开国大典梗概-高兴的句子

奥数知识
初中数学竞赛大纲
1、数
整数及进位制的表示法，整除性及其判定。
质数和合数，最大公约数与最小公倍数。
奇数和偶数，奇偶性分析。
带余除法和利用余数分类。
完全平方数。
因数分解的表示法，约数个数的计算。
有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。
2、代数式
综合除法、余式定理。
因式分解。
拆项、添项、配方、待定系数法。
对称式和轮换对称式。
整式、分式、根式的恒等变形。
恒等式的证明。
3、方程和不等式
含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的解法，一元二次方程根的分布。
含绝对值的一元一次方程、一元二次方程的解法。
含字母系数的一元一次不等式的解法，一元二次不等式的解法。
含绝对值的一元一次不等式。
简单的多元方程组。
简单的不定方程（组）。
4、函数
y==| ax + b |，y＝| ax2 + bx + c | 及y=ax2 + b | x | + c的图像和性质。
二次函数在给定区间上的最值，简单分式函数的最值。
含字母系数的二次函数。
5、几何
三角形中的边角之间的不等关系。
面积及等积变换。
三角形的心（内心、外心、垂心、重心）及其性质。
相似形的概念和性质。
圆，四点共圆，圆幂定理。
四种命题及其关系。
6、逻辑推理问题
抽屉原理及其简单应用。
简单的组合问题。
简单的逻辑推理问题，反证法。
极端原理的简单应用。
枚举法及其简单应用。

熟练活用几种重要方法
1. 探索法
2. 构造法
3. 数形结合法
4. 设想法
5. 面积法
6. 反证法
7. 配方法
8. 替换法
9. 奇偶分析法
10. 分类讨论法
11. 枚举法
12. 待定系数法
13. 抽屉原理
14. 极端原理
用上述方法解决几类题型思路
1. 整数问题的求解思路
2. 代数式问题的求解思路
3. 不等式问题的求解思路
4. 方程问题的求解思路
5. 方程整数根问题的求解思路
6. 函数问题的求解思路
7. 最值问题的求解思路
8. 三角形问题的求解思路
9. 四边形问题的求解思路
10. 与圆有关的问题的求解思路
11. 应用性问题的求解思路
12. 统计初步问题的求解思路
13. 取整函数问题的求解思路
14. 逻辑推理问题的求解思路
几种妙解技能
1. 运算性技能
2. 操作性技能

数学符号大全（一）
1、几何符号

↌ ⅷ ⅶ ↍ ↋ ↆ ↄ △

2、代数符号

ⅴ ⅸ ⅹ ～ ⅼ ↅ ↇ ↈ Ↄ ⅵ ↀ

3、运算符号

如加号（＋），减号（－），乘号（³或²），除号（÷或 ／），两个集合
的并集（ⅻ），交集（ⅺ），根号（ⅳ），对数（log，lg，ln），比（：），< br>微分（dx），积分（ⅼ），曲线积分（ⅽ）等。

4、集合符号

ⅻ ⅺ ⅰ

5、特殊符号

ⅲ π（圆周率）

6、推理符号


|a| ↌ ↂ △ ⅶ ⅺ ⅻ ↅ ↆ ± ↈ ↇ
ⅰ Ⅼ

Ⅽ Ⅾ Ⅿ ↖ ↗ ↘ ↙ ⅷ ⅸ ⅹ

&; §

↎ ↏ ← ↑ → ↓ ↔ ↕ ↖ ↗


Γ Δ Θ Λ Ξ Ο Π Σ Φ Χ Ψ
Ω


α β γ δ ε δ ε ζ η θ ι κ
λ

μ ν π ξ ζ η υ θ χ ψ ω

Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ Ⅸ Ⅹ Ⅺ Ⅻ

ⅰ ⅱ ⅲ ⅳ ⅴ ⅵ ⅶ ⅷ ⅸ ⅹ

ⅰ ⅱ ⅲ ↚ ⅳ ⅴ ⅵ ↛
ⅶ ↜ ⅷ ⅸ ⅹ ⅺ ⅻ ⅼ ⅽ

ⅾ ⅿ ↀ ↁ ↂ Ↄ ↄ ↝ ↅ ↆ ↇ ↈ ↞ ↟
↉ ↊ ⊕ ↋ ↌

↠ ↍ ℃

指数0123：o123

7、数量符号

如：i，2+i，a，x，自然对数底e，圆周率π。
8、关系符号

如“＝”是等号，“Ↄ”是近似符号，“ↅ”是不等号，“＞” 是大于符号，
“＜”是小于符号，“ↈ”是大于或等于符号（也可写作“↉”），“ↇ”是小
于 或等于符号（也可写作“↊”），。“Ⅾ ”表示变量变化的趋势，“ↂ”是
相似符号，“ↄ”是全等号 ，“ⅷ”是平行符号，“↌”是垂直符号，“ⅴ”是
成正比符号，（没有成反比符号，但可以用成正比符 号配倒数当作成反比）“ⅰ”
是属于符号，“??”是“包含”符号等。

9、结合符号

如小括号“（）”中括号“［］”，大括号“｛｝”横线“—”

10、性质符号

如正号“＋”，负号“－”，绝对值符号“| |”正负号“±”

11、省略符号

如三角形（△），直角三 角形（Rt△），正弦（sin），余弦（cos），x的
函数（f(x)），极限（lim），角（ⅶ ），

ⅿ因为，（一个脚站着的，站不住）

ⅾ所以，（两个脚站着的，能站住） 总和（ⅲ），连乘（ⅱ），从n个元
素中每次取出r个元素所有不同的组合数（C(r)(n) ），幂（A，Ac，Aq，x^n）
等。

12、排列组合符号

C-组合数

A-排列数
N-元素的总个数
R-参与选择的元素个数
!-阶乘 ，如5！=5³4³3³2³1=120
C-Combination- 组合
A-Arrangement-排列
2内错角相等，两直线平行
3 同旁内角互补，两直线平行
4 两直线平行，同位角相等
5两直线平行，内错角相等
6 过两点有且只有一条直线
7 两点之间线段最短
8 同角或等角的补角相等
9 同角或等角的余角相等
10 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直
11直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
12平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
13 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行
14同位角相等，两直线平行
15 两直线平行，同旁内角互补
15 定理 三角形两边的和大于第三边
16 推论 三角形两边的差小于第三边
17 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°
18 推论1 直角三角形的两个锐角互余
19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
21 全等三角形的对应边、对应角相等
22 边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等
24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等
26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上
29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合
30 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角）
31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边
32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合
33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°
34 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的
边也相等（等角对等边）
35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形
36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一
半
38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半
39 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 ?
40 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合
42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形
43 定理2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分
线
44 定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么
交点在对称轴上
45 逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形
关于这条直线对称
46 勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即
a^2+b^2=c^2
47 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ，那
么这个三角形是直角三角形
48 定理 四边形的内角和等于360°
49 四边形的外角和等于360°
50 多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2）³180°
51 推论 任意多边的外角和等于360°
52 平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等
53 平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等
54 推论 夹在两条平行线间的平行线段相等
55 平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分
56 平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
57 平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形

58 平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形
59 平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形
60 矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角
61矩形性质定理2 矩形的对角线相等
62 矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形
63 矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形
64 菱形性质定理1 菱形的四条边都相等
65 菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
66 菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a³b）÷2
67 菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形
68 菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
69 正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等
70 正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角
线平分一组对角
71 定理1 关于中心对称的两个图形是全等的
72 定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称
中心平分
73 逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一 点平分，那
么这两个图形关于这一点对称
74 等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等
75 等腰梯形的两条对角线相等
76 等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
77 对角线相等的梯形是等腰梯形
78 平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在
其他直线上截得的线段也相等
79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰
80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第 三边
81 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它 的一半
82 梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的 一半 L=
（a+b）÷2 S=L³h
83 (1)比例的基本性质 如果a:b=c:d,那么ad=bc如果ad=bc,那么a:b=c:d
84 (2)合比性质 如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d
85 (3)等比性质 如果a／b=c／d=„=m／n(b+d+„+nↅ0),那么(a+c+„+m)／
(b+d+„+n)=a／b
86 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应 线段成比例
87 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应
线段成比例

88 定理 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边
89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边
与原三角形三边对应成比例
90 定理 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成
的三角形与原三角形相似
91 相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似（ASA）
92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似
93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）
94 判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（SSS）
95 定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三 角形的斜边
和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似
96 性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平 分线的比都
等于相似比
97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比
98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方
99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等 于它的余角
的正弦值
100 任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等 于它的余
角的正切值
101 圆是定点的距离等于定长的点的集合
102 圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合
103 圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合
104 同圆或等圆的半径相等
105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半 径的圆
106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直 平分线
107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线
108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距 离相等的
一条直线
109定理 不在同一直线上的三点确定一个圆。
110垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧
111推论1 ↎平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
↏弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧
←平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
112推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等
113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形

114定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦 相等，所对
的弦的弦心距相等
115推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两 弦的弦心距
中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等
116定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
117推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的
弧也相等
118推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所 对的弦是直
径
119推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三
角形
120定理 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它 的内对角
121↎直线L和↋O相交 d＜r
↏直线L和↋O相切 d=r
←直线L和↋O相离 d＞r

梅涅劳斯定理
梅涅劳斯(Menelaus)定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的 。它指出：
如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF FB)
³(BDDC)³(CEEA)=1。
实际应用
为了说明问题，并 给大家一个深刻印象，我们假定图中的A、B、C、D、E、
F是六个旅游景点，各景点之间有公路相连 。我们乘直升机飞到这些景点的上空，
然后选择其中的任意一个景点降落。我们换乘汽车沿公路去每一个 景点游玩，最
后回到出发点，直升机就停在那里等待我们回去。
我们不必考虑怎样走路程 最短，只要求必须“游历”了所有的景点。只“路
过”而不停留观赏的景点，不能算是“游历”。
例如直升机降落在A点，我们从A点出发，“游历”了其它五个字母所代表
的景点后，最终 还要回到出发点A。
另外还有一个要求，就是同一直线上的三个景点，必须连续游过之后，才能
变更到其它直线上的景点。

从A点出发的旅游方案共有四种，下面逐一说明：
方案 一 ——从 A经过B(不停留)到F(停留)，再返回B(停留)，再到D(停
留)，之后经过B(不停留)到C( 停留)，再到E(停留)，最后从E经过C(不停留)
回到出发点A。
按照这个方案，可以写出关系式：
(AF：FB)*(BD：DC)*(CE：EA)=1。
现在，您知道应该怎样写“梅涅劳斯定理”的公式了吧。
从A点出发的旅游方案还有：
方案 二 ——可以简记为：AⅮBⅮFⅮDⅮEⅮCⅮA，由此可写出以下公式：
(AB：BF)*(FD：DE)*(EC：CA)=1。从A出发还可以向“C”方向走，于是有：
方案 三 —— AⅮCⅮEⅮDⅮFⅮBⅮA，由此可写出公式：
(AC：CE)*(ED：DF)*(FB：BA)=1。 从A出发还有最后一个方案：
方案 四 —— AⅮEⅮCⅮDⅮBⅮFⅮA，由此写出公式：
(AE：EC)*(CD：DB)*(BF：FA)=1。
我们的直升机还可以选择在B、C、D、E、F任一点降落，因此就有了图中的
另外一些公式。
值得注意的是，有些公式中包含了四项因式，而不是“梅涅劳斯定理”中的
三项。当直升机 降落在B点时，就会有四项因式。而在C点和F点，既会有三项
的公式，也会有四项的公式。公式为四项 时，有的景点会游览了两次。
不知道梅涅劳斯当年是否也是这样想的，只是列出了一两个典型的公式给我
们看看。
还可 以从逆时针来看，从第一个顶点到逆时针的第一个交点比上到下一个顶
点的距离，以此类推，可得到三个 比例，它们的乘积为1.
现在是否可以说，我们对梅涅劳斯定理有了更深刻的了解呢。那些复杂的 相
除相乘的关系式，不会再写错或是记不住吧。

塞瓦定理
在△ABC内任取一点O，
直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则 (BDDC)*(CEEA)*(AFFB)=1

可用塞瓦定理证明的其他定理;
三角形三条中线交于一点(重心):如图5 D , E分别为BC , AC 中点 所以
BD=DC AE=EC 所以BDDC=1 CEEA=1
且因为AF=BF 所以 AFFB必等于1 所以AF=FB 所以三角形三条中线交于一
点

托勒密定理
定理的内容
托勒密(Ptolemy)定理指出，圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对
角线的乘积。
原文：圆内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于 一组对边所包矩形
的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。
从这个定理可以推出正弦、 余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密
定理实质上是关于共圆性的基本性质.
推论
1.任意凸四边形ABCD，必有AC²BDↇAB²CD+AD²BC，当且仅当ABCD 四点
共圆时取等号。
2.托勒密定理的逆定理同样成立：一个凸四边形两对对边乘积的和 等于两条
对角线的乘积，则这个凸四边形内接于一圆、
推广
托勒密不等式：四边形的任两组对边乘积不小于另外一组对边的乘积，取等
号当且仅当共圆或共线。
简单的证明：复数恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)，两边取模，

得不等式AC²BDↇ|(a-b)(c-d)|+|(b-c)(a-d)|=AB²CD+BC²AD
注意：
1.等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角 相等，这与A、B、C、
D四点共圆等价。
2.四点不限于同一平面。
欧拉定理：在一条线段上AD上，顺次标有B、C两点，则AD²BC+AB²CD=AC²BD)



西姆松定理
西姆松定理说明
有三角形ABC，平面上有 一点P。P在三角形三边上的投影(即由P到边上的
垂足)共线(此线称为西姆松线, Simson line)当且仅当P在三角形的外接圆上。
相关的结果有：
称三角形的垂心为H。西姆松线和PH的交点为线段PH的中点，且这点在九
点圆上。
两点的西姆松线的交角等于该两点的圆周角。
若两个三角形的外接圆相同，这外接圆上的一点P对应两者的西姆松线的交
角，跟P的位置无关。
从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形
的外接圆上。