福建选调生-申请书样本

第一章 三角形的证明
【单元分析】
本章是八年级上册第七章《平行线的证明》的继续，在“平等线的证明”一章中，我们给出了
8 条基本事实，并从其中的几条基本事实出发证明了有关平行线的一些结论。 运用这些基本事实和
已经学习过的定理，我们还可以证明有关三角形的一些结论。
在这之前， 学生已经对图形的性质及其相互关系进行了大量的探索，探索的同时也经历过一些
简单的推理过程，已经 具备了一定的推理能力，树立了初步的推理意识，从而为本章进一步严格证
明三角形有关定理打下了基础 。
【单元目标】
1.知识和技能
（1）等腰三角形的性质和判定定理；
（2）直角三角形的性质定理和判定定理；
2.过程和方法
（1）会运用等腰三角形的性质和判定定理解决相关问题；
（2）直角三角形的性质定理和判定定理解决简单的实际问题；
3.情感态度和价值观
（1）经历由情景引出问题，探索掌握有关数学知识，再运用于实践的过程，培养学数学 、用数
学的意识和能力；
（2）感受数学文化的价值和中国传统数学的成就，激发学生热爱祖国和热爱祖国悠久文化的思
想感情。
【单元重点】
在证明过程中，进一步感受证明过程，掌握推理证明的基本要求，明确条件和结 论，能够借
助数学符号语言利用综合法证明等腰三角形的性质定理和判定定理。
【单元难点】
明确推理证明的基本要求如明确条件和结论，能否用数学语言正确表达等。
【教学思路】 < br>1.对于已有命题的证明，教学过程中要注意引导学生回忆过去的探索、说理过程，从中获取严
格 证明的思路；对于新增命题，教学过程中要重视学生的探索、证明过程，关注该命题和其他已有
命题之间 的关系；对于整章的命题，注意关注将这些命题纳入一个命题系统，关注命题之间的关系，
从而形成对相 关图形整体的认识。
2.对于证明的方法，除了注重启发和回忆，还应注意关注证明方法的多样性，力 图通过学生的
自主探索，获得多样的证明方法，并在比较中选择适当的方法。
3.证明过程中注意揭示蕴含其中的数学思想方法，如转化、归纳、类比等。
4.作为初中阶 段几何证明的最后阶段，教学中应要求学生掌握综合法和分析法证明命题的基本
要求，掌握规范的证明表 述过程，达成课程标准对证明表述的要求。
【单元课时安排】
课题
1.1 等腰三角形
1.2 直角三角形
1.3 线段的垂直平分线
1.4 角平分线
回顾和思考
课时
4课时
2课时
2课时
2课时
2课时
1.1 等腰三角形

【教学目标】
1．知识和技能
理解作为证明基础的几条公理的内容，使用这些公理证明等腰三角形的性质定理。
2．过程和方法
经历“探索－发现－猜想－证明”的过程，让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展，发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力。
3．情感态度和价值观
启发引导学生体会探索结论和证明结论，及合情推理和演绎的相互依赖和相互补充的辩
证关系。
【教学重点】
经历“探索——发现一一猜想——证明”的过程。
【教学难点】
用综合法证明有关三角形和等腰三角形的一些结论。
【教学方法】
讲授法
【课时安排】
4课时
第一课时
【教学目标】
1．知识和技能
能够借助数学符号语言利用综合法证明等腰三角形的性质定理和判定定理。
2．过程和方法
经历“探索－发现－猜想－证明”的过程，让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续
和必要发展，发 展学生的初步的演绎逻辑推理的能力。
3．情感态度和价值观
启发引导学生体会探索结论和证明结论，及合情推理和演绎的相互依赖和相互补充的辩证
关系。
【教学重点】
探索证明等腰三角形性质定理的思路和方法，掌握证明的基本要求和方法。
【教学难点】
明确推理证明的基本要求如明确条件和结论，能否用数学语言正确表达等。
【教学过程】
教学过程
第一环节：回顾旧知 导出公理
提请学生回忆并整理已经学过的8条基本事实中的5条：
1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行；
2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等；
3.两边夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）；
4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）；
5.三边对应相等的两个三角形全等（SSS）；
在此基础上回忆全等三角形的另一判别条件 ：1.（推论）两角及其中一
角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS），并要求学生利用前面所提 到的
公理进行证明；2.回忆全等三角形的性质。
已知：如图，∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF.
教学随笔

求证：△ABC≌△DEF.
证明：∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知），
又∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于180°），
∴∠C=180°-(∠A+∠B)，
∠F=180°-(∠D+∠E)，
∴∠C=∠F（等量代换）。
又BC=EF（已知），
∴△ABC≌△DEF（ASA）。
第二环节：折纸活动 探索新知
在提问：“等 腰三角形有哪些性质？以前是如何探索这些性质的，你能
再次通过折纸活动验证这些性质吗？并根据折纸 过程，得到这些性质的证明
吗？”的基础上，让学生经历这些定理的活动验证和证明过程。具体操作中，
可以让学生先独自折纸观察、探索并写出等腰三角形的性质，然后再以六人
为小组进行交流，互 相弥补不足。

A
A
A
第三环节：明晰结论和证明过程
在学生小组合作的基础上，教师通过分析、提问，和学生一起完成以上
两个个性质定理的证明，注意最好 让两至三个学生板演证明,其余学生挑选
其一证明.其后，教师通过课件汇总各小组的结果以及具体证明 方法，给学
生明晰证明过程。
B
B
B
C
D
DD
(C)
C
（1）等腰三角形的两个底角相等；
（2）等腰三角形顶角的平分线、底边中线、底边上高三条线重合
第四环节：随堂练习 巩固新知
学生自主完成P4第2题：如图（图略）,在△ABD中,C是BD上的一点，
且A C⊥BD，AC=BC=CD，
（1）求证：△ABD是等腰三角形；
（2）求∠BAD的度数。
第五环节：课堂小结
让学生畅谈收获，包括具体结论以及其中的思想方法等。
第六环节：布置作业
课本第4页习题1.1第2、3题
→ →
【板书设计】
1.1 等腰三角形（一）
证明：∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知），
又∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于180°），
∴∠C=180°-(∠A+∠B)，
∠F=180°-(∠D+∠E)，
∴∠C=∠F（等量代换）。
又BC=EF（已知），
∴△ABC≌△DEF（ASA）。
【教学反思】
第二课时
【教学目标】
1．知识和技能
进一步熟悉证明的基本步骤和书写格式，体会证明的必要性。

2．过程和方法
让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展，发展学生的初步的演绎
逻辑推理的能力。
3．情感态度和价值观
体验数学活动中的探索和创造，感受数学的严谨性。
【教学重点】
用面积法验证勾股定理。
【教学难点】
用综合法证明有关三角形和等腰三角形的一些结论。
【教学过程】
教学过程
第一环节：提出问题，引入新课
在回忆上节课等腰三角形性质的基础上，提出问题：
在等腰三角形中作出一些线段(如角平分线、中线、高等)，你能发现其中一
第二环节：自主探究
在等腰三角形中自主作出一些线段(如角平分线、中线、高等)，观察其
中有哪些相等的线段，并尝试给出证明。
你可能得到哪些相等的线段？
你如何验证你的猜测？
你能证明你的猜测吗？试作图，写出已知、求证和证明过程；
还可以有哪些证明方法？
通过学生的自主探究和同伴的交流，学生一般都能在直观猜测、测量验
证的基础上探究出：
等腰三角形两个底角的平分线相等；
等腰三角形腰上的高相等；
等腰三角形腰上的中线相等．
并对这些命题给予多样的证明。
如对于“等腰三角形两底角的平分线相等”，学生得到了下面的证明方
法：
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD、CE是△ABC的角平分线．
求证：BD=CE．
证法1：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB(等边对等角)．

教学随笔
A
E
3
B
D
4
2
1
C

11
∵∠1= ∠ABC，∠2= ∠ABC，
22
∴∠1=∠2．
在△BDC和△CEB中，
∠ACB=∠ABC，BC=CB，∠1=∠2．
∴△BDC≌△CEB(ASA)．
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)
证法2：证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB．
又∵∠3=∠4．
在△ABC和△ACE中，
∠3=∠4，AB=AC，∠A=∠A．
∴△ABD≌△ACE(ASA)．
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)．
第三环节：经典例题 变式练习
提请学生思考，除了角平分线、中线、高等特殊的线段外， 还可以有哪
些线段相等？并在学生思考的基础上，研究课本“议一议”：
在课本图1—4的等腰三角形ABC中，
11
(1)如果∠ABD= ∠ABC，∠ACE= ∠ACB呢?由此，你能得到一个什么结
34
论?
1111
(2)如果AD= AC，AE= AB，那么BD=CE吗?如果AD= AC，AE= AB呢?
2233
由此你得到什么结论?
第四环节：拓展延伸，探索等边三角形性质
提请学生在上面等要三角形性质定理的基础上，思 考等边三角形的特殊
性质：等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°.
已知：在ΔABC中，AB=BC=AC．
求证：∠A=∠B=∠C=60°.
证明：在ΔABC中，∵AB=AC，∴∠B=∠C(等边对等角)．
同理：∠C=∠A，∴∠A=∠B=∠C（等量代换）．
又∵∠A+∠B+∠C＝180°（三角形内角和定理），∴∠A=∠B=∠C

＝60°．
学生一般都能得到这些定理的证明，能规范地写出对于“等边三角形三
个 内角都相等并且每个内角都等于60°”的证明过程：
第五环节： 随堂练习 及时巩固
在探索得到了等边三角形的性质的基础上，让学生独立完成以下练习。
1.如图,已知△ABC和△BDE都是等边三角形.
求证:AE=CD
活动意图：在巩固等边三角形的性质的同时，进一
步掌握综合证明法的基本要求和步骤，规范证明的书写
格式。
第六环节：探讨收获 课时小结
本节课我们通过观察探索、发现并 证明了等腰三角形中相等的线段，并
由特殊结论归纳出一般结论，
第七环节：布置作业
课本第7页习题1.2第2、3题
【板书设计】
1.2 等腰三角形（二）
已知：在ΔABC中，AB=BC=AC．
求证：∠A=∠B=∠C=60°.
证明：在ΔABC中，∵AB=AC，∴∠B=∠C(等边对等角)．
同理：∠C=∠A，∴∠A=∠B=∠C（等量代换）．
又∵∠A+∠B+∠C＝180°（三角形内角和定理），∴∠A=∠B=∠C＝60°．
【教学反思】
第三课时
【教学目标】
1．知识和技能
探索等腰三角形判定定理。
2．过程和方法
理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明。
3．情感态度和价值观
培养学生的逆向思维能力。
【教学重点】
理解等腰三角形的判定定理。
【教学难点】
了解反证法的基本证明思路，并能简单使用。
【教学过程】
B
D
E
C
A

教学过程
第一环节：复习引入
通过问题串回顾等腰三角形的性质定理以及证明的思路，要求学生独立
思考后再进交流。
问题1.等腰三角形性质定理的内容是什么？这个命题的题设和结论分
别是什么？
问题2.我们是如何证明上述定理的？
问题3.我们把性质定理的条件和结论反过来还成立 么？如果一个三角
形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等？
第二环节：逆向思考，定理证明
教师：上面，我们改变问题条件，得出了很多类似的结论，这是研究问
题的一种常用方法，除此之外，我们还可以“反过来”思考问题，这也是获
得数学结论的一条途 径．例如“等边对等角”，反过来成立吗?也就是：有两
个角相等的三角形是等腰三角形吗?
[生]如图，在△ABC中，∠B=∠C，要想证明AB=AC，
A
只要构造两个全等的三角形 ，使AB和AC成为对应边就可
以了．
[师]你是如何想到的?
[生]由前面定 理的证明获得启发，比如作BC的中线，
或作A的平分线，或作BC上的高，都可以把△ABC分成两< br>B
C
个全等的三角形．
[师]很好．同学们可在练习本上尝试一下是否如此，然后分组讨论．
[生]我们组发现，如 果作BC的中线，虽然把△ABC分成了两个三角形，
但无法用公理和已证明的定理证明它们全等．因为 我们得到的条件是两个三
角形对应两边及其一边的对角分别相等，是不能够判断两个三角形全等
的．后两种方法是可行的．
[师]那么就请同学们任选一种方法按要求将推理证明过程书写出
来．(教师可让两个同学在黑板上演示，并对推理证明过程讲评)
(证明略)
[师]我们用 “反过来”思考问题，获得并证明了一个非常重要的定理—
—等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三 角形是等腰三角形．这一定理
可以简单叙述为：等角对等边．我们不仅发现了几何图形的对称美，也发现
了数学语言的对称美．
第三环节：巩固练习
将书中的随堂练习提前到此，是为了及时巩固判定定理。引导学生进行
分析。
已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，AD∥BC且∠1=∠2．
求证：AB=AC．
证明：∵AD∥BC，
∴∠1=∠B(两直线平行，同位角相等)，
A
1
D
2
∠2=∠C(两直线平行，内错角相等)．
又∵∠1=∠2，∴∠B=∠C．
∴AB=AC(等角对等边)．
B
C
第四环节：适时提问 导出反证法
我们类比归纳获得一个数学结论，“反过来”思考问题也获得了一个数
教学随笔

学结论．如果否定命题的条件，是否也可获得一个数学结论吗?我们一起来
“想一想”： 小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边
也不相等．你认为这个结论成 立吗?如果成立，你能证明它吗?
有学生提出：“我认为这个结论是成立的．因为我画了几个三角形， 观
察并测量发现，如果两个角不相等，它们所对的边也不相等．但要像证明“等
角对等边”那样 却很难证明，因为它的条件和结论都是否定的．”的确如此．像
这种从正面人手很难证明的结论，我们有 没有别的证明思路和方法呢?
我们来看一位同学的想法：
A
如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时AB
和Ac要么相等，要么不相等．
A
假设AB=AC，那么根据“等边对等角”定理可
得∠C=∠B，但已知条件是∠ B≠∠C．“∠C=∠B”
N
M
D
和已知条件“∠B≠∠C”相矛盾，因此AB≠AC
BC
你能理解他的推理过程吗?
B C
再例如，我们要证明△ABC中不可能有两个直角，也可以采用这位同学
的证 法，假设有两个角是直角，不妨设∠A=90°，∠B=90°，可得∠A+∠
B=180°，但△AB ∠A+∠B+∠C=180°, “∠A+∠B=180°”和“∠A+∠B+∠
C=180°”相矛盾 ，因此△ABC中不可能有两个直角．
引导学生思考：上一道面的证法有什么共同的特点呢?引出反证法。
都是先假设命题的结论不 成立，然后由此推导出了和已知或公理或已证
明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立．这也是 证明命题的一种
方法，我们把它叫做反证法．
接着用“反过来”思考问题的方法获得并证明了 等腰三角形的判定定理
“等角对等边”，最后结合实例了解了反证法的含义．
第五环节：拓展延伸
活动过程和效果：在一节课结束之际，为培养学生思维的综合性、灵< br>活性特安排了2个练习。一个是通过平行线、角平分线判定三角形的形状，
再通过线段的转换求图 形的周长。另一个是一个开放性的问题，考察学生多
角度多维度思考问题的能力。学生在独立思考的基础 上再小组交流。
1.如图，BD平分∠CBA，CD平分∠ACB，且MN∥BC，设AB=12，A C=18，
求△AMN的周长. .
2.现有等腰三角形纸片,如 果能从一个角的顶点出发,将原纸片一次剪
开成两块等腰三角形纸片,问此时的等腰三角形的顶角的度数 ?
第六环节：课堂小结
（1）本节课学习了哪些内容？
（2）等腰三角形的判定方法有哪几种？
（3）结合本节课的学习，谈谈等腰三角形性质和判定的区别和联系．
（4）举例谈谈用反证法说理的基本思路
第七环节：布置作业

【板书设计】
1.1 等腰三角形（三）
已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，AD∥BC且∠1=∠2．
A
1
2
D
B
C

求证：AB=AC．
证明：∵AD∥BC，
∴∠1=∠B(两直线平行，同位角相等)，
∠2=∠C(两直线平行，内错角相等)．
又∵∠1=∠2，∴∠B=∠C．
∴AB=AC(等角对等边)．
【教学反思】
第四课时
【教学目标】
1．知识和技能
理解等边三角形的判别条件及其 证明，理解含有30º角的直角三角形性质及其证明，并能利
用这两个定理解决一些简单的问题。
2．过程和方法
经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维。
3．情感态度和价值观
在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。
【教学重点】
等边三角形判定定理的发现和证明。
【教学难点】
了解反证法的基本证明思路，并能简单使用。
【教学过程】
教学过程
第一环节：提问问题，引入新课
教师回顾前面等腰三角形的性质和判定定理的基础上，直接 提出问题：
等边三角形作为一种特殊的等腰三角形，具有哪些性质呢？又如何判别一个
三角形是 等腰三角形呢？从而引入新课。
开门见山，引入新课，同时回顾，也为后续探索提供了铺垫。
(教师应给学生自主探索、思考的时间)
第二环节：自主探索
学生自主探究等腰 三角形成为等边三角形的条件，并交流汇报各自的结
论，教师适时要求学生给出相对规范的证明，概括出 等边三角形的判别条件，
并引导学生总结出下表：

等腰三角形
（含等边三
角形）
性质
等边对等角
判定的条件
等角对等边
教学随笔
“三线合一”即等腰
有一角是60°
三角形顶角平分线，
底边上的中线、高互
相重合
等边三角形三个角
都相等，且每个角都
是60°
三个角都相等的
三角形是等边三
角形
经历定理的探究过程，即明确有关定理，同时提高学生的自主探究能力。
第三环节：实际操作 提出问题
活动内容：教师直接提出问题：我们还学习过直角三角形，今天我们研

究一个特殊的直角三角形：含30°角的直角三角形。拿出三角板，做一做：
用含30°角的两个三角尺，你能拼成一个怎样的三角形?能拼出一个等边
三角形吗?
在你所拼得的等边三角形中，有哪些线段存在相等关系，有哪些线段存
在倍数关系，你能得到什么结论 ？说说你的理由．
让学生经历拼摆三角尺的活动，发现结论：在直角三角形中，如果一个
锐角 等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边
等于斜边的一半．
已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°．
1
求证：BC= AB．
2
分析：从三角尺的拼摆过程中得到启发，延长BC至D，使CD=BC，
连接AD．
证明：在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°∠B=60°.
延长BC至D，使CD=BC，连接AD(如图所示)．
∵∠ACB=90°∴∠ACB=90°
A
∵AC=AC，∴△ABC≌△ADC(SAS)．
∴AB=AD(全等三角形的对应边相等)．
∴△ABD是等边三角形(有一个角是60°
的等腰三角形是等边三角形)．
11
∴BC= BD= AB．
22
B
第四环节：变式训练 巩固新知
D
C
直接提请学生思考刚才命题的逆命题：在
直角三角形中，如果 一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐
角等于30°吗?如果是，请你证明它．
在师生分析的基础上，给出证明：
1
已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC= AB．
2
求证：∠BAC=30°
证明：延长BC至D，使CD=BC，连接AD.
∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°．
又∵AC=AC．
∴△ACB≌△ACD(SAS)．
∴AB=AD．
1
∵CD=BC，∴BC= BD．
2
1
又∵BC= AB，∴AB=BD．
2
A
A
B
B
C
C
D

A
∴AB=AD=BD，
A
即△ABD是等边三角形．
∴∠B=60°．在Rt△ABC中，∠
BC
B
D
D
BAC=30°．
(2)
(1)
呈现例题，在师生分析的基础上，
运用所学的新定理解答例题。
等腰三角形的底角为15°，腰长为2a，求腰上的高CD的长.
分析：观察图形可以
发现在Rt△ADC中，
AC=2a而∠DAC是△
A
ABC的一个外角，而∠DAC=×15°=30°，根据在
B
直角三角形中，30°角所对
的直角边是斜 边的一半，
可求出CD．
解：∵∠ABC=∠ACB=15°
∴∠DAC=∠ABC+∠ACB=15°+15°=30°
C
D
C
11
∴CD= AC= ×2a= a(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么
22
它所对的直角边等于斜边的一半)．
第五环节：畅谈收获 课时小结
让学生对课堂学习进行小结，注意总结具体的知识、结论， 以及解决问
题的方法和蕴含其中的思想，如分类讨论思想、逆向思维等。
第六环节：布置作业
【板书设计】
1.1 等腰三角形（四）
1
已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC= AB．
2
求证：∠BAC=30°
证明：延长BC至D，使CD=BC，连接AD.
∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°．
又∵AC=AC．
∴△ACB≌△ACD(SAS)．
∴AB=AD．
1
∵CD=BC，∴BC= BD．
2
1
又∵BC= AB，∴AB=BD．
2
A
B
C
D

A
A

B
∴AB=AD=BD，
即△ABD是等边三角形．
∴∠B=60°．在Rt△ABC中，∠BAC=30°．
【教学反思】
D
(1)
C
B
D
(2)
C
1.2 直角三角形
【教学目标】
1．知识和技能
（1）掌握直角三角形的性 质定理（勾股定理）及判定定理的证明方法，并能使用定理解
决和直角三角形有关的问题。
（ 2）结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命
题不一定成立。
2．过程和方法
（1）进一步经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，
发展抽象思维．
（2）进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理的能力。
3．情感态度和价值观
体验生活中的数学的使用价值，感受数学和人类生活的密切联系，激发学生学数学、用
数学的兴趣。
【教学重点】
掌握直角三角形的性质定理（勾股定理）及判定定理的证明方法。
【教学难点】
使用定理解决和直角三角形有关的问题。
【教学方法】
讲授法
【课时安排】
2课时
第一课时
【教学目标】
1．知识和技能
掌握直角三角形的性质定理（勾股定理）及判定定理的证明方法。
2．过程和方法
进一步经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号 感，发展抽象
思维。
3．情感态度和价值观
在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。
【教学重点】
掌握直角三角形的性质定理（勾股定理）及判定定理的证明方法。
【教学难点】
结 合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定
成立。
【教学过程】

教学过程
第一环节：创设情境，引入新课
通过问题1，让学生在解决问题的同时，回顾直角三角形的一般性质。
[问题1]一个直角三角形房梁如图所示，其中BC⊥AC， ∠BAC=30°，
AB=10 cm，CB
1
⊥AB，B
1
C⊥AC
1
，垂足分别是B1
、C
1
，那么BC的长是多
少? B
1
C
1
呢?
解：在Rt△ABC中，∠CAB=30°，AB=10 cm，
11
∴BC＝ AB＝ ×10＝5 cm．
22
∵CB
1
⊥AB，∴∠B+∠BCB
1
＝90°
又∵∠A+∠B＝90°
∴∠BCB
1
＝∠A＝30°
B
B
1
教学随笔
A
115
在Rt△ACB
1
中，BB
1
＝ BC＝ ×5＝ cm＝2．5 cm．
222
∴AB1＝AB＝BB
1
＝10—2.5＝7.5(cm)．
∴在Rt△C
1
AB
1
中，∠A＝30°
11
∴B
1
C
1
＝ AB
1
＝ × 7.5＝3.75(cm)．
22
C
1
C
解决这个问题，主要利用 了上节课已经证明的“30°角的直角三角形的
性质”．由此提问：“一般的直角三角形具有什么样的性 质呢?”从而引入勾
股定理及其证明。
教材中曾利用数方格和割补图形的方法得到了勾股定理 ．如果利用公理
及由其推导出的定理，能够证明勾股定理吗?
请同学们打开课本P18，阅读 “读一读”，了解一下利用教科书给出的公
理和推导出的定理，证明勾股定理的方法．
第二环节：讲述新课
阅读完毕后，针对“读一读”中使用的两种证明方法，着重讨论第一种，
第二种方法请有兴趣的同学课后阅读．
（1）．勾股定理及其逆定理的证明．
已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．
求证：a
2
+b
2
＝c
2
．
证明：延长 CB至D，使BD＝b，作∠EBD＝∠A，并取BE＝c，连接
ED、AE(如图)，则△ABC≌△ BED．
∴∠BDE＝90°，ED＝a(全等三角形的对应角相等，
A
对应边相等)．
∴四边形ACDE是直角梯形．
∴S梯形
ACDE
＝
11
(a+b)(a+b) ＝
22
(a+b)
2
．
∴∠ABE＝180°－(∠ABC＋∠
EBD)＝180°－90°＝90°，
AB＝BE．
1
∴S△ABE＝ c
2

2
A< br>b
C
c
C
B
E
a
B
D

∵S梯形ACDE＝S
△
ABE
+S
△
ABC
+S
△
BED
，
1111
∴ (a+b)
2
＝ c
2
+ ab + ab,
2222
111
即 a
2
+ ab + b
2
＝ c
2
+ ab,
222
∴a
2
+b
2
＝c
2

教 师用多媒体显示勾股定理内容，用课件演示勾股定理的条件和结论，
并强调．具体如下：勾股定理：直角 三角形两直角边的平方和等于斜边的平
方．
反过来，如果在一个三角形中，当两边的平方和等 于第三边的平方时，
我们曾用度量的方法得出“这个三角形是直角三角形”的结论．你能证明此结
论吗?
师生共同来完成．
已知：如图：在△ABC中，AB
2
+AC< br>2
＝
A
BC
2

求证：△ABC是直角三角形． < br>分析：要从边的关系，推出∠A＝90°是
不容易的，如果能借助于△ABC和一个直角
三角形全等，而得到∠A和对应角(构造的三
B
C
角形的直角)相等，可证．
证明：作Rt△A′B′C′，使∠A′＝90°，A′B′＝AB，A′C′、AC(如图)，
则A′B′
2
＋A′C′
2
.(勾股定理)．
A
'
∵AB
2
＋AC
2
＝BC
2
，A′B′＝AB， A′C′
∴BC
2
＝B′C′
2
∴BC＝B′C′
B
'
C
'
∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）
∴∠A＝∠A′＝90°(全等三角形的对应角相等)．
因此，△ABC是直角三角形． < br>总结得勾股逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么
这个三角形是直角三角形．
（2）．互逆命题和互逆定理．
观察上面两个命题，它们的条件和结论之间有怎样的关系?在前面的学
习中还有类似的命题吗?
通过观察，学生会发现：
上面两个定理的条件和结论互换了位置，即勾股定理的条件是第二个 定
理的结论，结论是第二个定理的条件．
这样的情况，在前面也曾遇到过．例如“两直线平行 ，内错角相等”，交
换条件和结论，就得到“内错角相等，两直线平行”．又如“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边就等于斜边的一半”．交换此定
理的条件和结论就可 得“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，
那么这条直角边所对的锐角等于30°”。
第三环节：议一议
观察下面三组命题：学生以分组讨论形式进行，最后在教师的引导下得出命题和逆命题的区别和联系。
让学生畅所欲言，体会逆命题和命题之间的区别和联系，要能够清晰地

分别出一个命题的题设和结论，能够将一个命题写出“如果……；那么……”
的形式，以及能够写出一 个命题的逆命题。
活动中，教师应注意给予适度的引导，学生若出现语言上不严谨时，要
先让 这个疑问交给学生来剖析，然后再总结。活动时可以先让学生观察下面
三组命题：
如果两个角是对顶角，那么它们相等．
如果两个角相等，那么它们是对顶角．
如果小明患了肺炎，那么他一定发烧．
如果小明发烧，那么他一定患了肺炎．
三角形中相等的边所对的角相等．
三角形中相等的角所对的边相等．
上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗?和同伴交流．
不难发现，每组第二个命 题的条件是第一个命题的结论，第二个命题的
结论是第一个命题的条件．
在两个命题中，如果 一个命题条件和结论分别是另一个命题的结论和条
件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为 另一个命题的逆命题，
相对于逆命题来说，另一个就为原命题．
再来看“议一议”中的三组命 题，它们就称为互逆命题，如果称每组的第
一个命题为原命题，另一个则为逆命题．请同学们判断每组原 命题的真假．逆
命题呢?
在第一组中，原命题是真命题，而逆命题是假命题．
在第二组中，原命题是真命题，而逆命题是假命题．
在第三组中，原命题和逆命题都是真命题．
由此我们可以发现：原命题是真命题，而逆命题不一定是真命题．
第四环节：想一想
要写出原命题的逆命题，需先弄清楚原命题的条件和结论，然后把结论
变换成条件，条件变换成结论， 就得到了逆命题．
请学生写出命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题
吗 ?它们都是真命题吗？
从而引导学生思考：原命题是真命题吗?逆命题一定是真命题吗? 并通
过具体的实例说明。
如果有些命题，原命题是真命题，逆命题也是真命题，那么我们称它们
为互逆定理.
其中逆命题成为原命题(即原定理)的逆定理．
能举例说出我们已学过的互逆定理? 如我们刚证过的勾股定理及其逆定理，“两直线平行，内错角相等”和“内
错角相等，两直线平行” ．“全等三角形对应边相等”和“三边对应相等的三角
形全等”、“等边对等角”和“等角对等边”等．
第五环节：随堂练习
说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假;
(1)四边形是多边形；
(2)两直线平行，内旁内角互补；
(3)如果ab＝0，那么a＝0， b＝0
[分析]互逆命题和互逆定理的概念，学生接受 起来应不会有什么困难，
尤其是对以“如果……那么……”形式给出的命题，写出其逆命题较为容易，< /p>

但对于那些不是以这种形式给出的命题，叙述其逆命题有一定困难．可先分析命题的条件和结论，然后写出逆命题．
解：(1)多边形是四边形．原命题是真命题，而逆命题是假命题．
(2)同旁内角互补，两直线平行．原命题和逆命题同为正．
(3)如果a＝0，6＝0，那么ab＝0．原命题是假命题，而逆命题是真命题．
第六环节：课时小结
这节课我们了解了勾股定理及逆定理的证明方法，并结合数学和生活中< br>的例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道，原命题成立，其逆
命题不一定成立，掌握 了证明方法，进一步发展了演绎推理能力．
第七环节：课后作业
习题1．5第1、2、3、4题
【板书设计】
1.2 直角三角形（一）
已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．
求证：a
2
+b
2
＝c
2
．
证明：延长 CB至D，使BD＝b，作∠EBD＝∠A，并取BE＝c，连接ED、AE(如图)，则△ABC
≌△ BED．
∴∠BDE＝90°，ED＝a(全等三角形的对应角相等，对应边相等)．
∴四边形ACDE是直角梯形．
11
∴S梯形
ACDE
＝ (a+b)(a+b) ＝ (a+b)
2
．
22
∴∠ABE＝180°－(∠ABC＋∠EBD)＝180°－90°＝90°，
AB＝BE．
A
1
2
∴S△ABE＝ c
2
∵ S梯形ACDE＝S
△
ABE
+S
△
ABC
+S
△
BED
，
1111
∴ (a+b)
2
＝ c
2
+ ab + ab,
2222
111
即 a
2
+ ab + b
2
＝ c
2
+ ab,
222
∴a
2
+b
2
＝c
2

【教学反思】
第二课时
【教学目标】
1．知识和技能
能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理，进一步理解证明的必要性。
2．过程和方法
进一步经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象
思维 。
3．情感态度和价值观
进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力。
【教学重点】
能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理。
【教学难点】
进一步理解证明的必要性。
b
C
c
E
a
B
D

【教学过程】
教学过程
第一环节：复习提问
1.判断两个三角形全等的方法有哪几种？
2.已知一条边和斜边，求作一个直角三角形。想一想，怎么画？同学们
相互交流。
3、有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗？如果其中
一个角是直角呢？请证明你的结论 。
我们曾从折纸的过程中得到启示，作了等腰三角形底边上的中线或顶角
的角平分线，运用公 理，证明三角形全等，从而得出“等边对等角”。那么我
们能否通过作等腰三角形底边的高来证明“等边 对等角”．
要求学生完成，一位学生的过程如下：
已知：在△ABC中， AB=AC．
求证：∠B=∠C．
证明：过A作AD⊥BC，垂足为C，
∴∠ADB=∠ADC=90°
又∵AB=AC，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD．
∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）
在实际的 教学过程中，有学生对上述证明方法产生了质疑。质疑点在
于“在证明△ABD≌△ACD时，用了“两 边及其中一边的对角对相等的两个
三角形全等”．而我们在前面学习全等的时候知道，两个三角形，如果 有两
边及其一边的对角相等，这两个三角形是不一定全等的．可以画图说明．(如
图所示在AB D和△ABC中，AB=AB，∠B=∠B，AC=AD，但△ABD和△
ABC不全等)” ．
也有学生认同上述的证明。
教师顺水推舟，询问能否证明：“在两个直角三角形中，直角所对 的边
即斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．”，从而引入新课。
第二环节：引入新课
（1）．“HL”定理．由师生共析完成
已知：在Rt△AB C和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，BC=B′C′．
求证：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′
证明：在Rt△ABC中，AC=AB
2
一
A
'
A
BC
2
(勾股定理)．
又∵在Rt△ A' B' C'中，A' C'
=A'C'=A'B'
2
一B'C'
2
(勾股定理)．
AB=A'B'，BC=B'C'，AC=A'C'．
∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C' (SSS)．
B
教师用多媒体演示：
C
'
B
C
B'
定理 斜边和一条直角边对应相等
E
2
的两个直角三角形全等．
这一定理可以简单地用“斜边、直角边”
或“HL”表示．
1
A
C
D
从而肯定了第一位同学通过作底边的
教学随笔

高证明两个三角形全等，从而得到“等边对等角”的证法是正确的．
练习：判断下列命题的真假，并说明理由：
(1)两个锐角对应相等的两个直角三角形全等；
(2)斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等；
(3)两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；
(4)一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全
等．
对于（1）、（2）、（3）一般可顺利通过，这里教师将讲解的重心放在了
问题（4），学生感觉是 真命题，一时有无法直接利用已知的定理支持，教师
引导学生证明．
已知：R△ABC和Rt△A'B ' C'，∠C=∠C'=90°，BC=B'C'，BD、B'D '
分别是AC、A'C'边上的中线且BD—B'D' (如图)．
求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'．
A
'
A
证明：在Rt△BDC和Rt△B'D'C'中，
∵BD=B'D',BC=B'C',
D
∴Rt△BDC≌Rt△B 'D 'C ' (HL定理)．
D
'
CD=C'D'．
又∵AC=2CD，A 'C '=2C 'D '，∴AC=A'C'．
C
'
C
B
'
B
∴在Rt△ABC和Rt△A 'B 'C '中，
∵BC=B'C '，∠C=∠C '=90°，AC=A'C '，
∴Rt△ABC≌CORt△A'B'C(SAS)．
通过上述师生共同活动，学生板书推理过程之后可发动学生去纠错，教
师最后再总结。
第三环节：做一做
问题 你能用三角尺平分一个已知角吗? 请同学们用手中的三角尺操
作完成，并在小组内交流，用自己的语言清楚表达自己的想法．
（ 设计做一做的目的为了让学生体会数学结论在实际中的使用，教学
中就要求学生能用数学的语言清楚地表 达自己的想法，并能按要求将推理证
明过程写出来。）
第四环节：议一议
如图，已 知∠ACB=∠BDA=90°，要使△ACB≌BDA，还需要什么条件?
把它们分别写出来．
这是一个开放性问题，答案不唯一，需要我们灵活地运用公理和已学过
的定理，观察图形，积极 思考，并在独立思考的基础上，通过同学之间的交
流，获得各种不同的答案．
(教师一定要提供时间和空间，让同学们认真思考，勇于向困难提出挑战)
第五环节： 例题学习
如图，在△ABC≌△A'B'C'中，CD，C'D'分别分别是高，并且AC＝A'C' ，
CD=C'D'．∠ACB=∠A'C'B'．
C'
C
求证：△ABC≌△
A'B'C'．
分析：要证△ABC≌ △
A'B'C'，由已知中找到条件：
A
D
B
A
'
D
'
B
'
一组边AC=A'C'，一组角∠
ACB=∠A'C'B' ．如果寻求∠A=∠A'，就可用ASA证明全等；也可以寻求么

∠B=∠B '，这样就有AAS；还可寻求BC=B'C'，那么就可根据SAS．……注
意到题目中，通有CD、 C'D'是三角形的高，CD=C'D'．观察图形，这里有三
对三角形应该是全等的，且题目中具备了 HL定理的条件，可证的Rt△ADC
≌Rt△A'D'C'，因此证明∠A=∠A' 就可行．
证明：∵CD、C'D'分别是△ABC△A'B'C'的高(已知)，
∴∠ADC=∠A'D'C'=90°．
在Rt△ADC和Rt△A'D'C'中，
AC=A'C'(已知)，
CD=C'D' (已知)，
∴Rt△ADC≌Rt△A'D'C' (HL)．
∠A=∠A'，(全等三角形的对应角相等)．
在△ABC和△A'B'C'中，
∠A=∠A' (已证)，
AC=A'C' (已知)，
∠ACB=∠A'C'B' (已知)，
∴△ABC≌△A'B'C' (ASA)．
第六环节：课时小结
本节课我们讨论了在一般三角形中两边及其一边对角对应相等的两个三角形不一定全等．而当一边的对角是直角时，这两个三角形是全等的，从
而得出判定直角三角形全 等的特殊方法——HL定理，并用此定理安排了一
系列具体的、开放性的问题，不仅进一步掌握了推理证 明的方法，而且发展
了同学们演绎推理的能力．同学们这一节课的表现，很值得继续发扬广大．
第六环节：布置作业
习题1．6第3、4、5题

【板书设计】
1.2 直角三角形（二）
已知：R△ABC和Rt△A'B ' C'，∠C=∠C'=9 0°，BC=B'C'，BD、B'D'分别是AC、A'C'边上的中
线且BD—B'D' (如图)．
求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'．
A
'
A
证明：在Rt△BDC和Rt△B'D'C'中，
∵BD=B'D',BC=B'C',
D
D
'
∴Rt△BDC≌Rt△B 'D 'C ' (HL定理)．
CD=C'D'．
又∵AC=2CD，A 'C '=2C 'D '，∴AC=A'C'．
C
'
C
B
'
B
∴在Rt△ABC和Rt△A 'B 'C '中，
∵BC=B'C '，∠C=∠C '=90°，AC=A'C '，
∴Rt△ABC≌CORt△A'B'C(SAS)．
【教学反思】
1.3 线段的垂直平分线
【教学目标】
1．知识和技能
证明线段垂直平分线的性质定里和判定定理.
2．过程和方法

经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明能力．丰富对几何图形
的认识。
3．情感态度和价值观
通过小组活动，学会和人合作，并能和他人交流思维的过程和结果。
【教学重点】
运用几何符号语言证明垂直平分线的性质定理及其逆命题。
【教学难点】
垂直平分线的性质定理在实际问题中的运用。
【教学方法】
讲授法
【课时安排】
2课时
第一课时
【教学目标】
1．知识和技能
能够证明三角形三边垂直平分线交于一点。
2．过程和方法
经历猜想、探索，能够作出符合条件的三角形。
3．情感态度和价值观
学会和他人合作，并能和他人交流思维的过程和结果。
【教学重点】
探索证明等腰三角形性质定理的思路和方法，掌握证明的基本要求和方法。
【教学难点】
明确推理证明的基本要求如明确条件和结论，能否用数学语言正确表达等。
【教学过程】
教学过程
第一环节：创设情境，引入新课

教师用多媒体演示：
如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使
它到两个仓库的距离相等，码 头应建在什么位置?
其中“到两个仓库的距离相等”，要强调这几个字在题中有很重要的作
用．
线段是一 个轴对称图形，其中线段的垂
直平分线就是它的对称轴．我们用折纸的方
法，根据折叠过程中线 段重合说明了线段垂
直平分线的一个性质：线段垂直平分线上的
点到线段两个端点的距离相等． 所以在这个
问题中，要求在“A、B一侧的河岸边建造一
个码头，使它到两个仓库的距离相等” 利用此性质就能完成．
进一步提问：“你能用公理或学过的定理证明这一结论吗?”
第二环节：性质探索和证明
教师鼓励学生思考，想办法来解决此问题。
通过讨论和思考，引导学生分析并写出已知、求证的内容。
已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的点．
求证：PA=PB．
分析：要想证明PA=PB，可以考虑包含这两条线段的两个三角形是否 全
M
P
教学随笔
AC
B

等．
证明：∵MN⊥AB，
∴∠PCA=∠PCB=90°
∵AC=BC，PC=PC,
∴△PCA≌△PCB(SAS)． ；
∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)．
教师用多媒体完整演示证明过程．
第三环节：逆向思维，探索判定
你能写出上面这个定理的逆命题吗?它是真命题吗? 这个命 题不是“如
果……那么……”的形式，要写出它的逆命题，需分析原命题的条件和结论，
将原命 题写成“如果……那么……”的形式，逆命题就容易写出．鼓励学生
找出原命题的条件和结论。
原命题的条件是“有一个点是线段垂直平分线上的点”．结论是“这个
点到线段两个端点的距离相等” ．
此时，逆命题就很容易写出来．“如果有一个点到线段两个端点的距离
相等，那么这个点在 这条线段的垂直平分线上．”
写出逆命题后时，就想到判断它的真假．如果真，则需证明它；如果假，
则需用反例说明．
引导学生分析证明过程，有如下四种证法：
P
证法一：
已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB．
求证：P点在AB的垂直平分线上．
AC
B
证明：过点P作已知线段AB的垂线PC,PA=PB，PC=PC，
∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL定理)．
∴AC=BC，
即P点在AB的垂直平分线上．
证法二：取AB的中点C，过PC作直线．
P
∵AP=BP，PC==CB，
1
2
∴△APC≌△BPC(SSS)．
∴∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等)．
AC
B
又∵∠PCA+∠PCB=180°，
∴∠PCA=∠PCB=∠90°，即PC⊥AB
∴P点在AB的垂直平分线上．
证法三：过P点作∠APB的角平分线．
∵AP=BP，∠1=∠2，PC=PC，
△APC≌△BPC(SAS)．
∴AC=BC，∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等，对应边相等)．
P
又∵∠PCA+∠PCB=180°∴∠PCA=∠PCB=90°
1
2
∴P点在线段AB的垂直平分线上．
证法四：过P作线段AB的垂直平分线PC．
AC
∵AC=CB，∠PCA=∠PCB=90°，
B
∴P在AB的垂直平分线上．
从同学们的推理证明过程可知线段垂直平分线的性质定理的逆命题是
真命题，
我们把它称做线段垂直平分线的判定定理．
第四环节：巩固使用
在做完性 质定理和判定定理的证明以后，引导学生进行总结：（1）线段
的垂直平分线可以看成是到线段两个端点 距离相等的所有点的集合。
（2）到一条线段两个端点的距离相等个点在这条线段的垂直平分线
上．因此只需做出这样的两个点即可做出线段的垂直平分线。
例题：
已知：如图 1-18，在 △ABC 中，AB = AC，O 是 △ABC 内一点，且 OB

= OC.
求证：直线 AO 垂直平分线段BC。．
证明：∵ AB = AC，
∴ 点 A 在线段 BC 的垂直平分线上（到一条
线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平
分线上）.
同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线上.
∴ 直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线（两点确
定一条直线）.
学生是第一次证明一条直线是已知线段的垂直平分线， 因此老师要引导
学生理清证明的思路和方法并给出完整的证明过程。
第五环节：随堂练习
课本P23；习题1.7：第1、2题
第六环节：课堂小结
通过这节课的学习你有哪些新的收获？还有哪些困惑？
第七环节：课后作业
习题l.7 第3、4题

【板书设计】
1.3 线段的垂直平分线（一）
P
已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB．
求证：P点在AB的垂直平分线上．
证明：过点P作已知线段AB的垂线PC,PA=PB，PC=PC，
AC
B
∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL定理)．
∴AC=BC，
【教学反思】
第二课时
【教学目标】
1．知识和技能
能够证明三角形三边垂直平分线交于一点。
2．过程和方法
经历探索、猜测、证明的过程， 进一步发展学生的推理证明意识和能力．体验解决问题的方
法，发展实践能力和创新意识。
3．情感态度和价值观
体验数学活动中的探索和创造，感受数学的严谨性。
【教学重点】
能够证明和线段垂直平分线相关的结论。
【教学难点】
证明三线共点。
【教学过程】
教学过程
一、情景引入
< br>教师提问：“[利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，当作完此题时你
发现了什么?(教师可用 多媒体演示作图过程)”
“三角形三边的垂直平分线交于一点．”、“这一点到三角形三个顶点的距离相等．”等都是学生可以发现的直观性质。
下面请同学们剪一个三角形纸片，通过折叠找出每 条边的垂直平分线，
观察这三条垂直平分线，你是否发现同样的结论?和同伴交流．
教师质疑：“这只是用我们的眼睛观察到的，看到的一定是真的吗？我
教学随笔

们还需运用公理和已学过的定理进行推理证明，
M
A
这样的发现才更有意义．”
这节课我们来学习探索和线段垂直平分线有
E
Q
关的结论．
O< br>上述活动中，教师要注意多画几种特殊的三
P
角形让学生亲自体验和观察结论的正确性。
C
B
二、例题分析
F
N
（1）教师引导学生分析，寻找证明方法。
我们要从理论上证明这个结 论，也就是证明“三线共点”，但这是我们
没有遇到过的．不妨我们再来看一下演示过程，或许你能从中 受到启示．
通过演示和启发，引导学生认同：“两直线必交于一点，那么要想证明
‘“三线共 点’，只要证第三条直线过这个交点或者说这个点在第三条直线上
即可．”
虽然我们已找到 证明“三线共点”的突
A
破口，询问学生如何知道这个交点在第三边
的垂直平分线上呢 ?
师生共析，完成证明
O
（2）讨论结束后，学生书写证明过程。
教师点评，注意几何符号语言的规范性。
C
B
已知：在△ABC中，设AB、BC的垂直平
分线交于点P，连接AP， BP，CP．
求证：P点在AC的垂直平分线上．
证明：∵点P在线段AB的垂直平分线上，
∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等)．
同理PB=PC．
∴PA=PC．
∴P点在AC的垂直平分线上(到线段两个端点距离相等的点.在这条线
段的垂直平分线上)．
∴AB、BC、AC的垂直平分线相交于点P．
进一步设问：“从证明三角形三边的垂直平分线交于一点，你还能得出
什么结论?” （交点P到三角形三个顶点的距离相等．）
（3）多媒体演示我们得出的结论：
定理 三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点
的距离相等
(1)已知三角 形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗?如果能，
能作几个?所作出的三角形都全等吗? (2)已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗?如果能，能
作几个?所作出的三角形 都全等吗?
(3)已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形
吗?能作几个?
学生通过小组讨论，并尝试作出草图，验证自己的结论。
由学生思考可得：(1)已知三角 形的一条边及这条边上的高，能作出三
角形，并且能作出无数多个，如下图：
已知：三角形的一条边a和这边上的高h
求作：△ABC，使BC=a，BC边上的高为h

A
_ A
A
h
h
B
a
D
C
_ B
_ a
_ h
_D
_
(
C
_






)

B
a
CD

从上图我们会发现，先作已知线段BC=a；然后再作 BC边上的高h，但
垂足不确定,我们可将垂足取在线段BC上或其所在直线上的任意一点D，过
此点作BC边的垂线，最后以D为端点在垂线上截取AD(或A
1
D)，使AD=A
1
D=h，
连接AB，AC(或△A
1
B，A
l
C)，所得 △ABC(或△A
1
BC)都满足条件，所以这样的
三角形有无数多个．观察还可以发 现这些三角形不都全等．（见几何画板课
件）
(2)如果已知等腰三角形的底边，用尺规作出 等腰三角形，这样的等腰
三角形也有无数多个．根据线段垂直平分线的性质定理可知，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，因为只要作已知等腰三角形底边的垂
直平分线，取它上面的任 意一点，和底边的两个端点相连接，都可以得到一
个等腰三角形．
另外有学生补充：“不是底 边垂直平分线上的任意一点都满足条件，如
底边的中点在底边上，不能构成三角形，应将这一点从底边的 垂直平分线上
挖去．”
（3）如果底边和底边上的高都一定，这样的等腰三角形应该只有两个 ，
并且它们是全等的，分别位于已知底边的两侧．
（5）例题学习
M
已知底边及底边上的高，求作等腰三角形．
A
已知：线段a、h
求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h
作法：1．作BC=a；
2．作线段Bc的垂直平分线MN交BC于D点；
3．以D为圆心，h长为半径作弧交MN于A点；
D
BC
4．连接AB、AC
N
∴△ABC就是所求作的三角形(如图所示)．
（6）做一做：课本第25页：教 师引导学生分析作出草图，注意对学生
作法叙述的准确性加以更正。
四、动手操作
（1）例题：已知直线 l 和 l 上一点 P，用尺规作 l 的垂线，使它经
过点 P.
学生先独立思考完成，然后交流：说出做法并解释作图的理由。
（2）拓展：如果点 P 是直线 l 外一点，那么怎样用尺规作 l 的垂线，
使它经过点 P 呢？说说你的作法，并和同伴交流.
五、随堂练习:：习题1.8第1、2题。
六、课时小结
本节课通过推理证明了“到三角形三个顶点距离的点是三角形三条边的垂直平分线的交点，及三角形三条边的垂直平分线交于一点”的结论，并能
根据此结论“已知等腰三 角形的底和底边的高，求作等腰三角形”．
七、课后作业
习题1．8第3、4题
【板书设计】
A
1
_
1
A

_
A
1

1.3 线段的垂直平分线（二）
定理 三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等
根据线段 垂直平分线的性质定理可知，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，因
为只要作已知等腰三 角形底边的垂直平分线，取它上面的任意一点，和底边的两个端点相连接，都
可以得到一个等腰三角形．
【教学反思】
1.4 角平分线
【教学目标】
1．知识和技能
会证明角平分线的性质定理及其逆定理。
2．过程和方法
经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明能力．丰富对几何图形
的认识。
3．情感态度和价值观
通过小组活动，学会和人合作，并能和他人交流思维的过程和结果。
【教学重点】
运用几何符号语言证明角平分线的性质定理及其逆命题。
【教学难点】
角平分线的性质定理在实际问题中的运用。
【教学方法】
讲授法
【课时安排】
2课时
第一课时
【教学目标】
1．知识和技能
会证明角平分线的性质定理及其逆定理。
2．过程和方法
进一步发展学生的推理证明意识和能力，培养学生将文字语言．转化为符号语言、
图形语言的能力。
3．情感态度和价值观
经历探索，猜想，证明使学生掌握研究解决问题的方法。
【教学重点】
正确地表述角平分线性质定理的逆命题及其证明。
【教学难点】
正确地表述角平分线性质定理的逆命题及其证明。
【教学过程】
教学过程
一、情境引入
我们曾用折纸的方法探索过角平分线上的点的性质，步骤如下：
从折纸过程中，我们可以得出CD=CE，
即角平分线上的点到角两边的距离相等．
你能证明它吗?

教学随笔

二、探究新知
（1）引导学生证明性质定理
请同学们自己尝试着证明上述结论，然
A
后在全班进行交流．
D
已 知：如图，OC是∠AOB的平分线，点
P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、
P
1
O
2C
E．
求证：PD=PE．
E
证明：∵∠1=∠2，OP=OP，
B
∠PDO=∠PEO=90°，
∴△PDO≌△PEO(AAS)．
∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)．
(教师在教学过程中对有困难的学生要给以指导)
我们用公理和已学过的定理证明了我们折纸 过程中得出的结论．我们把
它叫做角平分线的性质定理。 (用多媒体演示)角平分线上的点到这个角的
两边的距离相等．
（2）你能写出这个定理的逆命题吗?
我们在前面学习线段的垂直平分线时，已经历过构造其 逆命题的过程，
我们可以类比着构造角平分线性质定理的逆命题．
引导学生分析结论后完整地叙述出角平分线性质定理的逆命题：
在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上．
它是真命题吗? 你能证明它吗?
没有加“在角的内部”时，是假命题．
(由学生自己独立思考完成，在全班讨论交流，对困难学生可个别辅导)
证明如下：
已知：在么AOB内部有一点P，且PD上OA，PE⊥OB，D、E为垂足且PD=PE，
求证：点P在么AOB的角平分线上．
证明：PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO=∠ PEO=90°．
在Rt△ODP和Rt△OEP中
OP=OP，PD=PE，∴Rt△ODP ≌ Rt△OEP(HL定理)．
∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等)．
逆命题利用公理和我们已证过的定理证明了，那么 我们就可以把这个逆
命题叫做原定理的逆定理．我们就把它叫做角平分线的判定定理。
（3）用直尺和圆规画已知角的平方线及作图的依据讨论。
三、巩固练习
综合利用 角平分线的性质和判定、直角三角形的相关性质解决问题。进
一步发展学生的推论证明能力。在学生独立 完成推理过程的基础上，教师要
给出书写示范
例题：在 △ABC 中，∠ BAC = 60°，点 D 在 BC 上，AD = 10，DE⊥
AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且 DE = DF，求 DE 的长.
（4）课本例题学习
四、随堂练习
课本第29页1、2题。
五、课堂小结

这节课证明了角 平分线的性质定理和判定定理，在有角的平分线（或证
明是角的平分线）时，过角平分线上的点向两边作 垂线段，利用角平分线的
判定或性质则使问题迅速得到解决。
六、布置作业
习题1．9第1，2，3,4题．

【板书设计】
1.4 角平分线（一）
已知：在么AOB内部有一点P，且PD上OA，PE⊥OB，D、E为垂足且PD=PE，
求证：点P在么AOB的角平分线上．
证明：PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO=∠ PEO=90°．
在Rt△ODP和Rt△OEP中
OP=OP，PD=PE，∴Rt△ODP ≌ Rt△OEP(HL定理)．
∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等)．
【教学反思】
第二课时
【教学目标】
1．知识和技能
证明和角的平分线的性质定理和判定定理相关的结论。
2．过程和方法
经历探索、猜测、证 明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．体验解决问题的方
法，发展实践能力和创新意识。
3．情感态度和价值观
在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。
【教学重点】
三角形三个内角的平分线的性质。
【教学难点】
角平分线的性质定理和判定定理的综合使用。
【教学过程】
教学过程 教学随笔
第一环节：设置情境问题，搭建探究平台

问题l 习题1．8的第1题作三角形 的三个内角的角平分线，你发现了
什么?能证明自己发现的结论一定正确吗？
A
于是，首先证明“三角形的三个内角的
D
角平分线交于一点” ．
M
N
教师要引导学生进行逻辑上的证明。
F
第二环节：展示思维过程，构建探究平台
P
已知：如图，设△
A BC
的角平分线．
BM
、
C
B
CN
相交于点
P
，
E
证明：
P
点在∠B
AC
的角平分线上．
证明：过
P
点作
PD
⊥
AB
，
PF
⊥
AC
，
PE
⊥
BC
，其中
D
、
E
、
F
是垂足．
∵
BM
是△
ABC
的 角平分线，点
P
在
BM
上，
∴
PD
=
PE
(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)．
同理：
PE
=
PF
．
∴
PD
=
PF
．
∴点
P
在∠
B AC
的平分线上(在一个角的内部，且到角两边距离相等的

点，在这个角的平分线上)．
∴△
ABC
的三条角平分线相交于点
P
．
在证明过程中， 我们除证明了三角形的三条角平分线相交于一点外，还
有什么“附带”的成果呢?
（
PD
=
PE
=
PF
，即这个交点到三角形三边的距离相等．） 于是我们得出了有关三角形的三条角平分线的结论，即定理三角形的三
条角平分线相交于一点，并且 这一点到三条边的距离相等．
通过列表来比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理
（板书）
问题2
如图：直线
l
1
、
l
2
、
l
3
表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转
站 ，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？你如何发现的?
A
C
l< br>1
l
2
B
l
3
要求学生思考、交流。实况如下： < br>[生]有一处．在三条公路的交点
A
、
B
、
C
组成的 △
ABC
三条角平分线的
交点处．因为三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三边 的距离相等．而
现在要建的货物中转站要求它到三条公路的距离相等．这一点刚好符合．
[生 ]我找到四处．(同学们很吃惊)除了刚才同学找到的三角形ABC内部
的一点外，我认为在三角形外部 还有三点．作∠ACB、∠ABC外角的平分线交
于点P1(如下图所示)，我们利用角平分线的性质定 理和判定定理，可知点
P
1
在∠CAB的角平分线上，且到
l
1、
l
2
、
l
3
的距离相等．同理还有∠BAC、∠BCA的外角的角平分线的交点P
3
；因此满足条件共4个，分别是P、P
1、P
2
、
P
3

A
P
B
l< br>3
C
l
1
l
2

P
1
第三环节：例题讲解
[例1]如图，在△ABC中．AC=BC，∠ C=90°，AD是△ABC的角平分线，
DE⊥AB，垂足为E．
(1)已知CD=4 cm，求AC的长；
A
(2)求证：AB=AC+CD．
分析：本例需要运用前面 所学的多个定理，
而且将计算和证明融合在一起，目的是使学生进
一步理解、掌握这些知识和方 法，并能综合运用
E
它们解决问题．第(1)问中，求AC的长，需求出
BC的长，而 BC=CD+DB，CD=4 cIn，而BD在等腰
直角三角形DBE中，根据角平分线的性质，C
B
D
DE=CD=4cm，再根据勾股定理便可求出DB的长．第
(2 )问中，求证AB=AC+CD．这是我们第一次遇到这种形式的证明，利用转化
的思想AB=AE+B E，所以需证AC=AE，CD=BE．
(1)解：∵AD是△ABC的角平分线，
∠C=90°，DE⊥AB．

∴DE=CD=4cm(角平分线上的点到这个角两边的距离相等)．
∵∠AC=∠BC ∴∠B=∠BAC(等边对等角)．
∵∠C=90°，
1
∴∠B= ×90°=45°．
2
∴∠BDE=90°—45°＝45°．
∴BE=DE(等角对等边)．
在等腰直角三角形BDE中
2
BD=2DE.=4 2 cm(勾股定理)，
∴AC=BC=CD+BD=(4+42)cm．
(2)证明：由(1)的求解过程可知，
Rt△ACD≌Rt△AED(HL定理)
∴AC=AE．
∵BE=DE=CD，
∴AB=AE+BE=AC+CD．
[例2]已知：如图，P是么AOB平分线上的一点，P C⊥OA，PD⊥OB，垂
足分别为C、D．
求证：(1)OC=OD；
(2)OP是CD的垂直平分线．
C
A
O
E
D
P
B

证明：(1)P是∠AOB角平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，
∴PC=PD(角平分线上的点到角两边的距离相等)．
在Rt△OPC和Rt△OPD中，
OP
=
OP
，
PC
=
PD
，
∴Rt△
OPC
≌Rt△
OPD
(HL定理)．
∴
OC
=
OD
(全等三角形对应边相等)．
(2)又
OP
是∠
AOB
的角平分线，
∴OP是
CD
的垂直平分线(等腰三角形“三线合一”定理)．
思考：图中还有哪些相等的线段和角呢?
第四环节：课时小结
本节课我们利用角平 分线的性质和判定定理证明了三角形三条角平分
线交于一点，且这一点到三角形各边的距离相等．并综合 运用我们前面学过
的性质定理等解决了几何中的计算和证明问题．
第五环节：课后作业
习题1．10第1、2题
【板书设计】
1.4 角平分线（二）

三角
形
锐角三角形
钝角三角形
直角三角形
交点性质
【教学反思】
三边垂直平分线
交于三角形内一点
交于三角形外一点
交于斜边的中点
到三角形三个顶点
的距离相等
三条角平分线
交于三角形内一
点
到三角形三边的
距离相等

回顾和思考
【教学目标】
1．知识和技能
在回顾和思考中建立本章的知识框架图，复习有关定理的探索和证明，证明的思路
和方法，尺规作图等。
2．过程和方法
进一步体会证明的必要性，发 展学生的初步的演绎推理能力；进一步掌握综合法的证明方
法，结合实例体会反证法的含义；提高学生用 规范的数学语言表达论证过程的能力。
3．情感态度和价值观
通过积极参和数学学习活动，对数学的证明产生好奇心和求知欲，培养学生合作交
流的能力，以及独立思考的良好学习习惯。
【教学重点】
通过例题的讲解和课堂练习对所学知识进行复习巩固是重点。
【教学难点】
本章知识的综合性使用。
【教学方法】
讲授法
【课时安排】
2课时
第一课时
【教学目标】
1．知识和技能
回顾和思考中建立本章的知识框架图。
2．过程和方法
进一步掌握综合法的证明方法，结合实例体会反证法的含义。
3．情感态度和价值观
经历探索，猜想，证明使学生掌握研究解决问题的方法。
【教学重点】
建立本章的知识框架图。
【教学难点】
本章知识的综合性使用。
【教学过程】
教学过程
第一环节：创设问题情境，搭建“回顾和思考”的平台
问题1：你能说说作为证明基础的几条公理吗？
教师通过学生回答并整理出六条公理如下：
1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;
2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等;
3.两边夹角对应相等的两个三角形全等; （SAS）
4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等; （ASA）
5.三边对应相等的两个三角形全等; （SSS）
6.全等三角形的对应边相等,对应角相等.
问题2：向你的同伴讲述一两个命题的证明思路和证明方法.
①综合法：从已知出发利用学过的公理和已证明的定理进行合情推理和

教学随笔

演绎推理；
②反证法．
（教师可关注基础较差的学生，给于关注和指导）
问题3：你能说出一对互逆命题吗？它们的真假性如何？
问题4：任意画一个角，利用尺规将其二等分、
四等分．
N
已知：如图，∠AOB
求作：(1)射线OC，使∠AOC=∠BOC；
(2)射线OD、OE，使∠AOD=∠DOC=∠
COE=∠EOB
M
作法: (1) 1、在OA和OB上分别分别截取
OM、ON，使OM=ON．
2．分别以M、N为圆心，以大于
B
E
Ｃ

D
A
1
MN的长为半径作弧，两弧
2
在∠AOB内交于点C．
3．作射线OC
∴OC就是∠AOB的平分线．
(2) 同上，分别在AOC和BOC内部作射线OD、OE．
第二环节：建立本章的知识框架图
本章所证明的命题大多和等腰三角形和直角三角形有关，主要包括哪些
呢？
等腰三角 形（含等边三角形）、直角三角形的性质定理及判定定理；线
段垂直平分线的性质定理及判定定理；角平 分线的性质定理及判定定理．
1．通过探索、猜测、计算、证明得到的定理：
（1）和等腰三角形、等边三角形有关的结论：
性质：等腰三角形的两个底角相等，即等边对等角；
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；
等腰三角形两底角的平分线相等，两条腰上的中线相等，两条腰
上的高相等．
等边三角形的三条边都相等，三个角都相等，并且每个角都等于
60° ；
等边三角形的三条角平分线、三条中线、三条高互相相等．
判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形；
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；
三个角都相等的三角形是等边三角形．
（2）和直角三角形有关的结论：
勾股定理的逆定理；
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜
边的一半；
斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等．(HL)
（3）和一般三角形有关的结论：
在一个三角形中，两个角不相等，它们所对的边也不相等（用反证法证
明）．
2．命题的逆命题及其真假 ：
在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题 的结论和
条件，那么这两个命题称为互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命
题． 一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题．如果一个定理的逆命
题经过证明是真命题，那么它 也是一个定理，这两个定理称为互逆定理．其
中一个定理称为另一个定理的逆定理．例如勾股定理及其逆 定理．
3．尺规作图
线段垂直平分线的性质定理和判定定理；用尺规作线段的垂直平分线；

已知底边和底边上的高，用尺规作等腰三角形
A
角平分线的性质定理和判定定理；用尺规作已知角
的平分线．
第三环节：例题讲解
F E
例1、已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，
B D C
DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E、F，且DE=DF.
求证：△ABC是等腰三角形.
分析：要证△ABC是等腰三角形，可证∠B=∠C.
例2、如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC
A

于点E，已知△BCE的周长为8，AC－BC=2. 求AB和BC的长.
分析：由已知AC－BC=2，即AB－BC=2，要求AB和BC的
D

E

长，利用方程的思想，需找另一个AB和BC的关系．
C

B

第四环节：课时小结
通过本节课，你有那些新的收获呢？
第五环节：布置作业
课内： A组题中的第3、4、5、6、7、8题；
课外：A组题中的9题，B组题第1、2、3题.

【板书设计】
回顾和思考 （一）
和等腰三角形、等边三角形有关的结论
通过探索、猜测、计算、证明
得到的定理
和直角三角形有关的结论
和一般三角形有关的结论
命题的逆命题及其真假
线段的垂直平分线
角的平分线
【教学反思】
第二课时
【教学目标】
1．知识和技能
利用测试题巩固本章知识点。
2．过程和方法
进一步掌握本章知识，结合相关习题进一步发展学生的推理证明意识和能力。
3．情感态度和价值观
体验解决问题的方法，发展实践能力和创新意识。
【教学重点】
利用习题巩固本章知识。
【教学难点】
本章知识的综合性使用。
【教学过程】
教学过程 教学随笔

尺规作图

一、基础练习

1．如图1,某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片,现在他要到玻 璃店去配一
块完全一样形状的玻璃.那么最省事的办
法是带（ ）去配.
A. ① B. ② C. ③ D.
①和②
2．下列说法中，正确的是（ ）.
A．两腰对应相等的两个等腰三角形全等
B．两角及其夹边对应相等的两个三角形
全等
C．两锐角对应相等的两个直角三角形全等
D．面积相等的两个三角形全等
3．如 图2，
AB
⊥
CD
，△
ABD
、△
BCE
都是等腰三角形，如果
CD
=8cm，
BE
=3cm，
那么AC长为 （ ）.
A．4cm B．5cm C．8cm D．
34
cm
4．如图3，在等边
ABC
中，
D,E< br>分别是
BC,AC
上的点，且
BDCE
，
AD和BE相交于 点P，则
12
的度数是（ ）.
A．
45
0
B．
55
0
C．
60
0
D．
75
0

5．如图4，在
ABC
中，AB=AC，BD和CE分别是
ABC
和ACB
A36
0
，
的平分线，且相交于点P. 在图4中，等腰三角形（不再添加线段和字母）
的个数为（ ）.
A．9个 B．8个 C．7个 D．6个

6．如图5，
l
1
,l
2
,l
3
表示三条相互交叉的公路，现在要建一个 加油站，要求它
到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）.
A．1处 B．2处 C．3处
D．4处
7．如图6，A、C、E三点在同一条直线上，△
DAC和△EBC都是
等边三角形，AE、BD分别和CD、CE交于点
M、N，有如下结论：① △ACE≌△DCB；② CM
＝CN；③ AC＝DN. 其中，正确结论的个数是
（ ）.
A．3个 B．2个 C． 1个 D．0个
8．要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C，D，
使CD=BC，再 作出BF的垂线DE，使A，C，
E 在同一条直线上（如图7），可以证明
ABC
≌
EDC
，得ED=AB. 因此，测
得DE的长就是AB的长，在这里判定
ABC
≌
EDC
的条件是( ).
A．ASA B．SAS C．SSS
D．HL
9．如图8，将长方形ABCD沿对角线BD翻
折，点C落在点E的
位置，BE交AD于点F.
求证：重叠部分（即
BDF
）是等腰三角形.
图8

证明：∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC
又∵
BDE
和
BDC
关于BD对称，
∴
23
. ∴
BDF
是等腰三角形.
请思考：以上证明过程中，涂黑部分正确的应该依次是以下四项中的哪
两项？（ ）.
①
12
；②
13
；③
34
；④
BDCBDE

A．①③ B．②③ C．②① D．③④
10.如图9，已知线段
a
，
h
作等腰△
ABC
，使
AB
＝
AC
，且
BC
＝
a
，
BC
边上的高
AD
＝
h
. 张
红的作法是：（1）作线段
BC
＝
a
；（2）作线段
BC
的垂直平
分线
MN
，
MN
和
BC
相
交于点
D
；（3）在直线
MN
上截取
线段
h
；（4）连结
AB
，
AC
，则△
ABC
为所求的等腰三角
形.
上述作法的四个步骤中，有错误的一步你认为是（ ）.
A. （1） B. （2） C. （3） D. （4）
二、巩固练习
1．如图10，已知，在△ABC 和△DCB中，AC=DB，若不增加任何字母和辅助
线，要使
△ABC≌△DCB，则还需增加一个条件是____________.
2．如图11，在
RtABC
中，
BAC90,ABAC
，分别过点
B,C< br>作经
过点A的直线的垂线段BD，CE，若BD=3厘米，CE=4厘米，则DE的长为
_______.
0



3．如图12，P，Q是△ABC的边 BC上的两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，则
∠ABC等于_________度.
4．如图13，在等腰
ABC
中，AB=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC< br>于点E，若
BCE
的周长为50，则底边BC的长为_________.
5．在
ABC
中，AB=AC，AB的垂直平分线和AC所在的直线相交所得的锐角
为
50
0
，则底角B的大小为________.
6．在《三角形的证明 》一章中，我们学习了很多定理，例如：①直角三角
形两条直角边的平方和等于斜边的平方；②全等三角 形的对应角相等；③等
腰三角形的两个底角相等；④线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的
距离相等；⑤角平分线上的点到这个角两边的距离相等.在上述定理中，存
在逆定理的是______ __.(填序号)
7．如图14，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=5cm，BC=10cm， 将△ABC
折叠，点B和点A重合，折痕为DE，则CD的长为________.
0
8．如图15，在
ABC
中，AB=AC，
A120
，D是BC上任 意一点，分别
做DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，如果BC=20cm，那么DE+DF= _______cm.

9．如图16，在Rt△ABC中，∠C =90°,∠B=15°，DE是AB的中垂线，
垂足为D，交BC于点
E
，若
BE4
，则
AC
_______ .

10．如图17，有一块边长为24m的长方形绿地，在绿地旁边B处有健身器材，
由于居住 在A处的居民践踏了绿地，小颖想在A处立一个标牌“少走_____
步，踏之何忍？”但小颖不知在“ _____”处应填什么数字，请你帮助她填
上好吗？（假设两步为1米）？
三、拓展练习
1．（7分）如图18，在
ABC
中，
ACB90
0
，CD
是AB边上的高，
A30
0
. 求证：AB= 4BD.
【板书设计】
回顾和思考 （一）
一、巩固练习。
二、自我反思。
【教学反思】
第二章 一元一次不等式和一元一次不等式组
1．不等关系
教学目标：
知识和技能目标
①理解不等式的意义。
②能根据条件列出不等式。
③能用实际生活背景和数学背景解释简单不等式的意义。
过程和方法目标
经历由具体实例建立不等式模型的过程，进一步发展学生的符号感和数学化的能
力。
情感和态度目标
感受生活中存在着的大量不等关系，通过用不等式解决实际问题，使学生进一 步认
识数学和人类生活的密切联系，激发学生学习数学的信心和兴趣。
教学重、难点：
教学重点：通过探寻实际问题中的不等式关系，认识不等式。
教学难点：根据实际问题建立合理的不等关系。

教学过程

第一环节：创设情景，引入新课
如图，用两根长度均为Lcm的绳子，分别围成一个正方形和圆。（10分）

（1）如果要使正方形的面积不大于25平方厘米，那么绳长L应满足怎样的关系式？
（2）如果要使圆的面积不小于100平方厘米，那么绳长L应满足怎样的关系式？
（3）当L=8时，正方形和圆的面积哪个大；当L=12呢？由此你能得到什么猜想？

第二环节：问题提出
做一做：（1）铁路部门对旅客随身携带的行李有如下规定： 每件行李的长、宽、高
三边之和不得超过160cm。设行李的长、宽、高分别为 a cm、b cm、c cm， 请你列出
行李的长、宽、高满足的关系式 。
（2）通过测量一棵树围（树干的周长）可以计算出它的树龄。通常规定以树干离
地面1. 5米的地方作为测量部位，某树栽种时的树围为6㎝，以后树围每年增加约为3
㎝，设这经过x年后这棵 树的树围超过30cm则列出关系
式 。 < br>活动目的：在总结前面学生举例的基础上，提出问题，引起学生进一步思考，初步
尝试运用不等式 表示不等关系。
第三环节：归纳定义
观察由上述问题得到的关系式，a+b+c≤160 ； 3x+6＞30， 它们的共同特点：都
是用不等号连接的式子。
一般地，用符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式。
（特别的，不等号还包含“≠”）
活动目的：通过学生自己总结出不等式的概念，培养学生总结归纳的能力。
第四环节：运用巩固
随堂练习：
1
、

习题2.1 1、2、3、4
第五环节：课时小结
本课我主要学会了 。
引导学生回答：能根据题意列出不等式，特别要注意“不大于”，“不小于”等词语
的理解 。通过不等关系的式子归纳出不等式的概念。
活动目的：归纳本课内容，培养学生的归纳意识

第六环节：课后作业
《学考精练》2.1
教学反思 < br>本节课充分通过学生举例和老师的选例，让学生体会在现实生活中除了存在许多等
量关系外，更多 的是不等关系的存在，并通过感受生活中的大量不等关系，初步体会不
等式是刻画量和量之间关系的重要 数学模型。经历由具体实例建立不等式模型的过程，
进一步发展学生的符号感和数学化的能力。
在教学中，要充分相信学生的潜力，让学生真正成为学习的主体，让学生的思维在
数学课堂上尽情地驰 骋，老师要做好课堂的引导者、参和者、合作者，和学生平等地进
行交流和学习。

第二章 一元一次不等式和一元一次不等式组
2．不等式的基本性质
教学目标：
知识和技能目标：
1、经历通过类比、猜测、验证发现不等式基本性质的探索过程，初步体会 不等式
和等式的异同。
2、掌握不等式的基本性质，并能初步运用不等式的基本性质将比较简 单的不等式
转化为“x＞a”或“x＜a”的形式。
过程和方法目标：
1、能说出 不等式为什么可以从一种形式变形为另一种形式，发展其代数变形能力，
养成步步有据、准确表达的良好 学习习惯。
2、通过研究等式的基本性质过程类比研究不等式的基本性质过程，体会类比的数
学方法。
3、进一步发展学生的符号表达能力，以及提出问题、分析问题、解决问题的能力。
情感和态度目标：
1、通过学生自我探索，发现不等式的基本性质，提高学生学习数学的兴趣 和学好
数学的自信心。
2、尊重学生的个体差异，关注学生对问题的实质性认识和理解。
教学重、难点

重点：不等式的基本性质
难点：不等式转化为“x＞a”或“x＜a”的形式及乘或除以同一个负数要变号
教学过程
第一环节：活动探究，验证明确结论
1、还记得等式的基本性质吗？请用字母表示它。不等式有类似的性质吗？先猜一猜。
2、用等号或不等号完成下面的填空。
如果2 < 3；那么
2 × 5 3 × 5；
2 × 3 × ；
2 × (-1) 3 × (- 1)；
2 × (- 5) 3 × (- 5)；
2 × (-) 3 × (-).
3、验证你的结论，用字母表示你所发现的结论。
从上面归纳得出：
不等式的基本性质1：不等式的两边都加上或都减去同一个整式，不等号方向不变。
不等式的 基本性质2：不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不
变；不等式的基本性质2：不等 式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的
方向改变。
活动目的：通过等式的基本性质 对比不等式的基本性质，由特殊的数值到字母代表
数，从中归纳出一般性结论。进一步发展学生的符号表 达能力，以及提出问题、分析问
题、解决问题的能力。
第二环节：例题讲解及运用巩固 1、在上一节课中，我们猜想，无论绳长
l
取何值，圆的面积总大于正方形的面积，
l
2
l
2

。你相信这个结论吗？你能利用不等式的基本性质解释 这一结论吗？ 即
4

16
2、例题：将下列不等式化成“
xa< br>”或“
xa
”的形式：
（1）
x51
（2）
2x3

练习设计：

1、将下列不等式化成“
xa
”或“
xa
”的形式：
（1）
x12
（2）
x
51
（3）
x3

6
2
2、已知
xy
，下列不等式一定成立吗？
（1）
x6y6
（2）
3x3y
（3）
2x2y
（4）
2x12y1

注意： 在讲解例题的过程中要求学生说出每一步变形的依据，加强学生对不等式的
基本性质的理解。随堂练习学 生独立完成，师生共同讲解，能说出一个不等式为什么可
以从一种形式变形为另一种形式，养成步步有据 、准确表达的良好学习习惯，并通过这
种方式达到熟练掌握不等式的基本性质的目的。
第三环节：课堂小结
活动内容：学生自己总结今天这节课有什么收获，思考后对全班说出，和 全班同学
讨论交流。学生自我总结本节课所学到的知识和重点注意的问题，畅所欲言自己的切身
感受和实际收获，除了今天所学新的内容之外，还复习巩固了等式的基本性质，体会新
旧知识的联系和区 别。
第四环节：布置作业
1、习题2.2
2、《学考精练》2.2
教学反思
本节课通过复习等式的基本性质，类比得出不等式的基本性质雏形。教学中问题的< br>设置通过和等式的基本性质相对比，引导学生自己先猜想不等式基本性质、再通过具体
数值验算性 质、最后自己总结归纳完善性质定理并能用字母表示出来。在接下来的讲解
例题和练习的过程中，每一步 变形的依据都能够集体回答或个别举手回答正确，黑板上
的演示过程也十分规范。在整个教学过程中，学 生始终处于主导地位，不等式的基本性
质主要由学生自己推导得出。
第二章 一元一次不等式和一元一次不等式组
3．不等式的解集
教学目标：
1、知识和技能目标：
①能根据具体情境理解不等式的解和解集的意义。

②能在数轴上表示不等式的解集。
2、过程和方法目标:
①培养学生从现实情况中探索、发现并提出简单的数学问题的能力。
②经历求不等式的解集的 过程，通过尝试把不等式的解集在数轴上表示出来，引导
学生体验用数轴表示不等式解集具有直观的优越 性，增强学生数形结合的意识。
3、情感态度和价值观目标：
通过从实际问题中抽象出数学 模型、探索求不等式的解集的过程，让学生认识数学
和人类生活的密切联系，体验数学活动充满了探究性 和创造性。
教学重、难点：
重点：1、理解不等式的解和解集的概念。
2、探索不等式的解集并能在数轴上表示出来。
难点：不等式解集的数轴表示。
教具：
多媒体课件
教学过程
第一环节：复习旧知识
1、不等式的基本性质有哪些？生
2、方程的解的定义是什么？使得方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程
的解。
换句话说，方程的解是使得方程成立的未知数的值。
3、你认为什么是不等式的解？
能够使不等式成立的未知数的值就是不等式的解。
第二环节：创设情境，导入新课
燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前转移到10m以外
的安全区域，已知导 火线的燃烧速度为0.02 ms，燃放者离开的速度为4 ms，那么导火
线的长度应为多少厘米？
10
引导分析：设导火线长度为x cm，燃放者转移到安全区域需要的时间最少为（s），
4
xx
导火线燃烧的时间为s ，要使燃放者转移到安全地带，必须有：＞
0.021000.02100
10

4
。

解：设导火线的长度为x㎝，则：
10
x
＞
0.02100
4
根据不等式的基本性质，可得
x＞5
第三环节：师生互动，课堂探究
（一）想一想：（出示幻灯片）
（1）x=－2、1、5、6、8是不等式x＞5的解么？
（2）你还能说出几个不等式x＞5的解吗？你认为不等式x＞5的解有几个？它们
有什么特点 ？

（3）不等式x
2
≤0的解有哪些？不等式x
2
≤－2呢？
（二）导入新知：
通过对以上问题情境的探究，引导学生认识到：不等式的解一般有无数个， 但有时
只有有限个，有时无解。在此基础上，给出不等式的解集和解不等式的定义：
一个含有 未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集，求不等式的解集的过
程叫做解不等式。
（三）做一做：（出示幻灯片）
(1) 不等式 x + 1 > 5 的解集是 x>4 ；
(2) 不等式 x
2
> 0 的解集是 x是所有非0实数 ．
（四）议一议：
1、既然不等式的解集在通常情形下有很多个符合条件的解，那么我们能 否用一种
直观的方法把不等式的解集表示出来呢？请同学们相互交流，发表自己的见解。
2、 请同学们用自己的方式将不等式x＞5的解集和不等式x－5≤－1的解集x≤4
分别表示在数轴上，并 和同伴进行交流。
提醒学生注意：
1)指示线的方向,“>”向右,“<”向左.
2)有“=”用实心点,没有“=”用空心圈.
以上两个解集正确的表示方法为：


第四环节：例题讲解(出示幻灯片)

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7



-2 -1 0 1 2 3 4 5 6
x＞5

x≤4

根据不等式的基本性质求不等式的解集，并把解集表示在数轴上。
（1）x-2≥-4 （2）2x≤8 -2x-2＞-10
解：（1）x≥-2
（2）x≤4
（3）x＜4
注意：解题示范，让学生明确解题格式及方法。
0 1 2 3 4
第五环节：随堂练习
1、随堂练习1、2
2、填空：
1)方程2x=4的解有( )个,不等式2x<4的解有( )个
2)不等式5x≥-10的解集是( )
3)不等式x≥-3的负整数解是( )
4)不等式x-1<2的正整数解是( )
第六环节：课时小结
本课主要学了：1、学会了什么是不等式的解，不等式的解集，解不等式的概念
2、会探索简单不等式的解集,并把解集表示在数轴上。
3、用数轴表示解集时的注意事项。
第七环节：作业
习题2.3:第1、2、3、4题
《学考精练》2.3
0 1 2 3 4
-3 -2 -1 0 1
教学反思
教师在教学过程中应充分领会教材，注重知识的衔接，在教学中充分体现数形结合
思想的渗透， 设置问题情境让他们有兴趣参和探究、学习，从而去思考。教学中重点放
在不等式解集的探索过程。 < br>在教学中要充分体现学生的积极参和和合作交流。通过教师的引入让学生体会采用
类比方程的解得 到不等式的解的定义，进一步通过问题情况的引入，积极参和交流探索，
通过老师的引导，理解不等式的 解和解集的意义。在学生自主练习、小组展示和交流质
疑的过程中，能及时发现学生的不同见解及思维误 区，并及时进行纠正指导。

在给予学生充分交流的同时，老师要积极参和， 并不时纠正不正确的思维。在小组
活动中，老师应给予学生充分的启发引导，对合作交流中出现的问题要 及时更正，对困
难学生要给予帮助，使小组合作学习更具有实效性。
第二章 一元一次不等式和一元一次不等式组
4．一元一次不等式（一）
教学目标：

1、知识和技能：
会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示其解集。
2、过程和方法：
让学生经历一元一次不等式的形成过程，通过类比理解一元一次不等式的解法。
3、情感态度和价值观：
通过一元一次不等式的学习，提高学生的自主学习能力，激发学生的探究兴趣。
教学重点：掌握简单的一元一次不等式的解法，并能将解集在数轴上表示出来。
教学难点：一元一次不等式的解法。
教学过程
第一环节 创设情境，引入课题
活动1：复习提问：
（1）不等式的三条基本性质是什么?
（2）运用不等式基本性质把下列不等式化成x>a或x1411
①x-4<6 ②2x>x-5 ③
x46
④
xx

3535
（3）什么叫一元一次方程?解一元一次方程的步骤是什么?
活动目的：通 过问题，让学生回顾一元一次方程的概念和解一元一次方程的步
骤，以及不等式的意义，不等式的基本性 质和不等式的解集，为后面归纳一元一次
不等式的概念及解法提供条件。同时让学生体会等式和不等式之 间所蕴含的特殊和
一般的关系。
活动2：观察下列不等式：
(1)6+3x>30 (2)x+17<5x (3)x>5 (4)
这些不等式有哪些共同点？
x10


0.021004

引 导学生通过对上述不等式的观察、比较，发现其异同，结合一元一次方程的
概念类比，学生不难得出一元 一次不等式的概念。让学生意识到不等式也可以像方
程那样去研究，培养其化归、转换的意识。
一元一次不等式的定义:“左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数
的最高次数是1的不等 式，叫做一元一次不等式(linear inequality with
unknown)”。并向学生强调一元一次不等式的主要特征。
活动3：巩固概念
想一想：在前面几节课中，你列出了哪些一元一次不等式？试举两例，并和同
伴交流。
第二环节 合作探究，解决问题
活动内容：
例1.解不等式3-x<2x+6，并把它的解集表示在数轴上。
从例题1提出问题：
1、你能利用不等式的基本性质解决吗？试一试。
2、在解不等式的过程中是否有和解一元一 次方程类似的步骤？能否归纳解一元一次不
等式的基本步骤？
3、在解一元一次不等式的步骤中，应注意什么？
总结：1.解一元一次不等式大致要分五个 步骤进行：（1）去分母；（2）去括号；
（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化1。在（1） 和（5）中，如果乘数或除数是
负数，要把不等号的方向改变。2.在数轴上表示不等式的解集时，要注 意不等号以及
端点的情况。
第三环节 例题分析
活动内容：
x-27 -x
例2.解不等式
2
≥
3
，并把它的解集表示在数轴上。
解：去分母，得 3(x-2) ≥2(7-x)
去括号，得 3x-6≥14-2x
移项、合并同类项，得 5x≥20
两边都除以5，得 x≥4
这个不等式的解集在数轴上表示如下

第四环
随堂练
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6
节 练习提高
习：1、2
第五环节 课堂小结
1、 通过本节课的学习，你学到了那些知识？（什么是一元一次不等式以及一元一次
不等式的解法。）
2、
3、
你学会了哪些数学方法？（类比的数学方法。）
你觉得在一元 一次不等式的解题步骤中，应该注意些什么问题？（如果乘数或除
数是负数，不等号的方向要改变。）
第六环节 布置作业
习题2.4及《学考精练》2.4（第一课时）
教学反思
本节课通过让学生回顾一元一次方程的同时为后面归纳一元一次不等式概念及解
法做好准备。利 用和等式（方程）对比进行教学，这样有利于学生认识不等式，体会知
识之间的内在联系，加强学生对知 识的整体认识，发展学生的辩证思维．
在一元一次不等式概念的教学中通过让学生回顾、观察、思考、归纳出一元一次不
等式的概念, 发展学生分析问题，解决问题的能力，提高学生的学习能力．并让学生列
举出前几节课中一元一次不等式 ，不仅让学生能准确识别一元一次不等式，而且让学生
回味不等式的建模过程。
对于一元一 次不等式解法的教学中采用小组合作学习的方法，首先鼓励学生运用
不等式的性质和不等式的解集自主尝 试求解，再小组交流解答过程，并进行适当的归纳
总结。类比解方程的方法，并比较其异同。在教学过程 中不能急于求成，不要包办代替
学生的活动，给学生充分的时间思考、交流，适时给予恰当的引导。再通 过范例和学生
共同经历解一元一次不等式的过程。
第二章 一元一次不等式和一元一次不等式组
4．一元一次不等式（二）
教学目标：
1、知识和技能目标：
①进一步熟练掌握解一元一次不等式的解法；

②利用一元一次不等式解决简单的实际问题。
2、过程和方法目标：
通过分析实际问题中的不等关系，建立不等式模型，通过对不等式的求 解对实际问
题的解决，训练学生的分析和建立数学模型的能力。
3、情感态度价值观： 通过利用一元一次不等式解决实际问题，使学生认识数学和人类生活的密切联系，
以激发学生学习数 学的兴趣和信心。
教学重点：
一元一次不等式的使用。
教学难点：
将实际问题抽象成数学问题的思维过程。
教学过程：
第一环节 复习旧知，方法归纳
解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上。
（1）
xxxx2

1
（2）
3
52
23
目的：通过对这两个一元一次不等式的求解，让学生回顾解一元一次不 等式的基本
步骤以及在数轴上表示解集的方法。
第二环节 合作探究，解决问题
活动内容：利用一元一次不等式解决简单的实际问题
某种商品进价为200元，标价300元 出售，商场规定可以打折销售，但其利润不能
少于5﹪.请你帮助售货员计算一下，此种商品可以按几折 销售？
第三环节 例题分析，方法归纳
活动内容1：
［例3］一次环保知识 竞赛共有25道题，规定答对一道题得4分，答错或不答一道
题扣1分，在这次竞赛中，小明被评为优秀 （85分或85分以上），小明至少答对了几道
题？
解：设小明答对了
x
道 题，则得4
x
分，另有（25-x）道要扣分，而小明评为优秀，
即小明的得分应大于 或等于85分，则
4x-(25-x) ≥85
解得： x≥22
所以，小明至少答对了22道题，他可能答对22，23，24或25道题。

目的：进一步让学生体会不等式在解决实际问题时的作用，并且要结合实际问题的
意义作出最后 的解答，同时也为学生的解题步骤起了一个示范的作用。
活动内容2：方法归纳
解一元一次不等式使用题的步骤：
（1）审题，找不等关系；
（2）设未知数；
（3）列不等关系；
（4）解不等式；
（5）根据实际情况，写出全部答案 活动目的：让学生通过讨论和交流，归纳出利用一元一次不等式解决实际问题的一
般步骤，培养学生 的数学建模的能力。
第四环节 练习提高
随堂练习1、2
第五环节 课堂小结
通过本节课的学习，你学到了哪些知识？
（1）解一元一次不等式的一般步骤及注意事项；
（2）利用一元一次不等式可以解决一些实际问题。
第六环节 布置作业
习题2.5 及《学考精练》2.4第二课时
教学反思
1.调动学生自主学习，提高课堂教学效率
本节课通过复习解一元一次不等式引入新的问题， 学生通过对新问题的讨论、交流
和研究，明确了方法和注意事项，并为利用一元一次不等式解决实际问题 作了铺垫。这
样的程序符合学生的认知规律，教学取得了不错的效果。适时地由学生自己合作、交流，< br>归纳出一般性的方法，提高了课堂教学效率，同时学生的自主学习能力得到培养，对于
学生从整体 上把握知识以及养成总结的习惯是大有帮助的。
2.分步实施，循序渐进，面向全体学生
本 节课的重点是利用一元一次不等式解决实际问题，让学生体会数学和生活的紧密
联系。教学内容对于学优 生并不难，但对于中等生和学困生难度就较大。这节课运用分
步实施的方法，每一步先让学生尝试解决， 然后师生探究方法，再进行巩固练习，这样

处理，对于中等生和学困生掌握不 等式的运用是十分有利的，对于落实“面向全体学生”
这一理念是十分必要的。
第二章 一元一次不等式和一元一次不等式组
5．一元一次不等式和一次函数（一）
教学目标：
知识和技能目标：
1、理解一次函数图象和一元一次不等式的关系。
2、能够用图像法解一元一次不等式。
3、理解两种方法的关系，会选择适当的方法解一元一次不等式
过程和方法目标：
通过分析一次函数图象和一元一次不等式的关系，建立不等式模型，通过对不等式
的求解对实际问题的解 决，训练学生的分析和建立数学模型的能力。
情感态度价值观：
通过利用一次函数图象和一 元一次不等式的关系，解决实际问题，使学生认识数学
和人类生活的密切联系，以激发学生学习数学的兴 趣和信心。
教学过程
第一环节：活动探究、合作学习
利用一次函数的图象求出相应的一元一次方程的解、一元一次不等式的解集。
1.导探激励
作出函数y=2x－5的图象，观察图象回答下列问题。
（1）x取哪些值时，2x－5=0? （3）x取哪些值时，2x－5＞0?
（2）x取哪些值时，2x－5＜0? （4）x取哪些值时，2x－5＞3?

通过作函数图象、观察函数图象，进一步理解一次函数的有关知识 ，让学生从整体
上感受利用一次函数图像可以帮助解决一元一次方程、一元一次不等式的问题。
（1）当y=0时，2x－5=0。
∴x=
55
, ∴当x=时，2x－5=0。
22
（2）要找2x－5＞0的x的值，也就是函数值y大于0 时所对应的x的值，从图象
上可知，y＞0时，图象在x轴上方，图象上任一点所对应的x值都满足条件 ，当y=0时，
则有2x－5=0，解得x=
＞0；
（3）同理可知，当x＜
5
时，有2x－5＜0；
2
555
.当x＞时，由y=2x－5可知 y＞0。因此当x＞时，2x－5
222
（4）要使2x－5＞3，也就是y=2x－5中的y大于3，那么过纵坐标为3的点作一条直线平行于x轴，这条直线和y=2x－5相交于一点B（4，3），则当x＞4时，有2x－
5 ＞3。
分析：通过小组交流学生可以发现，一次函数和一元一次方程、一元一次不等式之
间有 密切关系，当函数值等于0时即为方程，当函数值大于或小于某个实数时即为不等
式。
2.想一想
如果y=－2x－5，那么当x取何值时，y＞0?
注：通过具体问题 让学生初步感受可以运用不等式帮助研究函数问题，体会一次函
数和一元一次不等式相互渗透、相互作用 ，并尝试从不同角度思考解决问题的方法。
首先要画出函数y=－2x－5的图象，如图：

从图象上可知，图象在x轴上方时，图象上每一点所对应的y的值 都大于0，而每
一个的值所对应的x的值都在A点的左侧，即为小于－2.5的数，由－2x－5=0， 得x=
－2.5，所以当x取小于－2.5的值时，y＞0。
也可：因为y=－2x－5，y＞0也就是－2x－5＞0，解不等式即得：x＜－2.5
活 动效果：通过完成这题进一步培养了学生的数形结合意识，掌握用图像法解一元
一次不等式和构造不等式 解决函数问题
3.达测深化
活动内容：先独立思考5分钟，再小组交流方法2分钟，最后全班展示4分钟。
兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9 m，然后自己才开始跑，已知弟弟每秒跑3 m，哥
哥每秒跑4 m，列出函数关系式，画出函数图象，观察图象回答下列问题：
（1）何时哥哥分追上弟弟？
（2）何时弟弟跑在哥哥前面？
（3）何时哥哥跑在弟弟前面？
（4）谁先跑过20 m？谁先跑过100 m？
［解］设兄弟俩赛跑的时间为x秒.哥哥跑过的路程为y
1
，弟弟跑过的路程为y
2< br>，根
据题意，得y
1
=4x y
2
=3x+9函数图象如图：

从图象上来看：
（1）9s时哥哥追上弟弟
（2）当0＜x＜9时，弟弟跑在哥哥前面；
（3）当x＞9时，哥哥跑在弟弟前面；
（4）弟弟先跑过20m，哥哥先跑过100m;
从图象上直接可以观察出（1）、（2）小题，在回答第（3）题时，过y 轴上20这一
点作 x轴的平行线，它和y
1
=4x,y
2
=3x+9分别有两个交点，每一交点 都对应一个x值，哪
个x的值小，说明用的时间就短.同理可知谁先跑过100 m.
第三环节：运用巩固、练习提高
1、已知y
1
=－x+3，y
2< br>=3x－4,当x取何值时，y
1
＞y
2
？你是怎样做的？和同伴交流 .
活动内容：学生独立解答4分钟，展示及评价2分钟。
解：如图所示：

当x取小于
7
的值时，有y
1
＞y
2
.
4
第四环节：课时小结
通过本节课的学习，你有哪些收获？

第五环节：布置作业
习题2.6 1、2 《学考精练》2.5第一课时
教学反思
本节课的教学过程中应注意引导学生初步体会从整体 中把握部分的思维方法，渗
透函数、方程、不等式思想和数形结合等重要的数学思想。教学过程中要为学 生提供展
示自己的平台，教师要善于发现学生分析问题解决问题的独到见解和策略的多样性，以
及思维的误区，及时给予激励性评价，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动
的求知态度。 < br>注意改进的方面：在小组学习过程中，应给学生充分的独立思考的时间，交流时注意每
个学生都要 发言。教师参和小组讨论，适时指导，使小组合作学习更具实效性。
第二章 一元一次不等式和一元一次不等式组
5．一元一次不等式和一次函数（二）
教学目标
知识和技能目标
1、掌握一元一次不等式和一次函数的关系，会运用不等式解决函数有关问题。
2、通过具体问题初步体会一次函数的变化规律和一元一次不等式解集的联系。
3、感知不等式、函数、方程的不同作用和内在联系，并渗透“数形结合”思想。
过程和方法目标：
通过分析和一元一次不等式使用题，建立不等式模型，通过对不等式的求解 对实际
问题的解决，训练学生的分析和建立数学模型的能力。
情感态度价值观：
通 过利用一元一次不等式的关系列出不等式，解决实际问题，使学生认识数学和人
类生活的密切联系，以激 发学生学习数学的兴趣和信心。
教学重难点：

重点：列一元一次不等式解决实际问题
难点：列出使用题中的一元一次不等式
教学过程

第一环节：回顾思考
请同学们完成下列问题：
1、若y
1
=-2x-2，y
2
=3x+3，试确定当x取何值时 ，y
1
2
。你是怎样做的？
2、某商品原价60元，现优惠25%，则现价是 元
3、某商品原价200元，现打七五折，则现价是 元
活动目的：让学生在回顾旧知的基础上接触新知，有利于学生的自然过渡，减小梯
度。
第二环节：合作探究
活动内容（一）：
1.［例1］某单位计划在新年期间组织 员工到某地旅游，参加旅游的人数估计为10~25
人，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是 每人200元.经过协商，甲旅行社表
示可给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的 旅游费用？其余游客
八折优惠.该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少？
请大家先猜想一下，你选哪家旅行社？再通过计算验证
学生活动：先独立思考5分钟，再小组交流2分钟，展示、评价和补充4分钟。
根据学生交流，展示、评价及补充情况，教师适时点拔思路和给出规范解答过程
分析：首先 我们要根据题意，分别表示出两家旅行社关于人数的费用，然后才能比
较。而且比较情况只能有三种，即 大于，等于或小于.
解：设该单位参加这次旅游的人数是x人，选择甲旅行社时，所需费用为y
1
元，选
择乙旅行社时，所需的费用为y
2
元，则
y
1
=200×0.75x=150x
y
2
=200×0.8（x－1）=160x－160
当y
1
=y
2
时，150x=160x－160，解得x=16;
当y
1
＞y
2
时，150x＞160x－160，解得x＜16;
当y
1
＜y
2
时，150x＜160x－160，解得x＞16.
因为参加旅游的人数为10~25人，所以当x=16时，甲乙两家旅行社的收费相同；
当17 ≤x≤25时，选择甲旅行社费用较少，当10≤x≤15时，选择乙旅行社费用较少.
活动内容（二）：

［例2］某学校计划购买若干台电脑，现从两家 商场了解到同一型号电脑每台报价均
为6000元，并且多买都有一定的优惠。
甲商场的优惠 条件是：第一台按原价收费，其余每台优惠25%。那么甲商场的收费
y
1
（元）和所 买的电脑台数x之间的关系是 。
乙商场的优惠条件是：每台优惠20 %。那么乙商场的收费y
2
（元）和所买的电脑
台数x之间的关系是 。
（1）什么情况下到甲商场购买更优惠？
（2）什么情况下到乙商场购买更优惠？
（3）什么情况下两家商场的收费相同？
学生活动：先独立思考4分钟，再小组交流2分钟，展示、评价和补充4分钟。
根据学生展示、评价及补充情况，教师适时点拔思路和给出规范解答过程
解：设要买x台电脑 ，购买甲商场的电脑所需费用y
1
元，购买乙商场的电脑所需费
用为y
2元.则有
y
1
=6000+（1－25%）（x－1）×6000=4500x+1500
y
2
=80%×6000x=4800x
（1）当y
1
＜y
2
时，有4500x+1500＜4800x
解得，x＞5
即当所购买电脑超过5台时，到甲商场购买更优惠；
（2）当y
1
＞y
2
时，有4500x+1500＞4800x.
解得x＜5.
即当所购买电脑少于5台时，到乙商场买更优惠；
（3）当y
1
=y
2
时，即4500x+1500=4800x
解得x=5.
即当所购买电脑为5台时，两家商场的收费相同.
第三环节：巩固练习
红枫湖门票是每位45元，20人以上（包含20人）的团体票七五折优 惠，现在有
18位游客买20人的团体票
（1）比买普通票总共便宜多少钱？

（2）不足20人时，多少人买20人的团体票才比普通票便宜？
第四环节：课堂小结
活动内容：
本节课我们进一步巩固了不等式在现实生活中的使 用，通过这节课的学习，我们学
到了不少知识，真正体会到了学有所用.
活动目的：让学生进一步体会了使用不等式解决现实生活中的问题的作用。
第五环节：布置作业
习题2.7第1、2题. 《学考精练》2.5第二课时
教学反思
1、在一元一次方程的使用中，学生虽然已经接触过一些和例题相类似的使用问题，
但在本节需要借助函数关系建立不等式，因此做一做和例题这类使用问题对学生来说可
能会有一 定难度，教学时要。引导学生如何分析此类问题，教给学生方法，渗透数形结
合的思想
2、教 学过程中要充分展示学生的思维，及时发现学生分析问题解决问题的独到见
解，以及思维的误区，适时引 导。通过小组合作学习和评价，帮助学生形成积极主动的
求知态度。
3、这堂课让学生感受数 学和实际结合的魅力，充分体现了数学是解决现实问题的
工具作用，教师角色定位准确，在学生自己通过 分析、实践、探究、总结等活动的基础
上加以引导，培养了学生发现问题，提出问题和解决问题的能力。
第二章 一元一次不等式和一元一次不等式组
6．一元一次不等式组（一）
教学目标
知识和技能目标
1.理解一元一次不等式组及其解的意义，加强运算的熟练性和准确性，培养思维的
全面性；
2.初步感知利用一元一次不等式解集的数轴表示求不等式组的解和解集的方法。
过程和方法
1．注重类比，做好从方程组到不等式组的迁移；

2．重视化归、数形结合等数学思想方法的渗透
情感态度及价值观
1.能运用不等式组解决简单的实际问题，培养学生独立思考的习惯和合作交流意
识；
2.初步认识数学和人类生活的密切联系及其对人类历史发展的作用。
教学重难点
重点：一元一次不等式组的解法
难点：一元一次不等式的解法及其解集在数轴上的表示
教学过程
第一环节：复习引入
解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来：
1. 2x-1>x+1
2.
2x5
-1<2-x
3
复习一元一次不等式的解法。既复习了旧知识又为新课作了铺垫。
第二环节：活动探究、合作学习
活动一：对比方程组的概念，你能将上述你解的不等式进行组 合吗？你能将它们的
的解集表示在同一条数轴上吗？你能给你所组成的形如“方程组”的式子取个名字吗 ？
试试看。
①

2x-1x1


②

x84x-1
你能求出这个一元一次 不等式组的解集吗？如果把每个不等式的解集在同一条数
轴上表示出来，你可以看出它们的公共部分了吗 ？你能写出这个一元一次不等式组的解
集了吗？
活动二：解不等式组：
2x+3≥x+11 ①
2x5
-1<2-x ②
3
你能求出这个一元一次不等式组的解集吗？如果把每个不等式的解集在同一条数
轴上表示出来 ，你可以看出它们的公共部分了吗？你能写出这个一元一次不等式组的解
集了吗？

（板书或展示内容）
（1）一元一次不等式组的概念：一般地,关 于同一未知数的几个一元一次不等式合
在一起,就组成一个一元一次不等式组。
（2）一元一 次不等式组的解集的概念：一元一次不等式组中各个不等式的解集的
公共部分，叫做这个一元一次不等式 组的解集。
（3）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。
第三环节：运用巩固、练习提高
1.某校今年冬季烧煤取暖时间为4个月，如果每月比计划多 烧5吨煤，那么取暖用
煤总量将超过100吨；如果每月比计划少烧5吨煤，那么取暖用煤总量不足68 吨。该
校计划每月烧煤多少吨？
问题：你能列出一个不等式组吗？你能尝试找出符合上面一元一次不等式组的未知
数的值吗？
2.解不等式组：
3.随堂练习
第四环节：课堂小结
1、一元一次不等式组的概念、解、解集分别是什么？
2、一元一次不等式组的解集在数轴上如何表示？
第五环节：布置作业
课本习题2.8 《学考精练》2.6第一课时
并把解集表示在数轴上
教学反思

本课一开始即通过解答四个不等式来复习不等式的解法，虽然看似在复习阶 段用了
较多时间，但却是“磨刀不误砍柴工”。因为这四个练习其实就是例题1的两个不等式
组 中的四个不等式，所得的结果可在例题1中直接引用，前后互为呼应，既复习了前面
的知识，所得的结果 又可为后面的新课直接利用，为新课作了铺垫。同时，这几个练习
由浅入深，也可充分调动各层次学生的 学习积极性。此外，通过这个练习及后面的例题
1的关系可引导学生得出解答一元一次不等式组的基本方 法是先解这个一元一次不等式
组中的每一个不等式，再求出各个不等式解集的公共部分即得一元一次不等 式组的解
集，突出了本课的重点。可以说这一组练习达到了“四赢”的结果，这是本课的第一个
亮点。
充分利用数形结合来求各个不等式解集的公共部分即求一元一次不等式组的解集，

从而突破了本课的难点，这是本课的第二个亮点，也是本课最突出的亮点。
经过 精心挑选的课后作业，涵盖了一元一次不等式组解集的四种情况，体现了“作
业不在于多，而在于精，切 实减轻学生的课业负担”这一理念，这是本课的又一亮点。
本课要注意的地方是根据课堂的实际情况， 如果同学们掌握得较快，时间允许，在
做练习时可通过评讲随堂练习第二题，把一元一次不等式组解集的 四种情况全部讲清，
利于中等生和学困生完成课后作业，提高他们学习数学的兴趣。
第二章 一元一次不等式和一元一次不等式组
6．一元一次不等式组（二）
教学目标
知识和技能目标：
1.会解由两个或两个以上一元一次不等式组成的不等式组并能用数轴求得解集；
2.总结解一元一次不等式组的步骤及情形。
过程和方法：
通过总结解一元一次不等式组的步骤，培养学生的类比推理能力和不完全归纳能
力。
情感态度价值观：
1.培养学生独立思考的习惯，加强运算的熟练性和准确性.
2.培养学生的合作交流意识和创新意识，为学生在今后学习生活中更好运用数学作
准备。
教学过程

第一环节：创设情境，导入新课
问题：现有两根木条a和b，a 长7cm，b长3cm，如果要再找一根木条x，用这三
根木条钉成一个三角形木框，在什么条件下，长 度为3cm，7cm，xcm的三条线段可以
围成三角形？
根据“三角形中两边之和大于第三 边，两边之差小于第三边”，列出木条的长度x
必须满足的两个不等式，教师强调x要同时满足这两个不 等式，由此复习一元一次不等
式组及一元一次不等式组的解的概念。
第二环节：合作交流，探究新知

解下列不等式组：
< br>x1

5x23(x1)
(1)(1)(1)(1)
x3 5
1



3x2x1
1.

2. 3. 4.

2


13

(2)
x17x
(2)

x24
(2)

x54x1
(2)


7x89x< br>
2

2
请大家认真观察一下这四组解，你发现了什么？
要求学生：1.认真讨论解的情况；
2.从每个不等式的解集，到这个不等式组的解集，认真观察，互相交流，找出规律。
活动效果：
通过学生之间的交流和讨论，对照各组解的情况如下：
x


⑴由


x


3
5


x2

x1
4

x 
2
得x≥4;⑶由得，无解；⑷ 由得
得x
⑵由

2

4
3

x6

x4

x4

3
-4此时，教师让学生说说自己组的讨论结果，并 代表本组作总结性的发言.最后教师
引导学生得出以下结论：
由（2）得，两个不等式的解集中不等号的方向都是大于号，在数字
数4。“同大取大” 由（1）得，两个不等式的解集中不等号的方向都是小于号，在不等式组的解集中
不等号的方向取小 于，而数字取比较小的数字
4
。“同小取小”
3
5
和4中取大2
由（4）得，两个不等式的解集中不等号的方向有大于也有小于，数字-4＜1，并
且是 x＞-4,x<1，最后的结果中是x取大于小数而小于大数，即-4＜x<1。“大小小大
中间找”
由（3）得，两个不等式的解集中不等号的方向有大于也有小于，并且是x＞6,x
＜2,因为 6＞2，即x应取大于6而小于2的数，而这样的数根本不存在，所以原不等
式组的解集为无解。“大大 小小无解了”
两个一元一次不等式所组成的不等式组的解集有以下四种情形.

设a＜b,那么

xa
（1）不等式组

的解集是x＞b;

xb

xa
（2）不等式组

的解集是x＜a;
x b


xa
（3）不等式组

的解集是a＜x＜b; < br>
xb

xa
（4）不等式组

的解集是无解。

xb
这是用式子表示，也可以用语言简单表述为：
同大取大；同小取小；大小小大取中间；大大小小题无解。
第三环节：巩固练习，同化知识：
活动内容：
1.解下列不等式组
12(x1)

x3 5


2
（1）

（2）


3x18
xx2





35< br>
x
2.补充练习：解下列不等式组

x3(x2)4

1
(x4)1


2
（1）

1 2x
（ 2）



x1

< br>x2

x3

3


23
第四 环节：师生交流，归纳小结
1.这节课你有什么收获？
2.你能用自己的语言概括吗？
3.这节课用到了我们数学中的什么数学思想？
第五环节：布置作业
习题2.9的1，2，3 《学考精练》2.6第二课时
教学反思

本节课重在培养学生独立思考的习惯及合作交流的意识。在每一个教学环节中 都有
独立思考、小组讨论、小组交流及归纳总结，从而发展了学生的感性认识和理性认识，
为学 生后续的学习奠定了良好基础。
第三章 图形的平移和旋转
§3.1 生活中的平移
知识和技能目标：
1.平移的定义
2.平移的基本性质
过程和方法目标：
1.通过具体实例认识平移，理解平移的基本内涵.
2.探 索平移的基本性质，理解平移前后两个图形对应点连线平行且相等，对应线段和对应角分别相等
的性质.
情感态度和价值观目标：
经历观察、分析、操作、欣赏以及抽象、概括等过程，经历探索 图形平移的基本性质的过程以及和
他人合作交流的过程，进一步发展空间观念，增强审美意识。
教学重点、难点
重点：平移的基本性质.
难点：平移的基本内涵的理解.
教学方法
探索、发现法.
教学过程
Ⅰ.巧设情景问题，引入课题 ［师］同学们，还记得游乐园内的一些项目吗？旋转木马、荡秋千、小火车、滑梯……它们曾经使
我 们许多人乐而忘返.不过，你想过没有：小火车在笔直的铁轨上开动时，火车头走了200米，那车尾走
了多少米呢？
［生齐］也走了200米.
［师］很好.其实，数学就在我们身边，它有很多 规律等待我们去探索，去发现！无论是年代久远的
老牛上的辘轳；还是刚刚耸立起的高楼大厦里的电梯， 无论是微观世界里的粒子运动，还是浩翰宇宙中
的行星运转.其中最简捷的运动变化形式主要是平移和旋 转，让我们走进图形变换的天地，继续探索图形
变换的奥秘吧！

从今天开始，我们就来探索第三章：图形的平移和旋转.
Ⅱ.讲授新课
问：下面我 们来看第一节：生活中的平移：传送带上的电视机的形状、大小在运动前后是否发生了
变化？手扶电梯上 的人呢？
［生齐］传送带上的电视机的形状、大小在运动前后没有发生改变.手扶电梯上的人也没有变化.
在传送带上，如果电视机的某一按键向前移动了80 cm，那么电视机的其他部位向什么方向移动？移
动了多少距离？
［生］电视机的其他部位也向前移动，也移动了80 cm.
四边形ABCD移动到四边形E FGH:如果把移动前后的同一台电视机的屏幕分别记为四边形ABCD和
四边形EFGH(如下图)， 那么四边形ABCD和四边形EFGH的形状、大小是否相同？

［生］四边形ABCD和四边形EFGH的形状、大小相同.
传送带运送电视机的过程中，电视机的形状、大小、位置等因素中，哪些没有发生改变？哪
些发生了变化？手扶电梯上的人呢？
在传送电视机的过程中，电视机的形状、大小没有变化，它的位置发生了变化.
手扶电梯上的人也是位置发生了变化，人没有变化.
［师］很好，在电视机生产车间传输带运 送电视机的过程中，对同一台电视机而言，不同时间的位
置之间是相互平移的关系；人在电梯上两个不同 时刻之间的位置关系也是平移.
那么，什么是平移呢？在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距 离，这样的图形运动称为平
移(translation).注意：“将一个图形沿某个方向移动一定的 距离”，意味着“图形上的每个点都沿同一个
．．．．．．．．
方向移动了相同的距离”.
．．．．．．．．．．
想一想：平移有什么特征呢？
1、平移不改变图形的形状和大小.;2、平移改变图形的位置.
．．．．．．．．．．．< br>［师］如一本书(演示)从书桌的一边平移到另一边，书的大小、形状没有改变，只是它的位置有所变化.
如图：点A、B、C、D分别平移到了点E、F、G、H；点A和点E，点B和点F，点C和 点G，点
D和点H分别是一对对应点，AB和EF是一对对应线段；∠BAD和∠FEH是一对对应角.

(1)在下图中，线段AE、BF、CG、DH有怎样的位置关系？
(2)在下面图中，有哪些相等的线段、相等的角？
(3)由(1)、(2)两个问题，你能归纳出什么结论？

［生］四边形EFGH 是由四边形ABCD平移得到的，由演示可知：线段AE、BF、CG、DH是互相平
行的，并且这四条 线段又相等.
［生］图中相等的线段：AB=EF、BC=FG、CD=GH、AD=EH、AE=B F=CG=DH.∠ABC=∠EFG、∠BCD=
∠FGH
、
∠BAD=∠FEH、 ∠ADC=∠EHG
［生］∠ABC=∠ADC、∠BAD=∠BCD、∠HEF=HGF、∠EFG=∠EHG
有同学指出的这四对角是相等的，但它们是否是由平移所产生的呢？
［生］图形经过平移后， 只是位置发生变化，即图形上的每个点都沿同一个方向移动了相同的距离，
而线段的长短、角的大小没有 发生变化.
［生］经过平移，对应线段，对应角分别相等，对应点的连线是平行的，并且相等.
平移的基本性质：
经过平移，对应线段，对应角分别相等；对应点所连的线段平行且相等.
这个性质也从局部刻画了平移过程中的不变因素：图形的形状和大小.
下面我
［例1 ］如下图所示，△ABE沿射线XY的方向平移一定距离后成为△CDF，找出图中存在的平
行且相等的三条线段和一组全等三角形.
们来看
一例题
以熟悉
掌握平
移的基

本性质 分析：
因为△CDF是由△ABE平移得到的，所以要找图中平行且相等的线段，根据平移的基本性 质，需找出
平移前后图形的对应点；要找出一组全等三角形，可根据平移的特征：“平移不改变图形的形 状和大小”
得到.

解：如图，点A、B、E的对应点分别为点C、 D、F，因为经过平移，对应点所连的线段平行且相等，
所以：AC∥BD∥EF，AC=BD=EF.
平移不改变图表的形状和大小，所以：
△ABE≌△CDF.
Ⅲ.课堂练习
1.如图，∠DEF是∠ABC经过平移得到的，∠ABC=33°，求∠DEF的度数.

解：因为∠DEF是∠ABC经过平移得到的，所以∠DEF和∠ABC是对应角，根据平移的基本性质 ：
“经过平移，对应角相等”则
∠DEF=∠ABC=33°.
2.在下面的六幅 图案中，(2)、(3)、(4)、(5)、(6)中的哪个图案可以通过平移图案(1)得到？
答：图案(3)可以通过图案(1)平移得到.
Ⅳ.课后小结
本节课我们通过具体的实例，认识了平移，理解了平移的基本内涵，并探索了平移的基本性质.
平移不改变图形的大小和形状，但图形上的每个点都沿同一个方向移动了相同的距离.
平移前后两个图形对应点连线平行并且相等，对应线段和对应角分别相等.
Ⅴ.课后作业 < br>1.如图1是10枚硬币摆成的三角形，现在只许你移动3枚硬币，使图1中变成图2的倒三角形，请你移移看.

图1 图2
过程：让学生动手拼摆，来培养学生的动手、动脑能力。结果：平移如下：

(还有其他方法平移，略)
2.依萨克·牛顿是举世闻名的物理学家，数学家，他 曾以诗歌的形式提出一个数学问题：要栽九棵树，
请你来帮忙，每行栽三棵，恰好成十行.请同学们帮他 画出示意图.
过程：让学生充分发挥本领，积极行动起来，解决这个“九树栽十行”问题.
结果：如图所示

板书设计
§3.1 生活中的平移
一、平移的定义
平移的特征
二、平移的基本性质
例1
三、课堂练习
四、课时小结
五、课后作业
§3.2 简单的平
移作图(一)
知识和技能目标：
1.简单的平移作图.
2.确定一个图形平
移后的位置的条件.
过程和方法目标：
1.经历对图形进
行观察、分析、欣赏
和动手操作、画 图等过程，掌握有关画图的操作技能，发展初步的审美能力.
2.能按要求作出简单平面图形平移后的图形.
情感态度和价值观目标：
经历对 图形进行观察、分析、欣赏和动手操作、画图等过程，增强学生对图形美欣赏的意识，培养
其审美观念.
教学重点
能按要求作出简单平面图形平移后的图形.

教学难点
简单平面图形平移后的图形的作法.
教学方法
讲、练结合法.
教学过程
Ⅰ.巧设情景问题，引入课题
［师］通过上节课的学习，我们知道了生活 中的许多现象属于平移，哪位同学能说一下什么是平移
呢？平移的基本性质是什么？
［生］在 平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变
图形的形状和大 小.
平移的基本性质是：
经过平移，对应线段，对应角分别相等，对应点所连的线段平行且相等.
［师］很好，了解了 平移的涵义及其基本性质后，能否把一些简单的平面图形进行平移呢？我们这
节课就来研究：简单的平移 作图.
Ⅱ.讲授新课
［师］下面来看大屏幕(出示投影片§3.2.1 A)
如 图，经过平移，线段AB的端点A移到了点D，你能作出线段AB平移后
的图形吗？和同伴交流.

［生甲］因为经过平移，线段AB的端点A移到了点D，所以点A和点D是对应点；又因为对 应点
所连的线段平行且相等，所以连结AD，然后过点B作线段BC和线段AD平行且相等，最后连结C D，
则线段CD就是线段AB平移后的图形.

［生乙］ 因为平移不改变图形的形状和大小，所以在作线段AB平移后的图形时，可过点D作DC∥
AB，且DC =AB，则线段DC就是线段AB平移后的图形.
［师］很好，这个题实际是平移的基本性质的直接使 用.由此可知：按要求进行平移一些简单的平面
图形时，一般都是使用平移的基本性质进行的.
下面我们通过例题来进一步说明如何平移一些简单的平面图形.
(出示投影片§3.2.1 B)
［例1］经过平移，△ABC的顶点A移到了点D，(如图)，作出平移后的三
角形.

分析：设顶点B、C分别平移到了点E、F，根据“经过平移，对应点所连的线段平行
且相等”，可知线段BE、CF和AD平行且相等.
注意：作图时可用尺规进行作图，也可用三角板和直尺进行作图.

解：如上图，过 点B、C分别作线段BE、CF，使得它们和线段AD平行并且相等，连结DE、DF、
EF，则△DE F就是△ABC平移后的图形.
［师］同学们想一想，议一议(出示投影片§3.2.1 C)
(1)本题还有没有其他方法作出如图所示的△DEF呢？
［生甲］过点D分别作出和AB、 AC平行且相等的线段DE、DF，连接EF，则△DEF就是所要求作
的三角形.

［生乙］过点B作BE∥AD且BE=AD，然后分别以D、E为圆心，以线 段AC、BC的长为半径画弧 ，
两弧交于F点，连结EF、DF，则△DEF就是所要求作的三角形.

……
［师］同学们找到了“△ ABC平移后的图形△DEF的其他作法”.很好，现在“大家来想一想，分
组讨论.
确定一个图形平移后的位置，除需要原来的位置外，还需要什么条件？
［生甲］确定一个图形平移后的位置，除需要原来的位置外，还需要平移的距离.
［生乙］还需要方向，要弄清一个图形是往左平移还是往右平移，是往上平移，还是往下平移.
［师］完全正确，这就是确定一个图形平移后的位置的条件：
(1)图形原来所在的位置.
(2)图形平移的方向.
(3)图形平移的距离.
接下来我们来平移一个图形(出示投影片§3.2.1 E)
［例2］如图，将字母A按箭头所指的方向平移3 cm，作出平移后的图形.

［师生共析］平移字母A的条件：字母A的位置，平移的方向——箭头所指，平移的距离——3 cm，
三个条件都具备，所以可以确定字母A平移后的位置.那如何作图呢？一般情况下，画图时，先确定点，
然后就可以作出所要求的图形.因此本题可以在原图形上找几个能反映本图形的关键的点，根据“经过平
移对应点所连的线段平行且相等”，确定出这几个关键点的对应点，然后按原来的方式连接，即可得到字
母A平移后的图形.

解：在字母A上，找出关键的5个点(如图所示)，分别过这5个点按箭头所指的方向作5条长3 cm
的线段，将所作线段的另5个端点按原来的方式连接，即可得到字母A平移后的图形.
［ 师］在这个例题的解题过程中，通过确定几个关键点平移后的位置，得到字母A平移后的图形，
这是一种 “以局部带整体”的平移作图方法，同学们要掌握.
下面通过练习来熟悉这种“以局部带整体”的平移作图方法.
Ⅲ.课堂练习
(一)课本P
62
随堂练习.
1.将图中的字母沿水平方向向右平移3 cm，作出平移后的图形.
解：在字母N上，找出关键的4个点(如右图)，分别过这4个点沿水平方向向右作4条长3 cm的线
段，将所作的线段的另4个端点按原来的方式连接，即得到字母N平移后的图形.

(二)试一试
1.图中的窗棂轮廓是由一个半圆和一个矩形组成的，试作出这个图案向左平移6格后的图案.

解：分别确定矩形的四个顶点，半圆的圆心、半圆和斜线的两个交点向左平移6格后的位置( 如上图)，
画半圆(以“圆心”平移后的位置为圆心，以6个格的长为直径)，连线即可得到窗棂轮廓向 左平移6格
后的图形.
(三)看课本P
61
~P
62
，然后小结
Ⅳ.课时小结

本节课通过平移作图进一步熟悉理解了平移的基本性质，并能使用平移性质作 出一些简单平面图形
平移后的图形，了解了“以局部带整体”的平移作图方法.
Ⅴ.课后作业
(一)课本P
63
习题3、2 1、2、3.
(二)1.预习内容P
41
.
2.预习提纲.
探索图形之间的平移关系.
Ⅵ.活动和探究
1.画六边形.
不用计算，请在一个已知的正六边形内画一个面积等于原正六边形面积九分之一的小正六边形.
过程：让学生分析、尝试后，进行画图.
结果：如下图，中间的正六边形为所求的图形.

2.添棋子
图中共有16枚棋子，这16枚棋子组成6行，每行4枚棋子.现在请 你在图中再添上4枚棋子，使这
些棋子共组成18行，每行仍有4枚棋子，你会添吗？

过程：同样让学生动脑、动手，培养学生的灵活思维能力.
结果：如下图

板书设计
§3.2.1 简单的平移作用(一)
一、作图
例1(平移作图)
二、确定一个图形平移后的位置的条件
例2(平移作图)
三、课堂练习
四、课时小结
五、课后作业
§3.2.2 简单的平移作图(二)
知识和技能目标：
图形之间的平移关系.
过程和方法目标：
1.经历对图形进行观察、分析、欣赏和动手操作等过程，发展学生的审美能力.
2.能够探索图形之间的平移关系.
情感态度和价值观目标：
1.通过学生对图形的观察、分析、欣赏，以及亲手拼摆等过程，培养学生对图形欣赏的意识.
2.在探索图形之间的平移关系的过程中，使学生认识和欣赏平移在现实生活中的使用.
教学重点
探索图形之间的平移关系.
教学难点
探索图形之间的平移关系.
教学方法
探索、发现法.

教具准备
电脑演示图片，平移图形的过程.
投影片三张：
第一张：(记作投影片§3.2.2 A)；
第二张：做一做(记作投影片§3.2.2 B)；
第三张：议一议(记作投影片§3.2.2 C)；
正六边形的纸片数百张.
教学过程
Ⅰ.巧设情景问题，引入课题
［师］生活中经常见到一些美丽的图案(出 示投影，放图片：课本P
41
~P
42
的图；也可另外找一些平移
图 形的图案)，这些图案都是由基本图形平移组成的，那么怎样平移基本图形就能得到美丽的图案呢？这
节 课我们就来探索一些图案中的图形之间的平移关系.
Ⅱ.讲授新课
［师］现在大家来看图案 1(出示投影图片：课本P
41
的第一幅)；观察图案，并回答.(出示投影片§3.2.2
A)
(1)这个图案有什么特点？
(2)它可以通过什么“基本图案”经过怎样的平移而形成？
(3)在平移的过程中，“基本图案”的大小、形状、位置是否发生了变化？你能解释其中的道理吗？
［生甲］(1)图案中的六条小狗的形状、大小完全一样，只是它们所处的位置不同，由此可知：这个< br>图案可以通过平移“基本图案”得到.
［生乙］(2)这个图案可把“一只小狗”看做“基本图 案”，通过上下、左右平移得到，平移的距离等
于左右相邻(或上下)两只小狗之间的水平距离(或垂直 距离).
［生丙］这个图案还可把中间上下的“两只小狗”看做“基本图案”，通过向左、向右平移得 到，平
移的距离等于左右相邻两只小狗之间的水平距离.
［生丁］这个图案也可把最左边的上 下的“两只小狗”或最左边上下的“两只小狗”看成“基本图
案”，通过向右(或向左)依次平移得到， 平移的距离等于图案中的左右相邻两只小狗的水平距离.
［生戊］这个图案也可把水平的“三只小狗” 看成是“基本图案”，通过向下(或向上)平移得到，平
移的距离等于上下垂直的两只小狗的垂直距离.

［师］同学们讨论得非常精彩，(边叙述边在电脑上演示平移过程)，这个图 案既可以把一只小狗看做
“基本图案”进行平移得到，又可以把两只小狗、三只小狗看做“基本图案”进 行平移得到整个图案，
在这些平移过程中，只是平移的距离不同而已.
接下来，大家想一想第(3)问.
［生己］在平移的过程中，“基本图案”的大小、形状没有 发生变化，只是位置有所改变.因为平移不
改变图形的形状、大小，而改变图形的位置.
［师 ］很好，大家看屏幕(用电脑动画再次演示平移过程).从平移的过程中，进一步说明了平移的特
征：平 移不改变图形的形状、大小，只改变图形的位置.
了解了平移的特征后，大家分组来动手做一做.(出示投影片§3.2.2 B)
在下图中， 左图是一个正六边形，它经过怎样的平移能得到右图？自己动手做做看，你能得到右图
的图案吗？

(学生分组后，教师把预先剪好的大小相同的正六边形分发下来，让学生进行实际拼摆，老师 巡视指
导)
［生］我把一个正六边形经过连续平移，就可以得到右图的图案.
［师 ］同学们通过拼摆，进一步理解了平移的基本内涵，接下来大家想一想，和同伴议一议下面的
两个图案( 出示投影片§3.2.2 C).
(1)在图(课本P
64
的图3—10)中，左图 是一种“工”字形的砖，右图是怎样
通过左图得到的？
(2)图(课本P
65
的图3—11)可以看做什么“基本图案”通过平移得到的？
［生甲］(1)先把左图沿上下方向平移，再沿左右方向平移便可得到右图.
［生乙］也可先把左图沿左右方向平移，再沿上下方向平移得到右图.
［生丙］(2)不考虑 图案颜色的情况下，可以把“一只天鹅”看成“基本图案”，通过平移可以得到如
图所示的图案. ［生丁］如果把相邻的两只不同色的天鹅看做一个组合，那么“基本图案”可以是一个组合，两个
组 合……，直到所有的天鹅.

［生戊］如果不考虑颜色时，可以把同一行的天 鹅看做是“基本图案”，通过上下平移就可得到如图
所示的图案.
［生己］如果不考虑颜色时 ，也可以把同一列的三只天鹅看做“基本图案”，通过左右平移就可以得
到如图所示的图案.
［师］很好，这是一个通过平移得到的复合图案，图案的许多部分可以通过平移而相互得到。接下
来我们 通过练习进一步熟悉图形之间的平移关系.
Ⅲ.课堂练习
(一)课本P
65
随堂练习
1.分析奥运五环旗图案形成的过程(不考虑图案的颜色)

解：在不考虑图案颜色的情况下，五个环之间可以通过平移而相互得到.
2.如图，在正六边 形中剪去一个和其边长相同的正三角形，并将其平移到左边，形成一个新的图案.
用这个图案能否得到类 似于图3—9右图的图案呢？和同伴交流.

解：可以得到类似于图3—9右图的图案.如下图.

(二)看课本P
64
~P
65
,然后小结.
Ⅳ.课时小结

本节课我们探索了图案中图形之间的平移关系，了解了每个图案由于“基本图 案”选取的不一样，
则平移关系也不一样，尤其是一些复合图案，它的许多部分可以通过平移而相互得到 .
Ⅴ.课后作业
(一)课本P
65
习题3.3 1、2
(二)1.预习内容P
66
~P
67
.
2.预习提纲：
(1)旋转的定义.
(2)旋转的基本性质.
Ⅵ.活动和探究
有两个都 是由十四个小方块组成的图形，你能不能沿着分格线把它们分别剪开成七块由相邻两个小
方块(按水平方 向或垂直方向)组成的矩形？
如果行，就请你剪剪看.如果不行，你能不能讲清楚其中的道理？

过程：通过本题的活动——剪切，培养学生的动手能力和初步的说理能力.
结果： 可以把左边的图形用好几种方法剪成七个符合题意的矩形，但对于右边的图形，不论你怎样
剪都剪不出七 个符合题意的矩形.
什么道理呢？
让我们来分析一下：
分别将这两个图形中的十 四个小方块按黑白相同的原则加以涂色，那么，按题目要求所剪成的七块
矩形必定都是由一块黑色小方块 和一块白色小方块所组成.由于左边的图形是由七块黑色小方块和七块
白色小方块连成一个整体所组成， 因此它可以剪出七个符合题意要求的矩形，而右边的图形中黑、白小
方块的数目不相等，所以无论怎样剪 都剪不出七个符合要求的矩形.

板书设计
§3.2.2 简单的平移作图(二)
一、观察图案
由平移形成
二、做一做(平移拼摆)
议一议
三、课堂练习
四、课时小结
五、课后作业
§3.3 生活中的旋转
知识和技能目标：
1.旋转的定义.
2.旋转的基本性质.
过程和方法目标：
1.通过具体实例认识旋转，理解旋转的基本涵义.
2.探索旋转的基本性质，理解旋转前后 两个图形对应点到旋转中心的距离相等，对应点和旋转中心的
连线所成的角彼此相等的性质.
情感态度和价值观目标：
1.经历对生活中和旋转现象有关的图形进行观察、分析、欣赏以 及动手操作、画图等过程，掌握有关
画图的操作技能，发展初步的审美能力，增强对图形欣赏的意识.
2.通过学习使学生能用数学的眼光看待生活中的有关问题，进一步发展学生的数学观.
教学重点
旋转的基本性质.
教学难点
探索旋转的基本性质.

教学方法
探索、发现法.
教具准备
电脑演示或图片.
投影片四张：
第一张：想一想(记作投影片§3.3 A)；
第二张：议一议(记作投影片§3.3 B)；
第三张：性质(记作投影片§3.3 C)；
第四张：例1(记作投影片§3.3 D).
教学过程
Ⅰ.巧设情景问题，引入课题
［师］日常生活中，我们经常见到以下情景(出示图示：钟表、 汽车方向盘、辘轳或电脑演示：钟表
指针的转动、汽车方向盘的转动、辘轳打水的情景).
大家想一想：(出示投影片§3.3 A)
(1)上面情景中的转动现象，有什么共同特征？
(2)钟表的指针、钟摆在转动过程中，其形状、大小、位置是否发生改变？汽
车方向盘的转动 呢？
［生甲］在这些转动的现象中，它们都是绕着一个点转动的.
［生乙］每个物体的转动都是向同一个方向转动.
［生丙］钟表的指针、钟摆在转动过程中，它的形状、大小没有变化，只是它的位置有所改变.
汽车的方向盘在转动过程中，同样它的形状、大小没有改变，方向盘上的每点的位置有所变化.
［师］同学们观察得很仔细，我们把这样的转动叫旋转(circumrotate)，这节课我们就来探讨生 活中的
旋转.
Ⅱ.讲授新课
［师］在数学中，如何定义旋转呢？
在平面 内，将一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转
(circumrot ate).这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角.
注意：“将一个图形绕一个定点沿某个方向 转动一个角度”意味着图形上的每个点同时都按相同的方
．．．．．．．．．
式转动相同的角度 .
．．．．．．．．
在物体绕着一个定点转动时，它的形状和大小不变.因此，旋转具有不改 变图形的大小和形状的特征.
．．．．．．．．．．．

好，了解了旋转的基本概念后，我们来看一钟表的指针的旋转情况(出示投影片§3.3 B)，大家分组讨
论.
议一议：
如下图所示，如果把钟表的指针看做四边形AOB C，它绕O点旋转得到四边
形DOEF，在这个旋转过程中：

(1)旋转中心是什么？旋转角是什么？
(2)经过旋转，点A、B分别移动到什么位置？
(3)AO和DO的长有什么关系？BO和EO呢？
(4)∠AOD和∠BOE有什么大小关系？
［生甲］(1)旋转中心是O点，旋转角是∠AOD.
［生乙］旋转角还可以是∠BOE.
［生丙］(2)四边形AOBC绕O点旋转到四边形DOEF的位置.这时点A旋转到点D的位置，点B 旋
转到点E的位置.
［生丁］(3)可以把OA看作钟表的指针，它OA的位置旋转到OD的 位置，指针的长短、形状没有变
化，所以OA和OD是相等的.
同样，线段OB和OE是相等的.
［生戊］(4)因为四边形AOBC绕O点旋转到四边形D OEF的位置，在旋转的过程中，图形上的每个
点同时都按相同的方向旋转相同的角度，所以∠AOD和 ∠BOE是相等的.
［生己］(4)也可以这样理解：因为四边形AOBC绕O点旋转到四边形DOE F的位置，所以∠AOB
和∠DOE是相等的，又因为∠BOD是公共角，所以，∠AOD和∠BOE是 相等的.
［师］同学们讨论得非常精彩，也合乎逻辑，看上图，四边形DOEF是由四边形AOBC绕 O点旋转
得到的，经过旋转，点A移动到点D的位置，点B移动到点E的位置，点C移动到点F的位置， 则点A
和点D、点B和点E、点C和点F就是对应点.
从刚才大家得出的结论中，能否总结出旋转的性质呢？

［生甲］因 为O是旋转中心，点A和点D是对应点，点B和点E是对应点，且OA=OD，OB=OE，
所以可以知 道：对应点和旋转中心所连的线段的长度是相等的.
［生乙］因为点A和点D、点B和点E是对应点， 且∠AOD=∠BOE，所以由此可以知道：对应点
和旋转中心的连线所成的角是互相相等的.
［师］同学们总结得很好，由此我们得到了旋转的基本性质(出示投影片§3.3 C)
经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度.
任意一对对应点和旋转中心的连线所成的角都是旋转角，旋转角彼此相等.
对应点到旋转中心的距离相等.
［师］好，下面我们通过一例题来熟悉旋转的有关性质的使用(出示投影片§3.3 D)
［例1］钟表的分针匀速旋转一周需要60分.
(1)指出它的旋转中心；
(2)经过20分，分针旋转了多少度？
［师］大家可以画图表示；有的同学带表的话可以观察观察.
［师生共析］经演示(钟表实物 或教具)可以知道，分针是绕着表面盘的中心位置，即钟表的轴心旋转
的，它旋转一周时的度数是360 °,一周需要60分，因此每分钟分针所转过的度数是6°，这样20分时，
分针逆转的角度即可求出.
解：(1)它的旋转中心是钟表的轴心.
(2)分针匀速旋转一周需要60分，因此旋转20 分，分针旋转的角度为
360
×20= 120°.
60
［师］ 同学们通过熟悉的钟表，了解了旋转性质的使用.接下来我们拿出剪刀、白纸和图钉来做一做(出
示投影 片§3.3 E)

(1)剪出两个边长相等的正方形纸片.
(2)按下图所示用图钉钉制好.

(3)这个图案可以看做是哪个“基本图案”通过旋转得到的？
(学生动手制作，教师巡视指导)
［生甲］这个图案可以看做是正方形ABCD绕点O旋转4 5°前后的图形共同组成的，也可以看做是
正方形EFGH绕点O旋转45°前后的图形共同组成的.
［生乙］我剪了一个三角形A
′
B
′
C
′
和三角形 ABC全等，找出△A
′
B
′
C
′
的边 A
′
C
′
的中
点，即图案中的O点，把△A
′
B
′< br>C
′
绕O点分别旋转45°、90°、135°、180°、225°，则前后所
有图形共同组成了一个新图案，而这个新图案和原图案(即如图所示的图案)能够完全重合，因此，如图
所示的图案可以看做是△ABC绕点O分别旋转45°、90°、135°、180°、225°前后所有图形 共同组
成的.
［生丙］老师，我也剪了一个三角形A
′
O
′
B
′
和三角形AOB全等，然后把 △A
′
O
′
B
′
绕O
′
点分别旋转45°、90°、135°、180°、 225°、270°、315°，前后所有的图形共同组成了
一个新图案，而这个新图案同样和原图案完 全重合.因此，如图所示的图案可能看做是△AOB绕点O分
别旋转45°、90°、135°、180 °、225°、270°、 315°前后所有图形共同组成的.
［生丁］老师，我剪了一 个和正方形AQOP完全重合的正方形A
′
Q
′
O
′
P′
，然后把正方形A
′
Q
′
O
′
P
′
绕点O
′
分别旋转45°、90°、135°、180°、225°、270°、 315°，前后所有的图
形共同组成了一个新图案，而这个新图案和原图案完全重合，因此，如图所示的 图案可以看做是正方形
AQOP绕点O分别旋转45°、90°、135°、180°、 225°、270°、315°前后所有图形共同组成
的.

［师］同学们做得真棒，通过动手操作、分析，找到了不同的“基本图案”，由这些不同的“基本图
案”经过旋转得到了如上图所示的美丽的图案.
下面我们做练习来进一步熟悉旋转的有关性质.
Ⅲ.课堂练习
(一)课本P
68
随堂练习.
1.下图可以看做是一个菱形通过几次旋转得到的？每次旋转了多少度？

解：旋转5次得到，旋转的角度分别等于60°、120°、180°、240°、300°.
(二)看课本P
66
~P
67
然后小结
Ⅳ.课时小结
这节课我们通过具体的实例认识了旋转，并由此探讨了旋转的基本性质.
旋转不改变图形的大小和形状，但图形上的每个点同时都按相同的方式转动相同的角度.
旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等，对应点和旋转中心的连线所成的角彼此相等.
Ⅴ.课后作业
(一)课本P
68
习题3.4 1、2、3.
(二)(1)预习内容P
69
~P
70

(2)预习提纲.
①如何进行做一个图形关于某个点的旋转图形.
②确定一个三角形旋转后的位置的条件有哪些？

Ⅵ.活动和探究
1.分析图中的旋转现象.

过程：让学生画图、找规律，也可让他们通过剪切，找到旋转规律.
结果：旋转现象为： < br>整个图形可以看做是图形的八分之一(一组大小不等的三个“角”)绕中心位置，按照同一方向连续旋转45°、90°、135°、180°、225°、270°、315°前后的图形共同组成的.
整个图形也可以看做是图形的四分之一(两组相邻的“角”)绕中心位置连续旋转90°、180°、270°
前后的图形共同组成的.
整个图形还可以看做是图形的二分之一(四组相邻的“角”)绕中心 位置旋转180°前后的图形共同组
成的.
2.图中是否存在这样的两个三角形，其中一个是另一个通过旋转得到的？

过程： 同样让学生在画图过程中体会图形中每个三角形之间的关系；或让学生仔细观察图形，分析
图形，找出关 系.
结果：图中存在这样的三角形，其中一个是另一个通过旋转得到的.

整个图形可以看做图形的四分之一(一组“楼梯”)绕中心连续旋转90°、180°、 270°.前后
的图形共同组成的.
整个图形也可以看做图形的二分之一(两组“楼梯”)绕中心位置旋转180°前后的图形共同组成的.
板书设计
§3.3 生活中的旋转
一、旋转的定义
旋转中心
旋转角
二、旋转的性质
例1
三、做一做
四、课堂练习
五、课时小结
六、课后作业
§3.4 简单的旋转作图
知识和技能目标：
1.简单平面图形旋转后的图形的作法.
2.确定一个三角形旋转后的位置的条件.
过程和方法目标：
1.经历对具有旋转特征的图形进行观察、分析、画图和动手操作等过程，掌握画图技能.
2.能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形.
情感态度和价值观目标：
1.通过画图，进一步培养学生的动手操作能力.
2.在对具有旋转特征的图形进行观察、分析、画图过程中，进一步发展学生的审美观念.
教学重点
简单平面图形旋转后的图形的作法.
教学难点
简单平面图形旋转后的图形的作法.
教学方法
讲、议、练相结合法.

教具准备
教师给学生每人印发一张如图3—16的图案的方格纸.自制一面小旗子.
直尺、圆规.
投影片三张：
第一张：引例(记作投影片§3.4 A)；
第二张：例1(记作投影片§3.4 B)；
第三张：想一想(记作投影片§3.4 C).
教学过程
Ⅰ.巧设情景问题，引入课题
［师］上节课我们探讨了生活中的旋转，那什么样的运动是旋转呢？
［生］在平面内，将一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转.
旋转不改变图形的大小和形状.
［师］很好，旋转有什么性质呢？
［生］旋转前后 两个图形对应点到旋转中心的距离相等；任意一对对应点和旋转中心的连线所组成
的角都是旋转角，旋转 角彼此相等.
［师］很好，大家来看一面小旗子(出示小旗子，然后一边演示一边叙述)，把这面小旗 子绕旗杆底端
旋转90°后，这时小旗子的位置发生了变化，形成了新的图案，你能把这时的图案画出来 吗？看大屏幕
(出示投影片§3.4 A)
如下图，在方格纸上作出“小旗子”绕O点按顺时针方向旋转90°后的图
案，并简述理由.

然后在教师发的纸上画图(教师给每位同学发一张如上图所示的方格纸)
(学生观察、分析、动手画图).
［师］同学们画好了吗？哪位同学给大家说说你如何画出来的？

［ 生］我在原图上找了四个点，即O点、A点、B点、C点，如图(教师把该生所画的图在投影上放
影)这 四个点可以是能表示这面小旗子的关键点.因为旋转前后两个图形的对应点到旋转中心的距离相等，
对应 点和旋转中心的连线所组成的旋转角彼此相等，所以根据已知：要把这面小旗绕O点按顺时针旋转
90° .我在方格中找到点A、B、C的对应点A
′
、B
′
、C
′
，然后连接，就得到了所求作的图形.

［师］这位同学描述得很好，作出的图案也很漂亮. 同学们在作图过程中，基本掌握了作图的一个要
点：找图形的关键点，这很让老师为大家高兴.
这面小旗子是结构简单的平面图形，在方格纸上大家能画出它绕点旋转后的图形，那么在没有方格
纸或 旋转角不是特殊角的情况下，能否也画出简单平面图形旋转后的图形呢？
这节课我们就来研究：简单的旋转作图.
Ⅱ.讲授新课
［师］我们通过一例题来说明简单图形旋转后的图形的作法，看大屏幕(出示投影片§3.4 B) < br>［例1］如图，△ABC绕O点旋转后，顶点A的对应点为点D，试确定顶点
B、C对应点的位置 ，以及旋转后的三角形.

分析：一般作图题，在分析如何求作时，都要先假设已经把所求作 的图形作出来，然后再根据性质，
确定如何操作.
假设顶点B、C的对应点分别为点E、点F，则∠BOE、∠COF、∠AOD都是旋转角. △DEF
就是△ABC绕点O旋转后的三角形.根据旋转的性质知道：经过旋转，图形上的每一点都绕旋 转中心沿
相同方向转动了相同的角度，即旋转角相等，对应点到旋转中心的距离相等，则∠BOE=∠C OF=∠AOD，
OE=OB，OF=OC，这样即可求作出旋转后的图形.

［师］通过分析知道如何作出△DEF，现在大家拿出直尺和圆规，我们共同来把这一旋转后的图形作出来，要注意把痕迹保留下来.
(教师一边叙述，板书作法，一边强调正确使用直尺、圆规，同时作图；学生作图)
解：(1)连接OA、OD、OB、OC.
(2)如下图，分别以OB、OC为一边作∠BOE、∠COF，使得∠BOE=∠COF=∠AOD.
(3)分别在射线OE、OF上截取OE=OB、OF=OC.
(4)连接EF、ED、FD.
△DEF,就是△ABC绕O点旋转后的图形.

［师］同学们画得很好，大家想一想，分组讨论：本题还有没有其他作法，可以作出△ABC绕O点旋转后的图形△DEF吗？
(同学们讨论、归纳)
［生甲］可以先作出点B的对应点E ，连结DE，然后以点D、E为圆心，分别以AC、BC为半径画
弧，两弧交于点F，连结DF、EF， 则△DEF就是△ABC绕点O旋转后的图形.
［生乙］也可以先作出点C的对应点F，然后连结DF .因为△ABC和△DEF全等，所以既可以用两
边夹角，也可以用两角夹边，找到点B的对应点E，即 △DEF.
［师］同学们讨论得非常精彩.方法多种多样，很好.接下来，大家来想一想(出示投影片§3.4 C)
在旋转过程中，确定一个三角形旋转后的位置，除需要此三角形原来的位置
外，还需要什么
条件？
［生丙］还需要知道绕哪个点旋转，旋转的角度是多少？
［生丁］就是要知道旋转中心和旋转角.
［师］很好，由此我们可以知道，要确定一个三角形旋转后的位置的条件为：
(1)三角形原来的位置.
(2)旋转中心.

(3)旋转角.
这三个条件缺一不可.只有这三个条件都具备，我们才能准确地找到一个三角 形绕点旋转后的位置，
进而作出它旋转后的图形.
下面我们来通过练习进一步熟悉简单平面图形旋转后的图形的作法.
Ⅲ.课堂练习
(一)课本P
70
随堂练习.
在下图中，将大写字母N绕它右下侧的顶点按顺时针方向旋转90°，作出旋转后的图案.

解：如下图，先确定字母N的四个端点绕它右下侧的顶点按顺时针方向旋转90°后的位置，然后连线.

(二)看课本P
69
~P
70
然后小结.
Ⅳ.课时小结
本节课我们通过作平面图形旋转后的图形，进一步理解了旋转的性质，并且还知 道要确定一个三角
形旋转后的位置，需要有：①此三角形原来的位置.②旋转中心.③旋转角等三个条件 .
在作图时，要正确运用直尺和圆规，进而准确作出旋转后的图形.要注意语言的表达.
Ⅴ.课后作业
(一)课本P
71
习题3.5 1、2.
(二)1.预习内容P
71
~P
72
.
2.预习提纲.
探索图形之间的变换关系.
Ⅵ.活动和探究
在五边形ABCDE中，AB=AE、BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°.
求证：AD平分∠CDE.

过程：让学生分析、讨论.
要证：AD平分∠CDE.则需证∠ADC=∠ADE.而∠ADC是在四边形ABCD中，∠ADE是 在△ADE中，
且已知：BC+DE=CD、AB=AE、∠ABC+∠AED=180°，这时想到， 连结AC，将四边形ABCD分成两个
三角形，把△ABC绕A点旋转∠BAE的度数到△AEF的位置 ，这时可知D、E、F为一直线，且△ADC
和△ADF是全等的，因此命题即可证得.
结果 ：如图，连结AC，将△ABC绕点A旋转∠BAE的度数到△AEF的位置，因为AB=AE，所以AB
和AE重合.
因为∠ABC+∠AED=180°，且∠AEF=∠ABC，所以∠AEF+∠AE D=180°.所以D、E、F三点在一
直线上，AC=AF，BC=EF.
在△ADC和△ADF中
DF=DE+EF=DE+BC=CD.
AF=AC,AD=AD
所以,△ADC≌△ADF(SSS)
因此，∠ADC=∠ADF
即：AD平分∠CDE.
板书设计
§3.4 简单的旋转作图
一、旋转作图的方法
例1(旋转作图)
二、确定一个三角形旋转后的位置的条件
三、课堂练习
四、课时小结
五、课后作业
§3.5 它们是怎样变过来的
知识和技能目标：
图形之间的变换关系.

过程和方法目标：
经历探索图 形之间的变换关系(轴对称、平移、旋转及其组合)的过程，发展图形分析能力、化归意识
和综合运用变 换解决有关问题的能力.
情感态度和价值观目标：
在探索活动过程中，培养学生的化归意识和审美观念.
教学重点
探索图形之间的变换关系.
教学难点
探索图形之间的变换关系.
教学方法
分组讨论法.
教具准备
投影片四张：
第一张：引例(记作投影片§3.5 A)；
第二张：想一想(记作投影片§3.5 B)；
第三张：例1(记作投影片§3.5 C)；
第四张：(记作投影片§3.5 D).
教学过程
Ⅰ.巧设情景问题，引入课题
［师］前面我们探讨了图形的平移和旋转， 现在来回忆一下：平移和旋转的基本涵义及其它们的性
质.
［生甲］在平面内，将一个图形沿 某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改
变图形的形状和大小.
经过平移，对应线段、对应角分别相等，对应点所连的线段平行且相等.这是平移的基本性质.
［生乙］在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫旋转.旋转
不 改变图形的大小和形状.
旋转的基本性质：
经过旋转，图形上的每一个点都绕旋转中心沿相 同方向转动了相同的角度，任意一对对应点和旋转
中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的 距离相等.
［师］很好，我们来看大屏幕(出示投影片§3.5 A)

下图由四部分组成，每部分都包括两个小“十字”：

左边(两个小“十字”)的部 分能经过适当的旋转得到其他三部分吗？能经过
平移吗？能经过轴对称吗？还有其他方式吗？
［师］大家先观察，然后分组讨论.
［生甲］整个图案可以看做是左边的两个小“十字”绕着 图案的中心，分别旋转90°、180°、270°
前后图形组成的.即：通过三次旋转形成的.
［生乙］这个图形也可以看做是由一个“十字”通过连续七次平移前后的图形共同组成的.
［ 生丙］这个图形可以看做是左边的两个小“十字”先通过一次平移形成图形右侧的部分，然后左、
右部分 一起绕图形的中心旋转90°前后的图形共同组成的.
［生丁］这个图形也可以经过轴对称形成.它可以是左边的两个小“十字”经过两次轴对称所形成的.

如图，直线EF和GH相交于图形的中心点O，且互相垂直，先把左边的两个小“十字”作关 于EF
的轴对称图形，然后作这两部分关于GH的轴对称图形，这样就可得到整个图形.
［师 ］很好，同学们经过观察、分析，知道一个图形既可以看做是由某个“基本图案”平移得到；
也可以看做 是由某个“基本图案”旋转而成的；也可以看做是经过轴对称而形成的；也可以是平移和旋
转相结合而组 成的.

这节课我们就来探讨图形之间的变换关系，即：它们是怎样变过来的.
Ⅱ.讲授新课
［师］现在大家来“想一想”(出示投影片§3.5 B)
下图的图案是否可以看做是由某个“基本图案”经过平移或旋转而得到的？

［师］同学们可以讨论、动手变换一下.
［生甲］这个图案不能由某个“基本图案”平移或旋转得到.
［生乙］这个图案是一个轴对称 图形，它可以看做是左边的图案通过一次轴对称所形成的；也可以
看做是右边的图案通过一次轴对称所形 成的.
［生丙］这个图案可以看做是把左边(右边)的图案翻折180°前后图形共同组成的.
［师］很好，由此我们知道：并不是所有的图形都可以通过一次平移或旋转而得到的.
下面我们再来分析一个图形(出示投影片§3.5 C)
［例1］怎样将下图中的甲图案变成乙图案？

［师生共析］观察图形，甲、乙两个 图案的大小、形状一样，只是甲图案是斜的、乙图案是直的，
且它们的形状的左、右两部分相反，由此可 以看出：若把甲图案“扶直”，则这时的甲乙两图案是轴对称
的，这样即可把甲图案变为乙图案. 解：可以先将甲图案绕图上的A点旋转，使得图案被“扶直”，然后，再以AB的垂直平分线为对称
轴，作它的轴对称图案，即可得到乙图案.(如下图)

［师］大家想一想、议一议：本题还可以用什么方法把甲图案变为乙图案？

［生丁］还可以先作轴对称图案，然后再将图案“扶直”.如下图

以AB的垂直平 分线为对称轴，作甲图案的轴对称图案，然后将它绕点B旋转，使得图案被扶直，这
样就可以得到乙图案 .
［师］很好，如果把图形稍作变化时.(出示投影片§3.5 D)
怎样将下图中的甲图案变成乙图案呢？

［生甲］可以先将甲图案绕图上的A点旋转 ，使得图案被“扶直”，然后将它向左(或沿AB方向)平
移线段AB的长度，这样，甲图案就变成乙图 案.
［生乙］也可以先将甲图案向左平移线段AB的长度，然后将它绕点B旋转，使得图案被“扶直” ，
这时，就可得到乙图案.
［师］同学们表现得非常好，由刚才的题可以看到，由于图形稍作 变化，则图形之间的变换关系也
就不一样.这要引起大家的注意.
接下来我们通过练习进一步熟悉图形之间的变换关系.
Ⅲ.课堂练习
(一)课本P
72
随堂练习
1.如图，怎样将右边的图案变成左边的图案？

答：以右边图案的中心为旋转中心，将图案按逆时针方向旋转90°，然后平移，即可得到左 边的图
案.
2.下图是由三个正三角形拼成的，它可以看做由其中一个三角形经过怎样的变化而得到的？

答案：把中间的正三角形看做基本图案，以三个正三角形的公共顶 点为旋转中心，分别按顺时针、
逆时针方向旋转60°，即可得到该图案；把中间的正三角形看做基本图 案，分别以这个三角形和相邻三
角形的公共边所在的直线为对称轴作轴对称图形，也可以得到该图案.
(二)看课本P
71
~P
72
，然后小结.
Ⅳ.课时小结
本节课我们通过探索图形之间的变换关系，知道一个图形可以由某个基本图案平移，或旋转，或轴
对称，或它们的组合所得；大家一定要对图形进行认真分析，理解它们之间的变换关系.图形的变换关系
是随图形的变化而变化的.
Ⅴ.课后作业
(一)课本P
73
习题3.6 1、2
(二)1.预习内容P
74
~P
75
.
2.预习提纲
(1)阅读课本内容后，为班级设计一个班徽.
(2)收集生活中的典型图案.
Ⅵ.活动和探究
如图，将标号为A、B、C、D的 正方形沿图中的虚线剪开后得到标号为P、Q、M、N的四组图形，
试按照“哪个正方形剪开后得到哪组 图形”的对应关系，填空：
A和_________对应；B和_________对应；C和___ ______对应；D和_________对应.

过程：本题 可让学生动手操作，培养学生的实践能力；也可让学生直接观察，培养学生的空间想像
能力.本题蕴含着 图形变换中位变而形不变的性质.
结果：A和M、B和P、C和Q、D和N分别对应.
板书设计
§3.5 它们是怎样变过来的
一、想一想(分析图案的变换关系)
例1(图形的变换关系)
二、议一议(例1的变换)
三、课堂练习
四、课时小结
五、课后作业
§3.6 简单的图案设计
知识和技能目标：
利用平移或旋转来进行简单的图案设计.
过程和方法目标：
1.认识和欣赏平移、旋转在现实生活中的使用.
2.能够灵活运用平移旋转和轴对称的组合进行一定的图案设计.
情感态度和价值观目标：
1.经历对生活中的典型图案进行观察、分析、欣赏等过程，进一步发展空间观念、增强审美意识.
2.通过学生之间的交流、讨论、培养学生的合作精神.

教学重点
灵活运用平移、旋转和轴对称的组合进行简单的图案设计.
教学难点
灵活运用平移、旋转和轴对称的组合进行简单的图案设计.
教学方法
分组讨论法.
教具准备
投影片三张：
第一张：引例(记作投影片§3.6 A)；
第二张：做一做(记作投影片§3.6 B)；
第三张：例1(记作投影片§3.6 C).
电脑操作：平移、轴对称、旋转等.
教学过程
Ⅰ.巧设情景问题、引入课题
［师］在现实生活中，我们经常见到一些美丽的图案，看大屏幕(出示投影片§3.6 A)
P
74
的图3—23
你能用平移、旋转或轴对称分析图3—23中各个图案 的形成过程吗？你是怎
样分析的？和同伴交流.
［生甲］(1)的图案可以看做是图形的六分 之一绕图形的中心旋转60°、120°、180°、240°、300°
前后图形所组成的；也可以看 做是图形的三分之一绕图形的中心旋转120°、240°前后图形所组成的；
也可以看做是图形的二分 之一绕图形的中心旋转180°前后图形所组成的.
［生乙］(2)的图形可以看做是由“基本图案” ——一个四边形平移组成的.这三个四边形的任一个都
可以作为“基本图案”；只是平移的方向和距离有 所不同.
［生丙］(2)的图形还可以这样：把其中的一个四边形作为“基本图案”，然后作它的轴对 称的图案来
形成整个图案.
［生丁］(3)的图案既可以看做是图形的六分之一绕图形的中心 分别旋转60°、120°、180°、240°、
300°前后图形所组成的；也可以看做是图形的三 分之一绕图形的中心分别旋转120°、240°前后图形
所组成的；还可以看做是图形的二分之一绕图 形的中心旋转 180°前后图形所组成的；
(3)的图案是轴对称图形.所以还可以利用作图形中任一部分的轴对称的图案来完成整个图案.

［生戊］(4)的图案可以看做是图形中的一个三角形绕两个三角形重叠部分 的线段的中点，即图形的
中心，旋转180°前后图形所组成的.
［生己］(5)的图案的形 成和图案(3)的基本一样，既可以用旋转，也可以用轴对称.即：整个图案可以
看做是图形的六分之一 绕图形中心分别旋转60°、120°、180°、240°、 300°.前后图形所组成的；
也可以看做是图形的三分之一绕图形中心分别旋转120°、 240°前后图形所组成的；还可以看做是
图形的二分之一绕图形中心旋转180°前后图形所组成的；
这个图案也可以利用轴对称来完成整个图案，即可把图形中的某一部分作为“基本图案”，然后作它的轴对称的图案，从而完成整个图案.
360360360
、2×、3×、
111111
360360360360360360360
4×、5×、6 ×、7×、8×、9×、10×前后图形所组成的.
111
［生庚］图案(6)可以看做是图 形的十一分之一绕图形的中心分别旋转：
［师］同学们表现得很好，分析得很有道理，这六个图案都是真 实的标志性图案的再加工，它们都
可以看做是其中的某些部分通过适当的平移、旋转或轴对称所形成的.
好，我们能分析已有图案，那么能否仿照图3—23中的某个标志来设计一个图案呢？
这节课我们来研究：简单的图案设计.
Ⅱ.讲授新课
［师］下面我们分组来设计图案.要求如下(出示投影片§3.6 B)
做一做
P
74
的图3—23.
(1)仿照上图中的某个标志，每个小组设计一个图案.
(2)你设计的图案是如何形成的？要表现什么？
(各小组同学经过讨论、分析，然后每位同学进行绘画，课堂气氛活跃，充分发挥学生丰富的想像力)
各小组选出较好的上台展示，然后叙述其图案的形成及意图.
［师］各小组展示的图案都匠心独具，非常精彩，下面请大家再看一幅图(出示投影片§3.6 C)
P
74
图3—34
欣赏上图的图案，并分析这个图案形成的过程.
［师生共解］这个图案是由三个“基本图案”组成的，它们分别是三种不同颜色的“爬虫”(形状、
大 小完全相同).

在图中，同色的“爬虫”之间是平移关系，所有同色的“爬 虫”可以通过其中一只经过平移而得到；
相邻的不同色的“爬虫”之间可以通过旋转而得到，其中，旋转 角度为120°，旋转中心为“爬虫”头
上、腿上或脚趾上一点.
［师］生活中有好多的图案 用到了平移或旋转，你收集到的图案多吗？请大家拿出来，看一看哪些
图案用到了平移或旋转？分析其中 一个，并和同伴进行交流.
(学生进行分析、讨论，教师巡视、指导)
［师］同学们能准确 地找到生活中用平移或旋转组成的图案，并能分析、这很好.那你在计算机上能
进行平移、旋转、轴对称 吗？大家来读一读P
75
的“在计算机上进行平移、旋转、轴对称”.
(学生阅读后，教师进行在电脑上演示)
Ⅲ.课时小结
这节课我们通过对一些图案 的观察、分的，并进行了简单的图案的设计，进一步理解了平移、旋转
及轴对称的性质，同学们以后要灵 活使用这些性质.
Ⅳ.课后作业
(一)课本P
77
习题3.7 1、2、3.
(二)1.预习内容：本章所有内容.
2.预习提纲.
(1)总结本章所学内容.
(2)每位同学出一份自测题.
Ⅴ.活动和探究
下图是由12个全等三角形组成的，利用平移、轴对称或旋转分析这个图案的形成过程.

过程：让学生进行观察、分析，找到这个图案的形成过程.
结果：这个图案可以看做是按照如下步
骤形成的.
(1)以一个三角形的一条边为对称轴作和它轴对称的图形.

(2)将得到的这组图形以一条边的中点为旋转中心旋转180°.

(3)分别以这两组图形为平移的“基本图案”，各平移两次，即可得到最终的图形.
板书设计
§3.6 简单的图案设计
一、观察图案、分析图案
做一做
二、例1(分析密铺图案)
议一议
三、读一读
四、课时小结
五、课后作业
§3.7 回顾和思考
知识和技能目标：
1.平移的基本涵义及其性质.
2.旋转的基本涵义及其性质.
3.能按要求作出简单平面图形平移后或旋转后的图形.
4.图形之间的变换关系.
5.运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计.
过程和方法目标：
1.通过回顾进一步理解平移、旋转的基本性质，并能准确作出简单平面图形平移、旋转后的图形.
2.探索图形之间的变换关系，认识和欣赏平移、旋转在现实生活中的使用.
3.能够灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计.
情感态度和价值观目标：
1.通过回顾和思考 ，进一步发展学生的空间观念，培养其操作技能，增强审美意识.
2.通过观察、动手操作等实践活动，使学生积累丰富的数学经验.

3.通过学生的独立思考和合作交流，进一步体会图形平移、旋转的数学内涵，形成有关的简单技能，
享受学习的乐趣.
教学重点
本章的重点内容.
教学难点
探索图形之间的变换关系.
利用平移、旋转和轴对称的组合进行图案设计.
教学方法
分组讨论式.
教具准备
投影片两张：
第一张：问题(记作投影片§3.7 A)；
第二张：结构框架(记作投影片§3.7 B).
教学过程
Ⅰ.巧设情景问题，引入课题
［师］前面几节课我们探讨了图形 的平移和旋转，今天来通过复习这部分内容，进一步理解认识平
移和旋转在生活中的使用.
Ⅱ.讲授新课
［师］我们以小组为单位，以问题串的形式来共同回顾一下本章的内容.看大屏幕(出示投影片§3.7 A)
1.平移是否改变图形的位置、形状、大小？通过实例加以说明，旋转呢？
2.经过平 移，对应点所连成的线段之间有什么关系？经过旋转，每一对对应
点和旋转中心之间有什么关系？
3.收集生活中利用平移、轴对称、旋转设计而成的图案，体会设计者的意图.
4.你能利用一次平移和一次旋转设计一个图案吗？你想表达什么含义？
(学生通过讨论、归纳、举例，一个一个问题解决)
［生甲］平移是在平面内，把一个图形沿 某个方向移动一定的距离的运动.平移不改变图形的形状和
大小，只改变图形的位置.
如：商 店里的货架上摆放的一列同种饮料可以看做是一饮料通过平移而形成的.饮料的形状和大小没
有变化，只 是饮料放的位置有所变化.
……

(学生们举出了好多生活中的实例，来说明平移不改变图形的大小和形状，只改变位置)
［生乙］如：夏天，在好多公共场所都装有三叶吊扇，它的运动就是旋转.即：
在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转.
由三 叶吊扇运动可知：旋转不改变图形的大小和形状.只是它的“基本图案”——一叶吊扇的位置有
所变化.
……
(同样，学生也举出了好多旋转实例，说明旋转不改变图形的大小和形状)
［生丙］(2)经过平移，对应点所连成的线段平行且相等.这是平移的基本性质.
经过旋转 ，每一对对应点和旋转中心的连线所成的角都是旋转角，旋转角相等；每一对对应点到旋
转中心的距离相 等.这是旋转的基本性质.
［(3)(4)由学生分组讨论、分析、设计.这两个题没有统一的标准］
问题(3)：只要学生叙述的语言和所拿的图案的意思基本一致且合乎情理即可.
问题(4) ：只要学生设计的图案和所表达的含义基本一致且合情合理即可.然后可把一些设计较好的在
全班展示. (在投影上放影)
通过问题(3)、(4)的解决，使学生进一步理解图形之间的变换，能灵活运用平 移、旋转及其组合进行
简单图案的设计.
［师］我们通过分组讨论，解决了具有能反映本章内 容的一串问题，现在来梳理一下本章的结构框
架.(出示投影片§3.7 B)