船舶买卖-快与慢

小升初奥数基础教程

第一讲 定义新运算
我们已 经学习过加、减、乘、除运算，这些运算，即四则运算是数学中最基
本的运算，它们的意义、符号及运算 律已被同学们熟知。除此之外，还会有什么
别的运算吗？这两讲我们就来研究这个问题。这些新的运算及 其符号，在中、小
学课本中没有统一的定义及运算符号，但学习讨论这些新运算，对于开拓思路及
今后的学习都大有益处。
例1 对于任意数a，b，定义运算“*”： a*b=a×b-a-b。
求12*4的值。
分析与解：根据题目定义的运算要求，直接代入后用四则运算即可。
12*4=12×4-12-4=48-12-4=32。

根据以上的规定，求10△6的值。



3，x>=2，求x的值。
分析与解：按照定义的运算，
<1，2，3，x>=2，


x=6。



由上面三例看出，定义新运算通常是用某些特殊符号表示特定的运算意义。
新运算使 用的符号应避免使用课本上明确定义或已经约定俗成的符号，如+，-，
×，÷，＜，＞等，以防止发生 混淆，而表示新运算的运算意义部分，应使用通
常的四则运算符号。如例1中，a*b=a×b-a-b ，新运算符号使用“*”，而等号
右边新运算的意义则用四则运算来表示。

分析与解：按新运算的定义，符号“⊙”表示求两个数的平均数。


四则运算中的意义相同，即先进行小括号中的运算，再进行小括号外面的
运算。


按通常的规则从左至右进行运算。







”表示几个数相加，每个加数各分析与解：从已知的三式来看，运算 “
数位上的数都是符号前面的那个数，而符号后面的数是几，就表示几个数之和，
其中第1个数 是1位数，第2个数是2位数，第3个数是3位数„„按此规定，
得
35=3+33+333+3333+33333=37035。
从例5知，有时新运算的规定不是很明显，需要先找规律，然后才能进行运
算。
例6 对于任意自然数，定义：n！=1×2ׄ ×n。
例如 4！=1×2×3×4。那么1！+2！+3！+„+100！的个位数字是几？
分析与解：1！=1，
2！=1×2=2，

3！=1×2×3=6，
4！=1×2×3×4=24，
5！=1×2×3×4×5=120，
6！=1×2×3×4×5×6=720，
„„
由此可推知，从5！开始，以后6！，7！，8！，„，100！的末
位数字都是0。
所 以，要求1！+2！+3！+„+100！的个位数字，只要把1！至4！
的个位数字相加便可求得：1 +2+6+4=13。所求的个位数字是3。
例7 如果m，n表示两个数，那么规定：m¤n=4n-（m+n）÷2。
求3¤（4¤6）¤12的值。
解：3¤（4¤6）¤12
=3¤[4×6-（4+6）÷2]¤12
=3¤19¤12
=[4×19-（3+19）÷2]¤12
=65¤12
=4×12-（65+12）÷2
=9.5。

练习一
1.对于任意的两个数a和b，规定a*b=3×a-b÷3。求8*9的值。
2.已知a
3.已知a
b表示a 除以3的余数再乘以b，求13
b表示（a-b）÷（a+b），试计算：（5
4的值。
3）（106）。
4.规定a◎b表示a与b的积与a除以b所得的商的和，求8◎2的值。
5.假定m◇n表示m的3倍减去n的2倍，即 m◇n=3m-2n。

（2）已知x◇（4◇1）=7，求x的值。

7.对于任意的两个数P， Q，规定 P☆Q=（P×Q）÷4。例如：2☆8=
（2×8）÷4。已知x☆（8☆5）=10，求x的值。
8.定义： a△b=ab-3b，a
9.已知： 2
4
b=4a-ba。计算：（4△3）△（2b）。
3=2×3×4，
5=4×5×6×7×8，
„„
求（4






















4）÷（33）的值。

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二、数的整除性
三、四年级已经学习了能被2，3，5和4，8，9，6以及11 整除的数的特
征，也学习了一些整除的性质。这两讲我们系统地复习一下数的整除性质，并利
用 这些性质解答一些问题。
数的整除性质主要有：
（1）如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。
(2）如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这
个自然数整除。
(3）如果一个数能分别被几个两两互质的自然数整除，那么这个数能被
这几个两两互质的自 然数的乘积整除。
（4）如果一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这
两个自然数中的一个。
（5）几个数相乘，如果其中一个因数能被某数整除，那么乘积也能被这个
数整除。
灵活运用以上整除性质，能解决许多有关整除的问题。
例1 在□里填上适当的数字，使得七位数□7358□□能分别被9，25和8
整除。
分析与解： 分别由能被9，25和8整除的数的特征，很难推断出这个七位数。
因为9，25，8两两互质，由整除 的性质（3）知，七位数能被 9×25×8=1800
整除，所以七位数的个位，十位都是0；再由能 被9整除的数的特征，推知首位
数应填4。这个七位数是4735800。
例2 由2000个1组成的数111„11能否被41和271这两个质数整除？
分析与解：因为41×2 71=11111，所以由每5个1组成的数11111能被41
和271整除。按“11111”把2 000个1每五位分成一节， 2000÷5=400，就有
400节，

因为2000个1组成的数11„11能被11111整除，而11111能 被41和271
整除，所以根据整除的性质（1）可知，由2000个1组成的数111„11能被41
和271整除。
例3 现有四个数：76550，76551，76552，76554。能 不能从中找出两个数，
使它们的乘积能被12整除？
分析与解：根据有关整除的性质，先把12分成两数之积：12=12×1=6×2=3
×4。
要从已知的四个数中找出两个，使其积能被12整除，有以下三种情况：
（1）找出一个数能被12整除，这个数与其它三个数中的任何一个的乘积都
能被12整除；
（2）找出一个数能被6整除，另一个数能被2整除，那么它们的积就能被
12整除；
（3）找出一个数能被4整除，另一个数能被3整除，那么它们的积能被12
整除。
容易判断，这四个数都不能被12整除，所以第（1）种情况不存在。
对于第（2）种情况， 四个数中能被6整除的只有76554，而76550，76552
是偶数，所以可以选76554和7 6550，76554和76552。
对于第（3）种情况，四个数中只有76552能被4整除，7 6551和76554都
能被3整除，所以可以选76552和76551，76552和76554。
综合以上分析，去掉相同的，可知两个数的乘积能被12整除的有以下三组
数：76550和7 6554， 76552和76554， 76551和 76552。
例4 在所有五位数中，各位数字之和等于43且能够被11整除的数有哪些？
分析与解：从题设的条件分析，对所求五位数有两个要求：
①各数位上的数字之和等于43；
②能被11整除。
因为能被11整除的五位数很多，而各数位上的数字之和等于43的五位数 较
少，所以应选择①为突破口。有两种情况：
（1）五位数由一个7和四个9组成；
（2）五位数由两个8和三个9组成。

上面两种情况中 的五位数能不能被11整除？9，8，7如何摆放呢？根据被
11整除的数的特征，如果奇数位数字之和 是27，偶数位数字之和是16，那么差
是11，就能被11整除。满足这些要求的五位数是： 97999，99979， 98989。
例5 能不能将从1到10的各数排成一行，使得任意相邻的两个数之和都能
被3整除？
分析与解：10个数排成一行的方法很多，逐一试验显然行不通。我们采用
反证法。
假设题目的要求能实现。那么由题意，从前到后每两个数一组共有5组，每
组的两数之和都能被3整除， 推知1～10的和也应能被3整除。实际上，1～10
的和等于55，不能被3整除。这个矛盾说明假设 不成立，所以题目的要求不能
实现。

练习二
1.已知4205和2813都是29的倍数，1392和7018是不是29的倍数？
2.如果两个数的和是64，这两个数的积可以整除4875，那么这两个数的差
是多少？
3.173□是个四位数。数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字，所
得到的 3个四位数，依次可以被9，11，6整除。”问：数学老师先后填入的3
个数字之和是多少？




班有多少名学生？
6.能不能将从1到9的各数排成一行，使得任意相邻的两个数之和都能被3
整除？

练习参考答案
1.是。提示：7018和1392分别是4205与2813的和与差。
2.14。
提示：已知这两个数的积可以整除4875，说明这两个数都是4875的因
数。4875= 3×5× 5×5×13，用这些因子凑成两个数，使它们的和是64，显然这
两个数是3×13=39和5×5= 25。它们的差是39-25=14。
3.19。提示：先后填入的三个数依次是7，8，4。
4.123654和321654。
提示：由题意知，b，d，f是偶数，e= 5，所以a，c只能是1和3。

6，进而知f=4，所求数为123654和321654。
5.55人。
提示：总分等于平均分乘以学生人数，因为平均分90=9×10，所以总
（人）。
6.不能。
提示：假设能。因为前两个数的和能被3整除，第2、第3个数的和也
能被3 整除，所以第1、第3两个数除以3的余数相同。类似可知，排在第1，3，
5，7，9位的数除以3的 余数都相同。在1～9中，除以3的余数相同的数只有3
个，不可能有5个。这个矛盾说明假设不成立。

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第三讲 质数与合数
自然数按照能被多少个不同的自然数整除可以分为三类：
第一类：只能被一个自然数整除的自然数，这类数只有一个，就是1。
第二类：只能被两个不同的自 然数整除的自然数。因为任何自然数都能被
1和它本身整除，所以这类自然数的特征是大于1，且只能被 1和它本身整除。
这类自然数叫质数（或素数）。例如，2，3，5，7，„
第三类：能被 两个以上的自然数整除的自然数。这类自然数的特征是大于
1，除了能被1和它本身整除外，还能被其它 一些自然数整除。这类自然数叫合
数。例如，4，6，8，9，15，„
上面的分类方法将自然数分为质数、合数和1，1既不是质数也不是合数。
例1 1～100这100个自然数中有哪些是质数？
分析与解：先把前100个自然数写出来，得下表：

1既不是质数也不是合数。

2是质数，留下来，后面凡能被2整除的数都是合数，都划去；
3是质数，留下来，后面凡能被3整除的数都是合数，都划去；
类似地，把5留下来，后面凡是5的倍数的数都划去；
把7留下来，后面凡是7的倍数的数都划去。

经过以上的筛选，划去的都是合数，余下26个数，除1外，剩下 的25个都
是质数。这样，我们便得到了100以内的质数表：
2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，
43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97。
这些质数同学们应当熟记！
细心的同学可能会注意到，以上只划到7的倍数，为什么不继续划 去11，
13，„的倍数呢？事实上，这些倍数已包含在已划去的倍数中。例如，100以内
1 1的倍数应该是
11×A≤100（其中A为整数），

显然，A只能取2， 3，4，5，6，7，8，9。因为4=2
2
，6=2×3，8=23，9=3
2，
所以A必是2，3，5，7之一的倍数。由此推知，11的倍数已全部包含在2，3，
5 ，7的倍数中，已在前面划去了。
要判断一个数N是质数还是合数，根据合数的定义，只要用从小到大 的自然
数2，3，4，5，6，7，8，„，N-1去除N，其中只要有一个自然数能整除N，N
就是合数，否则就是质数。但这样太麻烦，因为除数太多。能不能使试除的数少
一点呢？由例1知，只 要用从小到大的质数去除N就可以了。例2给出的判别方
法，可以使试除的数进一步减少。
例2 判断269，437两个数是合数还是质数。
分析与解：对于一个不太大的数N，要判 断它是质数还是合数，可以先找出
一个大于N且最接近N的平方数K
2
，再写出K以内 的所有质数。如果这些质数都
不能整除N，那么N是质数；如果这些质数中有一个能整除N，那么N是合 数。
因为269＜17
2
=289。17以内质数有2，3，5，7，11，13。 根据能被某些数
整除的数的特征，个位数是9，所以269不能被2，5整除；2+6+9=17，所以 269
不能被3整除。经逐一判断或试除知，这6个质数都不能整除269，所以269是
质数 。
因为437＜21
2
=441。21以内的质数有2，3，5，7，11，13， 17，19。容易
判断437不能被2，3，5，7，11整除，用13，17，19试除437，得到 437÷19=23，
所以437是合数。
对比一下几种判别质数与合数的方法，可以看出例 2的方法的优越性。判别
269，用2～268中所有的数试除，要除267个数；用2～268中的质 数试除，要
除41个数；而用例2的方法，只要除6个数。

例3 判断数11是质数还是合数？
分析与解：按照例2的方法判别这个13位数是质数还是 合数，当然是很麻
烦的事，能不能想出别的办法呢？根据合数的意义，如果一个数能够写成两个大
于1的整数的乘积，那么这个数是合数。
根据整数的意义，这个13位数可以写成：
11
=00+1111111
=1111111×（1000000+1）
=1111111×1000001。
由上式知，111111和1000001都能整除11，所以11
是合数。
这道例题又给我们提供了一种判别一个数是质数还是合数的方法。
例4 判定2
98
+1和2
98
+3是质数还是合数？
分析与解：这道题 要判别的数很大，不能直接用例1、例2的方法。我们在
四年级学过a
n
的个位数的变 化规律，以及a
n
除以某自然数的余数的变化规律。
2
n
的个位数随 着n的从小到大，按照2，4，8，6每4个一组循环出现，98÷4=24„„
2，所以2
9 8
的个位数是4，（2
98
+1）的个位数是5，能被5整除，说明（2
98
+1）是
合数。
（2
98
+3）是奇数，不能被2整除； 298
不能被3整除，所以（2
98
+3）也不能
被3整除；（2
98
+1）能被5整除，（2
98
+3）比（2
98
+1）大2，所 以（2
98
+3）不能
被5整除。再判断（2
98
+3）能否被7整 除。首先看看2
n
÷7的余数的变化规律：

因为98÷3的余数是2，从 上表可知2
98
除以7的余数是4，（2
98
+3）除以7
的余数是 4+3=7，7能被7整除，即（2
98
+3）能被7整除，所以（2
98
+ 3）是合数。
例5 已知A是质数，（A+10）和（A+14）也是质数，求质数A。
分析与解：从最小的质数开始试算。
A=2时，A+10=12，12是合数不是质数，所以A≠2。

A=3时，A+10=13，是质数；A+14=17也是质数，所以A等于3是所求的质数。
A除了等于3外，还可以是别的质数吗？因为质数有无穷多个，所以不可能
一一去试，必须采用其它方 法。
A，（A+1），（A+2）除以3的余数各不相同，而（A+1）与（A+10）除以3
的余数相同，（A+2）与（A+14）除以3的余数相同，所以A，（A+10），（A+14）
除 以3的余数各不相同。因为任何自然数除以3只有整除、余1、余2三种情况，
所以在A，（A+10） ，（A+14）中必有一个能被3整除。能被3整除的质数只有
3，因为（A+10），（A+14）都 大于3，所以A=3。也就是说，本题唯一的解是
A=3。

练习
1.现有1，3，5，7四个数字。
（1）用它们可以组成哪些两位数的质数（数字可以重复使用）？
（2）用它们可以组成哪些各位数字不相同的三位质数？
2.a，b，c都是质数，a＞b＞c，且a×b+c=88，求a，b，c。
3.A是一个质数 ，而且A+6，A+8，A+12，A+14都是质数。试求出所有
满足要求的质数A。

5.试说明：两个以上的连续自然数之和必是合数。
6.判断2
66
+3
88
是不是质数。

7.把一个 一位数的质数a写在另一个两位数的质数b后边，得到一个三
位数，这个三位数是a的87倍，求a和b 。

练习
1.（1）11，13，17，31，37，53，71，73；
（2）137，173，317，157，571，751。
2.17，5，3。
提示：c小于9，否则a×b+c＞88。对c=2，3，5，7四种情况逐一试
算。
3.5。
提示：与例5类似。A+6，A+8，A+12，A+14分别与A+1，A+3，A+ 2，
A+4除以5的余数相同。因为自然数除以5只有整除、余1、余2、余3、余4
五种情况 ，原来的四个数都是大于5的质数，不应被5整除，只能是余1、余2、
余3、余4，所以A=5。
4.2，7，13。

5.在高斯求和公式“和=（首项+末项）× 项数÷2”中，因为“项数”
＞2，所以“首项+末项”＞2。因为“和”是整数，所以“首项+末项” 与“项
数”中必有一个能被2整除，且商不等于1。这就把“和”分解成了两个大于1
的整数的 乘积，说明“和”是合数。
6.不是。
提示：2
66
的个位数是 4，3
88
的个位数是1，（2
66
+3
88
）的个位数是 5，
能被5整除。
7.5和43。
解：由题意有，10b+a=87a，
10b=86a，
5b=43a。
因为5与43都是质数，所以a=5，b=43。