杭州商学院教务网-英文名言

.
第4章 映射（函数）
映射（函数）是一个基本的数学概念，它是一个特 殊的二元关系，我们可以把映射看作
输入输出关系，它把一个集合（输入集合）的元素变成另一个集合（ 输出集合）的元素。例
如，计算机中的程序可以把一定范围内的任一组数据变化成另一组数据，它就是一 个映射。
映射的概念经常出现在开关理论、自动机理论和可计算理论等领域中，在计算机科学中
有着广泛的应用。
4.1 映射（函数）的概念
考虑下面几个由图 4-1所示的集合
X
到集合
Y
的关系。


图 4-1
在这６个关系中， 后４个关系
R
3
，
R
4
，
R
5
，
R
6
与
R
1
，
R
2
不同， 它们都有下面两
'.

.
个特点：
（1） 其定义域为
X
；
（2）
X
中任一元素
a
对应唯一一个
Y
中的元素
b
。
我们称具有这样两个特征的关系为映射（函数）。
定义4.1.1 设
X,Y是两个任意的集合，而
f
是
X
到
Y
的一个关系，若对每 一个
都存在一个唯一的
yY
，使得
x,yf
，则称关系
f
为
X
到
Y
的映射(Mapping)，
xX
，
记作
f
Y

f：XY
或
X
若
x,yf
，则称
x
为自变量(Independent Variable )，称
y
为映射
f
在
x
处的值（或像
（Image ）），
x,yf
亦可记作
yf(x)
，
f
的值域ran
fY
，有时也记为
R
f
，即
R
f
{yyY(x)(xXyf(x))}

或记为
f(X){f(x)xX}

集合
Y
称为
f
的 共域，
R
f
亦称为映射
f
的像集合。对于
AX
， 称
f(A)
为
A
的像（Image
of
A
），定义为

f(A){f(x)x A}{yx(xAyf(x))}
显然,，
f(

)

,f({x}){f(x)}(xX)
。
映射
f
是
X
到
Y
的特殊的二元关系，其特殊性在于：
（1）dom
fX< br>，即关系
f
的前域是
X
本身，而不是
X
的真子集。
（2） 若
x,yf
，则映射
f
在
x
处的值y
是唯一的，即

x,yfx,zfyz

例4.1.1 设
X{a,b,c,d},Y{1,2,3,4,5}
，且有< br>f{a,1,b,3,c,4,d,4}
，
求 dom
f
、
R
f
和
f(x)
。
解 dom
fX{a,b,c,d}

ran
f{1,3,4}


f(a)1,f(b)3,f(c)4,f(d)4

'.

.
例4.1.2 判别下列关系中哪个构成映射。
（1）
f{x,x
2
xR}

（2）
f{x
2
,xxR}

（3）
f{x
1
,x
2
x
1
,x
2
N,且x
1
x
2
10}

（4）
f{x
1
, x
2
x
1
,x
2
N,且x
1
x
2
10}

（5）
f{x
1
,x
2
x
1
,x
2
N,x
2
为小于
x
1
的素数个数
}

（6）
f{x,yx,yR,xy}

（7）
f{x,yx,yR,yx}

（8）
f{x,yx,yR,xy}

解 （1）构成映射。
（2）
x
2
,xf,x
2
,xf
，即值
y
不唯一，故不构成映射。
（3）因为
x
1
不能取定义域中所有的值 ，且
x
1
对应很多
x
2
，故不构成映射。
（4）因为
x
1
不能取定义域中所有的值，故不构成映射。
（5）构成映射。
（6）构成映射。
（7）因为对
xR
，值
y
不唯一，故不构成映射。
（8）因为对
xR
，值
y
不唯一，故不构成映射。
例4.1.3 下列集合中，哪些是映射？并求映射的定义域和值域。
（1）
S1
{1,2,3,2,3,4,3,1,4,4,1,4}

（2）
S
2
{1,2,3,2,3,4,3,3,2}

（3）
S
3
{1,2,3,1,2,4,2,3,4}

（4）
S
4
{1,2,3,2,2,3,3,2,3}

解 （1）是映射。dom
S
1
{1,2,3,4}
，
R
S
1
{1,4,2,3,3,4}

（2）是映射。dom S
2
{1,2,3}
，
R
S
2
{2,3, 3,2,3,4}

（3）不是映射。
'.

.
（4）是映射。dom
S
4
{1,2,3}
，
R
S
4
{2,3}

请注意区别
x
的像和
{x}
的像两个不同的概念。
x
的像
f(x)Y
，而像
f({x })Y
。
关于像有下列性质：
定理4.1.1 设
f
为
X
到
Y
映射，对任意
AX,BX
，有
（1）
f(AUB)f(A)Uf(B)
；
（2）
f(AIB)f(A)If(B)
；
（3）
f(A)f(B)f(AB)
。
证明 （1）对任一
yY
，

yf(AUB)x((xAUB)(yf(x)))

x(((xA)(xB))(yf(x)))

x(((xA)(yf(x)))((xB)(yf(x))))


x((xA)(yf(x)))x((xB)(yf(x)))

(yf(A))(yf(B))

yf(A)Uf(B)

因此，
f(AUB)f(A)Uf(B)
。
（2）、（3）的证明请读者完成。
注意：（2）、（3）中的“

”不能用“=”代替。下面我们举例说明。
例4.1.4 设
X{a,b,c,d}
，
Y{1,2,3,4,5}< br>，
f：XY
如图 4-2所示。那么，

f({a}){2}


f({b}){2}


f({a})If({b}){2}


f({a})f({b})



f({a}I{b})f(

)

f({a}{b})f({a}){2}

'.

.

f({a}I{b})f({a})If({b})

f({a})f({b})f({a}{b})


图 4-2 例4.1.4图
由于映射归结为关系，因而映射的表示及运算可归结为集合的表 示及运算，映射的相等
的概念、包含概念，也便归结为关系相等的概念及包含概念。
定义4.1.2 设
f：AB
，
g：CD
，如果
A C
，
BD
，且对于所有
xA
，
有
f(x)g (x)
，则称映射
f
和
g
相等，记作
fg
。如果
AC
，
BD
，且对于所有
xA
，有
f(x) g(x)
，则称映射
f
包含于
g
，记作
fg
。
事实上，当不强调映射是定义在哪个集合上的时候，由于映射是序偶的集合（特殊的关
系），所 以f = g的充分必要条件是
fg
且
gf
。
从映射的定义可 以知道
XY
的子集并不能都成为
X
到
Y
的映射。
例如，设
X{a,b,c}
，
Y{0,1}
，
XY {a,0,b,0,c,0,a,1,b,1,c,1}
，
XY
有
26
个可能的子集，但其中只有
2
3
个子集为从
X
到Y
的映射：
f
0
{a,0,b,0,c,0}
，
f
1
{a,0,b,0,c,1}

f
2
{a,0,b, 1,c,0}
，
f
3
{a,0,b,1,c,1}

f< br>4
{a,1,b,0,c,0}
，
f
5
{a,1,b,0 ,c,1}

f
6
{a,1,b,1,c,0}
，
f7
{a,1,b,1,c,1}

同理可知，从
Y
到
X
可定义
3
个不同的映射： < br>2
g
0
{0,a,1,a}
，
g
1
{0 ,a,1,b}
，
g
2
{0,a,1,c}
，
'.

.
g
3
{0,b,1,a}
，
g
4
{0,b,1,b}
，
g
5
{0,b,1,c}

g
6
{0,c,1,a}
，
g
7
{0,c,1 ,b}
，
g
8
{0,c,1,c}

一般地，设
X
和
Y
都为有限集，分别有
m
和
n
个不同元素，由 于从
X
到
Y
任意一个映
射的定义域是
X
，在这些映 射中每一个恰有
m
个序偶。另外任何元素
xX
，可以有
Y
的
n
个元素中的任何一个作为它的像，故共有
n
m
个不同的映射。在 上例中
X3,Y2
，故
从
X
到
Y
有
2
3
个不同的映射，从
Y
到
X
有
3
个不同的 映射。今后我们用符号
Y
X
表示从
X
2
到
Y
的所有映射的集合，甚至当
X
和
Y
是无限集时，也用这个符号，即
Y
X
{ff:XY}

则有
Y

X< br>Y
X
。特别地
A
表示集合
A
上映射的全体。
A
习题4.1
1．指出下列各关系是否为
X
到
Y
的函数：
（1）
XYN
，
R{x,y(xX)(yY)(xy100)}
（2）
XYR
(实数集)，
S{x,y(xX)(yY)(yx
3
)}

（3）
X{1,2,3,4},Y XX
，
R
1
{1,2,3,2,3,4,3,1,4,4,2,3}
R
2
{1,2,3,2,3,4,3,2,3}

（4）设
X{a,b},Y{1,2,3}
，
R
1
{a,1,b,2}
，
R
2
{a,1,b,1}
，
R
3
 {a,1,a,2}
，
R
4
{a,3}
。
2．设
f：XY
，
g：XY
，求证：
（1）
fIg
为
X
到
Y
的函数当且仅当
fg
。
（2）
fUg
为
X
到
Y
的函数当且仅当
fg< br>。
3．设
f{

,{

,{

}},{

},

}
为一函数，计算
f(

)
，
f({

})
，
f({

,{
}})
。
4．设
X{a,b,c,d},Y{1,2,3,4}
，
f：XY
为：
f{a,1,b,3,c,1,d,4}
，求
f({a})
，
f({a,b})
，
f({a,b,c})< br>，
f({a,b,c,d})
。


'.

.
4.2 特殊映射
定义4.2.1 设
f：XY
，
（1）如果ran
fY
，即
Y
的每一个元素都是
X
中一个或多个元素的像，则称这个映
射为满射(Surjecti on)（或到上映射）。
（2）如果对于任意
x
1
,x
2
X
，若
x
1
x
2
，则有
f(x
1)f(x
2
)
，则称这个映射为入
射(Injection)（或单射 ）。
（3）若
f
既是满射又是入射，则称
f
是双射(Biject ion)。 双射也称为1—1对应(One To
One Mapping)。
由定义不 难看出，如果
f：XY
是满射，则对于任意
yY
，必存在
xX
，使得
f(x)y
成立；如果
f：XY
是入射，则
X< br>中没有两个不同元素有相同的像，即对于任
意
x
1
,x
2X
，
f(x
1
)f(x
2
)x
1
x
2
。
图 4-3说明了这三类映射之间的关系。注意，既非单射又非满射的函数是大量存在的。

图 4-3
B
定义为 例4.2.1 （1）设
A{a,b,c,d},B{1, 2,3}
，如果
A
f(a)1,f(b)1,f(c)3,f(d)2< br>
则
f
是满射的。
f
{x,y}{1,3,5}
定义为
f(x)1,f(y)5
，则这个函数是入射，但不是满射。（2）
f：< br>
[0,1][a,b]
定义为：（3）令
[a,b]
表示实数的闭 区间，即
[a,b]{xaxb}
，
f：
f(x)(ba)xa

则这个映射是双射。
'.

.
例4.2.2 在图4-4中，
(a)
、
(c)
是满射，
(b)
、
(c)
是入射，
(c)
是双射。

图4-4
例4.2.3 设
N
是自然数集，下列映射哪些是满射、入射、双射。
（1）
f：NN
，
f(j)j2
。

（2）
f：NN
，
f(j)j(mod3)
。

2
（3）
f：NN
，
f(j)


1

0

1

0
j为奇数
j(mod2)

j为偶数
j为奇数

j为偶数
（4）
f：N{0,1 }
，
f(j)

（5）
f：NR
，
f(j) log
10
j

（6）
f：RR
，
f(j)j 2j15(j1)16
。

2
（7）
f：NN
，
f(n
1
,n
2
)n
1
2

n
22
解：（1）入射。
（2）一般映射（既非满射，也非入射）。
（3）一般映射（既非满射，也非入射）。
（4）满射。
（5）不是映射，
f(0)
无定义。
（6）一般映射（既非满射，也非入射）。
（7）不是映射，
f(0,0)
无定义。
定理4.2.1 令
X
和
Y
为有限集，若
X
和
Y
的元素个数相同，即XY
，则
f：XY
是入射的，当且仅当它是一个满射。
证明 （1 ）若
f
是入射，则
f(X)XY
。从
f
的定义我们有< br>f(X)Y
，而
'.

.
f(X)Y
， 因为
Y
是有限的，故
f(X)Y
，因此，
f
是一个满射。
（2）若
f
是一个满射，则
f(X)Y
，于是
XYf (X)
。因为
Xf(X)
和
X
是有限的，所以，
f
是一个入射。
这个定理必须在有限集情况下才能成立，在无限集上不一定有效，如
f：II
，这里
f(x)2x
，在这种情况下整数映射到偶数，显然这是一个入射 ，但不是满射。
另外，还有两个特殊而又重要的映射—常映射和恒等映射。
定义4.2.2 （1）设
f：XY
，如果存在
cY
，使得对所有的
xX
都有
f(x)c
，
即
f(X){c}
，则称
f：X Y
是常映射。
（2）任意集合
X
上的恒等关系
I
X
为一映射，常称为恒等映射，因为对任意
xX
都
有
I
X
(x)x
，即
I
X
{x,xxX}
。
对任意< br>x
1
x
2
，有
I
X
(x
1
)I
X
(x
2
)
，故
I
X
是入射；且
R
I
X
X
，
I
X
是满射。所以，
I
X
是双射。
习题4.2
1．设
Z

,Z, R,C
分别表示正整数集、整数集、实数集、复数集，试指出下列映射中哪些是
单射、满射、双 射，并写出定义域和值域。
(1)
f:ZZ

为
f(x)2x1
。
(2)
f:RR
为
f(x)cosx
。
(3)
f:R

1,1

为
f(x)sinx
。
(4)
f:

0,



1,1
为
f(x)cosx
。

2

(5)
f:

0,




1,1

为
f(x)sinx
。
(6)
f:CC
为
f(z)ez
（其中
Q
为一常数）。
2．下列关系中哪些能构成映射？。
（1）

x
1
,x
2
|x
1
,x
2
N,x
1
x
2
10

，其中
N
为自然数集。
'.
iQ




.
2
（2）
y
1
,y
2
|y
1
,y
2
R,y< br>2
y
1
，其中
R
为实数集。
2
(3)
y
1
,y
2
|y
1
,y
2
 R,y
2
y
1
，其中
R
为实数集。


3．下列集合能定义成映射吗？如能，试求出它们的定义域及值域。
（1）

1,2,3,2,3,4,3,1,4,4,1,4 

。
（2）

1,2,3,2,3,4, 3,3,2

。
（3）

1,2,3,2,3 ,4,1,2,4

。
（4）

1,2,3,3,2,3


4 ．设映射
f:AB
，这里
A{1,0,1}
，
B{2, 1,0,1,2}

2

0
f(x
1
,x
2
)


x
1
x
2
（1）
f
定义了何种关系？
(2)
f
的值域是什么？
x
1
x
2
0

其它
（3）有多少与
f
具有同样定义域和陪域的不同映射？。
（4 ）设
f:XY
的映射且
X

，问
f
可能是单射 吗？可能是双射吗？
（5）证明存在一个从
X
到
P(X)
的单射， 其中
X
为任意集合。
（6）设
X
与
Y
均是有限集 且
X
有
m
个元素，
Y
有
n
个元素，说明下 列断言为真时，
m
和
n
必须成立的关系：
1） 存在从
X
到
Y
的单射。
2） 存在从
X
到
Y
的满射。
3） 存在从
X
到
Y
的双射。


4.3 复合映射和逆映射
4.3.1 复合映射
因为映射是一种特殊的关系，所以和关系一样也有复合运算。
定义4.3.1 设映射
f：XY
，
g：WZ
，若
f(X)W
，则
gof{x,zxXzZ(y)(yYyf(x)zg(y))}

称
g
在映射
f
的左边可复合。
'.

.
对于映射的复合我们有下面的定理：
定理4.3.1 设f：XY
，
g：WZ
，
g
在映射
f
的左边 可复合，即
f(X)W
，
则
gof
是一个
XZ
映射。
证明 (1) 对于任意
xX
，因为
f
为映射，故必 有唯一的序偶
x,y
，使
yf(x)
成立，而
f(x)f(X)
即
f(x)W
，又因为
g
是映射，故必有唯一序偶
y,z
，使
zg(y)
成立，根据复合定义，
x,zgof
，即
X
中每个
x
对应
Z
中某个
z
。
(2) 假定
gof
中包含序偶
x,z
1
和
x,z
2
，这样在
Y
中必存在
y
1
和
y
2
，使得 在
f
中
有
x,y
1
和
x,y
2
， 在
g
中有
y
1
,z
1
和
y
2,z
2
。因为
f
是一个映射，故
y
1
y2
；又因为
g
是一个映射，故
z
1
z
2，即每个
xX
只能有唯一的
x,zgof
。
由(1)、(2)可知
gof
是一个映射。
在定义4.3.1中，当
WY
时，则映射
gof{x,zxXzZ(y)(yYyf(x)zg(y))}
< br>称为映射
f
与映射
g
的复合映射，或称
gof
为g
对
f
的左复合。
注意：在定义4.3.1中，假定ran
f 
dom
g
，如果不满足这个条件，则定义
gof
为空。
根据复合映射的定义，显然有
gof(x)g(f(x))
。
例4.3.1 设
X{1,2,3,4},Y{1,2,3,4,5},Z{1,2,3}
。
f：XY
，
f{1,2,2,1,3,3,4,5}

g：YZ
，
g{1,1,2,2,3,3,4,3,5,2}

求
gof
。
解
gof{1,2,2,1,3,3,4,2}

例4.3.2 设
f
，
g
均为实函数，
f(x)2x1
，
g(x)x1
。求
fog
，
gof
，
fof
，
2
go g
。
解
fog(x)2(x1)12x3

22
gof(x)(2x 1)
2
14x
2
4x2

'.

.

fof(x)2(2x1)14x3

gog(x)(x
21)
2
1x
4
2x
2
2

所以
fog{x,2x
2
3xR}

gof{x,4x
2
4x2xR}


fof{x,4x3xR}

gog{x,x
4
2x
2
2xR}

定理4.3.2 设
gof
是一个复合映射。
（1）若
f
和
g
是满射，则
gof
是满射。
（2）若
f
和
g
是入射，则
gof
是入射。
（3）若
f
和
g
是双射，则
gof
是双射。
证明 给定集合
X,Y,Z
，
f：XY
，
g：YZ
，
（1）因为
g
是满射，故
yY
，使得
g(y)z
； 又因为
f
是满射，故
xX
，
zZ
，
使得< br>f(x)y
，所以，
gof(x)g(f(x))g(y)z
即
zZ
，
xX
，使得
gof(x)z
。因此 ，
R
g
o
f
Z
，
gof
是满射。 （2）对
x
1
,x
2
X
，
x
1< br>x
2
，因为
f
是入射，故
f(x
1
)f (x
2
)
；又因为
g
是入射，
故
g(f(x
1
))g(f(x
2
))
，于是
x
1
x< br>2
gof(x
1
)gof(x
2
)

所以，
gof
是入射。
（3）因为
f
和
g
是双射，根据（1）和（2），
gof
为满射和入射，即
gof
是双射。
定理4.3.3 设
gof
是一个复合映射。
（1）若
gof
是满射，则
g
是满射。
'.

.
（2）若
gof
是入射，则
f
是入射。
（3）若
gof
是双射，则
g
是满射，
f
是入射。
证明 设
f：XY
，
g：YZ
，
gof：XZ
。
（1） 因为
gof
是满射，则
R
g
o
f
Z
，
zZ
，
xX
，使
gof(x)z
，故
yY

使得
yf(x)
，
zg(y)
，可见，
R
g
Z
，所以
g
是满射。
（2）设< br>x
1
,x
2
X
且
x
1
x
2
。因为
gof
是入射，故
gof(x
1
)gof( x
2
)
，即
g(f(x
1
))g(f(x
2))
，因为
g
是一个映射，则
f(x
1
)f(x2
)
，即
x
1
x
2
f(x
1< br>)f(x
2
)

所以，
f
是入射。
（3）
gof
是双射，则
gof
是满射且是入射。
gof
是 满射，由（1）可知
g
是满射；
gof
是入射，由（2）可知
f是入射。
由于映射的复合仍然是一个映射，故可求三个以上映射的复合。
例4.3.3 设
R
为实数集合，对
xR
，有
f(x)x2
，
g(x)x2
，
h(x)3x

求
gof
，hog
，
(hog)of
与
ho(gof)
。
解：
gof{x,xxR}
，
hog
{x,3(x2)xR}

(hog)of{x,3xxR}


ho(gof){x,3xxR}

所以有
ho(gof)(hog)of

一般地，有如下定理。
定理4.3.4 设有函数
f：XY
，
g：YZ
和
h：ZW
，则有
ho(gof)(hog)of

证明 这可由关系的复合的可结合性得出，这里我们直接由映射相等的定义证明。
'.

.
首先
ho(gof)
和
(hog)of
都是
X
到
W
的函数。另外对任一
xX
， 有

h
o
(g
o
f)(x)h((g
o
f)(x)) h(g(f(x)))


h
o
g(f(x ))(h
o
g)
o
f(x)
由元素
x
的任意性， 有
ho(gof)(hog)of

由此可见，映射的复合运算满足结合律 ，因此多个映射复合时可去掉括号，对3个映射
的复合即有
ho(gof)(hog)ofhogof
。
若有
f：XX
，则
fof
仍为
X
到
X
的映射，简记为
f
2
，一般地
fofoLof
简记为
f
n
。显然
1442443
n
0


f(x)I
X
(x)x


n1n


f(x)f(f(x))
注意：映射的复合运算不 满足交换律。
例4.3.4 （1）设
X{1,2,3}
，
f：XX
，
f{1,2,2,2,3,1}
，
g：XX
，
g{1,2,2,1,3,3}
，
则
gof{1,1,2,1,3,2}
，
fog{1,2,2,2,3,1}
。
所以
goffog
。
映射的复合运算还有如下明显的性质：
定理4.3.5 设映射
f：XY
，则
ffoI
X
I
Y
of
。
证明 对
xX,yY
，有
I
X
(x)x
，
I
Y
(y)y
，则
(foI
X
)(x)f(I
X
(x))f(x)


(I
Y
of)(x)I
Y
(f(x))f(x)

所以，
'.

.
ffoI
X
I
Y
of

当
XY
时，有
ffoI
X
I
X
of

4.3.2 逆映射
在关系的定义中曾提到，从
X
到
Y
的关系
R
，其逆 关系
R
1
是
Y
到
X
的关系，
y,xR
1
x,yR

但是，对于映射就不能用简单的交换 序偶的元素而得到逆映射，这是因为若有映射
f：XY
，但
f
的值域
R
f
可能只是
Y
的一个真子集，即
R
f
Y，此时，
dom
f
1
f
Y
的映射是多对一R
f
Y
，这不符合映射对定义域的要求。此外，若
X
的 ，即有
x
1
,yf,x
2
,yf,x
1
x< br>2
，其逆关系将有
y,x
1
f
这就违反了映射值唯一性的要 求。为此，有如下定理：
定理4.3.6 设
f：XY
是一个双射，那么
f
1
1
,y,x
2
f
1
,x
1< br>x
2
，
是
YX
的双射。
证明 设
f{x,yxXyYyf(x)}
，
f
1
{y ,x
因为
f
是满射，故对每一
yY
，必存在
x,yf< br>，所以，
y,xf
x,yf}
，
1
，即
f< br>1
的前域为
Y
。又因为
f
是入射，对每一个
yY
恰有一个
xX
，使
x,yf
，即仅有一个
xX
，
使
y,xf
1
，
y
对应唯一的
x
，故
f
1
1
是映射。
因为ran
f
dom
fX
，所以，
f
1
是满射。 < br>1111
又设
y
1
y
2
时，有
f (y
1
)f(y
2
)
，令
f(y
1
) x
1
,f(y
2
)x
2
，则
x
1
x
2
，故
f(x
1
)f(x
2
)
， 即
y
1
y
2
，与假设矛盾。所以
f
1
(y
1
)f
1
(y
2
)
，即
f
1
是单射。
因此，
f
1
是一个双射。
1
定义4.3.2 设
f：XY
是一双射，称
YX
的双射
f
例如，设
X{0,1,2},Y{a,b,c}
。若
f ：XY
为：
为
f
的逆映射，记作
f
1
。
f{0,c,1,a,2,b}
，
则有
f
1
:YX
，
f
1
{a,1,b,2,c,0}
。
'.

.
若
f{0,c,1,a,2,a}
，
则
f
的逆关系
f
1
{a,1,a,2,c,0}

就不是一个函数。
1
3
再如，
f：RR
，
f(x)x2
，则
f(x)
3
x2
。
函数的逆具有下面一些重要性质。
1
定理4.3.7 如果映射
f：XY
有逆映射
f：YX
，则
f
1
ofI
X
，
fof
1
I
Y
。
证明 因为
f：XY
是双射， 所以
f：YX
也是双射。 由定理4.3.2知 ，
1
f
1
of：XX
和
fof
1
：YY
都是双射。
任取
xX,yY
，若
f(x)y，
f
1
(y)x
，则
(f
1
of)( x)f
1
(f(x))f
1
(y)x

(fof
1
)(y)f(f
1
(y))f(x)y

所以，
f
1
ofI
X
；
fof
1
I
Y
。
定理4.3.8 若
f：XY
是双射，则
(f
1
11
)f
。
11
证明 因< br>f：XY
是双射，
f：YX
也是双射，因此，
(f)：XY是双射。
由于
dom
f
=dom
(f
且
11
)X

x,y(f
1
)
1
y,xf
1
x,yf

所以，
(f
11
)f
。
1
定理4.3.9 若
f：XY
，
g：YZ
均为双射，则
(gof)
证明 （1）因
f：XY
，
g：YZ
均为双射，故
f
1
f
1
og
1
。
1
和
g
均存在，且
f
1
：YX
，
g
1
：ZY
均为双射，所以，
f
1
og1
：ZX
为双射。
'.

.
根据定理4 .3.2，
gof：XZ
是双射，故
(gof)：ZX
是双射，且 dom
(f
1
1
o
g
1
)
=d om
(gof)
1
Z

（2）对任意
zZ

存在唯一
yY
，使得
g(y)z


存在唯一
xX
，使得
f(x)y

故
(f
1
og
1
)(z)f
1
(g
1
(z))f
1
(y)x

又
(gof)(x)g(f(x))g(y)z

故
(gof)
1
(z)x

因此，对任一
zZ
有：
(gof)(z)(f
由（1）、（2）可知
11
og
1
)(z)

f
1
og
1
(gof)
1
。
例4.3.5 设
X{0,1,2},Y{a,b,c},Z{

,< br>
,

}
，若有
f：XY
，
g：YZ< br>，
其中，
f{1,c,2,a,3,b},g{a,

,b,
,c,

}
，求
(g
o
f)
和f
解
gof{1,

,2,

,3,

}
，
(gof)
1
11
o
g
1
。
{

,1,

,3,

,2}

f
1
{c,1,a,2,b,3}
，
g
1
{

,c,

,b,

,a}

f1
og
1
{

,1,

,3,

,2}

可见，
(gof)
1
f
1
og
1


习题4.3
1． 证明或反驳下列命题：
(1) 设
BAX
，
f:XY
为任一映射，则
f(AB)f(A)f(B)
，其中f(A){y|yf(x),xA}
，
f(B){y|yf(x),xB}< br>，
f(AB){y|yf(x),xAB}
。
'.

.
(2)
f:XY
是双射，当且仅当对
X中任两个子集
A
与
B
，若
AIB

，则f(A)If(B)

。
(3) 设
f:XY
，
X,Y
均为有限集且
XY
，则下列命题等价：
①
f
是单射； ②
f
是满射； ③
f
是可逆的。 < br>2．设
f:RR
为
f(x)x2
，其中
R
为实 数集，试求
f
31
。
3．证明从
XY
到
YX
存在单射，并说明此映射是否为满射。
4．设
X{1,2,3,4}
。
(1) 试定义映射
f:XX
使
fI
X
且是单射。
(2) 求
f
o
f,f
o
f,f
21
,f
o
f
1
。
(3) 能否找到另一
gI
X
的单射
g:XX
，有
gogI
X
？
(4) 试定义一个映射
f:XX
使
f
(5) 试定义一个映射
f:XX
使
f
5．求下列各映射的逆映射：
(1)
f:RR,f(x)x
；
(2)
f:[0,1] [,],f(x)
2
f
且
fI
X
。
f
且
fI
X
。
1
13
44
x1

；
24
(3)
f:RR,f(x)x2
；
(4)
f:RR,f(x)2
.
6．如果
N
为
{0,1,2,L}
且
x
f:NN
为
f(n)n1
；
g:NN
为
g(n)2n
；

0n为偶数

h:NN
为
h(n)

1n为奇数

试求fof
，
fog
，
gof
，
goh
，
hog
，
(fog)oh
。
7．设
f:XX
，
g:XX
为任意两个映射，证明
'.

.
(1) 如果
g
不是满射，则
gof
也不是满射。
(2) 如果
f
不是单射，则
gof
也不是单射。
(3) 如果
f
为满射，
foff
，则
fI
X
。

4.4 置换
定义4.4.1 设
X{x
1
, x
2
,L,x
n
}
，双射
f：XX
称为集合X
的置换(Permutation)，
记作
p：XX

这里，
X
中元素的个数
X
称作置换的阶。
定理4.4.1 在
n
个元素的集合中，不同的
n
阶置换的总数为
n
！个。

x
1
证明 形如：
p


p( x
1
)
x
2
p(x
2
)
x
3L
p(x
3
)
L
x
n


p (x
n
)


中的
p(x
1
),p(x< br>2
),p(x
3
),L,p(x
n
)
可以取
x
1
,x
2
,x
3
,L,x
n
的任意一个 全排列，故总数为
n
！
个。
定义4.4.2 给定
X{x1
,x
2
,L,x
n
}
，恒等映射
I
X
(x) ：XX
称为集合
X
上的恒
等置换(Identical Permutation)，记作

x
1
I
X



x
1
x
2
x
2
x
3
L
x
3
L
x
n


x
n


定义4.4.3 设
p
是集合
X{x
1
,x
2
,L,x
n
}
的置换，如果可以 取到
X
的元素

,x
2

,L,x
r< br>
(1rn)
，使
p(x
1

)x
2

,p(x
2

)x
3

,L,p(x
r

1
)x
r

,p(x
r

)x
1

，且
X
的其
x
1

x
2

Lx
r

)
。 余元素（如果还有 的话）不变，则称
p
为一个轮换，记为
(x
1
若
X{x< br>1
,x
2
,x
3
}
，则
X
的
6
个置换


x
1

x
1
x< br>2
x
2
x
3

,

x
3< br>

x
1

x

2
x
2< br>x
1
x
3

,

x
3
< br>
x
1

x

1
x
2
x< br>3
x
3

,


x
2
< br>
x
1

x

3
x
2
x< br>2
x
3

,
x
1


< br>x
1

x

2
x
2
x
3< br>x
3

,
x
1



x< br>1

x

3
x
2
x
1
x< br>3

都是轮换，它们分别记为
(x
1
),(x
1x
2
),(x
2
x
3
),

x
2


x
2
x
1
x
3
x
4
x
4

不是轮换。

x
3


x
(x
1
x
3
),(x
1
x
2
x
3
)
和
(x
1
x
3
x
2
)
。当
X{x
1
,x
2
,x
3
,x
4
}
时，置换

1

x
2
'.

.
一般地，
X3
时，
X
的置换都 是轮换；
X3
时，
X
的置换未必是轮换。
定义4.4.4 把 置换看作定义在集合
X{x
1
,x
2
,L,x
n
}
上的双射，置换的复合定义为相
应映射复合构成的置换。

1234

1234

例如，
p
1


，
p
2


4321


3124

则
p
1
op
2



1234

1234

，
p
o
p
21


421 3

2431

可见，
p
1
op
2p
2
op
1
。
两个轮换
(x
i
1
x
i
2
Lx
i
r
)
与
(x
j
1
x
j
2
Lx
j
s
)
的复合 记为：
(x
j
1
x
j
2
Lx
j
s
)(x
i
1
x
i
2
Lx
i
r< br>)
。
定义4.4.5给定
X{x
1
,x
2
,L,x
n
}
，对任意的
n
阶置换

x
1
p


p(x
1
)
记
x
2
p(x
2
)
p(x
2
)
x
2
x
3
L
p(x
3
)
L
p(x
3
)< br>L
x
3
L
x
n


p(x
n
)


p(x
n
)


x
n


p(x)
p
1


1

x
1
容易验证
pop
1
p
1
opI
X

我们称
p
为
p
的逆置换。
集合
X{x
1
,x
2
,L,x
n
}
上的所有
n
阶置 换的全体记作
S
n
。
置换的复合有以下性质：
（1）
S
n
对于复合运算是封闭的；
（2）结合律成立，即
p
i
,p
j
,p
k
S
n
，有
(p
i
op
j
)op
k
p
i
o(p< br>j
op
k
)
；
（3）
S
n
中有一 个元素称为恒等置换，使对任意
pS
n
有
poIIopp
；
（4）任意
pS
n
，都存在有逆置换
p
，使
po ppop
111
1
I
。

习题4.4 1．若
X{1,2,3}
，试写出
X
上的全部置换，并指出各置换的逆 。
'.

.
2．设
X{1,2,3,4}
，
p
1
,p
2
,p
3
是
X
上的置换 ，

1234

1234

1234

，，，
p
1


pp
23


2413

3421

2413

1 11
求
p
1
op
2
，
p
2
op
1
，
p
1
op
3< br>，
p
3
op
2
，
p
1
，
p
2
及
p
3
。
3．已知
p
1



123

123


123
， ， ，
p
p
2
2


312

132


213

请 验证：
(p
1
op
2
)op
3
p
1o(p
2
op
3
)
。
4．设
A{1,2, 3,4}
，计算
(123)(234)(14)(23)
。
5．设
A{1,2,3,4,5,6}
，
A
上的置换
f(1234)
，
g(134)(25)
。求
（1）
f
1
；
1
（2）
f
o
g
o
f


。
*4.5 特征函数
有些映射与集合之间可以建立一些特殊的关系，借助于这些映射，可对集合进行运算。
定义4.5.1 令
E
是全集，
AE
，由

1xA


A
(x)

0xA< br>
定义的映射

A
：E{0,1}
，称为集合
A< br>的特征函数(Eigen-function)。
定理4.5.1 给定全集
E，且
AE
，
BE
，对于所有
xE
，特征函数有如 下一些
性质。
（1）

A
(x)0A


（2）

A
(x)1AE

（3）

A
(x)

B
(x)AB

（4）

A
(x)

B
(x)AB

（5）

A
I
B
(x)

A
( x)

B
(x)

（6）

A
U
B
(x)

A
(x)

B
(x)

A
I
B
(x)

'.

.
（7）

A
(x)1

A
(x)

（8）

AB
(x)

A
I
B(x)

A
(x)

A
I
B
(x )

证明： （1）、（2）、（7）显然。
（3）若
AB< br>，则对
xE
，当
xA
时，必有
xB
，即
A
(x)1
，

B
(x)1
，
可见，

A
(x)

B
(x)
；当
x A
时，则

A
(x)0
，故也有

A
( x)

B
(x)
。
若

A
(x)< br>
B
(x)
，即

A
(x)1
时，

B
(x)1
，亦即
xA
时必有
xB
，所 以，
AB
。
（4）若
AB
，即
AB
且
BA
。
由（3）得

A
(x)

B
(x)
且

B
(x)

A
(x)
，所以，

A(x)

B
(x)
。
若

A
(x )

B
(x)
，则

A
(x)1
时，

B
(x)1
，即
xA
时必有
xB
，故
AB
；

A
(x)0
时，

B< br>(x)0
，即
xA
时必有
xB
，则
xB时必有
xA
，即
BA
。
所以，
AB
。
（5）

A
I
B
(x)1xA
I
B xAxB

A
(
x
)

1
且< br>
B
(x)1

所以

A
I
B
(x)

A
(x)

B
(x)

（6）
xAUBxAxB
，有以下三种可能：
1)
xA
且
xB
，则
xAIB
，

A
(x)1
，

B
(x)1
，

A
I
B
( x)1
，所以，

A
U
B
(x)

A
(x)

B
(x)

A
I
B
(x)1
；
2)
xA
且
xB
，则
x AIB
，

A
(x)1
，

B
(x) 0
，

A
I
B
(x)0
，所以，
< br>A
U
B
(x)

A
(x)

B
(x)

A
I
B
(x)1
；
3)
xA
且
xB
，则
xAIB
，

A< br>(x)0
，

B
(x)1
，

A
I
B
(x)0
，所以，

A
U
B
( x)

A
(x)

B
(x)

A< br>I
B
(x)1
。
xAUBxAxBxAIB
，则

A
(x)0
，

B
(x)0
，

A
I
B
(x)0
，
所以，
< br>A
U
B
(x)

A
(x)

B
(x)

A
I
B
(x)0
。
综上所述，

A
U
B
(x)

A< br>(x)

B
(x)

A
I
B
( x)
。
'.

.
（8）由于
ABAIB
，则

AB
(x)

A
(x)

B
(x)

A
(x)(1

B
(x))




A
(x)

A
(x)

B
(x)

A
(x)

A
I
B
(x)

应用特征函数的一些性质，也可以证明一些集合恒等式。
例4.5.1 试证明：
（1）
AA

（2）
AI(BUC)(AIB)U(AIC)

证明 （1） 因为

A
(x)1

A
(x)1(1

A
( x))

A
(x)
，所以，
AA
。
（2）

A
I
(B
U
C)
(x)
< br>A
(x)

B
U
C
(x)




A
(x)(

B
(x)

C
(x)

B
I
C
(x))




A
(x)

B
(x)

A
(x)

C
(x)

A
(x)

B
I
C
(x)




A
I
B
(x)

A
I
C
(x)

A
I
(B
I
C)
(x)




A
I
B
(x)

A
I
C
(x)

(A
I< br>B)
I
(A
I
C)
(x)




(A
I
B)
U
(A
I
C)< br>(x)

所以，
AI(BUC)(AIB)U(AIC)
。
例4.5.2 设
E{a,b,c}
，
E
的子集是：

,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c}
和
{a,b,c}
，
试给出
E
的所有子集的特征函数且建立特征函数与二进制之间的对应关系。
解：
E
的任何子集
A
的特征函数的值由表4-1列出。
表4-1
E
的任何子集
A
的特征函数的值


A
(x)

A

x

a



0
0
0
{a}

1
0
0
{b}

0
1
0
{c}

0
0
1
{a,b}

1
1
0
{a,c}

1
0
1
{b,c}

{a,b,c}

0
1
1
1
1
1
b

c

如果规定元素的次 序为
a,b,c
，则每个子集
A
的特征函数与一个三位二进制数相对应。如

{a,c}
(x)101
。令
B{000,001,0 10,011,100,101,110,111}
，那么表4-1亦可看作从
'.

.
E
的幂集到
B
的一个双射。


习题4.5
1．设
S(AIB)U(AIC)U(BUC)
， 其中
A,B,C
是全集
E
的子集，试用特征函数

A(x),

B
(x),

C
(x)
来表示
S
(x)
。
2．利用特征函数的性质证明下列等式。
(1)
AI(BIC)(AIB)IC
(2)
AI(AUB)A

(3)
AI(AB)AB
(4)
A(BIC)(AB)U(AC)



*4.6 基数
4.6.1 无限集合
定义4.6.1 如果有一个从集合
{0,1, L,n1}
到
A
的双射函数，那么称集合
A
是有限的，
并 称
n
为
A
的计数(Counting)（
A
中元素的个数） ，规定空集

的计数为
0
；如果集合
A
不
是有限的 ，则它是无限的。
使用定义4.6.1证明集合
A
是无限集，就要证明对任意
nI

，在
{0,1,L,n1}
与
A
之
间 都不会建立双射。这种排除无数可能再确立结论的推论方法，其困难是固有的。一个切实
有效的克服困难 的选择是：
定义4.6.2 称集合
A
是无限集，当且仅当存在
A
到自身的单射
f
，使得
f(A)A
。如
果
A
不是 无限集，则称它是有限集。
定理4.6.1 自然数集合
N
是无限的。
证明 存在单射
f：NN
，
f(n)2n
，并且，
f( N)N
。所以，
N
是无限集。
定理4.6.2 子集是无限集合的集合是无限集。
证明 若集合
A
的子集
A
是无限集合，则存在
A

上的单射
f
，使得
f(A
)A

。扩充
f
到
A
上记为
g< br>，
g
满足：若
xA

，则
g(x)f(x)；若
xAA

，则
g(x)x
。显
然，
g
是
A
上的单射，且
g(A)f(A

)U(AA< br>
)A
。所以，
A
是无限集。
子集是无限集合的集合是无限集，其逆否命题是：有限集合的子集都是有限集合。
定理4.6.3 设
A,B
是任意两个集合且
A
是无限集，则：
（1） 若从
A
到
B
存在单射
f
，则
B< br>也是无限集；
'.

.
（2）
A
的幂集
P(A)
是无限集；
（3）
AUB
是无限集；
（4） 若
B

，则
AB
是无限集；
证明 仅证（1），其余都是（1）的推论。
A
是无限集，存在单射
g:A A
，使得
g(A)A
。
f
是从
A
到
B
的单射，
f(A)B
，
f
是从
A
到
f( A)
的双射，存在逆映射
f
f

(
1
A)
。
定义映射
h:BB
，
h
满足：若
xBf(A)< br>，则
h(x)x
；
xf(A)
，则
h(x)fogo f
f

(
1
A)
(x)
。由于
f
f

(
1
A)
(x),g,f
都是单射，所以
h< br>是
B
上的单射，
且
h(B)h(f(A))U(Bf(A))f(g(A))U(Bf(A))


f(A)U(Bf(A))B

所以，
B
是无限集。
4.6.2 基数的概念
两个集 合，如果它们都是有限集，其中元素哪个多哪个少是很容易知道的，只要比较
有限集的计数即可。但是， 如果两个集合都是无限集，怎样比较它们的元素哪个多哪个少呢？
例如，自然数集
N{0,1 ,2,3,L}
，正偶数集
E{2,4,6,L}
，整数集

I {L,3,2,1,0,1,2,3,L}
，实数集
R{xx}( ,)
。
设
A
与
B
是两个集合，若
A
中元素和
B
中元素可以一一对应，即存在
A
到
B
的一个双
射，这意味着
A
的元素个数和B的元素个数一样多。但这句话很不确切，因为 在无限集的
情形下，谈不上其中元素个数是多少。在集合论中，若集合
A
中元素和B
中元素可以一一
对应，我们不说它们的元素个数相等，而说它们有相同的势。
定义4.6.3 对于集合
A
与
B
，如果存在着从
A
到
B
的双射，则称
A
与
B
为等势的
(Equiv alent)，或称
A
与
B
对等(Equipollent)，记作
A:B
。
例4.6.1 验证自然数集
N
与非负偶数集合
M
是等势的。
证明
N
与
M
的元素之间可做双射，即
f：NM
，
f(n)2n

所以，
N
与
M
等势。
例4.6.2 设
R
为实数集合，
S
是
R
的子集 ，即
SR
，且

S{xxR1x1}(1,1)

证明：
S:R

'.

.
证明 令
f：SR
，
f(x)
x

x(1,1)

1x
2
显然
f
的值域是R
，
f
是双射函数，所以
S:R
。
定理4.6.4 集合族上等势关系是一个等价关系。
证明 设集合族为
S

（1）对任意< br>AS
，恒等映射
I
A
是
A
到
A
的 双射，所以
A:A
；
（2）对任意
A,BS
，如果
A: B
，则存在
A
到
B
的双射
f
，从而
f双射，故
B:A
；
（3）对任意
A,B,CS
，如果
A:B
且
B:C
，则存在
A
到
B
的双射
f
和
B
到
C
的
双射
g
，由定理4.3.2 知
gof
是
A
到
C
的双射，故
A:C
。
综合（1）、（2）和（3）知集合族上的等势关系是一个等价关系。
显然，两个有限集对等 ，当且仅当它们的计数相等。即根据计数是否相等就能判断两个
有限集是否对等。很自然，我们希望将有 限集的计数这个概念推广到无限集。
定义4.6.4 我们将相互对等的集合归为同一类，不对等的集 合不属于同一类，对每类集
合予以一个记号，称这个记号是这一类集合中每个集合的基数(Cardin al Number)（势，浓度，
权）。集合
A
的基数记为
K[A]
。并规定计数就是有限集合的基数。
定义4.6.5 设
A
、
B
是两个集合。
（1） 如果
A:B
，就 称
A
与
B
的基数相同，记作
K[A]K[B]
；
（2） 如果存在从
A
到
B
的入射，就称
A
的基数 小于等于
B
的基数，记作
1
为
B
到
A
的
K[A]K[B]
；
（3） 如果
K[A]K[B]
且
K[A]K[B]
，就称
A
的基数小于
B
的基数，记作

K[A]K[B]
。
例4.6.3 证明区间
[0,1]
与
(0,1)
基数相同。
证明 设集合
A{0,1,,L,,L}
，
A[0,1]
。定义
f： [0,1](0,1)
使得
1
2
1
n

< br>


f




f(0)1
2
n1
x[0，1]A

11
()
nn2
f(x)x
则
f
是双射，故区间
[0,1]
与< br>(0,1)
基数相同。
'.

.
4.6.3 可数集与不可数集
定义4.6.6 我们称自然数集
N{0,1,2,3,L}
的 基数为

0
，称为可列基数(Countable
Cardinal Nu mber)。凡与自然数集
N
对等的任意集合称为可列集（或可数集）(Countable Set)。
例如，
A{1,4,9,16,L,n,L}
，
B {1,,,L,
2
11
23
1
,L}
均为可数集。
n
定义4.6.7 如果集合
A
是有限的或无限可数的，则统称为至多可数的 。如果集合
A
是无
限的且是不可数的，则称
A
是不可数的(Non- countable)。
定理4.6.5
A
为可数集的充分必要条件是可以排列成


A{a
1
,a
2
,La
n
,L}

的形式。
证明 若
A
可排成上述形式，那么将
A
的元素< br>a
n
与脚标
n
对应，就得到
A
与
N
之间的
双射，故
A
是可数集。
反之，若
A
为可数集，那么 在
A
与
N
之间存在一个双射
f
，由
f
得到
n
的对应元素
a
n
,
即
A
可写为
{a
1
,a
2
,La
n
,L}
的形式。
定理4.6.6 任一无限集，必含有可数子集。
证明 设
A
为无限集合， 从
A
中取出一个元素
a
1
，因为
A
是无限的，它不 因取出
a
1
而
耗尽，所以，从
A{a
1
}
中可取元素
a
2
，则
A{a
1
,a
2
}
也是非空集，所以又可取一元素
a
3
，
如此继续下去，就得到A
的可数子集。
定理4.6.7 集合
A
是无限集，当且仅当
A
与
A
的一个真子集对等。
证明留给读者。
这一定理告诉我们任何一个无限集必定可以和它的某个真子集对等，这对于有 限集来说
是绝对不可能做到的。因此，能否和自己的某个真子集对等，这是无限集和有限集的本质区别。
定理4.6.8 下列各结论成立：
（1）可数集的任何无限子集是可数的；
（2）有限或可数个可数集的并是可数集；
（3）有限个可数集的直积是可数集。
证明 （1）设
A
为可数集合，
BA
为一无限子集，如将
A
的元素排成
a
1
,a
2
,La
n
,L
，从
a
1
开始，向后检查，不断地删去不在
B
中的元素，则 得到新的一列
a
i1
,a
i2
,La
in
,L，
它与自然数集对等，所以
B
是可数的。
（2）只需证明可数多个可数集的并是可数集。
设可数个可数集分别表示为：
A< br>1
{a
11
,a
12
,La
1n
,L}< br>
A
2
{a
21
,a
22
,La
2n
,L}

'.

.
A
3
{ a
31
,a
32
,La
3n
,L}

L

令
AA
1
UA
2
UA
3< br>UL
，即
A
U
A
k1

k
，对
A
的元素排列如下：


按上面箭头指向的顺序排列得到
{a
11
,a
12
,a
21
,a
31
, a
22
,a
13
,a
14
,L}
，
从中 删去重复的元素。这样，
U
A
k1

k
中的元素可以排成 一个无穷序列，故
A
是可数集。
（3）证明留给读者。
定理4.6.9 有理数的全体组成的集合是可数集。

证明 设
Q
和
Q
分别表示全体正有理数和全体负有理数组成的集合，则

QQU{0}UQ

由于每一个正有理数都可以表示为
数
q
，令

p
的形式，其中
p,q
都是正整数，对于每一个正整
q
123< br>A
q
{0,,,,L}

qqq
则有
QU{0}UA
q

q1


显然，
A
q
是可数集。由定理4.6.8，可数个可数集的并是可数集，所以
Q
U< br>{0}
是可数集。

'.

.
易知
Q
U
{0}
:QU{0}
，由于
QU{0}:
N
， 由对等的传递性，则
QU{0}:
N
。再
应用有限个可数集的并是可数集，则
Q
是可数集。
并非所有无限集合都是可数的，例如，实数集合就是不可数的。
定理4.6.10 全体实数构成的集合
R
是不可数的。
证明 作映射
f：R(0,1)


1

x0

2(x1)


f(x)



1
1x0

2(x1)
显然，
f
是双射，所以
R:(0,1)
。
我们只需证明
(0,1)
不可数。用反证法。
假设
S (0,1)
是可数的，则
S
必可表示为：
S{s
1
,s
2
,s
3
,L}
，其中
S
i
是
( 0,1)
上的任
一实数，它可写成无穷小数的形式。
设
s
i
0.y
1
y
2
y
3
L
，其中
yi
{0,1,2,L,9}
（如
0.2
和
0.123
可记为
0.1999L
和
，
0.12299L
）
设
s
1
0.a
11
a
12
a
13
La
1n
L


s
2
0.a
21
a
22
a
23
La
2n
L


s
3
0.a
31< br>a
32
a
33
La
3n
L

…
其次，我们构造一个实数
s0.b
1
b
2
b
3
L
使

1

b
j



2
a
jj
1

j1,2,L

a
jj
1
显然，
s(0,1 )
，且
s
与
S
1
,S
2
,LS
n
,L
各数至少有一位数是不同的，因为对于任何一
个
s
i
， 若
s
i
中
a
ii
1
，则
s
中< br>b
i
1
；若
a
ii
1
，则
b< br>i
2
。因此，
s
和
s
i
的小数第
i
位数字
是不同的，即
ss
i
（
i1,2,3,L）。这就证明了
sS
，产生矛盾，因此，
S
是不可数的，
即< br>S
是不可数集。
我们把集合
(0,1)
的基数记为“
1
”，因为
(0,1):R
，故
K[R]

1
。“

1
”称作连续基
'.

.
数。

习题4.6
1．下列集合
A
的基数是什么？
（1）
A{0}
。 （2）
A{a,b,c}
。
（3）
A{p,qp,q
都是整数
}
。 （4）
A{p,qp,q
都是有理数
}
。
（5）
A是由所有半径为
1
，圆心在
x
轴上的圆周所组成的集合。
（6）
A
是由所有圆心在原点的圆周所组成的集合。
（7）
A
是由所有圆心在原点，以正有理数为半径的圆周所组成的集合。
2．证明下列集合是可数的。
（1）
{kk3n2,nN}
。 （2）
{kkn
2
,nN}
。
（3）（1）与（2）中两集合的并。 （4）
{x
1
x
2
1x
1
,x
2
都是有理数
}
。
3 ．构造从
[0,1]
到下列集合的一个双射，以证明它们有基数

1
。
（1）
(a,b)
。 （2）
{xxRx0}

（3）
(0,1)
（4）
{x,yx,yRx
2
y
2
1}

'.