武汉开放职业学院-高考倒计时100天

对数函数及其性质
【要点梳理】
要点一、对数函数的概念
1．函 数y=log
a
x(a>0，a≠1)叫做对数函数.其中
x
是自变量，函数 的定义域是

0,

，值域为
R
．
2．判断 一个函数是对数函数是形如
ylog
a
x(a0,且a1)
的形式，即 必须满足以下条件：
（1）系数为1；
（2）底数为大于0且不等于1的常数；
（3）对数的真数仅有自变量
x
．
要点诠释：
（1）只有形如y =log
a
x(a>0，a≠1)的函数才叫做对数函数，像
ylog
a< br>(x1),y2log
a
x,ylog
a
x3
等函数 ，它们是由对数函数变化得到的，都不是对数函数．
（2）求对数函数的定义域时应注意：①对数函数 的真数要求大于零，底数大于零且不等于1；②对含
有字母的式子要注意分类讨论．
要点二、对数函数的图象与性质

图象
a＞0 0＜a＜1

性质 定义域：（0，+∞）
值域：R
过定点（1，0），即x=1时，y=0
在（0，+∞）上增函数
当0＜x＜1时，y＜0，
当x≥1时，y≥0

在（0，+∞）上是减函数
当0＜x＜1时，y＞0，
当x≥1时，y≤0

要点诠释：
关于对数式log
a
N的符号问题，既受a的制约又受N的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错.
下面介绍一种简单 记忆方法，供同学们学习时参考.
以1为分界点，当a，N同侧时，log
a
N>0 ；当a，N异侧时，log
a
N<0.

要点三、底数对对数函数图象的影响
1．底数制约着图象的升降．
如图

要点诠释：
由于底数的取 值范围制约着对数函数图象的升降（即函数的单调性），因此在解与对数函数单调性有关
的问题时，必须 考虑底数是大于1还是小于1，不要忽略．
2．底数变化与图象变化的规律

在同一坐标系内，当a>1时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴；当0随a的增大而远离x轴.(见下图)



一般地有
log< br>a
N
log
c
N
，其中a>0，a≠1，N>0，c>0， c≠1，这个公式称为对数的换底公式．
log
c
a


要点四、反函数
1．反函数的定义
设
A,B
分别为函数
yf(x)
的定义域和值域，如果由函数
yf(x)
所解得的
x

(y)
也是一个函数
（即对任意的一个
yB
，都有唯一的xA
与之对应），那么就称函数
x

(y)
是函数
yf(x)
的反函数，
记作
xf
111
(y)
， 在
xf(y)
中，
y
是自变量，
x
是
y
的函数，习惯上改写成
yf(x)
（
xB,yA
）
1
的形式．函数
xf(y)
（
yB,xA
）与函数
yf1
(x)
（
xB,yA
）为同一函数，因为自变量的
1
取值范围即定义域都是B，对应法则都为
f
．
1
由定义可以看出 ，函数
yf(x)
的定义域A正好是它的反函数
yf
值域B正好是它的反 函数
yf
要点诠释：
1
(x)
的值域；函数
y f(x)
的
(x)
的定义域．
并不是每个函数都有反函数，有些函数没有 反函数，如
yx
．一般说来，单调函数有反函数．
2．反函数的性质
（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线
yx
对称．
（2）若函数< br>yf(x)
图象上有一点

a,b

，则

b,a

必在其反函数图象上，反之，若

b,a

在反 函数
图象上，则

a,b

必在原函数图象上．
【典型例题】
类型一、函数的定义域
2

求含有对数函数的 复合函数的定义域、值域，其方法与一般函数的定义域、值域的求法类似，但要注意
对数函数本身的性质 （如定义域、值域及单调性）在解题中的重要作用.
例1. 求下列函数的定义域：
2
(1)
ylog
a
x
； (2)
ylog
a
(4-x)(a0且a1)
.
【答案】（1）
{x|x0}
；（2）
{x|x4}
．
【解析】由对数函数的定义知：
x0
，
4x0
，解出不等式就可求出 定义域.
2
2
(1)因为
x0
，即
x0
，所 以函数
ylog
a
x的定义域为{x|x0}
；
2
( 2)因为
4x0
，即
x4
，所以函数
ylog
a< br>(4-x)的定义域为{x|x4}
.
【总结升华】与对数函数有关的复合函数的定 义域：求定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，
且不等于1．若底数和真数中都含有变量，或式 子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都
有意义．一般地，判断类似于
yl og
a
f(x)
的定义域时，应首先保证
f(x)0
．
举一反三：
【变式1】求下列函数的定义域.
3
(1) y=
x
3
1
2
log
1
(x1)1
(2)
yln(akg2)
（
a0
且
a1,kR
）.
xx
【答案】（1）(1，
33
)

(，2)；（2）略
22




x1

x10


【解析】(1)因为

log
1
(x1)0， 所以

0x11
，

2

3< br>
log(x1)1

x
1
2


2
33
所以函数的定义域为(1，)

(，2).
22

a

20
， 所以

k
. （2）因为
akg

2
< br>①当
k0
时，定义域为
R
；
②当
k0
时，
(i)若
a2
，则函数定义域为(log
a
k
，+∞)；
xx
2
x
(ii)若
0a2
，且
a1
，则函数定义域为(-∞，
log
a
k
)；
2
(iii)若
a2
，则当
0k1
时，函数定义域为
R
；当
k1
时，此时不能构成函数，否则定义域 为
.
【变式2】函数
yf(2)
的定义域为[-1，2]，求
yf(log
2
x)
的定义域.
【答案】[
2
，16].
【答案】由
1x2
，可得
yf(x)
的定义域为[
x
11
，4]，再由
log< br>2
x4
得
yf(log
2
x)
的定
22
义域为[
2
，16].
类型二、对数函数的单调性及其应用
利用 函数的单调性可以：①比较大小；②解不等式；③判断单调性；④求单调区间；⑤求值域和最值.
要求同 学们：一是牢固掌握对数函数的单调性；二是理解和掌握复合函数的单调性规律；三是树立定义域

优先的观念.
例2. 比较下列各组数中的两个值大小：
(1)
log
3
3.6,log
3
8.9
； (2)
log
0.2
1.9,log
0.2
3.5
；
(3)
log
2
5
与
log
7
5
；
(4)
log
3
5
与
log
6
4
．
( 5)
log
a
4.2,log
a
4.8
（
a0且 a1
）．
【思路点拨】利用函数的单调性比较函数值大小。
【答案】(1)< ；(2) <；(3) >；(4) >；(5) 略．
【解析】由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成.
(1)解法1：画出对数函数
ylog
3
x
的图象，横坐标为3.6的点在横坐标为8.9的点的下方，所以，
log
3
3.6log
3
8.9
；
解法2：由 函数
ylog
3
x
在R上是单调增函数，且3.6<8.9，所以
log
3
3.6log
3
8.9
；
+
(2) 与第(1)小题类似，
ylog
0.2
x
在R上是单调减函数，且1.9< 3.5，所以
log
0.2
1.9log
0.2
3.5
；
+
(3)函数
ylog
2
x
和
ylog
7
x
的图象如图所示．当
x1
时，
ylog
2
x
的图象
在
ylog
7
x
的图象上方，这里
x 5
，
log
2
5log
7
5
．
(4)
Qlog
3
5log
3
31log
6
6log
6
4,

log
3
5log
6
4

(5) 注：底数是常数，但要分类讨论a的范围，再由函数单调性判断大小.
解法1：当
a1时，
ylog
a
x
在(0，+∞)上是增函数，且5.1<5.9，所 以，
log
a
4.2log
a
4.8

当
0a1
时，y=log
a
x在(0，+∞)上是减函数，且4.2<4.8，所 以，
log
a
4.2log
a
4.8

解法2：转化为指数函数，再由指数函数的单调性判断大小，
bb
令
b1
log
a
4.2
，则
a
1
=4.2
，令
b
2
log
a
4.8
，则
a
2< br>4.8，

当
a1
时，
ya
在R上是增函数，且4.2<4.8，
所以，b
1
2
，即
log
a
4.2log
a
4.8

当时
0a1
，
ya
在R上是减函数，且4.2<4.8 所以，b
1
>b
2
，即
log
a
4.2>lo g
a
4.8
.
【总结升华】比较两个对数值的大小的基本方法是：
（1）比较同底的两个对数值的大小，常利用对数函数的单调性．
（2）比较同真数的两个对 数值的大小，常有两种方法：①先利用对数换底公式化为同底的对数，再利
用对数函数的单调性和倒数关 系比较大小；②利用对数函数图象的互相位置关系比较大小．
（3）若底数与真数都不同，则通过一个恰当的中间量来比较大小．

例3．比较< br>log
a
b,log
b
a,log
a
,log
b
【答案】
log
a
blog
b
alog
b
x
x
1
b
1
其中01的大小.
a
11
log
a

ab
11
【解析】由 01，得
a
，
b

ba
11


log
a
log
a
a1
，
log
b
log
b
b1

ba
11

log
b
log
a

ab


log
b
a
1< br>log
a
b
1
，即
log
b
al og
a
b


log
b
alog
a
b


log
a
blog
b
alog
b
11
lo g
a

ab
【总结升华】若底数与真数都不同，则通过一个恰当的中间量来比 较大小，中间变量常常用“0”和“1”．用
“0”和“1”把所给的数先分两组，然后组内再比较大小 ．
举一反三：

1

【变式1】已知
a5
l og
2
3.4
,b5
log
4
3.6
,c

5

A．
abc

【答案】C
B．
bac

log
3
0.3
,
则（ ）
D．
cab
C．
acb

【解析】另
mlog
2
3.4
，
nlog
4
3.6
，< br>llog
3
得
mln

10
，在同一坐标系下作出三个函数图像，由图像可
3

又∵
y5
为单调递增函数，
∴
acb

故选C.


【变式2】比较
alog
3
< br>,blog
2
3,clog
3
2
的大小．
【答案】
cba

【解析】
Qlog
3
2l og
3
3log
2
31log
3
3log
3


x
cba


例4．求函数
ylog
1
(x
2
2x1)
的值域和单调区间.
2
【思路点拨】先解不等式
x2x10
，保证原式有意义，然后再在定义域范 围内求内函数
2
tx
2
2x1
的单调区间，然后根据复合函 数的单调性就是内函数与外函数的单调性“同增异减”来求
解．

【答案】[-1， +∞
)
；增区间为

1,12
；减区间为
12,1．
2

2
2
【解析】设
tx2x1
，则
t(x1)2
.∵ y=
log
1
t
为减函数，且
0t2
，
∴
ylog
1
21
，即函数的值域为[-1，+∞
)
. 再由：函数
log
1
(x
2
2x1)
的定义域为2

2
x
2
2x10
，即
12 x12
.

2
∴
tx2x1
在12,1
上递增而在

1,12
上递减，而y=
log1
t
为减函数.



∴ 函数
ylo g
1
(x
2
2x1)
的增区间为

1,1 2
，减区间为
12,1
.
2


2

【总结升华】对数型复合函数一般可分为两类：一类是对数函数为外函数，即
yloga
f(x)
型；另一
类是内函数为对数函数，即
yf(log
a
x)
型．对于
ylog
a
f(x)
型的函数的单调性， 有以下结论：函数
ylog
a
f(x)
的单调性与函数
uf(x )

f(x)0

的单调性，当
a1
时相同，当
0a1
时相反．
研究
yf(log
a
x)
型复合 函数的单调性，一般用复合法来判定即可．复合函数的单调性就是内函数与
外函数的单调性“同增异减” ．
研究对数型复合函数的单调性，一定要注意先研究函数的定义域，也就是要坚持“定义域优先”的原则．

举一反三：

【变式1】求函数
ylog
2
x
2
4
的值域和单调区间．
【答案】

2,

；减区间为

,0

，增区间为

0, 

．
2
22
【解析】设
tx4
，则
tx44
，∵ y=
log
2
t为增函数，
log
2
tlog
2
(x4)log
2
42


ylog
2

x
2
4

的值域 为

2,

．
2
再由：
ylog
2
(x4)
的定义域为
R

tx
2
4在

0,

上是递增而在

,0
< br>上递减，而y=
log
2
t为增函数
2
∴ 函数y=
log
2
(x4)
的减区间为

,0

， 增区间为

0,

.


x
【变式2】求函数
ylog
a
(aa)
的单调区间
【答案】减区间是：

,1

和

1,< br>

xx
【解析】①若
a1,
则
ylog
a
t
递增，且
taa
递减，而
aa0
，即
aa,x1
，
x

ylog
a
( aa)
在

,1

上递减．
x
xx
② 若
0a1
，则
ylog
a
t
递减，且
taa
递增，而
aa0
，即
aa, x1
，
x
ylog
a
(aa
x
)在

1,

上递减．
x
综上所述，函数
ylog
a
(aa)
的单调递减区间是：

,1

和

1,

．

类型三、函数的奇偶性
例5. 判断下列函数的奇偶性.
(1)
f(x)ln
2-x
;
(2)
f(x)lg(1x
2
-x)
.
2x
【思路 点拨】判断函数奇偶性的步骤是：（1）先求函数的定义域，如果定义域关于原点对称，则进行（2），
如果定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数。（2）求
f(x)
，如果
f( x)f(x)
，则函数是偶
函数，如果
f(x)f(x)
，则函数 是奇函数。
【答案】（1）奇函数；（2）奇函数．
【解析】首先要注意定义域的考查，然后严格按照证明奇偶性基本步骤进行.
(1)由
2-x
0可得-2x2

2x

所以函数的定义域为：(-2，2)关于原点对称
2x2 x
1
2x
ln()-lnf(x),即f(x)f(x)

2x2x2x
2-x
所以函数
f(x)ln
是奇函数； < br>2x
又
f(x)ln
【总结升华】此题确定定义域即解简单分式不等式， 函数解析式恒等变形需利用对数的运算性质.说明
判断对数形式的复合函数的奇偶性，不能轻易直接下结 论，而应注意对数式的恒等变形.
(2)【解析】由
1x
2
-x0可得xR

所以函数的定义域为R关于原点对称
又
f(-x)lg(1xx)lg2
(1x
2
x)(1x
2
-x)
1x
2
x
lg
1
1x
2
-x
-lg(1x< br>2
-x)-f(x)

即f(-x)=-f(x)；所以函数
f(x )lg(1x
2
-x)是奇函数
.
【总结升华】此题定义域的确定可能稍有困难，函数解析式的变形用到了分子有理化的技巧，要求掌握.
类型四、反函数
例6．求出下列函数的反函数

1

（ 1）
ylog
1
x
；（2）
y

。

e

6

1

【答案】（1）
y< br>
；（2）
ylog
1
x


6

e
1

1

【解析】（1）对数函数
ylo g
1
x
，它的底数为，所以它的反函数是指数函数
y

；
6

6

6
x
x
x

1

（2）指数函数
y

的反函数是对数函数
yl og
1
x
．

e

e
【总结升华】 < br>反函数的定义域都由原函数的值域来确定的，特别是当反函数的定义域与由反函数解析式有意义所确定的自变量的取值范围不一致时，一定要注明反函数的定义域．
举一反三：
【高清课堂：对数函数369070 例5】
【变式1】 若函数
yf(x)是函数
ya
x
(a0,
且a≠1)的反函数，且
f(2) 1
，则
f(x)
（ ）
(A)
log
2
x
(B)
【答案】 A
【 解析】解法1：
Q
函数
yf(x)
是函数
ya
x
(a0,
且a≠1)的反函数

f(x)log
a
x
，又
f(2)1

a
，
a2
，
故选A．
解 法2：
Q
函数
yf(x)
是函数
ya
x
(a 0,
且a≠1)的反函数，且
f(2)1

x
1
x2
(C) (D)2
logx
1
x
2
2
log21


点（1，2）在函数
ya
的图象上，

a2


故选A．

x

类型五、利用函数图象解不等式
x
例7．若不等式
2log
a
x0
，当
x

0,


1


时恒成立，求实数a的取值范围．
2

x
【思路点拨】画出函数
y2
的图象与函数
ylog
a
x
的图象，然后借助图象去求借。
【答案】


1


2

2
2
a1



1

1

ylogx
时恒成立，即函数的图在
a

0,

内恒在函
2

2
x
【答案】要使不等式
2log
a
x0
在
x
0,
数
y2
图象的上方，而
y2
图象过点

xx
1

1

,2

．由右图可知，
log
a
2
，显
2

2

1< br>2log
a
a
2
，∴
a
2
2
然 这里0＜a＜1，∴函数
ylog
a
x
递减．又
log
a

1
，即
2

1

a

2

2
2
．∴所求的a的取值范围为

< br>1



2

2
2
a1
．
【总结升华】“数”是数学的特征，它精确、量化，最有说服力；而“形”则形象、直观，能简化 思维
过程，降低题目的难度，简化解题过程，把它们的优点集中在一起就是最佳组合．本例中，利用图形 的形
象直观快速地得到答案，简化了解题过程．正因为如此，数形结合成为中学数学的四个最基本的数学 思想
方法之一，因此我们必须熟练地掌握这一思想方法，并能灵活地运用它来分析和解决问题．
在涉及方程与不等式的问题时，往往构造两个函数
f(x)
与
g(x)
，则
f(x)
=
g(x)
的实数解等价于两个
函数
yf(x)
与
yg(x)
的图象的交点的横坐标；而
f(x)g(x)
的的 解等价于函数
yf(x)
的图象在
yg(x)
的图象下方的点的横坐标的 取值范围．利用图象的形象性、直观性，可使问题得到顺利地解决，
而且分散了问题解决的难度、简化了 思维过程．因此，我们要善于用数形结合的方法来解决方程与不等式
的问题．
举一反三：
2
【变式1】 当x∈（1，2）时，不等式
(x1)log
a
x
恒成立，求a的取值范围．
【答案】1＜a≤2
22
【答案】设
f
1
(x)(x1)
，
f
2
(x)log
a
x
，要使当x∈（1，2）时，不等式
(x1)log
a
x< br>恒成
2
立，只需
f
1
(x)(x1)
在（1，2 ）上的图象在
f
2
(x)log
a
x
的下方即可．当0＜ a＜1
时，由图象知显然不成立．当a＞1时，如图2-2-5所示，要使在（1，2）上，
f
1
(x)(x1)
的图象在
f
2
(x)log
a
x
的下方，
2

只需
f
1
(2 )f
2
(2)
，
2
即
(21)log
a< br>2
，
log
a
21
，∴1＜a≤2．
类型六、对数函数性质的综合应用
例8．（1）已知函数
ylg(x2xa)
的定义域为
R
，求实数
a
的取值范围；
（2）已知函数< br>ylg(x2xa)
的值域为
R
，求实数
a
的取值范围 ；
2
（3）
f(x)log
a
(xlog
2ax)
的定义域为
(0,)
，求实数
a
的取值范围．
2
2
1
2
【思路点拨】与求函数定义域、值域的常规问题相比，本题属非常规问 题，关键在于转化成常规问
题.
f(x)
的定义域为R，即关于
x
的 不等式
x2xa0
的解集为R，这是不等式中的常规问题.
2
f(x )
的值域为R与
x
2
2xa
恒为正值是不等价的，因为这里要求
f(x)
取遍一切实数，即要求
ux
2
2xa
取遍一 切正数，考察此函数的图象的各种情况，如图，我们会发现，使
u
能取遍一切正数
的条 件是
0
.
1
【答案】（1）
a1
；（2）
a1
；（3）．
32
【解析】
（1）
Q
ylg(x2xa)
的定义域为R，
2

x
2
2xa0
恒成立，

44a0
，

a1
．
2
（2）
Q
ylg(x2xa)
的值域为R，
< br>x
2
2xa
取遍一切正数，

44a0
，

a1
．
1

2


11

C
1
:yx
2
,C
2
:ylog< br>2a
x,
作图形
C
1
与C
2
，如图所示，只 需
C
2
过点

，

，

24
1111

02a1
，即满足
0a
，且log
2a
()
2
即可，解得
a
．
32
222
【总结升华】如果函数
f(x)
的定义域为某个区间D，则函数
f(x)
在这个区间D的任何子集内部都有意
义；如果函数
f(x)
在区间 E上有意义，而
f(x)
的定义域为D，则必有
ED
．
2
（3）由题意，问题可等价转化为不等式
xlog
2a
x0
的解集为< br>
0,

，记







【巩固练习】
2
1．若
log
a
1
，则
a
的取值范围是（ ）
5
2222
A.
0a
B.
a
或
a1
C.
a1
D.
0a
或
a1

5355
2．函数
ylog
1
(2x1)
的定义域为（ ）
2
A.


1

1

,

B.

1,

C.

,1

D.

,1



2

2
< /p>

3．函数
f(x)log
2
(xx
2
1 )

xR

的图象关于（ ）
A.
x
轴对称 B.
y
轴对称 C.原点对称 D.直线
yx
对称
4．函数
y
x
log
2
|x|
的大致图象是（ ）
|x|

5.设
alog
5
4
，
b 

log
5
3

，
clog
4
5
，则（ ）．
A.
acb
B.
bca
C.
abc
D.
bac

6．图中曲线是对数函数y=log
a
x的图象， 已知a值取
3,
次为( )
2
431
,,
，则相应于 C
1
，C
2
，C
3
，C
4
的a值依
3510
431413
35103105
431413
C.
，3， ，
D.
，3，，

35103105
A.
3，，，
B.
3，，，

x
7.函数
f(x)log
2
(31)
的值域为( )
A.

0,

B.

0,

C.

1,

D.

1,


8.下列函数中，在

0,2

上为增函数的是( )
A.
ylog
1
(x1)
B.
ylog
2
2
x
2
1

C.
ylog
2
1
2

D.
ylog
1
(x4x5)

x
2
9．函数
ylog
a

x2

3
的图象过 定点 。
10．已知
log
m
7log
n< br>70
，则
m
、
n
、0、1间的大小关系是 。
11.已知函数
f(x)2
12.函数
f(x)lg
x1
，则
f
1
(4)
.

x
2
1x
是 (奇、偶)函数. < br>
10
x
10
x
13.已知函数
f(x)x
，判断
f(x)
的奇偶性和单调性.
1010
x

【答案与解析】

1. 【答案】D
22
1log
a
a
，当
a1时，
ylog
a
x
为增函数，所以
a
，得
a1
；当
0a1
55
2
2
时，
ylog< br>a
x
为减函数，所以
a
，得
0a
，故选D。
55
【解析】由
log
a
2. 【答案】C

2x10,
1

【解析】要使函数有意义，则

log2x1 0,
解得
x1
，故选C。

1

2


2
3. 【答案】C
【解析】
Qf(x)f(x)log
2
(xx
2
1)log
2
(xx
2
1)
=
log
2< br>(x
2
1x
2
)log
2
10
，< br>
f(x)
为奇函数，故其图象关于原点对称。
4. 【答案】D 【解析】易知
f(x)
为奇函数，又
x0
时，
f(x)lo g
2
x
，所以选D。
5. 【答案】D
【解析】因为
clog
4
5clog
4
41
，
0alog< br>5
41,0alog
5
31
，所以
b

log
5
3

log
5
3glog
5< br>4log
5
4a
，所以
bac
，故选Ｄ．
6. 【答案】A
2
4
；在第四象限内，
0a1
，
3
31431
从顺时针方向看图象，
a
逐渐增大，

；所以相应于C
1
，C
2
，C
3
，C
4
的a值依次为
3，，，
.选A.
5103510
【解析】在第一象限内，< br>a1
，从顺时针方向看图象，
a
逐渐增大，
3
7. 【答案】A
x
x
【解析】因为
311
，所以
f(x )log
2
(31)
=
log
2
10
，故选 A。
8. 【答案】A
【解析】复合函数的单调性是由内函数、外函数的单调性决定的， 两个函数的单调性“同增异减”，即
内外函数的单调性相同，复合函数单调增；内外函数的单调性相反， 复合函数单调减。
9．【答案】

1,3


【解析 】
Q
函数
ylog
a
x
的图象过定点

1,0

，

函数
ylog
a

x2

3
的图象过定点（-1,3）。
10．【答案】
0nm1

【解析】
Qlog
m< br>7log
n
70
，
0log
7
mlog< br>7
n
。又
ylog
7
x
在（0,1）内递增且函数 值小
于0，
0nm1
。
11．【答案】1
【解析】由
f(x)2
12. 【答案】奇
x1
422
得
x1
，
f
1
(4)1
。
1
x
2
1x
lg(x
2
1x)f(x) ,f(x)
为奇【解析】
xR且f(x)lg(x
2
1x) lg

函数.
13. 【答案】奇函数 增函数
10
x< br>10
x
10
2x
110
x
10
x
10
2x
1
,xR
，
f(x)
x
2x
f(x),xR
【解析】(1)
f(x)
x
1010
x
10
2x
11010
x
10 1
∴
f(x)
是奇函数
10
2x
1
,xR. 设x
1
,x
2
(,)
，且
x
1
x
2
， (2)
f(x)
2x
101
10
2 x
1
110
2x
2
12(10
2x
1
10
2x
2
)
2x
1
2x
2
0< br>(Q10 10)
则
f(x
1
)f(x
2
)
2x
，
2x
2
2x
1
2x
21
1 01101(101)(101)
∴
f(x)
为增函数.






幂函数


1.幂 函数的定义：一般地，我们把形如
yx
的函数称为幂函数，其中
x
是自变量 ，

是常数.
注意：（1）幂函数的特征是以幂的底
x
为自变量，指数

为常数；
（2）所有的幂函数在区间
(0,)
都有定义，并且图象都通过点(1,1)；
（3）学习和理解幂函数的概念时要注意以下几点：
①形如
y(2 x)

,y2•x

,yx

2,
形式的 函数不是幂函数；
②幂函数
yx

中的

为任意实数；
③确定一个幂函数，只需求出

即可.
2.幂函数的图像：我们只讨论幂函数
yx

中

1,2,3,,1
时的图象.
在同一 平面直角坐标系作出幂函数
yx,yx,yx,yx,yx
1
的图象.
23
1
2
1
2
（1）列表，描点，连线，用光滑的曲线将各 点连结起来，如图：
（2）记熟上面各函数图象的形状，及它们之间的“高低”关系；
（3）函数
y
1
可记为
yx
1
；
x
（4）
a0
时，图象都过
(0,0)(1,1)
点，
a 0
时，只过(1,1)不过(0,0)点.

3.幂函数的性质
从上图可以观察到幂函数的特征如下：

特
征
性
质
函
数
yx

yx
2

yx
3

yx

1
2
yx
1

定义域
值域
奇偶性
单调性
定点
R

R

[0,)

偶
R

[0,)

{x|xR,x0}

R

奇
增
(1,1)
(0,0)
R

奇
增
(1,1)
(0,0)
[0,)

非奇非偶
增
(1,1)
(0,0)
{y|yR,y0}

奇
x[0,)
时，增
x(,0]
时，减
(1,1)
(0,0)
x(0,)
时，减
x(,0)
时，减
(1,1)
结合以上特征得幂函数的性质如下：
（1）所有的幂函数在
(0,)
都有定义，并且图象都通过点(1,1)； （2）如果

0
，则幂函数的图象过原点，并且在区间
[0,)< br>上为增函数；
（3）如果

0
，则幂函数的图象在区间
( 0,)
上是减函数，在第一象限内，当
x
从右边趋向于原点
时，图象在< br>y
轴右方无限地逼近
y
轴，当
x
趋向于

时，图象在
x
轴上方无限地逼近
x
轴；
（4）当

为奇数时，幂函数为奇函数，当

为偶函数，幂函数为偶函数.

考点1：幂函数的概念
例1 下列函数中：①y=
1
x
3
3
;
②y=3x-2;③y=x
4
+x
2
;④y=
x
2
是幂函数的个数为 .

考点2：幂函数的图象
例1 如图，幂函数
yx
a
在第一象限内 的图象，已知
a
取
2,
于曲线
C
1
,C
2
,C
3
,C
4
的
a
依次为
____ ， ， ， ．

例2 已知幂函数
yx
m6
(mZ)
与
yx
2m
(mZ)
的图象都与
x
、
y
轴都没有公共点，且
yx
m2
(mZ)
的图象关于y轴对称，求
m
的值．
1
四个
2
值，则相应






1
例3 幂函数
yf(x)
的图象过点
(4,)
，则
f(8)
的值为 .
2





a
例4 设x∈(0, 1)，幂函数y＝
x
的图象在y＝x的上方，则a的取值范围是 ．














考点3：求幂函数的定义域、值域
幂函数的定义域要根据解析式来确定，要保证解析式有意义，值域要在定义域范围内求解．

例1 函数
y(x2x)





2

1
2
的定义域是 ．

考点4：幂函数的单调性和奇偶性
幂函数的单调性与奇 偶性与一般函数的单调性和奇偶性相同，在证明或判断时，主要应用定义法判断，有
时也用幂函数的性质 加以判断.

例1
yx
a



例2 函数y＝
x
的单调递减区间为 .



例3 函数y＝
x
1
2－m－m
2
2
4a9
是偶函数，且在
(0,)
是减函数，则整数
a
的值是 .
2
5
在第二象限内单调递增，则m的最大负整数是________．






例4 函数
f(x)(m
2
m1)x
m







考点5 比较大小
比较大小问题一般是利用函数 的单调性，当不便利用单调性时，可与0和1去比较，这种方法叫“搭桥”
法.

例1 比较下列各组数的大小：
(a2)

a
；
(5a)

5
；
0.4
0.5

0.5
0.4
.


例2 比较下列各组数的大小： < br>3
2
2
2m3
是幂函数，且在
x(0,)
上是减函数，则实数
m
________.
3
2
2
< br>2
3

2
3


10
2

3
)
，
()
3
，
1.1
3
； （1）
1.5
，
1.7
，1； （2）
(
2
7
1
3
1
3
2
2
4



（3）
3.8
，
3.9
，
(1.8)















-
2
3
2
5
3
5
； （4）
3
，
5
.
1.41.5