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精品【初中语文试题】
2.6 应用一元二次方程
一、学生知识状况分析
学生已经学习了一元二次方程及其解法，对于方程的解及解方程并不陌生，对于实际
问题的应用 ，虽然在七、八年级学生已经进行了有关的训练，但还是有一定的难度。
由于本节内容针对的学习者是 九年级上学期的学生，已经具备了一定的生活经验和初步
的解一元二次方程的经验，乐意并能够与同伴进 行合作交流。

二、教学任务分析
本节课的主题是发展学生的应用意识，这也是方 程教学的重要任务。但学生应用意识
和能力的发展不是自发的，需要通过大量的应用实例，在实际问题的 解决中让学生感受到其
广泛应用，并在具体应用中增强学生的应用能力。因此，本节教学中需要选用大量 的实际问
题，通过列方程解决问题，并且在问题解决过程中，促进学生分析问题、解决问题意识和能力的提高以及方程观的初步形成。显然，这个任务并非某个教学活动所能达成的，而应在教
学活动中 创设大量的问题解决的情境，在具体情境中发展学生的有关能力。为此，本节课的
教学目标是：
知识目标：
通过分析问题中的数量关系，建立方程解决问题，认识方程模型的重要性，并总结 运用
方程解决实际问题的一般过程。
能力目标：
1、经历分析和建模的过程，进一 步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效的
数学模型；
2、能够利用一元二次方程解 决有关实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的
合理性，进一步培养学生分析问题、解决问题的 意识和能力；
情感态度价值观：④在问题解决中，经历一定的合作交流活动，进一步发展学生合作交< br>流的意识和能力。

三、教学过程分析
本课时分为以下五个教学环节：第一 环节：回忆巩固，情境导入；第二环节：做一做，
探索新知；第三环节：练一练，巩固新知；第四环节： 收获与感悟；第五环节：布置作业。
精品【初中语文试题】

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第一环节；回忆巩固，情境导入
活动内容：提出问题：还记得本章开始时梯子下滑的问题吗？
①在这个问题中，梯子顶端下滑 1米时，梯子底端滑动的距离大于1米，那么梯子顶端下滑几
米时，梯子底端滑动的距离和它相等呢？ ②如果梯子长度是13米，梯子顶端下滑的距离与
梯子底端滑动的距离可能相等吗？如果相等，那么这个 距离是多少？
分组讨论：
①怎么设未知数？在这个问题中存在怎样的等量关系？
如何利用勾股定理来列方程？
②涉及到解的取舍问题，应引导学生根据实际问题进行检
验，决定解到底是多少。
活 动目的：以学生所熟悉的梯子下滑问题为素材，以前面所学的勾股定理中边长的关系
为切入点，用熟悉的 情境激发学生解决问题的欲望，用学生已有的知识为支点，进一步让学
生体会数形结合的思想。
活动的实际效果：大部分学生能够联系以前学过的勾股定理的三边关系对上述问题进行
思考，能够在老 师的引导下主动地探究问题，取得了比较理想的效果，而且也调动了学生
的学习热情，激发了学生的思维 ，为后面的探索奠定了良好的基础。

第二环节 做一做，探索新知
活动内容：见课本P53页例1：
如图：某海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有 一重要目标B，在B的正东方
向200海里处有一重要目标C，小岛D位于AC的中点，岛
上有 一补给码头。小岛F位于BC中点。一艘军舰从A出发，
经B到C匀速巡航，一艘补给船同时从D出发， 沿南偏西方
向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰。
已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的
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途中与补给船相遇，那么相遇时补给船航行了多少海里？（结果精确到0.1海里）
该部分是 学习中的难点，在教学中要给学生充分的时间去审清题意，分析各量之间的
关系，不能粗线条解决。在讲 解过程中可逐步分解难点：①审清题意；②找准各条有关线
段的长度关系；③建立方程模型，之后求解。
解决实际应用问题的关键是审清题意，因此教学中老师要给学生充分的时间去审清题
意，让学生 自己反复审题，弄清各量之间的关系，分析题目中的已知条件和要求解的问题，
并在这个前提下抓住图形 中各条线段所表示的量，弄清它们之间的关系。
在学生分析题意遇到困难时，教学中可设置问题串分解难点：
（1）要求DE的长，需要如何设未知数？




（2）怎样建立含DE未知数的等量关系？从已知条件中能找到吗？
（3）利用勾股定理建立等量关系，如何构造直角三角形？
（4）选定
RtDEF
后，三条边长都是已知的吗？DE，DF，EF分别是多少？
学生在问题串的引导下，逐层分析，在分组讨论后找出题目中的等量关系即：
速度等量：V
军舰
=2×V
补给船

时间等量：t
军舰
=t
补给船
222
三边数量关系：
EFFDDE

弄清图形中线段长表示的量：已知AB=BC=2 00海里，DE表示补给船的路程，AB＋BE表
示军舰的路程。
学生在此基础上选准未知数 ，用未知数表示出线段：DE、EF的长，根据勾股定理列方
程求解，并判断解的合理性。
巩固练习：
1、一个直角三角形的斜边长为7cm，一条直角边比另一条直角
边长1 cm，那么这个直角三角的面积是多少？
2、如图：在Rt△ACB中，∠C=90°，点P、Q同时由A、B两点
8cm

出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1ms，几
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A
P
Q
C
6cm
B

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秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半？ < br>3、在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路（两条纵向，一条横向，
横 向与纵向互相垂直），把耕地分成大小相等的六块作试验田，
要使试验田面积为570平方米，问道路应 为多宽？

说明：三个题目的设计从简单问题入手，通过勾股定理解
决直角三角形边 长问题；第2题构造了一个可变的直角三角形，解决面积问题；第三题也是
面积问题，在这个问题中常设 道路宽为x米，其中两条长为20米，一条长为32米，但要注
意路的交叉部分。
引导学生通 过转变图形进行思考：若将图中的三条路分
别向上和向右平移到如图所示的位置，应怎样列方程求解？结
果一样吗？哪种方法更简单？

活动目的：一元二次方程的应用问题的类型较多，像 数字问题、面积问题、平均增长
（或降低）率问题、利润问题、数形结合问题等；本节课以教材上的引例 作为出发点，作为
素材来呈现，可以将应用类型作适当的拓展，在练习中将教材中的应用问题归类呈现出 来，
便于学生理解和掌握。本课由数形结合问题拓展到面积问题，后面可以在练习中增加数字
问 题，在第二课时在利润问题上也可增加平均增长率问题等，为学生呈现更多的应用类型，
让学生在不同的 情境中体会建模的重要性。由于本节“一元二次方程的应用”与九年级下册
中的“二次函数”的应用联系 密切，所以学好本节课可以为后续知识打下坚实的基础。
活动实际效果：应用问题设置都经过精心准备 。通过问题串的设立，将比较复杂、难以
理解的题目分成多个小的题目去理解，使学生在不知不觉中克服 困难，体会到列方程解应
用题的三个重要环节：整体系统的审清题意；寻找等量关系；正确求解并检验解 的合理性。
采取的是一讲一练，从巩固练习的准确程度上来看，学生掌握得比较好，能够达到预期的效< br>果。

第三环节：练一练，巩固新知
活动内容：1、在一块正方形的钢板上 裁下宽为20cm的一个长条，剩下的长方形钢板
的面积为4800 cm
2
。求原正方形钢板的面积。
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2、有这样一道阿拉伯古算题：有两笔钱，一多一少， 其和等于20，积等于96，多的
一笔钱被许诺赏给赛义德，那么赛义德得到多少钱？
3、《 九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三，乙东行，
甲南行十步而斜东北 与乙会，问甲乙行各几何。”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地
点出发，甲的速度为7，乙的速度 为3。乙一直向东走，甲先向南走了10步，后又斜向北偏
东方向走了一段后与乙相遇。那么相遇时，甲 、乙各走了多远？
活动目的：通过三道问题的解决，查缺补漏，了解学生的掌握情况和灵活运用所学知识
的程度。 在教学过程中要以学生为主体，引导学生自主发现、合作交流。
活动实际效果：学生在前面活动中积累 的经验，可以帮助学生比较顺利地分析上述问
题，遇有疑难可以让学生在合作交流中解决，学生在训练过 程中更加理解了建模的重要性．大
部分学生能够独立解决问题。

第四环节：收获与感悟
活动内容： 问题：
1、列方程解应用题的关键
2、列方程解应用题的步骤
3、列方程应注意的一些问题
让学生在学习小组中进行回顾与反思后，进行组间交流发言。
活动目的：鼓励学生回顾本节课 知识方面有哪些收获，解题技能方面有哪些提高，还有
什么疑难问题希望得到解决，通过回顾进一步巩固 知识，将新知识纳入到学生个人已有的知
识体系中；通过对三个问题的解决，加深学生利用方程解决实际 问题的意识和提高解题的能
力；并且通过学生间的合作学习帮助不同层次的孩子解决实际困难，增强孩子 学好数学的信
心。
活动实际效果：学生通过回顾本节课的学习过程，体会利用列一元二次方程 解决实际问
题的方法和技巧，进一步提高自己解决问题的能力。

第五环节：布置作业
1、甲乙两个小朋友的年龄相差4岁，两个人的年龄相乘积等于45，你 知道这两个小朋
友几岁吗？
2、一块长方形草地的长和宽分别为20m和15m，在它四周外 围环绕着宽度相等的小路，
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已知小路的面积为246㎡，求小路的宽度。
3、有一个两位数等于其数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这两位数。
选作题（供学有余力的学生选作）：
一艘轮船以20海里时的速度由西向东航行，途中接到台 风警
报，台风中心正以40海里时的速度由南向北移动，距台风中心
20
10
海里的圆形区域(包括边界)都属台风区.当轮船到A处时，
测得台风中心移到位于点A正南方向B处， 且AB=100海里.若这艘
轮船自A处按原速度继续航行，在途中会不会遇到台风?若会，试求
轮船最初遇到
台风的时间；若不会，请说明理由.

四、学法指导
本 课是学生学习完一元二次方程的解法后的应用课，学生在七八年级已经进行过方程应
用的训练，对于方程 的实际应用并不陌生，虽然学生已经进行了一定的训练，但本课对学生
而言还是有一定的难度。本课采用 启发式、问题讨论式、合作学习相结合的方式,引导学生
从已有的知识和生活经验出发，以教材提供的素 材为基础，引导学生对旧知识进行迁移，找
出解决问题的新的途径和方法；学生之间的合作交流、互助学 习，能更好地调动学生的学习
积极性，可以更好地根据学生的实际情况进行调整，更符合学生的认知规律 。无论是例题的
分析还是练习的分析，尽可能地鼓励学生动脑、动手、动口，为学生提供展示自己聪明才 智
的机会，并且在此过程中发现学生分析问题、解决问题的独到见解以及思维的误区，更好
地进 行学习指导。


B
A
东
北
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