合数的互质数:8和9
➢ 一质一合的互质数:7和8
※ 两数互质的特殊情况:
(1) 1和任何自然数互质;⑵ 相邻两个自然数互质; ⑶ 两个质数一定互质;
(4)
2和所有奇数互质; (5)相邻两个奇数互质。
最大公因数和最小公倍数的特殊求法: 当两个数成倍数关系时,它们的最大公因数是较小数,最小公倍数是较大数;当两个数只有公因
数1
时(互质时),最大公因数是1,最小公倍数是它们的乘积。如:32是8的倍数,它们的最大
公因数是
8,最小公倍数是32。(A÷B=6或A=6B说明A和B成倍数关系则最大公因数是较小数B,
最小
公倍数是较大数A)
一般关系的两个数求最大公因数和最小公倍数的方法:
用12和16来举例
求法一:(列举法)先分别找出两个数的因数(倍数),再从中找出
公因数(公倍数),最后找
出最大公因数(最小公倍数)。
最大公因数的求法:
12的因数有:1、2、3、4、6、12
16的因数有:1、2、4、8、16
公因数是1、2、4
最大公因数是4
最小公倍数的求法:
12的倍数有:12、24、36、48、…
16的倍数有:16、32、48、…
公倍数是48,96……
最小公倍数是48
求法二:(筛选法)
➢
先找出两个数中较小数的因数,再从中圈出另一个数的因数,最后看圈出的因数中哪一个最
大。
如16和12的公因数:
○
1,
○
2
,3,
○
4 ,6,12
➢
先写出两个数中其中一个数的倍数,再从中圈
出另一个数的倍数,最后找出最小的一个。如16
48
,64,80,○
96
……
和12的公倍数:
16,32,○
求法三:(分解质因数法或短除法)
➢ 分解质因数法就是将几个数各自分解成质因数的形式,把公有的质因数相乘得到的就是最大公因数。除了相同的还要乘不同的数得到的就是最小公倍数。
12=2×2×3
16=2×2×2×2
最大公因数是:2×2=4 (相同乘)
最小公倍数是:2×2 × 3×2×2= 48 (相同乘× 不同乘)
➢
短除法:用短除法求两个数或三个数的最大公因数 (除到互质为止)
用短除法求两个数或三个数的最小公倍数(除到互质为止)
除到两数互质时最大公因数是短除
号前面的数相乘;最小公倍数除了短除号前面的还要乘以短除
号下面的数。三个数的最大公因数除到有互
质的数就行,最小公倍数要除到任意两个数都互质为
止。
分数的分子和分母只有公因数1,像这样的分数叫做最简分数。
把一个分数化成和它相等,但分子
和分母都比较小的分数,叫做约分。约分通常要约成最简分数。
约分和通分的根据是分数的基本性质。
约分的方法:
➢ 逐次约分法:用分子和分母的公因数(1除外)依次去除分子和分母,
除到分子和分母的公因数
只有1为止。
➢
一次约分法:用分子和分母的最大公因数去除分子和分母。
分数比较大小的方法:
➢
分母相同的两个分数,分子大的分数比较大。
➢ 分子相同的两个分数,分母小的分数反而比较大。
把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数,叫做通分。
通分的方法:通分
时要用原分母的公倍数(最好是最小公倍数)做它们的公分母比较合适,把每
个分数化成用这个公倍数(
最小公倍数)作分母的分数。
22
五、分数和小数的互化
小数化成分数的方法:因为小数表示的是十分之几,百分之几,千分之几……的数,所以可以直
接写成分
母是10、100、1000……的分数。原来是几位小数,就在1后面写几个0作分母,把原
来的小数
去掉小数点作分子,能约分的要约成最简分数。
分数化成小数的方法:
※ (1)当分
母是10,10,1000……的分数化成小数,可以直接去掉分母,看1后面有几个0,就
从分子的右
边起向左数出几位,点上小数点,如果位数不够时,用“0”补足。
※ (2)分母不是10,100
,1000……的分数化成小数,根据分数与除法的关系,用分子除以分母,
除不尽时,要根据需要按“
四舍五入”法保留几位小数。如果没有特殊要求,一般保留两位小数。
常用分数和小数:
1131234
= 0.5 = 0.25 = 0.75 = 0.2
= 0.4 = 0.6 = 0.8
2445555
135711
➢
= 0.125 = 0.375 = 0.625 =0.875 = 0.05
= 0.04。
88882025
➢
一个最简分数,如果分母中除了2和5以
外,不含其他的质因数,就能够化成有限小数。如果分
母中除了2和5以外,还含其他的质因数就不能够
化成有限小数。
第五单元 图形的运动(三)
描述图形的旋转时,要说清楚“
绕哪个点旋转”“向什么方向旋转”“旋转了多少度”。也就是要
明确旋转中心,旋转角度和旋转方向。
旋转的三要素:旋转中心(固定点),旋转角度和旋转方向。旋转方向分为顺时针旋转和逆时针
旋转。
图形旋转的特征:旋转中心的位置不变,过旋转中心的所有边旋转的方向相同,旋转的角度也相
同。
图形旋转前后,形状和大小都没有发生变化,只改变了物体的位置。旋转点O点位置不变。钟表上共有12小格,每一格为30
°
。
在方格纸上画简单图形旋转90°的方法:
※
①找出原图形的关键点,根据旋转点和旋转方向,借助三角尺作某一条线段的垂线;
※
②从旋转点开始,在所作的垂线上量出与原来线段相等的长度,并标出对应点;
※
③顺次连接所画出的对应点,就得到了旋转后的图形。
第六单元 分数的加法和减法
一、同分母分数加、减法
23
➢
分数加法的意义与整数加法的意义相同,都是把两个或两个以上的数合并成一个数的运算。
➢
同分母分数相加,分母不变,只把分子相加;计算的结果,能约分的要约成最简分数。
➢
分数减法的含义与整数减法的含义相同,都是已知两个数的和与其中的一个加数,求另一个加数
的运算。
➢ 同分母分数减法的计算方法:分母不变,分子相减。
二、异分母分数加、减法
异分母分数相加、减,先通分,再按照同分母分数加、减法的计算方法计算。异分母分数不能直接
相加减
是因为他们的分数单位不同。结果要约成最简分数。
三、分数加减混合运算
➢ 分数加减混
合运算的运算顺序与整数加减混合运算的顺序相同。没有括号的,按照从左到右的顺
序依次计算。有括号
的先算括号里面的,再算括号外面的。
➢ 计算没有括号的异分母分数的混合运算,可以分步通分进行
计算,也可以将几个分数一次性通分
进行计算。
➢ 整数加法的交换律、结合律和减法的运算
性质在分数加、减法中同样适用。利用运算定律可以使
一些分数计算变得简单。
运算定律: 加法交换律:两个数相加,交换加数的位置,它们的和不变,即a+b = b+a 。
➢ 加法结合律:三个数相加,先把前两个数相加,再加上第三个数;或者先把后两个数相加,再和第一个数相加它们的和不变,即(a+b)+c = a+(b+c) 。
➢
减法的性质:从一个数里连续减去几个数,可以从这个数里减去所有减数的和,差不变,即a-b
-c
= a-(b+c)
第七单元 折线统计图
折线统计图的意义:用一个单位长度表示一
定的数量,根据数据的大小描出各点,然后把各点顺
次连接起来,所得的统计图叫做折线统计图。
折线统计图的特点:既可以反映数量的多少,又可以反映数量的增减变化情况。
折线统计图的制作方法:(1)标出统计图的名称。(2)建立横轴和纵轴。
(3)描点、连线。
(4)标注数据。
复式折线统计图的意义:在统计过程中存在两组数据,又需要在一个统计图中表
示这两组数据,
并且要用两条不同的折线表示不同数据的变化情况的统计图,就是复式折线统计图。
复式折线统计图的特点:不但能表示出多组数据的多少,数量的增减变化情况,而且便于比较两组数据的差异和变化趋势。
复式折线统计图的制作方法:与单式折线统计图的制作方法基本相同,只是用不同的折线来表示
24
不同的量,并标明图例。
第八单元 数学广角——找次品
从3
个物品中找次品的基本思路:用天平称一次,判断出次品是否在托盘上。也就是说通过推理,
确定次品是
这三个中的哪一个。
找次品的最优策略:一是把待分的物品分成3份;二是要分得尽量平均。能够
平均分的就平均分
成3份,不能平均分的,也应该使最多的一份与最少的一份只相差1。这样可以保证找
出次品称
量的次数最少。
用天平找次品时,所测物品数目与测试的次数。有以下关系:
要辨别的物品数目
2--3(1×3)
4--9(3×3)
10--27(9×3)
28--81(27×3)
82--243(81×3)
244——729(243×3)
……
数目与测试的次数的关系:
2~3个物体,保证能找出次品需要测的次数是1次
4~9个物体,保证能找出次品需要测的次数是2次
10~27个物体,保证能找出次品需要测的次数是3次
28~81个物体,保证能找出次品需要测的次数是4次
82~243个物体,保证能找出次品需要测的次数是5次
244~729个物体,保证能找出次品需要测的次数是6次
保证能找出次品需要测的次数
1
2
3
4
5
6
……
25