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第15讲 和差倍问题二
兴趣篇
1．★开始时阿呆有20张游戏卡，阿瓜 有16张游戏卡．阿呆送给阿瓜2张游戏
卡，这时阿呆和阿瓜一共有多少张游戏卡？
答案 36张
解答 开始时，阿呆和阿瓜一共有20+16=36（张）游戏卡，无论阿呆送给阿瓜
几张游戏卡，两人的游戏卡的总张数是不变的．所以阿呆送给阿瓜2张游戏卡后，
两人的游戏卡的总数 仍然是36张.
2．★开始时阿呆有20张游戏卡，阿瓜有16张游戏卡．阿呆送给阿瓜一些游戏卡，这时阿呆只有12张游戏卡了．请问：现在阿瓜有多少张游戏卡？
答案 24张
解答 两人一共有20+16=36（张）游戏卡，所以阿瓜现在有36-12=24（张）
游戏卡.
3．★★甲班和乙班一共有60人，如果从甲班调6人到乙班，那么甲班的人数就
是乙班人的2倍．求 甲、乙两班原来的人数．
答案 甲班46人，乙班14人
解答 设后来乙班的人数为1份，那么甲班的人数是2份，所以两班的总人数
就是3份．




两班的总人数60人是不变的，因此3份就等于60人，1份就是60÷3= 20（人），
即乙班后来的人数为20人，甲班是乙班的2倍，为40人．
所以，原来甲班有40+6=46（人），乙班有20-6=14（人）．
4．★★甲、乙两位学生原 计划每周做同样数量的练习题，实际上甲每周多做了
18道题，而乙偷懒每周少做了14道题，结果乙三 周的做题量只相当于甲一周的

做题量．请问：他们原计划每周做几道题？
答案 30道
解答 实际上乙做三周的题量只相当于甲一周的数量，也就是说，甲一周做题目
的数量是乙的3倍．
设乙每周实际做的题目数量是1份，那么甲每周实际做的题目数量就是3
份.






由图中可以看出，甲的3份比乙的1份多了14+18=32（道）题，即2份为
32道．
因此1份为32÷2=16（道），即乙每周实际做16道题，那么他们原计划每
周做16 +14=30（道）题.
5．★★一辆公共汽车出发时有48人，到达第一站时有若干人下车，而且下 车的
比留下的多8人．到达第二站时，又有人下车，这次下车的比留下的少8人．请
问：最后有 几个人留在了车上？（注：每个车站都无人上车）
答案 14人
解答 根据题意得，第 一站下车的人数与留下的人数之和为48人，又知两者之
差为8人，根据和差问题的公式得，第一站后车 上留下的人数为(48-8)÷2=20（人）．
同样的，到达第二站时留下的人数与下车的人数之和为20人，差为8人．
所以第二站后车上留下的人数为(20+8)÷2=14（人）.

6．★★刘 老师给大家布置了若干道数学题作为寒假作业，寒假快结束的时候，
墨莫已经做完48道，萱萱则做完4 0道．如果萱萱未做的题数是墨奠的3倍，那
么老师一共布置了多少道题？
答案 52道
解答





萱萱做的题目比墨莫做的少48-40=8（道）．
由线段图可知，萱萱未做的3份比墨莫未做的1份多8道题，则1份为8÷
(3-1) =4（道），即墨莫未做的题数是4道．所以老师一共布置了4+48=52（道）
题.
7． ★★甲房地产公司有资金100亿元，乙房地产公司有资金40亿元，两公司联
合投资一块地皮，用去同 样多的资金后，甲公司剩下的资金是乙公司的5倍．请
问：两公司投资这块地皮共用去多少亿元？
答案 50亿元
解答 设乙公司剩下的资金是1份.




由线段图知，甲公司剩下的资金比乙公司多100-40=60（亿元） ，而这60
亿元相当于5-1=4（份），所以1份就是60÷4 =15(亿元），即乙公司剩下的资金

是15亿元．
因此用去的资金 是40-15=25（亿元），那么两公司投资这块地皮共用去25
×2=50（亿元）．
8．★★在一个减法算式里，被减数、减数与差的和是240，减数是差的5倍．则
减数是多少？
答案 100
解答 设差是1份，所以减数就是5份.
在一个减法算式里，被减数应该等于减数加上差，也就是差的6倍等于6
份．





被减数、减数与差的总份数等于1+5+6=12（份），而它们三者之和是240.
因此1份等于240÷12=20，那么减数等于20×5=100.
9．★★王老师买来三箱水果， 总重100千克，其中前两箱重量相差11千克，且
前两箱的总重量是第三箱的3倍．请问：这三箱水果 中最重的那箱重多少千克？
答案 43千克
解答 设第三箱的重量是l份，那么前两箱的总重量是3份，总重量就是4份．

由线段图可知．4份等于100千克，所以1份等于10 0÷4=25（千克），也
就是第三箱的重量是25千克，那么前两箱的重量之和为100 – 25=75（千
克）．又知两者的差是11千克，由和差公式得，它们的重量分别是(75 -11)÷2=32
（千克）和32+11= 43(千克)．
因此，最重的那箱重43千克.
10.甲、乙、丙三个物体的总重量是93千克，甲物体比乙、丙两个 物体的重量之
和轻1千克乙物体比丙物体的2倍还重2千克，那么甲、乙、丙各重多少千克？
答案 甲46干克，乙32千克，丙15千克
解答 把乙丙两个物体合并为一个整体，与甲物体进行比较．已知两者的重量之
和为93，差为1．
由和差公式得，甲物体的重量是(93 -1)÷2=46（千克），那么乙、丙物体的
重量之和是47千克.
设丙物体的重量为1份，那么乙物体的重量就是2份加2千克．





47千克相当于3份加上2千克，所以1份是(47-2) ÷3=15(千克)．
综上所述，甲物体重46千克，乙物体重15×2+2=32（千克），丙物体重15
千克．

拓展篇
1．★★卡莉娅和萱萱一起去书店买书，一共买了15本数学书和22本语文书，其中卡莉娅买的数学书是萱萱的4倍，萱萱买的语文书比卡莉娅的3倍多2本，

请问 ：萱萱买的书比卡莉娅多多少本？
答案 3本
解答 设萱萱的数学书是1份，则卡莉娅的数学书是4份.




由线段图知，15本相当于5份，所以1份是15÷5=3(本)，即萱萱有3本数
学书，那么卡莉娅有 3×4=12（卒）数学书．
类似地，设卡莉娅的语文书是1份，那么萱萱的语文书比3份多2本.




由线段图知，22本相当于4份加上2本，所以1份是(22—2)÷4=5（本），
即卡莉娅有5本语文书，那么萱萱有5×3+2=17（本）语文书.
综上所述，卡莉娅一共买了12+5=17 (本)书，萱萱一共买了3+17=20（本）
书，因此萱萱买的书比卡莉娅多20-17=3（本）．
2．★★卡莉娅和萱萱玩游戏，每玩一局，输的就要给赢的1枚棋子．一开始卡
莉娅有18枚棋 子，萱萱有22枚，玩了若干局之后，卡莉娅反而比萱萱多了10
枚棋子，请问：此时卡莉娅有多少枚棋 子？
答案 25枚
解答 方法一：开始时卡莉娅和萱萱一共有18+22=40（枚） 棋子．在玩游戏的
过程中，由于两人的棋子总数是不变的，因此两人的棋子之和始终是40枚．

玩了若干局后，卡莉娅比萱萱多10枚棋子，即两人的棋子数之差是10枚．
根据“大数=（和+差）÷2”，可得卡莉娅有(40+ 10)÷2=25(枚)棋子.
方法二：注意到卡莉娅赢的一局和输的一局是可以抵消的．卡莉娅每赢一局
就多l枚棋 子，同时萱萱就少1枚棋子．
一开始卡莉娅比萱萱少4枚棋子，则卡莉娅赢2局后,棋子数就 与萱萱一样
多了．再赢5局后卡莉娅就多5枚棋子，而萱萱少5枚棋子，此时卡莉娅比萱
萱多1 0枚棋子.
因此卡莉娅比萱萱多蠃了5+2=7(局),最后卡莉娅就有18+7=25（枚）棋子．
3．★★甲 水库有43亿立方米水，乙水库有37亿立方米水．请问：需要从甲水
库调多少亿立方米水到乙水库，才 能使乙水库的水比甲水库多两倍？
答案 23亿立方米
解答 开始时两水库一共有43十37=80（亿立方米）水.
调水后，两个水库中水的总量是不变的，仍是80亿立方米，设甲水库有1
份水，则乙水库就有3份水．




由线段图可知，4份等于80亿立方米，所以1份 等于80÷4=20（亿立方米），
即调水后，甲水库有20亿立方米，而乙水库有20×3=60（亿 立方米）水.
因开始时甲水库有43亿立方米水，所以甲水库调了43-20=23（亿立方米）水< br>到乙水库.
4．★★小高家有两根绳子，长的有163米，短的有97米，他把两根绳子剪去同
样长的一段，结果长绳所剩长度比短绳所剩长度的7倍还多6米．那么两根绳子

都剪去了多少米？
答案 87米
解答 设剪后短绳所剩长度为1份，则长绳所剩长度
为7份加6米．
两根绳子的长度差是163-97=66（米）．





从线段图可看出，把两根绳子剪去同样的长度，则 两根绳子都要缩短，但是
它们的长度之差是不变的，由于剪短后，长绳是短绳长度的7倍还多6米，于< br>是两绳的长度差66米比短绳剩下长度的6倍还多6米，因此短绳剩下的长度是
(66 -6)÷6=10（米）．
因为短绳原来的长度是97米，两绳都被剪去同样的长度，所以两绳都被剪
去97-10=87（米）．
5．★★用杯子往一个空瓶里倒水，如果倒进6杯水，连瓶共重680克；如果倒
进9杯水，连 瓶共重920克．求空瓶的重量．
答案 200克
解答

瓶子的重量不变，第二次比第一次多了9-6=3（杯）水，而重量增加了920
-680=240（克）．
这240克就是3杯水的重量，那么每杯水的重量就是240÷3=80（克）．
所以空瓶的重量就是680 - 80×6=200（克）．
6.有两根粗细不同但长度相同的蜡烛， 把它们同时点燃，1小时后细蜡烛缩短了
15厘米，而粗蜡烛只缩短了3厘米，此时粗蜡烛长度正好是细 蜡烛的3倍．请
问：粗蜡烛还能燃烧多久？
答案 6小时
解答 设燃烧后细蜡烛的长度为1份，则粗蜡烛的长
度为3份．




燃烧前两根蜡烛长度相同，粗蜡烛烧掉了3厘米，细蜡烛烧掉了15厘米，
比粗蜡烛多烧掉了15 -3=12（厘米）．由线段图知，燃烧后的细蜡烛就比粗蜡烛
短12厘米，
两根蜡烛的长度 差12厘米相当于2份，所以1份等于12÷2=6（厘米），即
细蜡烛余下6厘米，则粗蜡烛余下6× 3=18（厘米）.
粗蜡烛燃烧1小时缩短3厘米，那么它余下的18厘米可以燃烧18÷3=6（时）.
7．甲 、乙两人一起参加吃汉堡包大赛，在30分钟的限时内，甲吃的汉堡包个数
是乙的一半，而乙吃的汉堡包 比甲的5倍少12个．请问：甲、乙两人一共吃了
几个汉堡包？
答案 12个
解答 假设甲吃的个数为1份，那么乙吃的个数为2份，由“乙吃的汉堡包比甲

的5份少12个”可知，再加上12个汉堡包，那么乙就正好吃了5份.






由线段图可知，12个就等于其中的3份，所以1份等于12÷3=4（个）.
甲、乙加起来吃了3份，所以两人一共吃了4×3=12（个）汉堡包.
8．拍卖行卖出了两 件艺术品，第一件的拍卖价格比第二件的3倍多3万元，而
第二件的拍卖价格比第一件的3倍少73万元 ，请问：这两件艺术品一共卖了多
少万元？
答案 35万元
解答 设第二件的拍卖价格为1份，则第一件的拍卖价格为3份加3万元.





从线段图中看出，相差的73万元比第二件的拍卖价格的8倍还多9万元.
于是第二件艺术品的拍卖价格就是（73-9）÷8=8（万元）.
则第一件艺术品的拍卖价 格是8×3+3=27（万元），因此这两件艺术品一共拍卖
了27+8=35（万元）.
9 ．小华有数学书、语文书和英语书一共70本，其中数学书和语文书的数量之和

是英语书 的4倍，数学书和英语书的数量之和比语文书的3倍少2本．那么小华
有几本数学书？
答案 38本
解答 设英语书有1份，则数学书、语文书加起来共有4份.




由线段图知，70本相当于5份，所以1份是70÷5=14（本），即英语书有
14本.
设语文书有1份，则数学书和英语书加起来比3份少2本.





由线段图知，70本相当于4份少2本，所以1份是（70+2）÷4=18（本），
即语文书有18本.
由于三种书的总数是70本，所以数学书就有70-14-18=38（本）.
10．四个人的年龄之和等于77，其中年龄最小的是10岁，他与年龄最大的人的
年龄之和比 另外两人的年龄之和大7岁．那么年龄最大的人是多少岁？
答案 32岁
解答 把最小年龄与最大年龄之和放在一起考虑，也把另外两人年龄之和放在一
起考虑.

此时二者的和是77，差是7，因此最小年龄与最大年龄之和是（77+7）÷2=42
（岁）.
由于最小的年龄是10岁，那么最大的年龄就是42-10=32（岁）.
11.-堆苹果分 给甲、乙、丙三人，三人分得的数量一样多．后来，甲给了乙2
个，乙给了丙6个，丙又给了甲8个，此 时甲的苹果数恰好是丙的2倍，那么此
时乙有多少个苹果？
答案 6个
解答







甲给出了2个苹果，收到了8个苹果，那么甲比原来多了8-2=6（个）苹果；
已收到了2个苹果，给出了6个苹果，那么乙比原来少了6-2=4（个）苹果；
丙收到了6个苹果，给出了8个苹果，那么丙比原来少了8-6=2（个）苹果.
由于原来三个的苹果数相同，那么分苹果后，甲就比丙多了6+2=8（个）苹
果.
而甲的苹果数是丙的2倍，那么此时丙就有8个苹果，甲有8×2=16（个）
苹果.
开始时三个各有8+2=10（个）苹果，那么乙最后有10-4=6（个）苹果.
12．某 驻军有三个坦克连，共有115辆坦克，一连坦克数量比二连的2信多2

辆，而二连的坦 克数量比三连的3倍多1辆，请问：一连比三连多几辆坦克？
答案 59辆
解答 设三连的坦克数为1份，则二连的坦克数是3份加1辆.
那么一连的坦克数是2×（3份+1）+2=6份+4.






由线段图可知，所有坦克数量有10份加5辆，因此1份是(115-5 )÷10=11
（辆），即三连的坦克数为11辆.
方法一：一连的坦克数为1l×6+4=70（辆），所以一连比三连多了70 - 11=59
（辆）坦克．
方法二：从线段图中看出，一连比三连多了5份加4辆，也就是多了11×
5+4=59（辆）坦克．
13.“超级女生”比赛开始报名，一共有上海、北京和湖南三个赛区，总的报名
人数为600 人，其中湖南的报名人数比上海的2倍少80人，而上海的报名人数
比北京的3倍多20人，问：三个赛 区各有多少人报名？
答案 北京62人，上海206人，湖南332人
解答 设北京赛 区的报名人数是1份，那么上海赛区的报名人数是3份加20人，
湖南赛区的报名人数是6份减40人， 如图．

< br>由线段图可知，所有报名人数有10份少20人，因此1份是(600+20)÷10=62
（人 ），即北京赛区有62人，那么上海赛区有62×3+ 20=206（人），湖南赛区
有206×2-80=332（人）．
14.小明、小红、小 玲共有73块糖，如果小玲吃掉3块，那么小红与小玲的糖就
一样多；如果小红给小明2块，那么小明的 糖就是小红的糖的2倍．问：开始时
小红有多少块糖？
答案 19块
解答 假 设小红给小明2块糖后，小红的糖数是1份，那么开始时小红比1份
多2块糖，而开始时小玲比小红多3 块糖，小明比2份少2块糖．







由线段图知，开始时小红有(73-2-3-2+2)÷4+2=19（块）糖．

超越篇
1．公园里柳树和杨树共43棵，松树和柏树共42棵，并且杨树比松树多 2棵，

比柳树少7棵，那么公园里有多少棵柏树？
答案 26棵
解答




由于柳树和杨树共43棵，杨树比柳树少7棵．
所以柳树有(43+7)÷2=25（棵），杨树有(43-7)÷2=18（棵）．
又因为杨树比松树多2棵，所以松树有18 -2=16（棵）．
松树和柏树共42棵，则柏树有42-16=26（棵）．
2．超市运来的西瓜个数是哈密瓜个数的4 倍，如果每天卖掉120个西瓜和40
个哈密瓜，如果某天下班时哈密瓜刚好卖完，还剩下600个西瓜 ，请问：超市运
来西瓜、哈密瓜各多少个？
答案 西瓜2400个，哈密瓜600个
解答 方法一：注意到120÷40=3，这说明每天卖出的西瓜数是哈密瓜的3倍，
那么全 部卖出的西瓜数也是哈密瓜的3倍．
设水果店全部的哈密瓜个数是1份，那么全部的西瓜个数 是4份，卖出的
西瓜个数是3份，剩下的西瓜个数是1份．




由题目条件知，哈密瓜卖完后还剩下600个西瓜，所以1份就是600个，

即一共有哈密瓜600个，有西瓜600×4=2400(个)．
方法二：将全部的瓜装成若干袋，每袋装40个哈密瓜和160个西瓜．




每天拿一袋出来卖，会剩下160-120=40（个）西瓜．
由于最后总共剩下600个西瓜，所以一共有600÷40=15（袋）．
因此一共有哈密瓜40×15=600(个)，有西瓜600×4=2400（个）．
3．黑 、白棋子总共62枚，把它们分成3堆：在第一堆中，黑子数量正好是白子
的2倍；在第二堆中，黑子数 量则是白子的3倍；在第三堆中，黑子数量是白子
的4倍．如果第二堆白子是第一堆白子的2倍，第三堆 黑子是第二堆总数的2
倍，那么第三堆有几枚白子？几枚黑子？
答案 白子8枚，黑子32枚
解答 设第一堆白子数是1份，则第一堆黑子数是2份，第二堆白子数是2份 ，
第二堆黑子数是6份，那么第二堆总数是8份，所以第三堆黑子数是16份，第
三
堆白子数是4份，全部的棋子数为31份．

由线段图知，31份恰好是62枚棋子，因此1份就是62÷31=2（枚）棋子.
所以第三堆中的白子有2×4=8(枚)，黑子有2×16=32（枚）．
4．有50名学生 参加联欢会，第一名到会的女生同全部男生握过手，第二名到会
的女生只差1名男生没握过手，第三名到 会的女生只差2名男生没握过手，依次
类推，最后一名到会的女生同7名男生握过手．问：这些学生中有 多少名男生？
答案 28名
解答 可以这么想象：每次来的女生都拉走一名男生去跳舞 ，那么每往后来1
名女生，会场上就少了一名男生，与她握手的男生当然也就少了一名．
按照这个方式，第一名到会的女生拉走了一名男生，第二名女生从剩下的男
生中又拉走了一名，第三名女 生也同样从剩下的男生中拉走一名，依此类推，
最后一名女生就应该是从7名男生中拉走一名，最后还 剩下6名男生，这说明，
男生人数比女生人数多6名.




已知男生与女坐人数的和为50名，根据和差公式得，一共有男生（50+6）÷
2=28（名）． < br>5．小高、墨莫和萱萱三个人各有一些钱，其中小高的钱数是墨莫的两倍，小高
和墨莫的钱数总和 是萱萱的6倍．老师给了小高一些钱，现在小高一共有56元，
然后小高把老师给他的钱全部分给了墨莫 和萱萱，这时墨莫有36元，萱萱有16
元，那么老师一共给了小高多少元钱？
答案 40元

解答 设开始时萱萱的钱数是1份，根据题意得，墨莫的钱数是2份，小高的
钱数是4份.






由线段图知，小高把老师给他的钱全部 分给了墨莫和萱萱后，墨莫和萱萱的
钱数一共有36+16=52（元）钱，而比小高的56元少1份， 所以1份就是56 -52=4
（元）．
那么小高原来有4×4=16（元），老师一共给了小高56-16=40（元）钱．
6．有甲、乙、 丙三堆石子，从甲堆中取8个给乙堆后？甲、乙两堆石子个数就
相等了；此时再从乙堆中取6个给丙堆， 乙、丙两堆石子个数就相等了；接着再
从丙堆中取2个给甲堆，这样甲堆石子正好是丙堆的2倍，问：原 来甲堆有多少
个石子？
答案 26个
解答 设丙堆最后的石子数是1份．

从线段图中可以看出，甲堆最后的石子个数减去丙堆最后的石子个数等于
8+2=10（个）．
则丙堆最后的石子数为10÷(2-1)=10（个），那么甲堆最后的石子数为10×2
=20（个）．
所以甲堆原有的石子数为20-2+8=26（个）．
7 ．超市同时运进甲、乙两个品种的苹果，甲比乙的重量少210千克．一开始卖
这两种苹果，甲种苹果很 受欢迎，每天卖出的重量是乙的2倍多30千克．一星
期后，超市决定对乙种苹果进行降价促销，结果乙 种苹果的销量变为原来的4
倍，甲的销量不变，这样又过了两周后两种苹果全部售完．请问：甲、乙两种 苹
果原来共有多少千克？
答案 4830千克
解答 根据题中条件分析，甲种苹果在三周内每天的销量不变，而乙种苹果前后
销量不变．
假设乙种苹果第一周每天的销量为1份，三周销量为1份×7+4份×14=63
份.
那么甲种苹果每天的销量均为2份+30，三周销量为(2份+30)×21=42份
+630. 由“甲比乙的总重量少210千克”，可知63份-42份-630=210，21份=840千
克 .
那么1份=40千克.所以甲种苹果有42×40+630=2310（千克），乙种苹果有
63×40=2520（千克）.

甲乙两种苹果原来共有2310+2520=4830（千克）.
8．一条鱼 分为鱼头、鱼身、鱼尾三段，如果鱼尾重4千克，鱼头重量等于鱼身
的一半加上鱼尾的重量，鱼身重量等 于鱼头加鱼尾的重量．请问：这条鱼有多重？
答案 32千克
解答 由题中条件“鱼尾 重4千克，鱼头重量等于鱼身的一半加上鱼尾的重量”，
所以可以将鱼身设为2份，鱼头的重量为1份+ 4.
由条件“鱼身重量等于鱼头加鱼尾的重量”可知2份=1份+8，则1份=8千克.
那么鱼身为16千克，鱼头为12千克，鱼尾为4千克，总重为32千克.