小学数学奥数基础教程(五年级)--21
北京育才小学-火把节来历
小学数学奥数基础教程(五年级)
本教程共30讲
用等量代换求面积
一个量可以用它的等量来代替；被减数和减数都增加（或减少）同一<
br>个数，它们的差不变。前者是等量公理，后者是减法的差不变性质。这两
个性质在解几何题时有很
重要的作用，它能将求一个图形的面积转化为求
另一个图形的面积，或将两个图形的面积差转化为另两个
图形的面积差，
从而使隐蔽的关系明朗化，找到解题思路。
例1两个相同的直角三角形如下图所示（单位：厘米）重叠在一起，
求阴影部分的面积。
分析与解：阴影部分是一个高为3厘米的直角梯形，然而它的上底与
下底都不知道，因而不
能直接求出它的面积。因为三角形ABC与三角形
DEF完全相同，都减去三角形DOC后，根据差不变
性质，差应相等，即
阴影部分与直角梯形OEFC面积相等，所以求阴影部分的面积就转化为求
直角梯形OEFC的面积。直角梯形OEFC的上底为10-3=7（厘米），面
积为（7+10）×2
÷2=17（厘米
2
）。
所以，阴影部分的面积是17厘米
2
。
例2在右图中，平行四边形ABCD的边
BC长10厘米，直角三角形
ECB的直角边EC长8厘米。已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面
积大10厘米
2
，求平行四边形ABCD的面积。
分析与解
：因为阴影部分比三角形EFG的面积大10厘米
2
，都加上
梯形FGCB后，根据差
不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即
平行四边行ABCD比直角三角形ECB
的面积大10厘米
2
，所以平行四边
形ABCD的面积等于
10×8÷2+10=50（厘米
2
）。
例3在右图中，AB=8厘米，CD=
4厘米，BC=6厘米，三角形AFB
比三角形EFD的面积大18厘米
2
。求ED的
长。
分析与解：求ED的长，需求出EC的长；求EC的长，需求出直角
三角
形ECB的面积。因为三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米
2
，
这两个三角
形都加上四边形FDCB后，其差不变，所以梯形ABCD比三
角形ECB的面积大18厘米
2
。也就是说，只要求出梯形ABCD的面积，
就能依次求出三角形ECB的面积和EC的长，从
而求出ED的长。
梯形ABCD面积=（8+4）×6÷2=36（厘米
2
），
三角形ECB面积=36-18=18（厘米
2
），
EC=18÷6×2=6（厘米），
ED=6-4=2（厘米）。
例4 下页上图
中，ABCD是7×4的长方形，DEFG是10×2的长方
形，求三角形BCO与三角形EFO的面积
之差。
分析：直接求出三角形BCO与三角形EFO的面积之差，不太容易做
到。如果利用差不变性质，将所求面积之差转化为另外两个图形的面积之
差，而这两个图形的面积之差容
易求出，那么问题就解决了。
解法一：连结B，E（见左下图）。三角形BCO与三角形EFO都
加
上三角形BEO，则原来的问题转化为求三角形BEC与三角形BEF的面积
之差。所求为4
×（10-7）÷2-2×（10-7）÷2=3。
解法二：连结C，
F（见右上图）。三角形BCO与三角形EFO都加
上三角形CFO，则原来的问题转化为求三角形BC
F与三角形ECF的面积
之差。所求为4×（10-7）÷2-2×（10-7）÷2=3。
解法三：延长BC交GF于H（见下页左上图）。三角形BCO与三
角形EFO都加上梯形COFH，则
原来的问题转化为求三角形BHF与矩形
CEFH的面积之差。所求为（4+2）×（10-7）÷2-
2×（10-7）=3。
解法四：延长AB，FE交于H（见右上图）。三角形BCO
与三角形
EFO都加上梯形BHEO，则原来的问题转化为求矩形BHEC与直角三角
形BHF
的面积之差。所求为4×（10-7）-（10-7）×（4+2）÷2=3。
例5左下图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，
求三角形ABC的面积。
分析与解：这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件，实际上本题的
结果与大正
方形的边长没关系。连结AD（见右上图），可以看出，三角
形ABD与三角形ACD的底都等于小正方
形的边长，高都等于大正方形
的边长，所以面积相等。因为三角形AFD是三角形ABD与三角形ACD
的公共部分，所以去掉这个公共部分，根据差不变性质，剩下的两个部分，
即三角形ABF与三
角形FCD面积仍然相等。根据等量代换，求三角形
ABC的面积等于求三角形BCD的面积，等于4×
4÷2=8（厘米
2
）。
练习21
1.左下图中，等腰直角三角形ABC的腰为10厘米，以C为圆心、CF
为半径画弧线EF，组成扇形
CEF。如果图中甲、乙两部分的面积相等，那
么扇形所在的圆的面积是多少？
2.右上图（单位：厘米）是两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影
部分的面积。
3.
左下图中，扇形ABD的半径是4厘米，甲比乙的面积大3.44厘米
2
。求直角梯形ABCD
的面积。（π=3.14）
4.在右上图的三角形中，D，E分别是所在边的中点，求四边形ADFE
的面积。
5.
下页左上图中，矩形ABCD的边AB为4厘米，BC为6厘米，三角
形ABF比三角形EDF的面积大
9厘米
2
，求ED的长。
6.右上图中，CA=AB=4厘米，三角
形ABE比三角形CDE的面积大2厘
米
2
，求CD的长。
影部分的面积和。
练习21
1.400厘米
2
。
解：扇形CEF与直角三角形ABC的面积相等，∠C=45°，所求圆
的面
2.140厘米
2
。
提示：所求面积等于右图中阴影部分的面积，为
（20-5+20）×8÷2
=140（厘米
2
）。
3.24厘米
2
。
提示：扇形ABD的面积为π×4×4÷4=12.56（厘米
2
），
直角三角
形ABC的面积为12.56+3.44=16（厘米
2
），BC=16÷4×2=8
（厘米），
梯形ABCD面积为（4+8）×4÷2=24（厘米
2
）。
4.8。
提示：由三角形ADC与三角形EBC的面积相等，推知阴影部分与三
角形BCF面积相等。
5.1厘米。
解：（4×6-9）÷6×2=1（厘米）。
6.3厘米。
解：连结CB（见右图）。三角形DCB的面积为
4×4÷2-2=6（厘米
2
），
CD=6÷4×2=3（厘米）。
7.12厘米
2
。
解：连结DF（见右图）。因为AE=ED，所以△BED与△ABE面积
相等，
解得S△ABF=12，即阴影部分的面积和为12厘米
2
。