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第一单元 负数（知识归纳）
正数
认识
负数
正数
读
读、写
写 正数
负数
负数
负
数
既不是正数也不是负数
特殊数0
正负数的分界点
意义（三要素：原点、正方向、单位长度）
数轴
特征：从左往右就是数从小到的顺序。
正数（比0大，数轴上在0的右边）
大小比较
负数（比0小，数轴上在0的左边）
运用正负数的有关知识说明一些现象
解决问题
解决一些实际问题

六年级下册
第一单元 负数
1、初步认识负数，能正确的读、写正数和负数。
11
（1） 像1（+1）、20 （+20）、4.5（+4.5）、（+）、、、、、、
01100
1
这样的数叫做正 数；像-2、-30、-1.2、-、、、、、、这样
8
的数叫做负数。这里的”+”
（2） 正数和负数可以表示两种具有相反意义的量。
（3） 0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界点。
（4） 写正数时，数字前面加“+”或省略“ +”，两种形式均
可；但是读正数时，加“+”的一定要读出“正”字；
省略“+”的，这个“ 正”字也要省略不读。
（5） 写负数时，一定要写出“-”，读时一定要读出“负”字。
2、能借用数轴初步学会比较正数、0和负数之间的大小。
（1）数轴：规定了原点、正方向 和单位长度的直线叫做数轴；
有时温度计上的刻度线也可以看做是一条数轴。
(2)在数轴上，从左到右的顺序就是数从小到大的顺序。
(3)所有的负数都在0（原点） 的左边，即负数都比0小；所
有的正数都在0（原点）的右边，即正数比0大。
（4）所有的负数都比正数小。
（5）比较两个负数的大小，可以先比较与其对应的两个正数
的大小，对应的正数大的那个负数反而小。
3、解决问题。
能在实际生活中运用正负数的有关知识去说明一些现象和
解决一些实际问题。

第二单元 圆柱和圆锥
1、 面的旋转：不同的平面图形，旋转后会形成各种形状的立体图形。
（1）长、正方形以它的一条边为轴 旋转一周（360
0
）可得到一个直圆
柱。
（2）一个直角三角形以它的一条直角边为轴 （360
0
）可得到一个直
圆锥。
（3）一个直角梯形以它的一条直角轴旋 转一周（360
0
）可得到一个直
圆锥。
（4）一个圆以它的一条直径为轴旋转一周（360
0
）后可得到一个球体。
2、认识圆柱和圆锥。
（1）圆柱：圆柱的上下两个面叫做底面;两个底面是完全相同的圆。
圆柱周围的面叫做圆柱的侧面；圆柱的侧面是一个曲面，展开后
是一个长方形（或正方形）。
圆柱两个底面之间的距离叫做圆柱的高。圆柱有无数条高。（小学
阶段所学的圆柱都是直圆柱） 。
（2）圆锥：圆锥的底面（只有一个）是一个圆。圆锥的侧面是一个曲
面，展开后是一个扇形。
从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。圆锥只有一条高。
3、圆柱、圆锥的表面展开图
圆柱的表面展开图可以分为一个侧面和上下两个底面三个
部分。
圆锥的表面展开图可以分为一个侧面和一个底面两个部
分。
4、圆柱、圆锥的侧面积
（1）圆柱的侧面积=底面周长
×高，字母公式：s=c·h
已知底面半径和高，侧面积公式为：s=2πr·h
已知底面直径和高，侧面积公式为：s=πd·h
（2）圆锥的侧面积（小学不学）
5、圆柱、圆锥的表面积
（1）圆柱的表面积=侧面积+底面积×2

字母公式：s=s
侧
+2s
底

2
=ch+
2πr
=
2πr·（r+h）

（
=
πd·
1
d+h）

4
（2）解决问题：联系生活实际，灵活运用。
A、几个面的问题；
B、根据需要，采购原料问题（进一和去尾）；
C、公式的逆向运用问题。
（3）圆锥的表面积（小学不学）。
6、探索并掌握圆柱的体积计算公式，会运用公式计算圆柱的体积。
（1）一个圆柱所占空间的大小叫做这个圆柱的体积。
（2）把圆柱的底面分成许多相等的扇 形，按照等分线并沿着圆柱的高
把圆柱切开，然后拼起来，得到一个近似的长方体（如右图）：

圆柱的体积（v）=长方体的体积（v）（长×宽×高）
圆柱的底面周长=长方体的长（2πr÷2=πr）
圆柱的底面半径=长方体的宽(r)
圆柱的底面积=长方体的底面积(长×宽=πr·r)
圆柱的高=长方体的高
分的份数趆多,拼成的图形趆接近长方体.
注:这两个图形可相互运用(但前提是分、切 、拼，把圆柱转化成近似的
长方体.)如:已知长方体的长、宽、高.求圆柱的表面积、侧面积、体积;
已知长方体的一个前面和宽.求圆柱体的体积;已知长方体和一个前面
和高.求圆柱的表面积、 侧面积、体积等。(变式训练,变式教学)
因为长方体的体积v=sh,所以这里的圆柱体的体积是v=sh。
（3）用公式计算圆柱体 的过程中，如果:①已知圆柱的底面半径、
直径或底面周长，那么要先求出圆柱的底面积，再求体积；② 和①相
反，如果已知了圆柱的体积和底面积（或高），要利用公式求出高或底
面积（公式的逆运 用）；③如果底面半径或高（直径或周长）为中间条
件的要先求出后再利用公式求出体积（即和其他知识 进行综合）。
7、初步认识圆锥，知道圆锥各部分名称，掌握圆锥的特征。
⑪圆锥是一个立体图形，它是由一个底面和一个侧面两部分组成。
⑫圆锥的底面是一个圆，圆 锥底面的圆心、半径、直径和周长分
别叫做圆锥的底面圆心、底面半径、底面直径和底面周长，分别用字

母o、r、d和c表示。圆锥的侧面是一个曲面；从圆锥的顶点到底面圆
心的距 离是圆锥的高，用字母h表示。圆锥只有一条高。
8、量高的方法如右图。
⑪先把圆锥的底面放平。
⑫用一块平板水平地放在圆锥的顶点上面。
⑬竖直地量出平板和底面的距离，这个距离就是圆锥的高。
9、探索并掌握圆锥的体积计算公式，并能利用公式计算圆锥的体
积。
⑪通过实验可 知：等底等高的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥体
积的3倍，或者说圆锥体积是与它等底等高的圆柱体积 的
⑫圆锥体积的计算公式为：v
锥
=v
柱×
1
。
3
11
=sh。
33
10、圆锥体和圆柱体之间的关系。
⑪等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍（如下图）

3倍
⑫⑬










等底
圆柱体积
等高
圆锥体积
1

3

⑫等底等底面积的圆柱的高是圆锥高的










1
，如下图：
3
1

3
等底
圆柱的高
等体
3倍
圆锥的高
⑬等体积、等高的圆柱的底面积是圆锥底面积的
1
，如下图：
3
等体积


圆柱的底面积 圆锥的底面积

等高

11、正方体、圆柱体、圆锥之间的关系：
⑪正方体削成一个最大 的圆柱体，这个圆柱体与这个正方体的体积比
是157:200，即圆柱体积占正方体体积的78.5% 。
⑫正方体削成一个最大的圆锥，圆锥的体积占正方体体积的78.5%
×
12、钢 管体积的计算公式。
⑪底面积（环形面积）
×
钢长
1
。
3
⑫[(钢管内周长+钢管外周长)

×
钢管厚度
÷
2
]

×
钢长
13、
利用圆柱和圆锥体积的计算公式，解决简单的实际问题。

第二单元 圆柱与圆锥知识网络图































长正方形
直角三角形
面的旋转
（360
0
）
直角梯形
半圆
圆台（一条高为轴）
球体（直径为轴）
底面
圆柱
侧面（曲面，展开是一个长方形）
高
（h）
圆柱（一边为轴）
圆锥（一条直角边为轴）
圆


认识
底面
侧面（曲面）
高—测量高的方法
S=2πr(r+h)
字母表示
柱
和
圆
锥


圆锥





表
面
积

圆柱
表面积
（s）
圆锥
侧面积+底面积
S=ch+2πr
2

S=πd(h+
1
4
d)
侧
面
积

S=2πr
2
h
S=ch
S=πdh
侧面（展开后是一个扇形）
小学不学

圆柱:

v=π

















圆

柱

和


圆

锥














r
2
h=sh
11
πr
2
h
=sh
实验推导法

3
常见的：6
3
个面、5个面、4个面
体积
(v)
圆锥:
v
锥
=
应用

应用：三种情况：顺向应用、逆向应用、综合应用

采购原料（进一或去尾）
V
锥
= V
柱×
圆锥和圆柱之间的关系
1
等底等高
3
S
锥
=s
柱×
3

等体积等高

h
锥
=h
高
×3
等体积等高

V=底面积（环形面积）
×
钢长
钢管体积









V=
[(钢管内周长+钢管外周长)
×
管厚
×
]

×
钢长
1
2
正方体、
圆柱体、
圆锥之间
的关系
正方体削成一个最大的圆柱体，圆柱体积占正方体体
积的78.5%。（比是157:200）
正方体削成一个最大的圆锥，圆锥的体积占正方体体
积的78.5%
×
1。（比是157:600）
3
组合体体积
分成已学过的立体图形，按各图形的体积计算公
式求出各立体图形的体积再加起来即可。

第三单元 比例
1、比例的意义和比例各部分的名称。
⑪意义：表示两个比相等的式子叫做比例。例如：2:3=4:6
⑫写比例时，组成比例的两 个比既可以写成带比号的形式，也
14
可以写成分数形式。例如：=也是比例（写法：两种形式 ）
28
⑬组成比例的四个数叫做比例的项，其中两端的两项叫做比例
的外项，中间的 两项叫做比例的内项。例如：2.4:1.6=60:40

内项





外项



⑭比例写成分数形式后，则左边的分母和右边的分子是 内项，
14
左边的分子和右边的分母是外项。例如：=，1和8是比
28
例的 外项，2和4是比例的内项。
⑮组成比
利用比例的意义，判断两个比能否组成比例。
例的四个
数均不能
为0.
⑯应用：①②利用比例的意义任选四个数组成比例。
2、比例的基本性质
⑪在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，叫做比例
的基本性质。
⑫性质的应用。
①如果a
×
d=b
×
c，那么a:b=c:d能组成比例。
②如果两个比的比值相等，则这两个比能组成比例；若这
两个比的比值不相等，则这两个比不能组成比 例。
③把两个比化成最简单的整数比，如果化成的最简比相同，
那么这两个比能组成比例，否 则不能组成比例。
⑬比利式的变换。（一个比例式变换成8个比例式）
①

变成 变成
两个内项 两个外项 两个外项 两个内项
例：2.4:1.6=60:40 1.6:2.4=40:60 （a）
②调换等号左右两边的两个比的位置。
例：2.4:1.6=60:40 60:40=2.4:1.6 （b）
③调换两个内项的位置。
例如：2.4:1.6=60:40 2.4:60=1.6:40
④调换两个外项的位置。
例如：2.4:1.6=60:40 40:1.6=60:2.4
⑤一个外项与一个内项的比等于另一个外项与另一个内项
的比。
例如：2.4:1.6=60:40 2.4: 60 =1.6:40
⑥一个内项与一个外项的比等于另一个内项与另一个外项
的比。
例如：2.4:1.6=60:40 1.6:2.4=40:60或1.6:40=2.4:60
注：也可以先变出四个基本式，再把四个基本的进行变化。
例：2.4:1.6=60:40 60:40=2.4:1.6
1.6:2.4=40:60 40:60=1.6:2.4
2.4:60=1.6:40 1.6:40=2.4:60
40:1.6=60:2.4 60:2.4=40:1.6
一个等积式变比利式的方法基本同上。
3、解比例。
⑪意义：已知比例中的任何三 项，根据比例的基本性质，就可
以求出这个比例中另外一个未知项。求比例中的未知项叫做解
比 例。
⑫解比例的方法。
①根据比例的基本性质解比例，先把比例式转化成外项乘积与
内项乘积相等的等式（即方程），再通过解方程求出未知项的
值。
②对于一些简单的比例，也可以根据比例的意义先把比例转化
为方程，再求出未知项的值。
2
例如：x：15=2:5可转化为x÷15=，解这个方程求出x=6。
5
4、认识成正比例的量，理解正比例的意义，能初步找出生活
中成正比例的量。 < br>⑪两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化的量叫

做两种相关联的量。
⑫正比例的意义。
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果
这 两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种
量就叫做正比例的量，它们之间的关系叫做成 正比例关系。
⑬如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比
值（一定）,正比 例关系可以用以下关系式表示：y：x =k（一
定）。
⑭判断两种量是否成正比例关系。
①认定这两种量是相关联的量。
②如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，
这两种量成正比例关系；否则就不成正比例关系。（判断方法
一）
如果两种相关 联的量成正比例，那么其中一种任意两个数的
比等于另一种量中相对应的两个数的比，即能组成比例。（ 判
断方法二）
⑮正比例关系两种相关联的量的变化规律：同时扩大，同时缩
小，比值 不变。（比例的性质之一）
5、正比例关系图像（认识），会根据其中一个量在图像中找出
或 估计出另一个量的值，并能在方格纸上画图像。
⑪正比例关系的图像的画法与折线统计图的画法相同。（画法）
⑫正比例关系的图像是一条经过原点的直线。（特征）
⑬从图像中可以直观地看到两种量的变 化情况，还可以不用计
算，由一个量的值直接找到对应的另一个量的值。（看图求解
法）
6、理解反比例的意义，掌握成反比例的量的变化规律，能找
出生活中成反比例的实例。 ⑪两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果
这两种量中相对应的两个数的积一定， 这两种量就叫做成反比
例的量，它们的关系叫做反比例关系。
⑫如果用字母x和y表示两种相 关联的量，用k表示它们的乘
积（一定），反比例关系可以表示为： xy =k（一定）。
⑬判断两种量是否成反比例关系。
①认定这两种量是相关联的量。
②如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量成正比
例关系；否则就不成正比例关系。

7、正、反比例的异同点。
⑪相同点：两种量都是相关联的量。
⑫不同点：①意义不同；
②表示形式不同；正比例：y：x =k（一定）。
反比例：xy =k（一定）；
③图像不同；
④正比例可写成比例形式，反比例可写成等积形
式。
8、理解比例尺的意义，会求一幅图的比例尺。
⑪意义：一幅图的图上距离和实际距离的比， 叫做这幅
图的比例尺。即图上距离：实际距离=比例尺或
比例尺=图上距
离×
1
。
实际距离
⑫比例尺是一个比，它表示图上距离和实际距离的倍比关系，
因此不能带计量单位。
⑬比例尺图上距离和实际距离的最简整数比，可以写成带比号
的形式， 也可以写成分数形式。（书写形式）
⑭在大小相同的地图上，比例尺越大，反映的实际范围越小。
9、认识不同类型的比例尺。
⑪根据表现形式不同，比例尺可以分为数值比例尺和线段比例
尺。
① 用数字形式表示的比例尺就是数值比例尺。
例如：一幅图的比例尺是1:1000，1:1000就是 数值比例尺。它
表示的就是图上1cm相当于实际1000cm的距离。1:1000也可
1< br>以写作
。

1000
②在图上附有一条注有数量的线段来表示和地面上 相对应的
实际距离，这样的比例尺叫做线段比例尺。如： 0 50 100
就是线段比例尺。
③ 线段比例尺可以改写成数值比例尺，方法是根据线段比例
尺的 意义写出图上距离与实际距离的比，统一单位后再化
成最简比的形式。例如：0 5 10m 改写成数值
比例尺是1:500。
⑫根据图上距离是将实际距离缩小还是放大，比例尺可以分为
缩小比例尺和放大比例尺。

①把实际距离按一定的比例缩小，在图上画出来，这种方法得
到的比例尺就是缩小比 例尺。
②为了计算方便，缩小比例尺写成比的形式时，前项一般为
“1”；若写成分数形式， 则分子应化简为“1”。
③在实际生活中，有时由于物体（如：机器零件）比较小，需
要把实 际距离扩大到一定的倍数后，再画在图纸上，这样的比
例尺称为放大比例尺。
④为了计算简便，放大比例尺通常写成后项是“1”的形式。
10、比例尺的应用（解决问题）。
⑪根据比例关系，图上距离，求实际距离，可以根据“图 上距
离：实际距离=比例尺”列比例式来求，也可以用“实际距离
=图上距离
÷
比例尺”直接列式计算。
⑫根据比例尺和实际距离，求图上距离，可以根据“图上距离：
实 际距离=比例尺”列比例式计算，也可以利用“”直接计算。
⑬确定比例尺（也叫选择比例尺）课本中的例子
a、选择比例尺要考虑到边沿（图纸左右两边 的空白处和图纸
的天、地两头都要生下一定的空白）
b、再根据确定好的比例尺，求出图距。
c、利用比例尺=图上距离：实际距离这一关系式求出其中的任
一项。
注：①单位要统一 ②格式要规范 ③能够提倡多样化
11、认识图形的放大与缩小现象，体会图形的相似。
⑪保持图形原来的形状而使图形变大， 叫做图形的放大；保持
图形原来的形状而使图形变小，叫做图形的缩小。
⑫图形的放大与缩小是生活中常见的现象。
⑬把一个图形放大或缩小后所得到的图形与原图形相比较，形
状相同，大小不同。
⑭形状相同，大小不同的两个图形是相似图形。
12、掌握图形放大或缩小的方法，能在方格纸上按一定的比例
将简单的图形放大或缩小。
在方格纸上按一定的比例将图形放大或缩小的步骤：
⑪一看：看原图形每边在方格纸上各占几格。
⑫二算：计算按给定的比例将图形的各边放大或缩小后得到的
新图形在方格纸上每边应占几格。
⑬三画：按计算出的边长在方格纸上画出原图形放大或缩小后

的图形。
13、能判断问题中数量间的比例关系，并能正确利用比例知识
解决问题。
用比例知识解决问题的步骤：
⑪根据不变量判断问题中两种相关联的量是否成比例关系，成
什么比例关系。
⑫若题中的两种量成正（反）比例关系，则根据正（反）比例
的意义即可列出比例（方程）。
⑬解比例（方程）。
⑭检验并作答。
建议：运用比例知识解决问题时，可让学生先写出判定语，再
按步骤解决问题。

第三单元 比例（知识网络图）













比






例















意义
利用比例的意义，判断两个比能否组成比例。
意
义
1、意
义
和
性质
各部分名称
内项
外项
书写形式：（1）
a:b=c:d
（2）
ac
=
bd

判断两个比或四个数能否组成比例。
性
质
解比例
意义
应用














2、正、
反比
例的
意义
改写比例式（注：一个比例式可改成八个比利式）
相关联的量
意义
表示形式：y：x=k（一定）
（1）是否为两种相
关联的量；（2）两
种 量中相对应的两
个数的比值（也就
是商）是否一定；
（3）两个量是否同
画图 方法同
折线统计图
时扩大（或缩小），
比值不变。
正比例
判断方法
图像
是一条经过原点的直线
。

应用
意义
表示形式：xy=k（一定）
（1）是否为两种相
关联的量；（2）两
种量中相对应的两
反比例
个数的积是否一
判断方法
图像（了解）
定；（3）两个量是
否同时一个量扩
大，另一个量缩小。
应用
解决问题

意义
线段（一般情况下）

缩小

类型
数值

放大

比例尺
选择比例尺


求图上距离、实际距离、比例尺

应用
三种情况


单位要统一

图形相似

看


比

图形的
算

放大与
3、比例

缩小的
的应用

方法
画

例



是否为相关联的量；



根据正（反）比例的意义列出比例（方

程）。
用比例解

决问题的

解比例（方程）。
步骤


检验并作答。


建议：运用比例知识解决问题时，最好是学生 先写出判定语，
再用比例知识解决问题的步骤解答。

第四单元 统计
1、会综合应用学过 的统计知识，能从统计图中准确提取统计
信息，并能对统计结果做出正确的解释。
⑪统计图在 表述统计结果时具有直观、形象的特点，所以在统
计活动中常用统计图来描述统计信息，展示统计结果。
⑫制作统计图时，一定要客观、准确地反映信息。
⑬分析统计图时，不要被模糊的统计图误导 ，一定要认真进行
分析，保证所统计结论的真实性和客观性。
2、能根据统计图提供的信息，作出正确的判断或简单的预测。
⑪在利用统计图进行统计分析 时，不能仅仅关注统计图夫人外
在表象，还要了解统计图所包含的具体的统计信息，才能避免
做 出错误的判断。
⑫运用统计图进行比较和判断时，一定要注意统一标准，以免
发生误判。
第四单元 统计（知识网络图）





特点：直观、形象

统

计

统
制作：客观、准确
图





计

要了解所包含的信息、避免误判。

数

据

分

析

比较和判断时，要统一标准
。

小学阶段所学的整数、小数、分数之间的关系



































自然数的意义、计数单位、数位、位数、数位顺序表、多
正整数
位数的读写、改写、省略原数、数的整除（因数和倍数）
零（0的意义和作用）
负整数 负数的意义
整
数
小
学
所
学
的
分数的意义、分数单位、分数的分类、分数与
普通分数 除法、比的关系及分数的性质。
小数的意义、性质、单位；小数的分类、
小数的读写、大小比较、近似值。
百分数的意义、单位、成数、折扣、利率，分数、
小数、百分数的互化及大小比较
数

分
数
十进分数（小数）
百分数

意义

负数

性质—比0小的数


意义：表示物的个数的数，0也是自然数。
整




表示物体数量的多少的自然数叫基数；用来表示事物

性质

次序的自然数叫序数；每相邻两个数相差1.

自然数



奇数
数


单位：以一为单位
偶数

零

质数
分类


合数
意义

1和0

数位
数位顺序表


从高往低按级读
计数单位


多位数的读法
分节定位按级读
正整数

位数
非0自

一般写法
然数 多位数的写法


改写

省略



准确值

四舍五入法
数的简写

近似值


去尾法


进一法

分数各部分之间的关系
因数和倍数(
见五年级下册第二单元知识网络

图
)

分






数













意义
分数单位 一般分数的改写和化简
通分
约分
分数的基本性质
分数的大小比较
普
通
分数与除法之间的关系
真分数
分数的
分类

假分数

带分数
假、带分数之间的互化
分、小数之间的互化

分、百分数之间的互化
分数、成数、折扣之间的互化
分数加减法

分数乘法
分数除法
分数应用题

倒数

整数






分



数



















求一个数是另一个数的几分之几？
已知一个数，求这个数的几分之几是多少？
已知一个数的几分之几是多少，求这个数？
工程问题。

十进分数(
见四年级下册第四单元知识网络图
)
数的运算整理（一）
百分数(
见六年级上册第五单元知识网络图
)

一、运算种类

加法：加数+加数=和

一级运算

互逆关系


减法：被减数-减数=差




乘法：因数
×
因数=积


二级运算

互逆关系


除法：被除数
÷
除数=商


注：
相同的几个加数相加，可用乘法计算。
从一个数里连续减去几个相同的一个数，差为0，可用除法计算。
二、
运算定律

a+b=b+a 加法


交换律

a
·
b=b
·
a 乘法


a+b+c=a+（b+c） 加法


结合律

a
·
b
·c
= a
·（
b
·c）
乘法

分配律：
a
·（
b
±c）
= a
·
b
±a·c 乘法
②
注：
两个数分别除以同一个数的商再相加或相减。
即（a±b）
÷
c=
a
÷
b
±a
÷
c （c≠0）
三、运算性质
减法：
a
-
b
-c
= a
-（
b
+c）
（特例）：
a
-
b
-c
= a
-c
-b

除法：
a
÷
b
÷
c
= a
÷
（
b
×c） （b、c≠0）

注：①加法、乘法之间的关系：a+a+a=a×3
②简便计算时，可以用分数与除法的关系把除法变为乘法计算。

四、估算


数的运算整理（二）（知识网络图）
一、
四则运算知识体系

逆运算
加法 减法



简便
简便

计算
意义
计算


逆运算

乘法

除法


运算顺序

四

混合运算
则

文字题

运

算




运算定律、
简便运算

性质














减法知识网络图
整数





法则

加
减
乘
除
各部
分之
间的
关系
加法交换律、结合律
乘法交换律、结合律、分配律

减法、除法的运算性质
和、差、积、商的变化规律

减





法













意义
小数
分数
整数
把两个数合并成一个数的运算
被减数-减数=差
各部分之
间的关系
小数
分数
整数
小数
分数
被减数=减数+差
被减数- 差=减数
把相同单位的个数相减
计算法则
a-b-c= a-（b+c）
整数
小数
分数
a-（b+c）= a-b-c
a-（b-c）= a-b+c
a
-
b
-c
= a
-c
-b
估算 方法同加法
简便算法
同
样
适
用














连减运算顺序自左往右依次计算，有括号的先算括号里面的，后算
括号外的。

验算
解决问题（应用题）

加法知识网络图
整数

已知两个加数的和和其中一个加数，求另一
意义

个加数的运算 。
小数


分数

整数

加数+加数=和，和-一个加数=

各部分之
小数 另一个加数

间的关系

分数


整数


把相同单位的个数相加
小数

计算法则

分数


交换律
整数

加

运算定律 结合律
简便算法 小数


分数

凑整法或移动补少法等

法
整数


把加数按四舍五入法看成整十数相加
估算 小数


分数


连加运算顺序自左往右依次计算，有括号的先算括号里面的，后算

括号外的。



验算

解决问题（应用题）


注：
①加减混合运算称之为一级运算（同级运算），运算顺序是从

左往右依次运算，有括号的，先括号内，后括号外的。
②用数形结合的方法把式子变成图形，使学生理解式子的意
义。
③会用多种读法读题。
④会用式子说一句话或做一件事。





























乘法知识整理网络

乘




法












注：
整数
意义
小数
分数
因数 ×因数=积
各部分之
间的关系
积
÷
因数=因数
整数
计算法则
小数
分数
整数
求几个相同加数和的简便运算 。
求一个数的几分之几是多少。

运算定律
小数
分数
a·b=b·a
a·b·c= a·（b·c）
a·（b±c）= a·b±a·c














运算定律
简便算法
分解凑整
直接约分
连乘运算顺序自左往右依次计算，有括号的先算括号里面
的，后算括号外的。
估算 ：同加减法
交换位置
验算
用除法
解决问题（应用题）
整、小、分数

①加、减、乘混合运算，先乘除后加减，有括号的，先括号内，
后括号外的。
②用数形结合的方法，会用图（线段图表示一些特殊式子）。
③会用多种读法读题。
④会用式子说一句话或做一件事。




























除法知识整理网络

整数
已知两个因数的积和其中一个因

意义
数，求另一个因数的运算 。

小数



分数


整数
a÷b = c

各部分之
a÷c = b（a、b、c

小数
间的关系
均不为0）

a=b
×
c

分数



整数

都可以转化为

1
小数

a÷b=a
×（b≠0）

计算法则
b

分数

除

运算性质
a÷b÷c= a÷（b×c）


运算性质


法
简便算法
商不变的性质


转化为分数乘法（约分法）


连除运算顺序：同加、减、乘。



估算 ：同加减法



验算：乘法验算
注：
①乘除法称之为二级运算，混合运算顺序是从左往右依次运













解决问题（应用题）

算。加减乘除运算称之为四则运算。四则混合运算顺序是 先乘
除后加减，有括号的，先括号内，后括号外的。
②会用多种读法读题。
③ 会用线段图表示一些特殊式子。
④会用多种方法计算四则混合运算式子题。
⑤会用式子说一句话或做一件事。
⑥计算四则混合运算式子题的步骤是一看、二选（想）、三算、
四验。



特殊数0和1在四则运算中的性质




a+0=a 0+a=a （加法）


0
a-0=a a-a=0 （减法）




a
×
0=0 0
×
a=0 （乘法）




0
÷
a=0 （除法）



特殊数



a
×
i=a 1
×
a=a （乘法）


1


a
÷1
=a a
÷
a=1（a
≠0
）（除法）


和差积商的变化规律及减法、除法的运算性质

a+b=c
则
（a±d）+b=c±d

和的变化规律

a+b=c
则

（a+d）+（b-d）=c

a-b=c 则
（a+d）-b=c

+d

a- b=c

则
a-（b+d）=c-d
差的变化规律
和
差
积
商
的
变
化
规
律
及
减
法
、
除
法
的
运
算
性
质

a-（b-d）=c+d

a-b=c则
（a±d）-（b±d）=c

a
·
b=c
则
（a
·
m）
·
b=c
·m


（a÷m）
·
b=c÷
m

积的变化规律

a
·
b=c
则
（a
·
m）÷（b÷m ）=c

a
÷
b=c
则
（a
·
m）÷b=c
·m


（a÷m）
·
b=c÷
m

商的变化规律

减法运算性质
除法运算性质
a
÷
b=c
则
a÷
（
b
·
m）=c÷
m

a÷
（
b÷m）=c
·m
a
÷
b=c
则
（a
·
m）÷（b
·
m）=c
（a÷m）÷（b÷m）=c
略
式与方程各部分知识之间网络图

变化关系
如：正反比
例等
等式的性质
运算
性 质
意义
含有
计算
公 式
用字母
表示数
未知
方程的解
运算定
律
等
式
数
方
程
解方程
检验
数量关系
数
解决问题
比例（见六年级下册第三单元
知识网络图）
比和比例各部分知识之间的关系网络图
两个比相
等

两个数相
除
比 比例
比
比求
比
的
值< br>基
本
和
性
化
质
简
比
与
分< br>数
除
法
的
关
系
解
比
比
的< br>应
用
比
例
尺
比
例
的
基
本< br>性
质
解
比
例
正
比
例
反
比< br>例













和
÷和对应的份数=每份的数或量
部份的数或量÷对应的份数=每份的数或量
差÷差对应的份数=每份的数或量



数学思考部分整理（网络图）

数
值
比
例
尺
线
段
比
例
尺
用比例解决
问题
再分别求出每
个数或量。

数学思考（数学广角或探索规律）系统整理



排列


组合

图形的变化规律 数列的变化规律

等量代换


抽屉原理


数字编码


、、、、、、
也可以这样整理：

排列


组合

图形的变化规律

等量代换

找规律

抽屉原理
数列的变化规律


数字编码

数学思考
排列组合（渗透排列组合的乘法原

理）


列表排除法



建议：解答这部分知识时可用图示法，学生便于理解掌握。


空间与图形部分
一、圆、圆柱、圆锥各有关知识（计算公式）之间的关系：

×2
×
π


d（直径） C（周长）

r（半径）

÷
2
÷
π



高
高



S（圆柱底面圆

S（圆柱的侧面积）
的面积）




高

高


2πr
2

（圆柱的表面

S

V（圆柱的体积）

积）


1
等
×

底
3
V（圆锥的体
等

高
积）

1

÷

3









注：
①一个长方形和一个正方形以一条边为轴旋转形成一个圆柱
×
h(
÷
h(< br>×
π
r

)
)
+2
π
r

-2
π
r

×
h(

÷
h(
2
2
)
)

体。
②一个直角三角形以它的一条直角边为轴旋转得到一个圆锥
体。
③圆柱体的侧面展开是一个长方形，它的侧面是一个曲面。
④圆锥体的侧面是一个曲面长方形，它展开后是一个扇形。
⑤小学学习的圆柱和圆锥都是直圆柱和直圆锥。
⑥圆柱有无数条高，上下两个底面之间的距离叫圆柱的高。
⑦从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。圆锥只有一条
高。
⑧任何一个物体的体积都是底面积×高。
⑨拟柱体、渠坎土石方等于横截面×长度。
⑩沙石堆土石方等于【（上底长+下底长）÷2】×【（上底宽+
下底宽）÷2】
⑾ 圆面积计算公式的推导法是用转化法：把圆转化成一个长方
形。长方形的长等于周长的一半，宽等于圆的 半径，故圆面积
s=πr
2
。
⑿圆柱体积计算公式推导：把圆柱转化成一个 长方体，长方体
的高等于圆柱的高，长方体的长等于底面圆周长的一半，宽等
于底面圆的半径， 所以圆柱的体积v=πr
2
·h=s·h。
⒀圆柱表面积的另一个计算公式：s=2πr·（r+h）。
11
⒁圆锥体积v=πr
2
·h= s·h，实验法：用等底等高的圆
33
柱容器和圆锥容器倒水，发现此规律，推导而成。











小学阶段所学的平面图形的周长计算公式

长方形：c=2（a+b）或c=2a+2b



正方形：c=4a或c=a+a+ a+a


周长（c）

圆：c=
=2πr或c=πd




其它平面图形：围成的图形各条边相加的总和。（圆环除

外）




















小学阶段所学的平面图形面积计算公式之间的关系（网络图）

长方形：长a，宽b，s=ab。
上下底相
等的梯形
正方形：边长a，面积s，s=a
2

梯形上底
a，下底b，
高h，面积
s，s=
（a+b）
·h
三角形：底a，高h，面积s，s=
1
ah。

2
上底为0
的梯形
上下底相
等的梯形
平行四边形：底a，高h，面积s，s=
ah。

×
1

2
圆：半径r，面积s ，s=πr
2


环形：外半径R,内半径, 面积s ,
高为（R-r），s=π（R
2
-r
2
）。
扇形：半径r，面积s ，s=πr2
·n·
1

360
上底为0，
h=r的梯形
上底为内圆周
长，下底为外
圆周长，高为
（R-r）的梯形
（n为圆心角度数）

上底为0，高为r，
下底为扇形，所在
圆周长的
1
的梯形.
3

s=a
2

1
2
a h
s=ab
a h
s=
1
(a+b)h

2
s=πr
2






s=πr2
·n·
1

s=π（R
2
-r
2
）

360


以上是小学阶段所学各种平面图形面积计算公式推导关系网
络图。
注：⑪由数方格的方法推出长方形面积
s=ab。
⑫由转化法得出正方形、平行四边 形、圆的面积计算公式；由
平行四边形计算公式用转化法推出三角形、梯形的面积公式；
由圆的 面积公式类推出环形和扇形的面积计算公式。

小学阶段所学的立体图形的分类




长方体


每个面都是平的

正方体


长方体

立体图形
见六年级下册第

二单元知识网络

正方体

有一个面是曲面

球体




注：
（1）一个长方形和一个正 方形移动到一定的位置，得到一个
长方体或正方体。一个圆上下移动到一定的位置，得到一个圆
柱体。
（2）点的移动到移动到一定的位置，得到一条直线，线到一
定的位置，得到一个面。

小学阶段所学的四边形之间的关系（网络图）




平行四边形 长方形 正方形


两组对边平行
四个角是直角。 四条边都相等。

且相等。



四边形

梯形
四

边

正方形 直角梯形

等腰梯
形

形







两腰相等

梯形 等腰梯形


一组对边平行

直角梯形

有一直角


（未完成，图中到时用笔填写）

图形与位置
一、
图形与变换


平移(沿着指定
的方向，平行移
动规定的距离)



交换位置的方法

旋转（按规定的

方向，旋转规定

的角度）


平移的方向、距离

图形 决定图形位置的

条件
与

变换 旋转的速度、方向



改变图形大小的方法：按照比例把图形放大或缩小。



注：图形平移的距离是指图形中每个点的平移距离。

二、图形与位置


用上、下、前、后、左、右来确定位置




用数对来确定位置
方法


用东南西北等方向来确定位置，或用方

向和距离来确定位置。


确定

位置
确定现实空间中物体的位置。
的方


法和
确定平面图中物体的位置。

用途
用途


可以确定现实空间中物体的位置，

也可以确定平面图中物体的位置。





注：会描出位置，也可让学生说出具体的位置及描述位置的方
法。

统计与可能性
一、统计知识体系表




统计表




统


计





统计图





二、统计表的构成




表格外部分



统

计

表

ia

表格内部分




单式统计表

复式统计表
单式条形统计图。
条形统计图。
复式条形统计图
单式折线统计图。
折线统计图
复式折线统计图
扇形统计图
总标题（统计表名称）

单位说明
制表日期（有时注明数据来源）

表头（说明横标目、纵标目和数据内容）
数据（要填写的统计数据）
横标目：每一横栏标题
标目
纵标目：每一纵栏标题

三、统计图的制作规则表

1、作图须从左至右，根据材料中数据的最大量和最小量及纸张大小决定图的大小。


2、单位选择要适当，并在总标题靠近纵轴箭头右边表示出来。
总

要

3、用彩色绘图时，同类量要用同一颜色表示，主要量用醒目的颜色表示。
求


4、总标题应与图形所反映的内容相符。

统

计
5、注明资料来源和制图日期。
总标题

图

的
1、纵坐标轴必须有单位。

制
2、单位长度表示数量的多少根据具体情况决定。

作

条形统计图
3、直条的宽窄必须一致。
规


则






`




















4、复式图要表明图例。
分
类
要
求
1、纵坐标轴必须有单位。
折线统计图
2、单位长度表示数量的多少根据具体情况决定。
3、根据数量，对应纵坐标轴描点。
4、各点用线段顺次连接。
1、用一个圆面积表示事物的总体，根据实际取适当半径画圆。
扇形统计图
2、准确算出各部分数所占百分比，并算出所占扇形圆心角的
度数。
3、各个扇形分别用不同颜色或图案表示。

四、平均数、众数和中位数

平均数：用一组数据的总和除以数据的个数，就能得到这组数
据的平均数。

众 数：一组数据中出现次数最多的数，叫做众数，有时一组
数据中有好几个众数 ，有时一组数据中没有众数。当一组数据
的个别数据偏大或偏小时，用中位数表示这组数据的“集中趋< br>势”就比较适合。

中位数：将一组数据按大小顺序排列，当数据个数是奇数时，
中位数就是中间的那个数 。当数据个数是偶数时，中位数就
是中间那两个数的平均数 。

五、可能性







可

能

性


























长度
可以用“一定”“经常”“偶尔”“不可能”“可能”
等词语来描述。
表示方法
可以用分数表示。
依据：根据事情发生的可能性大小来设计游戏规则。
游戏双方机会均等。
公平
游戏规则 游戏结果仍会有输赢。
不公平：游戏双方机会不均等。

常见的量
一、计量单位及进率


长度





计

量
面积

单

位

及

进

率


体 积

（容积）





质量




时间








单位名称：毫米（mm） 厘米（cm） 分米（dm）
米（m） 千米（km）
进率：1千米=1000米 1米=10分米
1分米=10厘米 1米=100厘米
单位名称： mm
2
cm
2
dm
2

m
2
km
2
公亩 公顷（ha）
进率：1公亩=1000 m
2
1ha=100公亩=10000 m
2
1 m
2
=100 dm
2
1 dm
2
= cm
2


1 cm
2
=100 mm
2

1 km
2
=1000000 m
2
=100ha

单位名称：m
3
dm
3
cm
3
mm
3
l （升）
ml（毫升）
进率：1m
3
=1000 dm
3
1 dm
3
=1000 cm
3

1 cm
3
=1000 mm
3
1升= 1 dm
3
=1000ml
单位名称：吨（t） 千克（kg） 克（g）
进率：1吨=1000千克 1千克=1000克

二、时间单位关系表




12个
平 年
年
100年
365天
31天
大月
月
小月
二月
30天
平年
28天；
闰年
天
闰 年
28天
世





10
年
季
4
季
13周
时
60
纪
周
366天
10个
年代

注：
①时间单位还有：旬 1旬=10天 半月=15天
②面积单位还有：亩、分、厘，1亩=10分 1分=1厘 平方
丈、平方尺、平方寸，进率是100. 1亩≈667平方米
1亩=60平方丈
④ 质量单位还有：斤、两、钱，进率是10，1kg=2斤，
500g=1斤
④长度单位还有：丈、尺、寸，进率是10.



分
年代
60
秒

三、计量单位的化聚法
1、名数：单名数、复名数。
名数：数和单位名称合在一起，通常把它叫做名数。
单名数：一个数和一个单位名称组成的名数叫做单名数。
复名数：由两个或两个以上的数和单位名称组成的名数叫做
单名数。
2、化、聚法

意义




单名数

化法

（退

法）

方法

复名数




意义


单名数


聚法

（命

法）
方法

复名数


3、化聚法



（化）乘进率或向右移动小数点
高级单位的数 低级单位的数

（聚）除以进率或向右移动小数点

实践与综合运用
一、实际问题知识体系（应用题）

二、实际问题（应用题）基础知识

意义：用数学名词、术语表达数与数之间关系的题目叫做文字题。


文
叙述类型：根据算式读法叙述；根据算式各部分名称叙述；
字

题
根据四则意义叙述；综合叙述。
基

本

算式：用运算符号将数连接起来的式子叫算式。
概

念

实际问题：根据生产和生活中的实际问题，用文字对话或图

表叙述出已知量和未知量之间的关系，而求未知量的题目。


实
简单实际问题：一步实际问题，两个条件和一个问题组成的

一个基本数量关系。
际

复合实际问题：由几个实际问题复合而成。

问

题
典型实际问题：在复合实际问题中，具有特殊结构，可以用
平均；
基

特殊的解法解的实际问题。
归一；

础
相遇；

知
追及。

识


假设法；

分析法；

审题； 综合法；

分析； 演示法；
解答步骤

计算； 枚举法；

检验； 倒推法；

写答。
转化法；

列表法；

图示法。

三、
简单实际问题
1、求总数；
加法
2、求比一个数多几的数；
3、求剩余；
4、求相差；
减法
5、求比一个数少几的数；
6、求几个相同数的和；
7、求一个数的几倍是多少；
乘法
8、把一个数平均分成几份；
9、求倍数是几；
10、求一个数里包含几个另一个数；
除法
11、求一个数是另一个数的几倍。
四、常用的数量关系
速度×时间＝路程
单价×数量＝总价
单产量×数量＝总产量
工作效率×工作时间＝工作总量
总数-部分=部分
收入-支出=结余
五、分数、百分数实际问题

单位“1”的量

（标准量）



对 应 的 量 对应分解

（比较量） 〔几（百）分之几〕

1、
对应的量（比较量）÷单位“1”的量（标准量）=对应分解〔几（百）分之几〕
2、单位“1”的量（标准量）×对应的量（比较量）=对应分解〔几（百）分之几〕
3、对应的量（比较量）÷对应分解〔几（百）分之几〕=单位“1”的量（标准量）
较复杂 的分数、百分数实际问题的特点是已知条件之间和已知条件与问题之间
不再有直接的对应关系，解题关键 ：①找准单位“1”；②利用线段图帮助理解题意，
写出数量关系式；③列式解答；④检验并作答。

六、比和比例实际问题





比例尺实际问题





比

和

比
按比例分配

例
比的应用

实

际

问

题




正反比例实际问题


图上距离÷实际距离=比例尺
实际距离×比例尺=图上距离
图上距离÷比例尺=实际距离

方法一：把比看成份数：先求出一份数，
再求出对应的几份数。
方法二：把比转化为分数：按分数实际
问题解答。
分析数量关系，判断成什么比例，根据
数量关系列方程解答。