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小学数学奥数基础教程(四年级)




本教程共30讲
智取火柴
在数学游戏中有一类取火柴游戏，它有很多种玩法， 由于游戏的规则
不同，取胜的方法也就不同。但不论哪种玩法，要想取胜，一定离不开用
数学思 想去推算。
例1桌子上放着60根火柴，甲、乙二人轮流每次取走1～3根。规定谁取
走最后 一根火柴谁获胜。如果双方都采用最佳方法，甲先取，那么谁将获
胜？
分析与解：本题采用逆 推法分析。获胜方在最后一次取走最后一根；往前
逆推，在倒数第二次取时，必须留给对方4根，此时无 论对方取1，2或
3根，获胜方都可以取走最后一根；再往前逆推，获胜方要想留给对方4
根， 在倒数第三次取时，必须留给对方8根„„由此可知，获胜方只要每
次留给对方的都是4的倍数根，则必 胜。现在桌上有60根火柴，甲先取，
不可能留给乙4的倍数根，而甲每次取完后，乙再取都可以留给甲 4的倍
数根，所以在双方都采用最佳策略的情况下，乙必胜。
在例1中为什么一定要留给 对方4的倍数根，而不是5的倍数根或其
它倍数根呢？关键在于规定每次只能取1～3根，1＋3＝4， 在两人紧接着
的两次取火柴中，后取的总能保证两人取的总数是4。利用这一特点，就
能分析出 谁采用最佳方法必胜，最佳方法是什么。由此出发，对于例1
的各种变化，都能分析出谁能获胜及获胜的 方法。
例2在例1中将“每次取走1～3根”改为“每次取走1～6根”，其余不
变，情形会怎样？
分析与解：由例1的分析知，只要始终留给对方（1+6=）7的倍数根火柴，
就一定获胜。因 为60÷7＝8„„4，所以只要甲第一次取走4根，剩下56
根火柴是7的倍数，以后总留给乙7的倍 数根火柴，甲必胜。
由例2看出，在每次取1～n根火柴，取到最后一根火柴者获胜的规
定下，谁能做到总给对方留下（1+n）的倍数根火柴，谁将获胜。
例3将例1中“谁取走最后一根火 柴谁获胜”改为“谁取走最后一根火柴
谁输”，其余不变，情形又将如何？

分 析与解：最后留给对方1根火柴者必胜。按照例1中的逆推的方法分析，
只要每次留给对方4的倍数加1 根火柴必胜。甲先取，只要第一次取3
根，剩下57根（57除以4余1），以后每次都将除以4余1的 根数留给
乙，甲必胜。
由例3看出，在每次取1～n根火柴，取到最后一根火柴者为负的 规
定下，谁能做到总给对方留下（1＋n）的倍数加1根火柴，谁将获胜。
有许多游戏虽然不是取火柴的形式，但游戏取胜的方法及分析思路与
取火柴游戏完全相同。
例 4两人从1开始按自然数顺序轮流依次报数，每人每次只能报1～5个
数，谁先报到50谁胜。你选择先 报数还是后报数？怎样才能获胜？
分析与解：对照例1、例2可以看出，本例是取火柴游戏的变形。因 为50
÷（1＋5）＝8„„2，所以要想获胜，应选择先报，第一次报2个数，剩
下48个数 是（1＋5＝）6的倍数，以后总把6的倍数个数留给对方，必
胜。
例51111个空格排成 一行，最左端空格中放有一枚棋子，甲先乙后轮流向
右移动棋子，每次移动1～7格。规定将棋子移到最 后一格者输。甲为了
获胜，第一步必须向右移多少格？
分析与解：本例是例3的变形，但应注 意，一开始棋子已占一格，棋子的
右面只有1111-1＝1110（个）空格。由例3知，只要甲始终 留给乙（1+7=）
8的倍数加1格，就可获胜。
（111-1）÷（1＋7）＝138„„6，
所以甲第一步必须移5格，还剩下1105格，1 105是8的倍数加1。
以后无论乙移几格，甲下次移的格数与乙移的格数之和是8，甲就必胜。
因为甲移完后，给乙留下的空格数永远是8的倍数加1。
例6今有两堆火柴，一堆35根，另一堆2 4根。两人轮流在其中任一堆中
拿取，取的根数不限，但不能不取。规定取得最后一根者为赢。问：先取
者有何策略能获胜？
分析与解：本题虽然也是取火柴问题，但由于火柴的堆数多于一堆，故本
题的获胜策略与前面的例题完全不同。
先取者在35根一堆火柴中取11根火柴，使得取 后剩下两堆的火柴数
相同。以后无论对手在某一堆取几根火柴，你只须在另一堆也取同样多根
火 柴。只要对手有火柴可取，你也有火柴可取，也就是说，最后一根火柴
总会被你拿到。这样先取者总可获 胜。

请同学们想一想，如果在上面玩法中，两堆火柴数目一开始就相同，
例如两堆都是35根火柴，那么先取者还能获胜吗？
例7有3堆火柴，分别有1根、2根与3根火柴。 甲先乙后轮流从任意一
堆里取火柴，取的根数不限，规定谁能取到最后一根或最后几根火柴就获
胜。如果采用最佳方法，那么谁将获胜？
分析与解：根据例6的解法，谁在某次取过火柴之后，恰好留 下两堆数目
相等的火柴，谁就能取胜。
甲先取，共有六种取法：从第1堆里取1根，从第 2堆里取1根或2
根；第3堆里取1根、2根或3根。无论哪种取法，乙采取正确的取法，
都可 以留下两堆数目相等的火柴（同学们不妨自己试试），所以乙采用最
佳方法一定获胜。

练习25
1.桌上有30根火柴，两人轮流从中拿取，规定每人每次可取1～3
根，且取最后一根者为赢。问：先取者如何拿才能保证获胜？
2.有1999个球，甲、乙两人轮 流取球，每人每次至少取一个，最多
取5个，取到最后一个球的人为输。如果甲先取，那么谁将获胜？
3.甲、乙二人轮流报数，甲先乙后，每次每人报1～4个数，谁报到
第888个数谁胜。 谁将获胜？怎样获胜？
4.有两堆枚数相等的棋子，甲、乙两人轮流在其中任意一堆里取，取的枚数不限，但不能不取，谁取到最后一枚棋子谁获胜。如果甲后取，那
么他一定能获胜吗？
5.黑板上写着一排相连的自然数1，2，3，„，51。甲、乙两人轮流
划掉连续的3个 数。规定在谁划过之后另一人再也划不成了，谁就算取胜。
问：甲有必胜的策略吗？
6. 有三行棋子，分别有1，2，4枚棋子，两人轮流取，每人每次只能
在同一行中至少取走1枚棋子，谁取 走最后一枚棋子谁胜。问：要想获胜
是先取还是后取？
答案与提示练习
1.先取者取两根，以后每次把4的倍数根火柴留给对方取。先取者获
胜。

2.乙胜。无论甲取几个球，只要乙接着取的球数与甲所取的球数之和
为6即可。因为1999÷6余1 ，所以最后一个球被甲取走。
3.甲胜。甲先报3个数，以后每次与乙合报5个数即可获胜。
4.甲必胜。
5.甲先划，把中间25，26，27这三个数划去，就将1到51这 51个
数分成了两组，每组有24个数。这样，只要乙在某一组里有数字可划，
那么甲在另一组 里相对称的位置上就总有数字可划。因此，若甲先划，且
按上述策略去进行，则甲必能获胜。
6.先取。从4枚棋子的行中取走1枚，变为例7的情形。