小学数学奥数基础教程(四年级)--06
班级管理制度-穆斯林的葬礼读后感
小学数学奥数基础教程(四年级)
本教程共30讲
数的整除性（二）
这一讲主要讲能被11整除的数的特征。
一个数从右边
数起，第1，3，5，„位称为奇数位，第2，4，6，„
位称为偶数位。也就是说，个位、百位、万位
„„是奇数位，十位、千位、
十万位„„是偶数位。例如9位数768325419中，奇数位与偶数位
如下图
所示：
能被11整除的数的特征：一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上
的数
字之和的差（大数减小数）如果能被11整除，那么这个数就能被11整
除。
例1 判断七位数1839673能否被11整除。
分析与解：奇数位上的数字之和为1＋3
＋6＋3=13，偶数位上的数字之和
为8＋9＋7=24，因为24-13=11能被11整除，所以
1839673能被11整除。
根据能被11整除的数的特征，也能求出一个数除以11的余数。
一个数除以11的余数，与它的奇数位上的数字之和减去偶数位上的
数字之和所得的差除以
11的余数相同。如果奇数位上的数字之和小于偶
数位上的数字之和，那么应在奇数位上的数字之和上再
增加11的整数倍，
使其大于偶数位上的数字之和。
例2 求下列各数除以11的余数：
（1）41873； （2）296738185。
分析与解：（1）[（4＋8＋3）－（1＋7）]÷11
=7÷11＝0„„7，
所以41873除以11的余数是7。
（2）奇数位之和为2＋6＋
3＋1＋5=17，偶数位之和为9＋7＋8＋8
＝32。因为17＜32，所以应给17增加11的整
数倍，使其大于32。
（17+11×2）-32＝7，
所以296738185除以11的余数是7。
需要说明的是，当奇数位数字之和远远小于偶数位
数字之和时，为了
计算方便，也可以用偶数位数字之和减去奇数位数字之和，再除以11，
所得
余数与11的差即为所求。如上题（2）中，（32-17）÷11＝1„„4，
所求余数是11-4=
7。
例3 求除以11的余数。
分析与解：奇数位是101个1，偶数位是100个9。
（9×100-1×101）÷11
=799÷11=72„„7，
11-7=4，所求余数是4。
例3还有其它简捷解法，例如每个“19”奇偶数位上的数字相差9-1
＝8， 奇数位上的数字和与偶
数位上的数字和相差8×99=8×9
×11，能被11整除。所以例3相当于求最后三位数191除以
11的余数。
例4 用3，3，7，7四个数码能排出哪些能被11整除的四位数？
解：只
要奇数位和偶数位上各有一个3和一个7即可。有3377，3773，
7337，7733。
例5 用1～9九个数码组成能被11整除的没有重复数字的最大九位数。
分析与解：最大的没有重复数字的九位数是987654321，由
（9＋7＋5＋3＋1）-（8＋6＋4＋2）＝5
知，987654321不能被11整除。为
了保证这个数尽可能大，我们尽
量调整低位数字，只要使奇数位的数字和增加3（偶数位的数字和自然就
减少3），奇数位的数字之和与偶数位的数字之和的差就变为5＋3×2=11，
这个数就能被
11整除。调整“4321”，只要4调到奇数位，1调到偶数
位，奇数位就比原来增大
3，就可达到目的。此时，4，3在奇数位，2，1
在偶数位，后四位最大是2413。所求数为987
652413。
例6 六位数能被99整除，求A和B。
分析与解：由99=9×11，且
9与11互质，所以六位数既能被9整除又能
被11整除。因为六位数能被9整除，所以
A+2+8+7+5+B
＝22+A+B
应能被9整除，由此推知A＋B＝5或14。又因为六位数能被11整除，
所以
（A＋8＋5）－（2＋7＋B）
＝A-B＋4
应能被11整除，即
A-B+4=0或A-B+4=11。
化简得B-A＝4或A-B＝7。
因为A+B与A-B同奇同偶，所以有
在（1）中，A≤5与A≥7不能同时满足，所以无解。
在（2）中，上、下两式相加，得
（B＋A）＋（B-A）＝14＋4，
2B＝18，
B=9。
将B=9代入A＋B=14，得A＝5。
所以，A=5，B＝9。
练习6
1．为使五位数6□295能被11整除，□内应当填几？
2．用1，2，3，4四个数码能排出哪些能被11整除的没有重复数字
的四位数？
3．求能被11整除的最大的没有重复数字的五位数。
4．求下列各数除以11的余数：
（1）2485； （2）63582；
（3）987654321。
5．求除以11的余数。
6．六位数5A634B能被33整除，求A+B。
7．七位数3A8629B是88的倍数，求A和B。
答案与提示练习
1.4。
2.1243，1342，2134，2431，3124，3421，4213，4312。
3.98736。
4.（1）10； （2）2； （3）5。
5.2。
6.12。提示：由能被11整除推知A+B=1或12，再由能被3整除推知
A+B=12。
7.A=4，B=6。提示：由能被8整除，推知B=6；再由能被11整除，
推知A=4。