唐朝皇帝顺序表-小公司财务制度

小学数学奥数基础教程(四年级)




本教程共30讲
最不利原则
在日常生活和生产中，我们常常会遇到求最大值或 最小值的问题，解
答这类问题，常常需要从最不利的情况出发分析问题，这就是最不利原则。
下面通过具体例子说明最不利原则以及它的应用。
例1口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种 颜色的小球各20个。
问：一次最少摸出几个球，才能保证至少有4个小球颜色相同？
分析与 解：如果碰巧一次取出的4个小球的颜色都相同，就回答是“4”，
那么显然不对，因为摸出的4个小球 的颜色也可能不相同。回答是“4”
是从最“有利”的情况考虑的，但为了“保证至少有4个小球颜色相 同”，
就要从最“不利”的情况考虑。如果最不利的情况都满足题目要求，那么
其它情况必然也 能满足题目要求。
“最不利”的情况是什么呢？那就是我们摸出3个红球、3个黄球和
3 个蓝球，此时三种颜色的球都是3个，却无4个球同色。这样摸出的9
个球是“最不利”的情形。这时再 摸出一个球，无论是红、黄或蓝色，都
能保证有4个小球颜色相同。所以回答应是最少摸出10个球。
由例1看出，最不利原则就是从“极端糟糕”的情况考虑问题。如果
例1的问题是“最少摸 出几个球就可能有4个球颜色相同”，那么我们就
可以根据最有利的情况回答“4个”。现在的问题是“ 要保证有4个小球
的颜色相同”，这“保证”二字就要求我们必须从最不利的情况分析问题。
例2口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球共18个。
其中红球3个、黄球5个、蓝 球10个。现在一次从中任意取出n个，为
保证这n个小球至少有5个同色，n的最小值是多少？ 分析与解：与例1类似，也要从“最不利”的情况考虑。最不利的情况是
取了3个红球、4个黄球和 4个蓝球，共11个。此时袋中只剩下黄球和
蓝球，所以再取一个球，无论是黄球还是蓝球，都可以保证 有5个球颜色
相同。因此所求的最小值是12。
例3一排椅子只有15个座位，部分座位已有 人就座，乐乐来后一看，他
无论坐在哪个座位，都将与已就座的人相邻。问：在乐乐之前已就座的最少有几人？

分析与解：将15个座位顺次编为1～15号。如果2号位、5号位已 有人
就座，那么就座1号位、3号位、4号位、6号位的人就必然与2号位或5
号位的人相邻。 根据这一想法，让2号位、5号位、8号位、11号位、14
号位都有人就座，也就是说，预先让这5个 座位有人就座，那么乐乐无论
坐在哪个座位，必将与已就座的人相邻。因此所求的答案为5人。
例4一把钥匙只能开一把锁，现有10把钥匙和10把锁，最少要试验多少
次就一定能使全部的钥匙和 锁相匹配？
分析与解：从最不利的情形考虑。用10把钥匙依次去试第一把锁，最不
利的情况 是试验了9次，前8次都没打开，第9次无论打开或没打开，都
能确定与这把锁相匹配的钥匙（若没打开 ，则第10把钥匙与这把锁相匹
配）。同理，第二把锁试验8次„„第九把锁只需试验1次，第十把锁不
用再试（为什么？）。共要试验
9＋8＋7＋„＋2＋1＝45（次）。
所以，最少试验45次就一定能使全部的钥匙和锁相匹配。
例5在一副扑克牌中，最少要取出多少张，才能保证取出的牌中四种花色
都有？
分析 与解：一副扑克牌有大、小王牌各1张，“红桃”、“黑桃”、“方
块”、“梅花”四种花色各13张， 共计有54张牌。最不利的情形是：取
出四种花色中的三种花色的牌各13张，再加上2张王牌。这41 张牌中没
有四种花色。剩下的正好是另一种花色的13张牌，再抽1张，四种花色
都有了。因此 最少要拿出42张牌，才能保证四种花色都有。
例6若干箱货物总重19.5吨，每箱重量不超过35 3千克，今有载重量为
1.5吨的汽车，至少需要多少辆，才能确保这批货物一次全部运走？
分析与解：汽车的载重量是1.5吨。如果每箱的重量是300千克（或1500
的小于353的约数） ，那么每辆汽车都是满载，即运了1.5吨货物。这是
最有利的情况，此时需要汽车
19.5÷1.5＝13（辆）。
如果装箱的情况不能使汽车满载，那么13辆汽车就不能把这批 货物
一次运走。为了确保把这批货物一次运走，需要从最不利的装箱情况来考
虑。最不利的情况 就是使每辆车运得尽量少，即空载最多。因为353×4
＜1500，所以每辆车至少装4箱。每箱30 0千克，每车能装5箱。如果每
箱比300千克略多一点，比如301千克，那么每车就只能装4箱了。 此时，
每车载重
301×4＝1204（千克），

空载1 500-1204＝296（千克）。注意，这就是前面所说的“最不利
的情况”。19500÷120 4＝16„„236，也就是说，19.5吨货物按最不利
的情况，装16车后余236千克，因为每辆 车空载296千克，所以余下的
236千克可以装在任意一辆车中。
综上所述，16辆车可确保将这批货物一次运走。

练习28
1.口袋里 有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球各20
个。问：一次最少摸出几个，才能保证至少有 5个小球颜色相同？
2.口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球共20
个，其中红球4个、黄球6个、蓝球10个。问：一次最少取出几个，才
能保证至少有6个小球颜色相 同？
3.一排椅子共有18个座位，部分座位已有人就座，乐乐来后一看，
他无论坐在哪 个座位，都将与已经就座的人相邻。问：在乐乐之前已就座
的最少有几人？
4.一张圆桌 有12个座位，部分座位已有人就座，乐乐来后一看，他
无论坐在哪个座位，都将与已经就座的人相邻。 问：在乐乐之前已就座的
最少有几人？
5.口袋里有三种颜色的筷子各10根。问：
（1）至少取几根才能保证三种颜色的筷子都取到？
（2）至少取几根才能保证有颜色不同的两双筷子？
（3）至少取几根才能保证有颜色相同的两双筷子？
6.一个布袋里有红色、黄色、黑色袜子各2 0只。问：最少要拿多少
只袜子才能保证其中至少有2双颜色不相同的袜子？
7.一把钥 匙只能开一把锁，现有10把锁和其中的9把钥匙，要保证
这9把钥匙都配上锁，至少需要试验多少次？
8.10吨货物分装若干箱，每只箱子重量不超过1吨。为了确保将这
批货物一次运走，最 少要准备几辆载重量为3吨的汽车？
答案与提示练习
1.13个。 2.15个。 3.6人。 4.4人。

5.（1）21根； （2）13根； （3）10根。
6.23只。
7.45次。提示：第一把钥匙试验了9把锁，第二把钥匙试验了8把
锁„„第九把钥匙试验了1把锁。
8.5辆。
提示：因为每辆车至少能运3箱货物，3÷4=0.75（吨），所以每 箱
货物略重于0.75吨，可使空载较大。假设每箱装0.76吨，由于10=0.76
×13 +0.12，则可将这批货物分装在13只0.76吨和1只0.12吨的箱子中。
因为每辆车只能装3 只0.76吨的箱子，所以至少要5辆车。