熟悉的一个人-积极分子培训心得

小学数学奥数基础教程(五年级)


本教程共30讲
用割补法求面积
在组合图形中，除了多边形外，还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面
积，常常需要变动图形的位 置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成
可以计算出面积的规则图形。就是在多边形的组合图形中， 为了计算面积，
有时也要用到割补的方法。
例1求下列各图中阴影部分的面积：

分析与解：（1）如左下图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，
然后按照右 下图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置。可以看出，原题
图的阴影部分等于右下图中AB弧所形成的 弓形，其面积等于扇形OAB
与三角形OAB的面积之差。
π×4×4÷4-4×4÷2=4.56。

（2）在题图虚线分割的两个正方形中，右 边正方形的阴影部分是半
径为5的四分之一个圆，在左边正方形中空白部分是半径为5的四分之一
个圆。
如下图所示，将右边的阴影部分平移到左边正方形中。可以看出，原
题图的阴影 部分正好等于一个正方形的面积，为5×5=25。

例2在一个等腰三 角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边
等分成三段（见右图），求图中阴影部分的面积占整个 图形面积的几分之
几。

分析与解：阴影部分是一个梯形。我们用三种方法解答。
（1）割补法
从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角形。将这两个直角三
角


（2）拼补法
将两个这样的三角形拼成一个平行四边形（下页左上图）。

积和平行四边行面积同时除以2，商不变。所以原题阴影部分占整个
图形面


（3）等分法

将原图等分成9个小三角形（见右上图），阴影部分占3个小三角形，

注意，后两种方 法对任意三角形都适用。也就是说，将例题中的等腰
三角形换成任意三角形，其它条件不变，结论仍然成 立。
例3如左下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，
剩下一个上底长 5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。求这个
梯形的面积。

分析与 解：因为不知道梯形的高，所以不能直接求出梯形的面积。可
以从等腰直角三角形与正方形之间的联系上 考虑。将四个同样的等腰直角
三角形拼成一个正方形（上页右下图），图中阴影部分是边长9厘米与边< br>长5厘米的两个正方形面积之差，也是所求梯形面积的4倍。所以所求梯
形面积是（9×9-5× 5）÷4=14（厘米
2
）。
例4在左下图的直角三角形中有一个矩形，求矩形的面积。

分析与解：题中给出了两个 似乎毫无关联的数据，无法沟通与矩形的
联系。我们给这个直角三角形再拼补上一个相同的直角三角形（ 见右上
图）。因为A与A′，B与B′面积分别相等，所以甲、乙两个矩形的面
积相等。乙的面 积是4×6=24，所以甲的面积，即所求矩形的面积也是24。
例5下图中，甲、乙两个正方形 的边长的和是20厘米，甲正方形比
乙正方形的面积大40厘米
2
。求乙正方形的面积 。

分析与解：如果从甲正方形中“挖掉”和乙正方形同样大的正方形丙 ，
所剩的A，B，C三部分之和就是40厘米
2
（见左下图）。

把C割下，拼补到乙正方形的上面（见右上图），这样A，B，C三
块就合并成一个长20厘米的矩形， 面积是40厘米
2
，宽是40÷20=2（厘
米）。这个宽恰好是两个正方形的边长之 差，由此可求出乙正方形的边长
为（20-2）÷2=9（厘米），从而乙正方形的面积为9×9=81 （厘米
2
）。

练习22
1.求下列各图中阴影部分的面积：
（1） （2）
2.以等腰直角三角形的两条 直角边为直径画两个半圆弧（见下图），
直角边长4厘米，求图中阴影部分的面积。

3.在左下图所示的等腰直角三角形中，剪去一个三角形后，剩下的部
分是一个直角梯形（ 阴影部分）。已知梯形的面积为36厘米
2
，上底为3
厘米，求下底和高。

4.在右上图中，长方形AEFD的面积是18厘米
2
，BE长3厘米，求
CD的长。

5.下图是甲、乙两个正方形，甲的边长比乙的边长长3厘米，甲的面
积比 乙的面积大45厘米
2
。求甲、乙的面积之和。

6.求下图（单位：厘米）中四边形ABCD的面积。

练习22
1.（1）25；（2）ab。
提示：（1）
2.4.56厘米
2
。
（2）
提示：如左下图所示，所求面积等于右 下图中圆面积减去正方形面积，
等于（4÷2）
2
π-4×4÷2= 4.56（厘米
2
）。

3.下底9厘米，高6厘米。
解：用两个同样的等腰直角三角形拼成一个正方形（见左下图），大
正方形的面积为36×2+3×3= 81（厘米
2
）。边长为9厘米。所求梯形的
下底为9厘米，高为9-3=6（厘米） 。

4.6厘米。
提示：与例4类似，右上图中甲、乙的面积相等，所以，CD=18÷3=6
（厘米）。
5.117厘米
2
。

提示：与例5类似，下图中丙与乙相同，C与C ＇相同。甲、乙的边
长和等于45÷3=15（厘米），甲的边长为（l5+3）÷2=9（厘米）。
甲、乙的面积和为9×9×2-45=117（厘米
2
）。
6.20厘米
2
。

解：将AD，BC分别延长，相交于E（见右图） 。四边形ABCD的
面积等于等腰直角三角形ABE与等腰直角三角形CDE的面积之差，为7
×7÷2-3×3÷2=20（厘米
2
）。