美国人眼中的中国人-中学生综合素质评价

小学数学奥数基础教程(五年级)


本教程共30讲
抽屉原理（二）
例1把一个长方形画成3行9列共27个小方格，然后用红、蓝铅笔任意将每个小方格涂上红色或蓝色。是否一定有两列小方格涂色的方式相
同？
分析与 解：将9列小方格看成9件物品，每列小方格不同的涂色方式
看成不同的抽屉。如果涂色方式少于9种， 那么就可以得到肯定的答案。
涂色方式共有下面8种：

9件物品放入8个抽屉，必有一个抽屉的物品数不少于2件，即一定
有两列小方格涂色的方式相同。
例2在任意的四个自然数中，是否总能找到两个数，它们的差是3
的倍数？
分析与解：这道题可以将4个自然数看成4件物品，可是却没有明显
的抽屉，这就需要根据题目构造合适 的抽屉。
因为题目要求两个数的差是3的倍数，当两个数除以3的余数相同时，
这两个数 的差一定是3的倍数，所以将自然数按除以3的余数分类，可以
分为整除、余1、余2三类，将这三类看 成3个抽屉。4件物品放入3个
抽屉，必有一个抽屉中至少有2件物品，即4个自然数中至少有2个数除
以3的余数相同，它们的差是3的倍数。
所以，任意的四个自然数中，总能找到两个数，它们的差是3的倍数。
例3 从1，3，5，7， …，47，49这25个奇数中至少任意取出多少
个数，才能保证有两个数的和是52。
分析与解：首先要根据题意构造合适的抽屉。在这25个奇数中，两
两之和是52的有12种搭配：
｛3，49｝，｛5，47｝，｛7，45｝，｛9，43｝，
｛11,41｝，｛13，39｝，｛15，37｝，｛17，35｝，

｛19，33｝，｛21，31｝，｛23，29｝，｛25，27｝。
将这12种搭配看成12 个抽屉，每个抽屉中有两个数，还剩下一个数
1，单独作为一个抽屉。这样就把25个奇数分别放在13 个抽屉中了。因
为一共有13个抽屉，所以任意取出14个数，无论怎样取，至少有一个抽
屉被 取出2个数，这两个数的和是52。所以本题的答案是取出14个数。
例4在下图所示的8行8列 的方格表中，每个空格分别填上1，2，3
这三个数字中的任一个，使得每行、每列及两条对角线上的各 个数字的和
互不相等，能不能做到？

分析与解：在8行8列的方格表中，8行 有8个和，8列也有8个和，
2条对角线有2个和，所以一共有8+8+2=18（个）和。因为题目问 的是，
这18个和能否互不相等，所以这18个和是物品，而和的不同数值是抽屉。
按题 目要求，每个和都是由1，2，3三个数中任意选8个相加而得到
的。这些和中最小的是8个都是1的数 相加，和是8；最大的是8个都是
3的数相加，和是24。在8至24之间，不同的和只有24-8+1 =17(个)。
将这17个不同的和的数值作为抽屉，把各行、列、对角线的18个和作为
物品 。把18件物品放入17个抽屉，至少有一个抽屉中的物品数不少于2
件。也就是说，这18个和不可能 互不相等。
例5用1，2，3，4这4个数字任意写出一个10000位数，从这个10000< br>位数中任意截取相邻的4个数字，可以组成许许多多的四位数。这些四位
数中至少有多少个是相同 的？
分析与解：猛一看，谁是物品，谁是抽屉，都不清楚。因为问题是求
相邻的4个数字 组成的四位数有多少个是相同的，所以物品应是截取出的
所有四位数，而将不同的四位数作为抽屉。
在10000位数中，共能截取出相邻的四位数10000-3=9997（个），
即物品数是9997个。
用1，2，3，4这四种数字可以组成的不同四位数，根据乘法原理有
4×4×4×4=256（种），
这就是说有256个抽屉。
9997÷256=39……13，

所以这些四位数中，至少有40个是相同的。

练习30
1.红光小学每周星期一、三、五、六各举办一种课外活动，问：至少
要有多少学生报名参 加，才能保证其中至少有3位学生所参加的课外活动
完全一样？
2.任意取多少个自然数，才能保证至少有两个数的差是7的倍数？
3.在前10个自然数中，至少取多少个数，才能保证其中有两个数的
和是10？
4.右 图是一个5行5列的方格表，能否在每个方格中分别填上1，2，
3中的一个数，使得每行、每列及两条 对角线上的五个方格中的数字之和
互不相同？

5.要把85个球放入若干个盒子中，每个盒子中最多放7个。问：至
少有几个盒子中放球的数目相同？
6.至少取出多少个真分数，才可以保证其中必有两个真分数之差小于

练习30
1.31名。
提示：只参加一次活动的有4种选择；
参加两次活动的有下面6种选择：
｛星期一、三｝，｛星期一、五｝，｛星期一、六｝，
｛星期三、五｝，｛星期三、六｝，｛星期五、六｝；
参加三次活动的有下面4种选择，

｛星期一、三、五｝，｛星期一、三、六｝，
｛星期一、五、六｝，｛星期三、五、六｝；
参加四次活动的有1种选择。
共有4+6+4+1=15（种）选择。
2.8。
提示：与例2类似，按除以7的余数将自然数分为7类。
3.7。
提示：与例3类 似，分下面6个抽屉：(1，9)，(2，8)，(3，7)，(4，6)，
(5)，(10)。
4.不能。提示：与例4类似。
5.4个。
提示：每盒放1，2，3，4，5，6，7个球，这样的七盒共放球
1+2+3+4+5+6+7=28（个），
85÷28=3……1，
所以至少有4个盒中的球数相同。
6.11个。