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小学数学奥数基础教程(三年级)


本教程共30讲

第28讲 一笔画(一)
如果一个图形可以用笔在纸上连续不断而且不重
复地一笔画成，那么这个图形就叫一笔画。显然，在下面的图形中，
(1)(2)不能一笔 画成，故不是一笔画，(3)(4)可以一笔画成，是一笔画。

同学们可能会问：为什 么有的图形能一笔画成，有的图形却不能一笔
画成呢？一笔画图形有哪些特点？关于这个问题有一个著名 的数学故事
——哥尼斯堡七桥问题。哥尼斯堡是立陶宛共和国的一座城市，布勒格尔
河从城中穿 过，河中有两个岛，18世纪时河上共有七座桥连接A，B两个
岛以及河的两岸C，D(如下图)。

所谓七桥问题就是：一个散步者要一次走遍这七座桥，每座桥只走一
次，怎样走才能成功？
当时的许多人都热衷于解决七桥问题，但是都没成功。后来，这个问
题引起了大数学家欧拉(1707- 1783)的兴趣，许多人的不成功促使欧拉从
反面来思考问题：是否根本就不存在这样一条路线呢？经 过认真研究，欧
拉终于在1736年圆满地解决了七桥问题，并发现了一笔画原理。欧拉是
怎样 解决七桥问题的呢？因为岛的大小，桥的长短都与问题无关，所以欧
拉把A，B两岛以及陆地C，D用点 表示，桥用线表示，那么七桥问题就变
为右图是否可以一笔画的问题了。

我们把一个图形上与偶数条线相连的点叫做偶点，与奇数条线 相连的
点叫做奇点。如下图中，A，B，C，E，F，G，I是偶点，D，H，J，O是奇
点。

欧拉的一笔画原理是：
(1)一笔画必须是连通的(图形的各部分之间连接在一起)；
(2)没有奇点的连通图形是一笔画，画时可以以任一偶点为起点，最后仍
回到这点；
(3)只有两个奇点的连通图形是一笔画，画时必须以一个奇点为起点，以
另一个奇点为终点；
(4)奇点个数超过两个的图形不是一笔画。
利用一笔画原理，七桥问题很容易解决。因 为图中A，B，C，D都是
奇点，有四个奇点的图形不是一笔画，所以一个散步者不可能不重复地一次走遍这七座桥。
顺便补充两点：
(1)一个图形的奇点数目一定是偶数。
因为图形中的每条线都有两个端点，所以图形中所有端点的总数必然
是偶数。如果一个图形 中奇点的数目是奇数，那么这个图形中与奇点相连
接的端点数之和是奇数(奇数个奇数之和是奇数)，与 偶点相连的线的端点
数之和是偶数(任意个偶数之和是偶数)，于是得到所有端点的总数是奇
数 ，这与前面的结论矛盾。所以一个图形的奇点数目一定是偶数。
(2)有K个奇点的图形要K÷2笔才能画成。

例 如：下页左上图中的房子共有B，E，F，G，I，J六个奇点，所以
不是一笔画。如果我们将其中的两 个奇点间的连线去掉一条，那么这两个
奇点都变成了偶点，如果能去掉两条这样的连线，使图中的六个奇 点变成
两个，那么新图形就是一笔画了。将线段GF和BJ去掉，剩下I和E两个
奇点(见右下 图)，这个图形是一笔画，再添上线段GF和BJ，共需三笔，
即( 6 ÷2)笔画成。

一个K(K＞1)笔画最少要添加几条连线才能变成一笔画呢？我们知
道K笔画有2K个奇 点，如果在任意两个奇点之间添加一条连线，那么这
两个奇点同时变成了偶点。如左下图中的B，C两个 奇点在右下图中都变
成了偶点。所以只要在K笔画的2K个奇点间添加(K-1)笔就可以使奇点数目减少为2个，从而变成一笔画。

到现在为止，我们已经学会了如何判断一笔画和多笔画，以及怎样添
加连线将多笔画变成一笔画。

练习28
1.下列图形分别是几笔画？怎样画？

2.能否用剪刀从左下图中一次连续剪下三个正方形和两个三角形？

3.从A点出发，走遍右上图中所有的线段，再回到A点，怎样走才能
使重复走的路程最短？
4.如下图所示，两条河流的交汇处有两个岛，有七座桥连接这两个岛
及河岸。问：一个散步者能否一次 不重复地走遍这七座桥？

答案与提示练习28
1.(1)(3)是一笔画，(2)是两笔画。
2.能，因为是一笔画。
3.见右图，走法不唯一。

4.能。例如下图的走法。