深圳公务员考试成绩-安徽财政

第四节 二次函数最值

内容讲解
二次函数的最值问题，包括三方面的内容：
自变量的取值范围为任意实数时二次函数最值的求法．
b
2
4acb
2
二次函数y=ax+bx+c=a（x+）+．
2a
4a
2
当a>0时，抛 物线开口向上，此时当x<-
bb
时，y随x增大而减小；当x>-时，y
2a2a< br>b
4acb
2
随x•增大而增大；当x=-时，y取最小值．
2a
4a
当a<0时，抛物线开口向下，此时当x<-
bb
时，y随x增大而增大 ；当x>-时，y
2a2a
b
4acb
2
随x增大而减小；当x= -时，y取最大值．
2a
4a
2．自变量的取值范围是某一确定范围时二次函数最值的求法，•要结合图象和增减性
来综合考虑．
（1）当抛物线的顶点在该范围内，顶点的纵坐标就是函数的最值；
（2）当抛物线的顶点不在该范围内，二次函数的最值在范围内两端点处取得．
3．实际问题中所建立的数学模型是二次函数时，所涉及的二次函数最值的求法，先
建模后求解．

例题剖析
例1 （2003年武汉选拔赛试题）若x-1=
为（ ）．
y1z2

， 则x
2
+y
2
+z
2
可取得的最小值
23
- 1 -

599
（C） （D）6
142
y1z2

分析：设x-1==t，则x
2+y
2
+z
2
可用只含t的代数式表示，通过配方求最
23 （A）3 （B）
小值．
解：x=t+1，y=2t-1，z =3t+2，原式=14t
2
+10t+6=14（t+
5
2
595 9
）+，所以最小值是．
141414
评注：本题体现了如何消元使多元函 数转变为一元函数这一思想，我们要用心体会．此
外，设比值为k法是解决等比问题最常用的方法．
例2 （1995年全国初中数学联赛试题）设x为正实数，则函数y=x
2
-x+
是________．
分析：先将原函数配方，再求最值
解：y=x
2
-x+
1
的最小值
x
11
=（x-1 ）
2
+（x+）-1
xx
=（x-1）
2
+（
x
1
）
2
+1
x
1
）
2
=0，这时得到x=1．
x
要求y的最小值，最好有（x-1）
2
=0且（
x
1
取最小值1．
x
11
评注：函数y=x
2
-x+含有，不能直接用求二次 函数的最值方法，求最值的最原始、
xx
于是，当x=1时，y=x
2
-x+
•最有效的方法仍然是配方法．
例3 （2006年全国初中数学竞赛（浙江赛区）复赛试题）函数y=2x
2
+4│x│- 1的
最小值是________．
分析：对x分类进行讨论，去绝对值符号，转化为在约束条件下，•求二次函数最值
问题．

2(x1)
2
3,x0,

解：y=2（│x│+1）-3=


2


2(x1)3,x0.
2
- 2 -

其图象如 图，由图象可知，当x=0时，y最小为-1．
答案：-1．

评注：对于含有绝对值的函数，首先要化去绝对值，变成基本函数，再求极值．
例4 设0≤x≤3，求函数y=f（x）=│x
2
-2
3
x-1│的最值．
分析：首先画出y=f（x）的图象，然后将y=f（x）图象位于x轴上方的部分保持不变，而将位于x轴下方的图象作关于x轴的对称图形，即得y=│f（x）│的图象．•然后
用数形 结合方法求函数y=│f（x）│的最值．
解：如图，先作抛物线y=x
2
-2
3
x-1，然后将x轴下方的图象翻转上来，即得y=│
x-2
3
x-1│的图象，对称轴是直线x=
3
，方程x
2
-2
3
x-1=0的两根是
3
±2．由此
2
可知，0与3•位于图象与x轴两交点之 间，且位于对称轴两侧，故最大值为：
f（
3
）=|（
3
）-2
3
·
3
-1|=4，
而最小值为f（0），f（3）中较小者
∵f（0）=1，f（
3
）=6
3
-8>1，∴最小值为1．

评注：画绝对值函数图象，首先脱去绝对值符号（方法同绝对值的化简），•转化为
基本函数，再在自变量取值范围内画出符合条件的图象．
- 3 -

例5 设x
1
、x
2
是方程2x
2
-4mx+2m
2
+3m-2=0的两个实根，当m为何值，x
1
2
+x
2
2
有最
小值，并求这个最小值．
分析： 由韦达定理知x
1
2
+x
2
2
是关于m的二次函数，是否是 在抛物线的顶点处取得最小
值，就要看自变量m的取值范围，从判别式入手．
解：由△=（- 4m）
2
-4×2×（2m
2
+3m-2）≥0得m≤
2
，
3
3737
2m
2
3m2
x
1
+x< br>2
=2m，x
1
x
2
=，x
1
2
+ x
2
2
=2（m-）
2
+=2（-m）
2
+，
4848
3
2332
，∴-m≥->0，
3443
23278
从而当m=时，x+x取得最小值，且最小值为2×（-）
2
+=．
3438
9
•∵m≤
评注：定义在某一范围的条件限制的二次函数最值问题，有下两种情形：
（1）当抛物线的顶点在该范围内，顶点的纵坐标就是函数的最值；
（2）当抛物线的顶点不在该范围内，二次函数的最值在范围内两端点处取得．
例6 求函数y=（4-x）+2
x
2
9
的最值．
分析：此函数是较复杂的复合函数，可通过引入参数来求取函数最值．
解：设u=2
x
2
9
-x，则u>0，且y=4+u．
于是（u+x）
2
=4（x
2
+9），即
3x
2
-2u·x+36-u
2
=0．
∵x∈R，∴上式的判别式
△=（2u）
2
-4×3×（36-u）≥0，
2
即u
2
≥27，故u≥3
3
．
∴y=4-x+2
x
2
9
的最小值为4+3
3
（当x=< br>3
时取到）．
评注：通过换元，把原函数转变成关于x的一元二次方程，考虑 到一元二次方程有解，
由△≥0即可求得u的范围，从而求得y的最值．这是一种常用的方法，应掌握．
- 4 -

例7 （2002年太原市竞赛题）已知二次函数y=x
2
-x-2及实数a>-2，求
（1）函数在-2（2）函数在a≤x≤a+2的最小值．

分析：本题由于字母a的不确定性，因此需要分类讨论，并通过数形结合的方法来解．
解：函数y=x
2
-x-2的图象如图．
（1）当-2119
时，y
min
=y│
x=a
=a
2
-a-2；当a ≥时，y
min
=
y|
1
=-．
x
224
2
（2）当-213
， 即-2min
=y│
x=a+2
=（a+2）
2-（a+2）-2=a
2
+3a；
22
当a<
1319
≤a+2，即-≤a<时，y
min
=
y|
1
=-．
x
2224
2
评注：将a相对于抛物线对称轴的位置进行分类讨论 是解题关键，•而数形结合的方
法可以直观地帮助求解．
例8 （2004年全国 初中数学联赛试题江西赛区加试题）函数y=x
2
-2（2k-1）x+3k
2
-2k+6
的最小值为m，则当m达到最大时x=_______．
分析：可通过 配方法将原函数配成a（x+n）
2
+m的形式，再根据m的形式确定m的最
大值．
解：y=（x-2k+1）
2
-k
2
+2k+5，当x=2 k-1时，y最小值是m=-k
2
+2k+5=-（k-1）
2
+6，所以当k=1时，m达到最大值．此时x=2k-1=1．
- 5 -

评注：配方法是求取二次函数最值问题中最常用的基本方法，对于二次函数的最小值
的最大值问题，可通 过反复配方来确定．
例9 （2004年“TRULY@信利杯”全国初中数学竞赛试题） 实数x、y、z满足x+y+z=5，
xy+yz+zx=3，则z的最大值是_______．
分析：由条件可构造以x、y为根的一元二次方程，再根据其有实数根求出的范围．
解：∵x+y=5-z，xy=3-z（x+y）=3-z（5-z）=z
2
-5z+3．
∴x、y是关于t的一元二次方程t
2
-（5-z）t+z
2
-5z+3=0的两实根．
∵△=（5-z）
2
-4（z
2
-5z+3）≥0，即
3z
2
-10z-13≤0，（3z-13）（z+1）≤0．
13113
，当x=y=时，z=．
3
33
13
故z的最大值为．
3
∴z≤
评注：•利用一元二次方程根的判别式的值“非负”或“为负”来求解函数最值的方
法称为判别式法．
例10 （2003年“TRULY@信利杯”全国初中数学竞赛试题）已知二次函数y=a x
2
+bx+c
（其中a是正整数）的图象经过点A（-1，4）与点B（2，1）， 并且与x•轴有两个不同的
交点，则b+c的最大值为________．
分析：应 用二次函数y=ax
2
+bx+c过已知两点可确定a、b、c之间关系，并利用根的判
别式求出b+c最值．
解：由于二次函数的图象过点A（-1，4），点B（2，1），所以

abc4,

ba1,

解得


4a2bc1,

c32a.
因为二次函数图象与x轴 有两个不同的交点，
所以△=b
2
-4ac>0，
（- a-1）
2
-4a（3-2a）>0，即（9a-1）（a-1）>0，由于a是正整数，故a >1，
- 6 -

所以a≥2，又因为b+c=-3a+2≤-4 ，且当a=2，b=-3，c=-1时，满足题意，故b+c•
的最大值为-4．
评 注：借助二次函数图象与x轴的交点是所对应二次方程的根，•通过根的判别式可
确定相关字母（或式） 的取值范围，进而可确定其最值是解决这类问题常用方法．
例11 （2004年“TRU LY@信利杯”全国初中数学竞赛试题）已知a<0，b≤0，c>0，•
且
b
24ac
=b-4ac，求b-4ac的最小值．

分析：由b
2
-4ac容易想到一元二次方程ax+bx+c=0根的判别式，且b
2
-4ac >0，故可
2
构造抛物线y=ax
2
+bx+c来解．
解：令y= ax
2
+bx+c，由a<0，b≤0，c>0，判别式△=b
2
-4ac> 0，•
所以这个二次函数的图象是一条开口向下的抛物线，
且与x轴有两个不同的交点A（x
1
，0），B（x
2
，0）， < br>因为x
1
x
2
=
cb
<0，不妨设x
12
，则x
1
<02
，对称轴x=-≤0，于是
2a
a
bb
2
4acbb
2
4ac │x
1
│=||==c，
2a2a
4acb
2bb
2
4acb
2
4ac
所以≥c=≥-，
4a
2a2a
故b
2
-4ac≤4，
当a=-1，b=0，c=1时，等号成立．
所以b
2
-4ac的最小值为4。
- 7 -

评注：有的给出的问题不是二次函数，但经过适当变形后，•可以转化为二次函数的
问题，我们要领会这 种转化思想．
例12 （2003年天津市竞赛题）已知函数y=（a+2）x
2
-2（a
2
-1）x+1，其中自变量x
为正整数，a也是正整数，求x何值 时，函数值最小．
3
a
2
1
分析：将函数解析式通过变 形得配方式，其对称轴为x==（a-2）+，因
a2
a2
3
a
2
1a
2
1
0<≤1，a-2<≤a-1，故函数的最小值只可能在x取 a-2，a-1，时达到，
a2
a2a2
所以，•解决本例的关键在于分类讨论 ．
3
a
2
1
2
(a
2
1)
2
a
2
1
解：y=（a+2）（x-）+1-，其对称轴为x==（a-2）+．
a2
a2a2a2
3
a
2
1
因为a为正整数，故0<≤1，a-2<≤a-1．
a2
a2
a
2
1
因此，函数的最小值只可能在x取a-2，a-1，时达到．
a2
a
2
1
（1）当=a-1时，a=1，此时，x=1使函数取得最小值．
a2
a
2
1a
2
1a
2
1
（2）当a-2< 1时，由于x是正整数，而为小数，故x=
a2a2a2
不能达到最小值．
当x=a-2时，y=（a+2）（a-2）
2
-2（a
2
-1）（a-2）+1，
当x=a-1时，y=（a+2）（a-1）
2
- 2（a
2
-1）（a-1）+1．
又y
1
-y
2
=4-a．
（i）当4-a>0，即12
为最小值；
（ii）当4-a=0时，即a=4时，有y
1
=y
2
，此时x取2或3；
- 8 -

（iii）当4-a<0，即a>4且为整数时，x取a-2，使y
1
为最小值．

1,当a1时,


a1,当1a4时,
综上，x=

（其中a为整数）

2或3,当a4时,

a2,当a4时.

评注：求二次函数y=ax
2
+bx+c在给定范围的最值，•关键是看对称轴方程是否在给定
范围内，并与端点一并比较．
例13 （1997年湖北省荆州市初中数学联赛试 题）已知二次函数y=（a
2
-a+1）x
2
+bx+
的图象与x轴 交点为A（x
1
，0），B（x
2
，0），其顶点横坐标为
（1）试用a把t表示出来；
（2）问实数a取何值时，t取最小值，最小值是多少？
分析：应用一元二次方程根与系数关系可求出t的表达式；•再通过根的判别式法求
出t的最值． 1
a
6
1
，设t=x
1
3
+x
23
．
2

b

1
,
2

22(aa1)

b

,
解：根据题意得

x
1
x
2

2
aa1

a


6
.

x
1
x
2

2
aa1

∴b=-（a
2
-a+1），x
1
+x
2
=1．
此时，△=b
2
-4（a
2
-a+1）·
=（a
2
-a+1）（a
2
-
2
a
=（a
2
-a+ 1）
2
-a（a
2
-a+1）
6
3
5
a+1）
3
13511
=[（a-）
2
+][（a-）
2
+]>0，
6
2436
∴a可取任意实数值．
（1）t=（x
1
+x
2
）
3
-3x
1
x
2
（ x
1
+x
2
）
- 9 -

1
a2a
2
3a2

=1-3x
1
x
2
=1-·
2
．
2
a a12a
2
2a2
2a
2
3a2
（2）将t=
2
变形，得
2a2a2
2（t-1）
2
a
2
+（3-2t）a+2（t-1）=0，
显然，当a=0时，t=1．
当t≠1时，△
a
=（3-2t）
2
-4×2（t-1）×2（t-1）≥0，即12t
2
-20t+7≤0，
17
≤t≤．
26
1
综上所述，t
min
=，仅当a=1时取得．
2
∴
评注：在求二次 函数的最值时，若二次函数有字母系数，则应考虑△≥0与二次项系
数不为0的条件．
例14 生产某商品xt需费用1000+5x+
1
2
x
x元，出售该商品 xt时的价格是每吨a+
10b
元，•其中a，b是常数，如果生产出的商品都能卖掉，并且当 产量是150t时利润最大，
这时的价格是每吨40元，求a，b的值．
分析：首先表示出利润是y的函数关系式，然后再求取二次函数的最值．
解：设卖出xt的利润是y元，则
x1
2
）-（1000+5x+x）
b10
11
=（-）x
2
+（a-5）x-1000．
b
10
y=x（a+
又由题设知，当x=150时，y最大，
a5

150,

300

a35,
11


2()

b
因此


即

b10
150

150

a40.
40.


a
b
b

- 10 -

解得a=45，b=-30．
当b=-30时，
11
-<0，
b
10
∴函数有最大值．∴a=45，b=-30为所求．
评注：这是一个关于商品的利润问题，解 决此类问题的关键是函数建模，使之转变为
函数问题，再利用一元二次函数在顶点处取最值的方法来求解 ．
例15 （2000年全国数学竞赛题）一幢33层的大楼里有一部电梯停在第一层，• 它
一次最多能容纳32人，而且只能在第2层至第33层中某一层停一次．对于每个人来说，
他 往下走一层楼梯感到1分不满意，往上走一层楼梯感到3分不满意．现在有32•人在第
一层，并且他们 分别住在第2层至第33层的每一层．问：电梯停在哪一层，•可以使得这
32个人满意的总分达到最小 ？最小值是多少？（•有些人可以不乘电梯而直接从梯梯上
楼）．
分析：设电梯停在 第x层，在第一层有y个人没有乘电梯而直接上楼，•那么首先用x、
y表示出不满意总分的函数关系式 ，再用配方法来求取最值．
解：对于每一个乘电梯上、下楼的人，他所住的楼层数一定不小于 直接上楼的人所住
的层数，事实上，设P层的人乘电梯，而住Q层的人直接上楼，P式，其余的人不变，则不满意总分减少，即P>Q．设电梯停在第x层，在第一层有y个人
没有乘电梯而直接上楼，那么不满意总分为
S=3[1+2+3+…+（33-x）]+3（1+2+…+y）+[1+2+…+（x-y-2）]
=
3(34x)(33x)3(y1)y(xy2)(xy1)


222
2
=2x-（y+102）x+2y
2
+3y+1684
y102
2
15
)
（y-6）
2
+316≥316．
48
6102
当y=6，x==27时S取最小值为316．
4
=2（x-
评注：通过配方，把S•的代数表达式用非负数与常数的和或积表示而求最值是常用的
方法应掌握．
- 11 -

例16 在黄州服装批发市场，某种品牌的时装当季 节将来临时，价格呈上升趋势，设
这种时装开始时定价为20元，并且每周（7天）涨价2元，从第6周 开始保持30元的价
格平稳销售；从第12周开始，当季度即将过去时，平均每周减价2元，直到第16 周周末，
该服装不再销售．
（1）试建立销售价y与周次x之间的函数关系式；
（2）若这种时装每件进价Z与周次x次之间的关系为Z=-0.125（x-8）
2
+12.1•≤x≤
16，且x为整数，试问该服装第几周出售时，每件销售利润最大？最大利 润为多少？
分析：由于时间不同所建立的函数解析式就不同，故本题需要分类讨论．
解：依题意，可建立的函数关系式为：

202(x1)(1x6 )

2x18(1x6)

(6x11)即y=
30(6x11)
y=

30

302(x 11)(12x16)

2x52(12x16)

（2）设销售利润为W，则W=售价-进价
1

2
202x(x8) 14(1x6)

8

1

2
(6x1 1)
故W=

30(x8)12
8

< br>1
2
(x8)2x40(12x16)

8

1
2

8
x14(1x6)

1
2
化简得W=

x2x26(6x11)


8

1
2

8
x4x48(12 x16)

①当W=
1
2
x+14时，∵x≥0，函数y随着x增大而增大，∵1≤x≤6
8
∴当x=6时，W有最大值，最大值=18.5．
- 12 -

1
2
1
x-2x+26时，∵W=（x-8）
2
+ 18，当x≥8时，函数y随x增大而增大
88
1
∴在x=11时，函数有最大值为19．
8
11
③当W=x
2-4x+48时，∵W=（x-16）
2
+16，∵12≤x≤16，当x≤16时，函数 y随
88
②当W=
x增大而减小，
∴在x=12时，函数有最大值为18．
综上所述，当x=11时，函数有最大值为19
1
．
8
评注：本题 以分段函数为背景，与分类讨论思想相结合，解题时要紧扣题设条件，根
据自变量的不同取值范围，实施 分类解答，并做到不重不漏，逐层讨论求解．

巩固练习
一、选择题
1．已知二次函数y=ax
2
+bx的图象经过点A（-1，1），则ab有（ ）
（A）最小值0 （B）最大值1 （C）最大值2 （D）有最小值-
2．如图，四个二次函数的图象，哪一个函数在x=2时，有最大值（ ）
1

4

3．正实数x、y满足xy=1，那么
11

的最小值为（ ）
x
4
4y
4
（A）
155
（B） （C）1 （D） （E）
2

8
24
二、填空题
- 13 -

1．函数y=- 2x
2
+x图象的对称轴是_______，最大值是______．
2．如果二次函数y=x
2
-6x+m的最小值是1，那么m的值是_______．
3．已知二次函数y=（x-1）
2
+（x-3），当x=_______时，函数达 到最小值．
4．当0≤x≤3时，二次函数y=-x
2
+4x-2的最大值是___ ____，最小值是_______．
5．已知二次函数y=
则a=_______． 6．建造一个容积为8m
3
，深为2m的长方体无盖水池，如果池底与池壁的造价分别为每 平
方米120元和80元，那么水池的最低造价为______元．
7．用长为16米的细绳 围成一个矩形，矩形的长为x，面积为y，则
y与x•之间的函数关系式为，y的最大值为______ _．
8．如图，用12米长的木方，做一个有一条横档的矩形窗子，为使
透进的光线最多，选 择窗子的长、宽各为________、________米．
9．设x
1
、x2
是关于x的一元二次方程x
2
+ax+a=2的两个实数根，则（x
1
-2x
2
）（x
2
-2x
1
）
的最大值为 _________．
10．若抛物线y=x
2
-（k-1）x-k-1与x轴的交 点为A、B，
顶点为C，则△ABC的面积最小值为________．
11．如图，B船在 A船的西偏北45°处，两船相距10
2
km，
若A船向西航行，B•船同时向南航行 ，且B船的速度
为A船速度2倍，那么A、B两船的最近距离为
_______km．
12．销售某种商品，如果单价上涨m%，则售出的数量就将减少
金额最大，那么m的值应该确定为_ _______．
三、解答题
1
（x-1）
2
+1，如果当1≤ x≤a（a>1）•，•y•的最大值恰好是a，•
2
m
，为了使该商品的销售
150
- 14 -

1．某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售 价x（元）与产品的日销售量y（件）
之间的关系如下表：
x元 15 20 30 …
y元 25 20 10 …
若日销售量y是销售价x的一次函数．
（1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；
（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？•此时每日销售利
润是多少元？






2．某商厦试销一种成本为50元件 的商品，规定试销时的销售单价不低于成本，•又不高
于80元件，试销中销售量y（件）与销售单价x （元件）•的关系可近似的看作一次
函数（如图）．
（1）求y与x的关系式；
（2）设商厦获得的毛利润（毛利润=销售额-成本）为s（元），•则销售单价定为多
少时， 该商厦获利最大？最大利润是多少？此时的销售量是多少件？

- 15 -

3．某学校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面
20m，
9
与篮圈中心的水平距离为7m，当球出手后水平距离为4m，设篮球运行轨迹为抛物 线，
篮圈距地面3m．
（1）建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？
（2）此时，若对方队员乙在甲面前1 m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大模高为3.1m，
那么他能否获得成功？

4．某 食品零售店为仪器厂代销一种面包，未售出的面包可退回厂家，以统计销售情况发
现，当这种面包的单价 定为7角时，每天卖出160个．在此基础上，这种面包的单价每
提高1角时，该零售店每天就会少卖出 20个．•考虑了所有因素后该零售店每个面包的
成本是5角．
设这种面包的单价为x（角），零售店每天销售这种面包所获得的利润为y（角）．
（1）用含x的代数式分别表示出每个面包的利润与卖出的面包个数；
（2）求y与x之间的函数关系式；
（3）当面包单价定为多少时，该零售店每天销售这种面包获得的利润最大？•最大利
润为多少？




- 16 -

5．用总长为32m的篱笆墙围成一个扇形的花园．
（1）试写出扇 形花园的面积y（m
2
）与半径x（m）之间的函数关系式和自变量x的
取值范围；
（2）用描点法作出函数的图象；
（3）当扇形花园半径为多少时，花园面 积最大？最大面积是多少？此时这个扇形的
圆心角是多少？（精确到0.1度）
（4 ）请回答：如果同样用32m的篱笆围成一个面积最大的矩形花园，这个花园的面
积是多少？对比上面的 结论，你有什么发现？




6．如图，已知抛物线y=
C，OA=OB，BC∥x轴．
（1）求抛物线的解析式．
（2）设D、E是线段AB上异于A、B的两个动点（点E在点D的上方） ，DE=
2
，
过D、E两点分别作y轴的平行线，交抛物线于F、G，若设D点的横坐 标为x，四边形
DEGF的面积为y，求x与y之间的关系式，写出自变量x的取值范围，并回答x为何 值
时，y有最大值．
1
2
x+mx+n（n≠0）与直线y=x交于A、B 两点，•与y•轴交于点
2

- 17 -

7．某租赁公司 拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出；当每辆车
的月租金每增加50元时 ，未租出的车将会增加一辆．租车的车每辆每月需维护费150
元，未租出的车每辆每月需要维护费50 元．
（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出_______辆车（直接填写答案）；
（2）设每辆车的月租金为x（x≥3000）元，用含x的代数式填空：
未租出的车辆数 租出的车辆数
所有未租出的车辆 租出的车每辆
每月的维护费 的月收益
（3）当每辆车的月租金定为多少时，租赁公司的月收益最大？
元？






8．某商品的价格下降x%，则卖出的商品增长mx%（常数m>0）．
（1）当m=1.25时，应降价百分之几，才能使售出总金额最大？
（2）如果适当地降价，能求使售出总金额增加m的取值范围．






- 18 -
最大月收益是多少•

9．某公司 生产一件产品的成本是3元，售价是4元，年销售量为10万件，•为了获得更
好效益，公司准备拿出一 定的资金做广告．根据经验，每年投入广告费是x（万元）时，
x
2
77
x 
，•如果把利润看作销售额产量的年销售量将是原销售量的y倍，且y=-
101010减去成本费和广告费，
（1）试写出年利润S（万元）与广告费x（万元）的函数关系式 ，并计算广告费是多
少万元时，公司获利最大，最大利润是多少万元．
（2）把（1 ）中的最大利润再留出3万元作广告费用，其余用于投资新项目，•现有
六个项目供选择，各项目每股投 资金额和预计收益如下表所示：
项 目 A B
2
C
6
D
4
E
6
F
8 每股（万元） 5
收益（万元） 0.55 0.4 0.6 0.5 0.9 1
如果每个项目只能投资一股，且要求所有投资项目的 收益总额不低于1．6万元，•问
有几种符合要求的投资方案．写出每种投资方案所选项目．










- 19 -

10．某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品．已知每件产品 的进价为40
元，每年销售该种产品的总开支（不含进价）总计120万元．在销售过程中发现，年销< br>售量y（万件）与销售单价x（元）之间存在着如图所示的一次函数关系．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）试写出该公司销售这种产品的年获利z（万元）关于 销售单价x（元）•的函数
关系式（年获利=年销售额-年销售产品总进价- 年总开支），当销售单价x为何值时，
年获利最大？并求这个最大值；
（3）若公司希望该种 产品一年的销售获利不低于40万元，借助（2）中函数的图象，
请你帮助该公司确定销售单价的范围． 在此情况下，要使产品销售量最大，你认为销售
单价应定为多少元？











- 20 -

11．某机械租赁公司有同一型号的机械设备40套．经过一段时间的经营发现：•当每 套机
械设备的月租金为270元时，恰好全部租出．在此基础上，当每套设备的月租金每提高
1 0元时，这种设备就少租出一套，且没租出的一套设备每月需支出费用（•维护费、管
理费等）20元． 设每套设备的月租金为x（元），租赁公司出租该型号设备的月收益（收
益=租金收入- 支出费用）为y（元）．
（1）用含x的代数式表示未出租的设备数（套）以及所有未出租设备（套）的支出
费；
（2）求y与x之间的二次函数关系式；
（3）当月租金分别为300元和350元时，租赁 公司的月收益分别是多少元？•此时应
该出租多少套机械设备？请你简要说明理由；
b
2
4acb
2
（4）请把（2）中所求出的二次函数配 方成y=a（x+）+的形式，并据
2a
4a
此说明：当x•为何值时，租赁公司出租 该型号设备的月收益最大？最大月收益是多少？












- 21 -

12．已知：如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3厘米，CB=4厘米．两个 动点P、Q•分别从A、
C两点同时按顺时针方向沿△ABC的边运动．当点Q运动到点A时，P、Q两 点运动即停
止．点P、Q的运动速度分别为1厘米秒、2厘米秒，设点P运动时间为t（秒）．
（1）当时间t为何值时，以P、C、Q三点为顶点的三角形的面积（图中的阴影部分）
等于2厘米；
（2）当点P、Q运动时，阴影部分的形状随之变化，设PQ与△ABC围成阴影部分面积为S（厘米
2
），求出S与时间t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；
（3）点P、Q在运动的过程中，阴影部分面积S有最大值吗？若有，请求出最大值；
若没有，请说明理 由．












- 22 -

13．课题研究：现有边长 为120厘米的正方形铁皮，准备将它设计并制成一个开口的水
．．
槽，使水槽能通过的水的流 量最大．
初三（1）班数学兴趣小组经讨论得出结论：在水流速度一定的情况下，•水槽的横 截
面面积越大，则通过水槽的水的流量越大．为此，•他们对水槽的横截面进行了如下探索：
（1）方案①：把它折成横截面为直角三角形的水槽（如图a）．
若∠ACB=90°，设A C=x厘米，该水槽的横截面面积为y厘米
2
，请你写出y关于x的
函数关系式（不必 写出x的取值范围），并求出当x取何值时，y的值最大，最大值又是
多少？
方案② ：把它折成横截面为等腰梯形的水槽（如图b）．若∠ABC=120°，•请你求出
该水槽的横截面面 积的最大值，并与方案①中的y的最大值比较大小．
（2）假如你是该兴趣小组中的成员，请你再提供 两种方案，•使你所设计的水槽的横
截面面积更大．画出你设计的草图，标上必要的数据（不要求写出解 答过程）．











- 23 -

14． （1997年太原市初中数学竞赛试题）对于x的二次三项式ax
2
+bx+c（a>0）．
（1）当c<0时，求函数y=-2│ax
2
+bx+c│-1的最大值；
k
2
（2）若不论k为任何实数，直线y=k（x-1）-与抛物线y=ax2
+bx+c•有且只有一个
4
公共点，求a，b，c的值．




















- 24 -

答案:
一、1～3．DAC
二、1．x=
11
， 2．10 3．2
4
8
4．2，-2．提示：∵y=2-（x-2）
2
，0≤x≤3，
∴当x=2时，y
max
=2，当x=0时，y
min
=-2． < br>5．3．提示：因为当1≤x≤a时，y=
∴y
max
=
∴
1
（x-1）
2
+1随x增大而增大，
2
1
（x-1）
2
+1，又y
max
=a， 2
1
（x-1）
2
+1=a

a
2
- 4a+3=0

a=1，3，但a>1，所以a=3．
2
4
6．1760．提示：设池底的尺寸为xm与m，
x
4
则水池的总造价W表示为x的函数为W=480+320（x+），x>0，
x
4
(x2)
2
∵x+-4=≥0，
x
x∴当m=2（m）时，W
min
=480+320×4=1760．
7．y=-x
2
+8x，16 8．3、2
9．-
63963< br>．提示：原式=-2（x
1
+x
2
）
2
+9x
1
x
2
=-2（a-）
2
-．
848
2
10．设A（x
1
，0），B（x
2
，0），AB=
(x
1
x
2
)k
2
2k5
，
k1k
2
2k5
,
又C（），
24
1< br>S
△
ABC
=
2
k
2
2k5
1
k2k5||
=·
(k
2
2k5)
3
．
8
4
2
∵k
2
+2k+5=（k+1）
2
+4≥4，当k=-1时，•等号成立，∴S
△
ABC
≥
1
8
4
3
=1．
- 25 -

11．2
5
．提示：设经过t小时后，A、B船分别航行到A
1
、B
1
，设AA
1
=x，BB
1
=2x，
222
A
1
B
1
=
|10x||102x|5(x6)20
．
12．设原来商 品单价为a元时，售出的数量为b，则单价上涨m%时，销售的总金额W=ab
（1+m%）（1-mab
）= [-（m-25）
2
+15625]，故当W=25时，W
max
=15625．
15015000
三、1．（1）y=-x+40．
（2）产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元．
2．（1）设y=kx+b，将（60，40），（70，30）代入得：

60kb40

k1
∴y=-x+100．
解得:

70kb30b100

（2）S=（-x+100）（ x-50）=-x
2
+150x-5000．
∵a=-1，b=150，c=-5000，
∴当x=-
b
=75时， < br>2a
4acb
2
4(1)(5000)150
2
2000022500
S
最大值
===625．

4a
4(1)4a
当x=75时，y=-75+100=25．所以当销售价是75元时，最大利润是62 5元，
此时销量为25件．
3．（1）设解析式为y=a（x-4）
2
+ 4，当x=7，y=3时，解得a=
∴y=-
1
，
9
120
（x-4）+4，当x=0时，y=．∴能准确投中；
99
（2）当x=1，y=3<3．1，∴能获得成功．
4．（1）每个面包的利润为（x-5）角，卖出的面包个数为（300-20x）
或[160-（x-7）×20]）．
（2）y=（300-20x）（x-5）=-2 0x
2
+400x-1500，即y=-20x
2
+400x-1500．
- 26 -

（3）y=-20x
2
+400x- 1500=-20（x-10）
2
+500，∴当x=10时，y的最大值为500．∴当每个面包单价定为10角时，该零售店每天获得的利润最大，最大利润为500角．
5．（1）∵ 扇形半径为xcm，∴扇形的弧长为（32-2x）m，由扇形面积公式得y=（32-2x）
x，即y =-x
2
+16x．自变量的取值范围是0 （2）将函数关系式写成y=-（x-8）
2
+64．列表
x 2 4 6 8 10 12 14
1
2
y 28 48 60 64 60 48 28
其图象如图所示．

（3）由图象可知，当x=8时，有最大值64．
即当扇形半径为8m时，花园面积最大，最大面积为64m．
设此时扇形的圆心角约 为n°，则
2
n
·2

·8=16，解得n≈114.6°．
360
因此，扇形的圆心角约为114.6°．
（4）这个矩形花园的面积也是54m
2
，与最大扇形花园面积相等
（或答：•周长相等的最大矩形面积与最大扇形的面积相等）．
6．（1）∵抛物线y=
1
2
x+mx+n与y轴交于点C，
2
- 27 -

∴C（0，n），∵BC∥x轴，∴B点的纵坐标为n．
∵B、A在y=x上，且OA=OB，∴B（n，n），A（-n，-n）．

1< br>2
nmnnn


2
∴

解得：n=0（舍去），n=-2；m=1．
1

n
2
mnn n

2
∴所求解析式为：y=
1
2
x+x-2．
2

（2）作DH⊥EG于H，∵D、E在直线y=x上，∴∠EDH=45°，∴DH=EH．
∵DE=
2
，∴DH=EH=1．∵D（x，x），∴E（x+1，x+1）． 1
2
1
x+x-2，G的纵坐标：（x+1）
2
+（x+1）- 2．
22
11
∴DF=x-（x
2
+x-2）=2-x
2
，
22
11
EG=（x+1）-[（x+1）
2
+（x+ 1）-2]=2-（x+1）
2
．
22
111113
∴y= [2 -x
2
+2-（x+1）
2
]×1，y=-x
2
-x+3， y=-（x+）
2
+3，
222224
13
∴x的取值范围是-224
x3000x3000x3000
7．（1）88；（2）；100-；×5 0；x-150；
505050
∴F的纵坐标：
（3）设每辆车的月租金为x元，租赁公司的月收益为y元，
则有y=（100-
x300 0x30001
）（x-150）-•×50=-（x-4050）
2
+30705 0，
5050
50
- 28 -

∴当x=4050时，y
min
=307050．
8．（1）设降价前每件定价为a元，销售量为b件，则价格下降x%后销售总额为
y=•a （1-x%）·b（1+mx%）=
当m=1.25时，y=
∴当x=
ab
[-mx+100（m-1）x+100]．
2
100
ab
[-1.25x
2
+25x+100
2
]．
2
100
25
=10时，y取最大值，故降价10%时，售出总金额最大．
21.25
ab
22
（2）由y= [-mx+100（m-1）x+100]知，
2
100
50(m1)
当x=时，y的值最大．
m
50 (m1)
降价后，•销售总额有所增加，就是当0≤x≤时，y随x增大而增大，
m

m0

所以

50(m1)

m>1．
0

m

9．（1）S=10y-x=-x
2
+6x+7，当x=3时，获利最大，最大为16万元．
（2）投资金额=16-3=13万元，经分析，有两种投资方案符合要求．
一种是取A、B、E各一股，投入奖金为13万元，
收益为：0.55+0.4+0.9=1.85万元>1.6万元．
另一种是取B、D、E各一股，投入资金为2+4+6=12万元，
收益为：0.4+0.5+0.9=1.8万元>1.6万元．
10．（1）设y=kx+b，它过点（60，5），（80，4）．
1


560kb
1

k
∴

解得

20
∴y=-x+8．
20

480kb

b8

- 29 -

（2）z=yx-40y-120=（-
11
2
x +8）（x-40）-120=-x+10x-440．
2020
∴当x=100时，最大年获得为60万元．
（3）令z=40， 得40=-
1
2
x+10x-440，整理得：x
2
-200x+9 600=0．解得：x
1
=80，x
2
=120．•
20
由 图象可知，要使年获利不低于40万元，销售单价应在80元到120元之间．
又因为销售单价越低，销售量越大，
所以要使销售量最大，又要使年获利不低于40万元，销售单价应定为80元．
x270
套，所有未出租设备支出的费用为（2x-540）元；
10
x2701
2
（2）y=（40-）x-（2x-540）=-x+65x+540
10
10
11 ．（1）未租出的设备为
（3）当月租金为300元时，租赁公司的月收益为11040元，此时租出设 备37套；
当月租金为350元时，租赁公司的月收益为11040元，此时租出设备32套．
因为出租37•套和32套设备获得同样的收益，
如果考虑减少设备的磨损，应该选择出租32套；•
如果考虑市场占有率，应该选择37套．
（4）y=-
1
2
1
x+65x+540=-（x-325）
2
+11102.5．
1010
∴当x=325时，y有最大值11102.5．
但是当月租金为325元时，出租设备的套数为34.5套，而34.5不是整数，
故出租设备应为34（•套）或35（套）．
- 30 -

即当月 租金为330元（租出34套）或月租金为320元（租出35套）时，•租赁公司
的月收益最大，最大 月收益均为11100元．
12．（1）S
△
PCQ
=
11
PC·CQ=（3-t）·2t=（3-t）t=2，解得t
1
=1，t
2
=2．
22
2
∴当时间t为1秒或2秒时，S
△PCQ
=2厘米；

3
2
9
）+；
24
4184939
② 当22
-t+6=（t-）
2
+；
20
5554
327423915
t
=-（t-）
2
+； ③当3< t≤4.5时，S=-t
2
+
5555
24
39
（3）有． ①在01
=；
24
12
②在22
=；
5
915
③在33
=，
24
915
∵S
1
2
3
，∴t=时，S有最大值，S
最大值
=．
24
x(120x)
1 3．（1）①y=，当x=60时，y
最大值
=1800；
2
（2）①当0 2
+3t=-（t-
②过点B作BE⊥AD于E，CF⊥AD于 F，设AB=CD=xcm，梯形的面积为Scm
2
，
则BC=EF=（120-2 x）cm，AE=DF=
1
3
x，BE=CF=x，AD=120-x，
2
2
∴S=
1
3
·x（240-3x）．当x=40，S
最大 值
=1200
3
，S
最大值
>y
最大值
．
2
2
- 31 -

（2）方案：①正八边形一半，②正十边形一半，③半圆等．

14．（1）∵a> 0，c<0，∴b
2
-4ac>0，故│ax+bx+c│的最小值为0，
2
∴y=-2│ax
2
+bx+c│-1值的最大值为-1；
k
2
（2）欲使直线y=k（x-1）-与抛物线y
2
=ax+bx+c只有一个交点，
4

k
2

yk(x1),
则方程组
4
•只有一组解，

yax
2
bxc.
< br>k
2
消去y得到关于x的二次方程ax+（b-k）x+k+c=0，
4
2
k
2
∵△=（b-k）-4a（+k+c）=0，
4
2
整理，得关于k的二次方程（1-a）k
2
-2（2a+b）k+b
2
-4ac=0． （※）．
又因为此方程对任意实数k•都成立，

1a0,

a1,

故

2(2ab)0, 即

b2,


b
2
4ac0.


c1.

说明：根据题意，（※）对任意实数k都成立，说明关于k的 各项系数都为0．
- 32 -