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北师大版九年级数学下册电子教案及反思
九（5、6）数学教学计划
学
生
情
况
分
析
九年级（1、4）的学生总体来看， 两极分化非常严重，对优生来说，
能够透彻理解知识，知识间的内在联系也较为清楚，对后进生来说，简
单的基础知识还不能有效的掌握，成绩较差。在学习能力上，学生课外
主动获取知识的能力较差 ，学生自主拓展知识面，向深处学习知识的能
力较差，需要继续培养。学生的逻辑推理、逻辑思维能力， 计算能力需
要得到加强，以提升学生的整体成绩；在学习态度上，绝大部分学生上
课能全神贯注 ，积极的投入到学习中去，只有少数几个学生对数学处于
一种放弃的心态；作业大部分学生能认真完成， 少数学生需要教师督促
才能完成，照抄现象比较严重；学生的学习习惯养成还不理想，认真完
成 自学导读的习惯，进行总结的习惯，自习课专心致志学习的习惯，主
动纠正(考试、作业后)错误的习惯 比较差，需要教师的督促才能完成做，
本学期是中考冲刺阶段，需要从中考复习入手，加大对象学生学习 习惯
的培养。
本学期数学内容包括：
一、第三章《圆》的第三节至第八节
二、第四章《概率与统计》
三、七、八、九年级的内容的复习
四、中考前的模拟：
第一轮复习基礎知识：基本宗旨：知识系统化，练习专题化，专题
规律化。在这一阶段的教学把 书中的内容进行归纳整理、组块，使之形
成结构，可将代数部分分为六个单元：实数、代数式、方程、不 等式、
函数、统计与概率等；将几何部分分为六个单元：相交线和平行线、三
角形、四边形、相 似三角形、解直角三角形、 圆等。复习完每个单元进
行一次单元测试，重视补缺工作。
第二轮复习 如果说第一阶段是总复习的基础，是重点，侧重双基
训练，那么第二阶段就是第一阶段复 习的延伸和提高，应侧重培养学生
的数学能力。第二轮复习的时间相对集中，在一轮复习的基础上，进行
拔高，适当增加难度；第二轮复习重点突出，主要集中在热点、难点、
重点内容上，特别是重点 。
第三轮复习的形式是模拟中考的综合拉练，查漏补缺，这好比是一
个工程的验 收阶段，考前练兵。研究历年的中考题，训练答题技巧、考
场心态、临场发挥的能力等。备用的练习《历 届中考真题》、《中考模拟
教
材
分
析

北师大版九年级数学下册电子教案及反思
试题》。

学
期
教
学
目
标
与
任
务
1、必须扎扎实实地夯实基础，使每个学生对初中数学知识都能达
到“理解”和“掌 握”的要求，在应用时能做到熟练、正确和迅速。
2、不搞题海战术，精讲精练，举一反三 、触类旁通。“大练习量”
是相对而言的，它不是盲目的大，也不是盲目的练。而是有针对性的、
典型性、层次性、切中要害的强化练习。
3、从实际出发，面向全体学生，因材施教，即分层次 开展教学工
作，全面提高复习效率。课堂复习教学实行“低起点、多归纳、快反馈”
的方法。
4、注重思想教育，不断激发他们学好数学的自信心，并创造条件，
让学困生体验成功。
5、 应注重对尖子的培养。在他们解题过程中，要求他们尽量走捷
径、出奇招、有创意，注重逻辑关系，力求 解题完整、完美，以提高中
考优秀率。对于接受能力好的同学，日日淸中培养解题技巧，提高灵活
度，使其冒“尖”。
6、注意数学思想的形成和数学方法的掌握，这就需要充分发挥教
师的 主导作用。可进行专题复习，如“方程型综合问题”、“应用性的函数
题”、“不等式应用题”、“统计 类的应用题”、“几何综合问题”，、“探索性
应用题”、“开放题”、“阅读理解题”、“方案设计” 、“动手操作”等问题以
便学生熟悉、适应这类题型。
教学
1、认真研读新 课程标准，钻研新教材，根据新课程标准，扩充教材
内容，认真上课，批改作业，认真辅导，认真制作测 试试卷，也让学生
改革
学会认真学习。
方向
2、兴趣是最好的老师 ，激发学生的兴趣，给学生介绍数学家，数学
史，介绍相应的数学趣题，给出数学课外思考题，激发学生 的兴趣。
重点
3、引导学生积极参与知识的构建，营造民主、和谐、平等、自主、< br>及其
探究、合作、交流、分享发现快乐的学习课堂氛围，让学生体会学习的
快乐，享受学 习。
育理念，不同的教育理念将带来不同的教育效果。
5、培养学生良好的学习习 惯，陶行知说：教育就是培养习惯，有助
于学生稳步提高学习成绩，发展学生的非智力因素，弥补智力上 的不足。
根据学生实际，创造性地使用教科书，积极开发、利用各科教学资
源，为学生提供丰 富多彩的学习素材，让学生纪律数学知识的形成与应
措施
4、运用新课程标准的理念 指导教学，积极更新自己脑海中固有的教
教学

北师大版九年级数学下册电子教案 及反思
实践
用过程，如组织学生进行调查、实地测量等等实际活动，加强学生的知
活动 思想
教育
识运用能力和实践活动能力，加强学生的动手能力，将知识运用在生活
中 的能力。
1、在教学过程中穿插有关思想教育的内容，让学生在学习知识的过
程中得到了思想教育； < br>2、组织学生对一些数学家真实事迹学生，比如华罗庚的求学经历、
安排
陈景润的忘我钻 研等等；
3、组织学生观看一些有关数学方面的教育片，并写出知识的观后感，
对学生进行思想教育

学期教学进度安排
章节单元 内 容 周次 课时 日 期 备注
第三章 圆的第三—第八节
1-3
13
2.26—3.11
如
有变
第一轮复习 基础知识
4--8 9
3.11—4.11
动根
据学
第二轮复习 专项训练
9-13
15
4.12—5.12
校的
安排
进行
第三轮复习 考前模拟
14-16
10
5.12 —
调整
教研组长(签字)：


教务主任(签字)：

年 月 日

北师大版九年级数学下册电子教案及反思
第1课时 2月26日 星期二

课题

教
学
目
标
过程
回顾垂径定理的内容，并会运用垂径定理解决有关问题
圆的对称性复习 备课教师
知识
与技能

授课教师

1、复习圆的轴对称性；
2、回顾垂径定理的内容，并会运用垂径定理解决有
关问题；
3、复习圆心角、弧、弦之间关系定理．
与方法
情感态度
与价值观

1、会运用圆心角、弧、弦之间的关系解决有关问题
2、垂径定理及应用
教学重点
教学难点
教学过程
出示
学习
目标
出
示
自
学
指
导

教师活动
1、复习圆的轴对称性；
2、回顾垂径定理的内容，并会运用垂径定理
解决有关问题；
3、复习圆心角、弧、弦之间关系定理．
（一）弧、弦、直径这些与圆有关的概念
1．圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简
称弧。
2．弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。
3．直径：经过圆心的弦叫直径。
（二）垂径定理：
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对
的弧。
（三）圆心角、弧、弦之间的关系：
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、
两 条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各
学生活动
明确本节
课的任务
学生
独立
完成
问题
后交流

北师大版九年级数学下册电子教案及反思
组量都分别相等
2、如图，已知⊙O、⊙O半径相等，AB、CD
分别是⊙O、⊙O的两条弦填空：
（1）若AB=CD，则 ，
︵

︵

（2）若AB= CD，则 ，
（3）若∠AOB=∠CO
'
D，则 ，




O
’

C
A
B
D
'
'
O
自
学
检
轴
1．下列命题中，正确的有（ ）
A．圆只有一条对称轴
B．圆的对称轴不止一条，但只有有限条
C．圆有无数条对称轴，每条直径都是它的对称D．圆有无数条对称轴，经过圆心的每条直线都
是它的对称轴
2．下列命题中，不正确的是（ ）
A．圆是轴对称图形
D．以上都不对
3．⊙O中若直径为25cm，弦AB的弦心距为10cm，
则弦AB的长为 ．
4.如图，AB、AC、BC都是⊙O的弦，∠AOC=
∠BOC∠ABC与∠BAC相等 吗？为什么？






求⊙O的半径长．
A
C
B
O
学生独
立完
成，然
后相互
交流

测
B．圆是中心对称图形
C．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形
5.如图，在⊙O中，弦AB=8cm，OC⊥ AB于C，OC=3cm，

北师大版九年级数学下册电子教案及反思

课后小结
本节课你有哪些收获？
当堂作业
活页
板书设计
教
后
反
思
圆的对称性复习

圆的 相关内容是上学期最后学习得知识，今天是本
学期的第一堂课，所有对圆的知识进行复习与回顾，既使学生对所学圆的知识有所回顾，也为下节课学习新课
程做好准备工作，一举两得。

第2课时 2月27日 星期三

课题

教
学
目
标
圆周角和圆心角的
关系（1）

备课教师

授课教师

知识
与技能
过程
与方法
情感态度
理解圆周角的概念,掌握圆周角的两个特征、定理的
内容及简单应用
继续培养学生观察、分析、想象、归纳和逻辑推理
的能力；
渗透由“特殊到一般”，由“一般到特殊”的数学思想方
与价值观
法．
教学重点
教学难点
教学过程
圆周角的概念和圆周角定理
圆周角定理的证明中由“一般到特殊”的数学思想
方法和完全归纳法的数学思想
教师活动 学生活动

北师大版九年级数学下册电子教案及反思
出示学
习目标
出
示
自
学
指
导
理解圆周角的概念,掌握圆周角的两个特征、定
理的内容及简单应用

明确本节
课的任务
一、复习 1．通过
1．如图，∠BOC是 角， ∠BAC是 对上面问题
角。若∠BOC=80°，∠BAC= 。 的讨论，引
2．如图，点A，B，C都 在⊙O上，若∠导学生总
ABO=65° ，则∠BCA=（ ） 结：在同圆
二、圆周角： 或等圆中，
在射门游戏中如：课 本108页图13，球员射中同弧所对的
球门的难易与他所处的位置B球门AC的张角（∠圆周角相ABC）有关。 等。
2.通过互相
当他站在B，D，E的位置射球时,对球门AC的张角的大小相等吗？你能观察到这三个角有什么
交流讨论，
总结规律

共同特征吗?
三、圆周角定理：
请同学们在圆上确定一条劣弧，画出它所对的圆心角与圆周角。根据学生画出的三种情况探索并
证明圆周角定理。
圆周角有两个特征：
1、角的顶点在圆上；
2、两边在圆内的部分是圆的两条弦。

用直角钢尺 检查某一工件是否恰好是半圆环形，
根据图形3-3-19所表示的情形，四个工件哪一个肯
定 是半圆环形？
议课补
充内容
自
学
检
测
学生独
立完
成，然

1、如图，在⊙O中，∠BOC=50°，
则∠BAC= 。
如图，在⊙O中，∠BOC=50°，
则∠BAC= 。
后相互
交流

北师大版九年级数学下册电子教案及反思
B
C
A
O

2、如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠ AOB=2
∠ BOC，∠ ACB与∠ BAC的大小有什么关系？为
什么？
O
C
A
B

3、如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且∠
BCD=100° ，求∠BOD（BCD所对的圆心角）和∠
BAD的大小。
A
O
B
D
C

议课补
充内容
课后小结
课后思 考：如课本3-13图，当他站在B，D，E的位置射球
时对球门AC的张角的大小相等吗？为什么？< br>
到目前为止,我们学习到和圆有关的角有几个?它们各有什么
特点?相互之间有什么关 系?

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当堂作业 1、2
板书
设计
教
后
反
思
圆周角和圆心角的关系（1）
圆周角：
圆周角定理:



本节课学习的是有关圆周角的概念和性质定理，要
求学生首先要知道怎样的角才是 圆周角，知道圆周角的
两个特征，从而在此基础上得出圆周角定理，在学习中
留给了学生足够的 探索时间，通过对三种情况下圆周角
和圆心角之间的关系由学生自己总结其性质定理，充分
发挥 了学生的自学能力和总结归纳的能力。
九年级数学自学导读：
圆周角和圆心角的关系（1）
学习目标:
1、经历探索圆周角的有关性质的过程

2、理解圆周角的概念及其相关性质，并能运用相关性质解决有关问题
重点：圆周角及圆周角定理
难点：圆周角定理的应用
一、操作与思考
如图，点A在⊙O外，点B
1
、B
2
、B
3
在⊙O上，
点C在⊙O内，度量∠A、∠B
1
、∠B
2
、∠B
3
、∠C的
大小，你能发现什么？
∠B
1
、∠B
2
、∠B
3
有什么共同的特征？
B
2
P
Q
O
C
B
3
B
1
A
______________________________ ____________________
归纳得出结论，顶点在_______，并且两边___ _____________________的角
叫做圆周角。
强调条件：①______ _________________，②___________________________。
识别图形：判断下列各图中的角是否是圆周角？并说明理由.

北师大版九年级数学下册电子教案及反思
二、探索活动
活动一 观察与思考
如图，AB为⊙O的直径，∠BOC、∠BAC分别是BC所对的圆心角、圆周角，
求出图（1）、（2）、（3）中∠BAC的度数.




通过计算发现：∠BAC＝_______∠BOC．
试证明这个结论：




活动二 思考与探索
1、如图，BC所对的圆心角有多少 个？BC所对的圆周角有多少个？请在图
中画出BC所对的圆心角和圆周角，并与同学们交流。

B
O
C
A


2、思考与讨论
（1）观察上图，在画出的无数个圆周角中，这些圆周角与圆心O有几种位置
关系？
（2）设BC所对的圆周角为∠BAC，除了圆心O在∠BAC的一边上外，圆心O
与∠BAC还有哪几 种位置关系？对于这几种位置关系，结论∠BAC＝
立吗？试证明之．



通过上述讨论发现：_____________________________________ _________
1
∠BOC还成
2

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第3课时 2月28日 星期四

课题

教
学
目
标
圆周角和圆心角的
关系（2）

备课教师

授课教师

知识
与技能
过程
与方法
情感态度
熟练应用圆周角定理及其推论解决有关的计算和证
明的问题。
在应 用圆周角定理及其推论进行有关的计算和证明
的过程中，进一步培养观察、分析和解决问题的能力。
渗透由“特殊到一般”，由“一般到特殊”的数学思想方
与价值观
法．
教学重点
教学难点
教学过程
出示学
习目标
出
示
自
学
指
导
圆周角定理及其推论的应用
熟练应用圆周角定理及其推论
教师活动
熟练应用圆周角定理及其推论解决有关的计算
和证明的问题。

1、观察下图，∠ABC， ∠ADC和∠AEC各
学生活动
明确本节
课的任务
1．通过
是什么角？它们有什么共同的特征？它们的大小有
对上面 问题
的讨论，引
什么关系？为什么？
导学生总
A
C

结：在同圆
或等圆中，

E
O
同弧所对的
B

圆周角相

D
等。

2.通过互相
2、如果把上面的同弧改成等弧，结论成立吗？
交流讨论，
总结规律

3、若将上面推论中的“同弧或等弧”改为“同
弦或等弦”，结论成立吗？请同学们互相议一议。
4、观察下图，BC是⊙O的直径，它所对的圆< br>周角是锐角、直角、还是钝角？你是如何判断的？

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B
O
A
C
5、观察下图，圆周角∠BAC=90°，弦BC经
过圆心吗？为什么？




板书：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。
直径所对的圆周角是直角；90° 的圆周角所对的弦是直径。

1、用直角钢尺检查 某一工件是否恰好是半圆环
形，根据图形3-3-19所表示的情形，四个工件哪一
个肯定是半 圆环形？
B
O
C
A
议课补
充内容
自
学
检
测
学生独
立完
成，然

2．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，
延长BD到C，使AC=AB。BD与CD的大小有什 么
关系？为什么？



3、船在航行过程中，船长常常通过测定 角度来确
定是否会遇到暗礁。如图，A，B表示灯塔，暗礁分
布在经过A，B两点的一个圆形区 域内，C表示一个
危险临界点，∠ACB就是“危险角”，当船与两个灯塔
的夹角大于“危险角 ”时，就有可能触礁。
（1）当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角”时，船
位于 哪个区域？为什么？
后相互
交流

北师大版九年级数学下册电子教案及反思
（2）当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”时，船
位于 哪个区域？为什么？




议课
补充
内容
课后
小结
1．要理解好圆周角定理的推论。
2．构造直径所对的圆周角是圆中的常用方法。
3．要多观察图形，善于识别圆周角与圆心角，构造同弧所对
的圆周角也是常用方法之一。

如图。⊙O的直径AB=10 cm，C为⊙O 上的一点，∠
ABC=30° ，求AC的长。

当堂作业
1、2
板书
设计
教
后
反
思
圆周角和圆心角的关系（2）
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。
直径所对的圆周角是直角；90° 的圆周角所对的弦是直径。
本节课在教学是首先引导学生思考几个问题，进而
得到圆周 角的几个推论，学习时力争让学生先独立思
考，然后再让学生进行交流，鼓励学生用不同的语言来
叙述自己的说理过程和说理方式。尽力培养学生的自学
能力和合作交流能力。
九年级数学自学导读：
圆周角和圆心角的关系（2）
1、如图，点A在⊙O外，点B
1
、B
2
、B
3
在⊙O上，点C在⊙O内，度量∠

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A、∠B
1
、∠B
2
、∠B
3
、∠C的大小，你能发现什么？
∠B
1
、∠B
2
、∠B
3
是 角，有什么共同的特征？_______________，大
小有什么关系？




B
P
Q
O
C
BB
A
A

2、如图，BC为⊙O的直径，
（1）它所对的圆周角是锐角、钝角，还是直角？为什么？

B
O
C
（2）再换一条直径并画出它所对的圆周角看是否有同样的 结论，由此你发
现了什么？





3、如图，圆周角∠A=90°，弦BC经过圆心吗？为什么？




A
B
O
C


第4课时 3月1日 星期五
学习目标：

1、掌握圆周角定理及几个推论的内容并会熟练运
2、培养学生观察、分析及理解问题的能力。
圆周角与圆心角练习
一、填空 1.如图1,四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上,且AD∥BC,对角线AC与BC相

< br>北师大版九年级数学下册电子教案及反思
交于点E,那么图中有_________对全等三角 形;________对相似比不等于1的相
似三角形.
A
E
O
D
A
O
B
C
C
B
O

2.如图2,A、B、C为⊙O上三点，若∠OAB=46°,则∠ACB=_______度. 3.如图3，⊙O的直径AC=2，∠BAD=75°，∠ACD=45°，则四边形ABCD的周
长为_____(结果取准确值).
二、选择题:
4.如图4,已知圆心角∠BOC=100°,则圆周角∠BAC的度数是( )
A.50° B.100° C.130° D.200°
C
A
A
A
B
C
D
D
O
B
C

O
B
·
D
A

B

C

5.如图5,D是
AC
的中点,则图中与∠ABD相等的角的个数是( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
6、⊙O的弦AB等于半径，那么弦AB所对的圆周角一定是（ ）．
（A）30° （B）150° （C）30°或150° （D）)60°
7．如图6，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BCD＝100°，则∠BOD等于（ ）
（A）
100
（B）
160
（C）
80
（D）
120

三、解答题:
8.如图,⊙O的直径AB=8cm,∠CBD=30°,求弦DC的长.
C
D
30
A
O
B

8.如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD.
(1)P是
CAD
上一点(不与C、D重合)，求证：∠CPD=∠COB.
(2)点P′在劣弧CD上(不与C、D重合)时，∠CP′D与∠COB有什么数量

北师大版九年级数学下册电子教案及反思
关系？请证明你的结论.
A
P
O
C
B
D

9．如图，已知BC为半圆 的直径，O为圆心，D是
AC
的中点，四边形ABCD
对角线AC、BD交于点E．
（1）求证：△ABE∽△DBC；
5
5
（2）已知BC=，CD=，求sin∠AEB的值；
2
2

⌒
第5课时 3月4日 星期一
课题

教
学
目
标
情感态度
确定圆的条件
知识
与技能
过程
与方法
备课教师

授课教师

1．了解不在同一直线上的三个点确定一个圆，以及
过不在同一直线上的三个点作圆的方法；
2．了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念
1．经历不在同一直线上的三个点确定一个圆的探索
过程，培养学生的探索能力。
2．通过探索不在同一直线上的三个点确定一个圆的
问题，进一步体会解决数学问题的策略。
形成解决问题的基本策略，体验解决问题策略的多
与价值观
样性，发展实践能力与创新精神。
教学重点
1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探
索过程，并能掌握这个结论．
2．掌握过不在同一条直线上的三个点作圆的方法．
3．了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念．

北师大版九年级数学下册电子教案及反思
教学难点
教学过程
出示学
习目标
出
示
自
学
指
导
议课
补充
内容
经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆 的探索
过程，并能过不在同一条直线上的三个点作圆．
教师活动
1．了解不在同一直线上的三个点确定一个圆，
以及过不在同一直线上的三个点作圆的方法；
学生活动
明确本节
2．了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念
课的任务
（一）1、经过一个已知点A能确定一个圆吗?
2、经过两个已知点A、B能确定一个圆吗?
3、经过三个已知点A，B，C能确定一个圆吗？
（二）阅读P119内容
1、了解外接圆、外心概念
2、完成P119练习1，探究锐角三角形、直角
三角形、钝角三角形外心的位置有何不同

律

1、确定一个圆需要几个要素？
两个要素，一是位置，二是 大小，而圆心确定它的位置，半
径确定它的大小，只有圆心和半径都确定了，圆才能被确定
2、经过平面内一点可以作几条直线？过两点呢？三点呢？
经过操作探索可知：过平面内一点 可作无数条直线，经过两
点只能作一条直线，过三点要分两种情况，一是三点在同一直线
上，可 作一条直线，而三点不在同一直线上，不能作直线

1.下列命题不正确的是
A.过一点有无数个圆. B.过两点有无数个圆.
C.过三点能确定一个圆.
D.过同一直线上三点不能作圆.
2.三角形的外心具有的性质是
A.到三边的距离相等.
B.到三个顶点的距离相等.
C.外心在三角形的外. D.外心在三角形内.
3、判断：
1、经过三点一定可以作圆。（ ）
自
学
检
测
学生独
立完
成，然
后相互
交流

北师大版九年级数学下册电子教案及反思
2、三角形的外心就是这个三角形两边垂直平分线
的交点。（ ）
3、三角形的外心到三边的距离相等。（ ）
4、等腰三角形的外心一定在这个三角形内。（ ）
4.如图， △ABC为⊙O的内接三角形，∠A=70 ,
则∠BOC=
5.某市要建一个圆形公园， 要求公园刚好把动物
园A，植物园B和人工湖C包括在内，又要使这个圆
形的面积最小，请你给 出这个公园的施工图。（A、B、
C不在同一直线上）

议课补
充内容
课后小结
图（见课件）中工具的CD边所在直线恰好垂直平分AB边，
怎样用这个工 具找出一个圆的圆心


当堂作业 1、2
板
书
设
计
教
后
反
思
确定圆的条件
确定圆的条件：不在同一直线上的三点
圆心、半径
锐角三角形外心的位置在三角形的内部
直角三角形外心的位置在斜边上
钝角三角形外心的位置在三角形的外部

本 节课教材一开始是从经过一点、两点、三点画直
线过渡到经过一点、两点、三点能作几个圆？这并不是< br>一个可有可无的过程，它可以培养学生一种类比归纳的
思维方法，对学生探究本课的问题有一个很 好铺垫和引
导作用，利于学生更好地理解数学、应用数学，增强学
好数学的信心。

蹲组领导签字：
——————

九年级数学自学导读：
确定圆的条件

北师大版九年级数学下册电子教案及反思
1、线段垂直平分线的性质及作法（举例说明）．

2、作圆的关键是什么?

3、按要求作图：
(1)作圆，使它经过已知点A，你能作出几个这样的圆?



(2)作圆，使它经过已知点A、B.你是如何作的?你能作出几个这 样的圆?其圆心
的分布有什么特点?与线段AB有什么关系?为什么?




(3)作圆，使它经过已知点A、B、C(A、B、C三点不在同一条直线上)．你是如何< br>作的?你能作出几个这样的圆?



第6课时 3月5日 星期二

课题

教
学
目
标
过程
与方法
直线和圆的位置关
系（1）

备课教师

授课教师

知识
与技能
1．理解理解直线与圆有 三种位置关系，并能利用公
共点的个数、圆心到直线的距离与半径之间关系来判定
它。
2．直线与圆相切的判断方法和如何作出直线与圆相
切，并能利用公共点的个数、圆心到直线的距离与 半径
之间关系来判定它。
1．培养学生类比、归纳、观察及想象的能力以及使
学生从 运动的观点来观察直线和圆相交、相切、相离的
关系、培养学生的辩正唯物主义观点。

北师大版九年级数学下册电子教案及反思
2．渗透从特殊到一般、数学转化的思想及运动的观
点
情感态度
创设问题的情景，让学生主动地发展
与价值观
教学重点
教学难点
教学过程
出示学
习目标
理解直线与圆的三种位置关系的定义，并能准确的
判定
（1）理解“切线”定义中的：“唯一”;
（2）灵活准确应用相关性质解决问题
教师活动
1．理解理解直线与圆有三种位置关系，并能利
学生活动
明确本节
用公共点的个数、圆心到直线的距离与半径之间关
课的任务
系来判定它。
2．直线与圆相切的判断方法和如何作出直线与
圆相切，并能利用公共 点的个数、圆心到直线的距
离与半径之间关系来判定它。
出
示
自
学
指
导
（一）认真阅读P123-124议一议之前的内容，
1、了解直线与圆的三种位置关系；
2、完成课本P124的填空，得出数量关系；
3、体会直线和圆的位置关系与d和r的数量关
系之间的转化。
（二）认真阅读P126-127的例题，并思考完成：
1.了解直线与圆的位置关系和d与r的大小关系
之间的转化；
2.仿例题，完成P127的知识技能1题
（三）认真阅读P124-125的内容，并思考：
1.理解掌握圆的切线的性质定理及定理的三种
数学语言；
2.了解定理的证明方法。

北师大版九年级数学下册电子教案及反思
议课
补充
内容
直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交；这
时直线叫做圆的割线.
直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切；这
时直线叫做圆的切线. 唯一的公共点叫做切点.
直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离.
自
学
检
测

1．圆的直径是13cm，如果直线与圆心的距离分别
学生独
立完
成，然
后相互
交流

是（1）4.5cm ； （2） 6.5cm ； （3） 8cm，那
么直线与圆分别是什么位置关系？有几个公共点？
2.已知⊙O的半径为5cm, 圆心O与直线AB的距
离为d, 根据条件填写d的范围:
1)若AB和⊙O相离, 则
2)若AB和⊙O相切, 则
3)若AB和⊙O相交,则
3.直线和圆有2个交点,则直线和圆_____;
直线和圆有1个交点,则直线和圆____;直线和圆有没
有交点,则直线和圆_____;
4.如图,已知∠AOB=30°,M为OB上一点,且
OM=5cm，若以M为圆心,r为半 径作圆,那么:
1)当直线OA与⊙M相离时, r的取值范围是
2)当直线OA与⊙M相切时, r的取值范围是
3)当直线OA与⊙M有公共点时, r的取值范围是

议课
补充
内容
已知，如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点.直线
OP⊙O于点 D、E，交AB于C.
（1）写出图中所有的垂直关系；
（2）写出图中所有的全等三角形.
（3）如果PA=4cm , PD=2cm ,
求半径 OA 的长.
A




B
E
O
C
D
P

北师大版九年级数学下册电子教案及反思
课后小结
直线和圆的三种位置关系
圆的切线的性质

当堂作业 1、2
板书
设计
教
后
反
思
直线和圆的位置关系（1）

直线和圆的三种位置关系
圆的切线的性质

本课中选用了大家熟悉的日出这一自然现象作为
课程资源， 为学生提供了丰富的学习素材，为直线与圆
的位置关系教学提供了生活上的经验支持。让学生感受
到了数学源于生活，高于生活，用于生活，体会到了数
学的价值，是一次成功的选择。所以，要组织学 生发现、
寻找、搜集和利用学习资源，那就要让我们在教学中做
个“有心人”。


蹲组领导签字：
——————

九年级数学自学导读：
1、点与圆有哪几种位置关系？若圆的半径为r，点到圆心的距离为d，如何
用d和r 的数量关系判断点与圆的位置关系？

2、直线与圆位置有几种关系？举例说明。

3、圆心到直线的距离与半径之间的数量关系和直线与圆的位置有什么关
系？举例说明。

北师大版九年级数学下册电子教案及反思
第7课时 3月6日 星期三

课题

教
学
目
标
直线和圆的位置关
系（2）

备课教师

授课教师

知识
与技能
过程
与方法
情感态度
与价值观
1、能判定一条直线是否为圆的切线．
2、会过圆上一点画圆的切线．
3、会作三角形的内切圆．
1、通过判定一条直线是否为圆的切线，训练学生的
推理判断能力．
2、会过圆上一点画圆的切线，训练学生的作图能力．
1、经历观察、实验、猜想、证明等数 学活动过程，
发展合情推理能力和初步演绎推理能力，能有条理地、
清晰地阐述自己的观点．
2、经历探究圆与直线的位置关系的过程，掌握图形
的基础知识和基本技能，并能解决简单的问 题．
1、探索圆的切线的判定方法，并能运用．
2、作三角形内切圆的方法．
教学重点
教学难点
教学过程
出示学
习目标
出示
自学
指导
议课
补充
内容
探索圆的切线的判定方法．
教师活动
1、能判定一条直线是否为圆的切线．
2、会过圆上一点画圆的切线．
3、会作三角形的内切圆．
一、结合直线与圆的位置关系思考：如何判断一
条直线是圆的切线？
二、自学P128-129例2之前内容，并完成;
1.回答课本上的问题；
2.理解圆的切线的判定定理
切线的判定定理
学生活动
明确本节
课的任务

经过直径的一端（半径的外端）,并且垂直于这条直径（半径）
的直线是圆的切线.
学习时应注意弄清直线与圆的位置关系的性质与判定使用

北师大版九年级数学下册电子教 案及反思
的区别与联系.
自
学
检
测
1、如图, 已知：OA=OB＝５,AB＝８，以Ｏ为圆心，
学生独
以３为半径的圆与直线AB 相切吗？为什么？
2、如图:AB是⊙O的直径,∠ABT=450,AT=BA．求
证:AT是⊙O的切线.
A
成，然


后相互



交流


T
B

3、如图,已知直线AB经过⊙O 上的点C,并且
OA=OB,CA=CB,那么直线AB是⊙O的切线吗?为什
么？
立完
O
A
议课
补充
内容

如图，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O，交⊙O于点C，∠DAB=
∠B=30°.
(1)直线BD是否与⊙O相切？为什么？
(2)连接CD，若CD=5，求AB的长.
D
C
B
A
O
C
B

课后小结 谈收获
当堂作业 1、2
板书 直线和圆的位置关系（2）

北师大版九年级数学下册电子教案及反思
设计 切线的性质定理：
切线的判定定理：
教
后
反
思
在本节课的学习中营 造一个宽松、和谐、民主的良
好氛围。使师生，生生关系没有距离感、畏惧感，大家
都无拘无束 ，学生才会全身心地投入到学习活动中。同
时通过课件的演示，达到吸引学生的注意力、激发学生
学习兴趣，减轻心理压力的目的。


蹲组领导签字：
——————

九年级数学自学导读：
学习目标：
1、能判定一条直线是否为圆的切线．
2、会过圆上一点画圆的切线．
3、会作三角形的内切圆．

如下图，AB是⊙O的直径，直线l经过点A，l与AB的夹角为∠α，当l绕
点A旋转时，
(1)随着∠α的变化，点O到l的距离(d如何变化?直线l与⊙O的位置关系
如何变化?
(2)当∠α等于多少度时，点O到l的距离d等于半径r?此时，直线l与⊙O
有怎样的位置 关系?为什么?



2.由练习1总结圆的切线判断定理



3.已知⊙O上有一点A，过A作出⊙O的切线．

北师大版九年级数学下册电子教案及反思
4. 理解三角形的内切圆、内心的概念，并试着作出三角形的内切圆


第8课时 3月7日 星期四
直线和圆的位置关系练习
一、填空题：
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12cm,BC=5cm,以点C为圆心,6cm 的长为半径的
圆与直线AB的位置关系是________.
2.如图1,在△ABC中,A B=AC,∠BAC=120°,⊙A与BC相切于点D,与AB相交
于点E,则∠ADE等于____ 度.
A
A
E
B
D
C
A
E
OC
D
B
P
CO
B
P

(1) (2) (3)
3.如图2,PA、PB是⊙O的两条切 线,A、B为切点,直线OP交⊙A于点D、E,交
AB 于C.图中互相垂直的线段有_________(只要写出一对线段即可).
4.已知⊙O的半径为4cm,直线L与⊙O相交,则圆心O到直线L的距离d 的取值
范围是____.
A
5.图3,PA、PB是⊙O的切线,切点分别为A、B ,且∠
APB=50°,点C是优弧
AB
上的一点,则∠ACB的度数为
F< br>O
E
______.
6.如图,⊙O为△ABC的内切圆,D、E、F为切点 ,∠DOB=73°,
B
C
D
∠DOE=120°, 则∠DOF=_______度,∠C=______度,∠
A=_______度.
二、选择题：
7.若∠OAB=30°,OA=10cm,则以O为圆心,6cm为半径的圆与直线AB 的位置关
系是( )
A.相交 B.相切 C.相离 D.不能确定
8.给出下列命题:①任意三角形一定有一个外接圆,并且只有一个外接圆; ②任意< br>一个圆一定有一个内接三角形,并且只有一个内接三角形;③任意一个三角形一
定有一个内切圆, 并且只有一个内切圆;④任意一个圆一定有一个外切三角形,
并且只有一个外切三角形,其中真命题共有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
9.如L是⊙O的切线,要判定AB⊥L,还需要添加的条件是( )
经过圆心O 是直径
是直径,B是切点 是直线,B是切点

北师大版九年级数学下册电子教案及反思
10.设⊙O的直径为m,直线L与⊙O相离,点O到直线L的距离为d,则d与m的
关系是( )
A.d=m B.d>m C.d>
mm
D.d<
22
A
D
11.在平面直角坐标系中,以点(-1,2)为圆心, 1为半径的圆必与( )
B
C
A.x轴相交 B.y轴相交 C.x轴相切 D.y轴相切
O
12.如图,AB、AC为⊙O的切线,B、C是切点 ,延长OB到D,使BD=OB,
连接AD,如果∠DAC=78°,那么∠ADO等于( )
A.70° B.64° C.62° D.51°
三、解答题：
13.如图,AB是半圆O的直径,C为半圆上一点,过C作半圆的切线,连接AC, 作直
线AD,使
∠DAC=∠CAB,AD交半圆于E,交过C点的切线于点D.
(1)试判断AD与CD有何位置关系,并说明理由;
(2)若AB=10,AD=8,求AC的长.
D
E
C
A

14.如图,BC是半圆O的直径,P是BC延长线上一点,PA切⊙O于点A,∠B=30°.
(1)试问AB与AP是否相等?请说明理由.
(2)若PA=
3
,求半圆O的直径.
A
O
B
B
OC
P


15.如图,∠PAQ是直角,半径为5的⊙O与AP相切于点T,与AQ相交于两点B、
C.
(1)BT是否平分∠OBA?证明你的结论.
(2)若已知AT=4,试求AB的长.
Q
C
O
B
P
T
A

北师大版九年级数学下册电子教案及反思
16.如图,AB为半圆O的直径, 在AB的同侧作AC、BD切半圆O于A、B,CD切
半圆O 于E,请分别写出两个角相等、两条边相等、两个三角形全等、 两个三
角形相似等四个正确的结论.
D
E
C
A
O
B

第9课时 3月8日 星期五

课题

教
学
目
标
过程
与方法
情感态度
与价值观
教学重点
教学难点
教学过程
出示学
习目标
圆和圆的位置关系

备课教师

授课教师

知识
与技能
1、经历探索两个圆之间位置关系的过程。
2、了解圆和圆之间的几种位置关系。
3、了解两圆外切、内切与两圆圆心距d、半径R和
r的数量关系
培养学生的观察、想象、分析、动手操作、概括的
能力，“分类讨论”的数学思想
利 用多种教学手段来激发学生学习的兴趣，通过鼓
励和肯定学生，培养他们敢于想象，勇于探索的学习精< br>神。
识别圆和圆的位置关系及判定。
利用圆和圆的位置关系解决一些实际问题。
教师活动
1、经历探索两个圆之间位置关系的过程。
2、了解圆和圆之间的几种位置关系。
3、了解两圆外切、内切与两圆圆心距d、半径R
和r的数量关系
学生活动
明确本节
课的任务
出
一、看书P132-P133例题之前及P134想一想到
P135内容（跳过例题），思考：

北师大版九年级数学下册电子教案及反思
示
自
学
指
导
议课补
充内容
自
学
检
测
1.了解两圆之间的五种位置关系；
2.相切两圆有何性质？
3.理解五种位置关系与其对应的d、R、r之间
五种数量关系的转化
二、自学课本P133例题，思考：两圆相交时，
连心线与公共弦之间有何关系？
圆和圆的五种位置关系及公共点的个数
注意：两圆同心是两圆内含的一种特例。
1、圆与圆的位置关系有相离、相切和 ，其
中相离包括 两种情况；相切包括 两种
情况；两圆 是两圆内含的特殊情况。
2、如果两圆没有公共点，那么这两个圆的位置关
系是 ，如果只有一个公共点那么两圆的位置关
系是 ，如果两圆有两个公共点，则为 。
3、两个等圆的位置关系既不可能是 又
不可能是 。
4、设两圆的圆心距为d，半径分别为R和r，那么两
圆外离时， ；外切时， ；相交
时， ；内切时， ；内含
时， . 其中两圆为同心圆时，
学生独
立完
成，然
后相互
交流

议课
补充
内容
⊙01和⊙02的半径分别为3cm和4cm,设
(1) 0102=8cm (2) 0102 = 7cm
(3) 0102 =5cm (4) 0102 = 1cm
(5) 0102=0.5cm (6) 01和02重合
判断⊙0１和⊙02 位置关系。

课后小结 谈收获
当堂作业 活页

北师大版九年级数学下册电子教案及反思
板书
设计
教
后
反
思
圆和圆的位置关系
圆和圆的五种位置关系及公共点的个数
在归纳圆和圆的五种位置关系时，学生很容易 得到
结论，但从数量关系上判定两圆位置关系时则显得比较
抽象。教师应给予适当的指导，包括 知识的启发引导、
学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等，使
探究学习更具实效性。

蹲组领导签字：
——————

九年级数学自学导读：
学习目标：
1.了解圆和圆之间的几种位置关系。
2.了解两圆外切、内切与两圆圆心距d、半径R和r 的数量关系1.回忆点与圆位
置关系直线与圆位置关系？

1.回忆点与圆位置关系直线与圆位置关系？

2.总结圆与圆的位置关系：
（1）观察生活中有关圆和圆位置关系的事例。


（2）收集生活中有关圆和圆位置关系的图案。



（3）在两张半透明白纸上分别画好大小不等的两个圆。将两张纸叠在一起，
固定其中一张，平移另一张。观察两圆总共有哪几种位置关系。



（4）两圆的位置关系与两圆半径和圆心距的数量关系之间有什么联系？

北师大版九年级数学下册电子教案及反思
第10课时 3月9日 星期六

课题

教
学
目
标
过程
与方法
弧长及扇形的面积

备课教师

授课教师

知识
与技能
1．经历探索弧长计算公式和扇形面积计算公式的过
程；
2．了解弧长计算公式和扇形面积计算公式，并运用
公式解决问题。
1．经历探索弧长计算公式和扇形面积计算公式的过
程，培养学生的探索能力；
2．了解弧长和扇形面积公式后，能运用公式解决问
题，训练学生的数学运用能力。
情感态度
与价值观
1．经历探索弧长和扇形面积计算公式，让学生体验
教学 活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数
学结论的确定性。
2．通过用弧长和扇形面 积公式解决实际问题，让学
生体验数学与人类生活的密切联系，激发学生学习数学
的兴趣，提高 他们的学习积极性，同时提高大家的运用
能力。
教学重点
教学难点
教学过程
出示学
习目标
经历探索弧长和扇形面积计算公式的过程；了解弧
长和扇形面积计算公式；
会运用公式解决问题。
教师活动
1．经历探索弧长计算公式和扇形面积计算公式
的过程；
2．了解弧长计算公式和扇形面积计算公式，并
运用公式解决问题。
学生活动
明确本节
课的任务
出示
自学
一、1.看课本P139的内容，掌握弧长公式。
2.看例题1做P141的第2题。
二、1.看课本P140的内容，掌握扇形面积公式。

北师大版九年级数学下册电子教案及反思
指导
议课
补充
内容
自
学
检
测
2.看例题2做P141的第1题
在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式
为：l =
n

R

180
扇形面积的计算公式为：S=
n
πR
2

360
1、1
o
的弧长是 。半径为10厘米的圆中，60
o
的圆心角所对的弧长是
学生独
立完
2、已知一条弧的半径为9，弧长为 8，那么这条
弧所对的圆心角为 。
成，然
3、钟表的轴心到分针针 端的长为5cm,那么经过
40分钟,分针针端转过的弧长是( )
后相互
4、如图：在△AOC中，∠AOC=900， ∠C=250，
以O为圆心，AO为半径的圆交AC于B点，若OA=6，
交流

求弧AB的长。

1、一个扇形的弧长为20πcm，面积是240πc㎡，则该扇形
的圆心角为 。
2、已知扇形的圆心角为120o，半径为6，则扇形的弧长是 （ ）

议课补
充内容
课后小结 本节课你有哪些收获？

当堂作业 1、2
板书
设计
教
后
反
思
弧长及扇形的面积
弧长计算公式:
扇形的面积计算公式:
在探讨弧长、 扇形面积的关系时有的学生发现了扇
形面积公式与三角形的面积公式之间的相似性，我们在
此应 该大大表扬这样的同学，同时指出当新知与旧知出
现相似性时应要注意产生联想。


蹲组领导签字：
——————

九年级数学自学导读：
学习目标：探索弧长计算公式和扇形面积计算公式，并运用公式解决问题。

北师大版九年级数学下册电子教案及反思
圆的周长与面积公式
1.
写出圆的周长与面积公式


2.
想一想
如图,某传送带的一个转动轮的半径为10cm.
(1)转动轮转一周,传送带上的物品A被传送多少厘米?

(2)转动轮转1
o
,传送带上的物品A被传送多少厘米?

(3)转动轮转n
o
,传送带上的物品A被传送多少厘米?



o
3.
（1）已知⊙O的半径为R，1的圆心角所对的弧长是多少？


（2）n
o
的圆心角所对的弧长是多少？


4.开心练一练：
（1）1
o
的弧长是 。半径为10厘米的圆中，60
o
的圆心角所对的弧长是
（2）如图，同心圆 中，大圆半径OA、OB交小圆与C、D，且OC∶OA=1∶2，
则弧CD与弧AB长度之比为（ ）
（A）1∶1 （B）1∶2 （C）2∶1 （D）1∶4
O
C
A
D
B


第11课时 3月10日 星期日

课题

教
圆锥的侧面积
知识
与技能
题
备课教师

授课教师

1、经历探索圆锥侧面积计算公式的过程
2、了解圆锥侧面积计算公式，并会应用公式解决问

北师大版九年级数学下册电子教案及反思
学
目
标
过程
与方法
1．经历探索圆锥侧面积计算公式的过程，发展学生
的实践探索能力。
2．了解圆锥的侧面积计算公式后，能用公式进行计
算，训练学生的数学应
情感态度
与价值观
教学重点
教学难点
教学过程
出示学
习目标
通过运用公式解决实际问题，让学生懂得数学与人
类生活的 密切联系，激发他们学习数学的兴趣，克服困
难的决心，更好地服务于实际。
圆锥的侧面积公式的推导与应用
综合弧长与扇形面积的计算公式计算圆锥的侧面积
教师活动
1、经历探索圆锥侧面积计算公式的过程
学生活动
明确本节
2、了解圆锥侧面积计算公式，并会应用公式解
课的任务
决问题
出示
自学
指导
议课补
充内容
自
学
检
测
一、1、认识圆锥
2、圆锥的形成过程
3、圆锥的侧面积和全面积
二、思考：圆锥侧面展开的扇形的圆心角n和
母线长l、底面半径r有怎样的关系？
侧面展开图扇形的半径=母线的长
侧面展开图扇形的弧长=底面周长
1 .已知圆锥的底面直径为4，母线长为6，则它的侧
面积为_____
2. 圆锥的高为3cm，母线长为5cm，其表面积为
___
3.若扇形半径为30cm，圆心角 为120。用它卷成
一个圆锥侧面，则圆锥的底面半径为_____.
圣诞节将近,某家商店 正在制作圣诞节的圆锥形
纸帽.已知纸帽的底面周长为58cm,高为20cm, 要制作
20顶这样的纸帽至少要用多少cm2的纸?

学生独
立完
成，然
后相互
交流

议课
蒙 古包可以近似地看成由圆锥和圆柱组成的.如果想在某个

北师大版九年级数学下册电子教 案及反思
补充
内容
课后小结
牧区搭建15个底面积为33m2,高为 10m(其中圆锥形顶子的高度
为2m)的蒙古包.那么至少需要用多少m2的帆布?(结果精确到0.1m
2
).
本节课你有哪些收获？
当堂作业 1、2
板书设计
教
后
反
思
圆锥的侧面积
本节 课比较成功的地方是培养了学生的动手操作
能力，同时开发了学生学数学、用数学的思维。让他们
知道数学来源于生产和生活中，特别是几个例题的选材
较好。今后我觉得在这方面要多下一点功夫，备 课时要
作好充分准备，这样的课堂才是有声有色的，才会与生
活更贴近些，学生的学习也就会更 有兴趣。


蹲组领导签字：
——————

九年级数学自学导读：
学习目标：探索圆锥侧面积计算公式
1.
理解圆锥的母线、圆锥的高和底面圆半径

2.
探索圆锥的侧面积公式：自制一个圆锥模型，标出母线
提示： 圆锥的侧面展开图是一个扇形，设圆锥 的母线长为l底面圆的半径
为r，那么这个圆锥的侧面展开图中扇形的半径即为母线长l，扇形的弧长即 为
底面圆的周长，根据扇形的面积公式可求圆锥的侧面积，试着写一写？
3.开心练一练：
（1）已知圆锥的底面直径为4，母线长为6，则它的侧面积为____
（2）用一个半径为6cm的半圆围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面半径
为_____
第12课时 3月11日 星期一

北师大版九年级数学下册电子教案及反思

备课教师 课题
圆的回顾与思考（1）

教
学
目
标
知识

授课教师

圆的相关概念、性质和判定。
与技能
过程
与方法
情感态度
与价值观
通过试题的练习掌握各知识点之间的区别和联系，
进一步提高学生的解决和分析问题的能力。
通过运用公式解决实际问题，让学生懂得数学与人
类生活的密切联系，激发他们学习数学的兴趣 ，克服困
难的决心，更好地服务于实际．
圆的切线的性质和判定的综合应用。
解决问题的方法和技巧。
教学重点
教学难点
教学过程
出示
学习
目标
教师活动
1.理解圆是轴对称图形也是中心对称图形并能
运用于解题中；
2.理解垂径定理及圆心角、圆周角、弧、弦、
弦心距之间的关系，并能运用于解题中；
3.能判断圆与各图形的关系及直径所对的圆周
角是90o，并能运用于解题中；
学生活动
明确本节
课的任务
出
示
自
学
指
导
一.概念
圆的定义、弧、弦、直径
二.圆的性质：
1.圆是轴对称图形，也是中心对称图形；
2.对称轴是任一条过圆心的直线，对称中心是
圆心；
3.垂径定理及其逆定理；
4.圆周角与圆心角的关系；
5.圆心角、弦、弧弦心距之间的关系；
6.

点和圆的位置关系；
7.直线和圆的位置关系；
8.

圆和圆的位置关系；
独自根据
老师的提
示回答问
题

北师大版九年级数学下册电子教案及反思
9.

三角形和圆的位置关系；
议课补
充内容
自
学
检
测
建议强调把圆这章的所有的定理、定义、推论让学生摘录出
来，进行熟记，便于应运。
1、在⊙O中，直径AB＝10cm，弦AC=6cm，
则BC= cm, sin B= .
2、⊙O的半径为10 cm，弦ABCD，AB＝12 cm，
CD=16 cm．则AB和CD的距离为________
学生独
立完
成，然
3.如图, ⊙O的半径5cm,P是⊙O外一点,PO=8cm,
后相互
∠P=30º,则AB= cm,
4.如图,A,B,C三点在⊙O上,且AB是⊙O的直径,
交流

半径OD⊥AC,垂足为F,若∠A=30º,OF=3,则AC= .
5.如图为直径是52cm圆柱形油槽,装入油后,油深
CD为16cm,那么油面宽度AB= cm.
A
B
O
P
F
A
O
B
D< br>C

O
A
D
C
B

6.如图，⊿A BC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，
CD为中线，以C为圆心,以5为半径作圆，
则点A、B、D与圆C的关系如何？
B
D
C
A


议课
补充
内容
图中圆与圆之间不同的位置关系有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种

北师大版九年级数学下册电子教案及反思
课后小结

当堂作业 1、2

板书
设计
教
后
反
思
知识点：


本节课复习的是圆的相关性质和于圆有关的位置关
圆的回顾与思考
系，通过复习加强 学生对知识的理解和认识，并能够灵
活应用相关知识去解决与圆有关的习题，在学习中应该
边复 习知识，边给予一定的训练，做到边学边练。


蹲组领导签字：
——————

第13课时 3月12日 星期二

课题 回顾与思考（二） 备课教师

教
学
目
标
过程
与方法
情感态度
与价值观
教学重点
教学难点
教学过程
知识
与技能

授课教师

1.能判断圆与各图形的关系及直径所对的圆周角是
90o，并能运用于解题中；
2.能计算弧长、扇形的面积及圆锥的侧面积和全面
积。
通过试题的练习掌握各知识点之间的区别和联系，
进一步提高学生的解决和分析问题的能力。
通过运用公式解决实际问题，让学生懂得数学与人
类生活的密切联系，激发他们学习数学的兴趣 ，克服困
难的决心，更好地服务于实际．
圆的相关计算
解决问题的方法和技巧。
教师活动 学生活动

北师大版九年级数学下册电子教案及反思
出示学
习目标
1.能判断圆与各图形的关系及直径所对的圆周
角是90o，并能运用于解题中；
2.能计算弧长、扇形的面积及圆锥的侧面积和
全面积。
明确本节
课的任务

出示
自学
指导
自
学
检
测
1.

弧长、扇形面积和圆锥的侧面积的
2.回忆如何利用尺规三角形的外接圆和三角形
的内切圆？
1.（2009广州） 已知圆锥的底面半径为5cm，侧面
积65πcm2，设圆锥的母线与高的夹角为θ（如图）
所 示），则sinθ的值为

学生独
立完
成，然
后相互
交流


2.如图，AB为半圆O的直径，C、D是 上的
三等分点，若 ⊙O的半径为1，E为线段AB上任意
一点，计算图中阴影部分的面积。
3.知能迁移:如图 ，半圆的直径AB＝10，P为
AB上一点，点C、D为半圆的三等分点，则阴影部分
的面积等 于__________．(结果用π表示)



4.如图，BD是汽车挡风玻璃前的刮雨刷．如果
BO＝65 cm，DO＝15 cm，当BD绕点O旋转90°时，

北师大版九年级数学下册电子教案及反思
求刮雨刷BD扫过的面积．

议课
补充
内容
如图， Rt△ABC中，∠BAC是直角，AB=AC=2，以AB为直径
的圆交BC于D，图中阴影部分的面 积为 。

当堂作业
板书
设计
教
后
反
思
1、2
圆的复习
知识点：
本节课复习的是与圆有关的计算，主要是有关弧
长、扇形的面积、圆锥的侧面积和全面 积的计算，要求
学生提供复习能够灵活应用公式进行相关计算，以提高
学生的知识应用能力。< br>

蹲组领导签字：
——————

第14课时 3月13日 星期三
第三章 圆复习
一、精心选一选

北师大版九年级数学下册电子教案及反思
1.如图，C是⊙O上一点，O是圆心.若∠C＝35°，则∠AOB的度数为（ ）
A.35° B.70° C.105° D.150°
2.已知⊙O的半径为3cm，圆心O到直线a的距离为2cm，则直线a
与⊙O的位 置关系为（ ）
A.相离 B.外切 C.相交 D.内切
3.已知⊙A和⊙B相切，两圆的圆心距为8cm，⊙A的半径为3cm，
则⊙B的半径为（ ）
A.5cm B.11cm C.3cm D.5cm或11cm
4.如 图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝20，
CD＝16，那么线段OE的长为 （ ）
A.4 B.6 C.8 D.10
5.一个扇形的圆心角是120°，它的面积为3πcm
2
，那么这个扇形的半径是（ ）
B.3cm C.6cm D.9cm
6.如图，在
△ABC
中，AB＝2，AC＝1，以
AB
为直径的圆与
AC
相切，与边
BC
交
于点
D
，则
AD
的长为（ ）。
A.
2
5
B.
4
5
C.
2
3
D.
55
5
4
3

5
第6题
7.一个圆锥的高为3
3
，侧面展开图是半圆，则圆锥的侧面积是（ ）
A
.9


B
.18


C
.27


D
.39


8.如图，
O
内切于
△ABC
，切点分别为
D，E，F．已知
B50°
，
C60°
，
连结
OE，OF ，DE，DF
，那么
EDF
等于（ ）
Ａ．
40°
Ｂ．
55°

Ｃ．
65°
Ｄ．
70°

北师大版九年级数学下册电子教案及反思





B
E
A
F
O
D
第8题
C
第9题
第10题
9．如图，两个同心圆，大圆的弦AB与小圆相切于 点P，大圆的弦CD经过点P，
且CD=13，PC=4，则两圆组成的圆环的面积是（ ）
A．16π B．36π C．52π D．81π
10．如图，两个半径都是4cm的圆外切于点C，一只蚂蚁由点A开始依A、 B、C、
D、 E、F、C、G、A的顺序沿着圆周上的8段长度相等的路径绕行，蚂蚁在这
8段路径上不断爬行，直到 行走2006πcm后才停下来，则蚂蚁停的那一个点
为（ ）
A．D点 B．E点 C．F点 D．G点
二、细心填一填
1.6cm长的一条弦所对的圆周角为90°，则此圆的直径为 。
2.在⊙O中，AB是直径，弦CD与AB相交于点E，若 ，
则CE=DE（只需填一个适 合的条件）。
3.在圆内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C=5∶2∶1，则
∠D= 。
4.若三角形的外心在它的一条边上，那么这个三角形是 。
5.如图，圆 内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于E点，AB=120°，CD=70°则
∠AEB= 。
6. 已知圆锥的母线长为5厘米，底面半径为3厘米，则它的侧面积为 。
教后反思：本节是通过习题加强学生的知识应用能力，通过习题来检
测学生的知识掌握情况 ，并在学习中能做到查漏补缺。
第15课时 3月14日 星期四

1、已知，如图：AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点 D，AC
交⊙O于点E，∠BAC＝45
0
。给出以下五个结论：①∠EBC＝

北师大版九年级数学下册电子教案及反思
22.5，；②BD＝DC；③AE＝2E C；④劣弧
AE
是劣弧
DE
的2倍；⑤AE＝BC。
其中正确结论的 序号是 。
2、如图所示为一弯形管道，其中心线是一段圆弧
AB
．已知半径
A
108

60cm

O
OA60cm
，
∠AOB108
，则管道的长度（即
AB
的长）为
cm．（结果保留

）
3、如图，从P点引⊙O的两切线PA、PA、PB ，A、B为切点，已知⊙
O的半径为2，∠P＝60°，则图中阴影部分的面积为 。
4．已知：如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为D，CE切⊙O于点F，交AB
的延长线于点E．求证：EF·EC=EO·ED．



5、如图，AB 是⊙O的直径，AE平分∠BAF交⊙O于E，过E点作直线与AF垂直
交AF延长线于D点，且交AB 于C点．求证：CD与⊙O相切于点E．






B
O
C
D
A
E
B
0


6、已知：如图，在△
ABC
中，
AB
=
A C
，以
BC
为直径的半圆
O
与边
AB
相交于点D
，
切线
DE
⊥
AC
，垂足为点
E
．
求证：（1）△
ABC
是等边三角形；
（2）
AECE
．
1
3
教后反思：本节是通过习题加强 学生的知识应用能力，通过习题来检
测学生的知识掌握情况，并在学习中能做到查漏补缺。
九年级数学复习教案

北师大版九年级数学下册电子教案及反思
第16课时 3月15日 星期五
课题
复习
目标
实数及其运算
备课教师

授课教师

1．理解有理数及其运算的意义，并能用数轴上的点表示有理数，
会比较有理数的大小．
2．借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与
绝对值
重点
了解平方根、立方根、实数及其相关概念；会用根号表示并会求数
的平方根、立方根；
近似数与有效数字能进行有关实数的简单四则运
难点
掌握科学计数法、
算
1．整数与分数统称为有理数．有理数

知

识

要

点







2．规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．
3．如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数
的相反数，也称这两个数 互为相反数．0的相反数是0．
4．在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值．
正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对
值是0．
5．数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大；正数大于0，
负数小于0，正数大于负数；两个负数 比较大小，绝对值大的反而小．
6．乘积为 1的两个有理数互为倒数．
7．有理数分类应 注意：（1）则是整数但不是正整数；（2）整数分
为三类：正整数、零、负整数，易把整数误认为分为 二类：正整数、负
整数．
8．两个数a、b在互为相反数，则a+b=0．
9．绝对值是易错点：如绝对值是5的数应为士5，易丢掉－5．
10．乘方的意义：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的
结果叫做幂．
1 1．有理数加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值
相加；异号两数相加，绝对值相等时和 为0；绝对值不等时，取绝对值
较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同0

北师大版九年级数学下册电子教案及反思

















考

点

训
相加，仍得这个数．
12．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 13．有理数乘法法则：两个有理数相乘，同号得正，异号得负，再
把绝对值相乘；任何数与0相乘 ，积仍为0．
14．有理数除法法则：两个有理数相除，同号得正，异号得负，并
把绝对值相 除；0除以任何非0的数都得0；除以一个数等于乘以这个
数的倒数．
15．有理数的混合运 算法则：先算乘方，再算乘除，最后算加减；
如果有括号，先算括号里面的．
16．有理数的运算律：
加法交换律： 为任意有理数)
加法结合律：(a+ b)+c=a+(b+c)(a, b,c为任意有理数)
17．有理数加法运算技巧：
（1）几个带分数相加，把它们的整数部分与分数（或小数）部分
分别结合起来相加
（2）几个非整数的有理数相加，把相加得整数的数结合起来相加；
（3）几个有理数相加，把相加得零的数结合起来相加；
（4）几个有理数相加，把正数和负数分开相加；
（5）几个分数相加，把分母相同（或有倍数关系）的分数结合相
加．
18．学习乘方注意事项：
（1）注意乘方的含义；
（2）注意分清底数，如：－an的底数是 a，而不是-a
经典考题剖析：
1．－（－4）的相反数是_______，－（+8）是______的相反数．
2．把下面各数填入表示它所在的数集里．
－3，7，－25 ，0，2003，－1．41，0．608，－5 ％
正有理数集｛ …｝； 负有理数集｛ …｝；
整数集｛ …｝； 有理数集｛ …｝；
3．计算：|－22|= ； 1－|－2|= ；
（－3）3= ；（－2）×(－3) =____ 。

北师大版九年级数学下册电子教案及反思


练

4．数轴上点A到原点的距离是5，则A表示的数是_______
5．一个数的倒数的相反数是115 ,则这个数是______
6．今年我市二月份某一天的最低气温为－5oC， 最高气温为13
oC，那么这一天的最高气温比最低气温高______
7．比较－1516 与－2932 的大小．
8．若a的相反数是最大的负整数，b是绝对值最小的数，则a＋
b=______ _____．
9．计算12－|－18|+(－7)+(－15)
10.生物学指出，在生态系统中，每输人一个营养 级的能量，大约
只有10％的能量能够流动到下一个营养级，在H1→H2→ H3→H4→
H 5→H6这条生物链中，（Hn表示第n个营养级，n=l，2，…，6），要
使H6获得10千焦的能 量，需要H1提供的能量约为（ ）千焦
A．104 B．105 C 106 D 107
11．（阅读理解题）
（1）阅读下面材料：点 A、B在数轴上分别表示实数a，b，A、
B两点之间的距离表示为|AB|，当A上两点 中有一点 在原点时，不妨
设点A在原点，如图1－2－4所示，|AB|=|BO|=|b|=|a－b|；当A 、B两
点都不在原点时，①如图1－2－5所示，点A、B都在原点的右边，
|AB|=|BO |－|OA|=|b|－|a|=b－a=|a－b|； ②如图1－2－6所示，点A、B
都在原点的 左边，|AB|=|BO|－|OA|=|b|－|a|=－b－(－a)=|a－b|；③如图
1－2 －7所示，点A、B在原点的两边多边，|AB|=|BO|+|OA|=|b|+|a|=a+(－
b )=|a－b|，综上，数轴上 A、B两点之间的距离|AB|=|a－b|
（2）回答下列问题：
①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_____，数轴上表示－2
和－5的两点之间的距离 是____，数轴上表示1和－3的两点之间的距
离是______.
②数轴上表示x和－1的两点A和B之间的距离是________，如
果 |AB|=2，那么x为_________．
③当代数式|x+1|+|x－2|=2 取最小值时，相应的x 的取值范围是__
教 实数及其运算是陕西中考考查中的基本内容，涉及数轴 、

北师大版九年级数学下册电子教案及反思
后
反
思 < br>相反数、绝对值、及相关运算，难度较小，而科学计数法和
近似数、有效数字往往与实际问题相结 合，在应用题目中进
行考核。

第17课时 3月16日 星期六

课题

复习
目标
代数式 备课教师

授课教师

1．探索事物之间的数量关系，并用字母与代数 式进行表示的过
程，建立初步的符号感，发展抽象思维．
2．在具体情境中进一步理解用字母 表示数的意义，能分析简单
问题的数量关系，并用代数式表示．
3．理解代数式的含义，能解 释一些简单代数式的实际背景或几
何意义，体会数学与现实世界的联系．
4．理解合并同类项和去括号的法则，并会进行运算．
5．会求代数式的值，能解释值的实际意义，能根据代数式的值
推断代数式反映的规律．
6．进一步熟悉计算器的使用，会借助计算器探索数量关系，解
决某些问题．
1、代 数式的定义：用基本的运算符号（运算包括加、减、乘、
除以及乘方、开方）把数、表示数的字母连接而 成的式子．
2、代数式的写法应注意：（1）在代数式中出现的乘号，通常简
写作“•”或者 省略不写，数字与数字相乘一般仍用“ ×”号；（2）
在代数式中出现除法运算时，一般按照分数的写 法来写；（3）数字通
常写在字母的前面；（4）带分数要写成假分数的形式．
3、代数式的 值：一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代
数式指明的运算，计算出的结果，就叫做代数式的值．
4、列代数式的技巧：列代数式的关键是正确理解数量关系，弄
清运算顺序和括号的作用，要分 清运算顺序，一般遵循先高级后低级，
必要时加括号．除了和。差、积、商、大小、多、少外，还要掌握 下
述数量关系：
行程问题：路程=速度×时间；
工程问题：工作量=工作效率×工作时间；
浓度问题：溶质质量=(溶液质量溶液浓度)×100%



知

识

要

北师大版九年级数学下册电子教案及反思
点
数字问题：百位数字×100+十位数字×10+个位数字=三位数．
5、同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，
叫做同类项．
6、合并同类项：把同类项合并成一项就叫做合并同类项．
7、合并同类项法则：在合并同类项时，把同类项的系数相加，
字母和字母的指数不变． 8、去括号法则：括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号
去掉后，原括号里各项的符号都不 改变；括号前是“－”号，把括号
和它前面的“－”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变．
三、经典例题剖析：
1、有一大捆粗细均匀的钢筋，现要确定其长度，先称出这捆钢
筋的总质量为m千克，再从中截取5米长的钢筋，称出它的质量为n
千克，那么这捆钢筋的总长度为（ ）米
mmn5m5m
A、 B、 C、 D、( －5)
n55n
2、数轴上点A所表示的是实数a，则到原点的距离是（ ）
A、a B．－a C．±a D．－|a|
3、若ab
x< br>与a
y
b
2
是同类项，下列结论正确的是（ ）
A．X＝2，y=1 B．X=0，y=0 C．X＝2，y=0 D、X=1，y=1
4、x－（2x－y）的运算结果是（ ）
A．－x+y B．－x－y C．x－y D．3x－y
5、下列各式不是代数式的是（ ）
2
A．0 B．4x－3x+1 C．a＋b= b+a D、
y
2
考
点
训
练
6、两个数的和是25，其中一个数用字母x表示，那么x与另一
个数之积用代数式表示为（ ）
A．x（x＋25） B．x（x—25） C．25x D．x（25－x）
7、下列各组的两个代数式是同类项的是（ ）
1
2
A、－ x与0.1y
2
B、－a
2
与a
2
1
C、－3a
2
b与2ba
2
D、 a
2
b与2ab
2

2
axy
2
8、－2 xy的系数是_____，－的系数是____；－a
2
b的系数
3
3
是____，πR
2
的系数是____．

9、观察下列算式：2
1
=2，2
2
=4,2
3
=8,2
4
=1 6,2
5
=32,2
6
=64,2
7
=128,
2
8
=256，…那么227的未位数字是_______.
10、研究下 列各式，你发现什么规律？

北师大版九年级数学下册电子教案及反思
将你找到的规
律用含n的等式表示出来__________
11、观察下列数表：

根据数表所反映的规律，猜想第6行与第6列的交叉点上的数应
为____ ____，第n行与第n列交叉点上的数应为_________（用含有n
的代数式表示，n为正整数 ）
解：11；2n－1 点拨：由已知的四个特例即可得到第n行与第n
列交叉点上的数满足2n—1.
12、观察下列各等式：


（1）以上各等式都有一个共同的特征：某两个实数 的一等于这
两个实数的___________；如果等号左边的第一个实数用x表示，第
二个 实数用y表示，那么这些等式的共同特征可用含x，y的等式表
示为________________ _____.
（2）将以上等式变形，用含y的代数式表示x为_______________；
（3）请你再找出一组满足以上特征的两个实数，并写出等式形式：
____________ ___
教
后
反
思
代数式是中考的一种常见类型题 ，主要是有找规律的
题型出现的特别多。通过复习使学生能够对问题进行分析
找出合适的方法得 出结论。


蹲组领导签字：
——————

第18课时 3月17日 星期日

课题

复习
整式 备课教师

授课教师

1、经历用字母表示数量关系的过程，在现实情境中进一步 理解
字母表示数的意义，发展符号感．
2、经历探索整式运算法则的过程，理解整式运算的算 理，进一

北师大版九年级数学下册电子教案及反思
目标
步发展观察、归纳、类比、概括等能力，发展有条理的思考及语言表
达能力．
3、了 解整数指数幂的意义和正整数指数幂的运算性质；了解整
式产生的背景和整式的概念，会进行简单的整式 加、减、乘、除运算
（其中多项式相乘仅限于一次式相乘，整式的除法只要求到多项式除
以单项 式且结果是整式）．
4、会推导乘法公式：（a+b）（a－b）=a2+b2，（a±b）2=a2 ±2ab+b2，
了解公式的几何背景，并能进行简单的计算．
5、在解决问题的过程中了解数学的价值，发展“用数学”的信
心．
1、幂的意义：几个相同数的乘法
2、幂的运算性质：（1）am•an= am+n
（2）（am）n= amn；（3）（ab）n= anbn；
（4）am÷an= am－n（a≠0，a，n均为正整数）
3、特别规定：（1）a0＝1（a≠0）；
（2）a-p=
4、幂的大小比较的常用方法：
⑴求差比较法：如比较 的大小，可通过求差 <0可知.
⑵求商比较法：如 =
⑶乘方比较法：如a3=2，b3=3，比较a、b大小可算 a15=（a3）
5= 25=32，b15=（b5）3＝33=2 7，可得a15＞b15，即a＞b．
⑷底数比较法：就是把所比较的幂的指数化为相同的数，然后通
过比较底数的大小得出结果．
⑸指数比较法：就是把所比较的幂的底数化为相同的数，然后通
过比较指数的大小，得出结果．
5、单项式：都是数与字母的乘积的代数式叫做单项式．单独的
一个数或一个字母也是单项式．
6、多项式：几个单项式的和叫做多项式．
7、整式：单项式和多项式统称整式．．
8、单项式的欢数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个
单项式的次数．
9、多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做
这个多项式的次数．
10、添括号法则：添括号后，括号前是“+”号，插到括号里的



知

识

要

点

北师大版九年级数学下册电子教案及反思
各项的符号都不变；括号前是“－”号，括到括号里的各项的符号都
改变．
11、单 项式乘以单项式的法则：单项式与单项式相乘，把它们的
系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它 的指数不变，作为积
的因式．
12、单项式乘以多项式的法则：单项式与多项式相乘，就是根 据
分配律，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
13、多项式乘以多项式的法 则：多项式与多项式相乘，先用一个
多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． < br>14、单项式除以单项式的法则：单项式相除，把系数、同底数幂
分别相除后，作为商的因式；对 于只在被除武里含有的字母，则连同
它的指数一起作为商的一个因式．
15、多项式除以单项 式的法则：多项式除以单项式，先把这个多
项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．
16、整式乘法的常见错误：
（1）漏乘如（在最后的结果中漏乘字母c．
（2） 结果书写不规范 在书写代数式时，项的系数不能用带分数
表示，若有带分数一律要化成假分数或小数形式．
（3） 忽略混合运算中的运算顺序 整式的混合运算与有理数的混
合运算相同，“有乘方，先 算乘方，再算乘除，最后算加减：如果有
括号，先算括号里面的．”
（4） 运算结果不是最简形式 运算结果中有同类项时，要合并同
类项，化成最简形式．
（5） 忽略符号而致错 在运算过程中和计算结果中最容易忽略
“一”号而致错．
17、乘法公式： 平方差公式（a+b）（a－b）=a2+b2，，，完全平方
公式：（a±b）2=a2±2ab+b 2
18、平方差公式的语言叙述：两个数的和与这两个数的差的积等
于这两个数的平方差．’
19、平方差公式的结构特征：等号左边一般是两个二项式相乘，
并且这两个二项式中有一项是 完全相同，另一项互为相反项问系数互
为相反数，其他因数相同人与这项在因式中的位置无关．等号右边 是
乘积中两项的平方差，即相同项的平方减去相反项的平方．
20、运用平方差公式应注意的 问题：（1）公式中的a和b可以表
示单项式，也可以是多项式；（2）有些多项式相乘，表面上不能用 公

北师大版九年级数学下册电子教案及反思
式，但通过适当变形后可以用公式．如（a＋b－c）（b －a+c）=[（b+a）
－c]]［b－（a－c）］=b2 －（a－c）
21、完全平 方式的语言叙述：两数和(差)的平方等于它们的平方
和加上它们乘积的2倍．字母表示为：(a±b) 2=a2±2ab+b2；
22、运用完全平方公式应注意的问题：（1）公式中的字母具有一般性，它可以表示单项式、多项式，只要符合公式的结构特征，就可
以用公式计算；（2）在利用此 公式进行计算时，不要丢掉中间项“2ab”
或漏了乘积项中的系数积的“ 2”倍；（3）计算时，应 先观察所给题
目的特点是否符合公式的条件，如符合，则可以直接用公式进行计算；
如不符合， 应先变形为公式的结构特点，再利用公式进行计算，如变
形后仍不具备公式的结构特点，则应运用乘法法 则进行计算．
1、计算（－3a3）2：a2的结果是（ ）
A．－9a2 B 6a2 C 9a2 D 9a4
2、已知a=8131，b=2741,c=961,则a、b、c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．a＜b＜c D．b＞c＞a
3、计算（2+1）（22 +1）（23+1）…（22n +1）的值是（ ）
A、42n －1 B、 C、2n －1 D、22n －1
4、三个连续奇数，若中间一个为n，则这三个连续奇数之积为（ ）
A．4n2－n B. n2－4n C．8n2－8a D．8n2－2n
5、计算：x2x3=_______； 0.299×5101=________；
－m3•(－m4)•(－m)=_________ ；
（a－2 b）(a+2 b)=________．
6、已知代数式2x2＋3x+7的值是8，则代数式4x2 + 6x+
200=___________
7、已知x2+y2=25，x+y=7，且x＞y，x－y的值等于________．
8、若x2－2x+y2+6y+10=0．则x=_________，y= 。
9、一种电子计算机每秒可作8 ×108次运算，它工作 6×102
秒可作多少次运算？（结果用科学记数法表示）
10、已知3m •9m•27m•81m=330,求m的值．
11、证明代数式16＋a －｛8a－［a－9－（3－6a）］｝的值与a
的取值无关．
12、试求不等式（3x+4）（3x－4）≥9（x－2）（x+3）的负整数解．
13、已知x2+y2=25，x+y=7，且x＞y，x－y的值等于________．
考
点
训
练
教
后
反
思 整式的有关内容主要考查的是单项式的次数、系数，多
形式的项、次数、同类项等概念，多与填空、 选择题的形
式出现。

北师大版九年级数学下册电子教案及反思
第19课时 3月18日 星期一

课题

复习
目标
分解因式 备课教师

授课教师

1．经历探索分解因式方法的过程，体会数学知识之间的整体联
系（整式乘法与分解因式）．
2．了解分解因式的意义，会用提公因式法、平方差公式和完全
平方公式（直接用公式不超过两 次）分解因式（指数是正整数）．
3、通过乘法公式 ， 的逆向变形，进一步发展学生观察、归纳、
类比、概括等能力，发展有条理的思考及语言表达能力．
1．分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变
形叫做把这个多项式分解因式．

知

识

要

点
考
点
2．分解困式的方法：
⑴提公团式法：如果一个多项式的各项含有公因式 ，那么就
可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，
这种分解因式的方 法叫做提公因式法．
⑵运用公式法：公式 ；
3．分解因式的步骤：分解因式时 ，首先考虑是否有公因式，如
果有公因式，一定先提取公团式，然后再考虑是否能用公式法分解．
4．分解因式时常见的思维误区：
提公因式时，其公因式应找字母指数最低的，而不是以首项 为
准．若有一项被全部提出，括号内的项“ 1”易漏掉．分解不彻底，
如保留中括号形式，还能继续分解等
1．下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（）
.(ab1)a
2
aba B.a
2
-a-2=a(a-1)-2

Aa
C.4a< br>2
9b
2
(2a3b)(2a3b) D.a
2
4a5(a2)
2
9

训
练

2．把
a
2
-c
2
+b
2
-2ab
分解因式的结果是（ ）
A.(a+c)(a-c)+b(b-2a) B.(a-b)
2
-c
2
C.(a+b+c)(a+b-c) D.(a-b+c)(a-b-c)
3．把2m
6
+6m
2
分解因式 正确的是（ ）


A.2m
2
(m
4
+3) B.2m
2
(m
4
-3)
C.2m
2
(m
3
-3) D.2m
2
(m
3
+3)

4. 下列各组多项式中没有公因式的是（ ）
A．3x－2与 6x
2
－4x B.3（a－b）
2
与11（b－a）
3

北师大版九年级数学下册电子教案及反思
C．mx—my与 ny—nx D．ab—ac与 ab—bc
5. 分解因式：x
2
－9=___________，
a
3
-2a2
b+ab
2
=___________
6. 在实数范围内分解因式：ab
2
－2a＝____________
7.分解因式 的结果是（a
2
+2）（a
2
－2）的多项式是___________.
8.分解因式： （1）25（a＋b）
2
－9（a－b）
2

（2）
(m
2
+n
2
)
2
- 4m
2
n
2

教
后
反
思
分解因式是进行分式化简和计算的重要手段，方法主
要有提公因式法、运用公式法、十字相乘法，往往在 计算
中几种因式分解方法需要混合使用才能进行化简和计算，
于是通过复习要让学生对所有方法 能综合应用。


第20课时 3月19日 星期二

课题

复习
目标
分式 备课教师

授课教师

1．经历用字母表示现实情境中数量关系(分式 、分式方程）的过
程，了解分式、分式方程的概念，体会分式、分式方程的模型思想，
进一步发 展符号感．
2．经历通过观察、归纳、类比、猜想、获得分式的基本性质、
分式乘除运算法则 、分式加减运算法则的过程，发展学生的合情推理
能力与代数恒等变形能力．
3．熟练掌握分 式的基本性质，会进行分式的约分、通分和加减
乘除四则运算，会解可化为一元一次方程的分式方程（方 程中分式不
超过两个）会检验分式方程的根．
4．能解决一些与分式、分式方程有关的实际问 题，具有一定的
分析问题、解决问题的能力和应用意识．
5．通过学习，能获得学习代数知识的常用方法，能感受学习代
数的价值．
1．分式：整式A除以整式B，可以表示成AB 的形式，如果除
式B中含有字母，那么称AB 为分式．
注：（1）若B≠0，则AB 有意义；
（2）若B=0，则AB 无意义；
（3）若A=0且B≠0，则AB =0

北师大版九年级数学下册电子教案及反思
知

识

要

点
2．分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除 以）同一
个不等于零的整式，分式的值不变．
3．约分：把一个分式的分子和分母的公团式约去，这种变形称
为分式的约分．
4． 通分：根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母
的分式，这一过程称为分式的通分．
5．分式的加减法法则：（1）同分母的分式相加减，分母不变，
把分子相加减；（2）异分母的分式 相加减，先通分，化为同分母的分
式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算．
6．分式的 乘除法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积
的分子，把分母相乘的积作为积的分母；两个分式相 除，把除式的分
子和分母颠倒位置后再与被除式相乘．
7．通分注意事项：（1）通分的关键 是确定最简公分母，最简公
分母应为各分母系救的最小公倍数与所有相同因式的最高次幂的积；
（2）易把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去分母，把分式中
的分母丢掉．
8．分式的混合运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，
有括号先算括号里面的．
9．对于化简求值的题型要注意解题格式，要先化简，再代人字
母的值求值．
考
点
训
练
3
1、当x____时，分式 有意义． 1-x
3xxx
2
1
2、先化简，再求值：
(
，其中
x22
.
)
x1x1x
2
3、先将
x 2x
(1
1
)
化简，然后请你自选一个合理的
x
值， 求原
x1x
式的值。
4、把分式方程
11x
的两边同时乘以(x-2), 约去分母，得（）
1
x22x
A．1-(1-x)=1 B．1+(1-x)=1
C．1-(1-x)=x-2 D．1+(1-x)=x-2
5、当 k等于（ ）时，
kk1
2与
是互为相反数。
k5k
6532
A． B. C. D.
5623
6、正在修建 的西塔（西宁～塔尔寺）高速公路上，有一段工程，

北师大版九年级数学下册电子教案及 反思
若甲、乙两个工程队单独完成，甲工程队比乙工程队少用10天；若
甲、乙两队合作，1 2天可以完成．若没甲单独完成这项工程需要x
天．则根据题意，可列方程为____________ ___
7、解方程：
8、方程
2

x
x
1的解是________
x3
11
1

x1x1
9、某市今年1月10起调整居民用水价格，每立方米水费上涨
25％，小明家去年12月份的 水费是18元，而今年5月份的水费是36
元，已知小明家今年5月份的用水量比去年12月份多6 m
3
，求该市
今年居民用水的价格．
10、就要毕业了，几位要好的同学准 备中考后结伴到某地游玩，
预计共需费用1200元，后来又有2名同学参加进来，但总费用不变，于是每人可少分摊30元，试求原计划结伴游玩的人数．
教
后
反
思
分式考查的重点是分式的基本概念、基本性质、分式
有意义、值为零的条 件和分式的化简运算，难度较小，但
解题过程中易出错，容易失分，在学习中要加倍的注意。


第21课时 3月20日 星期三

课题

复习
目标
数的开方与二次根
备课教师
式


授课教师

1．在经历数系扩张、探求实数性质及其运算规律的过程；从事
借助计算器探索数学规律的活动 中，发展同学们的抽象概括能力，并
在活动中进一步发展独立思考、合作交流的意识和能力．
2．结合具体情境，理解估算的意义，掌握估算的方法，发展数
感和估算能力．
3． 了解平方根、立方根、实数及其相关概念；会用根号表示并
会求数的平方根、立方根；能进行有关实数的 简单四则运算．
4．能运用实数的运算解决简单的实际问题，提高应用意识，发
展解决问题的 能力，从中体会数学的应用价值．

1．平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a,即x 2=a那么这
个数a就叫做x的平方根（也叫做二次方根式），一个正数有两个平

北师大版九年级数学下册电子教案及反思


知

识

要

点
方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有
平方根．
2．开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
3．算术平方根：一般地，如果一个 正数x的平方等于a,即x2=a，
那么这个正数x就叫做a的算术平方根，0的算术平方根是0． < br>4．立方根：一般地，如果一个数x的立方等于a,即x3=A，那么
这个数x就叫做a的立方根 （也叫做三次方根）,正数的立方根是正数；
0的立方根是0；负数的立方根是负数．
7．开立方：求一个数a的立方根的运算叫做开立方．
8．平方根易错点：（1）平方根与算术平方根不分，如 64的平
方根为士8，易丢掉－8，而求为64的算术平方根； （2） 的平方根
是士 ，误认为 平方根为士 2，应知道 =2．
9．无理数：无限不循环小数叫做无理数．
10．实数：有理数和无理数统称为实数．
11．实数的分类：实数 。
12．实数和数轴上的点是一一对应的．
13．二次根式的化简
14．最简二次根 式应满足的条件：（1）被开方数的因式是整式或
整数；（2）被开方数中不含有能开得尽的因数或因式 ．
15．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果
被开方数相同，这几个二 次根式就叫做同类二次根式．
16．无理数的错误认识：⑴无限小数就是无理数，这种说法错误，因为无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数两类．如1．414141
•(41 无限循环）是无限循环小数，而不是无理数；（2）带根号的数是
无理数，这种说法错误，如 ，虽带根号，但开方运算的结果却是有
理数，所以 是无理数；（3）两个无理数的和、差、积、商也还是无
理数，这种说法错误，如 都是无理数，但它们的积却是有理数，再
如 都是无理数，但 却是有理数， 是无理数；但 却是有理 数；（4）
无理数是无限不循环小数，所以无法在数轴上表示出来，这种说法错
误，每一个无理 数在数轴上都有一个唯一位置，如 ，我们可以用几
何作图的方法在数轴上把它找出来，其他的无理数也 是如此；（5）无

北师大版九年级数学下册电子教案及反思
理数比有理数少， 这种说法错误，虽然无理数在人们生产和生活中用
的少一些，但并不能说无理数就少一些，实际上，无理 数也有无穷多
个．
17．二次根式的乘法、除法公式
18、二次根式运算注意事 项：（1）二次根式相加减，先把各根式
化为最简二次根式，再合并同类二次根式，防止：①该化简的没 化简；
②不该合并的合并；③化简不正确；④合并出错．（2）二次根式的乘
法除法常用乘法公 式或除法公式来简化计算，运算结果一定写成最简
二次根式或整式．
1、一个数的算术平方根是a，比这个数大3的数为（ ）
A、a+3 B.
a
－3 C.
a
+3 D.a
2
+3
2、
16
的平方根是______
3、已知(x-2)
2
+|y-4|+
z6
=0，求xyz的值．
4、27 的平方根是_________
2
5、在实数中－ ，0，
3
，－3.14，
4
中无理数有（ ）
3
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6、如果
(x-2)
2
=2-x
那么x取值范围是（ ）
A、x ≤2 B. x ＜2 C. x ≥2 D. x＞2
7、下列各式属于最简二次根式的是（ ）
A．
x
2
+1 B.x
2
y
5
C.12 D.0.5

考
点
训
练
3
2
8、当a为实数时，
a=-a
则实数a在数轴上的对应点在（ ）
A．原点的右侧 B．原点的左侧
C．原点或原点的右侧 D．原点或原点的左侧
9、下列命题中正确的是（ ）
A．有限小数是有理数 B．无限小数是无理数
C．数轴上的点与有理数一一对应 D．数轴上的点与实数一一对 10、阅读下面的文字后，回答问题：小明和小芳解答题目：“先
化简下式，再求值：a+
1-2a+a
2
其中a=9时”，得出了不同的答案 ，
小明的解答：原式= a+
1-2a+a
2
= a+(1－a)=1，小芳的解答：原式= a+(a
－1)=2a－1=2×9－1=17
⑴___________是错误的；
⑵错误的解答错在未能正确运用二次根式的性质：

北师大版九年级数学下册电子教案及反思
教
后
反
思
数的开方及二次根式相关内容主要考查平方根、算术平
方根、立方根的相关概念和 二次根式有意义、最简二次根
式、同类二次根式的识别等，主要是二次根式的加减、乘
除以及混 合运算等，通过复习要加强学生这方面的能力。

第22课时 3月21日 星期四

课题
复习
目标



知

识

要

点
一元一次方程 备课教师

授课教师

1.知道方程、方程的解、解方程和一元一次方程的概念；
2.熟练地解一元一次方程，能用一元一次方程解实际问题。
1、方程
含有未知数的等式叫做方程。
2、方程的解
能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
3．一元一次方程含义
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元
一次方程。
4．等式的基本性质：若
xy
，则
（1）
xcyc
（c为一代数式）
（2）
xcyc
（c为一代数式）
（3）
cxcy
（c为一数）、
（4）
xy

（c为一数，且
c0
）
cc
5．解一元一次方程的一般步骤
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1

北师大版九年级数学下册电子教案及反思
6.运用方程解决实际问题的一般过程

问题
实际

不合理
抽象
数学问题
分析
已知量、未知量、
等量关系
[来源:Z&xx&

解释
合理
解的合理性
验证
方程的解
列出
求出
方程
7．方法指导
（1）可以借助表格分析复杂问题中的数量关系；
（2）可借助“线段图”分析复杂问题中的数量关系 。

考
点
训
练
1．方程：（1）
3x
2
1325
； （2）
x0
；（3）2
5x4y2
；
（4）
3
120
中一元一次方程的个数是（ ）
x
A．1 B．2 C．3 D．4
2．下列变形不正确的是（ ）
x
0，得x0
B．
由3x12，得x4

2
333
C．
由2x3，得x
D．
由x2，得x

242
1
3．下列方程中的解是的方程是（ ）
3
A．
由
A．
6x11
B．
7x1x1

C．
2x
2
D．
5xx2

3
4．方程
xx
的解是_________________.
5．方程
x22x
的解是_________________.
6．解方程：
2x15x1
x2x1
:
1
; (2)
1
32
36
x34x1
11225
(3)
1
; (4)y +=y－;
9797< br>25
(1)
(5)
x2x3
2x5
5x19x1< br>1x
－－+3=0; (6)=－.
33
51068

北师大版九年级数学下册电子教案及反思
7 ．连续两个自然数之间的关系是：__________________.[.来源:学§
科§网Z连 续两个偶数之间的关系是：_______________________.
8．三个连续奇数的和为75，求这三个数____________________.
9 ．一个两位数，十位数字为a，个位数字为b，把这个两位数的十位
数字与个位数字对调得到一个新的两 位数，把它减去原数，差为72，可列
方程__________________________.
10．日历中一横列的相邻三个数之间的关系是____________________.
一竖列的相邻三个数之间的关系是__________________________.
11．观察某个日历，一竖列上的三个连续数字之和是45，则这三天分
别是__________号 ；如果一横列上的三个连续数字的和是２１，则这三天分
别是___________号.
1 2．长方形的长和宽的比为5：3，长比宽长12cm，则这个长方形的长
和宽分别为________ _.
13．小圆柱的直径是8cm，高6cm，大圆柱的直径是10cm，并且它的体
积是小 圆柱体积的2.5倍，则大圆柱的高为_____________.
14．每件原价为c元的上衣，按九折出售，现价应为_____________.
15． 一种商品的进价为25元，若要获得8%的利润率，这种商品应以
_________元出售.[来源: 学科网ZXXK]
16．若某物品的标价为132元，若以9折出售，仍可获利10%，则它的
进价是___________.
17．小名和小红共植树75棵，且小名比小红多种15棵，则小 名植树
_____棵，小红植树_____棵.
18．甲队有32人，乙队有28人，如果要 使甲队人数是乙队人数的2
倍，那么需要从乙队抽调_______人到甲队.
19．A、B 两地相距480千米，一列慢车从A地开出，每小时走60千米，
一列快车从B地开出，每小时走65千 米；[来源:学&科&网Z&X&X&K]
（1）两车同时开出，相向而行，x小时相遇，可列方程______________.
(2) 两车同时开出，相背而行，x小时后两车相距620千米，可列方
程___.[来

北师大版九年级数学下册电子教案及反思
(3) 慢车先开1小时，同向而行，快车开除x小时后追上慢车，可列
方程_____.
20．某人 把3000元存入银行，年利率为1.25%，1年后到期支付是扣
除20%的个人利息税，实际得到利 息______________元.

教
后
反
思
一元一次方程是方程的基础知识，也是中考必考内容
之一，中考考查重点是一元一次方程的解法和应用， 试题
中多以现实生活为背景进行考核，或与函数图像知识相结
合进行综合考查，综合性比较强， 要加强这方面的训练。

第23课时 3月22日 星期五

课题
复习
目标



知

识

要

点
分式方程 备课教师

授课教师

1.了解分式方程的概念及增根的产生原因；
2.熟练地解分式方程，并能用分式方程解决实际问题
重点强调：
1．分式方程．分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
2．分式方程的解法：解分式方程的 关键是大分母（方程两边都
乘以最简公分母人将分式方程转化为整式方程．
3．分式方程的增根问题：
⑴ 增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把< br>分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，
如果转化后的整式方程的根恰 好使原方程中分母的值为0，那么就会
出现不适合原方程的根l增根；
⑵ 验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须
验根．
4．分式方程的应用：
列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍
复杂一些．解题时应抓住“找等 量关系、恰当设未知数、确定主要等
量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正

北师大版九年级数学下册电子教案及反思
确列出方程，并进行求解．另外，还 要注意从多角度思考、分析、解
决问题，注意检验、解释结果的合理性．
5．通过解分式方程 初步体验“转化”的数学思想方法，并能观
察分析所给的各个特殊分式或分式方程，灵活应用不同的解法 ，特别
是技巧性的解法解决问题．
x+1x1

的
x-2x2
考
点
训
练
1.满足分式方程x值是（ ）
A．2 B．－2 C．1 D．0
1
2mx1
2
的根为 2．当=____ _时，方程
2
mx
3．如果
AB5x4

2
，则
x5x2x3x10
A=____ B＝________.
k的值为_______
a=________.
4．分式方程
5．若方程
xkx
0
有增根x=1，则
x1x1x1
ax1
3
有增根，则增根为_____，
x2x2
6．解方程：
x52x11
1；⑵ 

⑴

2x552xx32x3
7．甲、乙两同学学习电脑打字，甲打 一篇3000字的文章与乙打
一篇2400字的文章所用的时间相同，已知甲每分钟比乙多打12个字，
问甲、乙两人每分钟各打多少个字？
8．小朋家准备装修一套新住房．若甲、乙两个装饰公 司合作，
则需6周完成，需工钱5．2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的
由乙公司来做，还 需9 周才能完成，需工钱4．8万元．若只选一个
公司单独完成，从节约开支角度考虑，小明家是选甲 公司，还是选乙
公司？请你说明理由．
9、华联超市用50000元从外地采购一批“T恤衫 ”，由于销路好，
商场又紧急调拨18．6万元采购比上次多2倍的“ T恤衫”，但第二
次比 第一次进价每件贵12元，商场在出售时统一按每件80元的标价
出售，为了缩短库存时间，最后的40 0件按6．5折处理并很快售完，
求商场在这笔生意上盈利多少元？
10.已知方程
ax26
1的解与方程=3
的解
a1x1x
相同，则a等于（ ）
A．3 B．－3 C、2 D．－2
11. 当 k等于（ ）时，
kk1
2与
是互为相反
k5k
6532
A．
5
B.
6
C.
2
D.
3

北师大版九年级数学下册电子教案及反思
教
后
反
思
在近几年中考中主要考查方程思想、转化思想，内容< br>涉及分式的有关概念，可化为整式方程的分式方程的解法，
理解产生增根的原因，会检验根等，题 型以低档的解答题、
应用题为主，在复习中要加强此类习题的训练。

第24课时 3月23日 星期六

课题

复习
目标
一元二次方程 备课教师

授课教师

1．经历由具体问题抽 象出一元二次方程的过程，进一步体会方
程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型．
2．能够利用一元二次方程解决有关实际问题，能根据具体问题
的实际意义检验结果的合理性，进一步培 养学生分析问题、解决问题
的意识和能力．
3．了解一元二次方程及其相关概念，会用配方法 、公式法、分
解因式法解简单的一元二次方程（数字系数人并在解一元二次方程的
过程中体会转 化等数学思想．
4．经历在具体情境中估计一元二次方程解的过程，发展估算意
识和能力．



知

识

要

1．一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，
且系数不为 0，这样的方程叫一元二次方 程．一般形式：ax2＋
bx+c=0(a≠0）
2．一元二次方程的解法：
⑴ 配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一< br>种解一元二次方程的方法．用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k
≠0）的一般步 骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项
系数；②移项，即使方程的左边为二次项和一次项 ，右边为常数项；
③配方，即方程两边都加上一次
项系数的绝对值一半的平方；④化原方程为 (x+m）2=n的形式；
⑤如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n=＜0，则原方程无解．
⑵ 公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方

北师大版九年级数学下册电子教案及反思
点
法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是 (b2－4ac
≥0)
⑶ 因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法
叫做因式分解法．它的理论根据 是两个因式中至少要有一个等于0，
因式分解法的步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两
个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，
解这两个一元一次方程，它 们的解就是原一元二次方程的解．
3．一元二次方程的注意事项：
⑴ 在一元二次方程的一 般形式中要注意，强调a≠0．因当a=0
时，不含有二次项，即不是一元二次方程．如关于x的方程（ k2－1）
x2+2kx+1=0中，当k=±1时就是一元一次方程了．
⑵ 应用求根公式 解一元二次方程时应注意：①化方程为一元二
次方程的一般形式；②确定a、b、c的值；③求出b2－ 4ac的值；④
若b2－4ac≥0，则代人求根公式，求出x1 ,x2．若b2－4a＜0，则方
程无解．
⑶ 方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式 ．如－2(x＋
4)2=3（x＋4）中，不能随便约去（x＋4
⑷ 注意解一元二次方程时 一般不使用配方法（除特别要求外）
但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：开平方法→因式
分解法→公式法．
4．构建一元二次方程数学模型：一元二次方程也是刻画现实问
题 的有效数学模型，通过审题弄清具体问题中的数量关系，是构建数
学模型，解决实际问题的关键． 5．注重．解法的选择与验根：在具体问题中要注意恰当的选择
解法，以保证解题过程简洁流畅，特 别要对方程的解注意检验，根据
实际做出正确取舍，以保证结论的准确性．
1、下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
考
点
训
11
20
2
xy


2
bxc0 D.x
2
2xx
2
1
A.3(x1)
2
2(x1) B.
2、若
2x
2
3与2x4互为相反数，则x的值为( )

北师大版九年级数学下册电子教案及反思
练
11
A． B、2 C、±2 D、±
22< br>3、关于x的一元二次方程
(m1)x
2
xm
2
2m
30
，则m的值（ ）
A．m=3或m=－1 B. ．m=－3或m= 1
C．m=－1 D．m=－3
4、方 程
(m
2
1)x
2
2x80
的一个根是2，则另一 个根是___________.
5、已知一元二次方程x
2
+2x－8=0的一根是2，则另一个根是______.
6、解方程：
x
2
＋2
x
－3=0
7、已知方程5x
2
+kx－10=0一个根是－5，求它的另一个根及k的值．
8、某水果批发商场经销一种高档水果 如果每千克盈利10元，每天
可售出500千克，经市 场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千
克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每 天盈利6000
元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
点拨：应抓住“要使顾客得到实惠”这句话来取舍根的情况．
9、课外植物小组准备利用 学校仓库旁的一块空地，开辟一个面积为
130平方米的花圃（如图1－2－1），打算一面利用长为1 5米的仓库
墙面，三面利用长为33米的旧围栏，求花圃的长和宽．
当堂
训练
教
后
反
思
中考新航标
一元二次方程的考 查包括一元二次方程的解法、方程
与函数的综合问题、一元二次方程的实际应用等，与二次
函数 的结合较为普遍，综合性强，往往运用到数形结合思
想，形式多样，是复习的一大难点。
第25课时 3月25日 星期一
课题
复习
方程的应用（一）
备课教师

授课教师

会解方程 ，列出方程解决简单的实际问题，并能检验解
目标 的合理性。

北师大版九年级数学下册电子教案及反思
知
识
要
点
考
点
训
练
知识梳理：
1. 方程的应用；
2. 列方程解应用题的一般步骤；
3. 实际问题中对根的检验非常重要．
注意点：分式方程的检验，实际意义的检验．
1. 足球比赛的计分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一
场得0分．某队打了14场 ，负5场，共得19分，那么这个队胜了（ ）
A．4场 B．5场 C．6场 D．13场
2. 某班共有学生49人.一天，该班某男生因事请假， 当天的男生
人数恰为女生人数的一半.若设该班男生人数为x，女生人数为y，则下
列方程组中 ，能正确计算出x、y的是（ ）
A．x–y= 49y=2(x+1) B．x+y= 49y=2(x+1)
C．x–y= 49y=2(x–1) D．x+y= 49y=2(x–1)
3. 张老师和李老师同时从学校出发，步行15千米去县城购买书
籍 ，张老师比李老师每小时多走1千米，结果比李老师早到半小时，两
位老师每小时各走多少千米？设李老 师每小时走x千米，依题意得到的
方程是（ ）
4.学校总务处和教务处各领 了同样数量的信封和信笺，总务处每发
一封信都只用一张信笺，教务处每发出一封信都用3张信笺，结果 ，总
务处用掉了所有的信封，•但余下50张信笺，而教务处用掉所有的信笺
但余下50个信封 ，则两处各领的信笺数为x张，•信封个数分别为y
个，则可列方程组 ．
5. 团体购买公园门票票价如下：
购票人数 1～50 51～100 100人以上
每人门票（元） 13元 11元 9元
今有甲、乙两个旅行团，已知甲团人数少于50人， 乙团人数不超
过100人．若分别购票，两团共计应付门票费1392元，若合在一起作
为一个 团体购票，总计应付门票费1080元．
(1)请你判断乙团的人数是否也少于50人．
(2)求甲、乙两旅行团各有多少人？
中考新航标
当堂
训练
教
后
反
列方程解应用题的关键是根据题意找出等量关系，正确
的应用已知条件列出方程，并完整的地写出答案，通常以选
择、填空或解答题形式出现，难度不 会很大，但综合性比较

北师大版九年级数学下册电子教案及反思
思 强。
第26课时 3月26日 星期二
课题
复习
方程的应用（二）
备课教师

授课教师

会解方程 ，列出方程解决简单的实际问题，并能检验解
目标 的合理性

知
识
要
点
考
点
训
练
知识梳理：
1.一元二次方程的应用；
2. 列方程解应用题的一般步骤；
3. 问题中方程的解要符合实际情况．

1. 一 个两位数的十位数字与个位数字和是7，把这个两位数加上
45后，•结果恰好成为数字对调后组成的两 位数，则这个两位数是（ ）
A．16 B．25 C．34 D．61
2. 如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽
的道路，余下 部分作为耕地．若耕地面积需要551米2，则修建的路宽
应为（ ）
A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米
3. 某地出租车的收费标准是：起步价为7元，超过3千 米以后，
每增加1千米，•加收2.4元．某人乘这种出租车从甲地到乙地共付车
费19元，• 设此人从甲地到乙地经过的路程为x千米，那么x的最大值
是（ ）
A．11 B．8 C．7 D．5
4. 已知某工厂计划经过两年的时 间，•把某种产品从现在的年产量
100万台提高到121万台，那么每年平均增长的百分数约是___ _____．按
此年平均增长率，预计第4年该工厂的年产量应为_____万台．
5. 某 商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出
600个．调查表明：这种台灯的售价每上 涨1元，其销售量就将减少10
个．为了实现平均每月10000•元的销售利润，这种台灯的售价应定 为

北师大版九年级数学下册电子教案及反思
多少？这时应进台灯多少个？
6. 幼儿园有玩具若干份分给小朋友，如果每人分3件，那么还余
59件．•如果每人分5件 ，那么最后一个人不少于3件但不足5件，试
求这个幼儿园有多少件玩具，有多少个小朋友．
当堂
训练
教
后
反
思
中考新航标
一元二次方程的综合应用的考查在中考中较为普遍，综合
性强，往往会和二次函数的相关 知识综合起来考查，于是在
解答时要综合应用观察、比较、分析等方式才能方便解决问
题。
第27课时 3月27日 星期三
课题

复习
目标
二元一次方程组
备课教师

授课教师

1．了解二元一次方程（组）的有关概念，会解简单的二元一次
方程组 ，列出二元一次方程组解决简单的实际问题，并能检验解的
合理性．
2．了解二元一次方程组的图象解法，初步体会方程与函数的关
系．
3．了解解二元 一次方程组的“消元”思想．从而初步理解化“未
知”为“已知”和化复杂问题为简单问题的化归思想．



知

识

方程组及其解法：
1．二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次
数都是1的方程叫做二元一次方 程．
2．二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一
组方程，叫做二元一次 方程组．
3．二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解，
叫做这个二元一次 方程组的解．
4．二元一次方程组的解法．
（1）代人消元法：解方程组的基本思路是“消 元”一把“二元”
变为“一元”，主要步骤是，将其中一个方程中的某个未知数用含有

< br>北师大版九年级数学下册电子教案及反思
要

点
另一个未知数的 代数式表示出来，并代人另一个方程中，从而消去一
个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程，这种 解方程组的方法
称为代人消元法，简称代人法．
（2）减消无法：通过方程两边分别相加（减 ）消去其中一个未知
数，这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法．
5．整体思想解方程组．
（1）整体代入．如解方程组 ，方程①的左边可化为3(x+5)
18=y+5③，把②中的 3（x+5）看作一个整体代入③中，可简化计
过程，求得y．然后求出方程组的解．
（2）整体加减，如 因为方程①和②的未知数x、y的系数正好
调，所以可采用两个方程整体相加减求解．利用①+②，得x+y=9③
利用②－①得x－y=3④，可使③、④组成简单的方程组求得x，y．
考
点
训
练
1.若
x+y+4+(x-2)
2
=0
则 3x+2y＝_______
2.解方程组：

2x+y=5



x-y=4
3.对方程组


4x+7y=-19 ①

4x-5y=17 ②
，用加减法消去x，得到的方程为（ ）
A、2y=－2 B.2y=－36
C. 12y=－2 D.12y=－36
4．二元一次方程组


x+y=10
的解是（
2x-y=-1

）


11
x=

x=3


x=2

x=7

3
B.
C. D.

A．

y=7

19

y=8

y=3



y=


3
5．若

A. －

x=-2

y=1

是方程组


ax+by=1
的解，则（a+b）（a－b）的值为（
bx+ay=7

）
3535
B. C. －16 D.16
33

2x+5y=5

3x+2y=5
⑵



3x-5y=10

2x+5y=7
< br>由于甲看错了方程①中的
6．解方程组：⑴

7．已知方程组

程组的解为


ax+5y=15 ①

4x-by=-2 ②
a得到的方

x=5

y=4

x=-3
乙看错了方程②中的
y=-1

b，得到方程组的解为

若

北师大版九年级数学下册电子教案及反思
按正确的a、b为计算，求原方程组的解x与y的差．
8．若
a+b
4b 与3a+b 是同类二次根式，求a、b的值.

2kx+(k+1)y=10
2x -y=3
9．已知关于x，y的方程组


的解互为相反数，则k
的 值是多少？
10．甲、乙两人解同一个二元一次方程组，甲正确地得出解x=3，
y=－2， 乙因把这个方程组中的第二个方程X的系数抄错了，得到一
个错误的解为x=－2，y=2．他们解先后 ，原方程组的三个系数又被污
染而看不清楚，变成下面的形式：
污染的系数填上．
中考新航标
请你把原方程组的三个被
当堂
训练
教
后
反
思
二元一次方程组是方程的基础之一，也是中考的必考内
容之一 ，重点是二元一次方程组的解法，或是在与一次函
数的图形知识结合进行综合应用，来求一次函数的解析 式，
考查的难度不会很大，但综合性较强。


蹲组领导签字：
——————

第28课时 3月28日 星期四
课题
复习
目标
知识
要点
考
点
训
二元一次方程组的
备课教师
应用

授课教师

会解简单的二元一次方程组 ，列出二元一次方程组解决简单的
实际问题，并能检验解的合理性
方程组解决实际问题：应用方程组解决实际问题的关键在于正确
找问题中的两个等量关系，列出方程并组成方程组，同时注意检验解
合理性
1. 某商品按进价的100％加价后出售．经过一段时间，商家为了
减少库存，决定5折销售，这时每件商品 （ ）
A．赚50％B．赔50％C．赔25％D．不赔不赚
2.今年我省荔枝又喜获丰收. 目前市场价格稳定，荔枝种植户普
遍获利. 据估计，今年全省荔枝总产量为50 000吨，销售收入为61
000万元. 已知“妃子笑”品种 售价为1.5万元吨，其它品种平均售

北师大版九年级数学下册电子教案及反思
练
价为0.8万元吨，求“妃子笑”和其它品种的荔枝产量各多少吨. 如
果设“妃子笑”荔枝产量为x吨，其它品种荔枝产量为y吨，那么可
列出方程组为 .
3.某城市现有人口 42万人．计划一年后城镇人口增加 0．8％，
农村人口增加1. 1％，这样全市人口得增加1%，求这个城市现有城镇
人口和农村人口分别是多少？
4.甲、 乙两件服装的成本共n0元，商店老板为获取利润，决定
将甲服装按50％利润定价，乙服装接40％的 利润定价．在实际出售
时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，这样商店共获利157元，
求 甲、乙两件服装的成本各是多少元？
5．甲对乙说：“当我的岁数是你现在岁数时，你才4岁．”乙对
甲说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你将61岁”．问甲、乙现各
多少岁？
6． 已知某电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，其价格
分为A型每台6000元，B型每台400 0元，C型每台2500元，我市东
中学计划将100500元钱全部用于从该电脑公司购进两种不同型 号脑
共36台，清你设计出不同的购买方案供该校选择，并说明理由．
中考新航标
当堂
训练
教
后
反
思
根据具体 问题中的数量关系，列出方程组解决实际问
题，要深刻理解题目中的已知量、未知量之间的关系，找出等量关系，列出方程并完整地写出答案，多以选择题、
填空题或解答题形式出现，难度不会很大。


蹲组领导签字：
——————

第29课时 4月1日 星期一
课题

复习
目标
一元一次不等式和
备课教师
一元一次不等式组

授课教师

1．经历将一些实际问题抽象为不等式的过程，体会不等式也是刻画
现实世界中量 与量之间关系的有效数学模型，进一步发展符号感．
2、能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义．
3．经历通过类比、猜测、验证发现不等式基本性质的探索过程，掌
握不等式的基本性质． < br>4．理解不等式（组）的解及解集的含义；会解简单的一元一次不等

北师大版九年 级数学下册电子教案及反思
式，并能在数轴上表示一元一次不等式的解集；会解一元一次不等式
组，并会在数轴上确定其解集；初步体会数形结合的思想．
5．能根据具体问题中的数量关系，列出 一元一次不等式（组）解决
简单的实际问题，并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．
6．初步体会不等式、方程、函数之间的内在联系与区别．



知

识

要

点
1．不等式：用不等号（“＜”“≤”“＞”“≥”）表示不等关系的式子．
2．不等式的基 本性质：（）不等式的两边都加上（或减去）同一个整
式，不等号的方向不变．（2）不等式的两边都乘 以（或除以）同
一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式的两边都乘以（或除
以）同一个负 数，不等号的方向改变．
3．不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．
4．不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不
等式的解集．
5．解不等式：求不等式解集的过程叫做解不等式．
6．一元一次不等式：只含有一个未知数 ，并且未知数的最高次数是1，
系数不为零的不等式叫做一元一次不等式．
7．解一元一次不 等式易错点：（1）不等式两边部乘以（或除以）同
一个负数时，不等号的方向要改变，这是同学们经常 忽略的地方，
一定要注意；（2）在不等式两边不能同时乘以0．
8．一元一次不等式的解法．
解一元一次不等式的步骤：①去分母，②去话号，③移项 ，④合
并同类项，⑤系数化为1（不等号的改变问题）
9．求不等式的正整数解，可负整数解 等特解，可先求出这个不等式
的所有解，再从中找出所需特解．
10．一元一次不等式组：关 于同一个未知数的几个一元一次不等式合
在一起，就组成一个一元一次不等式组．
11．一元 一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式的解
集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的 解集．
12．解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组．
13．不等式组的分类及解集(a＜b

北师大版九年级数学下册电子教案及反思
14、一元一次不等式组的解．
（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集
（2）利用数轴或口诀求出这些解集的公共部分，即这个不等式的解。
15．已知不等式组的解集，求字母系数的取值范围．
16．求一元一次不等式组的整数解，非负整数解等特解．
17．列不等式解应用题的特征： 列不等式解应用题，一般所求问题有
“至少”“最多”“不低于”“不大于”“不小于”等词，要正确理
解这些词的含义．
18．列不等式解应用题的一般步骤：列不等式解应用题和列方程解应用题的一般步骤基本相似，其步骤包括：①设未知数；②找不等
关系；③列不等式（组）④解不等式 （组）⑤检验，其中检验是
正确求解的必要环节．
1、如图⑴所示，天平右盘中的每个破码的质量都是1g，则物体 A
的质量m(g)的取值范围．在数轴上：可表示为图⑵中的（ ）
考
点
训
练

2、关于x的不等式2x－a≤－1的解集如图所示， 则a的取值
是（ ）
A.0 B.－3 C.－2 D.－1
3、不等式2x≥x+2的解集是_________．
4、不等式2（x－2）≤x—2的非负整数解的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5、下列四个命题中，正确的有（ ）
①若a＞b，则a＋1＞b+1；②若a＞b，则a－l＞b –1 ③若a＞b，
则－2a＜－2b；④若a＞b，则2a＜2b．
A．l个 B．2个 C．3个 D．4个
2x-3<1
6、不等式

’的解集在数轴上可表示为图中的（ ） 

x>-1
7、某次“迎奥运”知识竞赛中共20道题，对于每一道题，答对< br>了得10分，答错了或不答扣5分，选手至少要答对（ ）道题，其

北师大版九年级数学下册电子教案及反思
得分才会不少于95分？
A．14 B．13 C．12 D．11
8、一次普法 知识竞赛共有30道题，规定答对一道题得4分，答
错或不答一道题得－1分，在这次竞赛中，小明获得 优秀(90分或 90
分以上)则小明至少答对了______道题．
9、光明中学9年级甲 、乙两班在为“希望工程”捐款活动中，
两班捐款的总数相同，均多于300元且少于400元．已知甲 班有一人
捐6元，其余每人都捐9元；乙班有一人捐13元，其余每人都捐8
元．求甲、乙两班 学生总人数共是多少人
当堂
训练
教
后
反
思
中考新航标
一元一次不等式及不等式组是近几年中考的必考内
容，主要考查 不等式的性质、一元一次不等式（组）的解
法、不等式（组）的解集的数轴表示、求一元一次不等式（组）的特殊解等，题型上填空、选择、解答题均有可能
出现，综合性会很强。


蹲组领导签字：
——————

第30课时 4月2日 星期二
课题
复习
目标

知
识
一元一次不等式组的
应用
备课教师

授课教师
< br>能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式（组）解决简
单的实际问题，并能根据具体问 题的实际意义，检验结果是否合理．
重点强调：
1．列不等式解应用题的特征：列不等式解 应用题，一般所求问题有
“至少”“最多”“不低于”“不大于”“不小于”等词，要正确理解这些词的含义．
2．列不等式解应用题的一般步骤：列不等式解应用题和列方程解应

< br>北师大版九年级数学下册电子教案及反思
要
点
考
点
训
练
用题的一般步骤基本相似，其步骤包括：①设未知数；②找不等关系；
③列不等式（组）④解不等式（组）⑤检验，其中检验是正确求解的必
要环节．
1.某次“ 迎奥运”知识竞赛中共20道题，对于每一道题，答对了得
10分，答错了或不答扣5分，选手至少要答 对（ ）道题，其得分才会
不少于95分？
A．14 B．13 C．12 D．11
2.一次普法知识竞赛共有30道题，规定答对一道题得4分，答错或
不答一道题得 －1分，在这次竞赛中，小明获得优秀(90分或 90分以上)
则小明至少答对了______道题．
3.光明中学9年级甲、乙两班在为“希望工程”捐款活动中，两班
捐款的总数相同，均多于3 00元且少于400元．已知甲班有一人捐6元，
其余每人都捐9元；乙班有一人捐13元，其余每人都 捐8元．求甲、乙
两班学生总人数共是多少人？
4．若干学生分住宿舍，每间4人余20人； 每间住8人有一间不空
也不满，则宿舍有多少间？学生多少人？
5．某工程队要招聘甲。乙两 种工人150人，甲、乙两种工人的月工
资分别为600元和1000元；现要求乙种的人数不少于甲种 工种人数的2
倍，问甲、乙两种各招聘多少人时，可使得每月所付的工资最少？
中考新航标
当堂
训练
教
后
反
思
一元一次 不等式组的应用主要考查根据实际问题中的不
等关系列出不等式组，求解不等式组解决实际问题，并根据 实
际来确定不等式的取值问题，以解答题的考查形式居多，难度
不会很大。


蹲组领导签字：
——————

第31课时 4月3日 星期三

课题
复习
目标
平面直角坐标系与
数
备课教师

授课教师

1、认识平面直角坐标系；
2、函数的概念；
3、自变量的取值范围；

北师大版九年级数学下册电子教案及反思
知

识

要

点
一、函数：
1.概念：在一个变化过程中有 两个变量x与y，如果对于x的值，y都有唯
一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x 的函数.
2.自变量的取值范围： （1）使解析式有意义
（2）实际问题具有实际意义
3.函数的表示方法； （1）解析法
（2）列表法
（3）图象法
二、平面直角坐标系
1. 坐标平面上的点与有序实数对构成一一对应；
2. 各象限点的坐标的符号；
3. 坐标轴上的点的坐标特征．

x轴

(a,b)


4. 点P（a，b）关于

y轴
对称点的坐标

(a,b)


原点

(a,b)


考
点
训
练

1.点
P
在第二象限内，
P
到
x
轴的距离是4，到
y
轴的距离是3，那么点
P
的坐标为（ ）
A．(-4,3) B．(-3,-4) C．(-3,4) D．(3,-4)
2.已知点P(x,y)位于第二象限，并且y≤x+4 , x,y为整数，写出一个符合上述
．．
条件的点
P
的坐标： ．
3.点P(2m-1,3)在第二象限，则
m
的取值范围是（ ）
A．m>0.5 B．m≥0.5 C．m<0.5 D．m≤0.5
4..已知点
A(m1，3)
与点
B(2，n1)
关于
x
轴对称，则
m
，
n
．
当堂
训练
教
后
反
思
中考新航标
在直角坐标系中表示点的坐标、 各象限的坐标特征、
函数的图像和性质及一些简单函数自变量的取值范围是本
课时考查的对象， 题型比较灵活，应用到数形结合等方法，
但难度不会很大。

第32课时 4月7日 星期日

课题 一次函数（1）

备课教师

授课教师

北师大版九年级数学下册电子教案及反思
复习
目标

1.初步理解一次函数的概念；理解一次函数及其图象的有 关性
质；初步体会方程和函数的关系．
2.能根据所给信息确定一次函数表达式；会 作一次函数的图象，
并利用它们解决简单的实际问题．
一次函数表达式的求法：确定一次函数表达式常用 待定系数法，其中确定正比例函数表达式，只需一对x与y
的值，确定一次函数表达 式，需要两对x与y的值。




知

识

要

点
一、一次函数的意义及其图象和性质：
1．一次函数：若两个变量x、y间的关系式可以表示成y=kx＋b(k、
b为常数，k ≠ 0）的形式，则称y是x的一次函数(x是自变量,y是因
变量〕特别地，当b=0时，称y是x的正比 例函数．
2．一次函数的图象：一次函数y=kx+b的图象是经过点(0，b),(－
b
，0 ）的一条直线，正比例函数y=kx的图象是经过原点(0，0）的
k
一条直线，如下表所示．

3．一次函数的性质：y=kx＋b(k、b为常数，k ≠0）当k ＞0时，
y的值随x的值增大而增大；当k＜0时，y的值随x值的增大而减小．
4．直线y=kx＋b(k、b为常数，k ≠0）时在坐标平面内的位置
与k在的关系．
k0

⑴
k0


直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）；

⑵
k0


直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）；

k0

k0


k0

 ⑶
k0


直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）；
⑷
k0


直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）；
二、次函数表达式的求法
1、待定系数法：先设出式子中的未知系数，再根据条件列 议程

北师大版九年级数学下册电子教案及反思
考
点
训
练
或议程组求出未知系数，从而写出这个式子的方法，叫做待定系数法，
其中的未知 系数也称为待定系数。
2、用待定系数法求出函数表达式的一般步骤：⑴写出函数表达
式的一 般形式；⑵把已知条件(自变量 与函数的对应值)公共秩序 函
数表达式中，得到关于待定系数的议程 或议程组；⑶解方程(组)求出
待定系数的值，从而写出函数的表达式。
3、一次函数表达式的求法：确定一次函数表达式常用 待定系数
法，其中确定正比例函数表达 式，只需一对x与y的值，确定一次函
数表达式，需要两对x与y的值。
l．下列关于x的函数中，是一次函数的是（ ）

A.y3(x1)
2
B.y=x+
C.y=
1
x

1
-x D.y=(x+3)
2
-x
2
2
x
2．如果直线y=kx+ b经过一、二、四象限，那么有（）
A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0
C．k < 0，b＜0 D．k ＜0，b＞0
3、已知a、b、c均 为正数，且
b+c
=
c+a
=
a+b
=k
，则下列 四个点中，
在正比例函数y=kx图象上的点的坐标是（ ）
11
A.(1,
2
) B、（1，2）C、（1，－
2
）D、（1，－1）
ac
4．若 ab＞0，bc<0，则直线y=－ x－ 不通过（）
bb
A．第一象限B第一线限C．第三象限D.第四象限
31
5．已知一次函数y=
2
x+m和y= －
2
x+n的图象都经过点A（－
2，0）且与y轴分别交于B、C两点，那么△ABC的面积是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
6．已知一次函数y=kx+2，请你补充一个条件______，使y随x
的增大而减小．
7．已知一次函数y=(3a+2)x－(4－b),求字母a、b为何值时：（1）
y随x的 增大而增大；（2）图象不经过第一象限；（3）图象经过原点；
（4）图象平行于直线y=－4x+3 ；（5）图象与y轴交点在x轴下方．
8．若正比例函数y=(1－2m)x的图象经过点（x
1
，y
1
）和点（x
2
，
y
2
）当x< br>1
＜x
2
时，y
1
＞y
2
，则m的取值范围是（ ）
11
A、m<0 B.m>0 C.m＜
2
D.m＞
2

9．两个一次函数y
1
=mx+n．y
2
=nx+n，它们在同一坐标系中的图
象可能是图l－6 －2中的（ ）
abc

北师大版九年级数学下册电子教案及反思

10 小李以每千克0．8元的价格从批发市场
购进若干千克西瓜到市场去销售，在 销售了部分
西瓜之后，余下的每千克降价0．4元，全部售完．销
售金额与卖瓜的千克数之间的 关系如图所示，那
么小李赚了（ ）
A．32元 B．36元C．38元 D．44元
11 杨嫂在再就业中心的扶持下，创办了“润杨”报刊零售点，
对经营的某种晚报，杨嫂提供了如下信息：
（1）买进每份0．2元，卖出每份0．3元；
（2）一个月内（以30天计）有20天每天可以卖出200份，其余
10天每天只能卖出120份；
（3）一个月内，每天从报社买进的报纸数必须相同,当天卖不掉的
报纸，以每份0．1元退给报社．
①填下表：

②设每天从报社买进该种晚报x份(120≤x≤200 )时，月利润为y
元，试求出y与x之间的函数表达式，并求月利润的最大值
当堂
训练
教
后
反
思
中考新航标
一 次函数主要考查的是解析式的求法和一次函数图像
的综合应用，以和人们生活息息相关的实际问题为背景 ，
要求学生从中找到一次函数模型，进而解决问题是中考命
题的重点，综合性很强，难度比较大 。

第33课时 4月8日 星期一

课题
复习
目标
一次函数（2）

备课教师

授课教师

理解一次函数及其图象的有关性质；初步体会方程和函数的关
系，能根据所给信息确定一次函数表达式； 会作一次函数的图象，并
利用它们解决简单的实际问题

北师大版九年级数学下册电子教案及反思
知
识
要
点
考
点
训
练

1．正比例函数的一般形式是y=kx(k≠0)，一次函数的
一般形式是y=kx+b(k≠0).
2. 一次函数
ykxb
的图象是经过（

b）两点的一条直线.
3. 一次函数
ykxb
的图象与性质
1.某地区的电力资源丰富，并且得到了 较好的
开发.该地区一家供电公司为了鼓励居民用电，采
用分段计费的方法来计算电费.月用电 量x（度）
与相应电费y（元）之间的函数图像如图所示.
⑴月用电量为100度时，应交电费 元；
⑵ 当x≥100时，求y与x之间的函数关系式；
⑶ 月用电量为260度时，应交电费多少元？
2. 在一次远足活动中，某班学生分成两组，第一组由甲地匀速步
行到乙地后原路返 回，第二组由甲地匀速步行经乙地继续前行到丙地
后原路返回，两组同时出发，设步行的时间为t（h） ，两组离乙地的
距离分别为S
1
（km）和S
2
(km)，图中的折 线分别表示S
1
、S
2
与t之
间的函数关系．
（1）甲、乙两地之间的距离为
S(km)
km，乙、丙两地之间的距离为
8

·



km；
6·
（2）求第二组由甲地出发首次到达乙

地及由乙地到达丙地所用的时间分别
4·
B
2·
是多少？
A
2
t(h)
（3）求图中线段AB所表示的S
2
与t
0

间的函数关系式，并写出t的取值范围．
3.某加油站五月份营销一种油品
的销售利润
y
（万元）与销售量
x
（万升）之间函数关系的图象如图
中折线所示，该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元，截
止至15日进油时的销售利润为5. 5万元．（销售利润＝（售价－成本
价）×销售量）
请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信
息，解答下列问题：
（1）求销售量
x
为多少时，销售利润为4万元；
（2）分别求出线段AB与BC所对应的函数关系式；
（3）我们把销售每升油所获得的利润 称为利润率，那么，在OA、
AB、BC三段所表示的销售信息中，哪一段的利润率最大？（直接写出答案）
b
，0）和（0，
k

北师大版九年级数学下册电子教案及反思
1日：有库存6万升，成本
价4元升，售价5元升．
13日：售价调整为5.5元
升．
15日：进油4万升，成本
价4.5元升．
31日：本月共销售10万升．

4.奥林玩具厂安排甲、乙两车间分别加工1000只同一型号的奥运
会吉祥 物，每名工人每天加工的吉祥物个数相等且保持不变，由于生
产需要，其中一个车间推迟两天开始加工． 开始时，甲车间有10名
工人，乙车间有12名工人，图中线段OB和折线段ACB分别表示两
车间的加工情况．依据图中提供信息，完成下列各题：
（1）图中线段OB反映的是________车间加工情况；
（2）甲车间加工多少天后，两车间加工的吉祥物数相同？
（3）根据折线段ACB反映的加工情况，请你提出一个问题，并
给出解答．
y（只）

1000
B
960
C





A

O
2
18 20
x（天）
当堂
训练
教
后
反
思
中考新航标
一次函数的图像在实际问题中的意义和分段函数在实
际生活中的 应用主要考查图像的起点、终点、交点的坐标
所代表的具体含义和由“分段”确定一次函数解析式并解< br>决问题的方法，多为填空、选择和解答题，以实际问题为
背景。

第34课时 4月9日 星期二

课题
复习
反比例函数（1）
备课教师

授课教师



1.理解反比例函数的概念，领会反比例函数的意义；

北师大版九年级数学下册电子教案及反思
目标
知
识
要
点
2.能作出反比例函数的图像，并掌握反比例函数的性质
1．反比例函数：一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成
y＝ 或 （k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数．
2. 反比例函数的图象和性质
k的符号


k＞0
y
o
x
k＜0

y
o x
图像的大致位置
经过象限
性质
第 象限
在每一象限内,y随x的
增大而
第 象限
在每一象限内,y随x的
增大而
3．
k
的几何含义：反比例函数y＝
过双曲线y＝
k
(k≠0)中比例系数k的几何意义，即
x
k
(k≠0)上任意一点P作x轴、y轴 垂线，设垂足分别为A、B，
x
则所得矩形OAPB的面积为 .

考
点
训
练
求反比例函数的关系式：
k
的图象经过(－2，1)，则k的值为 ( )
x
11
A、－2 B、2 C、－ D、
22
1.
若反比例函数
y
2.某种蓄电池的电压为定值，使用此电源时，
电流 I（A）与可变电阻 R（Ω）之间的函数关系
如图所示，当用电器的电流为10A时，用
电器的可变电阻为_______Ω．
反比例函数图象的性质：
3.反比例函数
y
值可为（ ）
k1
的图象在每个象限内，
y
随
x
的增大而减小，则
k
的
x

北 师大版九年级数学下册电子教案及反思
A．
1
B．0 C．1 D．2
，y
1
)，P
2
(x
2
，y
2< br>)，P
3
(x
3
，y
3
)
是反比例函数y

4
.已知
P
1
(x
1
2的图象上
x
的三点，且
x
1
x
2
0x< br>3
，则
y
1
，y
2
，y
3
的大小关 系是（ ）
Ａ．
y
3
y
2
y
1
Ｂ．
y
1
y
2
y
3

Ｃ．
y
2
y
1
y
3
Ｄ．
y
2
y
3
y
1
5．如图，点
A
、< br>B
是双曲线
y
y


3
上的点，分别经

x
O
A
S
1
S
2
B
x

过A、
B< br>两点向
x
轴、
y
轴作垂线段，若
S
阴影
1 ，

则
S
1
S
2

．
当堂
训练
教
后
反
思
中考新航
反比例函数主要考查的是求反比例函数的解析式、图
像的分布、图像上阴影部分的面积 与函数中K值得关系等
内容，且图像的分布往往与一次函数相结合，在中考中主
要以填空或选择 题的形式出现，难度也不会很大。

第35课时 4月10日 星期三

课题
复习
目标
知
识
要
ko

二、四象限
反比例函数（2）
备课教师

授课教师

1、经历抽象反比例函数概念的过程，领会反比例函数的意义理
解反比例函数的概念
2.培养学生从函数图象中获取信息的能力，探索并理解反比例
函数的主要性质性质。

1．反比例函数性质如下表：
k
的取值 图像所在象限 函数的增减性
在每个象限内，
y
值随
x
的增大
而减小
在每个象限内，
y
值随
x
的增大
而增大
ko

一、三象限
点

北师大版九年级数学下册电子教案及反思
考
点
训
练
2. 反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应
值或图像上一个 点的坐标即可求出
k
）
3.“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不 一定
k
是反比例函数,但是反比例函数
y
中的两个变量必成反比例关系。
x
4.反比例函数的应用
a
1.
二次函数
yax
2
bxc
的图象如图所示，反比列函数
y
与正比列
x
函数
ybx
在同一坐标系内的大致图象是（

）

y
O
第12
x
y y y y

O
A
x O
B
x O
C
x O
D
x
2.
一次函数
y=
﹣
2x+1
和反比例函数< br>y=
的大致图象是（ ）

A、 B、
C、 D、
k
在同一直角坐标系中的图象
x
3.已知一次函数y
1
=kx+b与 反比例函数y
2
=
如图所示，则当y
1
＜y
2
时， x的取值范围是（ ）

A．x＜﹣1或0＜x＜3 B．﹣1＜x＜0或x＞3
C．﹣1＜x＜0 D．x＞3
4.如图，双曲线y=

m与直线y=kx+b交于点M．N，并且点M的坐标为（1，
x

北师大版九 年级数学下册电子教案及反思
3），点N的纵坐标为﹣1．根据图象信息可得关于x的方程
m
=kx+b的解为（ ）
x
A．﹣3，1

B．﹣3，3 C．﹣1，1 D．﹣1，3
5.反比例函数y=
y
k
的图象如 图所示，则一次函数y=kx+k的图象大致是（）
x
y
y
y
y< br>O
x
O
x
O
x
O
x
O
x< br>
A、 B、 C、 D

6.一次函数
ykxk(k0)
和反比例函数
y系中的图象大致是( )
k
(k0)
在同一直角坐标
x

7.如图，反比例函数y
1
=
k
1
和正比例函数y
2
=k
2
x的图象交于A（﹣1，﹣
x
3）、B（1，3）两点，若
k
1
＞ k
2
x，则x的取值范围是（ ）
x



A、﹣1＜x＜0 B、﹣1＜x＜1
C、x＜﹣1或0＜x＜1 D、﹣1＜x＜0或x＞1
8.在同一坐标系中，正比例函数y=x与反比例函数
y
（ ）
2
的图象大致是
x

北师大版九年级数学下册电子教案及反思

A、 B、 C、 D、
9.二次函数的图象如图，则反比例函数y=﹣
同一坐标系内的图象大致是（ ）
a
与一次函数y=ax+c的图象在
x


A B． C．
10.一次函数y
1
=k
1
x+b和反比例函数y
2
=
若y
1
＞y
2
，则x的 取值范围是（ ）
D．

k
2
（k
1< br>∙k
2
≠0）的图象如图所示，
x



A、﹣2＜x＜0或x＞1
C、x＜﹣2或x＞1
B、﹣2＜x＜1
D、x＜﹣2或0＜x＜1
当堂
训练
教
后
中考新航标
本节课复习的是反比例函数变化规律与函数中k值的
关系，在中 考中主要考查的是反比例函数图象的性质，一

北师大版九年级数学下册电子教案及反思
反
思
般以填空或选择题的形式出现，并且要注意不同象限的函
数值的比较。

第36课时 4月11日 星期四

课题
复习
目标
知
识
要
点
考
点
训
练
反比例函数（3）
备课教师

授课教师


1.反比例函数图象中比例系数k的几何意义
2.反比例函数的应用

待定系数法求解析式的步骤：
1.设出含有待定系数的函数解析式；
2.把已知条件代入解析式，得到关于待定系数的方程；
3.解方程求出待定系数．
1.如图，一次函数
ykxb
的图象
m
与反比例函数
y的图象交于
x
A(21)，，B(1，n)
两点．
（1）试确定上述反比例函数和一次函
数的表达式；
（2）求
△AOB
的面积；
（3）x为何值时，一次函数值大于反
比例函数值．
y
A
O
x
B
2.已知反比例函数的图象经过点（m，2）和（－2，3），则m的
值为 ．
3 .若正方形AOBC的边OA、OB在坐标轴上，顶点C在第一象
1
限且在反比例函数y＝的图 像上，则点C的坐标是 .
x
4.．在反比例函数
y
k 3
图象的每一支曲线上，y都随x的增大
x
而减小，则k的取值范围是 （ ）
A．k＞3 B．k＞0 C．k＜3 D． k＜0

y
5.如图,反比例函数图象过点P,则它的解析式为( )
11
A.y＝ (x>0) B.y＝－ (x>0)
xx
P
1
11
C.y＝(x<0) D.y＝－(x<0)
-1
O
xx
第4题图
x

北师大版九年级数学下册电子教案及反思
6．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气
体的气压P ( kPa ) 是气体体积V ( m
3
) 的反比例函数，其图象如图所
示．当气球内的气压大于120 kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，
气球的体积应（ ）
A．不小于m
3
B．小于m
3

C．不小于m
3
D．小于m
3

55
4
4
4
4
55
k
(k0)
x
的图象上，
AMx
轴于点
M
，
△AMO
的面积
为3，则
k
．
2
8．对于反比例函数
y
，下列说法不正
．．
x
7.如图， 若点
A
在反比例函数
y
确的是（ ）
．
A．点
(2，1)
在它图象上
B．图象在第一、三象限
C．当
x0
时，
y
随
x
的增大而增大
D．当
x0
时，
y
随
x
的增大而减小
6
9.反比例函数
y
的图象位于（ ）
x
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第二、三象限 D．第一、二象限

当堂
训练
教
后
反
思
中考新航标
本节课复习的是反比例函数的综合应用，主要复习的
是函数解析式的求法和图像在实际生活中的综合应用，要
求学生从中找到函数模型进而解决问题，这也 是中考命题
的重点，一般以解答题的形式出现，难度不大。

第37课时 4月12日 星期五

课题
复习
目标
二次函数（1）
备课教师

授课教师

1、掌握二次函数的有关概 念：二次函数的定义、二次函数的顶
点坐标、二次函数的三种表达式、平移规律.
2、以数形 结合的思想为基础把握二次函数的主要数学思想方

北师大版九年级数学下册电子教案及反 思
法：
（1）如何求顶点坐标及二次函数的最值；
（2）如何求抛物线与坐标轴的交点坐标；
知
识
要
点
1. 二次函数
ya(xh)k
的图像和性质


图
象
开 口
对 称 轴
顶点坐标
最 值
增
减
性
在对称轴左侧
在对称轴右侧
2
a
＞0







y
a
＜0








O
x
当x＝ 时，y有最 值 当x＝ 时，y有最 值
y随x的增大而
y随x的增大而
y 随x的增大而
y随x的增大而
2
2
2. 二次函数yaxbxc
用配方法可化成
ya

xh

k
的形式，
其中
h
＝ ，
k
＝ .
3. 二次函数
ya(xh)k
的图像和
yax
图像的关系.
4. 二次函数
yaxbxc
中
a,b,c
的符号的确定.
2
2
2
考
点
训
练
1. 抛物线
y

x2

的顶点坐标是 .
2
2．将抛物线
y3x
向上平移一个单位后，得到的抛物线解析式是 ．
3. 如图所示的抛物线是二次函数
yax3xa1

的图象，那么
a
的值是 ．
4.二次函数
y(x1)2
的最小值是（ ）
A.－2 B.2 C.－1 D.1
5. 请写出一个开口向上，对称轴为直线x＝2，且与y
轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式 .
6.已知二次函数
yx2xm
的部分图象如右图
2
所示 ，则关于
x
的一元二次方程
x2xm0
的解
为 ．
2
2
22
2

北师大版九年级数学下册电子教案及反思
7.已知函数y=x
2-2x-2的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得使y≥1
成立的x的取值范围是（ ）
A．-1≤x≤3 B．-3≤x≤1 C．x≥-3 D．x≤-1或x≥3
8. 二次函数
yaxbxc
（
a0
）的图象如图所示，则下列结论：
①
a
＞0； ②
c
＞0； ③ b
2
-4
ac
＞0，其中正确的个数是( )
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个






第7题图 第8题图

2
9. 已知二次函数
yax4x3
的图象经过点（－1，8）.
（1）求此二次函数的解析式；
（2）根据（1）填写下表.在直角坐标系中描点，并画出函数的图象；
x
y
0

1

2

3

4
2
（3）根据图象回答：当函数值y<0时，x的取值范围是什么？
当堂
训练
教
后
反
思
中考新航标
本 节课复习的二次函数内容主要是应用待定系数法求
抛物线的解析式，二次函数的表达式有三种形式，要求 学
生能根据题意正确的选择表达式，并能根据二次函数的性
质去解决相关的问题。

第38课时 4月15日 星期一

课题
复习
目标
知
二次函数（2） 备课教师

授课教师

1.通过复习，进一步掌握二次函数的有关性质。
2.通过对函数知识的学习，能学会用数学的思 想、方法去观察、
研究和解决日常生活中所遇到问题等，体验数学建模的思想。
1. 二次函数的解析式：（1）一般式： ；（2）顶点式：
2. 顶点式的几种特殊形式.

北师大版九年级数学下册电子教案及反思
识
要
点






（1） ，（2） ，
（3） ， （4） .
3．二次函数
yax
2
bxc
通过配方可得
b
2
4acb
2
ya(x)
，其抛物线关于直线
x
对称，顶点坐标
2a4a
为（ ， ）.
⑴ 当
a0
时，抛物线开口向 ，有最 （填“高”或“低”）
点, 当
x
时，
y
有最 （“大”或“小”）值是 ；
⑵ 当
a0
时，抛物线开口向 ，有最 （填“高”或“低”）
点, 当
x
时，
y
有最 （“大”或“小”）值是 ．
1. 有一个抛物线形桥拱，其最大高度为16米，跨度为40米，现
在它的示意图放在平面直角坐标系中如图 ，则此抛物线的解析式
为 ．
2. 某公司的生产利润原 来是a元，经过连续两年的增长达到了y
万元，如果每年增长的百分数都是x，那么y与x的函数关系是 （ ）
考
点
训
练
A．y＝x
2
＋a B．y＝ a（x－1）
2

C．y＝a（1－x）
2
D．y＝a（l＋x）
2

3．如图，用长为18 m的篱笆（虚线部分），两面靠墙围成矩形
的苗圃.
⑴ 设矩形的一边为
x

m

面积为
y
(m
2
)，求
y
关于
x
的函数关系
式，并写出自变量
x< br>的取值范围；
⑵ 当
x
为何值时，所围苗圃的面积最大，最大面积是多少？




4．体育测试时，初三一名高个学生推铅球，已知铅球所经 过的
125
路线为抛物线
yx
2
x
的一部
1233
分，根据关系式回答：
⑴ 该同学的出手最大高度是多少？
⑵ 铅球在运行过程中离地面的最大高
度是多少？
⑶ 该同学的成绩是多少？
5.某企业信息部进行市场调研发现：

北师大版九年级数学下册电子教案及反思
信息一：如果单独投资A种产品，则 所获利润
y
A
(万元)与投资金
额
x
(万元)之间存在正比 例函数关系：
y
A
kx
，并且当投资5万元时，
可获利润2万元；
信息二：如果单独投资B种产品，则所获利润
y
B
(万元)与投资金
额
x
(万元)之间存在二次函数关系：
y
B
ax
2
bx
，并且当投资2万元
时，可获利润2.4万元；当投资4万元，可获利润3.2万元.
(1) 请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式；
(2) 如果企业同时对A 、B两种产品共投资10万元，请你设计一
个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大 利润是
多少.
当堂
训练
教
后
反
思
中考新航标
根据二次函数的图像来确定a、b、c的符合，多以填
空、选择 题的形式出现，在解题时应从抛物线的开口、对
称轴、与y轴交点、与x轴交点个数等方面进行思考，较
全面的完成。

第39课时 4月16日 星期二

课题
复习
目标
二次函数（3） 备课教师

授课教师

1． 经历利用二次函数解决实际问 题的过程，体会二次函数是
一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值．
2．能够分 析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运
用二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值，发 展解决问题的能力
知
识
要
点
考
点
b
2
4acb
2
)
二次函数
yaxbxc
通过配方可得
ya(x
，其抛
2a4a
物线关于直线
x
对称，顶点坐标为（ ， ）.
⑴ 当
a0
时，抛物线开口向 ，有最 （填“高”或“低”）点, 当
x
时，
y
有最 （“大”或“小”）值是 ；
⑵ 当
a0
时，抛物线开口向 ，有最 （填“高”或“低”）点, 当
x
时，
y
有最 （“大”或“小”）值是 ．

2
1. 如图所示，在直角梯 形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，截取AE
＝BF＝DG＝x.已知AB＝6，CD＝3，AD＝4 ；求四边形CGEF的面
积S关于x的函数表达式和x的取值范围.

北师大版九年级数学下册电子教案及反思
训
练







D
xG
C
E
x
A
F
x
B
2. 某企业信息部进行市场调研发现：
信息一：如果单独投资A种产品，则所获利润
y
A
(万元)与投资金
额
x
(万元)之间存在正比例函数关系：
y
A
kx
，并且 当投资5万元时，
可获利润2万元；
信息二：如果单独投资B种产品，则所获利润
y
B
(万元)与投资金
额
x
(万元)之间存在二次函数关系：
y
B
ax
2
bx
，并且当投资2万
元时，可获利润2. 4万元；当投资4万元，可获利润3.2万元.
(1) 请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式；
(2) 如果企业同时对A、B两种产品共投 资10万元，请你设计一
个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是
多 少.
3. 如图，已知矩形OABC的长OA＝
3
，宽OC＝1，将△AOC沿AC翻折得△APC.
（1）填空：∠PCB＝ 度，P点坐标为 ； < br>4
（2）若P、A两点在抛物线y＝－x
2
＋bx＋c上，求b、c的值，3
并说明点C在此抛物线上；
（3）在（2）中的抛物线CP段（不包括C，P点）上， 是否存在
一点M，使得四边形MCAP的面积最大？若存在，求出这个最大值及此
时M点的坐标 ；若不存在，请说明理由.








教
后
反
思
二次函数的综合应用是中考的命题热点 ，在每年的第
24题中考核较多，主要考查学生灵活运用学过的知识解决
一些简单的实际问题的 能力，题目可能一阅读理解、开发
探索的形式出现。

北师大版九年级数学下册电子教案及反思
第40课时 4月17日 星期三

二次函数复习题（一）
一、选择题：
1．(2 011·温州)已知二次函数的图象(0≤x≤3)如图所示，关于该函数在所给自变
量取值范围内，下 列说法正确的是( )

A．有最小值0，有最大值3 B．有最小值－1，有最大值0
C．有最小值－1，有最大值3 D．有最小值－1，无最大值
2．(2012·扬州)将抛物线y＝x
2
＋1先向左 平移2个单位，再向下平移3个单位，
那么所得抛 物线的函数关系式是( )
A．y＝(x＋2)
2
＋2 B．y＝(x＋2)
2
－2
C．y＝(x－2)
2
＋2 D．y＝(x－2)
2
－2
3. (2012·兰州)已知二次函数y＝a(x＋1 )
2
－b(a≠0)有最小值，则a、b的大小关系
为( )
A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．不能确定
4. (2012· 陕西)在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x
2
－x－6向上(下)或向左(右)
平移 了m个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则
|
m
|
的最小值为( )
A．1 B．2 C．3 D．6
5. (2011·兰州)如图，正方形ABCD的边长为1，E、F、G、H分别为各边上的 点，
且AE＝BF＝CG＝DH，设小正方形EFGH的面积为S，AE为x，则S关于x的
函 数图象大致是( )

北师大版九年级数学下册电子教案及反思

二、填空题：

6．(2012·上海)将抛物线y＝x
2
＋x向 下平移2个单位，所得抛物线的表达式是
____________．
7. (2012·苏 州)已知点A(x
1
，y
1
)、B(x
2
，y
2< br>)在二次函数y＝(x－1)
2
＋1的图象上，
若x
1
＞x< br>2
＞1，则y
1
______y
2
.(填“＞”、“＜”或“ ＝”)
8．(2011·湖州)如图，已知抛物线y＝x
2
＋bx＋c经过点(0， －3)，请你确定一个b
的值，使该抛物线与x轴的一个交点在(1，0)和(3，0)之间，你所确定 的b的值
是________．

9. (2012·日照 )二次函数y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，给出下列结论：①
b
2
－4ac>0；② 2a＋b<0；③ 4a－2b＋c＝0；④ a∶b∶c＝－1∶2∶3.其中正确的
是________．
10．(2011·茂名)给出下列命题：
1
命题1：点(1，1)是双曲线y＝< br>x
与抛物线y＝x
2
的一个交点．
2
命题2：点(1，2) 是双曲线y＝
x
与抛物线y＝2x
2
的一个交点．
3
命题 3：点(1，3)是双曲线y＝
x
与抛物线y＝3x
2
的一个交点．
……
请你观察上面的命题，猜想出命题n(n是正整数)：____________________．
第41课时 4月18日 星期四

北师大版九年级数学下册电子教案及反思
二次函数复习题（二）
三、解答题：
11. (2012·杭州)当k分别取－1，1，2时，函数y＝(k－1) x
2
－4x＋5－k都有最大
值吗？请写出你的判断，并说明理由；若有，请求出最大 值．




12．(2011·南京)已知函数y＝mx
2
－6x＋1(m是常数)．
(1)求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；
(2)若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值．




13. (2012·聊城)某电子厂商投产一种新型电子厂品，每件制造成本为18元，试销
过程中发现，每月销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的关系可以近似地看作一
次函数y＝－2x ＋100.(利润＝售价－制造成本)
(1)写出每月的利润z(万元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；
(2)当销售单价 为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润？当销售单价
为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最 大利润是多少？
(3)根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商
要获得每月不低于350万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需
要多少万元？

北师大版九年级数学下册电子教案及反思
14. (2012·安顺)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边长OA、
OC分别为12 cm、6 cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，
抛物线y＝ax
2
＋bx＋c经过点A、B，且18a＋c＝0.
(1)求抛物线的解析式；
(2)如果点P由点A开始沿AB边以1 cms的速度向终点B移动，同时点Q
由点B开始沿BC边以2 cms的速度向终点C移动．
①移动开始后第t秒时，设△PBQ的面积为S，试写出S与t之间的函数关
系式，并写出t的取值范 围；
②当S取得最大值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶
点的四边形 是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说
明理由．

四、附加题
15．(2012·恩施)如图，已知抛物线y＝－x
2
＋bx ＋c与一直线相交于A(－1，0)、
C(2，3)两点，与y轴交于点N.其顶点为D.
(1)求抛物线及直线AC的函数关系式；
(2)设点M(3，m)，求使MN＋MD的值最小时m的值；
(3)若抛物线的对称轴与直线AC 相交于点B，E为直线AC上的任意一点，
过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B、D、E、F为顶 点的四边形能否为平行
四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；
(4)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大
值．

北师大版九年级数学下册电子教案及反思

第42课时 4月19日 星期五
函数的综合应用（一）

一、选择题：
b
1．(2012·黄石)已知反比例函数y＝
x
(b为常数)，当x>0时，y随x的增大而 增大，
则一次函数y＝x＋b的图象不经过第几象限( )
A．一 B．二 C．三 D．四
2．已知函数y＝(x－a)(x－b)(其中a＞b)的图象如图所示，则函数y＝ax＋b 的图
象可能正确的是( )

3．等腰三角形的周长为4，当底边长y是腰长x的函数时，此函数的图象是( )
4.如图，抛物线y＝x
2
＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，∠OBC＝
45°，则下列各式成立的是( )
A．b－c－1＝0 B．b＋c－1＝0
C．b－c＋1＝0 D．b＋c＋1＝0
2
5 .如图所示，函数y
1
＝x－1和函数y
2
＝
x
的图象相交 于点M(2，
m)、N(－1，n)，若y
1
＞y
2
，则x的取值范 围是( )

北师大版九年级数学下册电子教案及反思
A．x＜－1或0＜x＜2
B．x＜－1或x＞2
C．－1＜x＜0或0＜x＜2
D．－1＜x＜0或x＞2
1
6．(2012·呼和浩特)已知M、N两点关于y轴 对称，且点M在双曲线y＝
2x
上，
点N在直线y＝x＋3上，设点M的坐标为(a， b)，则二次函数y＝－abx
2
＋(a
＋b)x( )
99
A．有最大值，最大值为－ B．有最大值，最大值为
22
99
C．有最小值，最小值为
2
D．有最小值，最小值为－
2

7．已知一元二次方程ax
2
＋bx ＋c＝0(a＞0)的两个实数根x
1
、x
2
满足x
1
＋x
2
＝4
和x
1
·x
2
＝3，那么二次函数y＝ax
2
＋bx＋c(a＞0)的图象有可能是( )

8．烟花厂为扬州“4 ·18烟花三月经贸旅游节”特别设计制作了一种新型礼炮，这
5
种礼炮的升空高度h(m)与 飞行时间t(s)的关系式是h＝－
2
t
2
＋20t＋1，若这种
礼 炮在点火升空后到最高点处才引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为
( )
A．3 s B．4 s C．5 s D．6 s
9．(2012·东营)根据如图所 示程序计算函数值，若输
5
入的x的值为
2
，则输出的函数值为( )
32425
A.
2
B.
5
C.
25
D.
4

10．(2012·大连)如 图，一条抛物线与x轴相交于A、B两点，
其顶点P在折线C－D－E上移动，若点C、D、E的坐标< br>分别为(－1,4)、(3,4)、(3,1)，点B的横坐标的最小值为1，
则点A的横坐标的 最大值为( )