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小学数学奥数基础教程(五年级)


本教程共30讲
定义新运算（一）
我们已经学习过加、减、乘、除运算，这些运算，即四则运算是数学< br>中最基本的运算，它们的意义、符号及运算律已被同学们熟知。除此之外，
还会有什么别的运算吗 ？这两讲我们就来研究这个问题。这些新的运算及
其符号，在中、小学课本中没有统一的定义及运算符号 ，但学习讨论这些
新运算，对于开拓思路及今后的学习都大有益处。
例1 对于任意数a，b，定义运算“*”： a*b=a×b-a-b。
求12*4的值。
分析与解：根据题目定义的运算要求，直接代入后用四则运算即可。
12*4=12×4-12-4=48-12-4=32。


根据以上的规定，求10△6的值。




3，x>=2，求x的值。
分析与解：按照定义的运算，
<1，2，3，x>=2，

x=6。
由上面三例看出，定义新运算通常是用某些特殊符号表示特定的运算
意义。新运算使用的符号应避免使用 课本上明确定义或已经约定俗成的符
号，如+，-，×，÷，＜，＞等，以防止发生混淆，而表示新运算 的运算
意义部分，应使用通常的四则运算符号。如例1中，a*b=a×b-a-b，新运
算符 号使用“*”，而等号右边新运算的意义则用四则运算来表示。


分析与解：按新运算的定义，符号“⊙”表示求两个数的平均数。


四则运算中的意义相同，即先进行小括号中的运算，再进行小括号外
面的运算。


按通常的规则从左至右进行运算。

”表示几个数相加，每个 分析与解：从已知的三式来看，运算“加数各数位上的数都是符号前面的那个数，而符号后面的数是几，就表示
几个数之和，其中第1个数 是1位数，第2个数是2位数，第3个数是3
位数„„按此规定，得
35=3+33+333+3333+33333=37035。
从例5知，有时新运算的规定不是很明显，需要先找规律，然后才能
进行运算。
例6 对于任意自然数，定义：n！=1×2ׄ ×n。
例如 4！=1×2×3×4。那么1！+2！+3！+„+100！的个位数字是几？
分析与解：1！=1，
2！=1×2=2，
3！=1×2×3=6，
4！=1×2×3×4=24，
5！=1×2×3×4×5=120，
6！=1×2×3×4×5×6=720，
„„
由此可推知，从5！开始，以后6！，7！，8！，„，100！的末位数
字都是0。
所 以，要求1！+2！+3！+„+100！的个位数字，只要把1！至4！的
个位数字相加便可求得：1 +2+6+4=13。所求的个位数字是3。
例7 如果m，n表示两个数，那么规定：m¤n=4n-（m+n）÷2。
求3¤（4¤6）¤12的值。

解：3¤（4¤6）¤12
=3¤[4×6-（4+6）÷2]¤12
=3¤19¤12
=[4×19-（3+19）÷2]¤12
=65¤12
=4×12-（65+12）÷2
=9.5。

练习3
1.对于任意的两个数a和b，规定a*b=3×a-b÷3。求8*9的值。
2.已知ab表示a除以3的余数再乘以b，求134的值。
3.已知ab表示（a-b）÷（a+b），试计算：（53）（106）。
4.规定a◎b表示a与b的积与a除以b所得的商的和，求8◎2的值。
5.假定m◇n表示m的3倍减去n的2倍，即 m◇n=3m-2n。

（2）已知x◇（4◇1）=7，求x的值。

7.对于任意的两个数P， Q，规定 P☆Q=（P×Q）÷4。例如：2☆8=
（2×8）÷4。已知x☆（8☆5）=10，求x的值。
8.定义： a△b=ab-3b，ab=4a-ba。计算：（4△3）△（2b）。
9.已知： 23=2×3×4，
45=4×5×6×7×8，
„„
求（44）÷（33）的值。
练习3
1.2。2.4。
3.0。



提示：（2）x◇（4◇1）= 7，
x◇（4×3-1×2）= 7，
x◇10=7，
3x-10×2=7，
x=9。

（2）相当于由1×2×3× „×x=40320，求x。
40320÷2＝20160，
20160÷3= 6720，
6720÷4=1680，
1680÷5=336，
„„
8÷8=1，

即140320=1×12×13×14×15×16×17×18。所以x=8。
7.4。
解：x☆（8☆5）= x☆（8×5÷4）= x☆10= x×10÷4，由x×10÷
4=10，求得x=4。
8.0。
解： （4△3）△（2△6）
= (4×3-3×3)△(4×2-62)
= 3△5=3×5-3×5=0。
9.14。
提示：新运算“”是：从第一个数字起，求越来越大的连续几个
4）÷（33）= （4×自然数的乘积，因数个数是第二个数字。（4
5×6×7）÷（3×4×5）=14。